Содержание к диссертации
Введение
1 Статические и квазистатические деформации двухфазных термоупругих тел 23
1.1. Вывод условий баланса на границе раздела фаз с помощью законов сохранения в интегральной форме 23
1.2 Об уравнениях состояния нелинейно-термопругой среды с предварительными напряжениями 31
1.3 Вариационная постановка задачи о фазовом равновесии. Вариационные принципы в напряжениях и перемещениях 38
1.4 Кручение двухфазного цилиндра 44
1.5 Фазовые превращения в телах с изолированными дефектами . 46
1.6 Фазовые превращения в телах непрерывно распределенными дефектами 52
1.7 Образование полостей в телах с дислокациями и дисклинациями . 56
2 Фазовые превращения в телах с микроструктурой и примесями 62
2.1 Условия термодинамического равновесия фаз в телах с дополнительным параметром состояния 62
2.2 Условия термодинамического равновесия фаз в микрополярных средах 65
2.3 Условия термодинамического равновесия фаз в телах с микродеформацией . 71
2.4 Равновесие двухфазного нелинейно упругого цилиндра, содержащего дислокацию, с учетом моментных напряжений 73
2.5 Условия равновесия фаз в сильно деформированных нематических жидких кристаллах . 75
2.6 Квазистатические и статические деформации двухфазных тел учетом процесса диффузии примесей 83
2.7 Равновесие двухфазного шара 88
3 Теория устойчивости двухфазных тел 96
3.1 Линеаризация краевой задачи о деформировании двухфазного упругого тела 96
3.2 Потеря устойчивости двухфазного шара, нагруженного гидростатическим давлением 100
3.3 Эллиптичность краевой задачи равновесия двухфазного тела 103
3.4 Потеря устойчивости двухфазных тел в случае бесконечно малых деформаций 110
3.5 Устойчивость нелинейно упругих тел с моментными напряжениями 128
3.6 Устойчивость полупространства с моментными напряжениями 135
3.7 Потеря устойчивости двухфазного шара с моментными напряжениями 138
4 Механика микрополярной жидкости 143
4.1 Основные соотношения континуума Коссера с памятью. Уравнения состояния вязкоупругой микрополярной жидкости 143
4.2 Уравнения упругой микрополярной жидкости 149
4.3 Некоторые задачи о равновесии упругих жидкостей 155
4.4 Равновесие фаз микрополярной жидкости 160
4.5 Вискозиметрические течения несжимаемой микрополярной жидкости 161
4.6 Устойчивость равновесия упругой микрополярной жидкости в магнитном поле (переход Фредерикса) 167
4.7 Конвективная неустойчивость вязкоупругой микрополярной жидкости 170
5 Микрополярные оболочки и их приложения 178
5.1 Основные краевые задачи микрополярных оболочек 178
5.2 О симметрии уравнений состояния оболочек .185
5.3 Распространение слабых разрывов (волн ускорения) и условие сильной эллиптичности 207
5.4 Условия термодинамического равновесия оболочек Коссера 214
5.5 Осесимметричная деформация двухфазной пластинки-с круговым отверстием 226
5.6 Микрополярные оболочки и математические модели клеточных мембран229
5.7 Двухфазное состояние равновесия в микрополярной пластине с включением 238
Заключение 240
Литература 242
- Об уравнениях состояния нелинейно-термопругой среды с предварительными напряжениями
- Равновесие двухфазного нелинейно упругого цилиндра, содержащего дислокацию, с учетом моментных напряжений
- Потеря устойчивости двухфазных тел в случае бесконечно малых деформаций
- Устойчивость равновесия упругой микрополярной жидкости в магнитном поле (переход Фредерикса)
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Проблема описания фазовых превращений в деформируемых телах является одной из важнейших задач механики и физики твердого тела, а также материаловедения. Ее актуальность определяется тем, что большинство материалов, используемых в современной технике, испытывают фазовые превращения либо в процессе их изготовления, либо в процессе эксплуатации, либо контактируют со средой; в которой происходят фазовые переходы. Примерами процессов, где необходим учет взаимного влияния деформирования и фазовых переходов являются твердофазные превращения с сплавах и сталях, рост кристаллов, формирование ледяного покрова, затвердевание металла в изложнице, превращения в минералах и горных породах при высоких давлениях, процессы получения нанопленок, ориентацион-ные превращения в полимерах, переходы в термотропных_и лиотропных жидких кристаллах, а также ряд других. В частности,.фазовые превращения ответственны за эффект памяти формы, наблюдаемый в некоторых сплавах (сплавах с памятью формы), широко используемых в современной технике.
Начиная с Гиббса и Стефана исследованию фазовых переходов в рамках механики сплошных сред посвящено значительное число работ. Значительный вклад в развитие механики тел, содержащих фазовые границы, внесли Н.Х. Арутюнян, В.Л. Бердичевский, А.А. Вакуленко, М.А. Гринфельд, А.Д. Дроздов, В.И. Кондауров, НІФ. Морозов, В.Э. Наумов, Л.В. Никитин, В.Г. Осмоловский, А.Л. Ройтбурд, Л.М. Труски-новский, А.Б. Фрейдин, а также Р. Абейаратне, Дж. Болл, М. Гартин, Р. Джеймс, Дж. Ноулс, Дж. Эриксен, М. Питтери, РА. Фосдик, М. Шил-хави. Приведем здесь публикации этих и некоторых других авторов [4, 12,17, 26, 27, 32],[40]-[42], [122,130]-[135], [137], [167]-[171], [174,180,182], [187]-[189], [202], [207]-[210], [231)-(23 [244, 245, 253, 254, 267, 268], [282]-[286], [292, 293, 295], [296]-[298], [301]-[309], [313, 314, 319]-[321], [330], [332]-[343], [345]-[347], [351, 353, 354, 365, 366, 367, 369, 371, 383], [388]-
Введение
[390], [393, 395, 396], [399]-[401], [408]-[412], [415, 416]. В этих работах по преимуществу рассматриваются процессы деформирования тел, испытывающих фронтальные фазовые превращения, т.е. состоящих из двух или нескольких фаз, разделенных поверхностью раздела. На границе раздела фаз как правило ставится дополнительное условие, необходимое для определения ее положения.
Данная работа выполнена в рамках этого направления, когда вводится в рассмотрение межфазная граница и изучаются процессы деформирования тела, включая определение полей перемещений, напряжений, положения фазовой границы и других параметров, с учетом условий совместности на межфазной границе, учитывающих фазовые превращения. Этот подход позволяет корректно описывать локальные деформации двухфазных: тел с позиций механики сплошной среды.
Отметим, что описанию фазовых превращений посвящены также работы В:А. Лихачева, В.F. Малинина, А.Е. Волкова, А.И. Разова и их коллег, Д. Лагоудаса, В. Левитаса, А.А. Мовчана, Г. Пэрри и др. [13]-[16], [30, 144, 146, 147], [159]-[163],[256, 331], [356]-[359]; [368], [379]-[382], в которых межфазные границы явно не вводятся, т.е. изучаются фазовые превращения объемного типа, и описание деформирования двухфазных тел опирается на введение дополнительных параметров состояния, характеризующих те или иные особенности многофазных сред, как, например, доли одной из фаз, а также учитывающих структурные уровни деформации.
Необходимость привлечения нелинейной механики для описания деформирования двухфазных, тел обусловлена причинами как общего характера- каждая из фаз.материала может испытывать большие (конечные) деформации под действием внешних нагрузок и тепловых полей, так и более частными, непосредственно связанными с некоторыми особенностями фазовых превращений. Дело в том, что такие параметры фазового перехода, как, например, разность плотностей фаз или собственная деформация фазового перехода могут достаточно велики; что может привести к существенным деформациям материала и появления в нем значительных полей напряжений (могущих вызвать разрушение, образование каверн и других дефектов). В окрестности фазового перехода могут существенно меняться постоянные материала. Если рассматривать уравнение состояния для материала, который может испытывать фазовый переход, используя одну функциональную зависимость для каждой из фаз, то даже в случае малых деформаций такое определяющее соотно-
Введение
шение должно иметь области неэллиптичности; т.е. допускать разрывные решения.
Кроме того, наличие неизвестной границы раздела фаз требует постановки нелинейных краевых условий на ней. Поэтому краевые задачи, описывающие поведение двухфазных тел являются нелинейными как вследствие конечности деформаций, так и из-за наличия неизвестной границы раздела фаз.
Изучение фазовых переходов в телах при конечных деформациях естественно потребовало развития общей нелинейной термомеханики, в частности; нелинейной теории упругости, значительный вклад в разработку которой внесли Дж. Адкинс, А. Грин, М. Гартин, А.Н. Гузь, П.А. Жилин, Л.М. Зубов, В.А. Левин, А.И. Лурье, Ж. Можен, Н.Ф. Морозов, В:В. Новожилов, Р. Огден, В.А. Пальмов, Р. Ривлин, Г.Н. Савин, Л.Ш Седов, Ф. Сьярле, К. Трусделл, К.Ф. Черных, Ml Шилхави; А. Эринген, Дж. Эриксен и др. Методы нелинейной механики сплошных достаточно полно освещены в монографиях [39, 43, 50, 103, 135, 143, 150, 152, 158, 166; 175, 179, 183, 190, 194, 201, 216, 217, 218, 219, 220, 242, 300, 364, 378, 401, 407, 417], а также статьях [22, 23, 97, 98, 99]; Механика тел с дислокациями и дисклинациями рассматривалась в [28, 136, 142, 186, 229, 290]. Отметим также работу М.Ю. Гуткина по изучению дислокаций в рамках градиентной теории упругости [322].
Необходимость описания фазовых превращений стала одной из причин, вызвавших к жизни такие направления в современной математике как теория вариационных неравенств [127, 211], и теория задачи Стефана [153, 154]. Особенностью задачи Стефана является наличие только одного параметра состояния - температуры (или концентрации), и тем не менее, методы задачи Стефана нашли многочисленные приложения при выращивании кристаллов [148, 153, 197], изучении затвердевания отливок [11].
Исследования деформаций тел, содержащих фазовые границы, в значительной степени повлияло на развитие механики конфигурационных сил, активно развивающейся в настоящее время [310]—[315], [344, 364, 366, 367].
В задачах исследования фазовых превращений в твердых телах важное место занимает учет микроструктуры материала, испытывающего фазовый переход. Учет микроструктуры материала может проводиться в рамках различных подходов, в данной работе рассматриваются модели сплошной среды, в которых присутствуют дополнительные парамет-
Введение
ры состояния, отвечающие описанию микроструктуры материала. К их числу можно отнести моментную теорию упругости, в рамках которой существуют моментные напряжения и учитывается вращательное взаимодействие частиц среды. Модели сред с микроструктурой используются для описания! зернистых, поликристаллических, композитных материалов, жидких кристаллов, суспензий, а также могут найти применения для моделирования наноматериалов. В'частности, механизмы ротационного взаимодействия в наноструктурах обсуждались в [44, 45].
Начиная с работ Э. и Ф. Коссера [264] механика микрополярной среды, (континуума Коссера) получила значительное развитие в основополагающих работах Э.Л.Аэро [6, 7], В.И. Ерофеева [92], П.А. Жилина [94], Л.М. Зубова [105, 417], В.Т. Койтера [352], Р.Д. Миндлина [156], В. Но-вацкого [377], В:А. Пальмова [181], Р.А. Тупина [406], Л.И; Шкутина [225, 226], К. Эрингена [289]; а также в [37, 299; 376, 386]. Более общие модели сред, содержащие большее число степеней свободы (микроморф-ные среды или среды с микродеформацией), изучались В:И. Ерофеевым [92], Л.М. Зубовым [417], В.Т. Койтером [352], Р.А. Тупиным [406], К. Эрингеном [289] и др. Механика сред с внутренними степенями свободы изучалась также М.А. Гузевым, И.А. Куниным, В.П. Мясниковым; [140, 172, 173]. Практически важный случай моментной среды - жидкие кристаллы исследовались Э.Л. Аэро [8], П. де Женом [93], А.С. Сониным [192], Ф.М. Лесли [355], Дж. Эриксеном [228].
Использование нелинейных моделей требует изучения единственности и устойчивости решений; получаемых на их основе. Исследование устойчивости процессов деформирования также является важной задачей для определения условий эксплуатации и изготовления материалов. В частности, потеря устойчивости при выращивании кристаллов часто сопровождается такими эффектами, как появление волнистости на поверхности образца, рост дендритных кристаллов. Неустойчивость при затвердевании отливок может проявляться в виде выпучивания поверхности затвердевающей отливки, появления трещин; каверн и других дефектов. Неустойчивости процессов роста тонких пленок сказываются на их качестве. С другой стороны, потеря устойчивости тонкостенных элементов конструкций из материалов, испытывающих фазовые превращения, может быть использована при проектировании разного рода датчиков и микродвигателей.
Исследования потери устойчивости в рамках пространственной теории упругости отражены в работах Л.И. Балабуха и М.Г. Яковенко [10],
Введение
М.А.. Био [246], А. Грина и Дж. Адкинса [39], АН. Гузя [43], А.А. Зеленина и ЛіМ. Зубова [95, 96], Л.М. Зубова [21, 100, 417], В:Д. Клюшнико-ва [128], АИ; Лурье [150, 152], Р.1 Огдена [378], К. Сенсенига [191] и др. [257, 258, 318j 327]. Неустойчивость полуограниченных и неограниченных тел, испытывающих фазовые превращения проводились М.А. Гринфель-дом [42]. В разных постановках устойчивость двухфазных тел также изучалась М. Гартиным [301], А А. Мовчаном [164, 165], Р. Фосдиком [268], а также автором и Л.М. Зубовым [52; 53, 56, 270], автором и Л.М; Зубовым [72, 75], автором, А.Б; Фрейдиным и; Л.Ш Шариповойі [87]-[91], [274]. Ранее потеря устойчивости термоупругих тел с фазовыми переходами изучалась Л.С. Лейбензоном [145]. Отметим также исследования морфологической устойчивости, проводимые в рамках задачи Стефана, выполненные Б;Я; Любовым, Р.Ф,: Секеркой;и др. [148, 153; 398].
Модели жидких сред с микровращениями и моментными напряжениями, получивших название микрополярных жидкостей, ведут свое начало от работ Э:Л. Аэро [7] и К.Эрингена [287]. Реологические уравнения вяз-коупругих моментных тел содержатся в работах ОіЮ. Динариева и В;Н. Николаевского, К. Эрингена, К.де Сильвы [47, 241, 266, 288, 289]- Обширный обзор литературы по механике микрополярных жидкостей содержится в монографии [155]. Там же даны применения теории моментных жидкостей в микрофильтрации и капиллярной дефектоскопии. Динамика магнитных жидкостей с учетом вращательного взаимодействия частиц обсуждалась в [196]; Приложениям несимметричной гидромеханики к проблемам трибологии посвящена работа [18]; Излагаемая ниже теориямикрополярной жидкости базируется на определяющих соотношениях континуума Коссера с памятью общего вида.
Особенность всех моделей микрополярных жидкостей, описанных в: [7,".18; 155; 287, 289], состоит в том, что в состоянии; покоя они не отличаются от простых (изотропных) жидкостей; так как статические мо-ментные напряжения в них равны нулю, а статический; тензор силовых напряжений является шаровым. Представляемая ниже теория включает в себя модели [7, 18; 155,. 287, 289] как частные случаи и существенно отличается от этих моделей тем, что в состоянии равновесия микрополярная жидкость, подобно жидкому кристаллу, обладает ориентацион-ной упругостью и способна выдерживать как моментные напряжения, так и силовые касательные напряжения (см. ниже п. 4.2). Рассмотренная здесь модель вязкоупругой микрополярной жидкости является максимально общей моделью ориентированной жидкой среды, ориентация
Введение
частиц которой характеризуется ортонормированной тройкой направляющих векторов. В общем случае вязкоупругая микрополярная жидкость может обладать разнообразными свойствами памяти по отношению к переменной актуальной конфигурации.
Модель Коссера также широко используется для описания поведения тонкостенных конструкций - стержней, пластин и оболочек. Оболочка типа Коссера или микрополярная оболочка является двумерным аналогом континуума Коссера, т. е. представляет собой материальную поверхность, каждая частица которой имеет шесть, степеней свободы абсолютно твердого тела. В настоящее время кинематика таких оболочек при больших деформациях описывается в рамках двух подходов. В рамках первого из них кинематика оболочки определяется двумя независимыми характеристиками: полем перемещений поверхности, при помощи которой і моделируется оболочка, и собственно ортогональным тензором, описывающим повороты частиц оболочки в процессе их деформации, или вектором конечного поворота. Во втором подходе кинематика оболочки помимо поля перемещений определяется векторным полем директора, при помощи которого также можно описать изменение ориентации частиц оболочки. Такого рода модель оболочки часто называется оснащенной; поверхностью. Делая те или иные ограничительные предположения о виде полей тензора поворота или директора, можно прийти к тем или иным теориям оболочек (типа Тимошенко, Кирхгофа-Лява).
Не вдаваясь, в преимущества того или иного описания кинематики оболочек, в данной работе под оболочками Коссера будет пониматься модель оболочки с тензором поворота. В настоящее время модель оболочек типа Коссера получила большое развитие в трудах П.А. Жилина [2, 94], Л.М. Зубова [107, 108, 109, 418, 419], Л.И. Шкутина [225, 226, 227], а также Дж. Оиммондса [360]; В. Петрашкевича, Я. Хрущилевского [259]-[262]; [362; 362, 361] и других авторов.
В; связи со вторым подходом отметим здесь классическую работу П.М. Нахди [375], и недавно вышедшую монографию [397], в которой также содержится библиография.по этому направлению в механике оболочек типа Коссера, а также работы Я.Ф. Каюка и А.П; Жуковского [125, 126].
Упомянем также работы в области механики оболочек [31, 36, 38], [101]-[104],[106]-[109], [120, 126, 129], [176]-[178], [184, 214, 215, 221, 242; 262, 384, 387, 417], сыгравшие значительную в ее развитии и использованные при написании данной работы.
Введение
В области механики гибких стержней отметим монографии В.В. Елисеева, .А.А. Илюхина [50, 119].
Из приведенного краткого обзора следует, что исследование деформаций тел, испытывающих фазовые превращения, в том числе и при учете микроструктуры материала является важной актуальной задачей современной механики сплошной среды. Некоторые вопросы такого анализа будут рассмотрены в настоящей диссертации;
Цели работы. Основными целями настоящей работы являются развитие механики деформируемых тел, содержащих границы раздела фаз и испытывающих конечные деформации, при учете микроструктуры материала в рамках моделей сплошной среды, содержащей дополнительные параметры состояния, а также развитие моделей механики сред с микроструктурой.
Основными[ задачами данной работы являются:
Исследование деформаций двухфазных тел при конечных деформациях, в том числе тел, содержащих дефекты типа і дислокаций Вольтерры.
Определение условий термодинамического равновесия фаз материала с микроструктурой на основе моделей сплошной среды, содержащих дополнительные параметры состояния.
Исследование устойчивости ; равновесия нелинейно упругих тел, испытывающих фазовые превращения.
Исследование задач гидромеханики вязкоу пру гой микрополярной жидкости с уравнениями состояния, допускающими произвольную зависимость от предыстории деформации.
Изучение задач механики микрополярных оболочек, в том числе задач о фазовом равновесии.
В первой главе изучены статические и квазистатические деформации нелинейно термоупругих тел, содержащих заранее неизвестные границы раздела фаз. В предположении об отсутствии сосредоточенных на фазовой границе источников из основных законов сохранения в интегральной форме получены условия,баланса на границе раздела фаз, содержащие помимо динамических условий, также термодинамическое соотношение, необходимое для определения: положения фазовой границы в пространстве.
Введение
Во втором параграфе рассматриваются уравнения состояния для предварительно напряженных тел.
В третьем параграфе даны вариационные формулировки задач равновесия двухфазных тел в перемещениях и напряжениях. Приведены формулировки в напряжениях для плоской и трехмерной задач, опирающиеся на введение функций напряжений.
С помощью вариационных принципов решен ряд модельных задач, в том числе и задача о кручении двухфазного цилиндра и задачи о фазовом равновесии в упругих телах, содержащих изолированные или непрерывно распределенные дислокации и дисклинации, представленные в четвертом, пятом и шестом параграфах. Допускалось возникновение новой фазы в окрестности оси дефекта.
Представленные в шестом параграфе результаты исследования плоских и осесимметричных задач равновесия двухфазных тел с непрерывным распределением дислокаций получены на основе сформулированных вариационных принципов в, напряжениях, поскольку в этом случае не существует поле перемещений, соответствующее полю тензора дис-торсии.
В седьмом параграфе исследованы задачи об образовании полостей в окрестности винтовой дислокации или клиновой дисклинации в нелинейно упругих телах. Показано, что разрывные решения ("сингулярные"), сопровождающиеся образованием полости в окрестности дефекта являются энергетически предпочтительными, по сравнению с непрерывными "регулярными" полями деформаций. В рамках нелинейной теории упругости исследование разрывных решений теории упругости, сопровождающихся образованием полости, проводились в работах Р. Абейаратне, Дж. Болла, П. Подио-Гуидугли и др. [230, 243, 329, 374, 404, 405], в частности, на примере центрально симметричных деформаций. В связи с полученными: результатами отметим экспериментальные наблюдения образования микротрубок, т.е. полостей; на осях винтовых дислокациях в карбиде кремния (SiG), которые описаны в работах М.Ю. Гуткина и соавторов [224], [323]-[326].
Во второй главе методы исследования двухфазных деформаций нелинейно упругих тел, развитые в первой главе, обобщены на случай тел с микроструктурой на основе использования моделей сплошной среды, в рамках которых частицы среды обладают дополнительными степенями свободы (микрополярные и микроморфные среды, жидкие кристаллы, среды с изменяемой пористостью или произвольным дополнительным
Введение
параметром состояния).
В первом параграфе второй главы получены условия совместности межфазной границе для модели среды, деформация частиц которой описывается радиус-вектором, температурой, радиус-вектором фазовой границы и тензорным параметром микроструктуры. Эти условия состоят из условий механического равновесия; фаз, выражающих собой баланс статических величин, и условия термодинамического равновесия; фаз, необходимого для определения заранее неизвестной фазовой; границы. По аналогии со случаем простых материалов в работе введены понятия микрокогерентных фазовых переходов и фазовых переходов с микропроскальзыванием. Будем называть фазовый переход микрокогерентным, если поле параметра микроструктуры непрерывно в окрестности фазовой границы. В противном случае будем говорить о фазовом переходе с микропроскальзыванием. В зависимости от физического смысла параметра микроструктуры возможны разные типы фазовых переходов с микропроскальзыванием, отличающиеся характером скачка параметра микроструктуры на межфазной границе.
В следующих двух параграфах рассмотрены условия равновесия фаз материала для микрополярной среды (параметр микроструктуры совпадает с собственно ортогональным тензором микроповорота) и микро-морфной среды (параметр микроструктуры совпадает с невырожденным тензором микродисторсии). Для этих моделей получены условия термодинамического равновесия фаз, даны выражения для тензора энергии-импульса (тензора Эшелби).
В четвертом параграфе этой главы рассмотрены фазовые превращения в нелинейно упругом цилиндре с моментными напряжениями, содержащим винтовую дислокацию. Показано, что образование двухфазной деформации является более энергетически выгодным по сравнению со случаем дислокации в простом материале, изученном в первой главе.
В пятом параграфе рассмотрены условия фазового равновесия в жидких кристаллах (нематиках и двухосных нематиках). Здесь параметр микроструктуры совпадает с директором (или с двумя директорами дляї двухосных нематиков). Дана вариационная постановка задачи о равновесии жидкого кристалла, испытывающего фазовый переход, в условиях неоднородного напряженного состояния, вызванного неоднородностью внешних воздействий, наличием дефекта, искажением поверхности контакта с внешней средой или другими факторами. Вариационным методом получены краевые условия на фазовой границе. В качестве примера
Введение
рассмотрена задача о фазовом переходе в окрестности ядра дисклина-ции.
Последние два параграфа второй главы (шестой и седьмой) посвящены исследованию квазистатических и статических деформаций в телах с учетом диффузии примесей. На основе интегральных законов сохранения, дополненных уравнением баланса массы для примесей, получены условия совместности на статической и квазистатической границе раздела фаз.
Проведенный в последнем, седьмом, параграфе второй главы подробный анализ двухфазных полей деформаций в задаче о равновесии шара с показал существенное влияние фазового перехода на напряженно-деформированное состояние, в том числе и при учете примеси. В частности, в отличие от тела без примесей возможна незавершенность фазового превращения, когда наличие примеси препятствуют фазовому переходу. Тем самым, учет диффузии примесей показал возможность концентрационного перегрева или переохлаждения.
Характерной особенностью статики тел, испытывающих фазовые превращения, как и вообще нелинейных проблем, является неединственность решений; проиллюстрированная анализом задач в первых двух главах. Эта делает весьма актуальным исследование устойчивости найденных решений. В третьей главе на основе теории бифуркаций развита теория статической устойчивости в малом упругих тел конечных размеров, содержащих равновесные фазовые границы. Устойчивость произвольного напряженно-деформированного состояния равновесия нелинейно упругого тела, состоящего из двух фаз, при консервативных внешних нагрузках исследуется статическим методом Эйлера, состоящим в рассмотрении положений; равновесия,, мало отличающихся от заданного, и определения тех значений параметров нагружения, при которых возможно существование нетривиальных решений линеаризованных в окрестности данного состояния уравнений равновесия и краевых условий.
Третий параграф третьей главы посвящен исследованию эллиптичности краевых задач нелинейной теории упругости. Показано, что условие дополнительности краевых условий (условие Шапиро-Лопатйнского) в краевой задаче для нелинейно-упругого тела эквивалентно поверхностной неустойчивости в задаче для полупространства с определенными свойствами. Приведены примеры исследования для материала Адама-ра.
В четвертом параграфе рассмотрены задачи устойчивости двухфаз-
Введение
ных тел при малых деформациях. Здесь неединственность решений краевой задачи, описывающей термодинамическое равновесие двухфазного тела обусловлена нелинейностью, связанной с наличием заранее неизвестной границей раздела фаз. Потеря устойчивости в этом случае оказывается связанной только с наличием нел инейных граничных условий на фазовой границе.
Проведенные исследования модельных задач о потере устойчивости двухфазных тел позволяет сделать вывод о существенном влиянии фазовых превращений. В частности,,возможно появление дополнительных точек бифуркации, по сравнению со случаем составного тела, в том числе и когда для составного тела бифуркации равновесия вообще не происходит.
Последние три параграфа третьей главы посвящены теории устойчивости упругих тел с моментными напряжениями. Дана постановка задачи статической устойчивости, основанная на линеаризации уравнений и граничных условий вблизи известного равновесного состояния. Сформулированы условия сильной эллиптичности и неравенство Адамара для микрополярной среды. Доказано, что условие сильной эллиптичности линеаризованных уравнений равновесия, являющееся ограничением на функцию удельной потенциальной энергии деформации, служит необходимым условием устойчивости любой равновесной конфигурации упругого тела с моментными напряженями, а также совпадает с условием распространения волн ускорения в микрополярной среде. Решена задача устойчивости сжатого полупространства с учетом моментных напряжений, на примере которой показана возможность качественных отличий потери устойчивости моментных упругих тел от потери устойчивости простых нелинейно упругих тел. Влияние моментных напряжений на потерю устойчивости упругих тел, испытывающих фазовые превращения, проанализировано на примере потери устойчивости двухфазного шара в последнем параграфе третьей главы. Показано, что как и в случае задачи о выпучивании полупространства, учет моментных напряжений оказывает стабилизирующее воздействие.
В четвертой главе предложена модель жидкой среды с моментными напряжениями, которая обобщает теорию вязкой микрополярной жидкости в той же степени, в какой определяющие соотношения простой вязкоупругой жидкости обобщают уравнения состояния ньютоновской жидкости. Обсуждаются сходство и различие модели упругой микрополярной жидкости и модели среды, оснащенной полем директоров и
Введение
применяемой для описания нематических жидких кристаллов. Рассмотрены задачи о равновесии микрополярной жидкости, в том числе задача со свободной поверхностью. Вариационным методом выведены условия равновесия фаз упругой микрополярной жидкости. Решены задачи о вискозиметрических течениях вязкоупругой жидкости в круглой трубе, канале и между соосными вращающимися цилиндрами. Особенностью этого класса течений является то, что для них произвольная вязкоупру-гая жидкость неотличима от вязкоупругой жидкости дифференциального типа. Решена задача о потере устойчивости плоского слоя упругой микрополярной жидкости под действием магнитного поля, аналогичная-переходу Фредерикса в теории жидких кристаллов. В последнем параграфе четвертой главы решена задача о конвективной неустойчивости плоского слоя тяжелой микрополярной жидкости, подогреваемого снизу. Показано, что учет эффектов вязкоу пру гости приводит к повышению порога устойчивости по сравнению со случаями ньютоновской и вязкой микрополярной жидкости. Полученные результаты могут быть полезными для механики суспензий, магнитных и биологических жидкостей, жидких кристаллов и других жидких сред сложной структуры.
Пятая глава посвящена исследованию деформаций тонкостенных конструкций в рамках теории оболочек типа Коссера (микрополярных оболочек).
В данной работе развивается прямой подход к построению механики микрополярных оболочек. В рамках этого подхода оболочка рассматривается как материальная поверхность, наделенная определенными свойствами, без привлечения понятий и соотношений трехмерной сплошной среды, таких, как, например, гипотезы типа Кирхгофа-Лява или асимптотические методы перехода от трехмерной задачи к двумерной; Нисколько не умаляя достоинств широко используемых и хорошо известных по большому числу публикаций различных подходов к построению механики оболочек на основе уравнений пространственной теории упругости, следует отметить, что у прямого подхода имеется ряд преимуществ. В первую очередь это связано с получением уравнений состояния при конечных деформациях для оболочек. Дело в том, что технология изготовления оболочек многих типов существенно влияет на механические свойства материала оболочки так, что они изменяются по сравнению со свойствами трехмерной среды. Например, это происходит в результате изменения свойств обработанного поверхностного слоя,, который в большой степени определяет свойства оболочки в целом. Следует также
Введение
заметить, что уравнения состояния при больших деформациях многих полимерных и резиноподобных материалов известны по экспериментам на тонких пластинках или пленках. Для наноразмерных оболочек существенно проявляются масштабный фактор (т.е. когда механические свойства, например, модуль Юнга, зависят от размеров), влияние поверхностного натяжения. Кроме того, существует целый ряд примеров систем, таких как, например, биологические мембраны, свободно подвешенные пленки смектиков, тонкие полимерные пленки, трехмерных аналогов которых просто не существует. В этой связи вполне естественно построение двумерных уравнений состояния оболочек непосредственно из соответствующих экспериментов, а не путем, например, проведения достаточно трудоемкой в случае конечных деформаций процедуры осреднения по толщине уравнений состояния: трехмерных тел.
В" этой главе далее в рамках прямого подхода изложены основные положения теории упругих оболочек типа Коссера. Сформулированы, основные типы краевых условий и даны постановки краевых задач статики нелинейной теории микрополярных оболочек. Сформулировано понятие локальной группы симметрии для оболочек типа Коссера. В основу определения группы симметрии легло свойство инвариантности плотности потенциальной энергии оболочки при преобразованиях отсчетной конфигурации, сохраняющих нормаль к поверхности оболочки в точке, в которой определяется группа симметрии оболочки. Дана система инвариантов для изотропной оболочки, а также приведены уравнения состояния для физически линейного материала при разных случаях анизотропии. Используя введенное определение в работе получены представления уравнений состояния для частных случаев симметрии, в частности, для жидкой микрополярной оболочки.
В третьем параграфе пятой главы получено условие существования слабых разрывных решений уравнений движения оболочек - волн ускорения, для которых нарушение непрерывности на некоторых сингулярных кривых происходит у вторых производных полей перемещений и микроповоротов. Показано, что условие существования волны ускорения, как и в случае простых материалов, не обладающих моментными напряжениями, эквивалентно требованию сильной эллиптичности уравнений равновесия оболочки.
С помощью вариационного принципа стационарности потенциальной энергии получены условия термодинамического равновесия оболочек типа Коссера, испытывающих фазовые превращения мартенситного типа.
Введение
Выведенные краевые условия на границе раздела фаз могут быть также использованы при анализе движения линейных дефектов в оболочках, не связанных с распространением фронта фазового превращения. Получено выражение тензора энергии-импульса (тензора Эшелби) для микрополярных оболочек и сформулировано кинетическое уравнение, описывающее движение фазовой линии в случае малых отклонений от термодинамического равновесия.. Интерес к описанию фазовых превращений в тонкостенных элементах конструкций, в частности, связан с проблемами роста тонких пленок, а также с перспективами использования пленок из сплавов с памятью формы в микроэлектромеханических устройствах. Использование моделей типа мембраны Коссера для описания деформаций двухфазных тонких пленок из никелида титана (NiTi) и родственных сплавов проводилось К. Бхаттачария, М. Гарти-ном, Р. Джеймсом [247, 248, 340, 316). В этих работах отмечалось, что тонкие пленки из сплавов^с памятью формы являются одними из лучших материалов для создания микроэлектромеханических устройств по сочетанию масса -эффективность.
В следующем параграфе в качестве примера исследовано двухфазное состояние равновесия в бесконечной микрополярной пластине с отверстием. Показано, что двухфазное состояние равновесия оказывается энергетически более выгодным по сравнению с однофазным состоянием.
Пятый параграф пятой главы посвящен описанию механического поведения клеточных мембран в рамках модели микрополярных оболочек. Общепринятая: в настоящее время жидкостно-мозаичная модель трактует биологическую мембрану как неоднородный по толщине бислой, образованный молекулами липидов, находящийся, как правило, в жидком состоянии, и внедренными в него белками [118, 121, 33]. С точки зрения механики сплошной: среды клеточная мембрана может быть представлена как материальная поверхность - оболочка, уравнения состояния; которой соответствуют двумерной несжимаемой жидкости, обладающей свойствами ориентационной упругости, в частности, сопротивлением изгибу, связанному с изменением ориентации частиц оболочки, подобно жидкокристаллическим средам - нематикам и смектикам. С большой степенью точности оболочку можно считать поверхностно изотропной.
В качестве примера в седьмом параграфе последней главы исследовано состояние равновесия в мембране с включением, моделирующим мебранный белок, когда он вызывает изменение фазового состояния в своей окрестности, и определено положение границы раздела фаз в за-
Введение
висимости от искажения, вызванного включением.
Научная новизна. В работе впервые сформулированы вариационные принципы для двухфазных нелинейно упругих тел в терминах функций напряжений.
В рамках нелинейной теории упругости вариационным методом исследованы задачи статики двухфазных упругих тел с изолированными и непрерывно распределенными дислокациями и дисклинациями и проанализировано их влияние на положение границы раздела фаз. Показано, что линейные дефекты типа дислокаций Вольтерра могут быть центрами возникновения новой фазы.
Также исследован ряд сингулярных задач нелинейной теории упругости, связанных с образованием полостей в окрестности дислокации или дисклинации.
Методы исследования двухфазных состояний нелинейно упругих материалов обобщены на среды с микроструктурой в рамках теорий, использующих уравнения состояния с дополнительными степенями свободы. Получены условия термодинамического равновесия для микрополярных и микроморфных сред, жидких кристаллов, материалов с примесями.
На основе теории бифуркаций предложен метод исследования задач устойчивости тел конечных размеров, испытывающих фазовые превращения. В рамках предложенного подхода решен ряд модельных задач, иллюстрирующих его эффективность. Показано, что фазовые переходы существенно влияют на потерю устойчивости.
Развита теория устойчивости упругих тел с моментными напряжениями, на примерах задач о поверхностной неустойчивости, толстостенной сферической оболочки и двухфазного шара проанализировано влияние учета моментных напряжений на потерю устойчивости.
На основе определяющих соотношений континуума Коссера с памятью общего вида предложена модель жидкой среды с моментными напряжениями, которая обобщает теорию вязкой микрополярной жидкости в той же степени^ в какой определяющие соотношения простой вяз-коупругой жидкости обобщают уравнения состояния ньютоновской жидкости. В рамках предложенной модели решен ряд о равновесии микрополярной жидкостиj в том числе задача со свободной поверхностью, задача о дисклинациях, вариационным методом выведены условия равновесия фаз упругой микрополярной жидкости, решены задачи о вискозиметри-ческих течениях вязкоупругой микрополярной жидкости (течения в ка-
Введение
нале, в; круглой трубе и между соосными вращающимися цилиндрами). Решена задача о конвективной неустойчивости плоского слоя тяжелой микрополярной жидкости, подогреваемого снизу.
В рамках прямого подхода в нелинейной теории микрополярных оболочек сформулировано оригинальное определение локальной группы симметрии, даны представления уравнений состояния для некоторых групп симметрии, в том числе для жидкой оболочки, получено условие существования слабых разрывных решений - волн ускорения и показано его совпадение с условием сильной эллиптичности уравнений равновесия, вариационным методом получены уравнения баланса на равновесной границе раздела фаз, включая термодинамическое условие, необходимое для определения положения межфазной? границы. Полученные результаты, использованы для изучения напряженного состояния в клеточных: мембранах.
Научная ш практическая значимость работы. Полученные результаты могут быть полезны для дальнейшего развития теории фазовых превращений в деформируемых телах, а также методов исследования нелинейных краевых задач математической физики с заранее неизвестными поверхностями типа задачи Стефана. Развитие механики сред с микроструктурой может оказаться полезным для описания поведения: новых функциональных материалов, в частности, наноматериалов, сплавов с памятью формы. Построение и исследование реологических моделей механики моментных жидких сред важно для задач трибологии; микрофильтрации, использования жидких кристаллов в электронике. Изучение деформаций многокомпонентных сред имеет большое значение для выращивания тонких пленок, кристаллов. Исследование потери устойчивости двухфазных тел важно для понимания процессов локализации деформаций и разрушения:твердых тел, а также элементов;конструкций. Двумерные задачи механики оболочек, в том числе при учете фазовых превращений, могут быть использованы для проектирования микроэлекромеханических устройств (MEMS) (например, микронасосов), использующих тонкие пленки из сплавов с памятью формы, а также для понимания процессов активного транспорта в клеточных мембранах.
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой математической постановкой краевых задач, применением математически обоснованных методов решения; использованием надежных и проверенных численных алгоритмов і и программ,. получаемыми предельными переходами к известным случаям, качественным совпадением с результа-
Введение
тами экспериментов.
Результаты, выносимые на защиту:
Исследованы статические и квазистатические деформации двухфазных термоупругих тел на основе уравнений баланса механики сплошной среды и вариационных методов: из интегральных законов сохранения получены условия баланса на фазовых границах, даны вариационные формулировки задач равновесия двухфазных тел в напряжениях, исследованы фазовые превращения в телах с изолированными и непрерывно распределенными дислокациями и дисклинаци-ями, в том числе образование разрывов в телах с дефектами, решен ряд модельных задач;
Исследованы деформации в двухфазных нелинейно упругих телах с микроструктурой и примесями: получены условия баланса на границе раздела фаз в рамках моделей микрополярной и микроморфной сред, жидких кристаллов нематического типа, сред с изменяемой пористостью, тел с примесями, решен ряд модельных задач, иллюстрирующих влияние микроструктуры материала и учета диффузии примесей на напряженно-деформированное состояние двухфазных тел.
На основе методов теории бифуркаций развита теория теория устойчивости нелинейно упругих тел, испытывающих фазовые превращения, в том числе и для сред с микроструктурой: решен ряд модельных задач, иллюстрирующих эффективность предложенной теории. Показано, что фазовые переходы существенно влияют на потерю устойчивости. Развита теория устойчивости упругих тел с момент-ными напряжениями, на примерах задач о поверхностной неустойчивости; толстостенной сферической оболочки и двухфазного шара проанализировано влияние учета моментных напряжений на потерю устойчивости.
В рамках гидромеханики вязкоупругой микрополярной жидкости: получены общие представления уравнений состояния, решен ряд задач равновесия (даны условия термодинамического равновесия фаз, изучено равновесие жидкости со свободной поверхностью и др.) и течения (вискозиметрические течения), а также устойчивости (переход Фредерикса, конвективная неустойчивость), демонстрирующих
Введение
особенности предложенной модели по сравнению с моделями жидких кристаллов и вязкой микрополярной жидкости.
5. Развита механика микрополярных оболочек: сформулировано определение локальной группы материальной симметрии, даны представления уравнений состояния для некоторых групп симметрии, сформулированы дополнительные неравенства,, получены условия термодинамического равновесия фаз для оболочек, рассмотрены приложения к биофизике клеточных мембран.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, представлялись на 1-8-й Межд. конференциях "Современные проблемы MCG" (Ростов-на-Дону, 1995,1996,1997,1998,1999, 2000, 2001, 2002); 15-й Межд. конференции "Матем. модели, методы потенциала и конечных элементов" (Санкт-Петербург, 1996); Int. Symp. "Advances in Computational Heat Transfer" (Qesme, Turkey, 1997); 2nd and 3rd EUROMECH Solid Mechanics conferences (Genoa, 1994, Stockholm, 1997); ЛV. Белорусском конгрессе по теорет. и прикл. механике "Механика-99" (Минск, 1999); 1st Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics (Victoria, Canada, 1999); Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач (Воронеж, 1999); ICTAM-2000 (Chicago, 2000); 33rd Solid Mechanics conference (Zacopane, Poland, 2000); Школе-семинаре "Совр. проблемы механики и приклади, математики", поев. 70-летию профессора Д.Д. Ивлева (Воронеж, 2000); XXVIII School "Actual Problems in Mechanics" (С.-Петербург, 2000); XXIX, XXX, XXXI Summer Schools "Advanced Problems in Mechanics" (АРМ) (С.-Петербург, 2001, 2002, 2003); VIII Всероссийском съезде по теорет. и прикл. механике (Пермь, 2001); XIII Петербургских чтениях по проблемам прочности (Санкт-Петербург, 2002); 7th Symposium on Ferroelecticity (RCBJSF-7) (Санкт-Петербург, 2002); II Int. Workshop "Nucleation and non-linear problems in first-order phase transitions" (NPT'2002) (Санкт-Петербург, 2002); Межд. симпозиуме "Фазовые превращения в твердых растворах и сплава" (ОМА-2002) (Сочи, 2002); Международной школе-семинаре "Симметрия и коссиммет-рия в теории бифуркаций и фазовых переходов" (Сочи, 2002); XL межд. семинаре "Актуальн. пробл. прочности" (Великий Новгород, 2002); 7th Conference "Shell Structures Theory and Appl." (Gdansk-Jurata, Poland, 2002); Intern, conference in honour of Ray Ogden's 60th birthday. Modern Mechanics and Math. (Keel, UK, 2003); 3-й Всеросс. конференции по теории упругости (Азов, 2003).
Введение
В полном объеме диссертация докладывалась на,семинаре академика Н.Ф. Морозова (ИПМаш РАН, Санкт-Петербург, 2004), семинаре под руководством Р.В. Гольдштейна (ИПМ РАН, Москва, 2004), городском семинаре по механике в ИПМаш РАН под рук. Д.А. Индейцева (ИПМаш РАН, Санкт-Петербург, 2004), семинаре под руководством В.И. Кондау-рова (МФТИ, Долгопрудный, 2004), семинарах кафедр теории упругости и математического моделирования в РГУ.
На различных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ (№№ 93-01-16497, 96-01-01283, 99-01-01019, 02-01-00879, 02-01-00529, 04-01-00431), Минобразования РФ (КЦФЕ при СПбГУ) (JW Е00-4Ю-185, Е02-4.0-91), ФЦП "Интеграция" (Я0061/1358), CRDF (REC-004), Jozef Mianowski fund (Польша), ISF(J№ МТАООО, МТА300).
Публикации и вклад автора. Материалы диссертации опубликованы в 54 работах, из которых 29 написаны совместно с другими авторами.
Работы [71]-[91], [ПО, 111], [274]-[279] написаны в соавторстве. В работах [71]—[77], [277, 278, 279] Л.М. Зубову принадлежит постановка задачи и выбор некоторых методов исследования, в [74] помимо этого Л.М. Зубову принадлежит исследование условий консервативности, в [76, 110] Л.М. Зубову принадлежит вывод представления уравнений состояния микрополярных сред с памятью, в [81] Е.С. Никитину принадлежит решение о краевой дислокации, в [82]-[84], [276] Д.М. Сотниченко принадлежит решение задачи о движении плоского фронта, в [85, 86] Д.А. Суховым, проведены расчеты, в [75] автору принадлежат результаты о потере устойчивости двухфазных тел и тел с моментными напряжениями, в [78, 111] автору принадлежат результаты о группе симметрии; о распространении волн ускорения, об условиях фазового равновесия, а также развитие моделей клеточных мембран, в [79, 80] автору принадлежит решение вариационным методом задачи об образовании полости и анализ влияния поверхностной энергии, в [87]-[91], [274] автору принадлежит разработка методов исследования устойчивости, а также проведение некоторых расчетов. В [275] В. Петрашкевичу принадлежит другой вывод условий фазового равновесия в оболочках.
Автор выражает искреннюю признательность и огромную благодар ность своему научному консультанту, проф. Л.М.Зубову за постоянное внимание и помощь в работе.
Об уравнениях состояния нелинейно-термопругой среды с предварительными напряжениями
В" этой главе далее в рамках прямого подхода изложены основные положения теории упругих оболочек типа Коссера. Сформулированы, основные типы краевых условий и даны постановки краевых задач статики нелинейной теории микрополярных оболочек. Сформулировано понятие локальной группы симметрии для оболочек типа Коссера. В основу определения группы симметрии легло свойство инвариантности плотности потенциальной энергии оболочки при преобразованиях отсчетной конфигурации, сохраняющих нормаль к поверхности оболочки в точке, в которой определяется группа симметрии оболочки. Дана система инвариантов для изотропной оболочки, а также приведены уравнения состояния для физически линейного материала при разных случаях анизотропии. Используя введенное определение в работе получены представления уравнений состояния для частных случаев симметрии, в частности, для жидкой микрополярной оболочки.
В третьем параграфе пятой главы получено условие существования слабых разрывных решений уравнений движения оболочек - волн ускорения, для которых нарушение непрерывности на некоторых сингулярных кривых происходит у вторых производных полей перемещений и микроповоротов. Показано, что условие существования волны ускорения, как и в случае простых материалов, не обладающих моментными напряжениями, эквивалентно требованию сильной эллиптичности уравнений равновесия оболочки.
С помощью вариационного принципа стационарности потенциальной энергии получены условия термодинамического равновесия оболочек типа Коссера, испытывающих фазовые превращения мартенситного типа. Выведенные краевые условия на границе раздела фаз могут быть также использованы при анализе движения линейных дефектов в оболочках, не связанных с распространением фронта фазового превращения. Получено выражение тензора энергии-импульса (тензора Эшелби) для микрополярных оболочек и сформулировано кинетическое уравнение, описывающее движение фазовой линии в случае малых отклонений от термодинамического равновесия.. Интерес к описанию фазовых превращений в тонкостенных элементах конструкций, в частности, связан с проблемами роста тонких пленок, а также с перспективами использования пленок из сплавов с памятью формы в микроэлектромеханических устройствах. Использование моделей типа мембраны Коссера для описания деформаций двухфазных тонких пленок из никелида титана (NiTi) и родственных сплавов проводилось К. Бхаттачария, М. Гарти-ном, Р. Джеймсом [247, 248, 340, 316). В этих работах отмечалось, что тонкие пленки из сплавов с памятью формы являются одними из лучших материалов для создания микроэлектромеханических устройств по сочетанию масса -эффективность.
В следующем параграфе в качестве примера исследовано двухфазное состояние равновесия в бесконечной микрополярной пластине с отверстием. Показано, что двухфазное состояние равновесия оказывается энергетически более выгодным по сравнению с однофазным состоянием.
Пятый параграф пятой главы посвящен описанию механического поведения клеточных мембран в рамках модели микрополярных оболочек. Общепринятая: в настоящее время жидкостно-мозаичная модель трактует биологическую мембрану как неоднородный по толщине бислой, образованный молекулами липидов, находящийся, как правило, в жидком состоянии, и внедренными в него белками [118, 121, 33]. С точки зрения механики сплошной: среды клеточная мембрана может быть представлена как материальная поверхность - оболочка, уравнения состояния; которой соответствуют двумерной несжимаемой жидкости, обладающей свойствами ориентационной упругости, в частности, сопротивлением изгибу, связанному с изменением ориентации частиц оболочки, подобно жидкокристаллическим средам - нематикам и смектикам. С большой степенью точности оболочку можно считать поверхностно изотропной.
В качестве примера в седьмом параграфе последней главы исследовано состояние равновесия в мембране с включением, моделирующим мебранный белок, когда он вызывает изменение фазового состояния в своей окрестности, и определено положение границы раздела фаз в заисимости от искажения, вызванного включением.
Научная новизна. В работе впервые сформулированы вариационные принципы для двухфазных нелинейно упругих тел в терминах функций напряжений. В рамках нелинейной теории упругости вариационным методом исследованы задачи статики двухфазных упругих тел с изолированными и непрерывно распределенными дислокациями и дисклинациями и проанализировано их влияние на положение границы раздела фаз. Показано, что линейные дефекты типа дислокаций Вольтерра могут быть центрами возникновения новой фазы. Также исследован ряд сингулярных задач нелинейной теории упругости, связанных с образованием полостей в окрестности дислокации или дисклинации. Методы исследования двухфазных состояний нелинейно упругих материалов обобщены на среды с микроструктурой в рамках теорий, использующих уравнения состояния с дополнительными степенями свободы. Получены условия термодинамического равновесия для микрополярных и микроморфных сред, жидких кристаллов, материалов с примесями. На основе теории бифуркаций предложен метод исследования задач устойчивости тел конечных размеров, испытывающих фазовые превращения. В рамках предложенного подхода решен ряд модельных задач, иллюстрирующих его эффективность. Показано, что фазовые переходы существенно влияют на потерю устойчивости. Развита теория устойчивости упругих тел с моментными напряжениями, на примерах задач о поверхностной неустойчивости, толстостенной сферической оболочки и двухфазного шара проанализировано влияние учета моментных напряжений на потерю устойчивости.
На основе определяющих соотношений континуума Коссера с памятью общего вида предложена модель жидкой среды с моментными напряжениями, которая обобщает теорию вязкой микрополярной жидкости в той же степени в какой определяющие соотношения простой вяз-коупругой жидкости обобщают уравнения состояния ньютоновской жидкости. В рамках предложенной модели решен ряд о равновесии микрополярной жидкостиj в том числе задача со свободной поверхностью, задача о дисклинациях, вариационным методом выведены условия равновесия фаз упругой микрополярной жидкости, решены задачи о вискозиметри-ческих течениях вязкоупругой микрополярной жидкости (течения в канале, в; круглой трубе и между соосными вращающимися цилиндрами). Решена задача о конвективной неустойчивости плоского слоя тяжелой микрополярной жидкости, подогреваемого снизу.
В рамках прямого подхода в нелинейной теории микрополярных оболочек сформулировано оригинальное определение локальной группы симметрии, даны представления уравнений состояния для некоторых групп симметрии, в том числе для жидкой оболочки, получено условие существования слабых разрывных решений - волн ускорения и показано его совпадение с условием сильной эллиптичности уравнений равновесия, вариационным методом получены уравнения баланса на равновесной границе раздела фаз, включая термодинамическое условие, необходимое для определения положения межфазной? границы. Полученные результаты, использованы для изучения напряженного состояния в клеточных: мембранах.
Равновесие двухфазного нелинейно упругого цилиндра, содержащего дислокацию, с учетом моментных напряжений
Для описания фазового превращения далее использован вариационный принцип Гиббса (1.50). Изучено образование новой фазы в задаче о равновесии упругого тела, содержащего винтовую дислокацию, клиновую дисклинацию. В [81] также приводится решение о двухфазной деформации для тела с краевой дислокацией. Проанализировано влияние нелинейности определяющих соотношений твердой фазы, поверхностной энергии межфазной границы и внешних границ тела на размеры фазового включения и напряженно-деформированное состояние твердой фазы.
Винтовая дислокация. Исследуем равновесие упругого тела, содержащего винтовую дислокацию и испытывающего фазовое превращение. Преобразование, описывающее деформацию тела с винтовой дислокацией дается соотношениями [417]
Здесь Д, Ф, Z и г, tp, z - эйлеровы и лагранжевы цилиндрические координаты. Единичные векторы, касательные к координатным линиям в отсчетной конфигурации обозначим ег, ву,, ez. Преобразование (1-74) описывает деформацию, возникающую после разрезания кругового цилиндра радиуса b плоскостью р = 0 , поступательного смещения краев-разреза друг относительно друга в направлении оси z на величину (3 и склеивания берегов разреза. Кроме того, соотношение (1.74) описывает неоднородную радиальную деформацию. Для данного дефекта вектор Франка равен нулю, а вектор Бюргерса равен /3ez.
В; деформированном состоянии область, занимаемая жидкой фазой представляет собой цилиндр, ось которого совпадает с осью дефекта. Сечение цилиндра- круг радиуса А. Прообраз фазовой границы также является круговым цилиндром; радиус поперечного сечения которого равен а.
На достаточном удалении от оси дефекта решения линейной и нелинейной теории упругости слабо отличаются. В предположении о малости (3 это позволяет использовать линейные определяющие соотношения для материала твердой фазы. Такое предположение не устраняет нелинейность рассматриваемой задачи, обусловленную наличием неизвестной границы раздела фаз. В случае малости вектора перемещений и соотношения (1.74) с учетом уравнений равновесия преобразуются к виду Постоянные интегрирования с\ и сг определяются из краевых условий
Первое из краевых условий означает отсутствие внешних нагрузок на боковой поверхности цилиндра, а второе описывает относительное радиальное перемещение, вызванное плавлением твердой фазы. Величина 5 выражается через разность плотностей фаз формулами S = \Д — 1, I = Р+ІР- Определение сі и ег из (1.76) дает Глава 1. Статические и квазистатические деформации ... где Л, [і - постоянные Ламе изотропного материала. Для бесконечной области (Ь/а — со ) имеем с\ = О, С2 = 5 а2. Вычисление функционала 3 на решении (1.75) с точностью до множителя дает Таким образом, функционал энергии двухфазного тела представляет собой функцию радиуса заполненной жидкостью полости: 3 — 3(a). Радиус а определяется из условия стационарности функционала 3: З (а) = 0. Приведем зависимость радиуса жидкого включения а от параметра дефекта (3 в случае бесконечной области Из формул (1.77) следует, что учет поверхностного натяжения оказывает качественное влияние на зависимость а(/3) при малых (3. При отсутствии поверхностного натяжения (сг — 0) зависимость а((3) линейна: а = (2д2 + ги!_)-1/2/3/27г, при а ф 0 - квадратична: а = р2/(87г2а ) + о(р2). Исследование деформации твердой фазы в случае образования фазового включения достаточно малого размера может потребовать учета нелинейности определяющих соотношений упругого тела, так как решение линейной теории упругости дает бесконечный рост напряжений и энергии при стремлении радиуса полости с жидкостью к нулю. Учет нелинейности проведем в рамках модели несжимаемого неогу-ковского материала: p+w+ = 1/2// (tr(C-CT) -3),// = const. Удовлетворяющая уравнениям деформация имеет вид (1.74), где R(r) = (гЧж)1/2. Глава 1. Статические и квазистатические деформации ... Параметр деформации х может быть вычислен с помощью закона сохранения массы методом [71]: х = (I — 1)а2. Вычисление функционала энергии с точностью до множителя даетРешение уравнения У (а) = 0 приводит к зависимости, связывающей радиус жидкого включения а с величиной дефекта (3 В случае бесконечной области ( 6/а— оо ) зависимость (1.78) допускает точное решение, аналогичное по структуре соотношению (1.77) а (l-l)\nl+2wll Зависимость радиуса а от величины параметра дефекта (3 для области конечных размеров приведены на рисунках 1.7 а), Ь) для некоторых значений параметров I, а = сг/Ьц и w _. На рис. 1.7 а) изображены графики а от (3 при а = 0 и W-= 0. Кривые 1-4 соответствуют значениям Z— 0.5, 0.9, 1.1, 1.5. На рис.1.7 Ь) приведены графики a((3 ) при 7=1.1 и значениях а = 0.001, w _ = 0.001 (кривая 1) ист = 0.01, tul = 0.01 (кривая 2). Видно, что для конечной области решение неединственно, одному значению (3 могут соответствовать два значения размера фазового включения. Также возможен случай отсутствия фазового перехода при достаточно больших значениях (3. Клиновая дисклинация. Фазовый переход в окрестности ядра клиновой дисклинации исследуется аналогично предыдущей задаче. Ограничимся рассмотрением плоской задачи для кругового цилиндра и линейных уравнений состояния для твердой фазы. Преобразование, описывающее деформацию, вызванную наличием клиновой дисклинации, дается формулами [417]
Потеря устойчивости двухфазных тел в случае бесконечно малых деформаций
Деформированное состояние микронеоднородного термоупругого тела, испытывающего фазовые превращения определяется радиус-вектором частицы R, температурой в, радиус-вектором фазовой границы Г и параметром микроструктуры 2, характеризующим внутренние степени свободы среды. Последний может быть скаляром, вектором или тензором произвольного ранга.
Условия равновесия фаз материала с микроструктурой, находящегося в однородном поле температуры, могут быть получены вариационным методом [35, 42], заключающемся в определении положений равновесия, доставляющих стационарное значение функционалу свободной энергии в изотермическом процессе или функционалу внутренней энергии в адиабатическом процессе. Внешние нагрузки будем считать консервативными. Воспользуемся принципом стационарности свободной энергии. Функционал свободной энергии запишем в виде (1.50) с учетом зависимости от параметра микроструктуры
Будем предполагать, что плотности потенциала внешних нагрузок Л представляет собой непрерывную функцию координат отсчетной конфигурации, радиус-вектора частиц R и параметра 3.
Используя формулы [201,190, 407] дифференцирования интегралов по области, содержащей поверхность разрыва, и теорему Гаусса-Остроград Здесь S - вектор положения фазовой границы Г, 77.= N-6S - виртуальная скорость поверхности в направлении нормали, V - оператор градиента на поверхности [103]. На поверхности Г вектор единичной нормали N направлен внутрь объема V+.
Вытекающие из (2.2) условия равновесия фаз включают в себя уравнения равновесия в объемах V±, краевые условия на поверхности Е и краевые условия на межфазной границе Г. Последние состоят из условий механического равновесия фаз, выражающих собой баланс статических величин, и условия термодинамического равновесия фаз, необходимого для определения заранее неизвестной фазовой границы. В простых материалах различают [42] когерентные фазовые переходы и фазовые переходы с проскальзыванием в зависимости от условий непрерывности, налагаемых на поле перемещений. Когерентный фазовый переход характеризуется непрерывностью поля перемещений; в окрестности F, для фазового перехода с проскальзываним допускается такой скачок поля перемещений на F, при котором не возникает разрыва материала с образованием полостей. По аналогии со случаем простого материала будем называть фазовый переход микрокогерентным, если поле параметра микроструктуры Е непрерывно в окрестности фазовой границы. В противном случае будем говорить о фазовом переходе с микропроскальзыванием. В зависимости от физического смысла параметра микроструктуры возможные типы фазовых переходов с микропроскальзыванием, отличающиеся характером скачка на межфазной границе. Далее для фазового перехода с микропроскальзыванием ограничимся рас Фазовые превращения в телах с микроструктурой и примесями 64 смотрением произвольного скачка Е на Г. Возможные типы условий механического равновесия фаз имеют вид В (2.3), (2.4) К - средняя кривизна поверхности Г. Уравнения (2.3) и (2.4) выполяются для когерентных и фазовых передов с проскальзыванием, соотношения (2.5), (2.6) имеют место для микрокогерентных фазовых переходов и фазовых переходов с микропроскальзыванием соответственно. Условия термодинамического равновесия фаз для микрокогерентных фазовых переходов и фазовых переходов с микропроскальзыванием даются соотношениями Здесь введена следующая операция "" над тензорами произвольных рангов: Краевые условия на межфазной границе могут быть также получены в геометрии отсчетной конфигурации. Так, например, соотношение (2.7) можно записать следующим образом Плотность материала ро в отсчетной конфигурации предполагается здесь одинаковой для обеих фаз. Краевые условия (2.9) выполняются на поверхности 7 прообразе межфазной границы Г Назовем тензоры /xj, /х1} /х2 тензорами энергии-импульса (тензорами Эшелби или химического потенциала). Полученные выражения тензоров могут быть использованы при построении инвариантных энергетических интегралов для микронеоднородных тел, а также при анализе изменения энергии на движущихся дефектах в средах, описываемых при помощи дополнительного параметра состояния S. Формула для тензора энергии-импульса /х2 аналогична выражению для простого нелинейно упругого материала (1.16), полученным в первой главе, но здесь тензор /J,2 является несимметричным и более сложным образом зависит от деформации среды. В представлении (2.1) не были использованы ограничения, накладываемые на функцию ф требованием материальной индифферентности, т.е. независимости от системы отсчета. Учет этих ограничений; который является обязательным, зависит от физического смысла параметра микроструктуры S, и для каждой модели среды позволяет конкретизировать и упростить формулировку условий равновесия фаз. Ниже исследован ряд употребительных модели деформируемых сред с внутренними степенями свободы (микрополярные и микроморфные среды, жидкие кристаллы, нематического типа).
Устойчивость равновесия упругой микрополярной жидкости в магнитном поле (переход Фредерикса)
Значение n = 1 соответствует движению шара как жесткого целого и в дальнейшем не рассматривается. Подставляя представление (3.17) в уравнения (3.14)-(3.16), получим линейную однородную краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно ип, vn, Рп- Свойство ортогональности полиномов Лежандра приводит к тому, что р _ = p f = 0.
Критические значения внешнего давления определялись численно из условия нетривиально разрешимости этой краевой задачи. При I = 1\ оказалось, что существуют две ограниченные сверху последовательности критических значений внешнего давления р„ и р", причем р„ pf/ . Характерные зависимости р и р представлены на рис. 3.1 (кривые 1, 2) при к = 0.01, v = 2. Здесь для наглядности функции дискретной переменной п изображены непрерывными линиями. Значения давления ре, показанные на рисунке, отнесены к 2/л.
Заметим, что здесь в отличие от составного тела без фазового перехода толщина твердой оболочки и внешнее давление не являются независимыми переменными. Это означает, что последовательностям р и Рп соответствуют значения толщины оболочки твердой фазы hn и hn". Расчеты показали, что с ростом п значения pf/ стремятся к значению Pi, при этом hn — 0. Таким образом, при сколь угодно малой толщине твердой фазы происходит потеря устойчивости шара. С другой стороны, если в процессе наращивания удалось создать твердую оболочку с толщиной, большей некоторого значения, соответствующего максимальному из всех Рп и р ", то при дальнейшем увеличении внешнего давления бифуркации равновесия не происходит.
Для выяснения влияния массообмена на фазовой границе устойчивость радиально симметричного состояния равновесия исследована без учета фазового перехода при возмущении исходного равновесного состояния. В краевых условиях (3.15) функция г) полагается равной нулю, уравнение (3.16) не рассматривается. Определены значения критического давления Рп . Характерная зависимость р от п приведена на рис. 3.1 (кривая 4). Видно, что выполняется неравенство С ростом п значения р„ стремятся к р\. Пунктирная линия на рис. 3.1 означает прямую ре — р\.
Аналогично исследована устойчивость шара когда плотность жидкости меньше плотности твердого тела (С = %), что соответствует второму найденному решению. В области положительных значений давления лежит конечное число критических давлений (кривая 3). Минимальное из них отлично от нуля и при к = 0.01, v = 2 достигается при п = 47 и равно 0.2733-10 . Заметим, что здесь потери устойчивости при отсутствии фазового превращения не происходит. Вместе с рассмотренной задачей были исследована потеря устойчивости составных тел, содержащих полости; заполненные жидкостью или газом, в том числе задача о выпучивании толстостенной замкнутой сферической; оболочки, содержащей жидкость [51, 71]. Сравнение с [51, 71] приведенных здесь результатов исследования задачи о потере устойчивости двухфазного шара позволяет сделать вывод о существенном влиянии фазовых превращений на выпучивание нелинейно упругих тел. В частности, в данной задаче это влияние состоит в том, что 1) возможно появление дополнительных точек бифуркации, по сравнению со случаем составного тела, в том числе и когда для составного тела бифуркации равновесия вообще не происходит; 2) в данном случае наличие фазового превращения оказывает дестабилизирующее действие. Автором в несколько другой І постановке (в качестве условия фазового перехода выбиралась зависимость температуры плавления от давления) предложенным методом решена также задача о потере устойчивости плавающей на поверхности расплава тяжелой толстой плите с учетом фазового перехода [52]. Здесь учет фазового превращения на нижней поверхности плиты привел к повышению критических деформаций, т.е. отмечено стабилизирующее действие фазового перехода. Выполнение условий эллиптичности уравнений равновесия нелинейной теории упругости (требования сильной эллиптичности, неравенства Адамара и других) играет большую роль в задачах устойчивости упругих трехмерных тел, распространении волн в предварительно-напряженных средах, при исследовании разрывных решений нелинейной теории; упругости; теории фазовых превращений в упругих телах при больших деформациях. Исследованию свойств эллиптичности и разработке эффективных методов проверки тех или иных свойств эллиптичности уравнений равновесия большое внимание уделено в работах [46], [113]-[116], [151], [348]-[350], [394], [414]. Вместе с тем из общей теории эллиптических систем уравнений в частных производных [1], [29], [49], [127] известно, что составляющей частью исследования эллиптичности краевой задачи является проверка условия дополнительности (условия Шапиро-Лопатинского, коэрцитивности, или накрывания), налагаемого на краевые условия. Исследования свойств краевых условий задач теории упругости проводились в [402, 403]. Эллиптичность краевой задачи позволяет сделать вывод о фредголь-мовости оператора, порождаемого линеаризованной краевой задачей теории упругости и судить о регулярности ее решений. Кроме того, в ряде задач со свободными (неизвестными) границами надлежащим образом обобщенное условие дополнительности вместе с со свойством эллиптичности уравнений в объеме тела позволяет сделать вывод о гладкости свободной границы [127], [211], что важно, например, при анализе регулярности фазовой границы. Фредгольмовость оператора линеаризованной теории упругости (в частности, наличие конечномерного ядра и коядра) важна для использования теории ветвления решений нелинейных уравнений [24], обеспечивая, например, конечное число мод выпучивания, соответствующих критической нагрузке.
