Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Термомеханический удар по линейному вязкоупругому стержню и полупространству 16
1.1.Приближенное обращение преобразования Лапласа в динамических задачах вязкоупругости 17
1.2. Связанная задача о термомеханическом ударе по по лубесконечному и конечному стержням,полупространству и слою 20
1.3. Несвязанная задача о термомеханическом ударе по полубесконечному и конечному стержням,полупространству и слою 32
Выводы 54
Глава 2. Продольный удар по полупространству и слою с учетом внутреннего теплообразования 56
2.1.Распространение нестационарных продольных волн в вязкоупругом полупространстве с учетом термомеха нических связей 56
2.2. Распространение нестационарных волн в вязкоупругом слое с учетом внутреннего теплообразования 87
Выводы 99
Глава 3 Динамическое кручение вязкоупругого цилиндра с учетом тепловых воздействий и зависимости свойств материала от температуры 100
3.1.Динамическое кручение полубесконечного вязкоупругого цилиндра с учетом зависимости свойств материала от температуры 100
3.2. Динамическое кручение вязкоупругого цилиндра конечной длины с учетом тепловых воздействий и зависимости свойств материала от температуры 123
Выводы 134
Заключение 135
Литература 137
Приложение 145
- Связанная задача о термомеханическом ударе по по лубесконечному и конечному стержням,полупространству и слою
- Несвязанная задача о термомеханическом ударе по полубесконечному и конечному стержням,полупространству и слою
- Распространение нестационарных волн в вязкоупругом слое с учетом внутреннего теплообразования
- Динамическое кручение вязкоупругого цилиндра конечной длины с учетом тепловых воздействий и зависимости свойств материала от температуры
Введение к работе
Широкое применение полимерных материалов в машиностроении и приборостроении вызвало интенсивное изучение физико-математических и технологических свойств пластмасс с ярко выраженными реологическими характеристиками.Анализ поведения таких материалов в современной технике показал необходимость использования в расчетах на прочность и долговечность полимерных конструкций методов теории вязкоупругости.
Температура играет первостепенную роль при определении механических свойств полимеров и весьма полезна при экстраполяции измерений,сделанных в короткие промежутки времени,на поведение в длительных промежутках.
Основы современной теории вязкоупругости и термовязкоупру-гости были заложены еще в классических трудах Больцмана и Воль-терра,но бурное ее развитие началось лишь в последние 20-25 лет. В разработку этой теории большой вклад внесли советские ученые Н.Х.Арутюнян,А.А.Йльюшин,А.Ю.Йшлинский,М.А.Колтунов,А.К.Малмей-стер,В.В.Москвитин,П.М.Огибалов,Б.Е.Победря,Ю.Н.Работнов,А.Р.Ржа-ницын,М.И.Розовский и др.Значительно повышен рост публикаций в этой области;за короткий период опубликованы монографии [2,4,5, 7,8,9,11,12,13, отечественных и зарубежных авторов.
Для неупругих материалов,поведение которых в значительной степени зависит от времени и скорости нагружения,влияние температуры на механические свойства также оказывается весьма существенным.
Исследованию зависимости от температуры механических свойств полимеров посвящено большое количество работ,в которых,в основ-
ном,используются эмпирические и полуэмпирические методы.Рядом авторов была высказана идея о том,что при нестационарных температурах реологическое поведение материала может быть описано уравнением точно такой же структуры,как и при постоянной температуре, но с измененным масштабом времени.Тела,обладающие такими свойствами,были названы "термореологически простыми."При дальнейшем развитии теории термовязкоупругости (ТВУ) исследованы и определены основные температурно-временные характеристики сопротивления деформированию основных типов "термореологически сложных" полимерных материалов.В последние годы получен ряд существенных результатов в механике твердых деформируемых тел,создающих предпосылки для постановки и решения конкретных задач механики систем из полимерных материалов.В применении теории вязкоупру-гости (ВУ) к решениям прикладных задач (квазистатических и динамических) особую роль сыграли метод аппроксимации А.А.Ильюшина [z] и метод усреднения.Дня решения нестационарных динамических задач ВУ и ТВУ разработаны разнообразные математические методы, которые позволяют получить решения краевых задач о распространении нестационарных волн наиболее эффективным способом.К этим методам относятся метод интегральных преобразований,метод разделения переменных,метод интегральных уравнений,метод характеристик, лучевые методы,а также численные методы конечных разностей и конечных элементов.Наиболее примененными при решении нестационарных динамических задач линейной ВУ и ТВУ являются методы интегральных преобразований Лапласа,Фурье,МеллинаДанкеля и их комбинации. Большое число работ посвящено применению методов интегральных преобразований к исследованию распространения волн в вязкоупругих материалах,в которых,в частности,выявлены некоторые характерные
- б -
особенности динамического поведения вязкоупругих тел.После применения этих операций дифференциальное уравнение в частных производных - уравнения движения и теплопроводности вязкоупругих материалов - приводится к обыкновенным дифференциальных уравнениям, которые в преобразованном пространстве допускают решение в замкнутом виде.После этого главные трудности составляет нахождение оригиналов решений в исходном пространстве.Дня этого применяется метод контурного интегрирования,который требует аналитического задания ядер интегральных определяющих соотношений.Для доведения задач до конца часто выбирают специальные ядра,удобные в математическом отношении,но плохо описывающие поведение полимерных материалов на определенных участках деформирования,часто на начальных участках.Поэтому представляется важным создание нового метода решения нестационарных динамических задач ВУ и ТВУ, дающего возможность решения краевых задач при произвольных наследственных ядрах и не требующих для их реализации аналитического задания ядер.Первая динамическая задача о колебании тонкого вязкоупругого стержня из стандартного линейного материала исследована в работе [35j .Методом разделения переменных найдено решение в виде ряда,доказана сходимость рядов и проведено исследование полученных результатов.В работе [44] методом интегрального преобразования Лапласа решена задача о продольном ударе по конечным и полубесконечным стержням из материала Максвелла.Работы [65, вв] посвящены решению аналогичной задачи методами интегральных преобразований и контурного интеграла.Исследовано распространение нестационарных волн в стержнях,свойства которых описывались моделями Фойгта,Келвина-Фойгта и стандартно-линейного тела.Уточнению решения,найденного в [б5] ,посвящена работа [48],где показано,что
решение в виде ряда сходится только в непосредственной близости нагруженного торца.В [20] исследовано распространение нестационарных волн в вязкоупругом полупространстве из материала Фойгта,в котором решение неодномерной задачи линейной ВУ выражается через решения соответствующей задачи теории упругости при импульсивных воздействиях и решения одномерной задачи линейной ВУ.Для решения задачи о неустановившемся распространении нестационарных волн в линейных вязкоупругих стержнях в работе [б4] применен метод разложения в ряд по переменной,характеризующей перемещение фронта волны.В работе [47J исследовано асимптотическое поведение решения аналогичной задачи при малых значениях времени.При решении задачи о продольном ударе по стержню,свойство которого описывается общим дифференциальным законом,в работе [22] использованы приближенные обращения преобразования Лапласа,изложенные в [б8]. В работах [26,30,54,55] исследованы аналогичные задачи для больцмановского материала с использованием ядра Абеля и дробно-экспоненциального ядра Работнова.Оригиналы решений получены с помощью методов контурного интегрирования и асимптотического разложения при малых значениях времени.В работе [2з] с помощью численного обращения преобразования Лапласа исследованы особенности слабосингулярных ядер в волновых задачах ВУ.Указано,что на фронте волны,распространяющейся с мгновенной скоростью,функция диссипации обращается в бесконечность и,следовательно,при разрывном граничном условии решение на фронте волны не обладает скачком. в случае,когда поведение материала стержня описывается прямоугольным релаксационным спектром,задача о распространении волн в стержне при ударе жесткой массой численно решена в [4-і].В работах [29,58] исследовано распространение волн в стержнях из максвел-
ловского материала сведением задачи к решению интегрального уравнения Вольтерра втррого рода.Аналогичная задача решена в (69) методами интегрального преобразования Лапласа и разложения в ряд в окрестности волнового фронта,сравнены полученные результаты. Строго обоснованное решение таких задач для стержня из стандартно-линейного тела дается в работе [48J,указывается,что полученные результаты пригодны для практических расчетов только при небольших расстояниях от нагружаемого торца.Задача о продольном ударе однородного стержня переменного поперечного сечения,при наличии закона Больцмана-Вольтерра решается в работе ^43^ методами разделения переменных и малого параметра.
В работе [59] используется ядро интегральных определяющих соотношений в виде суммы экспонентпренебрегая некоторыми членами в изображениях по Лапласу некоторых выражений,окончательное решение задачи приводится к вычислению изображений решений соответствующих задач для тела Максвелла,которые имеют протабулиро-ванные оригиналы.
Основным объектом исследований в настоящее время является изучение динамического поведения вязкоупругих сред при действии переменных нагрузок и повышенных температур.Во многих случаях» когда интенсивность температурно-силового нагружения достаточно велика,в конструкциях наблюдается эффект связанности полей деформации и температур.Этот эффект характеризуется образованием связанных тепловых волн и волны напряжений,которые сопровождаются диссипацией механической энергии.
Работа [2lJ посвящена решению несвязанной задачи о тепловом ударе по полупространству их максвелловского материала.В [28 J исследованы .*. установившиеся решения модельной динамической связан-
ной задачи ТВУ.Работа [24] посвящена методу возмущений,пригодному для изучения напряжений при неравномерном и неустановившемся температурном поле в вязкоупругих телах со свойствами,зависящими от температуры.Даны решения в виде бесконечных рядов для задач о бесконечной плите,сплошном шаре и бесконечно длинном цилиндре. Установлены достаточные условия сходимости рядов.Некоторые реальные задачи были решены в работе [52] .Эти задачи учитывают влияние переменных температурных полей на вязкоупругие свойства,но не включают никаких эффектов,обусловленных термомеханическими связями.В [25] с помощью численного метода исследуются нестационарные колебания полубесконечного вязкоупругого стержня после приложения к его концу синусоидально изменяющегося напряжения.При этом учитываются термомеханические связи и зависимость свойств стержня от температуры.Аналогичная задача для установившегося процесса исследована в работе [50].В [2б] исследовано вибрационное нагру-жение полосы из полимерного материала.Прилагаемая продольная нагрузка меняется по гармоническому закону с постоянной амплитудой. Исследован установившийся режим,а также некоторые случаи неустановившегося режима.В работах [31,33] исследовано распространение нестационарных продольных волн в стержнях из произвольного вязко-упругого материалах помощью интегрального преобразования Лапласа решения найдены для двух классов определяющих соотношений. Рассмотрены случаи,когда вязкое сопротивление материала мало по сравнению с основным (упругим) сопротивлением^ случай,когда материал принимается произвольно вязкоупругим,без учета объемной релаксации.В [32,34-] исследуется распространение нестационарных крутильных волн в цилиндрических сплошных и полых стержнях конечной и полубесконечной длины из произвольного линейного вязкоупругого неоднородного ортотропного материала методами интеграль-
ного преобразования Лапласа-Кареона и разделения переменных.В работах [36,39] аналогичными аналитическими методами решены задачи о распространении нестационарных крутильных волн,соответственно, для упругих неоднородных и вязкоупругих стержней.В [39] исследуется задача о влиянии взаимосвязанности полей деформации и температуры на распространение гармонических вязкоупругих волн в бесконечно длинном сплошном цилиндре с теплоизолированной поверхностью. Получены приближенные выражения для фазовых скоростей и коэффициентов затухания преимущественно вязкоупругих волн и волны,сходные по своему характеру чисто тепловой волной.В [Ьб\ приводится новый метод решения нестационарных волновых задач линейной ВУ с регулярными наследственными ядрами.В работе [4-9J рассмотрена задача о динамическом кручении кругового цилиндра в рамках линейной теории динамики упругих тел для ряда конкретных нестационарных торцевых нагрузок.В [51] методом малого параметра решается задача ТВУ в общей постановке с использованием температурно временной аналогии.Доказаны теоремы о единственности решения поставленной задачи и о сходимости метода малого параметра. В работе [53] рассмотрена линеаризованная несвязанная задача нестационарных термоупругих процессов в неограниченной среде,обусловленных мгновенным выделением тепла в замкнутом сферическом объеме (при конечной скорости распространения тепла).С помощью интегрального преобразования Лапласа и контурного интеграла Мел-лина получены замкнутые аналитические зависимости для динамических термоупругих реакций среды.
Если вязкоупругие материалы подвергнуть вибрации,которая происходит в условиях транспортировки и эксплуатации,то это может вызвать выделение тепла вследствие кумулятивной вязкой диссипа-
- II -
ции,достаточное,чтобы существенно снизить эффективность материала вплоть до наступления текучести.
В [56J обследован результат испытаний на вибрацию шашек твердого ракетного топлива и обнаружено,что в тепло может переходить большое количество механической энергии,в результате чего температура повышается и может произойти внутреннее разрушение. В работе (59 J предагается приближенный метод решения динамических задач для линейных вязкоупругих сред,проявляющих мгновенную упругость.Для среды,удовлетворяющей модели Максвелла,метод дает точные результаты.Работа [60] посвящена задаче о продольных волнах в вязкоупругом стержне вызываемых приложенным на одном конце синусоидальным напряжением.Предполагается,что квазиустановивше-еся волновое движение наступает,как описано в работе [25],после нескольких циклов колебаний,причем напряжение и деформация являются по существу периодическими функциями с медленным изменением амплитуды.Это связано с медленным ростом температуры из-за непрерывного перехода механической энергии в тепло.Механические свойства стержня зависят от температуры,так что скорость волны и ее форма изменяются во времени.Температура на одном конце стержня поддерживается постоянной,а на другом конце задано условие теплоотдачи. В результате распределение температур достигает установившегося состояния.Задача решается численным методом.В [бі] для пластины и полого цилиндра с линейно-вязкоупругими свойствами рассчитаны установившееся и неустановившееся распределения температуры, возникающие из-за рассеяния энергии при циклическом воздействии сдвигающих нагрузок.Материал предполагается термореоло-гически простым.Для определения неустановившегося теплового поля предложены два приближенных метода решения.Аналогичная задача
изучается также в [62J.Показано,что уравнения,описывающие малые деформации в условиях воздействия периодической нагрузки,эквивалентны двум вариационным принципам.Первый принцип составляет собой прямое обобщение для вязкоупругих сред принципа Рейсснера дополнительной энергии,а второй - уравнение сохранения энергии для установившихся процессов с учетом диссипации.Результаты теоретического и экспериментального исследования взаимодействия между механическими колебаниями и нагревом твердых топлив приведены в работе Г 63].Основное внимание уделяется оценке расчета термомеханических явлений по теории ВУ и изучению природы взаимодействия полей перемещений,напряжений и температуры.Приведены расчеты колебаний при гармоническом и стационарном случайном возбуждении. Работа f66] посвящена изучению одномерного поля напряжений и температурного поля в полубесконечном стержне,подверженном тепловому и механическому удару .'Материал стержня подчиняется нелинейному определяющему уравнений,а распространение тепла в нем следует модифицированному уравнению теплопроводности Фурье.Задача решается конечноэлементным методом.Получены числовые результаты применительно к нелинейной и линейной моделям Максвелла,а также для стандартного линейного тела.Показано,что в стержне распространяется два фронта волны.
Таким образом,из вышеуказанного следует,что в литературе отсутствуют работы,посвященные аналитическому исследованию проблем взаимовлияния механических и тепловых полей на напряженно-деформированное состояние конструкций,находящихся в условиях интенсивно меняющихся внешних факторов с учетом более реальных их физико-механических свойств.За последние годы в работах [3I-34-] создан эффективный метод для решения многомерных нестационарных
- ІЗ -
динамических задач линейной вязкоупругости с произвольными наследственными ядрами.
Целью диссертационной работы является исследование распространения нестационарных термовязкоупругих волн в стержнях,полупространстве и слое для изучения влияния реальных наследственных ядер,термомеханической связанности,зависимости свойств материала от неоднородной и нестационарной температуры,диссипативной механической энергии,краевых эффектов и т.д.на их напряженно-деформированное состояние и температурное поле с использованием метода, развитого в Гз1-34,4-б].
Работа состоит из введения,трех глав,семи параграфов и заключения.Первая глава посвящена изучению распространения нестационарных возмущений в вязкоупругом стержне при термомеханическом ударе.
Первый параграф посвящен приближенному обращению преобразования Лапласа в динамических задачах вязкоупругости с помощью ортогональных многочленов Лежандра,которые используются в дальнейших исследованиях.Решены одномерные динамические задачи о продольном ударе по полубесконечному стержню и стержню конечной длины для любых наследственных ядер и краевых условий.Рассмотрены некоторые частные случаи этих определяющих функций,исследованы отражения и затухания продольных волн в. конечном стержне.
Во втором параграфе исследована связанная задача термовяз-коупругости для полубесконечного и конечного стержня без учета зависимости свойств материала от температуры.Получены выражения для напряжения и перемещения в виде свертки,для любых видов наследственных ядер и граничных условий.Рассмотрены частные случаи, оценено влияние связанности полей напряжений и температуры на по-
-За-
вышение температуры стержня.
Третий параграф этой главы посвящен решению аналогичной несвязанной задачи термовязкоупругости с учетом зависимости свойств материала стержня от температуры для сред,описывающихся темпера-турно-временной аналогией.Предложены некоторые варианты метода малого параметра.Исследования показали,что зависимость свойств материала от температуры существенно влияет на повышение температуры и напряжения в стержне.Дано численное сравнение результатов, полученных из решений связанной и несвязанной задач.
Вторая глава посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния и температурного поля вязкоупругого полупространства и слоя с учетом внутреннего теплообразования и зависимости свойств материала от температуры,находящихся под воздействием нормальной нагрузки на поверхиости.Свойство материала описывается интегральными уравнениями состояния с произвольными наследственными ядрами.Для решения задачи предложена эффективная методика последовательных приближений малого параметра,которая состоит в еледующем.В первом приближении указанная задача решается без учета температуры.Затем из уравнения теплопроводности с учетом функции рассеивания при нулевых начальных данных и граничных условиях как теплоизолированных,так и в условиях конвективного теплообмена с окружающей средой,определяются соответствующие температурные поля.Во втором приближении указанная задача решается с учетом зависимости свойств материала от неоднородной и нестационарной температуры.При этом с помощью температурно-временной аналогии вводится параметр,представляющий собой абсолютное значение разности между температурой и ее наибольшим значением по пространственной координате,деленой на их сумму,и решение строится мето-
дом малого параметра.Из уравнения теплопроводности с учетом функции рассеивания,определяемой во втором приближении,при соответствующих начальных и граничных условиях находятся температуры. После этого определяется напряжение с учетом найденного во втором приближении выражения температуры и т.д.Отметим,что после каждого цикла прирост температуры оказывается существенным и ;: дальнейшее продолжение процесса приводит к саморазогреву материала. Оценка повышения температуры вычислена для случая,когда материал является стендартно-линейным,а граничное возбуждение - периодическим. Исследованы отражение от свободной границы слоя и затухание продольных волн.Установлены закономерности изменения зоны теплообразования от больших частот и времени.
В третьей главе исследуется распространение крутильных ме-хннических волн и продольного теплового потока при динамическом кручении полубесконечного вязкоупругого цилиндра.Вязкоупругие свойства материала цилиндра зависят от температуры.Связанность полей напряжения и температуры не учитывается.Найдены аналитические решения рассматриваемых задач для любых наследственных ядер, описывающих механические характеристики материала и предысторию нагружения.Раздельно рассмотрено распространение самоуравновешенных и несамоуравновешенных (по поперечным сечениям) краевых возмущений, дано их строгое сравнительное исследование.Рассмотрены конкретные виды определяющих функций,краевых нагрузок и температур . Обнаружено значительное повышение температуры при интенсивных, в частности,периодических нагружениях,изучены зависимости температуры от частоты нагружения.Основное содержание работы отражено в публикациях автора [б9-76?.Автор выражает благодарность научным руководителям - доктору физ.-мат.наук,профессору И.А.Кийко и кандидату физ.-мат.наук,старшему научному сотруднику М.Х.Ильясову.
Связанная задача о термомеханическом ударе по по лубесконечному и конечному стержням,полупространству и слою
Рассмотрим задачу о продольном термомеханическом ударе по полубесконечному вязкоупругому стержню.К торцу ос-о первоначально находящегося в покое стержня в момент времени і = о прикладывается нагрузка $(o,i) z=.6lp(i) и воздействует температура $(oti) =Лу#].Опеределение напряженно-деформированного состояния и температурного поля стержня в последующие моменты времени сводится к интегрированию уравнения движения (I.I.I) и теплопроводности для вязкоупругого стержня некоторые постоянные, 9(хА)— Г(х 4) — К - приращение температуры, X " исходная температура, д - коэффициент теплопроводности материала стержня, с - удельная теплоемкость при постоянной деформации, оС - коэффициент теплового расширения.
В (1.1.1),(1.2.1) мы предполагали,что свойство материала не зависит от температуры.Зависимость между напряжением и деформацией имеет следующий вид /27: Здесь Г (і)- ядро релаксации, Є - (Е.- В /Е0 , Е0 і -соответственно,нерелаксационное и релаксационное значения функции релаксации.Уравнения (І.І.І) и (1.2.I) с учетом соотношения (1.2.4) записывается в виде . где (j - JE / Y " начальная скорость распространения волны. Применяя преобразование Лапласа к уравнениям (1.2.5) с учетом начальных условий (1.2.2),получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений: Таким образом,окончательное решение задачи приводилось ш вычислению обратных преобразований Лапласа выражений (1.2.8) и (1.2.9).Его точное выполнение затруднительно,поэтому построим оригиналы для малых значений времени.При этом параметр р является достаточно большим и становится возможным разложение изображений в ряд по степеням р" .В этом случае для величин v и в получаются сравнительно простые формулы Нахождение оригиналов выражений (1.2.10) не представляет принципиальной трудности.Однако для получения сравнительно простых формул коэффициенты этих решений также будем разлагать в ряды по степеням р .Кроме того,учитывая,что для обширного класса полимерных материалов величина об о гораздо меньше единицы (в порядке і о -f- /о ),в знаменателях ее будем отбрасывать по сравнению с Р .С учетом сказанного получаем следующие ориги-налы функций (1.2.10)
Несвязанная задача о термомеханическом ударе по полубесконечному и конечному стержням,полупространству и слою
Рассмотрим аналогично предыдущему задачу о термомеханическом продольном ударе по полубесконечному вязкоупругому стержню, когда свойство материала стержня зависит от температуры. Будем считать,что уравнение притока тепла определяется отделением из общей системы уравнений ТВУ и решается самостоятельно,т.е. рассматривается случай невзаимосвязной ТВУ.Математическая задача сводится к интегрированию уравнения движения (І.І.І) и теплопроводности при начальных (1.2.2) и граничных (1.2.3) условиях. Связь между напряжением - деформацией - временем - температурой берем в виде где R(0 - функция релаксации, і - приведенное время, которое дается формулой Коэффициент температурно-временной редукции оіт (т) для термореологически простых материалов выражается формулой Вильямса-Лендела-Ферри [l8],тогда где во - константа материала.Из (1.3.1),(1.2.2),(1.2.3) легко найти,что Формулы (1.3.6)-(1.3.8) справедливы при небольших изменениях температуры,которые имеют место в переходных волновых процессах. Дадим некоторое улучшение этих формул.Пусть Q, (-1) -su,p \e(x,-l)L ос [о, сю) ,тогда нетрудно получить Учитывая,что )2:) і экспоненциальную функцию разлагаем в ряд по степеням Z ;в итоге получаем Функция в некотором диапазоне темпе- ратур является ограниченной единицей,поэтому величину X = Sup\(9\-&)/(9i+9)\ можно принять как малый параметр.При этом Приведенное время выражается формулой Из этих соотношений следует,что для определения нулевого приближения U0(xy ) решается исходная задача с измененной и независящей от координаты ос функцией релаксации R0() .Последующие приближения определяются из того же уравнения с некоторыми "фиктивными силами" при нулевых начальных и граничных условиях, причем "фиктивные силы" выражаются через решения предыдущих приближений .
Применяя преобразование Лапласа к первому уравнению (1.3.13), находим уравнение для определения U0(xtf ) Интеграл,входящий в правую часть этой формулы представляет собой интеграл Лапласа,только в нем р заменено на 4 ,а і -на х .При - - е он стремится к нулю,следовательно,изображает затухающий с увеличением времени переходный процесс. "с " „ л «„„„«« -«усоэ/г Таким образом,функция 90»,і) определяется в основном своим первым членом,который показывает,что температура в точке ос о колеблется так же,как температура на границе ос-о но со сдвигом фазы на ocj- и с амплитуд ой, равной В качестве численного примера (как и в предыдущем) взяли материал полиметилметакрилата со следующими данными((вмеханических единицах): = -1& г/силъ 3 с = О.Ч 1сг/смгСг 9 = О.ооїї Кг/ и,ж Сл На рисунке 9 изображен случай,когда Ц (4г)= V(.&) И tr) и показано,что при разных значениях малого параметра (Х-о,5 , Х-о.Чї ) за счет зависимости свойств материала от температуры напряжение повышается на 11% - 17,5%. На рисунке 10 изображена зависимость в" ос при фиксированном значении времени при некоторых значениях частоты возбуждения. Показано,что по координате ос напряжение затухает не по экспоненциальным законам. Эта задача для конечного стержня длины с ,когда его боковая поверхность теплоизолирована,а торец ос = является теплоизолированным и свободным,решается аналогичной методикой. Задача сводится к интегрированию уравнений (I.I.I) и (1.3.I) при начальных (1.2.2) и следующих граничных условиях
Распространение нестационарных волн в вязкоупругом слое с учетом внутреннего теплообразования
Рассмотрим распространение продольных граничных возмущений в вязкоупругом слое о$ эе з , у, z є J-OQ} + ooj с уче- том термомеханического сопряжения и зависимости свойств материала от тепературы.Постановка математической задачи,аналогично предыдущей,с дополнительными граничными условиями на нижней поверхности слоя. т.е.нижняя поверхность слоя берется свободной или заделанной.Кроме этого,рассмотрим случай теплоизолированности нижнего конца. общее решение задачи (2.1.1)-(2.1.4) в изображениях Лапласа будет Коэффициенты С0(р)ш С1 (р") определяются из граничных условий Окончательно находим Если )) — соп%{ ,то эта формула будет Оригиналы (2.2.3)-(2.2.5) будут при V= (Ьо-п.$4 Выражение Q(xt-i) дано в (2.1.14 ) при 6 =R1(o)e где Выражение УЧ (эс, )дано в (2.1.54). В общем случае,когда Р=- р() и объемная деформация неупругая Выражение SS)f 3e,") в (2.1.70). В случае заделанного нижнего конца слоя решение будет аналогично и имеет вид при р = Є0Л4 М:о Учитывая выражение 6ХЗС(Х ) в (2.1.17),находим функцию диссипации F(x34) .Для вышеуказанных частных случаев F(x,4:) вычисляется по формулам (2.1.18) и (2.1.55).Решение задачи (2.1.5)
Теперь решаем задачу с учетом температуры.В этом случае общее решение соответствующего однородного уравнения (2.1.28) будет в виде а частное решение неоднородного уравнения имеем в виде тогда общее решение (2.1.28) будет Коэффициенты С -Гуо) , (t = ot4) определяются из граничных усло вий eU4pUeJ[(p) 6LCx ./ )=o окончательно получаем Выражения (А 0)(эг,1) для остальных случаев получаются вышесказанным путем из (2.2.19),а напряжения вычисляются по формулам (2.2.16)-(2.2.18) с учетом новых соответствующих выражений Уравнение для определения Ц л (Л р) будет в виде (2.1.35), общим решением которого является выражение Аналогичное выражение U эс,-)при 6= R (o) Є получается из (2.2.23) заменой функций тывая полученные f (сс,-П в (2.1.20) и (2.1.21),определяем 9 п(эс,{) для первой и второй краевых задач. Выводы. С помощью метода линеаризации нелинейных уравнений ТВУ исследован вопрос внутреннего теплообразования в задачах распространения продольных волн в вязкоупругом полупространстве и слое с учетом как связанности полей напряжения и температуры,так и зависимости свойств материала от температуры.Установлено: - зависимость изменения теплообразования от времени при фиксированных толщинах,определена предельная глубина,в которой температура почти не изменяется (рис.8,9); - зависимость изменения по толщине теплообразования при фиксированных временах и частотах периодического возбуждения (рис.10); - затухание волн в материале и изменения температуры в зависимости от зоны теплообразования при фиксированных временах (рис.II); - с уменьшением толщины слоя эффекты теплообразования растут (рис.12); - влияние отраженной волны от нижней (свободной или защемленной) границы конечного слоя на изменение зоны теппообразова-ния;после достижения некоторого времени за счет эффекта отраженных волн распространяется фронт теплообразования от нижней поверхности слоя к верхнему (рис.12) - после каждого цикла прирост температуры оказывается существенным дальнейшее продолжение процесса приводит к саморазогреву материала.
Построено аналитическое решение и дан качественный анализ задачи для случая,когда коэффициент Пуассона зависит от времени.(или постоянный). -±00- изотропного кругового цилиндра рассмотрено в работах [36,49] ,в [39] аналогичные задачи исследованы для некоторых конкретных вязкоупругих моделей в [32,34] изучено распространение крутильных волн в сплошном полом изотропном,неоднородном,ортотропном цилиндрах для произвольного наследственного материала.В этой главе изучается аналогичная задача для полубесконечного и конечного вязкоупругих цилиндров с учетом тепловых воздействий и зависимостью свойств материала от температуры.
Динамическое кручение вязкоупругого цилиндра конечной длины с учетом тепловых воздействий и зависимости свойств материала от температуры
В случае цилиндра конечной длины постановка задачи будет аналогична предыдущей,но вместо условия конечности решений при 2 — оо может быть задано условие свободного или жестко заделанного правого торца: где E /Zo-С - длина цилиндра. Для температуры рассмотрим случай теплоизолированного правого торца. Условия на боковой поверхности цилиндра остаются аналогичными в Поскольку /\/0 при z неограниченно возрастает,для сплош ного цилиндра следует положить & О и J/
Повторяя в"сжё предыдущие рассуждения,можем найти R.(i ) по формуле (1.3.8) или (1.3.10),выражая напряжения и перемещения соотношениями (3.1.16),(3.1.21),(3.1.22),(3.1.23),применяя преобразования Лаплаоа-Карсона по времени с учетом начальных условий (3.1.17) в первом уравнении системы (3.1.23),получаем уравнение (3.1.24) с граничными условиями (3.1.19) и (3.2.1).Аналогично (3.1.25)-(3.1.38) получаем решение уравнения (3.1.ЗІ) в виде Коэффициенты С ,(р) и j6e (ру находятся из граничных условий (3.1.19) и (3.2.1) с учетом (3.1.16) и (3.1.30). Соответственно к этим Коэффициенты f . j g u« (V -s о /а ;,, KJ находятся из граничных условий ёг/) (г,о,р) =з О, й„(-г,Єлр) =0;(п , ,...) Из (3.1.20) находим Из условия Ut ( , , Р) = О находим Решая системы (3.2.13) и (3.2.14),определяем С1о , э 0 , Сцс и &гк в следующем виде Отсюда видно повышение напряжения за счет зависимости свойств материала от температуры (рис.14-). Выводы. Исследовано взаимодействие распространения крутильной механической волны с продольным тепловым потоком на напряженно-деформированное состояние вязкоупругих цилиндров полубесконечной и конечной длины с учетом зависимости свойств материала от нестационарного, неоднородного температурного поля.Причем напряженное состояние представляется в виде самоуравновешенных и несамоурав-новешенных составляющих.Установлено: - напряженное состояние,возникающее в стержне,существенно зависит от того,является ли оно несамоуравновешенным или самоуравновешенным. В первом случае поле напряжений носит общий характер, постепенно распространяясь вслед за волновым фронтом на всю длину стержня,а во втором случае оно локализуется вблизи нагруженного торца и в окрестности волнового фронта; - для внезапно включенных периодических нагрузок указанные различия между несамоуравновешенными и самоуравновешенными напряжениями сохраняются лишь пока частота возмущений не достигает некоторого предела в
В случае OJ в обнаруживается сходство в картине распространения тех и других напряжений,выражающееся в том,что поля напряжений в обоих случаях постепенно охватывают всю длину стержня.
