Содержание к диссертации
Введение
1. Современное состояние исследований в области моделирования динамики плазмы в холловских двигателях 10
1.1 Задачи, решаемые при помощи моделирования 10
1.2 Описание принципов работы холловского двигателя и
1.3 Методы моделирования динамики плазмы 15
1.4 Особенности двумерных гибридных моделей 19
1.5 Особенности полностью кинетических моделей 23
1.6 Выбор оптимальной модели и способа ее решения 31
2. Постановка двумерной модели динамики плазмы 34
2.1 Описание области моделирования 34
2.2 Баланс потоков заряженных частиц 36
2.3 Интегральные характеристики холловского двигателя 37
2.4 Основные уравнения для описания плазмы 40
2.5 Моделирование столкновений. 41,
2.6 Кинетические уравнения компонент плазмы 52
2.7 Полная система уравнений 54
2.8 Обобщение граничных условий 55
3. Численные методы решения модели 52
3.1 Схема численного решения 62
3.2 Метод частиц в ячейках 65
3.3 Решение уравнений Максвелла 56
3.4 Интегрирование уравнений движения частиц 69
3.5 Упрощение и ускорение численного расчета 72
3.6 Вычислительная сетка 75
3.7 Моделирование распределений величин с заданными параметрами 77
3.8 Область устойчивости решения 79
3.9 Описание программы EPPD 81
3.10. Инициализация и старт расчета 91
4. Тестирование алгоритмов численного решения 92
4.1 Тестирование подпрограмм алгоритма 92
4.2 Комплексное тестирование алгоритма 99
4.3 Влияние параметров модели на численные решения JQ3
4.4 Критерии сходимости решения 105
5. Результаты численного моделирования 107
5.1 Моделируемые режимы холловского двигателя JQ7
5.2 Интегральные характеристики холловского двигателя цд
5.3 Структура анодного КПД ц4
5.4 Распределения температуры электронов l2j
5.5 Зона ускорения ионов 128
5.6 Зона ионизации нейтрального газа 13з
6. Заключение 143
Список литературы
- Описание принципов работы холловского двигателя
- Интегральные характеристики холловского двигателя
- Интегрирование уравнений движения частиц
- Комплексное тестирование алгоритма
Введение к работе
Современный этап развития космической техники предполагает расширяющееся применение электроракетных двигателей (ЭРД) в составе двигательных установок для космических аппаратов. От других типов двигателей, ЭРД отличаются высоким значением средней скорости истечения рабочего тела и, соответственно, высоким удельным импульсом. Это повышает эффективность использования рабочего тела, что в ряде задач по коррекции параметров орбиты при больших сроках активного существования космических аппаратов дает заметную экономию массы рабочего тела и, соответственно, увеличивает выводимую полезную нагрузку.
Наибольшие успехи в России достигнуты в разработке и практическом применении электроракетных двигательных установок (ЭРДУ) на базе ускорителей плазмы с замкнутым дрейфом электронов — холловских двигателей (ХД). В данном направлении Россия занимает лидирующее положение в мире. По сравнению с другими типами ЭРД, холловские двигатели обладают рядом преимуществ. К их числу можно отнести конструктивную простоту, широкий диапазон изменения выходных параметров для выполнения различных задач, хорошие массогабаритные показатели при сравнительно высокой эффективности.
Разработка холловских двигателей началась в 60-х годах 20-го столетия, а первый холловский двигатель был запущен на околоземную орбиту в 1972 году на борту советского спутника "Метеор". За почти полувековую историю разработки электроракетных двигателей и в частности холловских двигателей был пройден большой путь от идей до их воплощения в конкретные изделия. Тем не менее, большинство наработок в области холловских двигателей являются инженерно - экспериментальными, и если хорошо известные холловские двигатели СПД-70 и СПД-100 успешно эксплуатируются и обеспечивают достаточно высокий уровень эффективности, то при создании холловских двигателей нового поколения возникает ряд проблем, которые не
удается решить только инженерно-экспериментальными путями. Поэтому весьма актуальным является теоретическое исследование физики процессов в плазме холловского двигателя, в том числе и путем численного моделирования динамики плазмы. Современные двумерные модели позволяют получать распределения концентрации, потенциала плазмы и температуры компонент плазмы, распределения потоков частиц в геометрической области моделирования. Это дает возможность оптимизировать конструкцию, повысить эффективность и улучшить характеристики исследуемого холловского двигателя, и ответить на вопросы обеспечения ресурса.
Ключевыми факторами, определяющими эффективность холловского двигателя, являются, как конструкция и материалы стенок канала, так и топология магнитного поля в канале холловского двигателя. Большинство моделей, созданных ранее, описывают электронную компоненту плазмы в гидродинамическом приближении, используя при этом допущение о "термали-зованном потенциале", что не позволяет получать истинно двумерные распределения параметров плазмы, а также выявить тенденции и характерные зависимости интегральных характеристик, имеющие место в холловском двигателе. При помощи полностью кинетических моделей можно отслеживать двумерные распределения параметров плазмы и нестационарные процессы без принятия существенных допущений на динамику электронной компоненты плазмы. При этом может учитываться двумерное распределение магнитного поля в канале холловского двигателя. Тем не менее в существующих полностью кинетических моделях для снижения вычислительных затрат искусственно занижается масса тяжелых частиц, что изменяет динамику ионной и нейтральной компонент плазмы, приводит к сложностям в постановке модели и интерпретации получаемых результатов. Кроме этого в полностью кинетических моделях созданных ранее, не учитывались различные материалы стенок канала холловского двигателя в рамках одной задачи.
Таким образом, актуальной является задача создания двумерной полностью кинетической модели, учитывающей реальную геометрию и различные материалы стенок канала, а также двумерное распределение магнитного поля в канале холловского двигателя без принятия допущений относительно динамики ионной и нейтральной компонент плазмы. Исходя из вышесказанного, можно сформулировать цели данной работы:
Создание нестационарной полностью кинетической модели, описывающей динамику плазмы с учетом конструктивных особенностей моделируемого холловского двигателя;
Создание на основе модели численного алгоритма и программно-математического комплекса, позволяющего проводить вычислительные эксперименты по моделированию динамики плазмы в реальных холловских двигателях, а также получать пространственно-временные распределения параметров плазмы и интегральные характеристики холловского двигателя;
Подтверждение адекватности модели путем верификации тенденций интегральных характеристик, исследования структуры разряда в плазме холловского двигателя и сравнения полученных результатов с экспериментальными данными.
Научная новизна работы:
Создана математическая модель, описывающая динамику плазмы в холловском двигателе при помощи полностью кинетического подхода, в которой впервые при задании граничных условий учитываются материалы стенок канала с различными свойствами проводимости и вторичной электронной эмиссии в рамках одной задачи;
Впервые проведены вычислительные эксперименты по моделированию динамики плазмы в холловском двигателе без искусственного уменьшения массы тяжелых частиц в рамках кинетического подхода;
Впервые получено расчетное обоснование корреляции эффективности холловского двигателя и топологии магнитного поля в канале. Показано, что для двумерного случая положение зоны ионизации совпадает с локализацией максимума градиента магнитного поля в канале холловского двигателя.
Впервые расчетным способом показано, что область максимальной температуры электронов лежит в седловой точке магнитного поля и совпадает с областью локализации холловского тока в канале.
Практическая значимость работы состоит в том, что создан инструмент, при помощи которого можно оптимизировать конструкцию и улучшить характеристики исследуемого холловского двигателя. Существенно сокращаются временные затраты, требуемые при разработке новых холловских двигателей, поскольку становится возможным оценить их эффективность без проведения натурных экспериментов.
На защиту выносятся:
Нестационарная, полностью кинетическая двумерная модель, описывающая динамику плазмы в холловском двигателе;
Программный комплекс, реализующий алгоритм численного решения математической модели;
Результаты вычислительных экспериментов по моделированию динамики плазмы в холловском двигателе.
Апробация работы и научные публикации.
Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на 29-й Международной конференции по электроракетным двигателям, 2005 год, Принстонский университет, США, "17-ой Научно-технической конференции молодых ученых и специалистов", 5-9 декабря 2005 года в г. Королев, Московской области (работа награждена дипломом второй степени), на НТС отдела электрофизики Центра Келдыша.
Структура и объем диссертации.
Диссертационная работа (151 страница) состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. В работе приводится 70 рисунков и 15 таблиц. Список литературы содержит 54 наименование.
Во введении показана актуальность работы, сформулированы ее цели, научная новизна и практическая ценность. Представлены положения, выносимые на защиту. Кроме того, кратко изложено содержание диссертации по главам.
Первая глава диссертации посвящена обзору современного состояния исследований в области моделирования процессов в плазме ХД. Дано краткое описание принципов работы ХД. Перечислены задачи, решаемые при помощи моделирования. Описаны существующие подходы и методы двумерного моделирования процессов в плазме ХД. Сделан обзор публикаций по теме диссертации - разобраны современные гибридные и полностью кинетические нестационарные двумерные модели. Затронуты основные проблемы численного моделирования процессов в плазме ХД.
Вторая глава посвящена постановке задачи моделирования. Обоснован выбор области моделирования. В рамках полностью кинетического подхода поставлены уравнения, составляющие ядро математической модели. Также определена система граничных условий.
В рамках третьей главы описано, как и какими методами, проводилось численное решение. Исследованы проблемы устойчивости и сходимости алгоритма численного решения. Дано описание возможностей программного комплекса, реализующего алгоритм численного решения модели.
Четвертая глава посвящена верификации алгоритма численного решения модели - тестированию, как отдельных подпрограмм численного алгоритма, так и комплексному тестированию алгоритма на модельных задачах.
В пятой главе описываются вычислительные эксперименты по моделированию динамики плазмы на нескольких рабочих режимах ХД. Проведены
оценки погрешностей, как экспериментальных данных, так и результатов расчетов. По результатам моделирования выявлены основные тенденции изменения интегральных характеристик ХД. Подробно исследована структура анодного КПД и механизм его роста с увеличением мощности разряда. Исследованы распределения параметров и структура плазмы в разряде ХД.
В заключении кратко излагаются основные особенности модели, обобщаются полученные результаты и формулируются выводы на их основе. Определяются пути дальнейших работ.
Работа проведена при участии сотрудников отдела электрофизики федерального государственного унитарного предприятия «ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР имени М.В.КЕЛДЫША».
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
L Irishkov S.V., Gorshkov О.А., Shagayda A.A., "Fully Kinetic Modeling of Low-Power Hall Thrusters", IEPC-2005-035, October 31 - November 4,2005 Princeton, New Jersey, USA.
Иришков СВ., "Кинетическое моделирование динамики плазмы в холловском двигателе", научно-технический сборник "Ракетно-космическая техника", серия 12: "Расчет, проектирование, конструирование и испытания космических систем", 2006 г.
Иришков СВ., "Численная модель динамики плазмы в холловском двигателе", электронный журнал "ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ", 2006 г.
Описание принципов работы холловского двигателя
На рисунке 1.2.2 изображена упрощенная схема ХД. Холловский двигатель состоит из анодного блока и катода-компенсатора. Корпус анодного блока ХД выполнен из магнито-проводящей стали и является своеобразным магнитопроводом. Внутри корпуса расположены электромагнитные катушки 2,3. Данная магнитная система, создаёт в канале двигателя радиальное магнитное поле. Конструкция магнитной системы может отличаться как формой магнитопровода, так и конфигурацией электромагнитных катушек, их количеством. Таким образом, топология магнитного поля у ХД двигателей различна, что обуславливает особенности рабочих процессов ХД и, следовательно, влияет на выходные характеристики. На рисунке 1.2.4 показана топология магнитного поля в одной из конфигураций ХД КМ-37. В этом ХД магнитная система выполнена по схеме с магнитными экранами, которые вытесняют область максимальной напряженности магнитного поля к срезу двигателя. Варьирование токов во внешних и внутренних катушках дает возможность эффективно изменять как величину, так и топологию магнитного поля в канале ХД.
Катод-компенсатор состоит из корпуса 1, трубки для подвода газа 2, поджигающего электрода 3 и токопроводов. В корпусе находится таблетка из гексаборида лантана 4 с высокой эмиссионной способностью и нагреватель в виде спирали из проволоки 5 (см. рис. 1.2.3). Подача нейтрального газа через катод снимает ограничение величины эмитируемого тока электронов со стороны пространственного заряда.
Между анодом и катодом-компенсатором приложена разность потенциалов, называемая напряжением разряда. Эмитируемые катодом-компенсатором электроны, попадая в область скрещенных электрического и магнитного полей, начинают дрейфовать в канале ХД в азимутальном направлении (см. рис. 1.2.1) со скоростью Vdp = Ё х J/i? , образуя так называемый холловский ток.
Со стороны анода в канал ХД поступает поток атомов нейтрального газа. Переход электронов с одной азимутальной траектории дрейфа на другую в основном обусловлен столкновениями как с нейтральными атомами и частицами плазмы, так и со стенками канала ХД. При этом энергия электронов по мере их диффузии от катода в сторону анода увеличивается, и электроны осуществляют ионизацию рабочего тела - нейтрального газа. Образовавшиеся ионы ускоряются электрическим полем объёмного заряда электронов. Импульс передается конструкции ХД вследствие взаимодействия азимутального холловского тока электронов с внешним магнитным полем. Ионизация может происходить, как по всей длине канала, так и в узкой области в зависимости от конфигурации магнитного поля, конструкции ускоряющего канала и материала, из которого он изготовлен.
Эксперименты показывают, что как в области вблизи анода, так и в области, примыкающей к области катода, имеются анодная и катодная плазма соответственно. Разность потенциалов между анодной и катодной плазмой близка к напряжению разряда (падению потенциала между анодом и катодом). Между этими областями плазмы должна образоваться зона ускорения, внутри которой происходит падение потенциала от значения потенциала анодной плазмы, до потенциала катодной плазмы. Считается, что если канал ХД ограничен изнутри керамикой, зона ускорения протяженная и оторвана от анода, то ХД такой конструкции относят к стационарным плазменным двигателям (СПД). Если ускоряющий канал ограничен изнутри металлическими стенками и зона ускорения примыкает к аноду, имеет малую протяженность, то в этом случае ХД относят к двигателям с анодным слоем (ДАС).
Основными уравнениями, описывающими плазму, являются кинетические уравнения Больцмана, дополненные уравнениями Максвелла. Прямое полностью трехмерное моделирование плазмы находится на грани возможностей современных компьютерных систем. Поэтому необходимо исследовать и использовать способы упрощения. Ниже будут рассмотрены приближения, наиболее часто используемые при моделировании плазмы в ХД -магнитная гидродинамика и электростатическая модель. В обоих случаях отслеживаются временные масштабы, существенно превосходящие время прохождения света через систему. В этих подходах не рассматриваются электромагнитные волны, то есть подразумевается, что электрическое и магнитное поля мгновенно подстраиваются под заданное распределение зарядов и токов.
Магнитная гидродинамика
В рамках гидродинамического подхода рассматривается плазма в низкочастотном приближении, в котором пространственный масштаб значительно превышает дебаевский радиус экранирования rD, определяющий максимальное расстояние, на котором еще проявляется разделение зарядов в плазме. Если характеристики плазмы усредняются по пространственному масштабу, существенно превышающему Гц , то можно считать плазму квазинейтральной. Иначе говоря, считается, что все токи в плазме текут по замкнутым цепям, что не приводит к образованию зарядов. Приближение зарядовой квазинейтральности исключает механизм, ответственный за возбуждение плазменных колебаний, и связанные с ним высокочастотные движения. Таким образом, кинетические уравнения, описывающие компоненты плазмы, переходят в уравнения магнитной гидродинамики, включающие в себя уравнения сохранения массы, импульса и энергии для соответствующих компонент плазмы и уравнения Максвелла. МГД уравнения, как правило, решаются при помощи конечно-разностных методов, известных в динамике жидкости. Эти методы описаны в [28].
Плазму можно разделить на компоненту с большой подвижностью (электроны) и на компоненту с большой инерцией (ионы, нейтральные атомы). Если представить электроны гидродинамической компонентой, а ионы моделировать кинетически, то, возможно, проследить низкочастотные колебания плазмы. Этот метод расчета известен как "гибридное моделирование". В нем интегрирование проводится по "медленному" характерному времени тяжелых частиц.
Интегральные характеристики холловского двигателя
Ток пучка ионов, вылетающих из ХД, есть ток ионов, образовавшийся в результате ионизации, минус потери тока ионов на аноде, на объемную рекомбинацию, рекомбинацию на стенках и т.д.: где Ju - ток ионизации, J„+ - ток пучка ионов, Jcm+ и JpeK+ - потери ионов на стенках и в результате объемной рекомбинации.
В стационарном состоянии за период времени больше нескольких периодов ионизационных колебаний, потери ионов и электронов на стенках и в результате объемной рекомбинации равны друг другу. Также в стационарном состоянии поток электронов, покидающих область моделирования через свободные границы, анод и посредством рекомбинации должен быть равен току электронов, возникающему вследствие ионизации J/ и поступающему с катода в канал ХД: где Jem и JpeK - потери электронов на стенках и в результате объемной рекомбинации. Таким образом, мы приходим к следующему выражению: Оно показывает, что суммарный ток заряженных частиц на анод, равен току пучка ионов, покидающих ХД, плюс ток электронов с катода, необходимому для поддержания разряда, т.е.
Суммарная мощность, требуемая для поддержания разряда ХД, складывается из мощности, вкладываемой в магнитную систему, мощности разряда и мощности, теряемой в катоде-компенсаторе: N = NP + NM+NK. (2.3.1) Напряжение разряда приложено между анодом и катодом, обычно находящимся под плавающим потенциалом, который в стационарном состоянии работы ХД составляет отрицательную величину относительно заземленных стенок вакуумной камеры. Мощность разряда определяется произведением напряжения разряда и суммарного тока заряженных частиц, поступающих на анод (тока разряда):
Тяга ракетных двигателей определяется произведением массы, вылетающих частиц в единицу времени твых, на их среднюю скорость v [44]:
Удельный импульс ХД принято выражать в секундах. Он прямо пропорционален средней скорости вылетающих из ХД частиц: где g - ускорение свободного падения.
В ХД скорость истечения нейтралов много меньше скорости ускоренных ионов. Таким образом, вкладом нейтрального газа в тягу ХД обычно пренеб-регается. Тяга в этом случае выражается следующим образом:
Коэффициент полезного действия (КПД) ХД выражается через тягу R, вкладываемую мощность N и массовый расход нейтрального газа в ХД т [43, 45]:
Различают полный и анодный КПД ХД. В полном КПД учитывается расход нейтрального газа, как через анод, так и через катод, а также полная вкладываемая в ХД мощность - (2.3.1). Анодный КПД включает расход нейтрального газа только через анод, а мощность принимается равной мощности разряда Л - (2.3.2). С точки зрения анализа полученных решений в дальнейшем будет использоваться именно анодный КПД.
Плазма представляет собой полностью или частично ионизированный газ, который может рассматриваться как совокупность положительных ионов и отрицательных электронов, взаимодействующих посредством самосогласованных электрического и магнитного полей (Е и В). Поля связаны с плотностью заряда р и плотностью тока j уравнениями Максвелла. Для вакуума имеем:
В электростатическом приближении в плазме рассматриваются высокие частоты и малые пространственные масштабы порядка дебаевской длины. В этом случае появляется разделение зарядов, и правая часть уравнения divE = piе0 сохраняется. Предполагается, что магнитное поле холловского тока электронов j = jH мало по сравнению с внешним магнитным полем, создаваемым магнитной системой ХД. Следовательно, током смещения и нестационарными членами в правой части уравнений можно пренебречь. В этом приближении уравнения (2.4.1) приобретают вид
В модели учитываются столкновения частиц плазмы между собой. При помощи столкновений описываются процессы ионизации нейтральных атомов и ионов, рекомбинации ионов, кулоновские взаимодействия и т.д.
В плазме ХД длины свободного пробега частиц велики по сравнению с размерами области моделирования, т.е. столкновения частиц достаточно редки. Это позволяет решать кинетические уравнения в приближении Власова, т.е. когда в среднем действие на частицу суммарной силы со стороны коллектива окружающих ее частиц превосходит взаимодействие частицы с ближайшими соседями. Столкновения же между частицами моделируются отдельно, при помощи одного из методов статистических испытаний - метода Монте-Карло.
Метод статистических испытаний является особым методом решения задач переноса частиц в среде, так как по известным сечениям различных процессов позволяет моделировать случайные процессы в среде, а также траектории в среднем очень близкие к реальным
Интегрирование уравнений движения частиц
Граничные условия для потенциала На границах области моделирования для потенциала могут быть использованы граничные условия Дирихле и Неймана, т.е. значение потенциала и значение его производной - электрического поля. На границе, совпадающей с анодом, задается потенциал анода относительно земли, потенциал на металлических стенках канала является плавающим и определяется в процессе решения по суммарному накопленному заряду. Согласно зондовым измерениям, на границах, входящих в катодную плазму задается потенциал близкий к экспериментально измеренному потенциалу катода относительно земли [35, 40]. На диэлектрических стенках считается, что нормальная составляющая электрического поля равна нулю. На границе, совпадающей с осью симметрии, считается, что Ег= 0.
Моделирование катодной плазмы
Основным вопросом при моделировании катодной плазмы является обеспечение «подачи» в область решения необходимого для поддержания разряда количества электронов. Как было показано в разделе 2.2, на периодах времени много больших чем щ! , имеет место баланс потоков ионов, покидающих ХД и электронов, составляющих ток разряда. Для численной реализации данного подхода необходимо на каждом шаге времени для электронов обеспечить «подачу» через свободную границу области решения, поток электронов, определяемый выражением 2.2.5. Однако, как показали расчеты, поддержание баланса потоков на каждом временном шаге приводит к возникновению аномально больших колебаний тока разряда и сильной неоднородности плотности плазмы в процессе решения. Действительно, в начальный момент зажигания разряда, когда происходит выгорание избыточного количества нейтралов, значения тока разряда нередко превышает номинальное в 5-10 раз. Создание таких величин потоков электронов из катодной плазмы приводит к образованию высокой концентрации плазмы и затруднению дрейфа электронов на анод в силу быстрого выгорания нейтралов. Решение в таких случаях практически всегда расходится.
Поэтому для описания катодной плазмы была использована модель, основывающаяся на обеспечении квазинейтральности границ области катодной плазмы [7]. На каждом шаге итераций на границе области решения, совпадающей с катодной плазмой, загружается необходимое число электронов для поддержания квазинейтральности - Xne = Ей,-. Если имеется избыток электронов 1ме їм І , то электроны не загружаются. Место положение загружаемых электронов определяется случайно, а их температура Te.cal задается как параметр решения. Считается, что Те.тт 2 эВ [40]. Количество загружаемых электронов приводится к потоку и сохраняется в процессе решения. Было найдено, что в данной модели ток электронов с катода соответствовал току разряда.
В численном алгоритме модели для решения системы кинетических уравнений 2.6.1-2.6.3 используется метод частиц, реализованный при помощи модели частица-сетка.
В методе частиц компоненты плазмы моделируются системой ограниченного числа частиц. Каждая частица представляет совокупность нейтральных атомов, ионов или электронов (их число варьируется в зависимости от параметров задачи и обычно составляет 106-1010 штук). В процессе решения отслеживаются траектории движения отдельных макрочастиц и их действие друг на друга посредством самосогласованного поля. В модели частица-сетка плотности макрочастиц раздаются в узлы вычислительной сетки согласно методологии, описанной ниже. Силы, действующие на частицы, рассчитываются по характеристикам поля, определяемым из решения уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла решаются по найденным ранее сеточным распределениям плотности заряда. Зная на каждом временном шаге координаты и скорости частиц, можно восстановить ФРЭ компонент плазмы.
Комплексное тестирование алгоритма
В большинстве случаев для запуска ХД требуется кратковременно снизить напряженность магнитного поля в канале, путем отключения магнитной системы. В этом случае электроны, под действием электрического поля, свободно проникают в ускоряющий канал, где ионизируют нейтральный газ. При этом ток разряда может превышать номинальный в несколько раз. При включении магнитной системы ХД переходит в номинальный режим работы. Зажигание разряда в ХД является переходным процессом с ярко-выраженным всплеском тока разряда в начальный момент времени.
С точки зрения численного моделирования, запуск ХД можно представить как 1) установление течения нейтрального газа, когда достигается баланс числа инжектируемых нейтралов и нейтралов, покидающих область моделирования через свободные границы, 2) поджег разряда. Для моделирования "зажигания" разряда с отключением магнитной системы, в область моделирования при наличии магнитного поля загружается плазма с максвеллов-ским распределением по скоростям с температурой, задаваемой как параметр решения в пределах от 20 до 50 эВ. Таким способом моделируется момент включения магнитного поля после того, как электроны из катодной плазмы попали в ускоряющий канал ХД.
В первые десять микросекунд имеет место всплеск тока разряда. Плотность плазмы в максимуме тока разряда может достигать значений до 10"19л "3. При этом число частиц в области решения достигает 200-400 тысяч. Затраты по времени на преодоление максимума тока разряда оказываются сопоставимы со временем расчета после его прохождения. Для того чтобы ускорить вычисления, перед загрузкой начального распределения плазмы, часть нейтральных атомов уничтожается для моделирования выгорания нейтрального газа вследствие ионизации с постоянной частотой в объеме. Задав коэффициент использования рабочего тела or и область ионизации можно по лучить экспоненциальный закон падения концентрации нейтрального газа в области решения где п0 концентрация нейтрального газа в точке z0 начала ионизации, L - протяженность зоны ионизации.
Зная распределение концентрации нейтрального газа после ионизации, найденное по формуле (3.10.1) и начальное значение концентрации, определяется, какое количество макрочастиц необходимо удалить в каждой ячейке. Далее путем случайной выборки нейтральные частицы уничтожаются.
Численный алгоритм решения кинетической модели плазмы является достаточно сложным и структурированным. Для обеспечения корректности и правильности вычислений необходимо провести тестирование как каждой составляющей алгоритма на простых задачах, так и комплексное тестирование алгоритма, включающее проверку общей концепции модели и взаимодействия многих частей алгоритма.
Количество минимумов и максимумов задается соотношением п и L, а абсолютное значение функции определяется константами при тригонометрических функциях.
Положим функцию F равной электрическому потенциалу F=(p. Тогда выражение (4.1.2) представляет правую часть уравнения Пуассона, а выражение (4.1.1) есть точное решение уравнения Пуассона. Таким образом, можно сравнить значения аналитической функции со значениями потенциала, найденными в результате численного решения. На рисунке 4.1.1 показано значение аналитической функции, а на рисунке 4.1.2 значения потенциала найденные из численного решения на сетке 59x50 узлов. На рисунке 4.1.3 показана нормированная разность между точным и численным решениями. Из рисунка видно, что ошибка не превышает 4% во всей области решения. В ходе тестирования оказалось, что ошибка уменьшается вместе с уменьшением шага сетки
На рисунке 4.1.4 показана нормированная разность между точным и численным решениями. Из рисунка видно, что внутри области моделирования ошибка не превышает четырех процентов во всей области решения, тогда как на границах области моделирования ошибка может достигать 10 — 12%. Большее значение ошибки относится на счет использования одностороннего шаблона для нахождения производной на границе, тогда как внутри области используется центрально-разностный шаблон.
Для указанных выше электрического и магнитного полей радиус Лармо-ра электрона составляет гі 1.1371 мм. Радиус орбиты, полученный в результате численного моделирования, оказался равным rL = 1.14 мм.
Важным с точки зрения моделирования является сохранение магнитного момента при движении электрона в магнитном поле ХД в отсутствии электрического поля. Сохранение магнитного момента лежит в основе такого важного явления, как эффект запирания электрона в магнитной ловушке. Известно, что при движении электрона в магнитном поле при выполнении условия divB = О сохраняется соотношение J = v\ I j В \, где v± - компонента скорости перпендикулярная вектору магнитного поля. В точках разворота продольная составляющая скорости электрона стремится к нулю. При этом в точках разворота электрона должны совпадать значения поперечной скорости электрона и, следовательно, значения напряженности магнитного поля. На рисунке 4.1.6 показана траектория движения электрона в магнитном поле ХД КМ-37. На рисунке 4.1.7 показано значение напряженности магнитного поля в каждой точке движения электрона. На рисунке 4.1.6 хорошо видны точки разворота электрона. Им соответствуют максимумы напряженности магнитного поля на рисунке 4.1.7. Легко видеть, что средние значения напряженности магнитного поля в точках разворота электрона совпадают с хорошей точностью,
В данной модели подпрограмма интегрирования уравнений движения методом "leap-frog" используется как для электронов, так и для ионов и нейтралов. Будучи протестирована для электронов, она может быть использована для решения уравнений движения для ионов и нейтралов.
