Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Некоторые вопросы решения краевых задач механики деформируемого твердого тела.. 11
1.1. Постановка линейных задач теории упругости 11
1.2. Общие сведения из теории метода конечных элементов (МКЭ) 12
1.3. Применение МКЭ для решения задач термоупругости 21
Глава II. Исследование кинетики разрушения в некоторых статических задачах теории упругости 28
2.1. О прочности материалов на сжатие 28
2.2. К кинетике разрушения выступа на контуре выработки 74
2.3. Расчет полей напряжений в телах с полярной симметрией ........ 90
2.4. 0 разрушении бесконечно длинного кругового цилиндра (бразильская проба) 98
Глава III.Методика решения термоупругих задач в твердых телах с учетом разрушения 116
3.1. Численное решение задач типа Стефана (одномерный случай) 116
3.2. Скорость сходимости вариационно-разностных схем для двумерных линейных параболических уравнении 120
3.3. Исследование полей температурных напряжений в длинном толстостенном цилиндре 133
Заключение 146
Литература 148
Приложение 161
- Постановка линейных задач теории упругости
- О прочности материалов на сжатие
- Численное решение задач типа Стефана (одномерный случай)
Введение к работе
На практике часто возникают задачи, связанные с определением напряженно-деформированного состояния различных тел.Наследование прочностных свойств этих тел, выяснение причин их возможного разрушения тлеет большое практическое значение.
Одним из наиболее распространенных состояний ,в которых находятся элементы конструкций, детали машин, горные породы,является состояние сжатия. Для оценки этого состояния введено такое понятие, как предел прочности на одноосное сжатие; эта характеристика материала наиболее проста в экспериментальном определении и считается одной из основных. Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования посвящены изучению предела прочности различных материалов на одноосное сжатие и влияния на его величину различных факторов: масштабного, изменения линейных размеров выеоты,диаметра образцов,условий на торцах и т.д. См.например,работы П.Бриджмена[12], Л.С.Бурштейна Цб], Е.И.Ильницкой и др.[3б], Ю.М.Карташева,А.А.Грохольского[39І, М.Ф.Кунтыша[49,50] ,М.М.Протодьяконова[8і) ,А.Б.Фадеева{9бП , Г.Н.Кузнецова[48] и многих других. Появились работы,в которых для исследования влияния указанных выше факторов применяются численные методы:метод конечных разностей - МКР, метод конечных элементов - МКЭ: это работы #W^ .Г[іІ2,ІІЗ) , 3v>u>«. . Т. и др. [114], #''<***** Л% #"**} Cl |09] , Р.Б.Бейсетаева, В.С,НикифоровскогоГ5], М.М.Муздакбаева, В.С.Никифоровского[бЗ]. В ряде исследований сделана попытка расчета появляющегося разрушения, см.например, работы Л.М.Качанова[37] , М.М.%здакбаева, В.С.Никифоровского [б5,67], авторефераты диссертаций В.В.Бундае-ва[14), В.Н.Крамаренко (473»
Экспериментаторы давно пришли к заключению,что предел проч- ности на одноосное сжатие не является характеристикой материала [I5,48j ,а является,по-видимому,удобной технической прочностной характеристикой образца-конструкции. Действительно зафиксированные описания картин разрушения образцов с образованием наклонных поверхностей разрушения или поверхностей разрыва,соосных действующей сжимающей нагрузке,можно скорее всего связать с напряжен* иями сдвига или растяжения.Проведенные численные исследования показали, что в условиях простого, на первый взгляд, испытания имеет место сложная неодномерная картина напряженного состояния, изменяющаяся при изменений условий численного эксперимента [Ь, 63,65,67,100,112,113,114] .
Нарушение однородности напряженного состояния массива горных пород поверхностными обнажениями с разнородными физико-механическими свойствами, а также в случае резкого изменения геометрического очертания, как например, пласт-целик, неровность контура реальной выроботки и т.п. в условиях больших давлений глубоких горизонтов, воздействия взрывных волн значительной амплитуды может привести к нежелательному разрушению контура, опасному для окружающего персонала и оборудования. Одно из распространенных явлений такого типа-стреляние горных пород - представ^- . ляет собой квазистатическое разрушение части поверхности контура выработки, сопровождающееся отделением её от массива иногда со значительными скоростями. Это явление представляется серьёзным, издавнв находится под неослабным вниманием исследователей (10,4^, в настоящее время к его исследованию привлечены численные методы механики сплошной среды, причем изучено не только напряженное состояние в начальном сплошном, но и в разрушающемся массиве{І0, 47,661 *;
В настоящее время существует несколько способов проведения испытания материалов на растяжение. Одним из таких способов является сжатие длинного кругового цилиндра по двум противоположным образующим к его центру (бразильская проба), и связано это с тем, что внутри образца имеют место напряжения растяжения Гз,15, 68,94*] Кроме этого возможна несколько другая трактовка разрушения такого цилиндра от нагруженных образующих с мест контакта по максимальным касательным напряжениям ГіІ9_) ,при этом в расчете учитываются новые свойства материала в разрушенной области.
В последнее время все большую актуальность приобретают вопросы определения температурных полей и температурных напряжений, К ним относятся освоение ядерных источников энергии,расчет конструктивных элементов машин и летательных аппаратов на температурные воздействия - далеко не полный перечень задач, в которых необходимо определение таких полей и напряжений. Исследования на эти темы велись как советскими , так и зарубежными учеными,Подобного рода задачи актуальны и в горной промышленности. К ним можно отнести задачи шелушения материалов под действием тепловых источнике ов ,поскольку в подобных условиях часто возникают значительные градиенты температуры, сопровождающиеся температурными напряжениями.
Теоретическому и экспериментальному исследованию полей температурных напряжений и явлений шелушения, возникающих в твердых телах под действием неравномерного нагрева посвящены работы Э.Д.Бергмана [?], Б.Боли, Д.Уэйнера [її], Х.В.Вильсона [l9.,20j , Р.Х.Галлагера и др. [24], А.М.Дмитриева и др. [29] , Д.Б.Лонгкоуп и др. [ЬЗ], В.С.Никифоровского, В.М.Серякова [70"],И.0.0ялво |75J, Г.Паркуса [76} .В некоторых вышеуказанных работах, для анализа полей напряжений, применялись численные методы, в том числе и
Задача шелушения твердых тел под действием тепловых источников , как и задачи течения многофазных жидкостей или движения границ, фаз в твердых телах, например, замерзание или плавление, приводят к решению краевых задач типа Стефана, т.е. определению неизвестных границ между фазами при соответствующих условиях на этой границе. Постановка задачи Стефана, её обоснование и доказательство теоремы сзпцествования и единственности даны для некоторых простейших случаев[17,38] .Более сложные краевые задачи типа Стефана обычно решаются численными методами, например, работы Б.М.Будака, Ф.П.Васильева, А.Б.Успенского JJ3] ,В.П.Васильева hji и других авторов. В книге Б.З.Амусина, А.Б.Фадеева [з], в статьях Ш.Смагулова, М.М,%здакбаева [88І, О.С.Зенкевича, и др. Гі23 к решению краевых задач типа Стефана привлечен МКЭ.
Многие прикладные задачи не поддаются решению классическими аналитическими методами. В результате появления ЭВМ, их развития и дальнейшего совершенствования, широкое распространение получили численные методы: метод конечных разностей (МНР), вариационно-разностный метод (ВРМ) и метод конечных элементов (МКЭ). Решение прикладных задач сводится к решению краевой задачи для системы линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими краевыми условиями.
Теория таких дифференциальных уравнений получила развитие, благодарилусшшям : многих советских и иностранных математиков. Среди советских ученых, которые сделали значительный вклад в теорию МКР,ВРМ можно указать работы Г.И.Марчука{Ьб], С.Г.Мих-лина[бІ], Л.А.Оганесяна|?3,74], А.А Самарского[85]. Р.Курант ]іІб)обратил внимание на такую форму вариационно-разностного метода,которая в дальнейшем совпала с основной формой МКЭ. А само понятие МКЭ под названием дискретных элементов (или прямой метод жесткости) появилось в работах Р.У.Клафа, М.Д.Тернера, Дж.Аргириса и других авторов[4,41,110,125]. Дальнейшее разви- тие ЖЭ получил в работах 0. С. Зенкевича [ЗІ,32І, М.Зламала(Ї27, 128J, В.Г.Корнеева144,45], Л.А.Розина[84]и других исследователей [ЗО,60,87,96І . Теоретическое обоснование МКЭ и его связь с теорией сплайнов, теорией аппроксимации, а также с методом Рит-ца и ВРМ подчеркивалось в работах Ж.Деклу[27], Г.Стренга, Дж.Фикса [93], И. Бабушки ГіІҐ), Е.А.0ливейра[Ї2Л, а также в некоторых вышеуказанных работах.
Одним из успешных применений ЖЭ явилось решение ряда двумерных задач теории упругости: работы О.С.оенкевича, И.Чанга[Зі], Р.У.Клафа [4IJ, С.Б.Ухова [9б], М.Дж.Тернера и его сотрудников р2^ и других авторов [з,5,16,21,22,25,30,35,40,45,55,60,80,84,85] . Исследование скорости сходимости схем Щд и получение априорных оценок также рассматривались в работах Ю.Р.Акопяна, Л.А.Оганесян на[і], Ж.Деклу[27"], В.Г.КорнееваГ45І, А.В.ЛьвоваІ55Іи других f/3,93,100,101,III,120,124,127].
Таким образом, все выше сказанное позволяет выделить некоторые актуальные проблемы и задачи :
Необходимо сформулировать и реально осуществитБ алгоритм расчета упругих и термоупругих задач с учетом реальных изменений твердых тел (появление и кинетику разрушений механического, теплового и. т.п. характера), причем твердое тело может иметь произвольную форму и достаточно произвольно менять первоначальное очертание.
В качестве первого примера рассмотрен численный аналог эксперимента на сжатие трубчатого элемента материала с учетом его разрушения. Показана сложная неодномерность полей напряжений и возможность описания разрушений, прийшлая в качестве критерия касательные напряжения. Ставится вопрос о том, является ли предел прочности на сжатие характеристикой материала или это скорее всего удобная в получении и использовании техническая - 8 -прочностная характеристика образца-конструкции.
В качестве остальных механических примеров расчета поставлены и решены важные задачи о стрелянии кусков горной породы в шахтах, о бразильском методе определения предела прочности на растяжение.
Проведено исследование температур и температурных напряжений в толстостенных цилиндрах с каналами сложной формы.Форма канала,а7следовательно, и стенка цилиндра меняется в процессе плавления или шелушения ( задача Стефана ).
Для изменяющихся в процессе решения областей (пункт 4 ) возникает проблема обоснования и доказательства существования и единственности решения для двумерного случая краевой задачи типа Стефана.
Первая глава имеет вводный характер; в ней рассматриваются необходимые для работы основные элементы общей постановки задач теории упругости и несвязанной термоупругости, основы метода конечных элементов. Приводится методика построения схем решения для эллиптических и параболических уравнений 2-го порядка.Описываются два подхода к решению уравнений термоупругости.
Во второй главе дан краткий обзор теоретических и экспериментальных работ посвященных,исследованию зависимости прочностных свойств цилиндрических образцов от различных факторов.Приведена постановка задачи и результаты численного исследования, влияния геометрических размеров и условий на торцах на их напряженно-деформированное состояние. Использована модель учитывающая появление зон разрушения и кинетику их развития. Выведены и численно реализованы соотношения для коэффициентов матрицы жесткости секториального элемента в случае плоской деформации.Приведены результаты моделирования эффекта расклинивания образца, вызванного использованием "смазок" на торцах. Решена задача о сжатаи полуплоскости с выступом. В зависимости от геометрических размеров выступа указаны места возможного начала разрушения и их механизм возникновения. Изложены результаты численного решения задачи об испытании образцов по методу "бразильская проба" с помощью секториальных и треугольных конечных элементов; проанализирована кинетика зон разрушения.
В третьей главе рассмотрены краевые задачи типа Стефана . Построен алгоритм для решения двуїлерной задачи несвязанной термоупругости для областей с движущимися границами. Для нахождения нового положения границы применены два метода.
Точность алгоритма проверялась для области в форме цилиндра с круговой конфигурацией внутреннего канала неполученное численное решение сравнивалось с точным IJ7J . Для нахождения нового положения движущейся границы применены два метода.
Получены априорные оценки скорости сходимости схем МКЭ для нестационарного уравнения теплопроводности в метрике пространств Lz/LqJh Vz'(si) в областях с движущимися границами (краевые задачи типа Стефана). Доказана единственность решений такой задачи и его ограниченность.
Анализируются результаты решения несвязанной задачи термоупругости для длинного толстостенного цилиндра с различной конфигурацией внутреннего канала при,её движении под воздействием плавления или терморазрушения.
Появление зон разрушения и их кинетика развития учитывается с помощью модели, описанной во второй главе.
После каждой главы приведены основные выводы по главе. В заключении кратко изложены основные результаты полученные в диссертации.
В приложении приводятся результаты некоторых расчетов.
Автор выражает благодарность научному руководителю д.ф.- м.н. В.С.Никифоровскому и к.ф.-м.н. В.М.Серякову за обсуждение результатов и постоянное внимание к работе. - II -
Г Л А В A I
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
I.I. Постановка линейных задач теории упругости.
Под воздействием приложенных сил твердые тела деформируются, при этом изменяют свой об"ем и форму. Напряженно-деформированное состояние твердого тела можно описать, например, задавая вектор перемещений (X или тензор напряжений 6а в каждой точке тела, компоненты которых удовлетворяют уравнениям Коши oL*{
Здесь F - вектор об"емных сил, у - компоненты тензора дефор маций, д & и ^e f _ параметры Ламе, ." и *} - модуль Юнга и коэффициент Пуассона, J> -плотность среды, = #* с суммированием по повторяющимся индексам = = 1,2,3 ; о А' - символ Кронеккера [54,68,94]] . Для уравнений (I.1.1)-(1.1.3) можно сформулировать задачи в обл асти -QL со следующими краевыми условиями на границе S : заданы перемещения заданы поверхностные силы смешанная краевая задача, когда на части поверхности ^г задано условие (1,1.4), а на остальной части S,Z=S-S1 условие (I.1.5). Допустимы и другие комбинации в граничных условиях , сохраняющие единственность решения задачи (68j. Часто систему (I.1.1)-(1.1.3) удобно рассматривать в форме Ламе (h+fif^olitf-tZ+juuiZ+fF~0г (I.I.6)
В случае учета температурных деформаций и напряжений вместо закона Г"ука (I.I.2) следуеть принять закон Дюамеля-Неймана
6Ij=^Uj + 2^-/9^ > f~(& + 2ju.)o*i (r.i.2a) где ot^ - коэффициент линейного расширения, В - отклонение температуры от начального ненагретого состояния. При этом уравнения равновесия в форме Коїли (I.I.I.) сохраняют свой вид, тогда как уравнения в форме Ламе (I.I.6) приобретают дополнительные слагаемые Ck+ft)azaolM'i>U + /uAU+fF'-zqiodIb^O. (і.і.ба)
1.2. Общие сведения из теории метода конечных элементов (МКЭ) МКЭ впервые был применён инженерами, а связь его с методом Ритца-Галёркина была показана в дальнейшем, по мере развития теоретических исследований [з,4,27,31,56,61,84,87,93,121,128]. ИЭ теории краевых задач известно , что задачу для уравнений вида с краевыми условиями (1.1.4) или можно свести к эквивалентной задаче определения функции, минимизирующий некоторый функционал І^^ЩЦ^ф^ф^.^, (1.2.3)-ІІ. si -гг. xi. Где Щ)еЩл), dsL-Щ , а е vtfsL). - ІЗ -Здесь W2 (St) - пространство Соболева , Wz (si) -подпространство пространства Ч'іг^ [52,90] .
Если на границе задано краевое условие (I.I.4) при g(x,y)=r& , то обобщенным решением задачи (1.2.1),(1.1.4) в классе WZ(SZ/называется такая функция ,которая при любой фун- кции удовлетворяет интегральному тождеству (1.2.3) зі,85] . В случае граничного условия (1.2.2) обобщенным решением задачи (1.2.1), (1.2.2) из \\/г (Х2 ) называется такая функция иСх,у) \Jt(si/ , которая удовлетворяет тождеству при любой функции Ш,ц) ) .
Соотношение (1.2.3) можно написать в упрощенном виде так [27,31,
44,6Ґ) і[й) = (ій,ЇІ>)-2(1), (1.2.5) которое в дальнейшем будем называть вариационной формулировкой дифференциального уравнения (1.2,1) .Задачи обращения оператора L и минимизации функционала 1(a) эквивалентны,т.е, нахождение решения уравнения (1.2.I) с граничными условиями (1.1.4) или (1.2.2), эквивалентно отысканию в классе достаточно гладких функций, такой функции, которая минимизировала функцио налы (1.2.3) или (1.2.4) соответственно [31,85].В методе Ритца вместо нахождения функции U(xf и) f минимизирующей функционал 1(й) на всем пространстве Wz(si/ , ^ft#/ ищется на после довательности конечномерных подпространств VK Є Wz (-&) . Пусть размерность подпространств V*t есть /- и # , )= О,1,..,1-1- базис этого подпространства, тогда любой элемент подпростран ства можно представить в виде;
И(Х^)=1.^ , (1.2.6)
В результате подстановки (1.2.6) в функционал I(U/ и минимизации его получим для определения CL- систему К алгебраических уравнений
ЦУ~» ]=>1 *-« (1.2.7)
Найденную таким образом іїункцию U, принимают в качестве приближенного решения задачи. Возможность выбрать базисы с конечными носителями является одним из преимуществ использования пространств \/и. , приводит, в отличие от классического метода Ритца, к малозаполненным матрицам.
Для численного решения задачи разобьем область S2^ на подмножества &<,^,...,6п. - конечные элементы, такие что:
1) Є является замыканием некоторой регулярной области,Ы1,..р,t/, 2) / \f -0 если Itj *'«// ф 0 если С *=/ N L 3) sx^lLei
Элементы могут быть треугольной, секториальной, и, вообще говоря, произвольной формы. В рассматриваемой области построим сеточную область -2д, с границей S/^ . Вершины элементов, чаще всего в данной работе это будут треугольники, назовем узлами сетки. Эта сеточная область обладает следующими свойствами Гі,73,74] .
1) Между точками ломаной S/^ и 8 при помощи нормалей к S устанавливается взаимно-однозначное соответствие.
2) Длины звеньев Si ломаной o/L лежат в пределах Sk. s e,L
Углы olt* между звеньями ломаной S^ лежат в пределах
Расстояние от S до -fy_ не превышает величину ок.
Длина сторон треугольников 3 лкжит в пределах е^к з ^ ejA б) Углы J2c треугольников лежат в пределах
Здесь Q, ел ,eZf e3JQ0/Q
Пусть в области _С2_ с гладкой границей S С поставлена задача (1.2.I)y (I.I.4) или (1.2.1), (1.2.2). Затем произведена триангуляция области _TZ, в соответствии с требованиями, показанными выше. Искомая функция ищется в области SZ/^ , в виде полинома
При kt- і (1.2.8) имеет вид:
Щх, у) = аО)в+сц$0х+ а<л ч, (і.г.9)
Такая функция линейна внутри каждого треугольника и непрерывно продолжается за его стороны. График (1,2.9) представляет собой поверхность, состоящую из треугольных областей, стыкующихся вдоль сторон. Внутри каждого треугольника три коэффициента однозначно определяются значениями &(Х,У) в тРех вершинах. Коэффициенты определяются из условия:
Щ,М=и?, Xy.fyeet. (1.2.10) где Усу %'.' - координата узла, находящегося на пересечении С и І координатных линий.
В качестве базиса конечномерного подпространства VK V/^(si) возьмем функцию с(х,К) равную і в узле (Хс, 4j) и 0 во всех остальных узлах и. восполненную кусочно-линейной во всей области й ^,-^=. ^-^-^- (І.2.П)
Носитель каждой такой функции расположен на звезде элементов, вокруг рассматриваемого узла и представляет собой пирамиду с вершиной равной I в данном узле, рис.1.1.
Для треугольника Є< с узлами С , J , №. базисная функция, например, для узла L имеет вид:
Я^= "+*+** > (1.2.12) где 0.- = ^-^, *=#-#,,, Єс~Х„-Х,, И *< * = 2. (площадь треугольного ) элемента Єіс Ы =<кк
4 Aim ^«
Аналогично напишутся коэффициенты ty & d{ CL <2 с циклической перестановкой индексов.
Формулу (1.2.8), т.е. приближенное решение задачи (1,2.1), (1.1,4) или (1.2.I), (1.2.2) можно написать в виде: U(X,y)=X-UgYj , (1.2.ІЗ)
Подставляя (1.2.13) в (1.2.3) или (1.2.4), затем полученное выражение дифференцируя по переменным UtV , и приравнивая его нулю придем к системе уравнений:
Щй]={Г]. (I.2.I4)
Матрица жесткости [К] имеет вид: w-МЭ^. (1.2.15) {fc-J ^jtfcdsL. (I.2.I6)
Матрица [/(J имеет ненулевые коэффициенты только на главной диагонали и около неё, эгак как два узла связаны только тогда , когда они принадлежат одному и тому же элементу. Скалярные произведения в (1.2.15), (1.2.16) вычисляются на каждом треугольнике, в результате образуются матрицы жесткости элементов [JC J. Каждая из них включает только узлы L -го треугольника, остальные её элементы равны нулю. И5 матриц [К ] строится матрица Ж)*1 V і V '—--U1 I/
Рисі .2, Вычисление производной по х [эз] .
Рис.1,1. Область определения базисной функции < в точке I. жесткости la J всей системы элементов. В МКЭ при решении системы алгебраических уравнений (1.2,14) в основном используются прямые методы исключения [87,92] .В данной работе во всех расчетах примем нялся метод исключения Гаусса [3,31,32,41] .
В случае плоской деформации уравнение (1,1.6) имеет вид [85}: v * с (j 2 17) где U. и ^~ - неизвестные перемещения, а I и У -компоненты вектора об"емных сил г по направлениям иХ и Й?соответственно. Пусть для этой системы поставлена 2-ая краевая задача . (1.2.18) где /L - направление внутренней нормали к границе S , а р* и рч - компоненты вектора поверхностных сил /
Как известно из теории, эффективность выбранной разностной схемы может быть дана после анализа сходимости, устойчивости и погрешности аппроксимации. Один из способов основан на непосредственной оценке погрешности аппроксимации исходного уравнения путем разложения в ряд Тейлора и рассмотрения ошибки отсеченного ряда с последующим исследованием устойчивости схемы, например , с помощью гармонического анализа. Если разностная аппроксимация удовлетворяет условию согласования, тогда по теореме Лакса об эквивалентности, устойчивость необходима и достаточна для сходимости [5б]. Так как МКЭ является в сущности методом Ритца, то вопрос о скорости сходимости МКЭ сводится к вопросу об аппроксимации решения в энергетической метрике функциями, с помощью которых восполняются сеточные функции для построения разностной схемы МКЭ. Поэтому, вместо вышеуказанного способа оценок погрешности аппроксимации с помощью отсеченного ряда Тейлора, оценка сходимости сводится к изучению аппроксимационных свойств систем базисных функций аппроксимирующих подпространств, при этом на основании леміш Брэмма-Гильберта 27,93^ следует, что погрешность аппроксимации зависит от степени гладкости рассматриваемых подпространств. Для простоты рассмотрим прямоугольную область-О-: lj(=(yf^):0<)C<^t6< ч<.1г X с границей S . Как упоминалось выше, если решение задачи (1.2.17), (1.2.18) существует, то оно доставляет минимум следующему функционалу: l[U)=\j(u)-(Xu+yv-)cl<^-foxu+%*)<&, (I.2.I9) где -*- * есть энергия упругой деформации тела. Будем называть решением задачи (1.2.17), (I.2.I8) вектор #=/#,*), 4ЖК'С-З-) который минимизирует функционал (1.2.19). Приближенным решением задачи (1.2.17), (1.2.18) называется вектор 2 Z,$&V. , который минимизирует функционал (1.2.19) на подпространстве V пространства Wz (S1.J .
Вычисление погрешности аппроксимации производится как в 85J и имеет порядок
Для осєсимметричесних задач все основные свойства (аппроксимация , сходимость) сохраняются. Главное различие состоит в переменности деформаций и напряжений внутри элемента из-за компоненты деформации с. - -- .
Уравнения Ламе для осесимметричной задачи в перемещениях имеют вид [ 54/ : ~ 21-a 4 --/-21 , -m+tbJut2l)
Рассматривая последовательность узловых подпространств V с параметром А. , ( /i = /на^А^ ), можно установить, что ошибка аппроксимации убывает, как степенная функция от , как и в задаче (1.2.17), (1.2.18). Для этого потребовалось предположение однородности ( коэрцитивности ), которое можно выразить следующим образом: базисные функции т; однородные порядка #« при условии, что существуют такие постоянные s , что для всех к., с, /'
Г937 :
Это условие налагается на все производные $ — г-^т ~ .^ ~ вплоть до порядка # , т.е. оно выполняется для всех Ы. , ДЛЯ которых с* 1 + о^ -к. . -f-c^K=s . Таким образом, - параметр , соответствующий гладкости подпространства V . Условие однородности становится важным для размерности 2 и выше. Его можно записать в виде геометрических ограничений на элементарные области Є ( конечные элементы). Сначала рассматривается стандартный элемент, скажем правильный треугольник с вершинами (0,0) , (1,0), (0,1). По отношению к ^ базисные функции и их производные вплоть до порядка fy должны быть ограничены. Затем преобразованием координат треугольник Є переводится в заданный треугольник ^t и исследуется якобиан этого преобразования. В результате получаем, что базис однороден, если прил--*^ все углы триангуляции превосходят некоторую нижнюю границу її . В этом случае нетрудно найти такие постоянные С$ , что [93J
Влияние геометрических свойств на аппроксимацию целиком охватывается этой оценкой. Посмотрим условие (1.2.22) для линейных функций на треугольниках. Пирамида f;= / в 7-й вершине и О в остальных. Между ними всегда (fy(x)l < і , поэтому для нулевой производной однородность выполняется Q = / .
Теперь рассмотрим производную по X на рис.1.2. Так как ](<;) ~ 4 и %(Р)~0 наклон функции % между этими точками равен [^3j #= (ІҐ
Для получения оценки (1.2.22), необходимо, чтобы постоянная CLS была не меньше 2./TCL& . Поэтому, если треугольник вырождается в "стрелку", базис не будет однороден. Вырожденные треугольники также могут нарушить численную устойчивость метода Ритца , поскольку отражается на числе обусловленности 2d матрицы жесткости . Число обусловленности определяется следующим образом J93J : где Л /клу , А кик -максимальная и минимальная собственные числа матрицы [к].
Как установлено, на равномерной сетке базисные функции МКЭ равномерно линейно независимы 93J
1.3. Применение МКЭ для решения задач термоупругости
Кроме эллиптических уравнений вида (1.2.І) в работе будут рассмотрены и уравнения параболического типа: #-/*=/, (1-зл)
Рассмотрим построение ВРС для уравнения теплопроводности. Отклонение температуры от начального состояния обозначим функцией joc|* **ок*(А*риьІ&), (1.3.2)
Здесь Р , в. , Т - плотность и теплоемкость среды, время процесса нагрева; переменность коэффициента теплопроводности
Я необходима в дальнейшем для описания свойств в разрушенной области.
Теперь постановка задачи от предыдущего отличается наличием начального условия
9(х,у,о)=4.(л,д). (I.3.S)
Для уравнения (1.3.2) могут быть сформулированы следующие граничные задачи: на внешней границе S заданы значения температуры поток тепла ?"> -%, (1.3.5)
3) условие конвективного теплообмена - t(%<*+%b)+*(*-*-)=- (1-3'6) где 0Х , Ём - направляющие косинусы внешней нормали PL, к границе; ft - тепловой поток; с/ - коэффициент теплообмена; Q**> - температура окружающей среды. Покажем на примере одномерного случая, что если на контакте между элементами выполнены условия согласования „ ^ / ^., чл / где УЬ - нормаль к контактной поверхности у между подобласти- ми-Х21 mSLz, a. 6tf f Л, и ^ , /1г - температура и коэффициенты теплопроводности в этих подобластях (-IZ = --f-Xl2.), то переменность коэффициента теплопроводности А не вызывает дополнительных вычислительных трудностей. Рассмотрим вариационную постановку задачи
У- Jb fr І, ^1, SL, — (№$**feW-
Отсюда видим, что действительно, при переходе от дифференциальной к вариационной постановке задачи, решение исходной задачи с переменными коэффициентами сводится к решению задачи с постоянными коэффициентами Лі в каждой подобласти -^2.^ , если существуют условия согласования на границе между подобластями Sic С =1,2).
Дня задач (I.S.2), (1.3.3), (1.3.4); (1.3.2), (1.3.3), (1.3.5) или (1.3.2), (I.3.3), (1.3.6) перейдем к вариационной формулировке, т.е. напишем соответствующий функционал, минимизирующий элемент которого совпадает с решением исходных задач
Заметим, что второй интеграл в (1.3,7) появляется только тогда , когда имеет место условие (1.3.5) или (1.3.6). Неизвестную функцию (температуру) В(х,У(-) ищем в виде (1.2.13), базис из имеет вид (1.2.12). Тогда 6(КУ*ч Для произвольного треуголь-ного элемента ^ , с узлами С , J , fC можно представить в виде о(*,у,*)=Съ ij f„Ji,Bi\=CfJ{e}, (1.3.8)
Минимизируя (1.3.7) по вектору узловых значений \&J , для произвольного элемента Є , получаем:
2іт=о*,] gl. [ПіоГ+іП, (1.3.9) где [к(е}] матрица жесткости ( теплопроводности ) /Cj - матрица теплоемкости ( демпфирования ) [tf'J--Jre-VfU^ , (І.ЗЛІ) ы j- вектор нагрузки
Сушшруя (1.3.9) по всем конечным элементам, получаем матричное дифференциальное уравнение [с№+№'] + {П = *, ft L'^L'J l- J -/ (I.3.I3)
Решая это матричное уравнение с начальным условием вида (1,3,3), и граничным условием (1,3,4), мы находим поле температур в исследуемой области.
При нахождении температурных напряжений, возникающих в теле в результате неравномерного нагрева предполагаем, что изменение температуры не влияет на упругие константы Ламе A , /U. и на коэффициенты теплопроводности Л и удельной теплоемкости С , Предполагаем также, что тело изотропно и однородно. Экспериментально установлено, что при повьшении температуры константы Ламе А » М- уменшаются, но вышеуказанные допущения для Л , М , X"*" t & вполне справедливы для нфлишком больших отклонений температуры,
Б области -Г2-Ч , где действуют массовые силы л , У , поверхностные силы Рх , ри , сосредоточенные силы Р и начальная температурная деформация {&} , матрица жесткости СП и вектор нагрузки {+ J имеют вид: У"' fx'"l, , ri>) С1-3-14) для случая плоской деформации: І}~(тЩф> (І.З.І5)
Здесь c/j - коэффициент линейного распшрения,*/^^^^-^^ . -/г - толщина конечного элемента. Уравнения (1.1.6а) можно решить двумя способами: первый способ заключается в следующем, положить все fi^sO в формуле (1,1.5), т.е. границы области свободны от нагрузок, а массовые силы равными нулю, т.е. X'=rY=0 , в (1.1.6а), затем напряжения вычислять по формуле (1.1.2а). При этом вектор нагрузки ^/ J из (I.3.I4) имеет вид: if] = -ІЇ^ЇС^НШ*, (I.3.I6) г 1 *"
В [85 J , интеграл из (I.3.I6) берется равным /^ C"J =,- fre^jVejJ^i^^ -/sr-jT^f^J^ - - ^^ /I , (І-ЗЛ7)
1-М ІІ 9=?с4е + Щ+ М*. ,
Но для более точного учета начальной деформации формула (1.3.16) вычисляется с учетом того, что температура не постоянна по конечному элементу как в (1.3.17), а меняется линейно в каждом элементе (I.3.I8)
Используя локальные системы координат ( L - координаты), окон- (1.3.19) чательно приходим к выражению: Vм it}
В формулах (1.3.14)-(1.3.20) матрицы [&са], [%C'J , /"Сравни L J 2Л it о 6\ о 4L О о tc о q о &с (I.3.2I)
W"]- (шк^) /' 1-* }ja-3-ZZ) а коэффициенты t , Of $ & '9 При решении уравнения (1.1.6а) вторым способом предполагается, что граничные условия для уравнения (1,1.6а) имеют вид: (1.3.24) *-, /^ = ^4 + ^ = 7^ а об"емные силы равны: /_ ^ ^ V = --J^L.. Й, (1.3.25) тогда перемещения ^ , 2^" , внзываемые изменением температуры 9 , совпадают с перемещениями, вызываемыми об"емными силами (1.3.25) и нормальными усилиями (1.3.24), распределенными по поверхности тела. Если найдено решение уравнения (1.1.6а) , удовлетворяющее граничным условиям (1.3.24), то температурные напряжения находятся с помощью наложения гидростатического дав-ления '—. на решения задачи (1,1.6а), (1.3.24). Как известно из теории, эффективность выбранной разностной схемы может быть дана после анализа сходимости, устойчивости и погрешности аппроксимации. Один из способов основан на непосредственной оценке погрешности аппроксимации исходного уравнения путем разложения в ряд Тейлора и рассмотрения ошибки отсеченного ряда с последующим исследованием устойчивости схемы, например , с помощью гармонического анализа. Если разностная аппроксимация удовлетворяет условию согласования, тогда по теореме Лакса об эквивалентности, устойчивость необходима и достаточна для сходимости [5б]. Так как МКЭ является в сущности методом Ритца, то вопрос о скорости сходимости МКЭ сводится к вопросу об аппроксимации решения в энергетической метрике функциями, с помощью которых восполняются сеточные функции для построения разностной схемы МКЭ. Поэтому, вместо вышеуказанного способа оценок погрешности аппроксимации с помощью отсеченного ряда Тейлора, оценка сходимости сводится к изучению аппроксимационных свойств систем базисных функций аппроксимирующих подпространств, при этом на основании леміш Брэмма-Гильберта 27,93 следует, что погрешность аппроксимации зависит от степени гладкости рассматриваемых подпространств. Для простоты рассмотрим прямоугольную область-О-: lj(=(yf ):0 )C t6 ч .1г X с границей S . Как упоминалось выше, если решение задачи (1.2.17), (1.2.18) существует, то оно доставляет минимум следующему функционалу: Состояние сжатия в горных породах, деталях машин и элементах конструкций является наиболее распространенным. Такие условия часто создаются в поле сил тяжести. Кроме того, по причине превышения (порой в несколько раз) предела прочности на сжатие над пределами прочности на растяжение и сдвиг, состояние сжатия для конструкторов оказывается наиболее предпочтительным. Действительно, среда выдеркивает равномерное всестороннее сжатие до значительных величин І2] ; появление же областей, даже с незначительными касательными или растягивающими напряжениями, сопровождающееся переходом к неоднородной, неодномерной картине напряжений, как правило, снижает несущую способность конструкций. Тем не менее понятие "предела прочности на сжатие" или точнее "предел почности на одноосное сжатие" считается одной из основных механических прочностных характеристик материала.Испытание на сжатие является одним из самых простых способов испытания на прочность: взять образец и сжать его между плитами испытательной машины, на самом деле сравнительно несложно, и образец действительно разрушается. Такая связь причины - сжимающей нагрузки на образец и следствия - разрушение последнего, давало определенные основания вводить понятие предела прочности на сжатие и экспериментально определять его для различных материалов. Однако, более внимательный анализ наблюдаемой картины разрушения вызывает определенные сомнения. На рис.2.I. [Зб] приведены схемы разрушения образцов при сжатии. Наблюдаются трещины наклонно ориентированнные к торцам образца ( этими трещинами обусловлены образование призм и конусов) а также трещины, -.соосные действующей сжимающей нагрузке. Если в первом случае предположить, что имеет место простое одноосное сжатие До образования границы фазового перехода, которое мы условно обозначим %({) , решается уравнение теплопроводности (1.3.3) в области _2_ рис.3.1. Предполагаем, что до момента времени -6 к. , происходит обычный процесс распространения тепла, в результате которого достигается температура плавления В на внутреннем контуре Tf и накапливается необходимое количество теплоты плавления 43 после чего происходит движение границы Т . Затем в новой области __Q.f -SL-2$ifif где А шаг продвижения границы, мы опять решаем задачу (3,1.1), (3.1.2). В области _Г2_ (рис.З.Т) когда рассматривается простейшая геометрия внутреннего канала % , задача (3.1.I), (3.1.2) становится одномерной, решение этой задачи можно найти различными способами (в данном случае МКЭ), например, при достижении темпе-ратуры плавления В на границе Ґі . Задача Стефана с одним внешним фазовым фронтом формулируется следующим образом: требуется найти температуру Bfi, г/ цилиндра -Х2 и которое справедливо для любого решения задачи (3.1.3)-(3.1.6) . В дальнейших численных расчетах использовались два подхода нахождения фазового фронта %{(:) : первое - с помощью решения задачи (3.I.I), (3.1.2) и передвижения границы /I/ по мере накопления теплоты плавления (Ц , второе - вычисление фазового фронта по формуле (3.1.8) для одномерного случая. Для решения задачи несвязанной термоупругости в области _Г2_ (рис.3.1) с движущимися границами, был создан алгоритм и написана программа по методике произвольную конфигурацию. Рассматриваемая задача несвязанной термоупругости становится одномерной, если внутренняя граница области _Q_ (рис.3.1) имеет начальное положение Ті Правильность выбранного алгоритма и написанной программы проверялась для одномерного случая. Продвижение внутренней границы осуществлялась первым подходом нахождения фазового фронта,указанного выше. Найденное с помощью численных расчетов положение фазового фронта сравнивалось с интегральным тождеством (3.1.8), эти сравнения показали, что алгоритм достаточно хорошо решает задачу несвязанной термоупругости в области с движущимися границами, рис.Постановка линейных задач теории упругости
О прочности материалов на сжатие
Численное решение задач типа Стефана (одномерный случай)
Похожие диссертации на О разрушении твердых тел при сжатии и нагреве
