Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Современное состояние и проблемы моделирования вскипающих потоков 5
1.1. Изучаемые физические процессы 5
1.2. Исследования вскипающих потоков 6
1.3. Обзор литературы по моделированию нуклеации 13
1.4, Выводы из обзора литературы 19
1.5. Цели данной работы 21
ГЛАВА 2. Математическая модель течения вскипающей жидкости 22
2.1. Физические явления, сопровождающие течения жидкости в условиях резкого падения давления 22
2.2. Формулировка рассматриваемых задач динамики вскипающей жидкости 24
2.3. Основные допущения 27
2.4. Лагранжево-эйлеровский подход к описанию двухфазной системы. 30
2.5. Уравнения эйлеровского этапа 32
2.5.1. Описание несущей фазы 32
2.5.2. Уравнение возникновения и конвективного переноса пузырей 34
2.5.3. Математические модели процессов межфазного переноса 34
2.6. Уравнения лагранжева этапа - описание динамики пузырьков 37
2.6.1. Уравнение сохранения массы и внутренней энергии 37
2.6.2. Уравнение движения межфазной границы - уравнение Рэлея-Лэмба 2.6.3. Некоторые замечания, связанные с влиянием теплопроводности жидкости на эволюцию пузыря 39
2.7. Модели нуклеации 41
2.7Л. Теория гомогенной нуклеации 41
2.7.2. Модифицированные модели гомогенной нуклеации 43
2.7.3. Модель объемной гетерогенной нуклеации, учитывающая распределение гетерогенных ядер по размерам 45
2.7.4. Модель пристенной нуклеации 49
2.8. Полная система уравнений, начальные и граничные условия, замыкание модели 50
2.8.1. Полная система уравнений эйлеровского этапа для осесимметричного случая 50
2.8.2. Полная система уравнений лагранжева этапа 51
2.8.3. Замыкание модели 51
2.8.4. Начальные и граничные условия 52
ГЛАВА 3. Численный метод 53
3.1. Решение эйлерова этапа 53
3.1.1. Схема Родионова 53
3.1.2. Задача о распаде разрыва для воды 56
3.2. Решение лагранжева этапа 61
3.2.1. Метод Адамса 62
3.2.2. Метод Гира 63
3.2.3. Сравнение методов 63
3.3. Расчетная сетка 65
3.4. Сходимость численной схемы на расчетной сетке 65
3.5. Тестирование численного метода 67
3.5.1. Одномерная задача о распаде разрыва 67
3.5.2. Двумерная задача о распаде разрыва
ГЛАВА 4. Результаты 69
4.1. Одномерные задачи 69
4.1.1. «Разгерметизации трубы» 69
4.1.2. Задача о закрытии клапана 73
4.2. Двумерные задачи 75
4.2.1. Течение в канале переменного сечения 75
4.2.2. Задача о «внезапном расширении» 76
Рисунки к главе 4 78
Заключение 93
Список литературы
- Обзор литературы по моделированию нуклеации
- Формулировка рассматриваемых задач динамики вскипающей жидкости
- Модифицированные модели гомогенной нуклеации
- Решение лагранжева этапа
Введение к работе
Процессы возникновения и эволюции пузырей играют важную роль в физике, химии, технологии, медицине и многих других областях жизни. Поведение пузырей часто бывает удивительным и неожиданным, а в некоторых случаях до сих пор необъяснимым. В частности, представляющая большой практический и фундаментальный интерес проблема вскипания жидкостей, в которой определяющую роль играют появление и эволюция паровых пузырей, до сих пор далека от окончательного решения. Вскипающие потоки находят применение во многих технологических процессах. Среди них двухфазные течения в котлах и парогенераторах, течения насыщенной и недогретой жидкости в каналах систем охлаждения, особую роль играют двухфазные истечения в результате аварий на ядерных реакторах, а также многие другие [1-3].
Под вскипающими потоками в этой работе мы будем понимать такие двухфазные потоки, в которых появление дисперсной фазы (пузырей) происходит за счет падения давления жидкости ниже давления насыщения, что является одним из случаев метастабильного состояния для системы жидкость-газ.
Жидкость можно перевести в метастабильное состояние двумя способами: путем интенсивного нагревания или с помощью быстрого понижения давления. В обоих случаях можно говорить о перегреве жидкости, при достижении определенной степени которого начинается образование и рост зародышей паровой фазы. Если возникновение зародышей происходит вследствие флуктуации, то имеет место гомогенная нуклеация, если появление зародышей паровой фазы, способных к дальнейшему росту, обусловлено присутствием гетерогенных включений (например, стенок каналов, микрочастиц или микропузырьков растворенного газа), то гетерогенная нуклеация.
1 Резкое падение давления в рассматриваемых системах может быть результатом, либо разгерметизации сосудов, находящихся под большим давлением, либо, например, увеличения расхода в каналах с меняющимся сечением. При увеличении расхода больше некоторого определенного значения (при этом принято говорить о критическом расходе), давление вблизи минимального сечения падает ниже давления насыщения, начинается процесс нуклеации, и волна вскипания распространяется по потоку, вызывая резкий рост давления жидкости, обусловленный ростом образовавшихся пузырей. Это объясняет одну из причин необходимости изучения таких явлений: амплитуда изменения давления взрывным вскипанием важна для оценки механических напряжений конструкции.
Кроме того, при строгой постановки задачи расчета нестационарных вскипающих потоков характер процесса может существенно определяться его начальной фазой, то есть изучаемые явления могут обладать "памятью".
Следует заметить, что экспериментальные исследования таких двухфазных систем представляют определенные технические трудности, связанные с малыми характерными временами процессов, большими давлениями и температурами.
В этих условиях численное моделирование рассматриваемых процессов является эффективным и перспективным инструментом исследования и представляет интерес с точки зрения развития теории многофазных течений, теории неравновесных фазовых переходов и теории метастабильного состояния жидкостей [4,5].
1.2. Исследования вскипающих потоков
Ранние обзоры литературы по вскипающим потокам, появившиеся в 70-е годы, представлены в работах [6] и [7]. В 1982 году авторы [8] представили еще один обзор исследований двухфазных критических течений, куда были включены модели, начиная от простейших соотношений, и, заканчивая сложными двухфазными моделями.
Следуя этим источникам, рассмотрим историю экспериментальных и теоретических исследований вскипающих потоков.
По течениям жидкости в соплах и трубах было проведено множество экспериментов. Один из самых первых экспериментов по исследованию метастабильной области изначально недогретой жидкости в трубе провел Bailey в 1951 году [9]. Ему удалось получить только относительно небольшие перегревы жидкости. Позднее Brown [10] и Shrock et al. [11] на выходе из сопла получили перегревы почти в 100 градусов, а также представили результаты по давлению и критическим расходам. Они впервые обратили внимание на то, что для корректного предсказания этих характеристик, необходимы, как размеры, так и концентрация пузырей.
Экспериментальные данные по этой же задаче были опубликованы в работе [12] и включали в себя давление на входе, на выходе и начальную температуру жидкости, однако оставались без внимания до тех пор. пока в начале 80-х годов не появился еще ряд экспериментальных работ ([13], [14]) по течению в соплах, в которых были представлены профили давлений и объемных долей пара вдоль сопла. Эти работы привлекли интерес и к предыдущим исследованиям, после чего были проведены сравнения с существующими теоретическими моделями, в частности, было получено хорошее согласование, основанное на модели, представленной в работе [15].
Все указанные выше экспериментальные исследования были важны для понимания происходящих физических процессов и использовались для уточнения теоретических моделей вскипающих течений.
Среди первых попыток построения таких моделей можно отметить следующие.
В 1962 году в работе [16] для расчетов была использована скорость образования зародышей, полученная на основе кинетических законов, вместе с моделью для роста пузыря, описанной в статье [17]. Эта модель дала хорошие результаты при небольших перегревах жидкости, однако при увеличении перефева наблюдалось сильное расхождение с экспериментальными данными.
В 1968 году в работе [18] была построена модель для роста пузыря при условии постоянства перефева и давления жидкости, и с помощью нее определен механизм образования пара при падении давления. При этом, автор был вынужден сделать предположения относительно начальных размеров и концентраций пузырей.
В появившемся в 1966 году исследовании [19], изложена модель двухфазного течения, где в качестве допущений предполагались отсутствие проскальзывания между фазами и термодинамическое равновесие. Из-за своей простоты эта модель получила большое применение в анализе проблем промышленной безопасности и обеспечивала относительно неплохое предсказание критических течений для определенного диапазона начальных условий.
Все эти работы объединяют предположения о термодинамическом равновесии и постоянном перегреве жидкости. Однако, эти гипотезы приводили в конечном счете к занижению критического расхода в трубах и, как следствие, недооценивалась объемная доля пара.
В 1971 году в статье [20] авторами Henry и Fauske была сделана попытка учесть неравновесные эффекты с помощью введения некого параметра в термодинамически равновесное паросодержание. При содержаниях пара менее 1%, они получили хорошее согласование с экспериментальными данными. Однако позже, с появлением новых данных [13] стало ясно, что их подход применим лишь для ограниченного круга течений с небольшим па росо держанием.
В работах [21], [22], [23] последовательно показано, что линейное соотношение, предложенное Henry и Fauske, фактически означает, что скорость изменения паросодержания с изменением равновесного паросодержания есть константа, что противоречит закону сохранения массы. Жидкость стремится к равновесному состоянию со скоростью, обусловленной межфазными процессами, независимо от состояния скорости равновесного фазового перехода. Далее исследователи пришли к необходимости задания двух независимых параметров для определения начала нуклеации. Так, например, в статье [24] предложена модель роста пузырька, подобная модели, описанной в работе [16]. В ней используются две эмпирические константы, основанные на данных [25], однако результаты плохо согласуются с данными исследования [26].
В статье [27] предложен метод, схожий с методом работы [24]. Авторы также были вынуждены ввести два параметра для замыкания модели, которые они определяли из экспериментальных данных.
Позднее, в большинстве исследований в качестве одного из параметров модели стали использовать концентрацию пузырей. Кратко рассмотрим несколько таких работ.
Авторы работы [28] первыми заметили, что численная плотность пузырей является наиболее существенным параметром в используемых моделях. Рекомендованные ими значения для концентрации пузырей в воде в диапазонах температур от 250-325°С лежат между 108 и 2x1010 т 3.
В статье [29] использует следующих два независимых коэффициента для замыкания модели: 109т"3 для численной плотности пузырей и 10/6 для объемной доли паровой фазы, что соответствует радиусу пузыря 7.2 mm, хотя известно, что размеры критических зародышей имеют порядок микрон для данного типа течений.
В исследовании [30] Aguilar и Thomson в качестве двух независимых параметров выбрали концентрацию пузырей и перегрев жидкости. Для численной плотности пузырей использовалось значение 109т 3. Предположение о постоянном перегреве привело к неадекватному описанию вскипания в трубе при быстром понижении давления.
В 1978 году Ardron опубликовал работу [31], включающую модель нуклеации, основанную на кинетической теории, и простейшую модель роста пузыря. В качестве эмпирических констант были также использованы концентрация пузырей (106т 3) и перегрев (3°С). Теория, описанная в статье [32], основана на критерии Вебера для размера пузыря. Авторы полагали начальное паросодержание равным 2x1 (Г4 и численную плотность пузырей 109 т"3, что соответствовало начальному диаметру пузыря 7.2x1 О 5 т.
В работе [33] Richter разработал двухфазную модель, предполагая задание начального диаметра и фиксированной концентрации пузырей в точке начала нуклеации. В качестве данных были выбраны соответственно 2.5х10"5 m и 1011 гл"3. Было получено хорошее совпадение с данными исследования [34] и не очень хорошее согласование с экспериментами, представленными в [35].
Таким образом, во всех перечисленных исследованиях концентрация пузырей используется в качестве параметра, при этом, ее значения сильно варьируются у разных исследователей. То есть рассмотренные модели фактически настраивались на определенный тип течений и мало отражали физическую суть явления, для которого характерно существенное изменение концентрации в потоке.
Отметим еще несколько работ несколько другого направления в этой области.
Основываясь на проведенных экспериментальных исследованиях, Sozzi и Sutherland в статье [36] продемонстрировали, что геометрия сопла, особенно в случае коротких сопел, играет существенную роль в подобного рода течениях. В частности, было показано, что критический поток массы уменьшается при увеличении критического диаметра.
В работе [37] Winters и Merte сформулировали модель для расширяющейся двухфазной смеси, используя подход псевдогомогенной смеси и предположения о сферическом пузырьке, окруженном однородно перегретой жидкостью. Согласование с экспериментом оказалось неудовлетворительным.
Авторы исследования [38] провели ряд экспериментов для дегазированной жидкости и измерили давление и профили паросодержания. Они отметили, что перегрев в месте начала нуклеации является существенным фактором для определения объемной доли паровой фазы. Впервые было показано, что паросодержание в критическом сечении сопла относительно невелико.
Во всех описанных исследованиях в качестве рабочей жидкости использовалась вода.
Работы также велись и по течению криогенных жидкостей в соплах. Среди них можно отметить [39] и [40]. Представленные в этих статьях данные включают в себя распределение давлений вдоль сопла и значения критических расходов для большого диапазона входных условий. Также показано, что жидкость переходит в метастабильное состояние еще перед сужением, что не учитывается ни одной существующей моделью.
В 1980-х годах появилось несколько экспериментальных работ, посвященных процессам распространения волны разрежения при высоких скоростях падения давления ([15], [41], [42]). В них отмечена сильная зависимость достигаемого минимума давления от начальной температуры жидкости и скорости падения давления, а также разработана полуэмпирическая корреляция, основанная на классической теории нуклеации, для глубины провала давления. Используя воду в качестве рабочей жидкости, был исследован широкий диапазон скоростей падения давления (от 0.004 до 1.8 Mbar/s). Позднее эта модель была введена автором [43] в лагранжево описание течения жидкости в трубах и соплах при падении давления.
Еще через некоторое время этот подход был использован в работах [13] и [14] для определения перегрева в критическом сечении сопла. Исследователи пренебрегли паросодержанием в сужающейся части сопла, то есть использовали модель однофазной жидкости. С помощью этой модели были определены критический расход и давление в критическом сечении, посчитанное по перегреву. Результаты сравнения со многими экспериментальными данными не превысили 5%.
В 1981 была опубликована работа [44], где для каждого режима течения определялась своя скорость генерации пара. Концентрация пузырей и начальное содержание пара в точке начала нуклеации также варьировались в зависимости от режима течения.
Levy и Abdollahian в статье [45] слегка модифицировали корреляцию, предложенную в [15], основываясь на данных исследований [35] и [38]. Полученное ими соотношение для критического расхода в сущности повторяло корреляции, представленные в работах [13], [14].
Исследования последнего времени по-прежнему в основном используют подход, при котором задаются начальные свойства паровой фазы.
Так, например, в работе [46] изложена одномерная модель течения двухфазной смеси в сопле с учетом относительного движения пузырей и их взаимодействия с жидкостью. Авторами представлены результаты влияния начальных параметров на динамику течения, но сравнение с результатами эксперимента отсутствует.
Двумерная модель рассматриваемых течений предложена в статье [47], где используется значение начальной концентрации пузырей, равное 2x105 т"3. Из вышесказанного видно, что оно сильно занижено по сравнению с результатами большинства исследований.
Одномерная задача о вскипании перегретой жидкости в трубе при внезапном закрытии клапана рассмотрена в работе [48]. Модель учитывает процессы межфазного обмена и требует задания начальной доли пара. Сравнения результатов моделирования с экспериментом не представлено.
Подводя итог обзору вскипающих течений, можно заключить, что:
• Большинство моделей неадекватно описывают критический расход и давление, если не используют непосредственной настройки для эмпирических параметров.
• Модели, использующие равновесную теорию, существенно завышают расход по сравнению с данными эксперимента. • Учет неравновесных эффектов улучшает ситуацию, однако требует
введения значения перегрева, то есть еще одного свободного
параметра.
• Все используемые модели роста пузырей применимы только к однородно перегретой жидкости.
• Таким образом, исследователи в этой области пришли к введению двух независимых параметров для определения начала зародышеобразования. Как правило, одним из этих параметров является концентрация пузырей.
Обзор литературы по моделированию нуклеации
Как показано в предыдущем параграфе все ранние попытки моделирования предполагали, что пузыри равномерно распределены в потоке, без учета распределения зародышей. Кроме того, авторы основополагающих исследований ([16], [24], [27] и [31]) все полагали, что нуклеация происходит в объеме жидкости. Однако, экспериментальные работы [13] и [38] убедительно показали, что зародышеобразование на стенках канала играет существенную роль, по крайней мере, для узких каналов.
Таким образом, стало ясно, что для построения адекватной математической модели, необходимо понять механизмы образования новой фазы, то есть механизмы нуклеации.
Термодинамические условия в точке начала нуклеации тщательно изучались как теоретически ([15], [44], [49], [50], [51]) так и экспериментально ([35], [42], [52]). Было показано, что степень перегрева, требуемая для начала роста зародышей, зависит как от условий течения и геометрии канала, так и от скорости понижения давления или скорости нагрева. При несильно нестационарном процессе, степень перегрева, необходимая для начала зародышеобразования, существенно меньше кинетического предела t нуклеации. С другой стороны при больших перегревах или, в нашем случае, при больших скоростях падения давления лишь небольшое количество « существующих центров нуклеации активируются до того момента, когда жидкость достигнет максимально возможного предела в метастабильной области. Таким образом, при очень быстром переходе жидкости в метастабильную область, жидкость достигает такого перегрева, где существенную роль начинают играть случайные флуктуации плотности, то есть имеет место гомогенная нуклеация.
Основы классической теории гомогенного зародышеобразования были заложены в работе Фольмера и Вебера еще в 1926 году [53]. Теория получила завершенность в физическом и математическом смысле в работах Френкеля [54].
Согласно классической теории гомогенной нукпеации [54] скорость нуклеации Н, то есть количество пузырей, возникающих в единице объема в единице времени, пропорциональна вероятности возникновения критического кластера вследствие термодинамической флуктуации: где Wcl характеризует работу по образованию критического зародыша. Эта теория получила большое распространение и до сих пор активно развивается, несмотря на сильную ограниченность своего применения.
В течение времени развития теории многих исследователей привлекал вопрос о правильности записи предэкспоненциального множителя Н0.
Такими работами, в частности, являются исследования [55] и [56], где рассматривается кинетика гомогенной нуклеации и вводятся добавочные множители в классическое выражение для скорости зародышеобразования. Однако, это направление не достигло большого успеха. Рассмотрим другие направления развития теории гомогенной нуклеации. Интенсивные эксперименты с различными типами жидкостей в широком диапазоне термодинамических параметров в течение многих лет велись Скриповым и его группой ([49], [57], [58]). Их исследования наглядно показали, что в случае очень чистых веществ, перегрев жидкости выше температуры насыщения (или падения давления жидкости ниже линии насыщения) в момент, предшествующий образованию пузырьков, определяется в значительной мере скоростью нагрева жидкости (или снижения ее давления). Ими был создан метод расчета паросодержания в перегретой жидкости, основанный на теории гомогенной нуклеации, расширенной на системы с центрами флуктуационного зарод ышеобразова н ия.
В работе [59] доказано, что расчет гомогенной нуклеации должен основываться на сравнении критической работы зародышеобразования Wcl с энергией «потенциальной ямы», а не с кинетической энергией молекул, как это было сделано в классической теории. Авторами проведен новый расчет спинодали (кривой, ограничивающей в координатах «давление - удельный объем» неустойчивые однородные состояния) для воды, справедливый вплоть до больших отрицательных давлений.
Некоторые исследователи использовали понятие «время задержки нуклеации». Примером такой работы является [60], в которой экспериментально и теоретически показано, что при увеличении начального давления насыщения время задержки нуклеации уменьшается.
В работах [61], [62], [63], [64] использованы модификации теории гомогенной нуклеации с помощью введения поправочного множителя -фактора гетерогенности, отвечающего за уменьшение работы образования зародышей на существующих ядрах.
Модель в работе [61] включает в себя аналитическое решение упрощенных линеаризованных уравнений Эйлера и позволяет определить эволюцию давления.
Модель, представленная в [62], основана на аналитическом решении уравнения переноса пузырей и одномерных уравнениях сохранения для жидкости, и для задачи о течении насыщенной жидкости в трубе показала удовлетворительное согласие рассчитанной объемной доли паровой фазы с экспериментальными данными [35].
Формулировка рассматриваемых задач динамики вскипающей жидкости
Течения жидкости в соплах, сопровождающиеся возникновением пузырей, также важны для множества приложений и могут рассматриваться как критические течения: при увеличении расхода больше некоторого определенного значения (при этом принято говорить о критическом расходе), давление в критическом сечении падает ниже давления насыщения, начинается процесс нуклеации на стенках сопла и в ядре потока, сопровождающийся дальнейшим ростом образовавшихся пузырей и сносом их по потоку.
В этой задаче рассматривается осесимметричный канал с внезапным расширением поперечного сечения {см. Рис.2.5), где в узкой и широкой частях канала находится жидкость при разных температурах и давлениях. Предполагается, что в один из моментов времени открывается клапан, и влево начинает распространяться волна разрежения с последующим образованием паровой фазы как в объеме, так и на стенке канала.
В интересующих нас задачах о начальной стадии вскипания {то есть процессе эволюции паровых зародышей от их момента образования) в рассматриваемых диапазонах температур (400-600К) начальные радиусы пузырей малы (10 -10"7м). Это позволяет сделать следующие оценки и допущения: Равновесие по скоростям фаз Оценим число Стокса, которое есть отношение времени межфазной релаксации т,2 к характерному времени процессов в несущей фазе т,: Здесь p, - плотность пара, R- радиус дисперсного включения, ц, динамическая вязкость несущей фазы, функция F - функция параметров задачи, F е (0,10).
То есть для рассматриваемых диапазонов параметров время межфазной релаксации т12 -10"10 -10""с. Характерное время т, можно оценить как: где L - характерный размер канала, а, - скорость звука в жидкости {для воды а, «1500 mis). При геометрических размерах порядка метра получим, что хп «т,, то есть число Стокса Sk к 1. Таким образом, можно считать, что пузыри «вморожены» в жидкость и, следовательно, их движение описывается уравнениями движения жидкости. Пренебрежение массовыми силами
Оценим скорость всплытия пузыря V под действием сил гравитации. В режиме стационарного всплытия можно приближенно считать, что сила сопротивления FCJ равна силе Архимеда FK: Здесь р, - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения. После элементарных преобразований получаем:
То есть при рассматриваемых радиусах пузырей скорость всплытия приблизительно есть F-10"7 -10" /п/л, что много меньше характерных скоростей жидкости (метры в секунду). На основании этих оценок опустим массовые силы при дальнейшем рассмотрении. Термодинамическая неравновесность
Как уже обсуждалось в Главе 1, существенным моментом для рассматриваемых течений является отсутствие термодинамического равновесия между фазами, то есть неравенство температур и давлений фаз. Большинство существующих моделей используют так называемую однодавленческую модель [83], то есть принимается гипотеза о равенстве давлений несущей и дисперсной фазы. Очевидно, что с помощью такого приближения невозможно описать, например, радиальные осцилляции пузырей, связанные с инерционностью жидкости.
Кроме того, различие как температур, так и давлений фаз существенно для адекватного описания процессов межфазного обмена.
Приближение несущей фазы Несущую фазу будем рассматривать в рамках модели невязкой нетеплопроводящей среды и будем полагать, что вязкость и теплопроводность жидкости проявляется только при взаимодействии с дисперсной фазой (пузырями).
Модифицированные модели гомогенной нуклеации
Величина ДФ определяет работу 1ы образования пузырька пара в метастабильной жидкости. Она имеет конечный максимум при r = Rcr, где ifc(. удовлетворяет условию равновесия (2.40). Существование максимума является результатом конкуренции поверхностного и объемного членов, входящих в (2.43) с противоположными знаками. Появление более устойчивой фазы приводит к уменьшению объемной части термодинамического потенциала, а возникновение поверхности раздела фаз сопровождается ростом потенциала пропорционально гг. Неустойчиво равновесный пузырек в метастабильной жидкости, соответствующий максимуму ДФ, называют критическим зародышем, имеющий размер
Работу по образованию критического зародыша Wd можно получить, исключая в (2.44) с помощью (2.42) одну из переменных: Значение Wd характеризует высоту барьера свободной энергии, который нужно преодолеть системе за счет флуктуации. Из (2.46) видно, что с увеличением перегрева жидкости этот барьер снижается, следовательно, возрастает вероятность его преодоления. Безразмерный аналог Wcl принято W называть числом Гиббса: Gh=——. Это число играет важную роль при теоретическом рассмотрении кинетики гомогенного зародышеобразования. Если проследить судьбу пузырьков в метастабильной области, то картина была бы такая. В каждый момент времени большинство пузырей имеют докритический размер r Rcr. Такие пузырьки быстро схлопываются, так как их существование термодмнамически невыгодно. Но из-за флуктуации в процессе обмена молекулами со средой небольшая часть пузырьков вырастает до размеров, превышающих критический. Дальнейший их рост становится термодинамически выгодным. Чем больше превышен критический размер, тем меньше подвержен флуктуациям рост пузырька. Некоторые пузырьки могут возникать не по такой схеме, а в результате распада неустойчивого участка жидкости.
Согласно классической теории гомогенной нуклеации [54] скорость нуклеации, то есть количество пузырей, возникающих в единице объема в единице времени, пропорциональна вероятности возникновения критического кластера вследствие термодинамической флуктуации:
Все модификации этой теории касались в основном записи предэкспоненциального множителя, который, на самом деле, слабо влияет на степень мета стабильности. Наиболее распространенное выражение для скорости нуклеации имеет следующий вид: где т - молекулярная масса, Na - число Авогадро, kh - постоянная Больцмана. Модифицированные модели гомогенной нуклеации
Если давление и температура достаточно далеки от критических, то в жидкостях, не прошедших очистку, которая применяется в современных тепловых и атомных электростанциях, парообразование происходит на уже готовых зародышах, тем самым предотвращается образование сильно метастабильного состояния, то есть сильно перегретой жидкости с АТ-100К, когда только и может стать заметным образование паровых зародышей за счет флуктуации. Например, в воде возможные перегревы составляют ДГ-ЮЛГ даже в таких быстрых процессах, как истечение при разгерметизации сосудов высокого давления, то есть флуктуационное зародышеобразование не успевает проявиться.
Число легко активируемых более низкотемпературных центров подсчитать теоретически не удается, поскольку априорных данных об их природе не существует. Задачи, в которых физические элементы гетерогенности значительны, следует рассматривать в рамках особого детерминированного подхода. Если же физические элементы гетерогенности достаточно малы, то их можно рассматривать с помощью модифицированной гомогенной теории. Поскольку процесс нуклеации инициируется стохастическими молекулярными возмущениями, число Гиббса остается практически неизменным. Так что, умножив его на коэффициент гетерогенности G, возможно, уменьшить его до нужного значения. Физически это можно трактовать, как уменьшение работы образования критического зародыша в G раз вследствие гетерогенности.
Решение лагранжева этапа
Приращения ограничиваются с помощью функции limiter для сохранения монотонности схемы. Функция limiter может браться в форме Калгана, Van-Leefa, MinMod, SuperBee и т.д. Численные эксперименты показали, что для рассматриваемых задач лучшие результаты дает ограничитель Калгана [93], который и использовался в расчетах: 6) После определения градиентов определяются «правые» и «левые» (соответственно «+» и «-») значения переменных для граней dsfj, dsu:
Источниковые члены рассчитываются по значения переменных wj " на текущем временном слое. После получения предикторных значений w" ul выполняется этап «корректор» разностной схемы.
С уже известными градиентами (3.4), (3.5) определяются величины, образующие разрыв начальных данных на гранях рассчитываемой ячейки.
Данный этап отличается от классической задачи Римана для идеального газа, так как в настоящей модели используется уравнение состояния Тейта (2.67). Решение «задачи о распаде разрыва» для среды с таким уравнением состояния подробно рассмотрено в пункте (3.1.2) настоящей главы.
После нахождения так называемых «больших величин» Р, R, U происходит процедура декодирования, которая выражается в следующем;
Тангенциальная составляющая на грани dsfJ сносится из соответствующей ячейки по нормальной составляющей скорости и, также сносятся величины ее, Т, и Nb. По тангенциальной и нормальной составляющей скорости на грани восстанавливаются составляющие скорости в декартовых координатах. Указанные величины определяют вектор переменных wtJ. и Аналогичным образом находится вектор wi Найденные таким образом wu,wu. используются для вычисления потоков консервативных переменных на корректоре, который имеет следующий вид; Источниковый член fi"+U2 рассчитывается по значениям переменных wJ"2, полученных на предикторе. Устойчивость схемы
Приведенная схема является условно устойчивой по отношению величине шага интегрирования Д/. Максимально допустимый шаг этой явной схемы ограничен условием Куранта-Фридрихса-Леви и определяется следующим образом: Задача о распаде разрыва для воды Для определения «больших» величин в схеме Родионова необходимо построить решение задачи о распаде произвольного разрыва в воде.
Такое решение может быть получено аналогично подобной задачи для газа, описанной, например, в [94]. Разница состоит в уравнении состояния и, вследствие его баротропности, получаемых конфигурациях течения.
Для правого полупространства х 0 среда характеризуется значениями параметров pR, pR,uR. Здесь и - компонента скорости в направлении координаты JC. Для исходных уравнений рассматриваемым значениям плотности р и давления р будут соответствовать приведенные плотность (1-а)р, и давление (1-а)р, жидкости. Схематически автомодельная картина возникающего после разрыва течения на плоскости xt изображается одной из четырех возможных конфигураций, изображенных на Рис.3.1. Надо заметить, что в отличие от аналогичной задачи для газа, в конфигурациях течения отсутствует контактный разрыв, что связано с баротропностью уравнения состояния.
