Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Краткий обзор литературы, посвященный вопросам кручения 8
1.1. Краткий обзор литературы 8
1.2. Постановка задач кручения 12
ГЛАВА 2. Исследование напряженного состояния при кручении эллиптического бруса, армированного центральным усиленным цилиндрическим стержнем, эксцентрично ослабленным двумя эллиптическими полостями
2.1. Граничные и контактные условия задачи и построение регулярных функций 17
2.2. Некоторые вспомогательные математические преобразования 24
2.3. Построение бесконечных систем линейных алгебраических уравнений 41
2.4. Вычисление жесткости при кручении 47
2.5. Численные иллюстрации полученных решений для двух частных случаев
ГЛАВА 3. Кручение некоторых призматических тел, армированных усиленным цилиндрическим стержнем, ослабленной призматической полостью
3.1. Определение поля напряжений при кручении бруса правильного шестигранного поперечного сечения, армированного центральным усиленным цилиндрическим стержнем, ослабленным призматической полостью
3.1.1. Постановка задач и построение регулярных функций
3.1.2. Некоторые вспомогательные преобразования и построение бесконечных систем линейных алгебраических уравнений
3.1.3. Определение жесткости 63
3.1.4. Численный пример 64
3,2, Определение поля напряжений при кручении 68 бруса квадратного поперечного сечения эксцентрично армированного усиленным цилиндрическим стержнем, ослабленной призматической полостью
3.2.1. Постановка задачи и построение регулярных функций 68
3.2.2. Составление бесконечных систем линейных алгебраических уравнений 72
3.2.3. Определение жесткости 73
3.2.4. Численный пример 75
Выводы 82
Литература
- Постановка задач кручения
- Некоторые вспомогательные математические преобразования
- Численные иллюстрации полученных решений для двух частных случаев
- Некоторые вспомогательные преобразования и построение бесконечных систем линейных алгебраических уравнений
Введение к работе
ГЛАВА I. КРАТКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ, ПОСВЯЩЕННЫЙ
ВОПРОСАМ КРУЧЕНИЯ 8
Краткий обзор литературы 8
Постановка задач кручения 12
Постановка задач кручения
Известно, что определение напряженного состояния при кручении различных составных брусьев с некруговым поперечным сечением представляет собой сложную задачу, которая не может быть решена методами сопротивления материалов.
Причиной тому служит то, что гипотеза неизменности плоских сечений неприемлема для кручения брусьев с некруговым сечением, так как сечение скручиваемого бруса заметно искривляется, т.е. происходит депланация сечений, в результате чего, существенно меняется картина распределения напряжений по сечению. Поэтому, точные расчеты на прочность при кроении полых и составных упругих призматических брусьев различных конфигураций, можно получить, основываясь на методах теории упругости.
Определение напряженного состояния закручиваемого составного призматического бруса, при отсутствии объемных и боковых поверхностных сил, составляет постановку рассмотренных задач.
Ставится задача кручения упругих однородных составных брусьев, имеющих многосвязное поперечное сечение сложной геометрии. Рассмотрим кручение бруса, поперечное сечение которого состоит из трех областей 7 , и (рис.1.1).
Область Sf - извне ограничена криволинейным контуром /,_ , а изнутри окружностью L. , радиусом Р . Область S2 - ограничена концентрическими окружностями LА и /, , а область Д -извне ограничена окружностью / , радиусом /f_ , а изнутри эксцентрично расположенными контурами Z, и Д, . Материалы областей составных частей рассматриваемого бруса соответственно имеют упругие свойства jUj (Js 1,2,5) Для указанного составного бруса граничные условия на Z,- С/=1,2,5) и. контактные условия на Z- ( / = 3,4) сводятся к следующему: 1. Внешняя и внутренняя поверхности бруса свободны от нагрузок. 2. Усилия, действующие на элементы поверхностей раздела различных материалов, равны по величине и противоположны по направлению. 3. Компоненты смешения остаются непрерывными при переходе через поверхности раздела. Для решения рассматриваемых задач в диссертации применены функции комплексного переменного в сочетании с методом конформного отображения. Определение напряженного состояния указанного бруса сводится к отысканию функций # (z) (/=/,2,3) , регулярных соответственно в областях Sy (J =/,2,3) и удовлетворяющих следующим граничным и контактным условиям: Область поперечного сечения указанного составного бруса состоит из трех частей 3t , S2 и S3 (рис.2.1). Область S1 извне ограничена эллипсом Ls , а изнутри окружностью Z, , радиусом &4 . Область 52 ограничена концентрическими окружностями L и L3 , а область S3 - извне окружностью ZJ , радиусом R5 , а изнутри эксцентрично расположенными эллипсами Z, и Д, . Начало декартовой системы координат поместим в центре кривых / (J = 3, 4, S) , а ось х примем осью симметрии области поперечного сечения. Так как контуры Z, , L2 и Z - отличаются от окружности, то для решения этой задачи будем использовать функцию конформно отображающую внешности эллипсов L- (/ = /, 2, 5) соответственно на внешности единичных окружностей L(/=?,2,5) о соответственно лежащих в вспомогательных плоскостях (/=/, 2,5s) Здесь а.- -; а- + 6; СУ- TIL 6-- обозначают длину полуосей эллипсов Z,- (J =1,2,5) Знак т. О имеет следующий смысл. При л?. О , большая ось эллипсов Z; , совпадает с осью абсцисс, а при т О малые оси эллипсов L,- совпадают с вещественной озс осью. Как известно, определение напряженного состояния в указанном брусе сводится к определению трех комплексных функций %(z) % (z) и % (z) , регулярных соответственно в областях Sj , $ и $3 и удовлетворяющих следующим граничным и контактным условиям (см. 4) Здесь JUj - соответственно модули сдвига среды Sy (/=1,2,3) - аффикс точки L- (J =Z J) , С7 , С2 - постоянные величины, которые определяются по ходу решения задачи, a Cs - принимаем равным нулю.
Некоторые вспомогательные математические преобразования
Таким образом для определения искомых величин &J " , АС 6"} (J= Л 2, 3) и c/JJ) (М= f,2.... —Сполучим совокупность семи бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (2.96) - (2.102). Для численной иллюстрации рассматриваемого бруса, из каждой системы (2.96)-(2.102) выделяются несколько первых уравнений, и затем, решая их совместно, определятся неизвестные искомые коэф фициенты а л , %е/) (/=/, 2, 3) и с/ (М -/, 2, , /f) где N - некоторое фиксированное число, выбор которого зависит от степени точности с которой в рассматриваемых задачах желательно получить отыскиваемое решение.
Далее, после определения коэффициентов GJ , 6" (J= /,3), определяются приближенные значения искомых функций # (z) (J = /,3) , жесткость при кручении, а затем по известной формуле определяются компоненты касательных напряжений. Жесткость при кручении указанного бруса определяется формулой (см.1.7) з 2) = Е Jl\jf} +% \ (2.I0S) где для рассматриваемого случая Ja(J и 2)0 J с учетом (2.1) определяются формулами (1.8а) - (1.96). Выполнив интегрирование в (1.8а)-(1.9б) жесткость при кручении упомянутого бруса определяется формулой
Из таблицы видно, что граничные условия удовлетворяются с достаточной степенью точности (наибольшее отклонение составляет 0,54 ). Наибольшее напряжение возникает в вершинах эллипсов [_,; G=f,2) Б точках 2 и 5. Пример 2.2. Кручение трехслойного составного эллиптического бруса, эксцентрично ослабленной эллиптической полостью (рис.11-2ДЗ), с/ =0 приданных 3= SA, Я4-М 3, s-З 9,-9,- В данном случае решение задачи сводится также к решению совокупности шести бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (2.96), (2.98) - (2.102). Аналитическое выражение искомых коэффициентов с/ 1У, c/f2) , а (3\ (1), }Ю б/5 .т.е. коэффициенты 0.. помещены в таблицах (П-2.І) - (П-2.3) и (П-2.5).
В рассматриваемом примере из каждой системы (2.95), (2.98)-(2.102) выделены по три первых уравнения и, совместно решая их, найдены упомянутые коэффициенты (табл.2.2).
После нахождения приближенного значения регулярных функций % (z) , 7 (z) и 5 (z) и жесткости D вычислены так же компоненты касательных напряжений в характерных точках сечения (табл.2.2а) и для наглядности построены их эпюры (рис.2.3).
Анализ результатов многочисленных примеров показывает, что для получения практически целесообразного результата можно ограничиться первыми тремя членами разложения (2.24), (2.25) и (2.26), т.е. из полученных систем уравнений всего надо решить 21 уравнение (а во втором случае - 18 уравнений).
С целью контроля и сравнения полученных результатов, а также эффективности и достоверности предложенного приема решений указанных задач, рассмотрены две характерные задачи, вытекающие, как частные случаи из полученного решения:
Решение задачи кручения эллиптического цилиндра центрально армированного круглым стержнем при данных, принятых в работе /99/, т.е. =0,95 , 0-35 , JU : JU 20 .
С учетом замены R на R , Aff на А1 и, принимая, что а Ю=0 . %(z) =0 из условий (2.2), (2.7) и (2.8) для упомянутой задачи получим следующие бесконечные системы линейных алгебраических уравнений (см.(2.102), (2.98) и (2.99)
Численные иллюстрации полученных решений для двух частных случаев
В этом параграфе дается решение задачи армированных квадратных брусьев, поперечное сечение которых показано на рис.3.4 и 3.5.
Как видно из рисунка 3.4,область поперечного сечения состоит из трех областей S7 , S2 и $3 , имеющих соответствующие модули упругости при сдвиге JU- (/ = /, 2, 3)
Область S1 - ограничена квадратом /, , а изнутри эксцентрично расположенной окружностью L3 , радиусом Rz
Область &2 - ограничена концентрическими окружностями L3 и L , а область - извне окружностью l2 , радиусом t , а изнутри квадратом Z, .
Начало декартовой системы координат поместим в центре кривой /jt » а ось а: примем осью симметрии области поперечного сечения. Для данного случая краевые условия запишутся в следующем виде (см.(3.4) - (3.9).
При решении этой задачи, как и в предыдущей главе, будем использовать функции конформно отображающие внешности контуров І, и /_, соответ 4 1 ственно внешности единичных окружностей f и У , расположен-нной в вспомогательных плоскостях (J = 4, /) о где т, Т , т4 = -{ Здесь также, не повторяя аналогичных выкладок в граничных значениях % (z) на L и %(z) на А ПРИ помощи (3.29), (3.30) и (3.31) с учетом (3.32), (3.33) в (3.23) и (3.24), а затем; переходя от переменной t к 7j (j=4, /) соответственно получим Принимая во внимание (3.30), (3.31), (3.34) - (3.37) в усло виях на L; /J =4, 3, 2, О » для определения искомых неиз вестных коэффициентов &ff)} Ґ,С 7 с/сз) с1\ S( 6(3) (/ -/,2,3.--- = =0 также получена совокупность следующих шести бесконечных систем линейных алгебраических уравнений
Аналитические выражения коэффициентов Вл и /. поме-щены в табл.П-3.3.
Надо отметить, что в зависимости от изменения параметров Є: и /71: и упругих характеристик составных частей, получен в V ное решение можно распространить на решение ряда конкретных задач кручения цилиндрических и призматических брусьев, армированных двумя или одним усиленным цилиндрическим стержнем, ослабленным призматическим или цилиндрическим полостями, некоторые из которых показаны на рис.П-3.25 - рис.3.55.
Для иллюстрации полученного решения рассмотрим численный пример для двух конкретных случаев:
Кручение бруса квадратного сечения эксцентрично армированного усиленным цилиндрическим стержнем, ослабленной призматической полостью при следующих данных: а) т4 = у , /77,- -, JUjt-fO, Л;Л Л 2=,77Af , Г 8 A-WA e-WA, 2 2J7A1t fif-48#23 A J7A1y є = 2,083A, При этих данных из систем (3.38) - (3.43) взяты по пять первых уравнений и совместно решая их найдены искомые коэффициенты (табл.3.3, 3.4).
Кроме того, для выяснения степени точности полученного решения проверены граничные условия в характерных точках на контурах L4 и 4 .
Характеризующая величина отклонения найденной функции (/z) (J— /, 2,3) в характерных точках границы в наибольших напряжениях составляет не более 3,2#, что является практически приемлемым (см.табл.3.3а, 3.4а).
Некоторые вспомогательные преобразования и построение бесконечных систем линейных алгебраических уравнений
КПСС и Советское правительство постоянно в своих решениях уделяют большое внимание усовершенствованию конструкций и созданию прочных высокопроизводительных машин, механизмов, сооружений, тесно овязанных с развитием народного хозяйства нашей страны. Одним из основных вопросов выполнения этих решений являются создания новых современных эффективных методов расчета деталей машин и сооружений. Составные и полые брусья являются одним из наиболее распространенных элементов машин и сооружений. Недостаточное знание истинной картины распределения напряжений может привести к разрушению самой детали, и даже, всей конструкции в целом.
Напряженное состояние деталей конструкций зависит не только от приложенных к ним внешних нагрузок, но и во многом от вида конфигураций деталей и упругих характеристик их материалов.
В различных областях техники, машиностроении, станкостроении, нефтяной промышленности, в строительстве часто встречаются конструкции, основными элементами которых являются полые и составные брусья сложных конфигураций. Поэтому разработка эффективных методов расчета на прочность конструкций, работающих на кручение, представляет собой одну из актуальных задач механики деформируемых твердых тел, имеющих научное и практическое значение.
Изучение напряженного состояния и точные расчеты на прочность составных упругих призматических брусьев основывается на методах теории упругости, которые получили свое развитие в прошлом столетии благодаря работам Навье, Коши, Ляме, Пуассона, Клебаша, Сен-Венана, Эри и других ученых.
Основные теоретические положения в этой области разработаны давно, однако одним из основных методов исследования поля напряжений при кручении составных призматических брусьев является привлечение теории аналитических функций комплексного переменного и конформного отображения, глубокое развитие которых нашло в трудах советских ученых Г.В.Колосова, Н.И.Мусхелишвили и Д.И.Шер-мана.
В современной промышленности и строительстве находят широкое применение упругие детали в виде однородных и составных призматических тел, ослабленных различными полостями, вызывающими значительные концентрации напряжений, неблагоприятно влияющие на прочность деталей конструкций. Целью настоящей диссертации является разработка эффективной методики решения следующих задач: I) Кручение эллиптического бруса, армированного центральным усиленным цилиндрическим стержнем, эксцентрично ослабленным двумя эллиптическими полостями. -6 2) Кручение правильного шестигранного призматического бруса, армированного центральным усиленным цилиндрическим стержнем, ослабленным призматической полостью. 3) Кручение бруса квадратного поперечного сечения эксцентрично армированного усиленным цилиндрическим стержнем, ослабленной призматической полостью. Решения этих задач основаны на применении теории функций комплексного переменного в сочетании теории конформных отображений. Предложенный метод состоит в следующем:
Регулярные функции, определяющие напряженное состояние при кручении указанных брусьев, для каждой однородной области поперечного сечения составных частей в отдельности представляются в виде степенных разложений. В ходе решений для контуров области, отличающихся от окружности, используются функции конформно отображающие внешности этих контуров соответственно на внешности единичных окружностей.
