Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Построение решений задач о кручении упругих стержней методом интегральных суперпозиций 16
1.1. Постановка задачи о кручении 16
1.2. Метод интегральных суперпозиций 22
1.2.1. Расчетная схема для односвязной области 22
1.2.2. Расчетная схема для многосвязной области 25
1.3. Метод введения малого параметра 30
1.4. Погрешность метода интегральных суперпозиций 43
Глава 2 Задачи о кручении стержней с выточками 66
2.1. Зависимость погрешности от выбора расчетной схемы 66
2.1.1. Расчетная схема метода интегральных суперпозиций 68
2.1.2. Алгоритм выбора расчетных точек на границе кусочно-гладкой односвязной области с выпуклыми и вогнутыми участками 69
2.1.3. Зависимость погрешности от значения угла сопряжения гладких участков границы — 76
2.1.4. Зависимость погрешности от шага дискретизации границы области 78
2.1.5. Сопоставление приближенного и точного решений 81
2.2. Кручение стального круглого стержня с круговой выточкой 84
Глава 3 Применение эффективных расчетных схем с использованием дополнительных разрезов 98
3.1. Введение разреза в области поперечного сечения 98
3.2. Использование свойства симметрии области 109
Заключение 116
Литература 118
- Расчетная схема для односвязной области
- Погрешность метода интегральных суперпозиций
- Алгоритм выбора расчетных точек на границе кусочно-гладкой односвязной области с выпуклыми и вогнутыми участками
- Использование свойства симметрии области
Введение к работе
Актуальность темы. На современном этапе развития различных отраслей промышленности при разработке новых технологий возникают все большие потребности в рассмотрении прикладных задач теории упругости, а также совершенствовании математического аппарата для их решения.
В истории развития методов решения краевых задач теории упругости можно выделить несколько этапов. Первый этап характеризуется использованием точных аналитических методов. Начавшись с основополагающих работ Фурье и Д'Аламбера он продлился до середины XX века. В этот период с помощью метода разделения переменных были получены решения ряда дифференциальных уравнений в частных производных для простейших областей — круга, квадрата, эллипса, равностороннего треугольника цилиндра, шара и др. Дальнейшие усилия математиков были направлены на совершенствование этого и разработку новых аналитических методов. Причем, каждое решение какой-либо новой задачи являлось значительным событием в научных кругах.
Среди многочисленных технических задач, возникающих при конструировании машин и проектировании инженерных сооружений, важное место занимают расчеты их элементов на кручение. Особое значение имеет исследование напряженного состояния валов различной формы (цилиндрических, конических, ступенчатых, с выточками, с полостями и др.), работающих на кручение в упругом режиме. Часто представляет интерес и вопрос о концентрации напряжений в местах резкого изменения формы скручиваемого тела.
Первое исследование по кручению призматических стержней принадлежит Кулону [84], который в мемуаре, изданном в 1787 г. дал теорию кручения круглых призматических стержней. Согласно этой теории, поперечные сечения в круглых стержнях при кручении остаютс5і плоскими
и радиусы не искривляются, поворачиваются только сечения друг относительно друга.
Спустя почти 100 лет после исследований Кулона в 1856 г. вышел в свет знаменитый мемуар Сен-Венана [55], который явился новой вехой на пути дальнейшего развития механики деформируемого тела. В этом мемуар с Сен-Венан дал физические основы и строгую математическую теорию кручения упругих тел. Учитывая, что решение многих задач теории упругости зачастую связано с большими математическими трудностями, Сен-Венан изложил свой «полуобратный метод» решения этих задач. Он получил решения ряда задач, в частности задачи о кручении стержней с равносторонним треугольным, эллиптическим, прямоугольным сечениями.
Впервые метод решения задач теории упругости при помощи функций комплексного переменного использовал Г.В. Колосов. В его работе [31] было дано решение задач о кручении стержня с эллиптическим, прямоугольным и равносторонним треугольным сечением. Дальнейшее развитие метод получил в исследованиях Мусхелишвилли. В его монографии [45] приведены примеры решения задач о кручении сплошных призм с сечениями в виде эпитрохоиды, лемнискаты Бута, петли лемнискаты Бернулли, а также полых призм с многосвязными сечениями в виде двух конфокальных эллипсов и неконцентрических окружностей.
В обширной монографии Арутюняиа [4] изложен метод приведения решения к бесконечным системам линейных уравнений. Приведены примеры решения широкого спектра задач о кручении изотропных призм различных профилей. Так, получены решения для широко применяемых в технике стержней с сечением в виде неравнобокого уголка, тавра, двутавра, швеллера, прямоугольника, «креста», трапеции, треугольника (полигональные сечения). Также рассмотрены задачи о кручении стержней круговых и эллиптических сечений с краевыми зубцами, продольными выточками и полостями различной геометрии. Кроме того, получены решения для стержней прямоугольного сечения с симметричными и несимметричными
прямоугольными полостями.
Появление в середине 1950-х гг. быстродействующих электронно-вычислительных машин определило дальнейшее развитие методов решения задач математической физики. С этого момента начался следующий этап, характеризующийся становлением нового направления в науке — вычислительной математики. В это время началось бурное развитие численных методов, общий принцип которых заключается в дискретизации области решения краевой задачи и использовании определенных упрощений с целью сведения процесса интегрирования дифференциальных уравнений ко множеству элементарных арифметических действий. На основе этих методов к настоящему моменту созданы пакеты прикладных программ для ЭВМ, получившие широкое применение в различных областях науки и техники. Непрерывный рост производительности ЭВМ позволил решать все более сложные задачи, построенные на нелинейных моделях поведения изучаемых объектов.
Например, в современной литературе большое внимание уделяется задачам кручения стержней из анизотропных вязкоупругих и упругопла-стических материалов, как отвечающих реально используемым решениям в технике и строительстве. При рассмотрении таких задач, как правило, используются приближенные методы.
Так, в [22,29,60] излагается метод однородных решений, с помощью которого решены задачи о кручении естественно закрученного стержня, цилиндрической пружины, кругового кольца, цилиндра с винтовой анизотропией.
Широко используются различиные варианты метода малого параметра [34,57,77,82,86-88,96]. Для решения задачи о кручении круглого стержня с глубокой прямоугольной выточкой в [23] применяется метод пограничного слоя. В работе [49] для решения задач о кручении круглого, прямоугольного и L-образного стержня в линейной постановке предлагается аналитический метод граничных состояний.
Метод компенсирующих нагрузок предлагается использовать в [46] для решения задач кручения анизотропных полых стержней с произвольным поперечным сечением. Неклассические интегральные уравнения для уравнения Лапласа, обеспечивающие повышенную точность при численной реализации, применяются б [6, 36] для решения задачи Сеи-Ванана (кручение и Різгиб силой цилиндрического стержня), приводятся примеры решения задачи для круга и кругового кольца. В [30] рассматривается метод декомпозиции, используемый при решении задач о кручении стержня прямоугольного сечения и уголка. В работах китайских ученых изложены результаты расчета на кручение труб овального и полигонального со скругленными углами поперечного сечения [99] и сплошного стержня с прямоугольным сечением, состоящим из набора прямоугольников с различными упругими свойствами [83]. При решении этих задач использовался метод разложения решения по собственным функциям. Вычислительные особенности применения потенциала простого слоя для расчета стержней на кручение приводятся в [38].
Приближенные методы, основанные на теории функции комплексного переменного, применяются в [48,59,98] для расчета на кручение анизотропных, изотропных и ортотропных стержней. В [89,92] изложены методы решения задач о кручении полого стержня с кольцевой поперечной выточкой полукруглого профиля и сплошного стержня с поперечным сечением в виде сектора круга, основанные на применении функций Грина.
Отдельное направление в исследованиях по кручению стержней составляет решение т.н. обратных задач, когда необходимо найти такое сечение стержня, которое бы обладало максимальной жесткостью на кручение при заданных свойствах материала и необходимых элементах сечения (полости, выточки и т.п.). Здесь можно отметить работы российских [33,43] и зарубежных [91,94,95] ученых.
Наибольшее распространение получили различные вариационные методы, среди которых следует особо отметить методы Ритца [28,39,44], Буб-
нова—Галеркина [13,28,62], Треффца [39,44]. Так, в [25,26] используется метод Ритца для решения задачи о кручении растянутых стержней эллиптического и правильного треугольного сечений. С помощью обобщения аналитического метода Треффца в [11,12] численно решаются задачи кручения упругих призматических стержней с поперечными сечениями в виде уголка и рамы, содержащих трещины, а также квадратного сечения с крестообразной полостью. В [97] методом Бубнова—Галеркина строятся решения задачи кручения призматических стержней произвольного поперечного сечения в условиях стесненного кручения. Этот же метод используется в работах [1,3,5,18,37,40] при решении ряда задач о кручении стержней,
В настоящее время самым популярным методом для решения задач механики деформируемого твердого тела является метод конечных элементов (МКЭ). Описанию этого метода посвящена обширная литература (см., например, [24,32, 52, 54, 58]). Так, в [27] МКЭ используется для решения задачи о кручении упругого круглого стержня с прямоугольными выточками, а в [93] — с прямоугольным сплошным поперечным сечением, с прямоугольным полым сечением, разделенным балкой, и с полым сечением, ограниченным синусоидальными кривыми. В [85] МКЭ применяется для исследования влияния полуэллиптической трещины на жесткость при кручении круглого стержня. С помощью МКЭ проводится расчет на кручение стержней с многосвязным [90], L-образным сечениями различных типоразмеров [100], прямоугольным сплошным поперечным сечением и прямоугольным сечением с квадратным отверстием по центру [78].
Из анализа литературы можно сделать вывод, что определенные методы используются для решения некоторого узкого класса краевых задач, в то время как другие являются более универсальными. К первым относятся в первую очередь аналитические и приближенные аналитические методы. В число универсальных методов, приводящих к приближенным решениям краевых задач входят различные численные методы. Все приближенные методы можно объединить в следующие три группы:
Группа методов, обеспечивающих решение, приближенно удовлетворяющее как краевым условиям, так и дифференциальным уравнениям. В эту группу входят методы типа Рейсснера, метод конечных элементов (МКЭ), метод конечных разностей (МКР) [17,35,53];
Группа методов, дающих решение, точно удовлетворяющее краевым условиям и приближенно — дифференциальным уравнениям, к которой относятся методы типа Ритца, метод R-функций [50,51, 61];'
3: Группа методов, предлагающих решение, приближенно удовлетворяющее краевым условиям и точно — дифференциальным уравнениям. Этой группе принадлежат методы типа-Треффца, метод граничных элементов (МГЭ) [2, 7-9], метод фиктивных канонических областей (ФКО) [10,15,16,79].
Повсеместное применение численных методов в полной мере выявило не только их бесспорные преимущества, но и непреодолимые недостатки. К числу последних относится невозможность надежной оценки погрешности расчетных результатов. Решения, получаемые численными методами, представляют собой массивы чисел, о погрешности которых судят по тому, как эти числа изменяются с увеличением количества разбиений заданной области. Обычно считают, что результатам можно доверять, если они перестают изменяться с измельчением сетки. Однако, в [15] на тестовых задачах, решения которых известны, показано, что численные результаты при измельчении сетки могут сходиться вовсе не к решению задачи. Таким образом, перед исследователями встает проблема надежности результатов, получаемых с помощью численных методов.
Выходом из этой ситуации может стать использование аналитических методов. Аналитический вид решения краевой задачи дает возможность надежной оценки его погрешности. Тем не менее, данные методы не обладают универсальностью численных методов и, вследствие этого, плохо поддаются алгоритмизации. По этой причине, несмотря на очевидные преимущества аналитических методов, до сих пор нет практически ни одного
программного комплекса, способного получать решение широкого класса краевых задач в аналитическом виде. Исключением является работа [80], в которой описана созданная автором прикладная программа «Regions», использующая элементы систем искусственного интеллекта, для построения решений кравых задач методом фиктивных канонических областей. С помощью этой программы были получены в явном аналитическом виде приближенные решения ряда краевых задач, в том числе, для одной задачи программа нашла неизвестное ранее точное решение.
В связи с вышесказанным, тема диссертации представляется актуальной, поскольку в работе рассматриваются вопросы применения нового численно-аналитического метода интегральных суперпозиций для решения важного класса прикладных задач. Метод предложен А.Д. Чернышевым и опубликован в центральных журналах [67-76]. В настоящей работе с помощью численных экспериментов проводится анализ погрешности метода интегральных суперпозиций на примере решения новых задач о кручении упругих стержней сложного поперечного сечения, приводятся алгоритмы применения метода и оценки погрешности. Полученные результаты в дальнейшем могут быть использованы при разработке программного комплекса для решения краевых задач в областях сложной формы.
Целью работы является исследование погрешности метода интегральных суперпозиций на примере решения задач о кручении упругих стержней сложного криволинейного сечения.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе были поставлены следующие основные задачи:
сформулировать и научно обосновать применение метода интегральных суперпозиций при решении линейных краевых задач в общем виде для одно- и двусвязных криволинейных областей;
получить оценки погрешности метода и проверить их в ходе числе-ных экспериментов на тестовых задачах с известным точным решением;
разработать алгоритм применения и выбора расчетной схемы ме-
тода для криволинейных областей с гладкой и кусочно-гладкой границей, обеспечивающих минимально возможную погрешность приближенного решения;
найти закономерности и дать рекомендации по применению метода интегральных суперпозиций для решения краевых задач в сложных криволинейных областях с особенностями (угловые точки, выпуклые и вогнутые участки);
рассмотреть эффективность использованных расчетных схем и предложить возможные способы их усовершенствования.
Объект исследования. Процесс нахождения приближенного решения линейных краевых задач.
Предмет исследования. Погрешность нового численно-аналитического метода интегральных суперпозиций.
Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы методы вычислительной математики и моделирования, теории дифференциальных уравнений в частных производных, методы интерполирования функций.
Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, отличающиеся научной новизной:
Показана возможность применения нового численно-аналитического метода интегральных суперпозиций для решения линейных краевых задал в областях сложной криволинейной формы, отличающегося небольшой трудоемкостью и высокой точностью.
Приближенное решение линейной краевой задачи, полученное методом интегральных суперпозиций, имеет явный аналитический вид, точно удовлетворяет дифференциальному уравнению задачи, граничным условиям в расчетных точках, что дает возможность надежной оценки его погрешности.
Полученные аналитические формулы для оценки погрешности метода при решении задач в областях сложной формы позволяют до проведе-
ния расчетов оптимизировать расчетную схему метода с целью повышения точности приближенного решения.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы (теоретические положения, методики решения практических задач) могут быть использованы для приближенного решения линейных краевых задач, а также задач, сводящихся к краевым, для гладких и кусочно-гладких, одно- и многосвязных областей с неоднородными граничными условиями 1-го, 2-го или 3-го рода, а также, если граничные условия заданы разрывно.
На защиту выносятся:
Алгоритмы использования метода интегральных суперпозиций для решения линейных краевых задач в областях сложной криволинейной формы;
Эмпирические оценки точности метода интегральных суперпозиций;
Приближенное решение задачи о кручении упругого круглого стержня с продольной круговой выточкой;
Возможность получения эффективных расчетных схем для кусочно-гладких областей.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационной работы доложены и обсуждены на IV Российской научно-технической конференции «Авиакосмические технологии «АКТ-2003», г. Воронеж, 24-26 сентября 2003 г.; II конференции молодых ученых научной школы академика В.В. Новожилова, г. Санкт-Петербург, 17-18 апреля 2003 г.; Международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики», г. Воронеж, 24-28 мая 2004 г.; V Международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии «АКТ-2004», г. Воронеж, 22-24 сентября 2004 г.; Международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и пррікладной математики», г. Воронеж, 12-17 сентября 2005 г.; XLI, XLII отчетных научных конференциях ВГТА за 2002, 2003 гг., г. Воронеж, 2003, 2004 гг.
Ш Публикации. По теме диссертационной работы опубликованы следу-
ющие работы:
1. Даиыпин, А.А. Метод интегральных суперпозиций в задаче о кру
чении упругого стержня с продольной круговой выточкой // Авиакосми-
I ческие технологии «АКТ-2004» Тр. пятой Междуиар. науч.-техн. конфе-
ренции. - Воронеж: ВГТУ. - 2004. ч.2. - С. 26-32
2. Даньшии, А.А. Погрешность метода интегральных суперпозиций
для областей с кусочно-гладкой границей // Современные проблемы меха
ники и прикладной математики: Сб. трудов международной школы-семи
нара. - Воронеж: ВГУ. - 2004. ч.1, Т.1. - С. 179-182
9 3. Даньшии, А.А. Эффективная расчетная схема метода интеграль-
ных суперпозиций // Современные проблемы механики и прикладной математики: Сб. трудов международной школы-семинара. - Воронеж: ВГУ. -2005. ч.1.-С. 121-126
Чернышов, А.Д. Исследование погрешности метода суперпозиций одномерных решений в задачах теплопроводности / А.Д. Чернышов, А.А. Даньшии // Вестник ВГТУ, серия «Энергетика», -Воронеж. — 2002. вып.7.2. - С. 20-25
Чернышов, А.Д, Влияние неравномерного разбиени5і границы на погрешность в методе суперпозиций / А.Д. Чернышов, А.А. Данынин //
f Авиакосмические технологии «АКТ-2003» Тр. четвертой Российской на-
уч.-техн. конференции. - Воронеж: ВГТУ. — 2003. ч.1. — С. 221-228
Чернышов, А.Д. Применение метода малого параметра в задалах о кручении упругих стержней криволинейного сечения / А.Д. Чернышов, А.А. Даньшии // Нелин. проблемы механики и физики деформируемого тв. тела: Сб. трудов научной школы академика В.В. Новожилова. - СПб: СПбГУ. - 2003. вып.7. - С. 213-222
Чернышов, А.Д. Оценка погрешности метода суперпозиций одномерных решений в нестационарных задачах теплопроводности / А.Д. Чер-
нышов, А.А. Данынин, Н.А. Чернышов // Инженерно—физический жур-
нал. - 2004. Т.77. №4. - С. 27-30
Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 128 страницах, включает 47 рисунков и 9 таблиц; состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 100 наименований.
Во введении приводится обзор литературы, дано обоснование актуальности темы диссертации, формулируются цель и основные задчи, объект и предмет исследования, обосновывается научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приводятся данные по их апробации, список публикаций по теме диссертации и краткое содержание работы.
Первая глава посвящена теоретическому обоснованию метода интегральных суперпозиций. Здесь изложены принципы построения расчетной схемы метода для одно- и двусвязных, гладких и кусочно-гладких областей. Дана теоретическая оценка погрешности метода и приведены примеры решения задач о кручении стержней кругового, правильного треугольного, эллиптического и прямоугольного сечений. Путем сравнения точного и приближенного решения этих задач получена экспериментальная оценка погрешности.
Во второй главе приводится решение задачи о кручении упругого круглого стержня с продольной круговой выточкой. Проанализирована зависимость погрешности приближенного решения от геометрических параметров поперечного сечения стержня и параметров расчетной схемы метода. Сформулирован алгоритм выбора расчетной схемы для подобных областей с особенностями в виде угловых точек, а также выпуклых и вогнутых участков границы. Получены аналитические выражения для определения касательных напряжений и жесткости при кручений. В качестве примера проведен расчет функции напряжений для стального стержня, когда выточка пересекает его сечение под острым углом.
В третьей главе рассматриваются вопросы модификации стандартной расчетной схемы метода интегральных суперпозиций с целью повышения эффективности вычислительного процесса и снижения погрешности полу-
чаемого приближенного решения для сложных криволинейных областей. Для рассмотренного во второй главе сечения стержня предложены более эффективные расчетные схемы, использующие симметричные свойства области и позволяющие одновременно значительно увеличить точность приближенного решения и сократить время вычислений.
В заключении подводятся итоги работы и делаются выводы, подтверждающие новизну исследований.
Расчетная схема для односвязной области
Для решения поставленной задачи о кручении стержня в [73] предложен простой, достаточно универсальный и высокоточный метод интегральных суперпозиций. При изменении 9 в пределах [0,7г) множество верхних точек D+ пересечения прямой Е, проведенной через полюс Го под углом 9 к оси Ох, образует границу Г"1", а множество нижних точек D — границу Г . Граница Г+ отделена от границы Г прямой Е при 0 = 0. Вся граница Г области Гі будет состоять из двух частей Г+ и Г . Если продолжить поворот прямой Е в пределах [7г,2 7г), то граница Г точками D+ и D будет пройдена еще раз, что является излишним.
Для нахождения решения уравнения (1.23) разобьем интервал [0,7г) на мелкие секторы AOj (j = 1,,..,т) и представим интегралы в (1.22) и (1.23) конечными суммами. Пусть разбиение настолько мелкое (т п), что в каждый сектор AOj будет попадать не более одного угла (. При этом заранее неизвестно, в какие секторы A8j попадут углы / из конечной суммы в (1.22) и (1.23). Для преодоления этой неопределенности предположим, что углы 9\ попадут в каждый сектор A9j. Если, допустим, в какой-то сектор не попадут углы 9І ИЗ конечной суммы, то соответствующие коэффициенты С будут равны нулю.
Постоянные Ckj состоят из двух частей. Первые части С (б ) A9j зависят от способа разбиения, а вторые части Сщ не зависят. Данное свойство можно использовать для нахождения коэффициентов С ы и их количества п в суммах выражений (1.22) и (1.23). Если при уменьшении AOj порядок некоторых Ckj не изменится, то соответственные С А существуют, а их количество равно искомому п.
При построении решения не обязательно искать точки пересечения D+ и D прямых Е с границей. Достаточно разбить Г на мелкие участки расчетными точками \ независимо от углов 9j и прямых Е так, чтобы точек разбиения на Г было в два раза больше, чем углов 9j, то есть 2т, и в дальнейшем выполнять граничные условия в этих точках. Поэтому, полагая в (1.24) г — г і є Г, ( = 1,... ,2m).
В (1.25) имеем замкнутую линейную алгебраическую неоднородную систему 2 т уравнений относительно 2 m неизвестных Сщ. Условием существования решения этой системы является неравенство нулю ее определителя Д2т ф О, которое впоследствии будет обосновано.
Из решения системы (1.25) найдем коэффициенты Сщ. Подставляя их в (1.24), получим в явном аналитическом виде приближенное решение рассматриваемой задачи (1.18). Оно точно удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению из (1.18) и граничным условиям в расчетных точках г\ иа Г. Между этими точками граничные условия выполняются приближенно.
Отметим, что рассмотренным подходом можно воспользоваться и для краевой задачи с неоднородными граничными условиями 2-го или 3-го рода, а также, если граничные условия заданы разрывно [67].
Рассмотрим случай, когда криволинейная область П двусвязная, которую условно назовем «кольцом». Граница данной области состоит из внутреннего Гі и внешнего Г2 замкнутых контуров. Оба контура вместе в дальнейшем будем обозначать через Г = Г1 U Г2. С помощью введения вспомогательного разреза представим первоначальное «кольцо» в виде двух «полуколец». Первое «полукольцо» — односвязная область Пі, второе «полукольцо» — односвязная область 0 так, что П = Пі U П2.
Граничные условия выполняются точно в расчетных точках rqi (р — О,1,2) и приближенно во всех промежуточных точках границы Г. По найденному решению для U (х,у) можно аналитически вычислить все величины (тЖ2, ту2, и, и, го, С, в), характеризующие напряженное состояние стержня в любой точке области Г2. что является одним из преимуществ метода интегральных суперпозиций перед конечно-разностными и конечно-элементными методами.
Погрешность метода интегральных суперпозиций
Рассмотрим погрешность SU%, обусловленную заменой интеграла в выражении (1.22) конечной интегральной суммой. Выше было показано, что максимальное значение 5Ua (1.62) погрешности 6U внутри области П для любого малого є определяется функцией вида 6Un{d,2m,e) Cn{d,2m)z2, (1.66) где d — характерный размер области Q, Са — коэффициент, зависящий Б общем случае от формы и размеров области S1, а также от количества расчетных точек 2 т. Для правильной треугольной и эллиптической областей Си при количестве расчетных точек 2га 12 для треугольной области и 2т 20 для эллиптической области не зависит от 2т и равен Со « м -LQ-2.68 и ц(эл) и до-о.в_ Максимальное значение 5с7Гшах (1.63) погрешности 3U на границе Г рассмотренных областей, наоборот, зависит и от величины є, и от числа расчетных точек 2га (см. формулы (1.64) и (1.65)), то есть коэффициент Сг из (1.64) и (1.65) есть функция от d и 2 т.
В общем случае для произвольной области 1 можно считать, что 6Un Е2 (непосредственно следует из аналитической оценки-(1.52)) и Сг = = f(d,2m) (является следствием выполнения граничных условий только в расчетных точках иа границе области). Поэтому погрешность 517% для произвольной области можно оценить, определив для этой области коэффициент Сг- Это достаточно просто сделать, так как полученное с помощью метода интегральных суперпозиций приближенное решение имеет явный аналитический вид и, следовательно, без использования каких-либо аппроксимаций можно определить значение функции в любой точке области П, в том числе и на ее границе Г.
Обратим внимание на полученные из численных экспериментов выражения (1.64) и (1.65) для оценки погрешности 5/Гтах. Если предположить, что для произвольной области 1 параметр є входит в зависимость SU\Fmsx(d,2m,s) как сомножитель в некоторой степени к 0 (что подтверждается в ходе многочисленных экспериментов), то Cv(d,2m) можно найти, исходя из следующих соображений. Пусть параметр є фиксирован и имеет некоторое значение є — є , тогда, изменяя размеры области Q и количество расчетных точек 2 т на ее границе Г, можно отыскать зависимость Зи\Гтак — Cr(d,2m)e . Если взять логарифм от правой и левой частей, получим !g Ігшах = Cr(d, 2т) + к IgE , (1.67) где к \ge = const для данной области и любых d и 2 т. Следовательно, кривые вида (1.67) будут совпадать по форме и отличаться только положением на плоскости. Поэтому, несмотря на то, что при решении задачи о кручении необходимо выбирать є С 1, зависимость CT(d,2m) не изменится и при любом є 1. В частности, можно положить значение є равным единице (такой выбор є позволил существенно сократить вычислительные затраты); в этом случае из.(1.67) следует 5Us=5U\TjDaL(d,2m,l) Cr(d,2m). (1.68)
Поэтому в дальнейшем будем рассматривать зависимость Сг(й,2т), которая при є — 1 совпадает с Ш\т тах и характеризует погрешность 6(1%, обусловленную применением метода интегральных суперпозиций. Очевидно, что при к О и є С 1 выражение (1.68) будет определять верхнюю оценку максимальной погрешности 6U\T max приближенного решения задачи (1.4)-(1.5) на границе области І1
Приведем далее результаты численного решения задачи (1.39) для правильной треугольной, круговой, эллиптической и квадратной областей Q Очевидно, что точность решения (1.56) задачи (1.39) будет зависеть от того, насколько плотно граница Г покрыта расчетными точками. При больших т погрешность 5% решения (1.56) будет сколь угодно малой величиной, однако, в этом случае необходимо решать систему линейных уравнений (1.58) с большим количеством неизвестных. С точки зрения численного счета, решение системы (1.58) эквивалентно вычислению обратной матрицы размера 2 т х 2 т, что при достаточно большом т становится трудноразрешимой задачей даже с применением современной вычислительной техники.
Исходя из способа получения приближенного решения (1.56), можно предположить, что на его точность, кроме количества расчетных точек fi, оказывают влияние еще три фактора; положение полюса го, значения углов 9j и распределение расчетных точек г; по границе Г. Совокупность параметров г], 6j, f$ и 2m в дальнейшем будем называть расчетной схемой. Взаимное расположение расчетных точек будем характеризовать величинами ASJ — длинами дуг между двумя соседними точками. Если ASJ = As = const (7 = 1,.. ., 2m), то такое распределение точек fi назовем равномерным. Если ASJ const, то такое распределение — неравномерное. Соответственно расчетная схема в первом случае — равномерная, во втором — неравномерная. Рассмотрим как влияет каждый из параметров расчетной схемы на погрешность решения (1.56) для указанных выше областей П.
Правильная треугольная область. Расположим правильный треугольник на плоскости, как это показано на рис. 12, зададим углы Oj в соответствии с формулой (1.55), а в качестве полюса выберем центр треугольника го (0, /і/З). Разобьем границу области точками равномерно на 2 т частей
Расположение правильной треугольной области ІІ на плоскости, используемое при получении приближённого решения так, чтобы в углах треугольника обязательно находились расчетные точки. Параметр As при таком разбиении равен \/S (h/m). Построим систему (1.58) и будем решать ее численно при различных значениях гп.
Итак, для правильной треугольной области получена численная оценка (1.69) погрешности 5U\V max, которая для фиксированного разбиения интервала [0, тг) на секторы зависит от двух параметров — числа т лучей Е и расстояния между двумя соседними точками As. Положение полюса 7 не влияет на погрешность, а угол д\ нельзя выбирать равным Д#/2, так как в этом случае система линейных уравнений (1.58) вырождается. Кроме того, если среди лучей Е есть три, перпендикулярные сторонам треугольника, то полученное с помощью приближенного метода интегральных суперпозиций решение задачи (1.39) совпадает с точным. Отметим также, что полностью аналогичные результаты были получены и для задачи (1.40), которые по этой причине здесь не приводятся.
Анализ влияния на погрешность параметров расчетной схемы будем проводить в той же последовательности, что и в предыдущем случае. Покажем, как зависит максимальная погрешность на границе от значений углов 9j. Так как Ав — const, то будем изменять угол By от 0 до А9 и вычислять приближенное решение (1.56) и его погрешность на Г. Результаты расчетов представлены на рис. 16 в виде графика зависимости десятичного логарифма Ш\Т 1ШЦС от значения угла 6\ для а — 2, Ь — 1 и т = 50;При6 і — 0 погрешность сТг тах принимает минимальное значение порядка 10 82. С увеличением значения угла в\ точность решения (1.56) на границе области снижается, причем это изменение происходит в основном в малых окрестностях точек 8± — 0 и 9\ = А9(2. Заметим, что для эллиптической области, в отличие от правильной треугольной, вырождения системы (1.58) при 9\ = А9/2 не происходит.
Алгоритм выбора расчетных точек на границе кусочно-гладкой односвязной области с выпуклыми и вогнутыми участками
Пусть граница Г области Г2 состоит из р гладких участков. Обозначим эти участки через Г7; (г = 1,... , р), а количество точек на каждом из этих участков — через 2ггц. Будем разбивать участки Г\ на мелкие части расчетными точками так, что длины дуг между двумя соседними точками на различных 1\ постоянны, то есть As\ = consti, As% = consti,..., Asp = = constp. Это означает, что каждый гладкий участок Г; будет покрыт расчетными точками равномерно, а разбиение границы Г области в целом будет неравномерным. Единственным пока дополнительным требованием к размещению расчетных точек является их обязательное расположение во всех угловых точках границы.
Как пример, подтверждающий неэффективность сквозного равномерного разбиения для подобных областей, приведем результат расчета приближенного решения (1.56) задачи (1.39) и его погрешности на границе Г для Asi & As2 10 2. Графики распределения погрешности по границе области Q приведены на рис. 26. Ясно, что такое разбиение неприемлимо, так как в этом случае получаем 5U\r max pa 1.8673х 1023, поэтому попытаемся найти расчетную схему, оптимальную в смысле минимума погрешности на границе.
Поэтому можно предположить, что при достаточно больших К погрешность 5LVJP2 шах будет мало отличаться от нуля, а величина 5U\r max ограничена снизу некоторым малым числом, всегда отличным от нуля. То есть, существует некоторое «пороговое» значение К — ІГП, при котором для фиксированных значений параметров Ri, Л2, 7 и 2 mi дальнейшее увеличение числа расчетных точек 2?П2 на внешнем участке границы Г 2 не приведет к существенному увеличению точности приближенного решения (1.56) на вырезе Г\.
В точке 5 максимальные погрешности на Г і и Гг равны и при К К погрешность 5U\r тах становится больше 5U\V max. Как показали исследования, положение этой точки существенно зависит от значения угла 7- Поэтому далее будем использовать значение К$ в качестве величины, характеризующей зависимость погрешности от у. Кроме того, при К — К$. можно рассматривать одну погрешность УГтах = 5U\T max = U\To max вместо двух на Г і и Гг, что более удобно для последующего анализа. Для координат точки 5 введем обозначения (К , $Щгтах) которыми и будем пользоваться в дальнейшем.
Рассмотрим теперь, как изменяется погрешность в зависимости от геометрических характеристик области Ї7. В принятом в настоящей главе способе изменения угла 7, радиус / и ордината точки А остаются постоянными, а радиус выреза Лі и угол j — переменные величины. .Логично предположить, что с уменьшением значения 7 погрешность в окрестности точек А и В будет возрастать.
На участке Г2 подобное поведение погрешности можно объяснить только изменением угла 7. Чтобы прояснить данное утверждение на рис. 29 пунктиром проведена изолиния As2 = const. Эта линия показывает, как изменялась бы погрешность 6U\r тах, если участок границы Гг и количество расчетных точек 2т-2 на нем были бы постоянными, а менялось только положение и размер выточки Гі (или, что то же самое, изменялся бы только угол 7) при фиксированном 2 ті. Видно, что с уменьшением j погрешность 5U\r max возрастает.
Использование свойства симметрии области
Рассмотрим еще одну эффективную расчетную схему, пригодную для построения приближенного решения линейной краевой задачи в симметричной области П. В этом случае предложенную выше расчетную схему можно упростить.
Чтобы найти приближенные решения задач (3.15) и (3.16) воспользуемся методом интегральных суперпозиций. Будем искать функцию U (ж, у) в виде (1.56), а функцию У (ж, у) — в виде (1.57). Тогда для нахождешт неизвестных коэффициентов Aj,. Bj и Cj, Dj, входящих в (1.56) и (1.57) необходимо выполнить соответствующие граничные условия из (3.15) и (3.16). С этой целью зададим расчетную схему метода интегральных суперпозиций, аналогичную рассмотренной в предыдущем параграфе. То есть, выберем в качестве полюса г о начало координат, а углы 9j определим по формуле (1.55), причем угол в\ положим равным Д0/1О. Количество лучей m должно быть связано с общим числом расчетных точек соотношением 2т = ті + гїі2 + niQ. Часть границы выточки Г[ разобьем расчетными точками с радиус-векторами гц равномерно на mi = 10 частей, а часть внешнего участка границы Г разобьем расчетными точками с радиус-векторами г21 тоже равномерно, но на 77 = 148 частей. На разрезе Г0 зададим то = 82 расчетных точек с радиус-векторами гог, равномерно по-крывающих данный участок границы.
Таким образом, в (3.17) имеем (mi + m2 + mQ) уравнений относительно 2 т- неизвестных Л, и Bj (j — 1,..., m). Аналогично, в (3.18) имеем (mi + 7?i2 + mo) уравнений относительно 2 т неизвестных Cj и Dj (j = — 1,... ,m). Решив данные системы уравнений, найдем неизвестные коэффициенты, подставив которые в (1.56) и (1.57), будем иметь выражения для U (х,у) и V 1) (ж, у) в явном аналитическом виде. Эти функции являются приближенными решениями задач (3.15) и (3.16) для области Г2Ь Они точно удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям из (3.15) и (3.16). Граничные условия из (3.15) и (3.16) выполняются точно в расчетных точках и приближенно во всех промежуточных точках границы области П2: Г U Г U Г0.
Как и в предыдущих случаях зададим малый параметр є — 10 4 и определим приближенное решение Uo(x,y) задачи (1.4)-(1.5) с учетом (3.14) как полусумму решений U (х,у) и V (х,у) задач (3.15) и (3.16) в следующем виде: if (JV (х, у) + V (х, у), (х, у) Є Пг, (Уо (х,у) = - (1)( ) + (1)( -1,), (а:,ї/)Є . (3.19)
Найдем приближенные решения б"(1) (ж, у) и К (ж,з/) в среде Matematica 5.0 при заданных параметрах и расчетной схеме. Для этого сформируем две системы линейных уравнений: (3.17) для задачи (3.15) и (3.18) для задачи (3.16) и решим полученные системы численно. В результате найдем коэффициенты Aj, Bj и Су, Dj, подставив которые в (1.56) и (1.57), соответственно, получим выражения для приближенных решений U (х,у) и V 1) (х,у) в явном аналитическом виде, а из (3.19) — приближенное решение задачи (1.4)-(1.5) для всей области Q.
Для оценки эффективности рассматриваемого подхода по сравнению с использованием для расчетов полной схемы без введения разреза Го и учета свойств симметрии в табл. 9 приведены результаты численных экспериментов для этих расчетных схем, а также время, затраченное при вычислениях на ЭВМ Athlon 64 3000+ для различного количества расчетных точек.
Таким образом, в настоящей главе рассмотрены варианты повышения эффективности расчетной схемы метода интегральных суперпозиций при решении задачи (1.4)-(1.5) в области Г2 поперечного сечения стержня. Показано, что нахождения решения в виде (3.10) без учета симметричных свойств области Q и функции Щ(х,у) в этой области необходимо решить численно две системы линейных алгебраических уравнений с 2 (mi + т + +тпо) неизвестными в каждой. Чтобы найти приближенное решение в виде (3.19) также следует решить численно две системы, но с вдвое меньшим числом неизвестных (mi +т,2 +іщ). При этом точность полученного приближенного решения остается примерно одинаковой: для mi = 10, гаї — — 148 и mo = 82 максимальное значение погрешности функции напряжений SU\r шах 5 х 10 6, а касательного напряжения max (ST) « 1.3 х 10 3, что вполне достаточно для инженерных расчетов.
