Содержание к диссертации
1. ВВЕДЕНИЕ. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ 5
2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПОКОСЫ С ЧЕТЫРЬМЯ ПОПАРНО РАВНЫМИ КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ 18
2.1. Постановка задачи и определение потенциалов для сплошной полосы 18
2.2, Применение метода Д.И,Шермана и введение новых функций, аналитических в сплошной полосе 21
2.3, Решение вспомогательной задачи для сплошной полосы 28
2.4. Построение бесконечной системы линейных алгебраичеоких уравнений 32
2.5 Доказательство квазирегулярности полученной системы 36
2.6. Действие сосредоточенных сил на рассматриваемую полосу 40
2,7«, Численный анализ напряженного состояния полосы 44
3. НАПРЯЖЕНИЯ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНОЙ ПЛОСКОСТИ СОДЕРЖАЩЕЙ ПОЛОСУ С ЧЕТЫРЬМЯ,ПОПАРНО РАВНЫМИ КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ 54
3.1 Постановка задачи и основные соотношения для верхней полуплоскости 54
3.2 Определение производных от перемещений в полосе и верхней полуплоскости на линии их сопряжения и вычисление соответствующих трансформант Фурье 58
3.3 Построение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений и исследование
ее на регулярность 62
3.4 Численный анализ исследования напряженного состояния однородной и кусочно-однородной плоскости
4. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПОЛОСЫ С ДВУМЯ ПРОИЗВОЛЬНЫМИ КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ 75
4.1. Постановка задачи и определение потенциалов для сплошной полосы 75
4.2. Применение метода функции и введение новых аналитических в сплошной полосе функции
4.3. Решение вспомогательной задачи для сплошной полосы 80
4.4. Построение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений и исследование ее на регулярность 85
4.5. Численный анализ напряженного состояния полосы 91
5. О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ КУСОЧНО -ОДНОРОДНОЙ ПЛОСКОСТИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ПОНОСУ С ДВУМЯ ПРОИЗВСЖЬШМИ КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ 96
5.1. Постановка задачи и основные соотношения для верхней и нижней полуплоскостей 96
5.2. Сопряжение полосы с полуплоскостями и получение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. 99
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 112
ЛИТЕРАТУРА ИЗ
ПРИЛОЖЕНИЕ ТОО
Введение к работе
Современное состояние техники, вопросы оптимального проектирования машин, конструкций и сооружений предъявляют повышенные требования к их прочностным свойствам, уменьшению веса и размен ров, что приводит к необходимости разработки более точных методов расчета и построения моделей, наиболее полно учитывающих свойства реальных материалов»
Модель многосвязной полосы находит широкое применение при решении практически важных задач машиностроения, судостроения, горного дела и так далее, как самостоятельный элемент, а так же как составная часть кусочно-однородных тел. Однако методы исследования: напряженного состояния полосы с конечным числом неравных взаимовлияющих отверстий и кусочно-однородной среды, содержащей такую полосу, до настоящего времени разработаны недостаточно. Все выше сказанное говорит об актуальности темы диссертации. Поэтому представляется целесообразным решение задач об упругом равновесии полосы со сближенными круговыми отверстиями и кусочно-однородной плоскости, содержащей эту полосу.
Постановка и решение таких задач имеет практическое значение в горном деле при прогнозировании прочности пластовых горных и тоннельных выработок, а также в машиностроении и судостроении, например, при определении места расположения и параметров разгружающих отверстий для снижения концентрации напряжений возле основных отверстий.
Исследования по проблеме концентрации напряжений ведутся по различным направлениям как в нашей стране, так и за рубежом Сем. например [і,2,3,5,22,25,55] ), Основные достижения в этой области достаточно полно отражены в обстоятельных обзорах [23,24,33, 51,54,64,65], Согласно теме настоящей диссертационной работы остановимся лишь на работах, посвященных концентрации напряжений возле отверстий и включений в однородной изотропной полосе и кусочно-однородной среде, содержащей полосу с концентраторами напряжений.
Исида в работе [75] дал приближенное решение задачи об изгибе бесконечной полосы о эксцентричным круговым отверстием, используя известные формулы Колосова-Мусхелишвили, связывающие напряжения с двумя функциями комплексного переменного. Выражения для последних разыскиваются в виде рядов Лорана, для коэффициентов которых строится бесконечная система уравнений из граничных условий Эту систему автор решает приближенно по методу возмущений, оперируя радиусом отверстия и эксцентриситетом как малыми величинами. При помощи конформного отображения и метода возмущений он же рассматривал задачу о растяжении бесконечной полосы с центральным эллиптическим [76J и квадратным [78J отверстием» Изгибу полосы с эллиптическим отверстием посвящена работа [77]. Позднее обобщая эти решения он описывает метод решения задачи о напряжениях в растягиваемой полосе, ослабленной отверстием произвольной формы, имеющим ось симметрии, перпендикулярную границам полосы [79]. Решение основывается на возможности отображения внешности отверстия на внешность круга. При этом существенно используется известный метод Хауланда решения задачи для полосы с круговым отверстием. Отметим, что BGe эти задачи решены в предположении о малости размеров отверстий по сравнению с шириной полосы.
Распределение напряжений в растянутой полосе с двумя одинаковыми продольно расположенными круговыми отверстиями исследовалось в работе бб]. Автор использовал полученные Хауландом [74] выражения функций напряжений Эри Lfc и U& ДОя бесконечной полосы, в двух точках которой (совпадающих с центрами отверстий) приложены равные силы, направленные по оси полосы в первом случае в одну сторону, во втором - в противоположные. Функция Эри Jj разыскивается в виде ряда по производным от Ua и Ug , для коэффициентов которого из граничных условий на контурах отверстий строится система уравнений. Ее решение ищется в виде рядов (по степеням параметра Л = CL/ Q , OL - диаметр отверстия, О - ширина полосы), сходимость которых автором не доказывается. Хаясигути [ті] рассматривал концентрацию напряжений в длинной полосе с несимметрично расположенным круговым отверстием, в подвергнутой с обеих сторон дарению равномерно распределенными усилиями на участках не равной длины, симметрично расположенных относительно оси, проходящей через центр отверстия и ориентированной перпендикулярно прямолинейной границе полосы. Решение сводится к бесконечной системе уравнений.
В работе [9l] приведено решение задачи о полосе с центральным круговым отверстием, растягиваемой при помощи стержня, плотно вставленного в это отверстие. Решение получено через две функции напряжений, одна из которых соответствует распределению напряжений в полосе, ослабленной отверстием (здесь используется решение Хауланда), а вторая - в бесконечной пластинке, в отверстие которой вставлен упругий диск. Вычислены коэффициенты концентрации для малых значений отношения диаметра отверстия к ширине полосы и установлено, что влияние отверстия ограничивается окружностью, диаметр которой равен 1,5 ширины полосы.
Плоская задача о равновесии бесконечной полосы с несимметрично расположенным круговым отверстием рассмотрена в работе [8IJ Лин Чжибина. Функция напряжений ищется в виде рядов гармонических функций, имеющих особенность в начале координат и бигармони-ческого интеграла содержащего произвольные функции, которые определяются из условия обращения в нуль напряжений на краях полосы. Коэффициенты разложения подбираются из граничных условий на контуре отверстия. В последствии [837 автор приводит уточненное решение этой же задачи в случае симметрично расположенного отверстия при растяжении. Работа [8Ї] существенно использовалась при решении задачи об абсолютно жестком включении в полосе при обобщенном плоском напряденном состоянии [82].Но приведенные авторами численные результаты не удовлетворяют условию 6 -P Sl ( Р - коэффициент Цуассона) на контуре спая с абсолютно жесткой шайбой, что говорит об ошибочности полученных результатов С.А Салоеровым [2б] предложен приближенный метод определения напряжений в изотропной бесконечной полосе с центральным круговым отверстием. Каждый из комплексных потенциалов Колосова-Мусхелиш-вили взят в виде двух рядов Лорана с неизвестными коэффициентами, голоморфных соответственно вне отверстия и в сплошной полосе. Граничные условия на контуре отверстий сводятся методом рядов к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Лорана. Усеченная система уравнений дополняется уравнениями полученными при удовлетворении граничным условиям на гранях полосы в отдельных точках. Этим же методом были решены задачи о концентрации напряжений в полосе с двумя равными круговыми отверстиями, расположенными в продольном или поперечном направлении [27J, с периодическим рядом одинаковых круговых отверстий [29], с центральным эллиптическим отверстием [28]. Во всех рассмотренных им задачах считалось, что отверстия либо свободны от нагрузок либо жестко подкреплены, а грани полосы не загружены.
В работе [25] С.А.Калоерова, А.С. Космодамианского изложен приближенный метод исследования напряженного состояния полосы с центральным круговым отверстием. Удовлетворяя граничным условиям на контуре отверстия с помощью метода рядов, авторы строят бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения комплексных потенциалов. Применив, метод интегралов типа Коши для условий на гранях полосы и удовлетворив им только на части границы вблизи отверстия, авторы приходят ко второй системе уравнений, которая вместе с первой представляет полную систему для определения искомых коэффициентов. Поскольку условия на грани полосы удовлетворяются на части длиной порядка ширины полосы, то точность полученного решения зависит от отношения диаметра отверстия к ширине полосы.
Задача о напряжениях в полосе с круговым отверстием при действии сосредоточенных сил решена в работе [зо] методом последовательных, приближений» Задача сводится к определению комплексных потенциалов каждого приближения, для коэффициентов которых получены рекурентные соотношения.
Статьи [lO,I2,I3J посвящены определению напряженного состояния полосы, ослабленной круговым отверстием, находящаяся под действием приложенных к граням полосы касательных и нормальных сосредоточенных сил и сил создающих моменты на некотором участке» Разыскиваются две функции комплексных переменных голоморфные в бесконечной плоскости вне кругового отверстия в виде рядов Лорана. Реаіив промежуточную задачу для сплошной полосы методом интегрального преобразования Фурье, и удовлетворив граничным условиям на контуре отверстия авторы получают бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов Лорана вышеупомянутых функций.
Н,И.Мироненко [36-42І решен цикл задач о растяжении и изгибе полосы с одним и двумя круговыми отверстиями. В этих работах использовался и развивался на случай полосы метод Д.И.Шермана (метод а) -функции) [бЗ]• Путем введения на контурах отверстий некоторой функции и) ( t ), задача для многосвязной полосы при-водится к вспомогательной задаче для сплошной полосы, которая решается методом интегрального преобразования Фурье. Для определения неизвестных коэфрциентов разложения функций (л) ( t ) строится ин-тегральное уравнение Фредгольма 2го рода с вырожденным ядром,решение которого сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, оказывающейся по меньшей мере квазирегулярной при любой близости границ отверстий между собой и к прямолинейным граням полосы.
В последующих работах [38-42І им разработана методика построения бесконечной системы уравнений без предварительного сведения задачи к интегральному уравнению М.А.Саврук [57,58J решение задачи о напряжениях в полосе, ослабленной двумя неравными круговыми отверстиями получил в би- полярных координатах. Автор ищет функцию напряжений Эри, соответствующую возмущению, вносимому отверстиями, в виде комбинации частных интегралов бигармонического уравнения. Решение получено в предположении, что диаметры отверстий малы по сравнению с шириной полосы и они достаточно удалены от граней полосы. Это обстоятельство связано с тем, что сходимость рядов, через которые выражаются искомые величины при использовании упомянутого метода резко ухудшается с уменьшением ширины перемычек. Необходимо отметить, что метод биполярных координат не допускает обобщения на случай отверстий больше двух.
Первая основная задача плоской теории упругости для полосы с эксцентричным эллиптическим отверстием рассматривалась Ю.А.Амен-заде и М.М.Эль-Тахером [l92]« Авторы с применением методов СО -функции и интегрального преобразования Фурье, сводят задачу к бесконечной регулярной системе алгебраических уравнений.
Концентрация напряжений в растянутой полосе, ослабленной двумя одинаковыми круговыми отверстиями, расположенными кососиммет-рично относительно срединной линии, исследовалась в работе [70]# Сначала с помощью суперпозиции решений снимаются напряжения на бесконечности и переходят к задаче для полосы с загруженными отверстиями. Затем появившиеся усилия на контурах отверстий снимаются наложением решения задачи о бесконечной плоскости с двумя нагруженными отверстиями. Получившиеся на гранях полосы ненулевые усилия аннулируются наложением решения задачи о полосе без отверстий заданными на ее гранях усилиями. В результате на контурах отверстий снова появляются усилия и процедура повторяется. При этом задача о бесконечной плоскости с двумя загруженными отверстиями решается путем разложения усилий на контурах в ряды Фурье, а неизвестной функции Эри - в ряды Лорана, задача для сплошной полосы решается с помощью интегрального преобразования Фурье. Для применения преобразования Фурье используются значения на гранях полосы в конечном числе точек, так же как для разложения усилий в ряды Фурье используются их значения в ряде точек контура. Авторы утверждают, что описанная итерационная процедура сходится после 3-7 шагов.
Полоса с бесконечным рядом круговых одинаковых отверстий рассматривалась в работах Г.Зелиско [94] , С.А.Калоерова и З.А. Гуревича [29] методом коллокации. В работе [94] ось ряда смещена в сторону одной из кромок полосы и полоса испытывает растяжение или изгиб. Краевые условия на контурах сводятся к бесконечной системе алгебраических уравнений, условия на кромках удовлетворяются точно.
Для решения этой задачи в олучае действия равномерно распределенной нагрузки на сторонах полосы Т.Я.Ершовой fl8j применен вариационно-разностный метод. Центры отверстий лежат на оси.
Работы [69,88] посвящены исследованию концентрации напряжений возле кругового включения в полосе. Авторы эззих работ рассматривают предварительно деформированное включение из того же материала что и полоса. Решение достигается методом суперпозиции решения для бесконечной плоскости GO включением и решения для сплошной полосы. В работе [90] дано решение в рядах в случае кольцевого включения, идеально впаяного в бесконечную растянутую полосу.
Полоса с двумя одинаковыми упруго подкрепленными круговыми отверстиями рассмотрена Н.й.Мироненко [45] . Подкрепляющие кольца и полоса выполнены из различных материалов. Т.Я.Ершовой изучалось ]1Э\ предельное значение коэффициента концентрации напряжений, когда расстояние между отверстием и прямолинейной границей стремится к нулю. В рамках линейной теории упругости установлено, что этот коэффициент стремится к двум. Еще раньше этот факт экспериментально установлен в [32].
Многие исследователи пользовались различными экспериментальными методами (в основном методом фотоупругости) для изучения концентраций напряжений в полосе с отверстиями. Экспериментальные методы позволяют установить пределы применимости тех или иных приближенных методов. Кроме того, с их помощью можно получить эмпирические формулы, простые и удобные в применении к инженерным расчетам.
Результаты экспериментального исследования концентрации напряжений в полосе с прямоугольным отверстием, закругленными углами, при растяжении и изгибе приведены в работах [85,86], где также приведены эмпирические формулы для коэффициентов концентрации. Отмечается, что при растяжении максимальное напряжение всегда возникает на внутреннем крае, вблизи точки, где начинается округление угла. При изгибе - на внешнем крае в точке, которая лежит на прямой, проходящей через точку начала округления внутреннего угла под углом 30° к поперечному сечению полосы» Напряженное состояние полосы с тремя квадратными отверстиями при одноосном растяжений изучалось Ю#К.Грешновым, А «И.Кондратенко [7J фото-упругим методом.
Н.Г.Грипич [9] использовал поляризационно-оптический метод определения напряжений для полосы с одним круговым и двумя эллиптическими отверстиями, расположенными в вершинах равнобедренного треугольника В работе [ю] исследуемая полоса перфорирована шестью оди-наковыми круговыми отверстиями.
В статье [89J методом фотоупругости определяются напряжения в растянутой полосе из эпоксидной смолы с круговым отверстием, подкрепленным алюминиевым кольцом.
Методом фотоупругости [б8] и численно [87J установлено,что коэффициент концентрации напряжений в минимальном сечении стремится к двум, когда отношение диаметра отверстия к ширине полосы стремится к единице, что совпадает с тем, что получено аналитическим путем .[l9J .
Экспериментальному исследованию снижения концентрации напряжений возле кругового отверстия в полосе, путем нанесения вокруг основного отверстия дополнительных отверстий меньшего диаметра, посвящена работа {jB4] • Эта же задача рассматривалась в статье [2l] с применением метода конечных элементов.
Как видно из приведенного обзора, исследования по определению напряжений в многосвязной полосе, основываются на хорошо развитых классических методах плоской теории упругости. В частности, в них находит широкое применение метод комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили. Тем не менее, в существующей литературе отсутствуют работы, в которых рассматривалось бы напряженное состояние полосы, ослабленной конечным числом произвольно расположенных взаимовлияющих отверстий.
В реальных условиях модель однородной среды не всегда отражает действительное состояние рассматриваемого объекта, В горном деле ,например, отверстия моделируют подземные выработки,Од-ним из важных свойств горного массива является его слоистость. Поэтому в механике горных пород особое внимание уделяется разработке все более совершенных механико-математических моделей горного массива, отражающих в той или иной мере наиболее важные его свойства (неоднородность, анизотропность и т.д.).
Современное состояние механики составных деформируемых тел отражено в обзорах [23,53], Первые же исследования [34,49,62] , относящиеся к строгой постановке задачи теории упругости кусочно--однородного тела, показали, что получение эффективного решения конкретных задач требует специального подхода, учитывающего конкретную физическую и геометрическую особенности объекта,
В данном обзоре мы остановимся лишь на работах, где исследуется напряженно-деформированное состояние кусочно-однородных сред, содержащих многосвязную полосу.
Наиболее существенные результаты в этом направлении достигнуты в трудах Ж.С.Ержанова и его учеников, в связи с изучением вопроса об устойчивости пластовых выработок, пройденных в крупно-слоистом горном массиве. В монографии [I6J горный массив моделируется либо невесомой кусочно-однородной плоскостью, либо весомой кусочно-однородной полуплоскостью в зависимости от глубины заложения выработки. Наряду с другими задачами здесь рассмотрена задача о напряженно-деформированном состоянии пятислойной плоскости, состоящей из двух полуплоскостей и трех полос, расположенных симметрично относительно среднего, ослабленного круговым: отверстием, слоя. Здесь же рассмотрена задача о весомой полуплоскости, составленной из полуплоскости и четырех полос,одна из которых ослаблена круговым отверстием. Для решения таких задач авторами разработан метод наложения, основанный на сочетании методов комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили и интегрального преобразования Фурье. На конечном этапе задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. В работе [l7J этот же метод применен к исследованию напряженно--деформированного состояния симметричной слоисто-однородной весомой полуплоскости с двумя одинаковыми сближенными круговыми отверстиями в одном из слоев.
Упругое равновесие кусочно-однородной плоскости, полученной посредством соединения двух одинаковых полуплоскостей с бесконечной полосой с круговым отверстием, исследовалось в статье [8J. С применением методов Колосова-Мусхелишвили и аналитического продолжения, условия на гранях полосы сводятся к задаче сопряжения, а последующее удовлетворение граничным условиям на контуре отверстия приводит к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов искомых потенциалов. Полуплоскости растянуты на бесконечности в направлении перпендикулярном границе раздела. Для того, чтобы такое одноосное растяжение на бесконечности имело место и для полосы, при условиях жесткого контакта, необходимо чтобы упругие постоянные полосы и полуплоскости были связаны зависимостью, которая приводится в статье.
Н.И.Мироненко [43,44] применяя ранее найденное решение для полосы с двумя отверстиями 4l], получил решение задачи о распределении напряжений в кусочно-однородной плоскости, содержащей полосу с двумя одинаковыми круговыми отверстиями. Здесь для полуплоскостей, как и для сплошной полосы при решении вспомогательной задачи, применен метод интегрального преобразования Фурье.
В работе [б] предложен алгоритм решения, по методу последовательных приближений, задачи для многослойных оснований с произвольными отверстиями внутри полос. Это достигается суперпозицией решения граничной задачи для многослойных оснований [4] с решением для однородной плоскости с отверстиями. Последняя решается методом Д.И. Шермана.
Круг работ, где исследуются взаимовлияния неравных отверстий (сближенные отверстия) в полосе и кусочно-однородной плоскости весьма мал, хотя актуальность решений таких задач очевидна.
Целью настоящей диссертационной работы являются:
- постановка и аналитическое решение задач о концентрации напряжений в полосе, ослабленной двумя неравными и произвольно расположенными или четырьмя попарно равными круговыми отверстиями;
- определение напряженного состояния кусочно-однородной плоскости, содержащей упомянутую многосвязную полосу;
- оценка корректности применения используемого метода, путем исследования на регулярность получаемой бесконечной алгебраической системы;
- численный анализ характерных особенностей распределения напряжений в многосвязной полосе и кусочно-однородной плоскости.
Основное содержание диссертации изложено в работах [14,15, 20,46-4:8] .
