Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор существующих решений 8
1.1. Модель упругого основания типа Винклера 8
1.2. Модель упругого основания типа упругого слоя 11
1.3. Неунругий отклик при смятии наполнителя І 14
1.4. Остаточная погибь лицевого слоя в зоне смятого наполнителя , 16
1.5. Местная устойчивость лицевого слоя при наличии зоны смятого наполнителя 17
2. Экспериментальное исследование 19
2.1. Общие сведения о материалах 19
2.2. Испытания лицевых слоев 20
2.3. Испытания пористых наполнителей 21
2.4. Аппроксимация диаграммы деформирования смятого наполнителя при растяжении и повторном сжатии 23
2.5. Испытания сэндвич-панелей па квазистатическое вдавливание . 24
2.6. Аппроксимация кривых нагружения при квазистатическом вдавливании сэндвич-образцов 27
2.7. Оценка НДС смятого наполнителя в квазистати чески вдавленных сэндвич-балках , 28
2.8. Испытания сэндвич-панелей на низкоскоростной удар 29
2.9. Испытания сэндвич-панелей на продольное сжатие 31
3. Определение НДС при упругом отклике конструкции 33
3.1. Фигшческая и математическая модели 33
3.2. Квазистатический отклик на заданную нагрузку 35
3.3. Квазнстатический отклик на ударную нагрузку 38
3.4. Отклик на заданную внешнюю нагрузку с учётом инерции лицевого слоя 39
3.5. Отклик на ударную нагрузку с учётом инерции лицевого слоя . 40
3.6. Решение по методу конечных элементов для случая удара 43
3.7. Выводы по главе 44
4. Определение НДС при неупругом квазистатическом отклике конструкций 48
4.1, Физическая и математическая модели 48
4.2. Общее решение задачи 49
4.3. Статическое нагружение, "точные" геометрически линейные решения 52
4.4. Статическое нагружение, приближённые геометрически линейные решения 53
4.5. Статическое нагружение, геометрически нелинейные оценки . 55
4.6. Отклик на ударную нагрузку : 57
4.7. Определение параметров С к К 57
4.8. Влияние упругой заделки на изгиб лицевого слоя 59
4.9. Решение по методу конечных элементов для случая статического нагружения 60
4.10. Выводы по главе 61
5. Оценка размера повреждения в наполнителе по остаточной погиби лицевого слоя 65
5.1. Физическая и математическая модели 65
5.2. Решение уравнений изгиба лицевого слоя 67
5.3. Определение размера повреждения при отсутствии в смятом наполнителе каверны 68
5.4. Определение размеров повреждения при наличии каверны в смятом наполнителе 69
5.5. Описание деформированного состояния смятого наполнителя . 70
5.6. Выводы по главе 72
6. Устойчивость лицевого слоя при местном смятии наполнителя 75
6.1. Моделирование и точное решение одномерной задачи 75
6.2. Приближённое решение одномерной задачи 78
6.3. Моделирование и приближённое решение двумерной задачи . 79
6.4. Выводы по главе 81
Заключение 82
Список использованных источников
- Модель упругого основания типа упругого слоя
- Аппроксимация кривых нагружения при квазистатическом вдавливании сэндвич-образцов
- Статическое нагружение, "точные" геометрически линейные решения
- Определение размера повреждения при отсутствии в смятом наполнителе каверны
Введение к работе
Актуальность темы
С расширением сферы применения трёхслойных конструкций возрастают требования к обеспечению их прочности. Одно из отрицательных, с точки зрения прочности, свойств трёхслойных материалов с пористым наполнителем — низкая жёсткость в направлении, перпендикулярном лицевым слоям. Причиной этому является низкая изгибная жёсткость тонких лицевых слоев и низкая прочность мягкого наполнителя. В результате конструкция чувствительна к локальным нагрузкам, которые возникают как при нормальной эксплуатации (взаимодействие со смежными конструкциями в местах крепления), так и в аварийных ситуациях (падение инструмента, выброс камня из-под шасси и т.п.).
Часто локальное повреждение имеет вид области смятого наполнителя, расположенного под лицевым слоем. Кроме того, в зависимости от свойств наполнителя, может образовываться локальная остаточная погибь лицевого слоя и/или его расслоение с наполнителем. Как остаточная погибь, так и повреждение в наполнителе могут значительно снижать остаточную жёсткость и прочность конструкции при общем изгибе, а расслоение — служить концентратором напряжений. При этом размер области смятия в наполнителе часто не может быть определён визуально, т.к. это повреждение скрыто лицевым слоем.
Повреждённый наполнитель поддерживает лицевой слой в гораздо меньшей мере, чем в неповреждённой конструкции, а расслоение совсем уничтожает эту поддержку. Поэтому, если лицевой слой оказывается сжатым (например, вследствие общего изгиба), возникает опасность локальной потери устойчивости.
В связи с перечисленными проблемами, большое значение при
обретает создание и экспериментальная верификация математи
ческих моделей, описывающих как возникновение и развитие ло
кального повреждения, так и остаточную прочность трёхслой
ной конструкции, уже имеющей такое повреждение. Актуальной
является также задача неразрушающего контроля путём оценки
размера повреждения в наполнителе через известную величину
остаточной погиби лицевого слоя. .
І ЮС НАЦИОНАЛЬНАЯ d J БИБЛИОТЕКА
Цель диссертационной работы
Объектом исследования являются плоские трёхслойные панели с лёгким пористым наполнителем. Целью диссертации является аналитическое и экспериментальное исследование
локального нагружения при упругой и при неупругой реакции наполнителя без учёта общего изгиба конструкции;
образования остаточной погиби лицевого слоя;
локальной потери устойчивости лицевого слоя в области повреждения при продольном сжатии.
Научная новизна
Научная новизна работы заключается в следующих результатах, выносимых на защиту:
математическом описании реакции трёхслойной конструк
ции на локальное нагружение лицевого слоя (в том числе на
удар) при упругом и при неупругом деформировании напол
нителя без учёта общего изгиба;
экспериментальном исследовании деформирования смятого
наполнителя при одноосном растяжении и временной неста
бильности остаточной погиби лицевого слоя в составе трёх
слойной конструкции после локального воздействия;
аналитической методике определения связи между остаточ
ной погибью лицевого слоя и размером повреждения в на
полнителе, возникшем после локального нагружения;
аналитической оценке эйлеровых напряжений для лицевого
слоя в области локального повреждения с учётом поддержи
вающего действия со стороны смятого наполнителя.
Практическая ценность
Результаты работы развивают математическую теорию трёхслойных конструкций и могут быть использованы при
проектировании трёхслойных конструкций, позволяя оце
нить необходимую локальную жёсткость при заданной на
грузке или допустимом размере повреждения;
интерпретации результатов экспериментальных замеров ло
кальной остаточной погиби лицевого слоя, позволяя оценить
размер скрытого повреждения в наполнителе;
оценке остаточной прочности трёхслойных конструкций с
локальным повреждением при их продольном сжатии и/или
общем изгибе.
Достоверность результатов
Большинство аналитических результатов, полученных с применением классической теории упругости и технической теории изгиба пластин, подтверждены экспериментально и с помощью конечно-элементного моделирования.
Апробация работы
Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных форумах:
Семинаре каф. сопротивления материалов СПбГМТУ (2004);
ХХ-ой международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред, методы граничных и конечных элементов" (BEM-FEM-03, С.-Петербург, 2003);
Х-ом международном конгрессе "Звук и вибрация" (ICSV10, Швеция, Стокгольм, 2003);
Конференции "Кораблестроительная наука и образование" (С.-Петербург, СПбГМТУ, 2003);
VI-ой международной конференции по сэндвич-конструкциям (ICSS-6, США, Форт Лодердейл, 2003);
ХХХ-ой школе-конференции "Advanced problems in mechanics " (APM-2002, С.-Петербург, 2002);
Школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2001).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 12 журнальных и конфе-ренционных статей, их список приведён в конце автореферата.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, шести глав (включая обзор литературы), заключения и списка литературы. Работа изложена на 86 страницах текста, подготовленного в издательской системе ЖЩХ, содержит 5 таблиц и проиллюстрирована 56 рисунками, список литературы насчитывает 76 наименований.
Модель упругого основания типа упругого слоя
Рассмотренная выше модель Винклера подразумевает, что реакция наполнителя в некоторой точке интерфейса зависит только от прогиба лицевого слоя в той же самой точке и не зависит от его прогиба в других точках интерфейса. Более точный подход основан на модели упругого слоя (далее по тексту — ЕС-модель, от англ. "elastic continuum") , которая подразумевает взаимосвязанность НДС всех точек интерфейса, т.к. рассматривает наполнитель в рамках теории упругости.
Впервые эта модель применялась в контактной механике для анализа НДС однослойных конструкций под локальными нагрузками [35,41,62]. Что касается сэндвич-конструкций, ЕС-модель успешно применялась при решении задач о краевых эффектах [60,61], местной [27,60] и общей [4] устойчиврсти. Ряд решений, некоторые из которых кратко рассмотрены ниже, были предложены и для разных случаев сосредоточенных нагрузок. Из анализа источников следует, что ЕС-модель была впервые применена бельгийским учёным Морисом Био (1905-1985) дпя решения задачи изгиба бесконечной балки на упругой полуплоскости под действием сосредоточенной силы [29]. Что касается советской школы механики, то у нас этой проблемой впервые занялся Г.Э.Проктор [24], который первый поставил пространственную задачу с ядром Буссинеска и этим свёл задачу к интегральному уравнению, заменяя его в практических вычис Иногда [51] употребляется термин "LDF" (от англ. linearly deformable foundation), включающий в себя все типы упругого основания, в т.ч. тина Винклера. лениях системой линейных уравнений. В дальнейшем ряд советских авторов дал много интересных работ по приложению теорий "упругой полуплоскости" и "упругого полупространства" к вопросам расчёта балок и плит на упругом основании- Первые работы в этом направлении были даны Н.М.Герсевановым и В.И.Рудневым, положившими основание целой школы "невинклеровского основания". Ранние работы отечественных учёных описаны в сборнике 24], более поздние — в обзорной статье [51]. Также можно отметить содержательную монографию [9]. В последние годы появился ряд интересных решений [52,53[, учитывающих взаимосвязанность общего и местного изгиба сэндвич-конструкций.
Определение реакции упругого слоя наполнителя ,
Используя в качестве математической модели линейную теорию упругости в форме уравнений Ламе, ЕС-модель приводит к практически точному решению для перемещений и напряжений и позволяет учесть толщину наполнителя и даже его инерцию [18,62]. Если рассматривается бесконечно протяжённый упругий слой, уравнения Ламе легко сводятся к системе дифференциально-алгебраических уравнений путём применения метода интегральных преобразований [29,61,68]. Техника интегральных преобразований подробно обсуждается в монографии [62]. Полученная система уравнений может быть решена для произвольного случая граничных условий на интерфейсе. Более подробно эта техника рассмотрена в третьей главе настоящей диссертации.
Иногда реакция наполнителя может быть определена более простыми способами в явном виде. Это относится к тем случаям, когда форма прогиба лицевого слоя является заранее известной функцией. Например, в плоской задаче локальной устойчивости лицевого слоя неповреждённой сэндвич-конструкции потеря устойчивости происходит по синусоиде. Путём подстановки в уравнения Ламе функций синуса и косинуса для соответствующих компонент перемещений, уравнения Ламе приводятся к системе двух дифференциально-алгебраических уравнений относительно двух функций — вертикального и горизонтального перемещений. Эта система легко решается обычными методами, особенно для случая бесконечной толщины слоя [73].
Статические решения
Простейшие статические решения относятся к задаче изгиба лицевого слоя на упругом полупространстве, моделирующем очень толстый наполнитель. Лицевой слой нагружен сосредоточенной силой Р. Эта задача была решена Био [29] (плоская постановка) и Тимошенко [68] (осесимметричная постановка) с условием свободного проскальзывания на интерфейсе. Применяя интегральную теорему Фурье, они получили следующие формулы для расчёта нормальных
Это допущение привело к некоторому завышению прогиба и занижению нормальный напряжений в наполнителе на интерфейсе. Вообще, результаты для случаев полного проскальзывания и жёсткого сцепления совпадают, только если коэффициент Пуассона наполнителя равен нулю. напряжений на интерфейсе: где xn y/ D//Ei. Параметр приведённой жёсткости наполнителя Е\ здесь равен Ес/2 для плоского напряжённого состояния или Ес/2(1 — i/%) для случаев плоской или осесимметричной деформации.
Изгибающий момент в лицевом слое в плоской задаче и прогиб в осесимет-ричной задаче имеют вид: Био [29] нашёл также решение для прогиба лицевого слоя в плоской задаче, но отмстил, что соответствующий интеграл не сходится ввиду нулевой жёсткости модели при этом виде нагрузки.
Пожуев [18] исследовал нестационарные колебания бесконечной длинной сэндвич-панели под действием заданной нагрузки, которая внезапно прикладывалась к лицевому слою и потом перемещалась вдоль него с постоянной скоростью. Задача была рассмотрена в плоской постановке для несимметричной конструкции (т.е. имеюшей разную толщину лицевых слоев). Для описания лицевых слоев использовались уравнения типа Тимошенко, а для наполнителя — уравнения Ламе. В предложенной математической модели учитывалась инерция как наполнителя, так и лицевого слоя. Задача решалась посредством преобразований Фурье-Лапласа. Для прогиба лицевых слоев и напряжений на интерфейсе были найдены замкнутые решения в форме обратного преобразования Лапласа; для его численного обращения предложен специальный алгоритм.
Власов [3] предложил метод приближённого анализа сосредоточенного удара по бесконечной пластине на упругом слое с учётом их инерции. Удар моделировался с помощью функции Хэвисайда по времени. Это решение может представлять интерес в случаях, например, толстых бетонных плит, лежащих на грунте и т.п.
Аппроксимация кривых нагружения при квазистатическом вдавливании сэндвич-образцов
Испытания сэндвич-панелей на статическое вдавливание проводились в плоской и осесимметричной постановках. В первом случае испытывались балки размером в плане 47x270 мм, а во втором случае — панели размером 180x270 мм. Для ограничения общего изгиба образцов они были опёрты на жёсткое основание. Нагрузка прикладывалась посредством стального цилиндрического или сферического индентора, как показано на Рис. 2.5. В плоской постановке для обеих конфигураций сэндвич-панелей использовался индентор диаметром 25 мм. В осесимметричной постановке применялся 25-мм индентор для 1-й конфигурации и 50-мм индентор для 2-й конфигурации, т.к. в последнем случае малый радиус индентора приводил к преждевременной пенетрации лицевого слоя. Испытания проводились с помощью универсальной испытательной машины 1п-stron при постоянной скорости перемещения индентора 2 мм/мин. Балки были вдавлены на 1.75, 2, 2.5, 3, 4, 5, 6, 8 и 10 мм. Панели были вдавлены на 2.4,
Типичные кривые нагружения, полученные из этих экспериментов, представлены на Рис. 2.6, где ветвь А-В соответствует упругому отклику образцов. В точке В начинается разрушение ячеек наполнителя и последующая ветвь В-С отражает постепенный рост области повреждения. Процесс разрушения наполнителя имел все признаки механизма прогрессирующего смятия, подробно описанного в предыдущей главе. Это было чётко подтверждено с помощью специального метода электронного мониторинга деформаций наполнителя. При относительно болыних прогибах (8, 10 мм), был слышен лёгкий треск, очевидно объясняемый разрывом отдельных волокон лицевого слоя в области его контакта с индентором. В балочных образцах при больших прогибах наблюдался небольшой общий изгиб (отрыв концов балок от основания был около 1-2 мм). 60 50
После разгрузки, представленной ветвью C-D, обнаруживалась остаточная погибь лицевого слоя. Она измерялась через перемещение индентора в течении 10 минут выдержки образца после разгрузки при нулевой контактной силе. Этот 10-минутный период представлен на Рис. 2.6 ветвью D-E и был достаточен для достижения полного равновесия структуры, т.к. главная доля нестабильности относилась к первым минутам после разгрузки, как показано на Рис. 2.7. Следовательно, точка Е представляет установившееся значение остаточной по-гиби, которое значительно ниже "мгновенного" значения, определяемое точкой D (конечно, эта разница определённым образом зависит от от скорости разгрузки, т.е. от расположения точки D). Эффект временной нестабильности остаточной погиб и лицевого слоя может быть отнесен, как показано в разделе 2.3, в счёт релаксации смятого наполнителя при растяжении. Конечно, в испытанных сэндвич-образцах наполнитель не находился в состоянии чистой релаксации. Ведь как только реакция наполнителя уменьшалась, то немедленно уменьшалась остаточная погибь, вызывая тем самым обратное увеличение реакции наполнителя и т.д. Но остаточное НДС смятого наполнителя в цилиндрических образцах, см. раздел 2.3, и в сэндвич-образцах очевидно было сходным.
Будучи повторно нагружены, вдавленные образцы показывали значительно более низкую локальную жёсткость (ветвь E-F), чем неповреждённые образцы, в которых местная жёсткость характеризуется ветвью А-В. Более того, жёсткость при нагрузке по ветви E-F часто была даже меньше, чем по ветви В-С. Этот факт очевидно объясняется втягивающей реакцией смятого наполнителя.
Обследование испытанных образцов выявило небольшое повреждение лицевого слоя в области его контакта с индентором. Для балочных образцов (плоская постановка), это повреждение выражалось в разрыве отдельных волокон и растрескивании матрицы. В панелях (осесимметричная постановка) наблюдалась также область необратимых пластических деформаций в точке контакта с индентором (отпечаток типа пробы Бринелля). На Рис. 2,8 (слева) показано, что остаточная погибь лицевого слоя резко возрастает в районе приложения нагрузки. Этот эффект не может быть объяснён изгибом лицевого слоя и, таким образом, должен быть полностью отнесён к задаче типа Бринелля о пластическом контакте между лицевым слоем и индентором.
Распределение остаточной погиби вдоль лицевого слоя в панелях 1-й конфигурации (осесимметричная постановка). Параметры mn, Р и U обозначают максимальный прогиб при нагружении, контактную силу и энергию удара, соответственно. Рис. 2.9. Локальное повреждение с (а) и без (б) расслоения на интерфейсе. го слоя и смятия наполнителя, как показано на Рис. 2.9а. В балочных образцах, область повреждения в наполнителе отчётливо наблюдалась как во время, так и после эксперимента, поскольку смятый наполнитель имеет специфический вид и цвет. В панелях повреждённый наполнитель был скрыт лицевым слоем и поэтому размер повреждения не мог быть определён непосредственно из наружного осмотра. Однако, о примерном размере повреждения можно было судить по диаметру зоны остаточной погиби, т.к. он был, как потом выяснилось, немного больше диаметра зоны смятого наполнителя. Для более точных замеров лицевые слои были отделены от панелей.
Статическое нагружение, "точные" геометрически линейные решения
Решение (3.40) для контактной силы в плоской постановке при т—)-0 имеет особенность вида І/ /т, хотя прогиб лицевого слоя и нормальные напряжения на интерфейсе остаются конечными. Решения для осесимметричной задачи могут быть найдены из (3.40)-(3.42) перестановкой ф ф2, Фг— 0з- В осесиммте-ричной задаче все решения регулярны. Пример отклика сэндвич-балок и панелей 1-й конфигурации, см. Таблицу 2.1, на удар малой массой тп=0,01 кг со скоростью у—1 м/с проиллюстрирован на Рис. 3.6-3.8. При вычислении (3.40) и (3.41) число членов ряда было взято равным 150. В общем, квази-статические решения (3.26) и (3.27) дают завышенную оценку прогиба лицевого слоя, напряжений па интерфейсе и контактной силы. Это показывает важность учёта инерции лицевого слоя при ударе относительно малой массой.
Максимумы точных решений типа (3.40)--(3.42) хорошо совпадают с максимумами, найденными из конечно-элементного анализа, который описан ниже в разделе 3.6. Эти решения показывают быстрое рассеяние энергии, происходящее через нестационарные колебания лицевого слоя, В конечно-элементном решении эти колебания затухают ещё быстрее вследствие отскока ударника. Численное моделирование также подтвердило особенность решения (3.40) в плоской постановке, где контактная сила неограниченно растёт при т— 0.
Ряды в решениях (3.40) сходятся только при малых и умеренных значениях безразмерного времени т, причём максимумы решений находятся в этих интервалах т только при относительно больших 7- Более продолжительные процессы при малых 7 (7 1) могут быть исследованы вторым приближённым методом, о котором было сказано ранее, а именно численным обращением образов Лапласа функций (3,36). Для этого, используя свойство свёртки преобразования Лапласа, образы контактной силы из (3.36) переписывается в виде:
Задача (3.44) является корректно поставленной вариационной постановкой для (3.43), её решение устойчиво. Следовательно, искомым приближённым (ре-гуля ризованным) решением для функции Р(т), минимизирующей функционал (3.44), будет решение интегро-дифференциального уравнения Эйлера
Уравнение (3.45) может быть легко решено численно методом конечных разностей. При этом следует учитывать, что это уравнение должно удовлетворять нулевым начальным условиям. Но, т.к. условие Р(0) 0 невыполнимо, следует сделать замену истинной функции Р(г) на некоторую вспомогательную функцию, удовлетворяющую этому условию. Это приводит к интегральному уравнению с прежним ядром и новой правой частью, точное решение которого удовлетворяет нулевым начальным условиям. Альтернативно, можно решать интегральное уравнение относительно функции прогиба, для которой нулевые начальные условия выполнены автоматически.
Отклик конструкции на удар относительно большой массой тп=1 кг со скоростью v=0,1 м/с проиллюстрирован на Рис. 3.9-3.11. При решении дискретного аналога уравнения (3.45), шаг дискретизации по безразмерному времени т был взят равным 0,2. В плоской постановке точное аналитическое решение для контактной силы не показано, т.к. в этом случае уравнение (3.45) сингулярно,
В общем, квази-статические решения (3.26) и (3.27) дают достаточно точную оценку контактной силы и прогиба лицевого слоя. Таким образом,, при расчёте на удар большой массой можно пренебрегать инерцией лицевого слоя. В плоской постановке точные решения посредством (3.41), (3.42) и (3.45) приводят к сильно завышенным (хотя и в безопасную сторону) результатам по сравнению с квази-статической оценкой и конечно-элементным расчётом. Это можно объяснить занижением жёсткости упругого слоя наполнителя вследствие допущения =0. Очевидно, точность решений может быть улучшена, если при разложении функций (3.37) в ряды учесть конечную толщину наполнителя. Что касается осесимметричной постановки задачи, то здесь все решения хорошо совпадают между собой, т.к. занижение жёсткости наполнителя не имеет того значения, как в плоской задаче.
Помимо аналитических решений, в пакете LS-DYNA было выполнено численное моделирование упругого отклика сэндвич-конструкции на удар сосредоточенной массой. Расчёты были сделаны для 1-й сэндвич-конфигурации, см. Таблицу 2.1. Результаты представлены на Рис. 3.6- 3.11.
Лицевой слой моделировался при помощи 4-узловых элементов типа тонкой оболочки. В плоской постановке задачи было использовано 150, а в осесимметричной — 450 элементов. Сетка КЭ была сгущена по направлению к точке соударения, коэффициент сгущения был принят равным 2.
Наполнитель моделировался при помощи 8-узловых объёмных элементов. По толщине наполнителя было взято 15 элементов. Для узлов, расположенных на нижней границе наполнителя (нижнем интерфейсе), все степени свободы были полностью зафиксированы.
Ударник моделировался как твёрдое тело большой жёсткости при помощи 8-узловых конечных элементов. Для узлов ударника были ограничены все степени свободы, кроме поступательного перемещения но нормали к лицевому слою. Поверхность контакта ударника с, лицевым слоем считалась переменной и вычислялась автоматически самим пакетом, причём была предусмотрена возможность полной потери контакта (оскока ударника от лицевого слоя).
В случае заданной функции внешней нагрузки получены замкнутые решения для прогиба лицевого слоя, изгибающего момента в нём и нормальных напряжений на интерсрейсе. Основой этих решений является отклик конструкции на импульсную нагрузку, через который, посредством интеграла Дюамеля, может быть исследован для случай произвольного сосредоточенного внешнего возбуждения. Решения для частного случая статического нагружения проверены экспериментально на двух типичных сэндвич-конфигурациях;
В осесимметричной задаче при большой толщине наполнителя может быть сделан предельный переход к модели бесконечно толстого наполнителя (упругого полупространства). Это значительно упрощает расчётную модель и одновременно даёт вполне корректные результаты. В плоской задаче такой переход в общем случае приводит к сильному искажению НДС конструкции. При этом особенно сильно меняется (в сторону завышения) прогиб лицевого слоя, причём в квазистатической постановке плоской задачи прогиб становится неограниченно большим;
Решена нестационарная задача удара сосредоточенной массой. Найдены решения для прогиба лицевого слоя, нормальных напряжений на интерфейсе и контактной силы. Показано, что квази-статические решения дают хорошую оценку в случае продолжительного удара большой массой, в то время как при кратковременных ударах относительно малой массой необходимо учитывать инерцию лицевого слоя. Эти решения удовлетворительно совладают с результатами конечно-элементного моделирования.
Определение размера повреждения при отсутствии в смятом наполнителе каверны
Помимо аналитических решений, было выполнено численное моделирование неупругого отклика сэндвич-конструкции на квазистатическое вдавливание в пакете ABAQUS 6.3. Расчёты были выполнены для 1-й сэндвич-конфигурации, см. Таблицу 2.1. Сетка конечных элементов с обозначением наложенных граничных условий показана на Рис. 4.4. Результаты расчётов представлены на Рис. 4.8-4.9.
Модель была построена при помощи 4-узловых элементов с опциями плоской (СРЕ4) или осесимметричной (САХ4) деформации. Лицевой слой был разбит на 2 элемента по толщине (для исключения эффекта сдвигового запирания деформаций) и на 5 элементов по длине. Сетка элементов сгущалась по направлению к точке контакта с индентором, коэффициент сгущения был взят равным 2. На расстоянии =110 мм от точки контакта продольные перемещения лицевого слоя были зафиксированы, как показано на Рис. 4.4. Деформация лицевого слоя предусматривалась линейно-упругой, а учёт геометрической нелинейности производился путём использовании опции NLGEOM .
Что касается слоя наполнителя, то по его толщине было взято 20 конечных элементов. Путём использования материальной модели CRUSHABLE FOAM , встроенной в ABAQUS 6.3, предусматривалась возможность пластического смятия наполнителя без упрочнения. Эта материальная модель была откалиброва-на через эспериментальное исследование одноосного сжатия пористого наполнителя WF51, которое подробно описано в разделе 2.3. Результаты эксперимента были обработаны и заданы в виде истинных напряжений в наполнителе как функции от логарифмических пластических деформаций.
Индентер моделировался как абсолютно жёсткое тело. Для него были ограничены все степени свободы, кроме поступательного перемещения по нормали к лицевому слою. Поверхность контакта с лицевым слоем считалась переменной и вычислялась автоматически самим пакетом.
Получены аналитические решения, позволяющие оцепить прочность лицевого слоя и размер зоны повреждения (смятия) наполнителя. Эти решения найдены на основе допущения об идеально упруго-пластическом деформировании материала наполнителя. Геометрически линейные решения плоской задачи дают хорошее совпадение с экспериментом и конечно-элементным моделированием как при малых, так и при больших прогибах лицевого слоя. Очевидно, это объясняется относительно низкими мембранными напряжениями, т.к. продольное перемещение лицевого слоя в плоской постановке ограничено лишь сопротивлением довольно податливого наполнителя. При осесимметричном же изгибе в лицевом Слое довольно быстро (при прогибах, в 1-2 раза больших его толщины) возникает собственное поле мембранных напряжений, что приводит к сильному расхождению аналитических и экспериментальных результатов;
Оценено влияние неповреждённой части конструкции на изі;;іб той части лицевого слоя, которая находится в контакте со смятым наполнителем. Показано, что достаточно точные результаты получаются, если принять, что на границе зоны смятия на лицевой слой наложено условие жёсткой заделки. При таком граничном условии размер повреждения может быть вычислен, зная только величину приложенной сосредоточенной нагрузки и предел текучести материала наполнителя;
В плоской постановке прогиб лицевого слоя пропорционален кубу предела текучести наполнителя, а в осесиметричной — его первой степени. Т.е. решение для плоской задачи гораздо более чувствительно к точности задания предела текучести наполнителя: например, ошибка в 25% при его экспериментальной оценке изменит решение для прогиба в 2 раза.
Рассматриваются плоская и осесиметричная постановки задачи изгиба транс-версально изотропного лицевого слоя под действием сосредоточенной нагрузки Р и реакции смятого наполнителя т, как изображено на Рис. 5.1а. Предполагается, что общий изгиб сэндвич-конструкции отсутствует, а локальный изгиб лицевого слоя происходит чисто упруго с изгибной жёсткостью Df без возникновения мембранных напряжений. Схема повреждения в наполнителе соответствует показанной на Рис. 2.9. В общем случае повреждение состоит из зоны смятия длиной (диаметром) 2а и каверны (расслоения) размером 26. Соответственно, по обе стороны от каверны расположены два участка протяжённостью (а-Ь), где смятый наполнитель находится в контакте с лицевым слоем. C-w (a)
Аналогично предыдущей главе, задача может быть сведена к симметричному изгибу тонкой пластины размером 2а (/іу-С2а). Изгиб происходит за счёт нагрузки Р, давления а, действующего в пределах Ь (х,г) а, и реактивных усилий на границе смятого и неповреждённого наполнителя (х,г=а), как показано на Рис. 5.lb. Используя теорию изгиба тонких пластин Кирхгоффа-Лява и обозначив ступенчатую функцию Хэвисайда как Н, разрешающее уравнение для прогиба лицевого слоя u j записывается в виде
Линейные решения, подобные (5.8) и (5.9), были найдены в предыдущей главе, где было показано, что они хорошо работают только при малых прогибах лицевого слоя (w(0) hf). Однако, как показывают эксперименты, именно такие малые прогибы характерны для остаточной погиби лицевого слоя после локального воздействия. Решения (5.8) и (5,9) устанавливают соотношение между известными прогибом лицевого слоя Wf, нагрузкой Р, реакцией смятого наполнителя at и неизвестными размерами повреждения наполнителя а и Ь. Следовательно, зная экспериментально замеренное значение максимальной остаточной погиби w (В центре повреждения, т.е. при х,г 0), с помощью этих решений молено составить уравнения для определения неизвестных а и Ь. где реакция смятого наполнителя в центре повреждения сг( была принята в форме (2.1), где део юрмация є вычисляется по формуле (5.21) через максимальную остаточную погибь w И максимальный прогиб лицевого слоя на стадии нагру-жения WQ. В предыдущей главе были даны аналитические решения для функции Wo (а). Однако, как было замечено, в плоской задаче точность вычислений по полученным формулам сильно зависит от точности экспериментального определения предела текучести наполнителя, а в осесимметричной задаче при значительных прогибах линейные решения вообще не верны. Поэтому в настоящей главе при вычислении є использовалась эмпирическая зависимость (2.3). Результаты расчёта по формулам (5.11) и (5.12) показаны на Рис. 5.4 и 5.5 в сравнении с результатами эксперимента, описанного в разделе 2.5. Точками показаны экспериментальные значения остаточной погиби (после релаксации напряжений в наполнителе). Сплошная линия обозначает расчёт по максимальной реакции наполнителя, прерывистая — по минимальной. Для 1-й сэндвич-конфигурации результаты расчёта находятся в довольно плохом соответствии с экспериментальными данными, особенно в осесимметричной постановке задачи. Это можно объяснить тем, что в эксперименте деформации смятого наполнителя WF51 были неоднородны по толщине зоны повреждения, см. Рис. 2.11. Очевидно, такая неоднородность повышает втягивающие напряжения и, следовательно, увеличивает остаточную погибь в реальных образцах по сравнению
