Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование и анализ процессов деформирования геоматериалов: обзор 14
1. Математические модели в механике сыпучих сред 14
2. Давление сыпучих материалов на ограждающие конструкции . 18
3. Локализация деформаций 21
Глава 2. Задачи упруго-пластического деформирования сыпучей среды 32
1. Исследование задачи Янсена 32
2. Давление сыпучих материалов на податливые ограждающие конструкции 54
3. Коэффициент бокового распора сыпучей среды 60
Глава 3. Упруго-пластическое деформирование материала в условиях локализации сдвигов на дискретной системе линий . 70
1. Общая постановка задач 70
2. Метод численного решения 76
3. Симплекс элементы. Условия на разрезах 79
4. Применение эрмитовых конечных элементов в механике деформируемого твердого тела 89
5. Разработка программ численного счета 101
Глава 4. Численные решения краевых задач 104
1. Напряженно-деформированное состояние в окрестности выработки 104
2. Замкнутые линии сдвига 121
3. Напряженно-деформированное состояние материала в емкости. Начальная стадия выпуска 127
4. Задачи о подпорной стенке и откосе 134
5. Простой сдвиг 141
Глава 5. Аналитическое ттсспедовапие периодической структуры, образованной криволинейными линиями сдвига в упругом кольце 145
1. Функция напряжений 145
2. Постановка и исследование периодической задачи в кольце . 151
3. Комплексные потенциалы 175
Заключение 187
Литература 190
- Давление сыпучих материалов на ограждающие конструкции
- Давление сыпучих материалов на податливые ограждающие конструкции
- Применение эрмитовых конечных элементов в механике деформируемого твердого тела
- Напряженно-деформированное состояние материала в емкости. Начальная стадия выпуска
Введение к работе
Исследование процессов упруго-пластического деформирования сыпучих сред и горных пород имеет большое теоретическое и практическое значение для оценки напряженно-деформированного состояния и его воздействия на инженерные сооружения.
Применение методов механики сплошных сред, в частности, в задачах расчета давления сыпучих сред па различные конструкции, является актуальным, так как позволяет не только получать решение без дополнительных гипотез, используемых в инженерных методах, но и оценивать правомерность этих гипотез.
Реальные горные породы, как известно, имегот дискретную кристаллическую структуру, поры, трещины различных размеров и т.д.. Все указанные особенности, при использовании пластических моделей, учитываются путем осреднения свойств породы по элементарному и достаточно представительному объему. Предполагается, что каждый элементарный объем среды обладает теми же пластическими свойствами, что и макрообразец горной породы в целом. Существует класс задач, элементарный объем среды в которых сравним с характерным размером задачи, например, с размером выработки. В подобных ситуациях, наряду с осред-ненными деформациями, большую роль играет локализация сдвигов на отдельных поверхностях (линиях). Важным является то, что линии дискретны, а расстояния между ними сравнимы с характерным размером задачи. Здесь континуальный подход невозможен и дискретность линий скольжения необходимо учитывать явно. Математическое моделирова-
ниє на основе развития современных аналитических и численных методов дает возможность исследования процесса локализации сдвигов на дискретных системах линий. Целью работы является:
Исследование процессов упруго-пластического деформирования сыпучей среды в задачах о давлении на дно и стенки емкости при помощи методов механики сплошных сред и оценка гипотез, используемых в инженерных решениях.
Математическое моделирование процесса локализации сдвигов на дискретных системах линий.
В первой главе представлен обзор литературы по математическому моделированию и анализу процессов деформирования геоматериалов, в частности, в задачах определения давления сыпучей среды на различные ограждающие конструкции. Рассмотрено современное состояние в области моделирования локализации деформаций.
Во второй главе излагаются результаты решения краевых задач. При решении используется математическая модель [148-151], в которой описывается накопление допредельных пластических деформаций и переход в предельное состояние, формулируется критерий активного нагружения и разгрузки, учитываются свойства внутреннего трения и дилатансии. Рассматриваются задачи о статическом давлении сыпучего материала в емкости на жесткие и податливые стенки с различным наклоном, задача о сжатии тонкого слоя. Исследуется величина коэффициента бокового распора в зависимости от характера эпюр давлений, истории нагружения и податливости боковых поверхностей. Рассмотрены также задачи о совместной работе сыпучего материала и ограждаю-
щих конструкций (задача о постепенном заполнении емкости, давлении на поверхность датчика статических напряжений).
В третьей главе представлены общая постановка и алгоритм численного решения для задач упруго-пластического деформирования материала в условиях локализации сдвигов на дискретной системе линий. Ширина полос сдвига считается достаточно малой [118, 156], для того, чтобы моделировать переходный слой в зоне локализации в виде сильного разрыва. Линии сдвига моделируются разрезами. Берега разрезов рассматриваются как часть границы области, а уравнения состояния в зоне локализации сдвигов - как граничные условия, описывающие взаимодействие берегов. Локализация сдвигов реализуется посредством различных условий на линиях.
Краевые задачи ставятся и решаются в приращениях, методом последовательных нагружений, Для того, чтобы отделить эффекты, связанные с локализованной пластичностью для материала вне линий сдвига выбрана модель линейно упругого тела [181].
Алгоритм численного решения строится на основе метода конечных элементов [71, 126, 160, 177, 127).
Первоначальное разбиение области на конечные элементы осуществляется автоматически, на основе существующих экспериментальных данных и аналитических исследований о расположении линий локализации для каждой конкретной задачи. Одно из семейств линий сетки конечных элементов строится максимально приближенным по форме и направлению к семейству линий локализации. При решении задачи с учетом критерия распространения линий и условий на линиях сетка может корректироваться.
Существенной особенностью начальной сетки конечных элементов является то, что все ее узлы двойные. Это позволяет располагать на ней разрезы не только вдоль любого семейства, но и одновременно вдоль нескольких семейств линий сетки. Нумерация узлов па сетке оптимизируется с целью уменьшения объема используемых в программе структур данных, при этом учитывается расположение разрезов. Расстояния между разрезами ограничивается снизу только размерами элементов. Поэтому, как число линий сдвига, так и расстояние между ними в системе может быть произвольным.
Предлагается алгоритм реализации нестандартных краевых условий в рамках метода конечных элементов. Используются свойства линейности системы конечных элементов на каждом шаге нагружения и описываются соответствующие изменения в матрице жесткости системы. Алгоритм позволяет решать задачи, в которых на границе заданы функциональные зависимости между неизвестными напряжениями и перемещениями.
Выводятся уравнения метода конечных элементов для задач механики деформируемого твердого тела в случае кубических эрмитовых конечных элементов. Функции формы приводятся в аналитическом виде. В узлах эрмитовых конечных элементов искомой считается вектор-функция приращений перемещений и их производных. Это позволяет улучшать точность для использования компонент тензора напряжений в точках расчетной сетки в условиях распространения линии сдвига.
Для численного решения разработан пакет программ на языке Fortran. Пакет включает в себя программы генерации проблемно-ориентированных сеток с двойными узлами, построения матриц жесткости для
различных моделей, реализации условий на разрезах, благодаря которым внутри непрерывной области могут возникать разрывы, а также программы получения полей перемещений и напряжений и визуализации картины деформирования.
В четвертой главе представлены численные решения краевых задач с различным числом линий локализации сдвигов.
Задача о напряженно-деформированном состоянии толстостенного цилиндра или кольца под действием внутреннего и внешнего давления имеет хорошо известные решения в рамках классических моделей. В классической модели с внутренним трением так же, как и в модели идеальной пластичности, решения плоской задачи определяют распределения напряжений, скоростей деформаций и конфигурацию характеристик поля скоростей, которые получили название систем линий скольжения. В этом случае линии скольжения имеют форму логарифмических спиралей и бесконечно близки. В свою очередь, эксперименты на металлах и горных породах показывают, что в данных условиях разрушению предшествует возникновение линий локализации сдвигов также похожих на логарифмические спирали.
На основе разработанного алгоритма получено численное решение задачи о напряженно-деформированном состоянии в окрестности круглой выработки, в предположении о наличии дискретной системы линий сдвига в виде логарифмических спиралей с различными углами наклона и различными условиями на разрезах. Условия отражают трение Кулона со сцеплением или постоянное касательное напряжение вдоль сдвига. Показано, что решения задач с достаточно большим числом разрезов (порядка 100) близки к известным аналитическим решениям упруго-
пластических задач в рамках моделей с внутренним трением и сцеплением или, соответственно, идеальной пластичности. Наличие заданного числа п разрезов в упругом кольце понижает среднее радиальное напряжение, действующее на внешней границе. Для. п = 96 среднее напряжение, так же как и для континуального упруго-пластического решения составляет около 83% от радиального напряжения, полученного в упругом решении задачи без разрезов, для п = 32 - 84%. п — 8 - 89%, п = 1 - около 99%.
Предложенный подход позволяет описывать промежуточное состояние среды, между классической упругостью, когда линий скольжения ист, и континуальными пластическими постановками, когда линии скольжения бесконечно близки. В рамках данного подхода возможен также переход к континуальной пластичности и упругости.
Таким образом, локализация деформаций на макроуровне приводит к тому, что материал в целом обнаруживает пластические свойства.
Далее приводится решение задачи, моделирующей развитие неограниченных сдвигов вдоль замкнутых линий в ограниченной области. Форма области и система разрезов выбирались на основе экспериментов (Бобряков, Ревуженко [153]). При построении сетки конечных элементов использовались уравнения, определяющие овалы Кассини, лемнискату Бернулли и полуокружности, соединенные отрезками прямых. Представленная картина деформирования в виде изменения сетки конечных элементов демонстрирует разделение материала на слои с образованием двух внутренних областей вокруг фокусов и смещение этих слоев друг относительно друга.
Ревуженко, Стажевским, Шемякиным [142, 143] был обнаружен режим несимметричного течения в суживающемся радиальном канале, сопровождающийся сильной локализацией сдвиговых деформаций. В данной главе представлено численное моделирование начальной стадии выпуска в сходящемся канале и в емкости с вертикальными стенками. В сходящемся канале рассматривалось несимметричное развитие линий скольжения, в емкости с вертикальными стенками - симметричное.
Продемонстрирована возможность исследования сдвижения горных пород у подпорных стенок и откосов. Характер и параметры процесса сдвижения в значительной мере определяются строением горных пород. Для слоистых пород характерно сползание по их контактам. Для оценки устойчивости откосов большое значение имеет исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности зон локализации напряжений. Разработанный алгоритм позволяет моделировать слои различной формы с изменяющимися свойствами и условиями на поверхностях скольжения.
Приводится решение задачи о развитии линии сдвига при повороте подпорной стенки.
В приборе однородного сдвига Ревуженко, Стажевским, Шемякиным, Бобряковым [141, 9, 10] показано, что при сдвигах, больших критического происходит переход к новому режиму деформирования: область разбивается сеткой линий скольжения на отдельные блоки и дальнейшее деформирование сопровождается смещениями, относительными проскальзываниями и поворотами отдельных блоков. В данной главе рассмотрено численное решение задачи о простом сдвиге для области с системой п прямолинейных разрезов. Локализация деформаций на макро-
уровне здесь также приводит к тому, что материал в целом обнаруживает пластические свойства. Наличие заданного числа разрезов в исследуемой области понижает среднее касательное напряжение, действующее на горизонтальных границах. Для п ~ 6 среднее касательное напряжение, составляет около 96% от касательного напряжения, полученного в упругом решении задачи без разрезов, для п — 16 - 92%.
В пятой главе аналитически исследуются периодические структуры, образованные криволинейными линиями сдвига в упругом кольце.
Решается задача о напряженно-деформированном состоянии в кольце с произвольным конечным числом разрезов в виде логарифмических спиралей при условии непрерывности нормального перемещения и вектора напряжений на разрезах. Линии сдвига образуют в кольце периодическую структуру. Задача сводится к отысканию бигармонической функции в области, представляющей собой элемент этой структуры, ограниченный двумя дугами окружностей и двумя логарифмическими спиралями. Получено аналитическое представление для напряжений и перемещений в исследуемой области.
Научная новизна и значимость работы определяются следующими результатами, которые выносятся на защиту:
1. В рамках механики сплошных сред рассмотрен класс задач механики сыпучих тел о давлении сыпучего материала. В качестве математической модели материала выбрана модель, учитывающая допредельное пластическое деформирование, упругую разгрузку, постепенное накопление пластических деформаций и переход в предельное состояние, а также такие основные свойства сыпучей среды, как внутреннее трение и дилатансия.
2. На основе решения задач о давлении материала с внутренним тре
нием и дилатансией в емкости на жесткие и податливые степки с различ-
нвім наклоном исследована, правомерность гипотез, которые предлагают
ся в инженерных схемах решения: о постоянстве коэффициента бокового
распора, развитом внешнем трении, предельном состоянии материала.
Для определения факторов, влияющих на величину коэффициента бокового распора, рассмотрены задачи о деформировании тонкого слоя под действием неравномерных нагрузок. Рассмотрен вопрос об искажениях, которые вносит при измерении давлений податливость датчика.
Разработаны все этапы моделирования процесса локализации сдвигов на линиях, представленных в виде разрезов: постановка задачи, построение численного алгоритма, компьютерная реализация в виде универсальных программ, решение конкретных задач, визуализация картины деформирования.
Построен численный алгоритм, реализующий метод конечных элементов на проблемно-ориентированных сетках с двойными узлами, позволяющий исследовать возникновение и распространение любого числа произвольно направленных разрезов криволинейной формы с различными типами условий, обеспечивающими возможность возникновения разрывов касательных перемещений.
Получено численное решение задачи о деформировании материала в окрестности выработки в условиях локализации сдвигов на системах с различным числом разрезов в виде логарифмических спиралей. Показано, что локализация деформаций на макроуровне приводит к тому, что материал в целом обнаруживает пластические свойства, а численное решение задачи с большим количеством разрезов близко к аналитическому упруго-пластическому решению.
Построены численные решения задач о деформировании материала в условиях локализации сдвигов на системах замкнутых линий, на системах прямых при простом сдвиге, а также, задачи о начальной стадии выпуска в емкости, задач о подпорной стенке и откосе.
Представлены постановка и аналитическое решение задачи для периодических структур, образованных дискретными системами линий сдвига. Построен класс функций напряжений, позволяющих описывать напряженно-деформированное состояние в упругом кольце с произвольным числом линий сдвига в форме логарифмических спиралей.
Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы при создании пакетов прикладных программ для решения задач механики твердого деформируемого тела. Разработанные алгоритмы и программы численного счета могут непосредственно применяться при исследовании процессов локализации сдвигов с различными условиями на поверхностях скольжения, а также, при расчете бункеров, химических реакторов и т. п., в практических задачах повышения надежности сооружений, взаимодействующих с геоматериалами.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14 42].
Автор выражает глубокую благодарность профессору Рсвуженко Александру Филипповичу за ценные научные консультации и поддержку работы.
Автор выражает искреннюю признательность академику РАН Шемякину Евгению Ивановичу за постоянное внимание к работе.
Давление сыпучих материалов на ограждающие конструкции
Одной из наиболее старых и классических является задача определения давления сыпучего материала на дно и стенки емкостей. Интерес к ней связан с необходимостью расчета различных бункеров для хранения сыпучих и порошковых материалов, химических реакторов, заполненных гранулированными компонентами и т.д. Впервые решение задачи для вертикальных боковых стенок было получено Яисепом [227]. Позже решение было обобщено на случай наклонных стенок (Сорокин [167]). Как в работе [227], так и в большинстве последующих работ (Курагин, Павлов, Тарасов [130, 96], Колбовский, Шанин [86]) при решении задачи вводится ряд дополнительных сильных гипотез, которые предельно упрощают задачу и сводят ее к одномерной. Однако, в связи с необходимостью более точных расчетов эта задача не утратила свою актуальность. Строительные нормы и правила также базируются на решении Янсспа, в которое вводится ряд поправочных эмпирических коэффициентов [80].
Экспериментальная оценка точности указанного решения наталкивается на ряд трудностей, связанных с зависимостью давления от податливости датчиков напряжений, стенок емкостей и других факторов.
Явления, происходящие в емкостях, и формирование давления на дно и стены часто объясняются на основе теории сводообразования (Анатольев, Платонов [2]). Для расчета давлений в цилиндрической части бункеров массового истечения Дженике, Иогансон, Кар сон [66—69] используют теорию минимальной энергии деформации. Движение в сходящихся каналах исследовалось Мрузом, Дрешером [109]. Баталов [7] рассматривает применение модели в виде укладки упругих шаров для расчета давлений в бункерах. В работе [269] (Тішт, Wmdels) рассматривается состояние исследований по определению нагрузок иа стенки емкостей и их соответствие нормативным документам ФРГ. Сравниваются данные экспериментальных исследований изменения горизонтального давления по высоте слоя, выполненных различными авторами, с рекомендациями норм. Обращается внимание на частые случаи аварий бункеров в различных странах (Таймер [179]). В работе [257] (Roberts) предлагается обзор, посвященный хранению и переработке сыпучих материалов. Рассматриваются закономерности течения сыпучих материалов в бункере. Анализируется эффект зависания сыпучего материала при истечении из бункера.
Большой класс задач механики сыпучих материалов сводится к определению их давлений па различные ограждающие конструкции. Эксперименты и расчеты давлений сыпучего материала на передвижные крепи и исследование движения сыпучих материалов в сходящихся каналах и рудоспусках представлены в работах Рсвужепко, Стажевского, Шемякина [142, 143, 146, 147, 169, 170]. Задача о симметричном поведении пластического материала в сходящихся каналах рассматривалась в монографиях Быковцева, Ивлева [43], Соколовского [164]. Моделирование выпуска сыпучих материалов из емкостей и исследование нагрузок от сыпучих материалов иа подбункерные питатели и стены бункеров, имеющие на поверхности дефекты рассматриваются в работах Крамаджяна, Стажевского, Хана [91, 92, 171, 172, 173].
Деформируемость и прочность песчаного грунта при сдвиге исследовалась Адушкииым, Орленко [1].
В реальных ситуациях давления на ограждающие поверхности существенно зависят от их податливости (Клейн [84, 85], Гольдштейн [62], Шихиев, Варгин [201], Курочкин [98]). В частности, указанная зависимость приводит к тому, что на показания датчиков статических давлений существенно влияние оказынает его податливость (Баранов [б]. Криворотов [94]).
Понятие о коэффициенте бокового распора является основным при разработке приближенных схем расчета сыпучего материала. В работах Гольдштейна, Костьг-ювоіі, Приймы [61], Широкова [200] представлены расчеты и методики определения величины распора.
Ревуженко, Стажевским [152, 153] даны поправки па дилатансию в основные справочные формулы механики сыпучих сред и приведены экспериментальные результаты, подтверждающие теоретические построения.
Большой интерес представляет решение задачи методами механики сплошных сред. Решение более строгими методами позволяет найти распределение всех напряжений и количественно оценить влияние различных факторов. При таком подходе обобщения на случай наклонных или криволинейных боковых стенок емкости, в отличие от схемы Я-НСЄ-на, новых трудностей не вызывает. По известному решению может быть вычислен коэффициент бокового распора и дана оценка погрешности инженерного решения.
Поверхности локализации деформаций можно наблюдать в различных средах. Это и хорошо известные линии Людерса в металлах и полосы сдвига в сыпучих средах и сдвижение горных пород.
Б приборе однородного сдвига Ревуженко, Стажевским, Шемякиным, Бобриковым [141, 9, 10] показано, что при сдвигах, больших критического происходит переход к новому режиму деформирования: область разбивается сеткой линий скольжения на отдельные блоки и дальнейшее деформирование сопровождается смещениями, относительными проскальзываниями и поворотами отдельных блоков.
Ревуженко, Стажевским, Шемякиным [142, 143] был обнаружен новый режим течения в суживающемся радиальном канале, сопровождающийся сильной локализацией сдвиговых деформаций. Вследствие этого течение приобретает существенно иерадиальный и несимметричный характер. Эти результаты получили свое развитие в работах Стажевско-го [174, 175] для решения задач выпуска сыпучих материалов, в [147] - для оптимизации рудоспусков. Виноградовым, Семеновым, Картусом, Каташинеким [50, 51] при исследовании рентгеновским методом прокатки порошков в сходящемся канале были обнаружены полосы локализации деформаций.
Давление сыпучих материалов на податливые ограждающие конструкции
Основные направления вычислительной механики разрушения отражены в монографии [53], а также в монографии Сиратори, Мисси, Ма-цуситы [162].
В [212] (Chang, Weeranie) предлагается модель несвязного грунта, основанная на механизме скольжения и содержащая семь параметров. Gudehus, Kolymbas, Darve, Vardoulakis в работах [222, 223, 224] проводили численный анализ моделей гипопластичности и возможность их использования для описания различных типов грунтов. Kolymbas в работах [232, 233] представляет модель гипопластической среды, в которой связь тензоров скоростей напряжений, самих напряжений и скоростей деформаций предполагается в виде функционала достаточно общего вида. Tejchman [268] рассматривает численное моделирование и развитие зон сдвига при компрессионных испытаниях гипоиластичесЕ ого материала. Задачи о напряженно-деформированном состоянии вокруг отверстий имеют хорошо известные решения в рамках классических моделей, представленные в монографиях Тимошенко [181], Надай [113], Качанова [83], Савина [157] и др. Остросаблипым [129] для различных условий пластичности получены точные решения статически определимых задач. В монографии Ставрогина. Протосени [168] рассмотрен комплекс вопросов, связанных с повышением устойчивости выработок на больших глубинах. В монографии Курлени, Миренкова [97] излагаются методы расчета напряженно-деформированного состояния элементов подземных сооружений, базирующиеся на теории упругости и теории интегральных уравнений. Лавриковым, Ревужеттко [99, 100] получено решение задачи о деформировании материала с блочной структурой вокруг выработки. В монографии Саврука [158] на основе метода сингулярных интегральных уравнений рассматривается задача теории упругости для тел с трещинами, R частности - бесконечная плоскость с равномерно размещенными краевыми радиальными трещинами.
Задача определения давления сыпучего материала на дно и стопки емкости является одной из классических в механике. Интерес к ней связан с необходимостью расчета элеваторов, различных бункеров для хранения сыпучих и порошковых материалов, химических реакторов, заполненных гранулированными компонентами и т. д.
Первое решение задачи для вертикальных боковых стенок было получено Янсеном [227]. Решение Янсена базируется на двух основных гипотезах: 1) коэффициент бокового распора к., равный отношению нормального напряжения на стенке к среднему нормальпому напряжению в горизонтальном сечении, постоянен (аналог закона Паскаля) и 2) касательные напряжения на стенках полностью развиты и пропорциональны норм ал ь и ы м н апряжен и я м.
Последующие исследования этой задачи, по существу, проводились в рамках указанных гипотез. Действующие в настоящее время строительные нормы и правила также базируются на решении Янсена, в которое вводится ряд поправочных эмпирических коэффициентов [80].
Для использования решения Янсена необходимы данные о величине коэффициента бокового распора. Рекомендуемые значения колеблются в весьма широких пределах. Так, для зернохранилищ по нормам РФ к та 0,4, по нормам США fc Й 0.6, в ФРГ в течение многих лет использовалось значение к та 0,3, затем ввели к та 0, 5, причем «эти значения чисто предположительные» [80, 179]. Таким образом, в схеме Янсена вопрос о значении коэффициента бокового распора остается открытым. Кроме того, оставаясь в рамках этой схемы, невозможно оценить и ее точность. Экспериментальная же оденка точности наталкивается на ряд принципиальных трудностей, связанных с зависимостью давления от податливости датчиков, податливости стенок емкости и других факторов.
В связи с этим большой интерес представляет решение задачи методами механики сплошных сред без использования гипотез 1). 2). Решение более точными методами позволяет найти распределение всех напряжений и количественно оценить влияние различных факторов. При таком подходе обобщения на случай наклонных или криволинейных боковых стенок, в отличие от схемы Янсена, новых трудностей пс вызывают. По известному решению может быть вычислен коэффициент бокового распора и дана оценка погрешности инженерного решения, основанного на гипотезах 1), 2).
Первая трудность, которая возникает при более строгой постановке задачи, связана с выбором математической модели деформирования среды. Математическая модель должна удовлетворительно описывать два основных свойства среды: внутреннее трение и ди латан сию. В большинстве моделей внутреннее трение описывается конечным уравнением относительно напряжений. В это уравнение входит гидростатическое сжатие, т. е. для каждого элементарного объема среды принудительно ставится условие предельного состояния. Анализ экспериментальных данных показывает, что в общем случае это основное предположение является наименее оправданным. Поэтому вопросы о предельном или допредельном состоянии материала также, как и об активном нагружении или разгрузке должны рассматриваться в процессе решения краевой задачи. Решение задачи будем проводить методом последовательных нагру-жений в рамках математической модели [148, 149, 150, 151].
Ограничимся случаем плоской деформации. В модели введена характеристика напряженного состояния р. имеющая смысл угла, на который отклоняется вектор напряжений на контакте возможного скольжения между частицами от нормали к этому контакту. Ориентация контактов определяется направлением наибольшего сжимающего напряжения и углом дилатансии д. Пусть Ох\х исходная декартова система координат. Обозначим, через а -. а\ (i j = 1.2) компоненты напряжений и главные напряжения на данном 1-м шаге нагружеиия.
Применение эрмитовых конечных элементов в механике деформируемого твердого тела
Отличие изменений напряжений в данном элементе тела (лагранже-вых) от изменений напряжений в фиксированной точке (эйлеровых) не влияет на вид уравнений равновесия (1.1) в виду малости приращений деформаций [44]. Рассмотрим сначала общую схему численного решения задачи, Напряженно-деформированное состояние сыпучего материала зависит от истории его нагружепия. Этот факт отражается в неголономности определяющих уравнений. Поэтому задача решается по приращениям параметра нагружения. Есть еще одна не менее важная причина необходимости перехода к приращениям. Эта причина связана со спецификой параметра нагружения в поставленной задаче. Как правило, задачи деформирования ставятся для определенных областей, на границах которых задаются краевые условия, зависящие от параметра нагружения. При этом предполагается существование естественного состояния, когда при нулевом значении параметра нагружения напряжения и деформации отсутствуют. Однако для рассматриваемой задачи такие постановки неудовлетворительны.
Основным фактором, влияющим на формирование давления на дно и стенки емкости является вес материала. Заполнение емкости производится постепенно при постоянном ускорении свободного падения. Поэтому в качестве параметра нагружения необходимо принять положение свободной поверхности материала. Таким образом, при начальном значении параметра нагружения деформируемая область вообще отсутствует. При увеличении параметра нагружения меняются как напряжения в области, так и сама область деформирования. Поэтому понятие естественного состояния теряет смысл. В связи с этим теряет смысл и понятие деформаций.
При численном решении необходимо задаваться малым, по конечным приращением параметра нагружения. Так как параметром нагружения является положение свободной поверхности материала, то в качестве его приращения в данной задаче выступает не скаляр, а скалярная функция hi{x\) 0. равная высоте слоя материала, поступающего в бункер на Ї-М шаге. Пусть на предыдущем шаге решение известно, т. е. в области D,;_i известно распределение напряжений, угла р и параметров г/, и $ (рис. 1). На следующем шаге в бункер поступает новый слой материала d-lt. Под действием собственного веса в алое устанавливается некоторое распределение напряжений о ДжьХз) [k,j = 1;2). В остальном они могут быть произвольными. Распределение начальных напряжений в слое определяется не моделью материала, а конкретными способами заполнения емкости. Таким образом, способ заполнения емкости характеризуется последовательностью функций hi{x{). a\Ax\, хо.) (&,j — 1,2) и функциями 7]. , -д. Параметры г/, , i9 определяют поведение материала при его последующем нагружении, когда слой di оказывается внутри области деформирования. Как правило, сыпучие материалы состоят из частиц различных фракций. При однородном распределении фракций по объему материал будет однородным. Однако если при заполнении не предусмотрены специальные меры, то может произойти сегрегация - разделение фракций. Это приводят к тому, что при засыпке первоначально однородного материала в поступившем слое d.; он будет уже неоднородным. Поэтому функции г/, , в в общем случае будут явно зависеть от координат х\, х%.
Для области D \ поступление в бункер і-го слоя означает, что па поверхности появилось некоторое распределение касательных и нормальных напряжений. Прибавляя приращения напряжений, полученные из решения системы (1.1), (1.2), к известному распределению напряжений, получим распределение напряжений в области на следующем шаге. Затем полученное решение продолжается на большую область (начальные напряжения в слое известны).
Таким образом задача сводится к решению системы (1.1), (1-2) для фиксированной области деформирования. Рассмотрим краевые условия на контакте материала с емкостью. Ограничимся пока случаем абсолютно жестких стенок. Контакт обладает свойствами сухого трения. Обычно условие сухого трения записывается в виде равенства \та\ = —/ Tffl, где та.-, аа касательное и нормальное напряжения на границе, / - коэффициент внешнего трения (сжимающие напряжения отрицательны). Такая форма краевого условия предполагает, что трение на границе полностью развито и, строго говоря, не описывает основное свойство сухого трения. Вопрос о степепи развитости внешнего трения это вопрос того же порядка, что и о предельном или допредельном состоянии среды. В рассматриваемом классе задач этот вопрос имеет принципиальное значение. Поэтому в строгой постановке граничное условие необходимо записывать в виде неравенства \та\ — faQ. Причем участки границы, где выполняются строгое неравенство или равенство, заранее неизвестны и должны определяться в ходе решения краевой задачи. Пусть а - угол, на который отклоняется стенка бункера от вертикали, щ, и-2 - приращения компонент смещений.
Напряженно-деформированное состояние материала в емкости. Начальная стадия выпуска
Большой класс задач механики грунтов и сыпучих материалов сводится к определению давлений на ограждающие конструкции. В некоторых постановках податливость конструкций значения не имеет, например в задаче об активном и пассивном давлениях грунта на подпорные стенки. И в том и другом случаях нагрузка определяется для крайних случаев достаточно больших смещений стенки, так что сами смещения влияния на нагрузку не оказывают. Однако для анализа реальных ситуаций иодобиых постановок, как правило, недостаточно. В первую очередь это связано с тем, что активное и пассивное давления существенно различаются между собой. Поэтому в качестве оценок действительных нагрузок (и тем более эпюр давлений и моментов) они дают весьма грубое приближение. В связи с этим возникает необходимость исследования задач в более строгих постановках.
Хорошо известно, что в реальных ситуациях давления на ограждающие конструкции существенно зависят от их податливости [201, 98, б]. Поэтому в строгой постановке задачи о расчете давлений должны ставиться как статически неопределимые. Для таких постановок необходимо сформулировать замкнутую систему уравнений, описывающую деформирование среды и корректные краевые условия. Не менее важным является вопрос об адекватности этих условий реальным условиям на границе. Можно дать следующую классификацию естественных краевых условий: на границе заданы 1) вектор напряжений или смещений; 2) отдельные компоненты векторов смещений и напряжений; 3) связь между компонентами напряжений (например, условие развитого сухого трения); 4) ограничение на компоненты напряжений в виде неравенства (например, сухое трение или прилипание на. неизвестных участках границы); 5) функциональная зависимость между компонентой напряжения, действующего Б определенной точке границы, и компонентой смещения этой же точки: 6) компонента смещения как функционал от распределения напряжений на определенном участке границы и т. д. Отметим, что для плоской деформации в общем случае необходимо задавать два краевых условия на всем замкнутом контуре, ограничивающем область деформирования. Задачи с краевыми условиями типа 3-5 исследовались в предыдущем параграфе. Учет податливости ограждающих конструкций приводит к более сложным краевым условиям типа 5, б.
Предположим, что компонента горизонтального смещения «і (жг) зависит от напряжений ац действующих на прямолинейном участке границы АВ (х\ const):
Здесь предполагается, что ограждающая конструкция работает упруго. Функция W определяется параметрами конструкции. Второе условие на границе может быть одним из следующих: щ 0, ауг = О, "12І /сц (/ как и прежде, коэффициент внешнего трения, остальные обозначения здесь и ниже - стандартны). Задачи будем рассматривать в рамках тех же уравнений, что и в предыдущем параграфе.
Наиболее четко эффекты податливости проявляются при измерении статических давлений грунтов и сыпучих материалов [б, 94]. Эксперименты показывают, что замеры датчиков зависят от их податливости. Это создает трудности при интерпретации экспериментальных данных. Можно рассмотреть задачу о напряженно-деформированном состоянии материала с учетом податливости датчика и определить зависимость между истинными давлениями, которые действовали бы в материале, если бы датчика не было, и давлениями, которые устанавливаются вследствие возмущений от датчика. Пусть в бункере боковые стенки и дно -абсолютно жесткие и на одной из стенок участок А В (датчик давления) обладает винклеровской податливостью. Предположим, что условия засыпки таковы, что в материале устанавливается линейное распределение н ач ал ьных н ап ряжен и й: 7 - удельный вес материала, т - ширина бункера. Следует отметить, что в (2.2) и ниже на свободных поверхностях вводится небольшая начальная пригрузка. Это связано с тем, что в математической модели начальные напряжения играют роль неупругих характеристик среды (свойство внутреннего трения). Так как в коэффициентах матрицы жесткости содержится отношение главных напряжений, то на свободной поверхности при численном счете получалась бы большая погрешность. Введение начальной пригрузки позволяет без изменения постановки задачи и конечных результатов эту трудность преодолеть.
После проведения засыпки материала к поверхности СВ прикладывается монотонно увеличивающееся давление. Задача о совместном деформировании материала и датчика решается методом конечных але-ментов при начальных условиях (2.2) и следующих условиях на границе:
