Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Постановка и решение задачи упругого деформирования слоя взаимодействия 11
1.1. Постановка задачи упругого деформирования слоя взаимодействия 11
1.2. Подходы к решению задачи упругого деформирования слоя взаимодействия 17
1.3. Основные выводы первой главы 31
Глава II. Взаимодействие тонкого упругопластического слоя с упругой средой в условиях плоской деформации 33
2.1. Постановка задачи 34
2.2. Подход к дискретному решению 40
2.3. Основные выводы второй главы 57
Глава III. Упругопластическое деформирование слоя взаимодействия в плоском напряженном состоянии 59
3.1. Постановка задачи 59
3.2. Расчетная схема 66
3.3. Основные выводы третьей главы 89
Заключение 91
Литература
- Подходы к решению задачи упругого деформирования слоя взаимодействия
- Подход к дискретному решению
- Расчетная схема
Введение к работе
В настоящее время исследование проблем прочности и
разрушения твердых тел представляется важной задачей, как в
теоретическом, так и в прикладном плане. Под разрушением
понимается макроскопическое нарушение сплошности тела в
результате воздействия на него внешнего окружения. Ввиду
отсутствия единой теории процесса разрушения,
закономерности этого явления принято рассматривать на разных масштабных уровнях. Однако наибольшее развитие получили модели, описывающие разрушение в рамках теории трещин. В этом случае трещиноподобный дефект моделируется математическим разрезом. Но, как правило, точно описать поведение среды представляется возможным до вершины трещины (особой точки). Дальнейшее решение строится на определенной модели разрушения, включающей в себя модель трещины и критерий разрушения.
Основы механики разрушения были заложены английским ученым Аланом Гриффитсом [64,65]. Он постулировал, что для образования единицы новой свободной поверхности под действием приложенной нагрузки уменьшение потенциальной энергии тела (вследствие подрастания трещины) должно быть равно поверхностной энергии, затраченной на образование новой свободной границы тела (вследствие приращения длины трещины). Таким образом, согласно Гриффитсу, трещина растет, если освобождающейся потенциальной энергии достаточно для преодоления взаимодействия слоев атомов и образования
новой свободной поверхности. Этот подход получил название энергетического критерия разрушения.
Важно отметить, что после достижения критического
значения напряжения для поддержания роста трещины при
определенных условиях не требуется увеличение
прикладываемой нагрузки — рост трещины является лавинообразным. Такие трещины называются неравновесными, а рост трещины - неустойчивым. Условие устойчивого роста трещины - требование малого увеличения внешней нагрузки для малого увеличения длины трещины. Такие трещины называют равновесными.
Идеализированный критерий хрупкого разрушения
Гриффитса был предложен для трещины нормального отрыва в
линейно упругом теле. В большинстве случаев существенны
процессы нелинейного деформирования в окрестности
вершины трещины. Поэтому Орован [79] обобщил концепцию
Гриффитса на случай металлов, где возникают необратимые
деформации в зоне предразрушения, и ввел в рассмотрение
работу пластической деформации. Ирвин установил [66-68],
что процесс разрушения материала при распространении
трещины обуславливается напряженно-деформированным
состоянием в окрестности вершины трещины, которое в свою
очередь, в линейно упругом теле определяется коэффициентом
интенсивности напряжений. Поэтому естественно
предположить, что трещина получает возможность
распространяться при достижении коэффициентом
интенсивности напряжений некоторого критического
значения. Критические значения коэффициентов
интенсивности напряжений являются постоянными материала,
характеризующими его трещиностойкость при заданной температуре, внешней среде и т.п. Этот критерий разрушения получил название силового критерия разрушения.
Вышеприведенные подходы являются эквивалентными и формируют критерии хрупкого разрушения.
В механике упругопластического разрушения
предполагается образование зоны пластических деформаций у
вершины трещины и в процессе роста трещины энергия,
ассоциированная с локализованным полем пластических
деформаций, значительно превышает поверхностную энергию,
которую необходимо затратить, чтобы образовалась новая
свободная поверхность. Важно отметить, что критерий Ирвина
используется и для упругопластических материалов в
предположении, что область пластического деформирования
не влияет на характер решения в окрестности особой точки,
определяемого в рамках соотношений линейной теории
упругости. Однако работа разрушения в этом случае
ассоциируется не с поверхностной энергией, а с энергией
диссипации (работой пластического деформирования) в
концевой зоне. Для того чтобы подчеркнуть
упругопластический характер разрушения, предельное
значение коэффициента интенсивности напряжений получило
название вязкости разрушения. Расчеты коэффициентов
интенсивности для различных типов начальных трещин и
внешних сил и последующая экспериментальная реализация
этих задач позволили определить условия начала разрушения
различных тел при плоском напряженном или
деформированном состояниях [41].
Дальнейшее развитие механика разрушения получила в
работах Ф. Макклинтока [74], В.В. Новожилова [45], Д.Д.
Ивлева [19-21], Л.В. Ершова [51], Ю.Н. Работнова [50] , А.Ю.
Ишлинского [23], Н.А. Махутова [34,72], Н.Ф. Морозова [41],
Е.М. Морозова [47,73,76], В.И. Астафьева [57], В.З. Партона
[47], A.M. Линькова [31], Р.В. Гольдштейна [12-17,62],
Ю.Г. Матвиенко [72,73], Болотина В.В. [59] и ряда других
отечественных и зарубежных исследователей [42-44,46,49,58,
70,71,75,77,78,80,82,86-91]. Ограниченность критерия Ирвина
обусловлена использованием для описания докритического и
критического состояний аппарата линейной теории упругости
и необходимостью существования дефектов типа
математического разреза. Более общие интегральные критерии разделения, справедливые и в рамках нелинейной теории упругости, связаны с именами Дж. Раиса [83-85], Г.П. Черепанова [53].
Описание разрушения в рамках нелинейной теории
упругости приводится в работах К.Ф. Черныха [41].
Использование интегральных критериев для
упругопластических материалов ограничено, как и применение критерия Ирвина, условием малости зоны пластического деформирования в окрестности концевой точки. Впервые, в 1959 году, переход к непосредственному учету пластического деформирования был проведен М.Я. Леоновым и В.В. Панасюком [30] и несколько позже Д.С. Дагдейлом [61]. Существенным отличием подхода Леонова-Панасюка-Дагдейла была конечность напряжений в примыкающей к кончику разреза пластической зоны. Это позволило использовать деформационный критерий начала процесса образования
новых поверхностей. Для определения критического состояние в данных работах требовалось два параметра (постоянных материала) — критическое раскрытие трещины и притягивающие противоположные берега напряжения. Теории разрушения, исключающие бесконечные значения напряжений в упругих моделях, были предложены С.А. Христиановичем, Г.И. Баренблаттом [58], В.М. Битовым и Р.Л. Салгаником [18]. Модель развития трещины с учетом сил сцепления в упругопластических телах была предложена И.М. Лавитом [28,29].
Интерес к проблемам разрушения не ослабевает ввиду их огромного прикладного значения. В настоящее время подавляющее число публикаций по механике деформируемого твердого тела в той или иной степени касается проблем разрушения и развития повреждений [1,2,12,14-17,25,26,32,35-40,48,52,54-56].
Цель данной диссертационной работы состоит в исследовании развития пластической зоны в окрестности физического разреза конечной толщины при нагружении типа нормального отрыва в случае плоской деформации и плоского напряженного состояния.
Научная новизна работы заключается в следующих основных результатах:
1. Рассмотрена модель физического разреза, что
позволило описать развитие зоны пластичности в пределах
слоя конечной толщины в рамках упругопластической модели.
В этом случае, напряженное состояние слоя, а также длина его
пластической области получается из решения
соответствующих краевых задач, которые показали
существенную зависимость напряженного состояния и длины пластической зоны от типа плоской задачи.
Сформулированы и решены краевые задачи, позволяющие, в отличие от подхода Леонова-Панасюка-Дагдейла, отразить перераспределение напряжений в упругой области, вызываемые ростом зоны пластичности.
Установлено, что учет напряжений сжатия-растяжения и упругой сжимаемости в пластической области слоя приводит к существенному различию законов изменения напряжений и длин пластических зон при плоском деформированном и напряженном состояниях.
Показано принципиальное различие в характере пластического течения. В состоянии плоского деформирования в концевой области трещины наблюдается сильный гидростатический эффект, что приводит к превышению напряжений в окрестности вершины разреза над пределом текучести. Для плоского напряженного состояния напряжения в зоне пластического течения не превосходят предел текучести.
С использованием соотношений теории течения и гипотезы полной пластичности поставлена и решена связанная упругопластическая задача о развитии тонкой пластической зоны в окрестности трещиноподобного дефекта для плоского деформирования и случая плоского напряженного состояния.
Достоверность полученных результатов достигается
использованием известных математических постановок задач
механики разрушения, сравнением с известными
аналитическими решениями и экспериментальными данными.
Создание любых изделий и сооружений неизбежно соприкасается с вопросом прочности. Результаты данной работы могут найти применение в различных конструкторских бюро, а также могут использоваться в теоретических курсах для студентов по направлению «Механика. Прикладная математика».
Результаты исследования обсуждались на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2007-2008 гг.), семинаре по МДТТ им. Л.А. Толоконникова (руководитель - проф. Маркин А.А.), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ.
По материалам работы опубликовано 9 работ, в том числе 6 статей и 3 тезиса. Две статьи опубликованы в изданиях из списка ВАКа.
Работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы, включающего 91 наименование.
Во введении приведено историческое развитие
рассматриваемой темы, обоснована актуальность
диссертационного исследования, сформулирована цель работы. Приведена характеристика научной новизны, обоснована достоверность полученных результатов и их практическая ценность.
В первой главе рассмотрена математическая модель трещины типа нормального отрыва в линейно упругой среде. В этом случае трещиноподобный дефект моделируется физическим разрезом с некоторым характерным размером. Данный масштабный уровень выбираем как минимально
допустимый с точки зрения выполнения гипотез сплошности. Материал, лежащий на мысленном продолжении физического разреза в сплошной среде, формирует материальный слой -слой взаимодействия. На основе концепции слоя взаимодействия получена система интегродифференциальных уравнений, позволяющая учесть напряжения, действующие в слое, не только в направлении отрыва, но и в ортогональном ему направлении. Предложен численный метод дискретного анализа полученной системы. Произведено сравнение результатов расчета с известным асимптотическим решением.
Во второй главе исследуется математическая модель упругопластического деформирования тела с вырезом в условиях плоской деформации. Предполагается, что пластическое течение может быть локализовано в пределах слоя взаимодействия. Вне слоя среда считается линейно упругой. Исследована зависимость длины пластической зоны от внешней нагрузки и напряженно-деформированное состояние слоя. Определено возможное направление распространения пластической области.
В третьей главе рассматривается математическая модель упругопластического деформирования тела с вырезом в условиях плоского напряженного состояния. Проведено сравнение зависимости длин пластических зон от приложенных нагрузок в случае плоской деформации, для плоского напряженного состояния и классического подхода Леонова-Панасюка-Дагдейла.
В заключении приведены основные выводы по работе.
Подходы к решению задачи упругого деформирования слоя взаимодействия
При численном решении полученной системы (1.15), (1.16) поведение материала слоя взаимодействия рассмотрим в рамках дискретной модели, представляя его набором взаимодействующих квадратных в плане о_элементов [8].
Основным допущением данной модели является положение об однородности напряженно-деформированного состояния (НДС) в каждом из элементов. В этом случае одним из известных методов решения полученных граничных интегро 18 дифференциальных уравнений является метод граничного элемента с постоянной аппроксимацией поля напряжений на элементе [27]. Для построения решения задачи в рамках дискретной модели разобьем границу полуплоскости OL на N единичных элементов. Каждый элемент границы к, с координатами к_х, к где k = l---N, характеризуется постоянным (средним по элементу) значением напряжений о\\ , ?\2 и afe [45], определяемым следующим образом: 4%)h \iM)d где ) = ( + )/2. (1.17).
В результате интегралы в уравнениях системы (1.15) предстанут в виде соответствующих сумм. Для дискретизации уравнения равновесия (1.3) проинтегрируем его по к-ому элементу, в результате получим: а о 22 21 Подчеркнем, что данный подход близок к методу граничного элемента [27] с постоянной аппроксимацией, однако основное отличие данного подхода в том, что разбиение на элементы меньшего размера не имеет смысла.
Отметим, что линейные системы (1.18) и (1.23)-(1.25) в общем случае содержит бесконечное количество уравнений (и- оо). Однако, как показывают расчеты, для анализа результатов можно ограничиться конечным числом уравнений. Все дальнейшие расчеты проводились для и = 10000.
При a»S0 система (1.15) вырождается в задачу, рассмотренную в работе В.М. Ентова и Р.Л. Салганика [18], где упругие полупространства (рис. 1.1) скреплены идеально хрупкими связями Л. Прандтля [81]. Взаимодействие хрупких связей с полуплоскостями эквивалентно нагрузки со стороны слоя с коэффициентом Пуассона v = 0. При этом в слое имеем СГ22-0- Выражение для расклинивающего усилия в этом случае может быть получено на основании асимптотического решения работы [8] в следующем виде:.
Для построения кривой 1 использовались значения, найденные классическим методом граничного элемента. При построении кривой 2 использовалось численное решение расклинивающего усилия, определенного из дискретного представления (1.23)-(1.25).
Из анализа представленных результатов можно сделать вывод, что качественно решения, полученные по методу граничного элемента и предложенному дискретному методу, совпадают. Численное решение показывает сходимость обоих методов, однако каждый метод имеет свою асимптотику. Если метод граничного элемента при увеличении числа элементов стремится к аналитическому решению исходной интегро-дифференциальной системы, то дискретный метод имеет свое отличное дискретное решение [1 1].
Исходя из полученных результатов, дальнейшее численное решение задачи о деформировании тонкого слоя будем рассматривать в рамках метода граничных элементов с постоянной аппроксимацией поля напряжений на элементе.
Подход к дискретному решению
При решении задачи применяется метод граничного элемента с постоянной аппроксимацией поля напряжений по элементу. Следуя Новожилову [45], полагаем, что разрушение твердого тела - процесс дискретный, поэтому в пределах элемента слоя взаимодействия длиной SQ или единичной безразмерной длины напряженное состояние полагается однородным. Для построения решения задачи в рамках дискретной модели разобьем границу полуплоскости OL на п единичных элементов.
Подчеркнем, что данный подход близок к методу граничного элемента [27] с постоянной аппроксимацией, однако основное отличие данного подхода в том, что разбиение на элементы меньшего размера не имеет смысла. Данный размер, как указано выше, ограничивает материальную область, для которой еще справедлива гипотеза сплошности.
Запишем дискретную модель упругопластического деформирования слоя взаимодействия в общем виде. Первые / элементов этой модели находятся в пластическом состоянии, / + 1 элемент выходит в пластическую область, а остальные элементы деформируются упруго. Модель будет состоять из трех подсистем.
Полная система дискретного деформирования, состоящая из подсистем (2.22)-(2.24) содержит Зп + 1 линейное уравнение. Неизвестными являются Ъп обобщенных напряжений и критическая сила Р{+\, обеспечивающая данное напряженное состояние.
В общем случае (я- оо), система (2.22)-(2.24) содержит бесконечное количество уравнений. Вычисления показывают, что при количестве элементов больше 10000 решение систем практически не меняется (рис. 2.3), что косвенно свидетельствует о сходимости процесса счета.
Другой вариант - решать полученную систему линейных уравнений итерационно. Для построения итерационного процесса для зоны 1+1 и критической нагрузки Pj+\, используем известное решение для зоны / и нагрузки Р/. В этом случае в качестве итерационного параметра используем значение напряжения GV) в первом уравнении системы (2.22) на первом элементе. В нулевом приближении напряжение сг С -я) Для правой части первого уравнения системы (2.24) принимает значение напряжения тіі(Р/). Еще раз подчеркнем, что а\МРі) есть напряжение на первом элементе, соответствующее нагрузке Р/. Решая систему (2.22)-(2.24) при условии: о- (Р[+і) = а) (Рі) для первого уравнения системы (2.22), находим распределение напряжений и внешнюю нагрузку в нулевом приближении: Pi+i, ij к = 1...п.
Для остальных к элементов решение находим из соответствующей системы линейных уравнений. Иными словами, распределение напряжений 22 C +l) в нулевом приближении не предполагалось совпадающим с распределением этих напряжений, соответствующим длине зоны пластичности /. Результаты расчета показывают, что на каждом шаге достаточно шести итераций для достижения сходимости итерационного процесса, при котором поле напряжений на j-ом шаге будет отличаться от напряжений, полученных на (у-І)-ом шаге менее, чем на 0.1%. Достижение соответствующего критерия в первом элементе слоя определяет начало процесса образования новых материальных поверхностей [7,41,43,45,53,69].
Из приведенных зависимостей видно, что напряжения в пластически деформируемых элементах в состоянии плоской деформации существенно превышают предел текучести, на что указывалось и в работе [46]. Чем больше элементов в пластической области, тем преобладание значений напряжений над пределом текучести становится более существенным.
Объяснение данному факту следует искать в учете всех напряжений при моделировании зоны предразрушения упругопластического материала в данном виде плоского состояния. Пренебрежение напряжениями о"22 и тзз по сравнению с (Гц приводит к тому, что напряжения в зоне предразрушения не будут превосходить предел текучести, что корректно для плоского напряженного состояния.
Рассмотрим изменение численных значений критической нагрузки при достижении предела текучести на первом, втором и третьем элементах. При определении состояния, соответствующего входу в пластическую область второго элемента, критическая нагрузка Р2—\Л6РХ, а при расчете последующего состояния Р3 =2.47Р1 .
Следовательно, рост нагрузки, необходимой для осевого продвижения пластической области в условиях плоской деформации указывает на возможность ее распространения в направлении оси Хх . Из распределения напряжений на элементах слоя взаимодействия, можно определить распределение НДС в области, прилегающей к слою со стороны плоскости. Соответствующую область, показанную на рис. 2.9, представим рядом квадратных элементов с единичной стороной. Считаем, что в пределах каждого элемента НДС однородно и соответствует напряженному состоянию в центральной точке с координатами х"= — , х"-п—, где п-номер элемента.
Расчетная схема
При решении задачи, следуя Новожилову [45], полагаем, что разрушения твердого тела - процесс дискретный, поэтому в пределах элемента слоя взаимодействия длиной SQ или единичной безразмерной длины напряженное состояние полагается однородным.
Подчеркнем, что данный подход близок к методу граничного элемента [27] с постоянной аппроксимацией, однако основное отличие данного подхода в том, что разбиение на элементы меньшего размера не имеет смысла. Данный размер, как указано выше, ограничивает материальную область, для которой еще справедлива гипотеза сплошности.
Рассмотрим процесс построения дискретной модели упругопластического деформирования слоя взаимодействия в условиях плоского напряженного состояния. На первом шаге определим начало пластического деформирования слоя взаимодействия, а именно переход первого элемента слоя взаимодействия из упругого состояния в пластическое при выполнении критерия (3.10).
Решением системы (3.34), наряду с полем напряжений, л1 будет и величина критической нагрузки Р{к), при которой первый элемент переходит в пластическое состояние. Соответствующее распределение напряженного состояния показано на рис. 3.1 (« = 10000). Кривая 1 определяет распределение напряжений JU, кривая 2 — распределение напряжений 722, кривая 3 - распределение напряжений т33.
Запишем дискретную модель упругопластического деформирования слоя взаимодействия в общем виде. Первые / элементов этой модели находятся в пластическом состоянии, / + 1 элемент выходит в пластическую область, а остальные элементы деформируются упруго. Модель будет состоять из трех подсистем [11].
Полная система дискретного деформирования, состоящая из подсистем (3.42)-(3.44), содержит Зп + 1 линейное уравнение. Неизвестными являются Ъп обобщенных напряжений и критическая сила Р{+\, обеспечивающая данное напряженное состояние.
В общем случае, когда и—»оо, система (3.42)-(3.44) содержит бесконечное количество уравнений. На рис. 3.5 показана зависимость величины приложенной нагрузки от количества элементов слоя взаимодействия при разной длине пластической зоны / (график 1 соответствует /„=1, график 2 - 1р=2, график 3 - 1=3). Из рис. 3.5 следует косвенная сходимость решений. Таким образом, для анализа результатов можно ограничиться конечным числом уравнений. На рис. 3.6 показано влияние приложенной нагрузки на величину деформаций при пластическом течении на первом элементе слоя взаимодействия. Кривые 1 и 2 соответствуют распределению деформаций єп и є21 под действием приложенной силы в состоянии плоской деформации. Кривые 3, 4, 5 - описывают распределение деформаций єп, є22 и є33 соответственно в случае плоского напряженного состояния.
Для плоского напряженного состояния с увеличением нагрузки деформации в пластической зоне практически одинаковы. Если в качестве начала образования новых материальных поверхностей использовать деформационный критерий, то полученный результат свидетельствует о возможности существования тонкой пластической зоны с длиной, существенно превышающей введенный характерный размер.
В состоянии плоской деформации с увеличением сосредоточенной силы максимальная главная деформация єп растет, что указывает на возможность разрушения при существенно меньшей длине пластической зоны, чем для случая плоского напряженного состояния.
Проведем сравнение зависимостей длины пластической области от величины внешней нагрузки с аналогичной зависимостью, следующей из модели Леонова-Панасюка-Дагдейла [30,61]. В основе подхода Леонова—Панасюка—Дагдейла (ЛПД) лежат следующие допущения: 1. Разрез рассматривается как математический, пластическая зона занимает область нулевой толщины длиной р на продолжении математического разреза (рис. 3.8). X, 2. Напряженное состояние на «пластическом» отрезке однородное растяжение с напряжением равным пределу текучести при растяжении. 3. Упругое состояние вне отрезка «пластичности» определяется по асимптотическим формулам линейной теории упругости. Пластическая зона не влияет на закон распределения напряжений в упругой области. 4. Длина пластической области рассчитывается из условия конечности напряжений на границе упругой и пластической области. Формализуем данные условия применительно к рассматриваемой задаче: а) Толщина слоя взаимодействия принимается нулевой: 0=0. б) а0 = сги = 2т5, при 0 х2 р; т9 = О, і J Ф 1. Для формализации 3-ого и 4-ого условий воспользуемся известными асимптотическими решениями, приведенными в работах [51,53]. Коэффициент интенсивности напряжений от расклинивающей сосредоточенной нагрузки Р, приложенной к полубесконечному разрезу, обозначим через К) р\ а соответствующий коэффициент от внешней нагрузки постоянной интенсивности а0 - К).
Похожие диссертации на Модель развития пластической области при нормальном отрыве
