Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА І. Модели тяжелого газа 9
1.1. Характеристики атмосферы, влияющие на движение тяжелого газа 9
1.1.1. Характеристики турбулентной атмосферы 10
1.1.2. Приземной слой атмосферы 22
1.2. Основные уравнения переноса и диффузии тяжелого газа 29
1.2.1. Простейшие модели и аналитические решения 29
1.2.2. Приближение Буссинеска 39
1.3. Методы решения задачи о движении тяжелого газа 46
1.3.1. Бокс-модели 48
1.3.2. Теория «мелкой воды» 51
1.3.3. Методы расщепления 53
ГЛАВА II. Математическая модель движения тяжелого газа 60
2.1. Математическая модель 61
2.1.1. Уравнения газовой динамики 61
2.1.2. Приближение Буссинеска для турбулентного движения газа
2.1.3. Уравнение турбулентного переноса
2.1.4. Влияние растительности на движение тяжелого газа 68
2.2. Численное решение уравнений на основе метода крупных частиц 71
2.2.1. Применение метода крупных частиц для решения задачи движения тяжелого газа 74
2.2.2. Адекватность и устойчивость метода 83
2.2.3. Постановка граничных условий 90
2.2.4. Численная модель с учетом турбулентной вязкости и турбулентной диффузии 93
ГЛАВА III. Результаты численного исследования движения тяжелого газа 97
3.1. Верификация модели 97
3.1.1. Сравнение с экспериментальными данными 97
3.1.2. Сравнение с численными расчетами 103
3.2. Задача растекания тяжелого газа вдоль земной поверхности по трехмерным уравнениям движения методом крупных частиц 104
3.2.1. Постановка задачи 104
3.2.2. Результаты расчетов 105
3.3. Движение тяжелого газа в штиль при наличии наземных объектов 115
3.3.1. Постановка задачи 115
3.3.2. Результаты расчетов , 116
Заключение 134
Литература 136
- Простейшие модели и аналитические решения
- Приближение Буссинеска для турбулентного движения газа
- Применение метода крупных частиц для решения задачи движения тяжелого газа
- Задача растекания тяжелого газа вдоль земной поверхности по трехмерным уравнениям движения методом крупных частиц
Введение к работе
Актуальность проблемы. При авариях на промышленных объектах нередки случаи выбросов токсичных газов. Многие химические соединения, используемые в промышленности, хранятся под высоким давлением и при низкой температуре для уменьшения удельного объема. При разрушении резервуара или трубопровода происходит образование облака тяжелого газа, которое затем распространяется по поверхности земли. В связи с этим особенно актуально создание математических моделей распространения таких выбросов в условиях, близких к реальным промышленным площадкам и жилым массивам.
Тяжелый газ, представляющий собой смесь выбросов с атмосферой, количественно определяется критерием Ричардсона Ш > 10 [45, 57]. К тяжелым газам можно отнести холодный воздух, охлажденные газы, образующиеся при кипении криогенных жидкостей, взвесь аэрозолей или твердых частиц в воздухе, а также газы, молярная масса которых больше молярной массы воздуха
Vg > AV
Движение примесей в атмосфере, в том числе, тяжелого газа, происходит на фоне ряда явлений, которые приводят к сложным моделям. К ним относятся явления турбулентного переноса (диффузия, вязкость, теплопроводность), фазовые переходы (конденсация, испарение, кристаллизация), химические превращения.
В настоящее время существуют модели [52, 55, 96], адекватно описывающие эти эффекты. Также существуют достаточно полные модели движения капельных и пылевых облаков под действием сильных возмущений газа [26, 27, 49, 94]. Но включение всех этих факторов в модель движения тяжелого газа приводит к численной схеме, которая не может быть реализована с достаточной точностью на персональных компьютерах (ПК).
В тоже время движение тяжелого газа обладает рядом свойств, которые позволяют упростить модель движения примесей в атмосфере. Во-первых, тяжелый газ распространяется преимущественно вдоль подстилающей поверхности. Во-вторых, из-за значительной разницы плотностей газа и атмосферы, рас-
плывание облака происходит относительно быстро (в течении нескольких десятков секунд и минут). Эти факторы позволяют рассматривать облако тяжелого газа как единое целое, на которое действует внешние силы, что, приводит к упрощению модели.
К таким относительно простым моделям относятся бокс-модели (box-models) [88, 98, 101, 103, 104 и др.], гидростатические модели [2, 24, 90], а также модели, основанные на решении обобщенного уравнения переноса [50, 51].
Численная реализация задачи движения тяжелого газа на основе таких моделей с достаточной точностью возможна и на ПК, даже в трехмерной постановке. Развитие численных методов, с одной стороны, и возможности современных ПК, с другой, позволяют решать задачи движения тяжелого газа на основе уравнений газовой динамики, которые используются в сложных моделях.
Целью работы является решение задачи движения тяжелого газа вдоль подстилающей поверхности методом крупных частиц.
Научная новизна. Автором была:
реализована математическая модель движения тяжелого газа с учетом силы плавучести, турбулентной вязкости, турбулентной диффузии, а также с учетом наличия флоры;
смоделирован реальный физический эксперимент для проверки адекватности модели;
решены задачи движения тяжелого газа: вдоль горизонтальной подстилающей поверхности в открытой местности, при наличии препятствий в виде наземного строения, искусственного рва и лесополосы.
Достоверность. Достоверность результатов диссертации основана на корректном применении основных уравнений механики сплошных сред, на проведении тестовых расчетов и сравнении результатов расчетов с экспериментальными данными, а также с результатами расчетов других авторов.
Практическая значимость результатов работы.
Численное решение задачи движения тяжелого газа, на конкретном промышленном объекте, позволяет определить положение облака тяжелого газа, скорость распространения фронта облака, а также значения параметров, описывающих тяжелый газ, в любой точке расчетной области. Данная работа может быть использована для прогнозирования и оценки последствий, наносимых природе и человеку аварийными или техническими выбросами тяжелых газов в атмосферу, а также для определения практических мер защиты местности от воздействия тяжелого газа.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и научных школах:
Вторая Всероссийская научная конференция «ЭВТ в обучении и моделировании» (г. Бирск, 9-10 июня 2001 г.);
Международная конференция «Моделирование, базы данных и информационные системы для атмосферных наук» (г. Иркутск, 25-29 июня, 2001 г.)
XVI сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды (г. Казань, 27 июня - 3 июля 2002 г.)
Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов, молодых ученых по физике и математике (г. Уфа, БГУ, 2002 г.)
Международная научная конференция «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы» (г. Стерлитамак, 24—28 июня 2003 г.)
Третья Всероссийская научно-теоретическая конференция «ЭВТ в обучении и моделировании» (г. Бирск, 21-22 мая 2004 г.)
Международная конференция по измерениям, моделированию и информационным системам для изучения окружающей среды, ENVIROMIS-2004 (г. Томск, 16-22 июля, 2004 г.)
Кроме того, результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры ПММ СГПА под руководством член-корреспондента АН РБ В.Ш. Шага-пова.
7 Публикации, Основной материал диссертации опубликован в 11 работах.
Баянов И.М., Мухаметшин СМ., Гильмуллин М.З. Движение тяжелого смога вдоль подстилающей поверхности // Вопросы математического моделирования и механики сплошной среды: сб. науч. трудов. Под ред. СМ. Усманова - Бирск: БирГПИ, 2001 г. Вып. 5. С 78.
Баянов И.М., Мухаметшин СМ., Гильмуллин М.З. Движение тяжелого смога вдоль подстилающей поверхности произвольной формы // Материалы второй Всероссийской научно-теоретической конференции «ЭВТ в обучении и моделировании». Часть 1. г. Бирск, 9—10 июня 2001 г. С. 8.
Баянов И.М., Мухаметшин СМ., Гильмуллин М.З. Движение тяжелого смога вдоль подстилающей поверхности // Материалы Международной конференции «Моделирование, базы данных и информационные системы для атмосферных наук», г. Иркутск, 25-29 июня, 2001 г. С 28.
Баянов И.М., Гильмуллин М.З. Вычислительный эксперимент как метод изучения явлений в механике сплошных сред // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Методология и методика преподавания основ наук в современных условиях», г. Бирск, 14-15 июня 2002 г., ч.П. С 87-88.
Баянов И.М., Гильмуллин М.З. Численное моделирование движения тяжелого газа методом крупных частиц // Материалы XVI сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды, г, Казань, 27 июня - 3 июля 2002 г., Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского. Т, 16. Модели механики сплошной среды. — Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2002 г. С. 101-104,
Гильмуллин М.З. Численное моделирование движения тяжелого газа методом крупных частиц // Материалы региональной школы-конференции для студентов, аспирантов, молодых ученых по физике и математике, г. Уфа, БГУ, 2002 г., С. 51-55.
Баянов И.М., Гильмуллин М.З., Шагапов В.Ш. Расчет растекания тяжелого газа вдоль земной поверхности по трехмерной модели // Прикладная механика и техническая физика, 2003 г., Т. 44, №6, С. 130-139.
Баянов И.М., Гильмуллин М.З. Движение тяжелого газа при наличии земных объектов // Труды международной научной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы», Т. 3, г. Стерлитамак, 24-28 июня 2003 г., С. 34-38.
Баянов И.М., Гильмуллин М.З., Шагапов В.Ш. Расчет растекания тяжелого газа вдоль земной поверхности по трехмерным уравнениям методом крупных частиц // Вестник БирГГШ. Под ред. СМ. Усманова, вып. 1, Бирск, 2003 г. С. 53-58.
-— Баянов И.М., Гильмуллин М.З., Шагапов В.Ш. Движение тяжелого газа в штиль при наличии препятствий // Материалы третьей Всероссийской научно-теоретической конференции «ЭВТ в обучении и моделировании». Часть 1. г. Бирск, 21-22 мая 2004 г. С. 18.
— Баянов И.М., Гильмуллин М.З. Численное решение задачи защиты местно
сти от облака тяжелого газа с помощью наземных объектов и флоры // Ма
териалы Международной конференции по измерениям, моделированию и
информационным системам для изучения окружающей среды, ENVI-
ROMIS-2004. г. Томск, 16-22 июля, 2004 г. С. 73.
Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы.
Объем диссертации составляет 145 страниц, включая 38 рисунков, 6 таблиц и список литературы, состоящий из 105 наименования.
Простейшие модели и аналитические решения
Оценка числа Рейнольдса для атмосферных движений показывает, что подавляющая часть их носит турбулентный характер, за исключением движений в очень тонком слое воздуха (толщиной в несколько миллиметров), непосредственно прилегающем к земной поверхности (так называемый вязкий подслой). Однако степень развития турбулентного обмена может быть самой различной. Об этом можно судить хотя бы по наблюдениям за распространением дыма, выходящего из печных, фабричных и заводских труб. Характер струй дыма, выходящих из фабричных труб при разной степени турбулентности атмосферы, иллюстрируется рис. 1.1.
При малых скоростях ветра и при инверсионной стратификации в нижнем слое атмосферы (например, при безоблачной погоде ночью или сильных морозах зимой в течение суток) дым распространяется в виде тонкой струи на значительное расстояние. При большой скорости ветра струя дыма приобретает извилистый характер, а при сильной термической неустойчивости струя разбивается на отдельные части. При турбулентном режиме движения скорость ветра, температура и другие метеорологические величины испытывают беспорядочные, быстро меняющиеся во времени колебания. Но наряду с хаотическим движением все частицы воздуха имеют некоторую среднюю скорость переноса.
Благодаря этому мгновенная скорость v движения воздушной частицы может быть представлена в виде суммы где vcp — средняя скорость движения, определенная путем осреднения за некоторый промежуток времени или по некоторому достаточно большому объему воздуха; v — отклонение мгновенной скорости от средней, или пульсация скорости. В виде таких же сумм (но уже скалярных) представляются мгновенные значения других метеорологических величин.
В слоях атмосферы, где температура, плотность и скорость ветра изменяются с высотой (наблюдается расслоенность по вертикали), число Рейнольдса уже не может служить единственной характеристикой турбулентного состояния среды. Одной из величин, от которых зависит движение частиц по вертикали, является вертикальный градиент температуры 7- Более общая теория турбулентности позволяет установить, что о развитии турбулентности в атмосфере можно судить по другому безразмерному параметру — числу Ричардсона Ri. Простейшие характеристики турбулентности
В состав атмосферного воздуха входят переменные части (водяной пар, углекислый газ и озон) и всевозможные атмосферные примеси, представляющие собой мельчайшие твердые и жидкие частицы. Назовем удельным содержанием 5 примеси массу ее в единице массы воздуха. Применительно к водяному пару s представляет собой удельную влажность. Наблюдения показывают, что удельное содержание примесей изменяется в атмосфере в широких пределах как во времени, так и в пространстве (при переходе из одной точки в другую). Удельное содержание s изменяется с увеличением высоты (как правило, падает), а также в горизонтальном направлении (концентрация твердых примесей в загородной местности, например, значительно меньше, чем в городе). В процессе турбулентного перемешивания происходит перемещение отдельных частиц (масс) воздуха из одной точки в другую как по вертикали, так и по горизонтали. Отдельную воздушную частицу, участвующую в турбулентном перемешивании, принято называть турбулентным молем. Турбулентные моли отрываются от общего потока в одной точке, перемещаются на некоторое расстояние и смешиваются с потоком в другой точке пространства. В реальных условиях процесс смешения турбулентных молей происходит непрерывно: оторвавшаяся от общего потока воздушная частица постепенно начинает смешиваться с окружающим воздухом. Для целей теоретического изучения сложного процесса турбулентного перемешивания вводится понятие о так называемом пути смешения I, представляющем собой расстояние, на которое перемещается турбулентный моль от момента зарождения до полного смешения с воздушным потоком.
При своем перемещении турбулентные моли переносят водяной пар, атмосферные примеси и другие физические свойства воздуха (теплосодержание, количество движения).
Если содержание примесей изменяется в пространстве, то под влиянием турбулентного перемешивания происходит процесс выравнивания содержания, т.е. оно увеличивается в тех областях, где примесей меньше, и убывает в областях с повышенными значениями удельного содержания.
Рассмотрим перемешивание в вертикальном направлении. Выделим в атмосфере два каких-либо произвольных (но близко расположенных) уровня z и z + Az. Средние значения удельного содержания примеси на уровнях z и z + Az обозначим через s и s + As соответственно (осреднение произведено по достаточно большой горизонтальной площади). В реальных условиях атмосферы наиболее часто наблюдается случай, когда As 0 (т.е. s + As s), хотя в отдельных слоях в определенные промежутки времени возможно и возрастание удельного содержания с высотой (As 0).
Турбулентное перемешивание ведет к выравниванию содержания. Если As 0, то удельное содержание будет возрастать на верхнем уровне z 4- Az и убывать на нижнем уровне z, т.е. возникает поток примеси или водяного пара. Обозначим через Q массу примеси или водяного пара (в килограммах), которая в процессе турбулентного перемешивания переносится в единицу времени (1 с) через 1 м2 горизонтальной поверхности, расположенной между уровнями гиг + Дг. Величина Q носит название турбулентного потока примеси, водяного пара или какого-либо другого физического свойства, переносимого турбулентными молями.
Из физических представлений очевидно, что турбулентный поток должен быть пропорционален разности удельных содержаний на уровнях z и z + Az, отнесенной к единице расстояния между уровнями, т.е. AsIAz. Если коэффициент пропорциональности обозначить через Л, то формулу для потока Q можно записать в виде
Приближение Буссинеска для турбулентного движения газа
Турбулентное перемешивание ведет к выравниванию содержания. Если As 0, то удельное содержание будет возрастать на верхнем уровне z 4- Az и убывать на нижнем уровне z, т.е. возникает поток примеси или водяного пара. Обозначим через Q массу примеси или водяного пара (в килограммах), которая в процессе турбулентного перемешивания переносится в единицу времени (1 с) через 1 м2 горизонтальной поверхности, расположенной между уровнями гиг + Дг.
Величина Q носит название турбулентного потока примеси, водяного пара или какого-либо другого физического свойства, переносимого турбулентными молями. Из физических представлений очевидно, что турбулентный поток должен быть пропорционален разности удельных содержаний на уровнях z и z + Az, отнесенной к единице расстояния между уровнями, т.е. AsIAz. Если коэффициент пропорциональности обозначить через Л, то формулу для потока Q можно записать в виде Коэффициент пропорциональности А в формуле (1.23) носит название коэффициента турбулентного обмена или коэффициента перемешивания. Если в формуле (1.23) перейти к пределу, то получим Здесь — Hm AsjAz = -dsldz — вертикальный градиент удельного со-держания. Вертикальный градиент —dsldz, а вместе с этим и поток Q положительны (направлены вверх), если s убывает с высотой (As 0), и отрицательны (направлены вниз), если s растет с высотой (As 0). Коэффициент турбулентного обмена А равен потоку примеси (или водяного пара) при условии, что вертикальный градиент ее содержания равен единице, . Так как единицей потока Q служит кг/(м2 с), а вертикального градиента удельного содержания —dsidz — м"1, то, согласно (1.24), единицей коэффициента турбулентного обмена А является кг/см -о. Наряду с коэффициентом турбулентного обмена введем понятие о коэффициенте турбулентности к. Коэффициент турбулентности представляет собой отношение Единица коэффициента турбулентности — м2/с. Коэффициенты А и к в условиях атмосферы подвержены значительным изменениям как во времени, так и в пространстве. Они зависят от вертикального градиента скорости ветра, термической устойчивости атмосферы, свойств земной поверхности (ее шероховатости, термической неоднородности) и др. Коэффициенты турбулентного обмена и турбулентности непосредственно связаны с пульсациями скорости ветра. В свою очередь пульсации скорости ветра определяют путь смешения I. Из физических представлений очевидно, что путь смешения по вертикали вблизи земной поверхности не может быть большим; во всяком случае, он не может превышать расстояние от земной поверхности до уровня, где зарождается турбулентный моль, т.е. высоты z. Это совершенно очевидно в отношении частиц, перемещающихся сверху вниз, поскольку земная поверхность препятствует дальнейшему движению частицы. Но так как масса воздуха, переносимая в процессе турбулентного обмена через некоторую поверхность снизу вверх и сверху вниз, должна быть за промежуток осреднения одной и той же (это утверждение является одним из основных постулатов турбулентного обмена), то в среднем турбулентные моли могут смещаться вверх на такое же расстояние, что и при движении вниз. По мере увеличения высоты над земной поверхностью турбулентные моли приобретают возможность перемещаться по вертикали на большие расстояния, чем на более низких уровнях. Из этих рассуждений следует, что путь смешения, а вместе с ним коэффициенты А и к с увеличением высоты над земной поверхностью должны возрастать. Наиболее простое допущение, которое можно сделать в отношении неизвестной функции, это предположение об ее линейной зависимости от независимой переменной. В данном случае путь смешения I и коэффициент турбулентности к представим, как это впервые сделал немецкий ученый Л. Прандтль, в виде Здесь z0 — так называемый параметр шероховатости земной поверхности; ко - значение к при z = 0; а — постоянная, определяющая скорость роста к с высотой (практически она равна значению к на высоте zx = 1 м: кх = / + а РМ а, поскольку к0 мало по сравнению с а); = 0,38 — безразмерная постоянная, опытным путем определенная немецким ученым Т. Карманом; она носит название постоянной Кармана.
Слой атмосферы, в котором коэффициент турбулентности при любых условиях растет с высотой, называют приземным слоем. Его высота h изменяется от 10 — 20 до 200 - 250 м (наиболее часто от 50 до 100 м). Значения коэффициента турбулентности kh на верхней границе приземного слоя в зависимости от термической устойчивости, скорости ветра и шероховатости земной поверхности колеблются от десятых долей до нескольких десятков м1 /с.
Применение метода крупных частиц для решения задачи движения тяжелого газа
Члены с (/s и У? в уравнениях (1.104) и (1.105) описывают влияние крупномасштабных сил на движение жидкости. Широта tp обычно принимается постоянной. Первый и последний члены в равенстве (1.106) имеют порядок 10 3 м с"1, поэтому ими можно пренебречь по сравнению со вторым и третьим членами и, таким образом, получить уравнение гидростатики (1.85).
Уравнение (1.99) также упрощается: В основной части пограничного слоя член в левой части равенства имеет порядок 10 3 С с"1, а член в правой части — порядок 10 9 С с"1, поэтому пренебрегая этим малым членом, можно считать, что поток тепла uj) постоянен по высоте. (На самом деле порядок величины членов в равенстве (1.108) должен быть одинаков, иначе бы это равенство не выполнялось. Для доказательства возможности существования слоя с постоянными по высоте турбулентными потоками проинтегрируем (1.108) по z: Оценки показывают, что интеграл в правой части при относительно небольших значениях z может стать много меньше каждого из членов в левой части равенства. Пренебрегая этим интегралом, можно записать, что В действительности стационарно состояние не может поддерживаться, если поток тепла распределен в слое конечной толщины, поэтому более правильно представить (1.108) в виде: Аналогичное равенство может быть записано для любой переносимой субстанции при отсутствии ее источников и стоков: В предыдущем параграфе рассматривались математические модели движения тяжелого газа на основе уравнений газовой динамики. Наряду с этими моделями существует ряд моделей, основанных на эмпирических методах описания движения облака тяжелого газа. В этом параграфе рассмотрены модели тяжелого газа по мере возрастания их сложности их численного расчета. К наиболее простым относятся модели на основе обыкновенных дифференциальных уравнений и на основе теории «мелкой воды», В литературе предлагается целый ряд методов моделирования движения тяжелого газа на основе обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных эмпирически. К таким методам относятся бокс-модели (модель «ящика»): HEGADAS [104], DEGADIS [101], SLAM [88], DRJFT [103], GReAT [98]. В этих работах облако газа представляется в виде «ящика» цилиндрической или прямоугольной формы. Неизвестными величинами, которые рассчитываются при решении уравнений, являются размеры облака, координаты центра облака, скорость фронта облака, скорость поглощения облаком окружающего воздуха и энтальпия тяжелого газа. Эти уравнения достаточно просто решаются обычными численными методами (например, метод Эйлера). К недостаткам этих методов можно отнести достаточно большое количество эмпирических параметров, которые определяются из эксперимента, и поэтому полученные результаты трудно обобщить на другие условия распространения тяжелого газа. Ряд работ посвящен моделированию движения тяжелого газа на основе теории «мелкой воды» [2, 24, 60, 71, 72, 90]. В этих моделях облако представляется в виде несжимаемой жидкости, давление в которой подчиняется гидростатическим законам. Преимуществом гидростатических моделей является достаточно простая математическая и численная реализация, позволяющая быстро получать решения без больших вычислительных затрат. При использовании эмпирических параметров, полученных из физического эксперимента, расчеты на основе этих моделей дают достаточно точные и адекватные результаты. Численные методы решения уравнений газовой динамики являются более сложными в реализации, но позволяют учесть большее количество факторов, влияющих на движение тяжелого газа [18, 48, 56, 61, 62, 87]. В то же время эти методы реализуемы на персональных компьютерах и позволяют «предсказать» поведение облака тяжелого газа в условиях, достаточно близких к реальности. Дальнейшее усложнение модели тяжелого газа с учетом метеорологических параметров атмосферы (влажность, конденсация, стратификация ветра, температуры и т.д.) приводит к методу крупномасштабной турбулентности (LES-метод) [55, 86, 96]. Эти модели включают в себя уравнения Навье-Стокса, уравнения теплопроводности, и целый ряд других уравнений связанных с метеорологическими параметрами атмосферы (например, уравнение влажности). Поэтому они достаточно громоздкие и для их численного расчета требуются суперкомпьютеры.
Задача растекания тяжелого газа вдоль земной поверхности по трехмерным уравнениям движения методом крупных частиц
В задачах, имеющих две пространственные переменные, использование лагранжевых координат встречает определенные трудности, связанные с наличием областей «плохого» определения — лагранжевы расчеты обладают высокой точностью до тех пор, пока аппроксимирующая сетка остается достаточно правильной. Там, где появляются сильные деформации и большие относительные перемещения жидкости, имеет место заметное искажение расчетной сетки, и вычисления становятся весьма затруднительными и неточными.
Переменные Эйлера удобны тем, что они используют неподвижную (обычно прямолинейную) расчетную сетку. Здесь координаты отвечают уже фиксированным точкам (ячейкам) в пространстве, и рассматривается течение жидкости через эти ячейки. При этом вводятся некоторые вспомогательные линии, аппроксимирующие границу рассчитываемой области и жидкие поверхности. Численные схемы в эйлеровых сетках, вообще говоря, не столь точны по сравнению с лагранжевыми, так как здесь могут образоваться нерегулярные (зависящие от времени) граничные ячейки; возникают внешние для рассматриваемой области узлы сетки и т.п. Это особенно относится к задачам, где имеются поверхности раздела сред (может возникнуть диффузия с физически нереальными скоростями) или когда требуется определить малые изменения параметров при течении жидкости в больших объемах и т.п. Однако переменные Эйлера более удобны, на наш взгляд, при изучении трехмерных (по пространству) задач математической физики [5, 6,13 и другие).
В ряде случаев для многомерных задач нестационарной гидродинамики целесообразно использовать совместное эйлерово-лагранжево представление. Например, можно полагать одно (эйлерово) семейство координатных линий неподвижным, а другое (лагранжево) — связанным с фиксированными слоями газа или разделить рассматриваемую область естественным путем на подобласти, которые бы наилучшим образом аппроксимировались чисто лагранжевой или чисто эйлеровой расчетными сетками [46, 59, 69, 74 и др.].
Ф. Харлоу [70, 89] и др. предложили в 1955 г. оригинальный численный метод частиц в ячейках для расчета нестационарных задач гидродинамики. Отметим здесь наиболее существенные, с нашей точки зрения, моменты этого подхода. а) Дискретное представление среды. В методе частиц в ячейках сплошная среда трактуется дискретным образом и представляется как некая совокупность (ансамбль) частиц фиксированной массы, которые движутся из ячейки в ячейку в неподвижной сетке координат. При этом масса, импульс и энергия каждой частицы вычитаются из соответствующих величин прежней ячейки (откуда частица ушла) и прибавляются к значениям в новой ячейке, куда частица пере местилась. Плотность в каждой ячейке здесь определяется как частное от деле ния общей массы всех частиц этой ячейки на ее объем (площадь - в двумерном случае), и, таким образом, закон сохранения массы всегда удовлетворяется при этом автоматически с определенной точностью. б) Эйлерово-лагранжево представление. По существу, указанный подход использует совместное эйлерово-лагранжево представление. Область решения здесь разбивается неподвижной, фиксированной по пространству (эйлеровой) расчетной сеткой, а сплошная среда трактуется дискретной моделью — рассмат ривается совокупность частиц фиксированной массы (лагранжева сетка час тиц), которые движутся через эйлерову сетку ячеек. Частицы служат для опре деления параметров самой жидкости, в то время как эйлерова сетка использует ся для определения параметров поля. в) Расщепление расчета временного цикла. В течение каждого временного цикла (шага по времени) интегрирование уравнений сохранения импульса и энергии разбивается на три этапа. — На I этапе мы имеем дело с лагранжевыми ячейками сетки, фиксированными в жидкости, а не в пространстве (при этом их границы под действием сил давления смещаются относительно начального расположения); — на II этапе происходит перемещение расчетных ячеек относительно жидкости, т.е. вычисляются эффекты переноса и проводится регуляризация сетки — сдвинувшиеся ячейки «возвращаются» на прежнее место в пространстве, и получаем, таким образом, первоначальное расположение расчетной сетки (здесь моделируется движение потока частиц по пространству); — на III этапе происходит соответствующее перераспределение массы, импульса и энергии по пространству, что позволяет определить их новое распределение на «старой» эйлеровой сетке. По существу, метод Харлоу, благодаря введению дополнительного параметра (числа частиц в данной ячейке), увеличивает в программном смысле на единицу размерность задачи. Полный расчет по методу частиц в ячейках требует миллиардов операций (примерный объем машинной памяти составляет здесь (9+3N)AB слов, где АхВ — размер сетки, N — среднее число частиц в каждой ячейке). В конкретных расчетах используются обычно сетки, состоящие из тысяч ячеек и десятков тысяч частиц. С помощью данного метода удалось рассмотреть ряд сложных нестационарных задач гидродинамики многокомпонентных сред при наличии в потоке больших деформаций, перемещений и др. Основная трудность в широком, использовании метода частиц в ячейках заключается в достаточно высоких требованиях, предъявляемых им к объему памяти и быстродействию вычислительных машин. Кроме того, из-за дискретного представления сплошной среды методу присущи вычислительные флуктуации. Следует отметить, что сами численные схемы этого метода обладают, вообще говоря, недостаточной вычислительной устойчивостью (особенно в областях застоя, при небольшом числе частиц в ячейке и др.), поэтому приходится вводить в схемы явные диссипативные члены с искусственной вязкостью, использовать неявные схемы первого шага, рассматривать частицы различных форм [73] и т.д. Затруднительно так же получение информации для сильно разреженных областей, откуда практически уходят все частицы и т.п. За последние годы подходы, аналогичные методу частиц в ячейках, получили достаточно широкое развитие и у нас в стране — это работы В.Ф. Дьяченко [46], Н.Н. Яненко и его учеников [1, 73], СП. Ломнева [54] и др.
Для газодинамических задач обтекания, при наличии однородной среды кажется более целесообразным использовать не дискретную модель частиц, а рассматривать непрерывные потоки массы через границы эйлеровых ячеек [8-11, 30, 91, 92, 100]. Эти потоки здесь будут находиться уже из закона сохранения массы, записанного в разностной форме для каждой ячейки («крупной частицы»), совпадающей в данный момент времени с эйлеровой ячейкой. При этом естественно сохранить сильные стороны метода Харлоу (эйлерово-лагранжев подход) и сам процесс организации вычислений.
