Содержание к диссертации
Введение
1. Краткий обзор и анализ литературы
1.1. Некоторые особенности механических свойств волокнистых композитных материалов 12
1.2. Обратные задачи идентификации и методы их решения 17
1.3. Расширенная задача идентификации физико-механических характеристик материала 25
1.4. Кратковременная прочность композитных материалов 29
1.5. Циклическая прочность композитных материалов 43
1.6. Континуальные теории поврежденности и критерии длительной прочности 51
2. Идентификация механических характеристик волокнистого композита по результатам кратковременных статических испытаний
2.1. Постановка задачи и метод решения 60
2.2. Определение механических характеристик органопластика. АРМОС-3/ЭБНФ 77
3. Модель усталостного разрушения ортотропных и композитных материалов при многоцикловом нагружении
3.1. Критерий прочности при стационарном циклическом нагружении 97
3.2. Модель накопления повреждений и условие разрушения при нестационарном нагружении 104
4. Определение характеристик циклической прочности волокнистого композита методами идентификации
4.1. Постановка задачи и методы решения 110
4.2. Результаты численных экспериментов 124
5. Критерий длительной прочности для волокнистого композита, основанный на континуальной теории анизотропной поврежденности 13 8
6. Идентификация характеристик эволюции поврежденности волокнистого композита
6.1. Постановка задачи и методика решения 155
6.2. Результаты численных экспериментов 162
7. Методы решения задач идентификации в вероятностной постановке
7.1. Общие положения. Метод статистического моделирования 167
7.2. Идентификация распределения характеристик циклической прочности волокнистого композита 171
Заключение . 175
Приложение. Основные положения теории непрерывных случайных величин и статистической обработки данных экспериментов 176
Литература
- Обратные задачи идентификации и методы их решения
- Определение механических характеристик органопластика. АРМОС-3/ЭБНФ
- Модель накопления повреждений и условие разрушения при нестационарном нагружении
- Результаты численных экспериментов
Введение к работе
Актуальность проблемы. Развитие современной техники тесно связано с производством и созданием новьж композитных материалов и конструкций, изделий из них. Широкое распространение получили волокнистые композитные материалы (ВКМ) на полимерной основе типа органо-, стекло-, угле- и боропластиков и тонкостенные конструкции из них, используемые в авиа-, судо- и машиностроении, в космической технике, химической и легкой промышленности. Указанные ВКМ получают обычно в виде однонаправленных лент или жгутов, из которых затем намоткой (или наложением) образуют оболочки или панели.
В работе используется феноменологический подход к описанию свойств ВКМ, согласно которому композит рассматривается как условно однородный, ортотронный и разнопрочный материал.
Известно существенное влияние на механические свойства ВКМ технологических факторов при изготовлении конструкций и изделий. Поэтому ВКМ следует рассматривать как материал, создаваемый совместно с конструкцией, а информацию о его свойствах получать на основе результатов испытаний таких "характерных" образцов, которые бы адекватно отражали специфику работы ВКМ в составе реальной конструкции, если изготовить их по той же технологии. Необходимо также, чтобы процесс изготовления и методика испытаний этих образцов были как можно проще -в противном случае такой подход может потребовать больших материальных затрат (в частности, для определения прочностных характеристик ВКМ необходимо каждый образец доводить до разрушения). В качестве таких "характерных" образцов целесообразно использовать тонкие цилиндрические оболочки, образуемые перекрестной спиральной намоткой лент или жгутов из ВКМ. Изготовление таких оболочек существенно проще, чем оболочек вращения сложной формы, и ряд образцов может быть получен путем поперечной нарезки длинной намоточной трубы. Хорошо разработана и техника их испытаний. При этом если в процессе испытания цилиндрической оболочки обеспечить ее безмоментное напряженное состояние, то оно будет являться и однородным по всему ее объему. Тогда режим деформирования и разрушение оболочки можно отождествлять с режимом деформирования и разрушением самого ВКМ.
Преимуществом такого подхода является также то, что он позволяет снизить трудоемкость экспериментальной работы по сравнению с определением механических характеристик ВКМ на стандартных (плоских или призматических) образцах- вместо ряда специальных испытаний, требующих использования различного оборудования и оснастки, можно провести однотипные испытания указанных оболочек с разными углами перекрестной намотки осевой силой или/и радиальным давлением. При этом под действием даже одной из этих нагрузок в осях ортотропии ВКМ реализуется плоское (а не одноосное) напряженное состояние.
к вариациям исходных данных. Задача же онределэдэдд^жхшшиеС' "*
:к ВКМ в составе оболочек по известным
Последнее обуславливается тем, что такие оболочки являются внутренне статически неопределимыми - нахождение напряжений в осях ортотропии ВКМ требует привлечения условия совместности деформаций и физических соотношений. Эта задача в математическом плане является прямой и всегда имеет единственное точное решение, устойчивое ких характеристик
ОЭ 200 Увк*
апКШ
выходным (деформации, долговечности оболочек) данным является обратной задачей идентификации, которая, как правило, не может быть решена точно; кроме этого она может оказаться неустойчивой по исходным данным. Решение таких задач требует учета ряда свойственных им особенностей и применения специальных подходов.
Таким образом, целью настоящей работы является:
1) Систематизация и анализ круга вопросов, связанных: а) с особенностями моде
лей прочности ВКМ при кратковременном статическом, длительном статическом и
многоцикловом нагружении; б) со спецификой обратных задач параметрической
идентификации и подходами к их решению.
2) Разработка рациональных и эффективных методов идентификации параметров
вышеуказанных моделей в рамках единого подхода - на основе результатов испы
таний образцов в виде тонких цилиндрических намоточных оболочек, с учетом осо
бенностей, характерных для данного класса задач.
Научную новизну составляют следующие результаты:
-
Разработана методика идентификации параметров определяющих соотношений и прочностных характеристик плосконапряженного ВКМ по результатам кратковременных статических испытаний намоточных цилиндрических оболочек;
-
Предложены критерии усталостного разрушения плосконапряженного ортотроп-ного разнопрочного материала при его работе на одном и на нескольких режимах циклического нагружсния и разработаны методы идентификации параметров данных критериев для ВКМ по результатам испытаний намоточных цилиндрических оболочек на многоцикловую усталость;
-
Разработана методика идентификации параметров модели накопления повреждений, связанной с критерием длительной прочности плоско напряженного ВКМ, по результатам испытаний намоточных цилиндрических оболочек на статическую усталость;
-
Предложена расширенная постановка вышеуказанных задач идентификации, позволяющая учесть возможные погрешности исходных данных и используемых моделей и снизить их влияние на получаемое решение. Получены результаты обработки данных реальных экспериментов и результаты решения модельных задач, подтверждающие преимущество данной постановки;
-
На основе метода статистического моделирования (Монте-Карло) предложена методика идентификации законов распределения характеристик циклической прочности ВКМ как случайных величин по результатам испытаний цилиндрических оболочек.
Обоснованность и достоверность научных положений и результатов обеспечивается строгими математическими постановками задач, использованием уравнений механики деформируемого твердого тела, обоснованным применением математических методов, решением тестовых задач и численными экспериментами, сопоставлением результатов расчетов с экспериментальными данными.
Практическая значимость работы состоит в том, что разработанные методики идентификации позволяют определять свойства композитных лент (жгутов, монослоев), опосредованно учитывая условия их работы в составе многослойных оболо-чечных конструкций, в том числе, учитывая влияние технологических факторов. При этом также снижается трудоемкость экспериментальной работы по сравнению
со стандартными методами определения механических характеристик ВКМ на плоских или призматических образцах. Предложенные формы критериев циклической и длительной прочности для ортотропного разнопрочного материала могут позволить уточнить прогноз усталостного разрушения ВКМ. Результаты работы могут быть использованы в организациях, занимающихся проектированием и изготовлением конструкций и изделий из ВКМ.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, семи разделов, заключения, приложения и списка литературы; содержит 200 страниц, в том числе 22 таблиц, 27 рисунков.
Обратные задачи идентификации и методы их решения
В настоящее время методы идентификации широко применяются для определения жесткостных характеристик конструкций или действующих на конструкции нагрузок (см. Пархомовский Я.М. [1, 2]; Одиноков Ю. Г., Одиноков А. Ю. [1]; Костин В. А., Снегуренко А. П. [1-3]; Костин В. А., Торопов М. Ю., Снегуренко А. П. [1] ), для определения условий закрепления элементов конструкций (см., например, Ахатов И. И., Ахтямов А. М. [1]), для решения задач теплообмена и гидропроводности (см., например, Алифанов О.: М. [1];; Мацевитый Ю. М., Лушпенко С. Ф. [1]; Хайруллин М. X. [1]), для определения оптимальных технических характеристик машин (см. Касьянов В. А., Ударцев Е. П. [1] ), в управлении технологическими: процессами в машиностроении (см. Тихонов А. Н., Кальнер В. Д., Гласно В. Б. [1 ]), а также для определения физико-механических характеристик конструкционных материалов.
Задача идентификации физико-механических характеристик конструкционных материалов по результатам испытаний конструкций (изделий) ставится следующим образом: по заданным внешним воздействиям (нагрузки, температура, влажность и т. п.) и по замеренным в экспериментах откликам конструкций (деформации, долговечности, величины разрушающих нагрузок) требуется определить параметры моделей деформирования; и/или разрушения материала.
Подход к определению параметров, характеризующих нелинейно-упругое поведение ортотропных волокнистых композитных материалов (ВКМ), по результатам испытаний тонких безмоментных цилиндрических оболочек, образованных перекрестной намоткой или укладкой лент из данного ВКМ, был предложен в работах Терегулова И. Г. [2,3]. В работе Суворовой Ю. В., Добрынина B.C., Статникова И. К, Барта Ю. Я. [1] данная задача была решена относительно линейно-упругих характеристик ВКМ.
В работах Алфутова Н. А., Таировой Л. П. [1] и Алфутова Н. А., Зиновьева П. А., Таировой Л. П. [1] был предложен метод идентификации линейно-упругих характеристик ВКМ по замерам деформаций тонкой многослойной пластины, изготовленной наложением слоев ВКМ с различной ориентацией волокон.
Вышеуказанные работы являются основополагающими по данному вопросу. Уже тогда были отмечены преимущества такого подхода — не только снимаются трудности, сопряженные с непосредственными испытаниями ВКМ (например, при растяжении /сжатии ленты поперек волокон или при сдвиге), но и представляется возможным косвенно учесть влияние технологических факторов, возникающих при изготовлении конструкции.
Было обнаружено, что при больших различиях в относительных весах неизвестных даже незначительные (в пределах ±5%): возмущения исходных данных весьма существенно сказываются на значениях малых параметров. Был сделан вывод о необходимости нормировки разрешающей СЛАУ.
В работе O Brien Е., O Donnell J. [1] алгоритм идентификации был применен к определению жесткостных характеристик бетона по замерам прогибов железобетонного покрытия моста в стадии возведения.
В работах Воронцова Г. В., Плющева Б. И., Резниченко А. И. .[1], Рикардса Р., Чате А. [1] и Frederiksen P. S. [1] задача идентификации линейно-упругих характеристик ВКМ решалась с использованием методик планирования экстремального эксперимента.
Разработке методов идентификации линейно- и нелинейно-упругих характеристик ВКМ были посвящены следующие работы сотрудников КазГАСА (КазИСИ): Каюмов Р.А.[1,5,6]; Терегулов ИГ., Бутенко Ю. И., Каюмов Р. А. [ 1 ]; Терегулов И. Г., Каюмов Р. А., Бутенко Ю. И., Сафиуллин Д. X. [ I]; Терегулов И. Г., Бутенко Ю. И., Каюмов Р. А., Сафиуллин Д. X., Алексеев К. П. [1],.где в качестве объектов испытаний рассматривались намоточные цилиндрические оболочки. В работах Терегулов И. Г., Каюмов Р. А., Фахрутдинов И. X. [1] и Каюмов Р. А. [3] в указанном качестве рассматривались намоточные оболочки вращения. Были получены условия невырожденности разрешающей системы уравнений и предложены способы ее нормировки, улучшающие обусловленность задачи. Методы идентификации пластических характеристик ВКМ по результатам испытаний тонких оболочек были рассмотрены в следующих работах: Терегулов И. Г., Каюмов Р. А.,. Бутенко Ю. И., Сафиуллин Д.; X. [1]; Каюмов Р. А,, Гусев С В. [1, 2]; Кагомов Р. А., Ильязов Р. Н, [1]; Гусев С. В. [1]. При этом для ВКМ использовалась модель жестко-пластического тела и концепция: предельного равновесия.
Задача; определения "выходного сигнала" по входным данным и по заданной модели системы (в том числе - по известным параметрам этой модели) является прямой задачей и всегда имеет единственное точное решение (например, задача определения НДС конструкции по заданным нагрузкам: при известных моделях: конструкции и ее материала).
Задача же идентификации, как правило, не имеет точного решения-ее удается решить лишь приближенно. При этом получаемое (приближенное) решение нередко оказывается неустойчивым по исходным данным. Возможно даже получение физически неприемлемых результатов.
Определение механических характеристик органопластика. АРМОС-3/ЭБНФ
Известно, что разрушение большинства волокнистых композитных материалов (ВКМ) с. полимерной: матрицей происходит уже при наличии необратимых деформаций . При этом, как правило, имеет место эффект упрочнения.
Для описания упруго-пластического поведения ВКМ в качестве определяющих примем соотношения деформационной теории пластичности, которые для случая активного однопараметрического нагру-жения- плосконапряженного ортотропного материала обобщенно можно записать в виде IK(Z, т, є) = 0, 7 = 1,2,3 (2.1.1) где о = {(Тп , а12, ап}т - вектор напряжений в направлениях орто-тропии ВКМ, = {єи , є2 , єп У вектор деформаций в направлениях ортотропии ВКМ, z вектор (набор) независимых коэффициентов.
Как это принято в деформационной теории пластичности, будем полагать, что режиму упругого (обратимого) деформирования соответствует лишь начальный участок линейной зависимости между о У и є ij, а последующая стадия, где зависимость между о & и Єу становится существенно нелинейной, соответствует режиму пластического деформирования с упрочнением., Тогда НДС при разгрузке представляется возможным определить в соответствии с теоремой о разгрузке А. А. Ильюшина, привлекая уравнения линейно-упругого ортотропного тела.
Это зависит, вообще говоря, от направления ортотропии механических свойств ВКМ, от вида нагружения (растяжение,. сжатие, сдвиг), а также от материалов и объемных. долей волокна и матрицы. Например, работу очень многих ВКМ при растяжении поперек волокон и при сжатии вдоль волокон можно считать линейно-упругой вплоть до разрушения, в то время как при сжатии поперек волокон и при сдвиге в плоскости армирования почти всегда имеют место существенные пластические деформации. Заметим, что в отождествлении нелинейности деформирования с его необратимостью и состоит, собственно, отличие деформационной теории пластичности от теории нелинейной упругости. Поэтому записанные для случая активного нагружения соотношения (2.1.1) могут, вообще говоря, совпадать по форме с соотношениями теории нелинейной упругости (см., об этом, например, Астафьев В. И., Радаев Ю. Щ Степанова Л. В. [1, с.119 ], Васидзу К. [1, с.316]). При этом только следует помнить, что НДС при разгрузке должно определяться не по этим соотношениям, а на основе вышеуказанной теоремы о разгрузке.
Применимость деформационной теории пластичности для описания поведения ортотропных полимерных ВКМ обоснована, например, в работах Победря Б. Е. [1,.2,.3].. Там же приведены некоторые варианты определяющих соотношений.
Критерий кратковременной прочности (условие разрушения) для ортотропного ВКМ в пространстве напряжений представим в виде /(ж-,о)= 1 ,- (2-1.2) где х — вектор (набор) независимых коэффициентов.
Исследуемая задача состоит в определении параметров моделей деформирования (2.1.1) и разрушения (2.1.2) плосконапряженного ВКМ по результатам испытаний тонких безмоментных цилиндрических оболочек, образованных перекрестной спиральной намоткой или укладкой лент данного ВКМ; под различными углами ±(р к направляющей.
Пусть проведены N серий испытаний таких оболочек радиальным давлением q и/или осевой силой Р с доведением; их до - разрушения (далее считаем, что q О - если давление внутреннее, Р 0 - если осевая; сила растягивающая).
Нагружение при испытаниях полагаем активным и однопарамет рическим, таким, что при совместном действии нагрузок на каждом к„-м шаге нагружения в процессе л-го испытания имеем Рьп = Р» Ьп Чк = Я«гкя (kH=lntK„) где Кп - число шагов нагружения в п-и испытании (n—\,N); tu 0 - значение параметра нагрузки, соответствующее к„-му шагу нагружения (при этом tk tk _, ).
Считаем, что в результате таких испытаний построены N полных осредненных диаграмм, точки которых устанавливают соответствие между замеренными на каждом кп - м шаге нагружения и-ой оболочки значениями нагрузки tk и деформаций (єх)к , (%) в географических координатах (см. рис. 2.1), где ось х совпадает с направляющей цилиндра, а у - кольцевая координата.
При этом значения tK , (єх)к (єу к п = - будем рассматривать как предельные значения нагрузок и деформаций, то есть непосредственно предшествующие разрушению И-и оболочки.
Предположим, что форма и параметры Z определяющих соотношений (2.1.1) известны. Тогда можно создать алгоритм вычисления векторов напряжений Gk и векторов деформаций Ек в осях ортотропии ВКМ для каждого кп - го шага нагружения каждой и-й оболочки по извест-ным из экспериментов значениям Рп Япи к - Затем можно вычислить деформации и-й оболочки в географических координатах ху. Для каждого кп -го шага нагружения и-й оболочки эта прямая задача решается следующим образом. Ввиду осесимметричности нагружения оболочки на каждом шаге должно выполняться условие совместности деформаций в осях ортотропии ВКМ (оно вытекает из условия = 0)
Модель накопления повреждений и условие разрушения при нестационарном нагружении
Будем считать, что процесс циклического нагружения сопровождается накоплением: повреждений в материале.
Степень поврежденности материала при стационарном циклическом нагружении будем считать зависящей от числа пройденных циклов N и от долговечности N (числа циклов до разрушения), соответствующей данному режиму нагружения.
В качестве количественной меры поврежденности материала (как изо-, так и анизотропного) введем скалярный параметр co(N, N ) таким образом, чтобы: 1) со =0 иметь только при N = 0; 2) со — 1 иметь только при N = N ; 3) при 0 N N иметь 0 со 1; 4) функция со(N) была непрерывно возрастающей (это следует из факта незалечиваемости повреждений).
Примем теперь во внимание тот факт, что долговечность материала N при стационарном циклическом нагружении зависит от максимальных и минимальных значений циклических напряжений Gmax, omi„, причем эта зависимость устанавливается уравнением (3.1.1) - критерием прочности материала при стационарном циклическом нагружении,
С учетом этого перепишем (3.2.1) в виде решение уравнения (3.1.1) относительно долговечности.
В итоге мера поврежденности материала (О оказывается неявно (через долговечность N ) зависящей от ат и аа, то есть кривые co(N) по (3.2.5) будут разными при разных циклических напряжениях, хотя зависимость со от отношения N /N будет однозначно определяться только константами материала zm.
Относительно же работы материала на различных режимах циклического нагружения сделаем предположение о простом суммировании повреждений, то есть будем считать, что мера поврежденности материала к концу К-го режима определяется как мера поврежденности материала, накопленная в процессе его работы на к-ы режиме нагружения по тому же закону, что и при стационарной работе в условиях этого режима.
Тогда, учитывая (3.2.5), для описания эволюции поврежденности материала при нестационарном циклическом нагружении, получим следующее соотношение
Здесь N\ = N%Gmi[ Ga k x) - долговечность материала при его стацио нарной работе в условиях к-го режима (к= \,К), определяемая из урав-нения (3.1.1) при Gm = Gm, и Ga=Ga,t если известны значения прочностных характеристик х. Поскольку при этом интерпретация меры поврежденности со остается, очевидно, той же, что и при стационарном циклическом нагружении, то естественно полагать, что при разрушении материала на К-м режиме должно выполняться равенство QJ(Z, NJN;\N2/N;,..., NK/N = І, (3.2.8) которое можно рассматривать как условие разрушения материала при нестационарном циклическом нагружении. ) или же определяемая экспериментально из стационарного испытания на многоцикловую усталость при от = ат , и Ga = Ga , .
Критерий (3.2.7) можно рассматривать как нелинейную (относительно Nk/N k) модификацию критерия Пальмгрена - Майнера (1.5.5).
Поскольку с помощью (3.1,1) долговечности для всех режимов могут быть однозначно (правда, в общем случае - лишь численно) выражены через максимальные и минимальные: значения циклических напряжений и компоненты набора х, то структуру условия (3.2.8) можно записать также в виде
Заметим, что в случае стационарного циклического нагружения (при К = 1) условие (3.2.8) должно быть эквивалентно условию (3.1.1). Легко видеть, что данное требование выполняется: в указанном случае из (3.2.6) получаем со — со, а равенство со = 1, согласно (3.2.1), эквивалентно условию N = N, где, в свою очередь, долговечность можно рассматривать как решение уравнения (3.1.1).
Известно, что после циклического нагружения материала его кратковременная статическая прочность становится меньше изначальной (той, которой материал обладал: до циклической работы). Эту прочность называют остаточной статической прочностью.
С использованием вышеизложенного подхода мы получаем также возможность естественным образом предсказывать остаточную статическую прочность материала после его работы (не до разрушения) на одном или на нескольких режимах циклического нагружения.
Если для данного материала установлены формы критериев (3.1.1) и (3.2.8), а также значения всех их параметров (компонент наборов х и z), то при работе материала не до разрушения на К \ режимах циклического нагружения мы всегда можем подсчитать по (3.2.7) накопленную меру поврежденности S (поскольку числа циклов работы на каждом режиме Nk и напряжения Gmk,Gak(k - 1,К) известны).
Естественным представляется предположить, что остаточная статическая прочность материала будет тем меньше, чем больше будет величина накопленной меры поврежденности ш, и учесть это в соответствующем данному материалу критерии; кратковременной статической прочности.
Результаты численных экспериментов
Величины введенных в расчет вариаций, обеспечивающие минимум расширенной функции цели (4.1.8), не превысили заданных ограничений (4.2.3) и здесь не приводятся.
Как видно, в целом значения (4.2.4) ближе к изначально заложенным, чем приведенные в последнем столбце табл. 4.2.2, полученные при том же разбросе данных в результате решения обратной задачи в традиционной постановке.
Величина функции цели, то есть квадратичной невязки системы уравнений (4.1.9), составила в точке найденного минимума д2 = 0.011, что на порядок меньше значения S2(x) = 0.109, приведенного в последнем столбце табл. 4.2.2. При этом наибольшая (из 15-ти) погрешность выполнения уравнений (4.1.9) (с учетом внесенных при разбросе возмущений и с введением найденных величин всех вариаций) составила, как. выяснилось при проверке по алгоритму прямой задачи, всего 5.8%.
С целью проверки устойчивости полученного решения в исходные данные был заново внесен совместный разброс (путем повторного обращения к: функции-генератору случайных чисел) в тех; же пределах: ±20% по значениям жесткостных характеристик ВКМ, ±10% по значениям циклических нагрузок и ±20% по значениям долго-вечностей. После этого обратная задача снова была решена в общей вариационной постановке с вышеуказанными ограничениями. В итоге найденные значения прочностных характеристик после осреднения по (р отличались от исходно заложенных и от (4.2.4) на величины того же порядка, что и возмущения, внесенные при разбросе. При этом наибольшее отличие восстановленного значения от изначально заложенного имело место для параметра /?2 и составило 30.3 % , а величина квадратичной невязки уравнений (4.1.9) в точке минимума составила S2 =0.026, то есть имела тот же порядок, что и. выше.
Следовательно, решение расширенной задачи идентификации можно в рассматриваемом случае считать устойчивым к разбросу исходных данных и не требующим применения регуляризации.
Задача 2. В данной задаче исследовалась работа алгоритма совместной идентификации: параметров моделей (3.1.2) и (3.2.7), характеризующих прочность ВКМ в общем случае нестационарного циклического нагружения.
Соотношения нелинейной упругости и значения жесткостных характеристик ВКМ, функции для аппроксимации кривых Веллера и исходно закладываемые значения всех параметров критерия (3.1.2) были приняты такими же, как и в предыдущей задаче.
Рассматривался весьма простой вариант модели (3.2.7) - когда М = 4, то есть условие разрушения у-той оболочки было принято в виде где NT. = N ( sm!c:, ofl .., x) - численные решения относительно дол J J J говечности уравнения (3.1.2) при аппроксимациях кривых Веллера по (4.2.1). Для воспроизведения "экспериментальных" данных использовалась следующая процедура. Для каждой оболочки задавалось число режимов работы до разрушения Kj и значения циклических нагрузок на каждом
По этим напряжениям при заданных значениях характеристик стационарной циклической прочности X из уравнения (3.1.2) определялись компоненты вектора Я , (долговечности для всех режимов).
Наконец при исходно заложенных значениях ъ 5.398, z2 = - 11.724, z3= 10.839 параметров модели (3.2.7), удовлетворяющих при. М = 4 ограничениям (3.2.2) и (3.2.4), из условия разрушения (4.2.5) определялся набори. соответствующих чисел циклов работы /-той оболочки на каждом режиме (как одно из множества возможных решений: нелинейного уравнения с Kj неизвестными).
Таким образом были получены данные 17-ти "испытаний" 17-ти оболочек с углами намотки (р = ±5, .±10, ±15, ±20, ±25, ±30, ±35, ±40, ±45, ±50, ±55, ±60, ±65, ±70, ±75, ± 80, ±85, частично (в виду громоздкости) приведенные в табл. 4.2.3.
Сначала, как ив предыдущей задаче, в целях проверки соответствия полученных данных алгоритму идентификации х и z по этим- данным была подсчитана квадратичная невязка. р (х,г) системы уравнений (4.2.5), соответствующая исходно, заложенным значениям прочностных характеристик.
Найденное в результате ее значение р2(\, z) = 7.38 10 1 свидетельствует о том, что воспроизведенные данные можно далее рассматривать в качестве теоретически точных.
Затем, с целью выбора наиболее эффективного метода решения данной задачи нелинейного профаммирования, из условия минимума функции p2(x,z) отыскивались значения компонент х иг при офа-ничениях (4.2.2) и (3.2.2), (3.2.4). При этом для численного решения Номер испытания р Номер режима 1 max2izRh, МПа Р1 mm2жКН, МПа qmaxRlh, МПа qminRih, МПа Число циклов мизации) использовался метод Ньютона.
В итоге наиболее высокая точность решения была получена при использовании реализованного в пакете Optimization Toolbox 2.1.1 СКМ MATLAB 6.1 метода последовательного квадратичного программирования (SQP method). При этом значения всех прочностных характеристик были восстановлены практически точно (с погрешностью в пределах ±0.5% от заложенных), а значение целевой функции в точке минимума имело порядок /?2 -10
