Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Численные методы в задачах деформирования нелинейно-упругих мягких оболочек 12
1.1. Особенности мягких оболочек и их численного расчета 12
1.2. Методы расчета и анализ их применимости 17
1.3. Метод конечных разностей в расчетах мягких оболочек 24
1.4. Расчет мягких оболочек методом конечных элементов 28
1.5. Выводы 36
Глава 2. Основные соотношения задач контактного деформирования нелинейно-упругих мягких оболочек 37
2.1. Вариационные уравнения движения нелинейно-упругих мягких оболочек 37
2.2. Вариационные уравнения в приращениях 47
2.3. Вариационная формулировка задачи контакта мягкой оболочки с жестким телом 50
2.4. Уравнения мягких оболочек в одноосных областях 56
2.5. Уравнения состояния нелинейно-упругих мягких оболочек из конструктивно-анизотропного материала 61
Глава 3. Метод конечных элементов в задачах взаимодействия мягких оболочек с жесткими преградами 65
3.1. Основные соотношения МКЭ для треугольного конечного элемента 65
3.2. Матрицы жесткости, реакций и масс для треугольного конечного элемента 69
3.3. Соотношения МСКЭ для четырехугольного мембранного многослойного конечного элемента 72
3.4. Линеаризованные матрицы жесткости и реакций для четырехугольного конечного элемента 76
3.5. Численное исследование сходимости конечно-элементных аппроксимаций 19
Глава 4. Специальные алгоритмы решения задач контактного деформирования мягких оболочек 83
4.1. Общие принципы построения алгоритмов решения систем нелинейных уравнений в задачах взаимодействия мягких оболочек с преградами 83
4.2. Методы декомпозиции и глобальной редукции расчетных моделей 89
4.3. Методы установления в задачах контактного деформирования 97
4.4. Безусловно-устойчивые неявные разностные схемы интегрирования уравнений движения дискретной конечно-элементной модели 105
4.5. Алгоритмы решения задач с односторонними связями 111
4.6. Анализ сходимости алгоритмов решения нелинейных уравнений 122
Глава 5. Исследование контактного деформирования амортизирующих и демпфирующих мягкооболочечных устройств 128
5.1. Напряженно-деформированное состояние резинокордной оболочки пневматического кранца с полусферическими оконечностями при сжатии параллельными плоскостями 128
5.2. НДС кранца с полусферическими оконечностями при сжатии жестким штампом цилиндрической формы 133
5.3. Поведение многосекционного амортизатора с циклической симметрией при взаимодействии с жесткой преградой 137
5.3.1. Анализ конструктивных особенностей специального амортизатора 137
5.3.2. Расчётная схема амортизатора 143
5.3.3. Генерация сетки конечных элементов для сложной фрагментированной мягкооболочечной конструкции 145
5.3.4. Анализ расчетных схем и описание уточненной дискретной модели І48
5.3.5. Результаты расчетов специального амортизатора при статическом контактном деформировании 153
5.3.6. Исследование конструктивных вариантов специального амортизатора на моделях малой размерности 158
5.4. Редуцированная модель задачи квазистатического взаимодействия кранца с полусферическими оконечностями и наваливающегося судна с плоскими бортами 166
5.5. Поведение пневматических, пневмодемпфирующих и гидродемпфирующих кранцев при квазистатическом сжатии 172
5.6. Оптимальное управление работой пневмодемпфирующих и гидродемпфирующих кранцев при к вази статическом сжатии 176
Заключение
Литература 181
Приложение 200
- Вариационные уравнения в приращениях
- Матрицы жесткости, реакций и масс для треугольного конечного элемента
- Методы декомпозиции и глобальной редукции расчетных моделей
- НДС кранца с полусферическими оконечностями при сжатии жестким штампом цилиндрической формы
Введение к работе
Перед проектировщиками часто ставятся задачи создания конструкций, работающих в ранее не встречавшихся экстремальных условиях. Зачастую в них используются новые материалы, конструкции должны быть легкими и удовлетворять ряду специальных требований. В распоряжении инженеров, занимающихся изготовлением таких конструкций, имеются три способа, с помощью которых можно получить углубленное представление о характеристиках проектируемого объекта: аналитические методы, вычислительные методы и эксперименты. Аналитические методы дают решение в замкнутой форме, что приводит к минимальным затратам времени счета на ЭВМ (например, при оптимизации конструкции). Но это достигается за счет введения чрезмерно упрощающих и, следовательно, ограничивающих задачу предположений, к которым, например, относятся гипотеза о нерастяжимости материала мягкой оболочки, идеализация геометрии, упрощение внешней нагрузки, характера поведения конструкции и так далее. Отсюда следует, что такие методы применимы лишь к конструкциям простой формы и позволяют определять некоторые интегральные характеристики в идеализированных условиях. Средствами эксперимента могут быть исследованы объекты в натуральную величину, отдельные их элементы или модели. Однако эксперименты требуют больших затрат времени и средств как на изготовление моделей, так и на проведение испытаний. Кроме того, существуют большие сложности при тензометрировании напряженно-деформированного состояния при больших формоизменениях конструкций, фиксации геометрии в быстро изменяющихся процессах, переводе данных с модельного эксперимента на натурный образец и так далее.
По сравнению с аналитическими вычислительные методы требуют привлечения существенно менее сильных упрощений и могут использоваться для расчета неидеализированных конструкций. Кроме того, вычислительные методы почти свободны от ограничений на варьируемые параметры, например, на скорость объекта, характеристики материала и прочее. Однако численное моделирование статического или динамического деформирования мягкооболочечных конструкций с минимумом упрощающих допущений требует применения более мощных вычислительных машин, а также дальнейшего совершенствования численных алгоритмов и программных комплексов, их реализующих. Потребность в более широком применении вычислительных методов возрастает по мере непрерывного роста затрат на модельные и натурные испытания, наблюдаемых на фоне непрерывного снижения стоимости расчетов из-за совершенствования численных методов и самих ЭВМ.
Несомненное преобладание преимуществ вычислительных методов над их недостатками являются причиной возрастания их роли, особенно при создании принципиально новых конструкций. Из высокой стоимости экспериментов, дающих ограниченную информацию, следует рост популярности вычислительных методов механики сплошной среды, базирующийся на значительных достижениях в создании современных высокопроизводительных вычислительных систем, совершенствовании технологий параллельных вычислений и повышении эффективности численных алгоритмов.
Актуапъиость темы, В настоящее время се более актуальным становится повышение надежности и эффективности оболочек, изготовленных на основе современных материалов. При создании конструкций, удовлетворяющих современным требованиям, необходимы уравнения и алгоритмы, учитывающие их пространственную сложность, нелинейность материала, геометрическую нелинейность и различные
7 режимы эксплуатации. Сейчас широко распространены различные устройства из мягких оболочек, особенностью деформирования которых являются геометрическая и физические нелинейности, возможность образования одноосных зон напряженно-деформированного состояния, сложное сочетание пространственных фрагментов и контактное взаимодействие с жесткими преградами в процессе нагружения.
Существенное нелинейное поведение пространственных мягких оболочек при применении численных методов приводит к плохо обусловленным системам, особенно, на начальных этапах нагружения, при появлении зон одноосностей и контактном деформировании. Поэтому большое значение приобретают эффективные процедуры численного решения уравнений движения дискретной модели.
Решение пространственных задач взаимодействия в нелинейной постановке требует значительных вычислительных мощностей, ограничивая возможности анализа поведения амортизирующих и демпфирующих пространственных мягких оболочек, взаимодействующих с движущимися преградами, особенно при оптимальном управлении их работой, откуда следует необходимость в специальных методах решения таких задач.
Целью работы является разработка модели нелинейного деформирования пространственных мягких оболочек с учетом односторонних связей в областях одноосности и контакта, постановка задач статического и квазистатического сдавливания фрагментированных мягких оболочек с использованием методов понижения размерностей и оптимизации, разработка соответствующих численных методов, в рамках которых выполнение исследования деформирования мягких многосекциоипых оболочек и демпферов, взаимодействующих с движущимися преградами.
Научная новизна работы состоит в следующем: выведены уравнения нелинейной механики мягких оболочек с односторонними связями в областях однооспости и зонах контакта; разработаны комбинированные алгоритмы метода конечных элементов и редуцирования, предназначенные для исследования поведения сложных пространственных мягких оболочек в статической и квазистатической постановках с учетом односторонних связей, а также оптимального управления взаимодействием амортизаторов и демпферов с движущимися преградами.
Вариационные уравнения в приращениях
Перед проектировщиками часто ставятся задачи создания конструкций, работающих в ранее не встречавшихся экстремальных условиях. Зачастую в них используются новые материалы, конструкции должны быть легкими и удовлетворять ряду специальных требований. В распоряжении инженеров, занимающихся изготовлением таких конструкций, имеются три способа, с помощью которых можно получить углубленное представление о характеристиках проектируемого объекта: аналитические методы, вычислительные методы и эксперименты. Аналитические методы дают решение в замкнутой форме, что приводит к минимальным затратам времени счета на ЭВМ (например, при оптимизации конструкции). Но это достигается за счет введения чрезмерно упрощающих и, следовательно, ограничивающих задачу предположений, к которым, например, относятся гипотеза о нерастяжимости материала мягкой оболочки, идеализация геометрии, упрощение внешней нагрузки, характера поведения конструкции и так далее. Отсюда следует, что такие методы применимы лишь к конструкциям простой формы и позволяют определять некоторые интегральные характеристики в идеализированных условиях. Средствами эксперимента могут быть исследованы объекты в натуральную величину, отдельные их элементы или модели. Однако эксперименты требуют больших затрат времени и средств как на изготовление моделей, так и на проведение испытаний. Кроме того, существуют большие сложности при тензометрировании напряженно-деформированного состояния при больших формоизменениях конструкций, фиксации геометрии в быстро изменяющихся процессах, переводе данных с модельного эксперимента на натурный образец и так далее.
По сравнению с аналитическими вычислительные методы требуют привлечения существенно менее сильных упрощений и могут использоваться для расчета неидеализированных конструкций. Кроме того, вычислительные методы почти свободны от ограничений на варьируемые параметры, например, на скорость объекта, характеристики материала и прочее. Однако численное моделирование статического или динамического деформирования мягкооболочечных конструкций с минимумом упрощающих допущений требует применения более мощных вычислительных машин, а также дальнейшего совершенствования численных алгоритмов и программных комплексов, их реализующих. Потребность в более широком применении вычислительных методов возрастает по мере непрерывного роста затрат на модельные и натурные испытания, наблюдаемых на фоне непрерывного снижения стоимости расчетов из-за совершенствования численных методов и самих ЭВМ.
Несомненное преобладание преимуществ вычислительных методов над их недостатками являются причиной возрастания их роли, особенно при создании принципиально новых конструкций. Из высокой стоимости экспериментов, дающих ограниченную информацию, следует рост популярности вычислительных методов механики сплошной среды, базирующийся на значительных достижениях в создании современных высокопроизводительных вычислительных систем, совершенствовании технологий параллельных вычислений и повышении эффективности численных алгоритмов.
В настоящее время все более актуальным становится повышение надежности и эффективности оболочек, изготовленных на основе современных материалов. При создании конструкций, удовлетворяющих современным требованиям, необходимы уравнения и алгоритмы, учитывающие их пространственную сложность, нелинейность материала, геометрическую нелинейность и различные режимы эксплуатации. Сейчас широко распространены различные устройства из мягких оболочек, особенностью деформирования которых являются геометрическая и физические нелинейности, возможность образования одноосных зон напряженно-деформированного состояния, сложное сочетание пространственных фрагментов и контактное взаимодействие с жесткими преградами в процессе нагружения.
Матрицы жесткости, реакций и масс для треугольного конечного элемента
Существенное нелинейное поведение пространственных мягких оболочек при применении численных методов приводит к плохо обусловленным системам, особенно, на начальных этапах нагружения, при появлении зон одноосностей и контактном деформировании. Поэтому большое значение приобретают эффективные процедуры численного решения уравнений движения дискретной модели.
Решение пространственных задач взаимодействия в нелинейной постановке требует значительных вычислительных мощностей, ограничивая возможности анализа поведения амортизирующих и демпфирующих пространственных мягких оболочек, взаимодействующих с движущимися преградами, особенно при оптимальном управлении их работой, откуда следует необходимость в специальных методах решения таких задач.
Целью работы является разработка модели нелинейного деформирования пространственных мягких оболочек с учетом односторонних связей в областях одноосности и контакта, постановка задач статического и квазистатического сдавливания фрагментированных мягких оболочек с использованием методов понижения размерностей и оптимизации, разработка соответствующих численных методов, в рамках которых выполнение исследования деформирования мягких многосекциоипых оболочек и демпферов, взаимодействующих с движущимися преградами. Научная новизна работы состоит в следующем: выведены уравнения нелинейной механики мягких оболочек с односторонними связями в областях однооспости и зонах контакта; разработаны комбинированные алгоритмы метода конечных элементов и редуцирования, предназначенные для исследования поведения сложных пространственных мягких оболочек в статической и квазистатической постановках с учетом односторонних связей, а также оптимального управления взаимодействием амортизаторов и демпферов с движущимися преградами.
На сегодняшний день теория мягких оболочек считается одной из завершенных частей общей теории оболочек. Ее систематическое изложение дано в работах С.А. Алексеева [1-5], Г.А. Гениева [19], В.Н. Гордеева [26], А.С. Григорьева [27-30], Б.В, Гулина и В.В. Риделя [32-35, 116], Б.И. Друзя [42-43], В.В. Ермолова [51-54], В.Э. Магулы [90-99], А.Р. Ржаницина [115], Б.И. Сергеева [128], В.И. Усюкина [131-135], Ф. Отто и Р. Тростеля [111], А. Грина и Дж. Адкинса [31] и др.
Мягкие оболочки относятся к классу безмоментных, одним из важных свойств которых является их неспособность воспринимать сжимающие усилия. Вследствие этого мягкая оболочка может находиться либо в двухосном напряженном состоянии, когда оба главных напряжения положительны, либо в одноосном, если одно из главных напряжений равно нулю. Отметим, что одноосное напряженное состояние является свойством лишь мягких оболочек. Участок оболочки, в котором напряжения равны нулю, не имеет определенной формы. Следовательно, нельзя произвольно задать форму оболочки и действующие на нее нагрузки. Это одно из существенных отличий мягких оболочек от оболочек обычного типа. В работе [92] дано определение мягкой оболочки и предложены количественные оценки в виде трех критериев «мягкости». Первый критерий получен как количественная оценка изгибаемости оболочки без остаточных напряжений, второй - как оценка способности терять устойчивость (собираться в складки) при наличии малых сжимающих усилий на срединной поверхности. Третий критерий является ограничением изгибных напряжений, возникающих при изгибаниях изменяемых оболочек (понятия изменяемых и неизменяемых оболочек введены в работе [91], где дана классификация оболочек по их геометрической изгибаемости). Первые два критерия отражают «мягкость» материала оболочки, третий учитывает также размеры и условия её работы.
Таким образом, «мягкость» оболочки определяется малой из гибкой жесткостью материала, его высокой прочностью, большими относительными размерами конструкции и напряженностью условий сё работы.
Методы декомпозиции и глобальной редукции расчетных моделей
Задачи об одноосных оболочках являются специфической группой задач теории мягких оболочек. При значительных деформациях сжатия в одноосной области мягкой оболочки образуются складки. Поэтому их часто называют складчатыми. Однако этот термин следует понимать как условный, поскольку, во-первых, при небольших деформациях сжатия складки практически не появляются, хотя нагруженное состояние является одноосным, и, во-вторых, в существующей теории одноосных оболочек последняя моделируется гладкой поверхностью. В одноосных областях оболочка рассматривается как система несвязанных абсолютно гибких нитей, которая не подчиняется условиям совместности деформацией [98].
В настоящее время в теории одноосных оболочек решено немало задач. Однако, как отмечено в работе [90], область применимости модели одноосно напряженной оболочки до сих пор четко не определена. В ряде случаев, например, при сдвиге границ, эта гипотеза приводит к абсурдным результатам.
Общим недостатком большинства исследований по тканевым оболочкам является пренебрежение реальными свойствами материала, такими как анизотропия характеристик ткани, нелинейность физических соотношений «напряжение-деформация» при двухосном растяжении, ориентация ткани в изделии и так далее. Также имеются серьезные пробелы и при определении физических соотношений для ткани. Используемые ткани изготовляются, как правило, не из дискретных нитей, а из пучков волокон. Поэтому результаты аналитических исследований геометрической структуры ткани и её влияния на деформативность и прочность изделия [24], опирающиеся на значениях механических характеристик нити, являются основной лишь для качественного описания физических соотношений двуосного поведения ткани. Экспериментальные же данные по исследованию материалов на двуосное растяжение еще не нашли обобщения и не достигли уровня стандартизации. Описание и анализ существующих способов механических испытаний мягких листовых и рулонных материалов на двуосное растяжение подробно изложены в работе [24], где дано убедительное обоснование необходимости введения нормативов на методы механических испытаний мягких материалов при двуосном нагружении.
Перейдем к проблемам численного анализа. Мягкооболочечные конструкции относятся к классу сильно-нелинейных систем. Это связано с тем, что вследствие своей мягкости, в ненапряженном состоянии они не имеют собственной формы. Поэтому на первой стадии расчетов чаще всего необходимо определять напряженно-деформированное состояние (НДС) и геометрию под действием внутреннего давления. Это относится к таким устройствам, как мягкооболочечные амортизаторы и демпферы, воздухоопорные сооружения и так далее. При этом в численном анализе появляются немалые сложности, связанные с ненапряженностью и большой кинематической подвижностью оболочки, дающие в численных методах сингулярные (особенные) матрицы.
Для определения границ областей одноосности и учета возможности контакта оболочки с деформируемым телом на заранее неизвестной области, необходимо использовать трудоемкие методы решения задач с односторонними связями [23]. Причем на границе стыковки областей с различными свойствами дискретная модель должна быть как можно более точной, что обычно достигается повышением густоты сетки.
Шаг по времени для расчета НДС оболочки при динамическом нагружении или методами установления определяется для явных схем из условия Куранта [117]. Он прямо пропорционален линейному размеру элемента сеточной области и обратно пропорционален жесткости материала оболочки. Для неявных схем скорость сходимости определяется спектральными свойствами матриц [110], причем при повышении жесткости материала и уменьшении шага сетки в спектре начинают преобладать высокочастотные составляющие, сильно замедляющие сходимость. То есть для вы со ко модульных материалов и густой сетки шаг по характерному параметру будет достаточно малым и может оказаться на пределах разрядной сетки ЭВМ.
НДС кранца с полусферическими оконечностями при сжатии жестким штампом цилиндрической формы
На основании вышеизложенного можно сформулировать следующие проблемы численного анализа мягких оболочек, требующие усовершенствования алгоритмов: - расчет мягкооболочечных конструкций с малой жесткостью (при малых внутренних давлениях или при малых внутренних усилиях в оболочке); - исследование НДС мягких оболочек со складками и «мешками»; - решение задач нелинейного деформирования пространственных мягких оболочек с учетом односторонних связей в областях одноосности и контакта, при их квазистатическом и динамическом взаимодействии с наваливающимися объектами; - постановка и решение задач статического и квазистатического сдавливания фрагментированных мягких оболочек с использованием методов понижения размерностей и оптимизации - уточненное моделирование реальной структуры материала (его физических свойств); - для метода конечных разностей - разработка процедур построения ортогональных сеток для произвольных геометрий и процедур автоматического задания граничных условий на сетках, не связанных с оболочкой.
В последние годы повышение качества алгоритмов и существенное повышение мощности ЭВМ дали значительное понижение стоимости расчетов. При этом достижения в области разработки высокопроизводительных вычислительных систем необходимо отнести к одному из ключевых факторов, определяющих прогресс в численном моделировании задач механики сплошной среды (в частности, механики мягких оболочек). Появление относительно доступных суперкомпьютерных систем, реальная возможность проведения распределенных вычислений позволяют выполнить один расчет реальной конструкции при минимуме упрощающих предположений за приемлемое время, что дает возможность применять численные методы для многовариантного расчета при оптимальном проектировании. Использование менее производительных компьютеров, естественно ограничивает круг задач и не позволяет применять трудоемкие численные методы. Это означает, что метод обязательно должен быть ориентирован на мощность используемой вычислительной машины.
С другой стороны, современные потребности требуют расчета усложненного поведения конструкций, когда кроме расчета НДС оболочки необходимо точно и корректно моделировать воздействие окружающей среды (например, жидкости, газа или наваливающегося объекта). Это предъявляет еще более жесткие требования к экономичности численных алгоритмов и мощности используемой вычислительной техники. Поэтому к насущным проблемам современной механики мягких оболочек с учетом усложненных взаимодействий необходимо отнести разработку специальных методов решения рассматриваемых задач, позволяющих повысить эффективность и экономичность численных расчетов 1.2. Методы расчета и анализ их применимости
Расчет напряженно-деформированного состояния мягких оболочек должен проводиться в геометрически и физически нелинейной постановке. Это требует привлечения нелинейной теории [4, 94, 31, 111, 131, 88, 89, 108]. Также возникает проблема описания нелинейных зависимостей напряжений от деформаций (т. е. учет физической нелинейности), которые обычно получаются на основе упругого потенциала (функции удельной энергии деформации). Исследования многих авторов [14, 48] показывают, что при больших деформациях напряженно-деформированное состояние оболочки сильно зависит от незначительных изменений формы упругого потенциала, т. е. от изменения обобщенных модулей упругости в уравнениях состояния материала. Этим объясняется осторожное внедрение новых форм упругого потенциала и распространение закона Гука на область конечных деформаций [111]. При больших деформациях наиболее исследованными являются мягкие оболочки вращения при осесимметричном нагружении. Эти проблемы освещены в работах С.А. Алексеева [1, 5], Л.И. Балабуха [8], А.С. Григорьева [28], В.И. Усюкина [82, 131], А. Грина и Дж. Адкинса [31], Ф. Отто и Р. Тростеля [Ш] и других авторов. Интересна работа А.С. Григорьева [28], где большие деформации для осесимметричного случая рассчитываются на основе соотношений деформационной теории пластичности. В ней геометрические уравнения, связывающие конечную и начальную форму с относительными удлинениями, строились при различных нелинейных зависимостях между напряжениями и логарифмическими деформациями.
