Вихревые методы исследования нестационарных течений вязкой несжимаемой жидко-сти Дынникова, Галина Яковлевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Представление нестационарных гидродинамических полей и сил, действующих на тела, через характеристики эволюции вихревого поля 19

1.1. Эволюция вихревых полей, основные кинематические соотношения 20

1.1.1. Изолированные вихревые нити, поверхностное и объемное распределения вихрей 20

1.1.2. Выражение скорости жидкости через завихренность при наличии произвольно движущихся тел и внешних границ области течения 25

1.1.3. Понятие движения вихрей 27

1.1.4. Движение вихрей в вязкой жидкости 29

1.1.5. Представление занятых телами областей виртуально движущимися вихрями : 35

1.2.Выражение давления через характеристики вихревого поля 40

1.3.Некоторые теоремы о потоках завихренности через контур и

обобщение теоремы Жуковского «в малом» 55

1 АКасательные напряжения на обтекаемых поверхностях 57

1.5.Силы, действующие на тело при его произвольном движении 61

1.6.Момент силы 69

Глава 2. Метод вязких вихревых доменов (ВВД) 76

2.1.Общая схема метода 76

2.2.Математическая модель 78

2.3.Аппроксимация уравнений 83

2.4. Численные схемы при решении различных типов задач

2.4.1. Деформируемая поверхность в идеальной жидкости 88

2.4.2. Деформируемая поверхность в вязкой жидкости 95

2.4.3. Поступательное движение твердых тел 99

2.4.4. Произвольное движение тела 105

2.4.5. Обтекание тел при наличии вдува и отсоса жидкости на поверхности 117

2.5.Использование быстрого алгоритма решения задачи N тел для повышения производительности вычислительных кодов 118

Глава 3. Примеры решения задач методом ВВД 125

3.1.Продольное обтекание пластины 126

3.2.Поперечное обтекание кругового цилиндра при Re 10J 128

3.3. Обтекание цилиндра при высоких значениях числа Re (эффект кризиса сопротивления) 137

3.4.Аэродинамические нагрузки на колеблющийся крыловой профиль 143

3.5.Неустойчивость «уловленного вихря» 149

З.б.Взаимодействие вихревого кольца с плоским экраном 152

3.7.Обтекание цилиндра, совершающего высокочастотные угловые колебания вокруг своей оси 155

3.8.Моделирование самодвижения квази-биологических объектов в жидкости 168

Глава 4. Метод вязких вихревых и тепловых доменов (ВВТД) 180

4.1.Общая схема метода, интегральное представление диффузионной скорости для решения уравнения теплопроводности в лагранжевых координатах 182

4.2. Способы удовлетворения граничным условиям на обтекаемых поверхностях 185 4.3.Тестирование метода ВВТД на примере решения задачи о теплоотдаче цилиндра в поперечном потоке несжимаемой жидкости 187

4.4.Обобщение метода ВВТД для задач свободной конвекции 192

4.5.Примеры решения некоторых задач свободной конвекции методом ВВТД 195

4.6.Анализ устойчивости численной схемы в методах ВВД и ВВТД 204

4.7.Исследование схемной вязкости в методах ВВД и ВВТД 214

Глава 5. Метод дипольных доменов как перспектива моделирования трехмерных течений вязкой несжимаемой жидкости 223

5.1.Плотность диполей. Эволюция распределения диполей в вязкой несжимаемой жидкости 225

5.2.Численная схема решения уравнения эволюции плотности диполей в лагранжевых координатах 228

5.3.0 сохранении гидродинамических инвариантов в численной схеме 233

5.4.Пример применения метода дипольных доменов в задаче движения вихревых колец 235

Заключение 242

Литература

• Изолированные вихревые нити, поверхностное и объемное распределения вихрей
• Численные схемы при решении различных типов задач
• Обтекание цилиндра при высоких значениях числа Re (эффект кризиса сопротивления)
• Способы удовлетворения граничным условиям на обтекаемых поверхностях

Введение к работе

Актуальность темы диссертации.

Важнейшими задачами аэрогидродинамики является исследование силового воздействия жидкости на движущиеся в ней или омываемые ею тела и поиск способов управления этим воздействием. Известно, что существует тесная связь между вихревой структурой течения и силами, действующими на тела. В связи с этим исследование механизмов вихреобразования и динамики вихрей является актуальным. Для исследования вихревых течений наиболее органичным является использование методов, в основе которых лежит моделирование вихревого поля течения. Среди таких методов особо привлекательными являются бессеточные вихревые методы. Их преимущества состоят в отсутствии необходимости построения сеток, что особенно актуально при расчете сложного движения и изменения формы обтекаемых тел, а также при решении сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил.

Сопряженные постановки задач важны при моделировании явлений авторотации, аэроупругости, аэродинамики высокоманевренных летательных аппаратов, ветродвигателей и иных устройств типа маятников, флюгеров, вертушек, при анализе машущего полета, устойчивости парашютных систем, отыскании способов предотвращения штопора летательных аппаратов и во многих других случаях.

Исследование процессов вихреобразования представляет интерес также в задачах термогидравлики, так как эти процессы, с одной стороны, интенсифицируют теплообмен, а с другой стороны, увеличивают гидравлическое сопротивление теплообменников. Необходимость опережающего повышения скорости теплообмена по сравнению с увеличением сопротивления обуславливает актуальность исследований в этой области и разработки эффективных методов расчета нестационарных течений теплопроводящей жидкости.

Отрывные течения описанных классов в большинстве представляющих практический интерес случаев характеризуются наличием вихревых структур широкого спектра пространственных и временных масштабов. Для расчета таких течений требуются методы либо учитывающие мелкомасштабные пульсации статистически (модели турбулентности), либо позволяющие проводить расчеты на основе уравнений движения жидкости с высокой степенью разрешения (прямое численное моделирование DNS), либо сочетающие оба эти подхода: large eddy simulation (LES), detached eddy simulation (DES). В настоящее время не существует универсальной модели турбулентности, пригодной для любых типов задач, поэтому повышение степени разрешения при расчете течений на основе прямого численного моделирования является актуальным. Развитие бессеточных вихревых методов в этом отношении представляется перспективным, так как эти методы позволяют сосредоточить вычислительные ресурсы в тех областях течения, где это необходимо, достигая там высокой степени разрешения.

Целью диссертации является:

Разработка и реализация в виде комплексов программ эффективных экономичных методов моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости для проведения исследований нестационарных гидродинамических нагрузок на тела, совершающие произвольное движение, включая изменение формы, для решения сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил, для исследований теплоотдачи нагретых поверхностей и ее связи с процессами вихреобразования.

Научная новизна работы.

1. Выведены новые, адаптированные для применения в вихревых лагран- жевых методах, интегральные представления давления в поле течения, сил и моментов, действующих на тела при их произвольном движении в вязкой жидкости, включая изменение формы, при различных граничных условиях (прилипание, скольжение, вдув и отсос жидкости на поверхности), через характеристики вихревого поля.

2. Разработаны новые алгоритм и программа расчета на ЭВМ двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости в лагранжевых координатах (метод «вязких вихревых доменов» ВВД) на основе уравнений Навье-Стокса.

3. На основе метода ВВД и полученных в работе выражений сил и моментов разработан новый метод решения сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил, основанный на объединении уравнений движения тела и жидкости в единую систему, не требующую расщепления процесса на гидродинамическую и динамическую части и проведения итераций.

4. Построена новая математическая модель свободной конвекции на основе приближения Буссинеска. Разработаны новые алгоритм и программа расчета нестационарных течений вязкой теплопроводной жидкости «метод вязких вихревых и тепловых доменов» (ВВТД) решения уравнений Навье - Стокса и теплопроводности в лагранжевых координатах.

5. Построена новая математическая модель трехмерных нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости на основе дипольного представления завихренности и разработаны основы нового численного метода «дипольных доменов».

Метод исследований. В диссертации применяются аналитические и численные методы исследований. С помощью аналитических методов исследования получены формулы, связывающие эволюцию вихревого поля с силовыми характеристиками течения. Численные методы использованы при разработке программ расчета течений.

Достоверность полученных результатов. Достоверность рассмотренных математических моделей, методов, алгоритмов и численных расчетов обоснована и подтверждена: (а) сравнениями с результатами аналитических решений тестовых задач; (б) сравнением с экспериментальными данными и результатами расчетов других авторов для аналогичных задач в некоторых частных случаях; (в) феноменологической проверкой.

Достоверность аналитических результатов подтверждается строгостью применения математического аппарата и переходом полученных формул в общеизвестные для частных случаев.

Практическая значимость результатов.

Разработанные алгоритмы и программы расчета течений вязкой несжимаемой жидкости на основе уравнений Навье-Стокса являются эффективными и экономичными инструментами проведения научных исследований отрывного обтекания произвольно движущихся тел, расчета нестационарных гидродинамических нагрузок на тела и нестационарного теплообмена. Благодаря полученным в работе выражениям, связывающим действующие на тела силы с характеристиками вихревого поля, уравнения движения тел объединены с гидродинамическими уравнениями в единую систему, что существенно расширяет возможности решения сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил.

5. 1. Разработанные алгоритмы и программы систематически использовались при проведения научных исследований, выполненных в рамках реализации грантов РФФИ № 01-01-00595-а «Множественный гистерезис пространственных отрывных течений, суммарных и распределенных нестационарных аэродинамических нагрузок», № 02-01-00670-а «Расчет и профилирование плохообтекаемых тел и каналов с аэродинамическим управлением», №04-01-00554-а «Исследование влияния нестационарных вихревых процессов на аэродинамические силы и моменты при отрывном обтекании несжимаемой жидкостью подвижных тел и проницаемых экранов», № 06-08-01217-а «Исследование механизмов преобразования энергии потока в ветроустановках волнового типа», № 08-01-12046-офи «Оптимальные решения для перспективных конструкций подводных газонефтепроводов, находящихся в турбулентном поперечном потоке жидкости», № 09-08-01190-а «Исследование вихревых механизмов формирования термогидравлических свойств поверхностных впадин и выступов».

   2. Результаты диссертационных исследований внедрены в практику работ лаборатории аэромеханики и волновой динамики НИИ механики МГУ, использованы в научно-исследовательской работе кафедрой «Аэрокосмические системы» МГТУ им. Баумана, а также кафедрой «высшей математики» Военно-воздушной академии им. Н.Е.Жуковского и Ю.А. Гагарина.

   3. Произведена регистрация программных средств в Реестре программ для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007612503 «Ротор» (авторы: Григоренко Д.А., Андронов П.Р., Гирча А.И. Гувернюк С.В., Дынникова Г.Я.); Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010616504 «VVHDFlow» (авторы: Дынников Я.А., Малахова Т.В., Сыроватский Д.А., Гувернюк С.В., Дынникова Г.Я.).

   Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях: IV European Conference on Computational Mechaics, Paris, May 16 - 21 2010, The International Conference on Vortex Methods 2010, Nov. 8-10, 2010 San Leucio (CE) Italy, Taiwan - Russian Bilateral Symposium on Problems in Advanced Mechanics. Москва, сент. 2010 г., IX - XIV Международных симпозиумах «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Орел, 2000г., Херсон, 2001, 2003, 2005, 2007, 2009гг.), «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (2004, 2006 гг.), V, VIII, X Международных школах-семинарах «Модели и методы аэродинамики», (г. Евпатория, 2005, 2008гг.), Международной конференции «Фундаментальные исследования в аэрокосмической науке» (Жуковский, Россия, ЦАГИ, 1994 г), XII - XV школах-семинарах «Современные проблемы аэрогидродинамики», (г. Туапсе, «Буревестник» МГУ 2004, 2005, 2006, 2007гг.), IV Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, МЭИ, 2006), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. (Нижний Новгород, 2006г.), XVII школе-семинаре ЦАГИ «Аэродинамика летательных аппаратов» (2007г.), научных конференциях "Ломоносовские чтения" (г. Москва, МГУ, 2003 - 2010гг.), на семинаре НИИ Механики МГУ (Москва, 2007, 2008гг., руководитель академик РАН Г.Г. Черный), на семинаре кафедры волновой и газовой динамики МГУ им. М.В. Ломоносова (2010г.), на семинаре ЦАГИ по фундаментальным проблемам аэродинамики (2010г.), на семинаре кафедры гидромеханики МГУ им. М.В. Ломоносова (2011г., руководитель академик РАН А.Г. Куликовский), на Международном авиационно-космическом научно-гуманитарном семинаре им. С.М. Белоцер- ковского (2006, 2008, 2010, 2011гг.)

   Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 54-х работах [1-54], среди которых одна монография и 16 статей в журналах из списка ВАК.

   На защиту выносятся:

   1. Результаты аналитических исследований взаимосвязи силовых характеристик течения с эволюцией поля завихренности, формулы для вычисления давления, сил и моментов, ориентированные на использование в численных вихревых методах, в частности, обобщение формулы Коши-Лагранжа на случай вихревых течений вязкой жидкости в неодносвязных областях.

   2. Численный метод решения двумерных нестационарных уравнений Навье- Стокса вязкой несжимаемой жидкости в лагранжевых координатах (метод «вязких вихревых доменов»).

   3. Метод решения сопряженных задач аэродинамики и динамики тел, движущихся под действием аэродинамических сил.

   4. Метод расчета нестационарных течений вязкой теплопроводящей несжимаемой жидкости с учетом свободной конвекции в лагранжевых координатах (метод «вязких вихревых и тепловых доменов»).

   5. Теоретические основы бессеточного метода расчета трехмерных течений вязкой несжимаемой жидкости на основе дипольного представления завихренности.

   Все результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно.

   Структура и объем. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы 269 стр. Список литературы содержит 237 наименований.

   Изолированные вихревые нити, поверхностное и объемное распределения вихрей

   В гидродинамике рассматриваются циркуляционные течения с объемным, поверхностным и сингулярным распределениями вихрей. Объемное распределение вихря О есть ротор вектора скорости V, G = V х V. Поверхностное распределение имеет место на поверхностях разрыва вектора скорости и характеризуется плотностью циркуляции У = (V+ - V_ ) х n+, где V+,V. - скорости на разных сторонах поверхности, п+ внешняя нормаль по отношению к стороне с индексом «+».

   Сингулярным распределением является такое, при котором циркуляция скорости оказывается конечной по бесконечно малым контурам, охватывающим некоторую линию в пространстве. Такая линия называется изолированной вихревой нитью, а циркуляция вектора скорости вокруг нее Г - интенсивностью вихревой линии. Размерности величин О у и Г соответственно равны с-1, м с-1, и м2 с-1. Рассмотрим в трехмерном пространстве тонкий вихревой слой, на двух сторонах которого нормальные составляющие скорости равны, а тангенциальные различны, при этом производная скорости поперек слоя много больше производных в плоскости слоя. Выберем систему координат, с началом на нижней поверхности слоя и осью Z, направленной поперек слоя. Проинтегрируем завихренность Q, вдоль этой оси по толщине слоя. Так как производные по X и Y малы по сравнению с производными по Z, получим

   Равенству (1.1.1) можно дать геометрическую интерпретацию. Для этого рассмотрим вначале случай, когда его левая часть равна нулю (а это возможно, либо, когда векторные линии поля П параллельны поверхности, либо, когда его нормальные составляющие непрерывны), тогда дивергенция Vs у = 0, следовательно, в этом случае поле у соленоидально на поверхности. Теперь рассмотрим один из простейших случаев, когда левая часть (1.1.1) не равна нулю, а именно, векторное поле V в верхней полуплоскости неограниченного пространства соответствует изолированной вихревой нити, единичной интенсивности Г = -е , а в нижней полуплоскости V = 0.

   Векторные линии поля у представляют собой лучи, выходящие из начала координат. Циркуляция плоской вихревой трубки (пространства между двумя лучами) равна ДГ = ГфА/ = VrsД(р = Дф/2л;. Интегральная интенсивность всех плоских вихревых трубок равна единице, т.е. совпадает с интенсивностью изолированной нити. Поэтому можно сказать, что вихревая нить переходит в плоские вихревые трубки (см. рис. 1.1).

   Аналогичная картина имеет место в случае, когда на поверхности оканчивается вихревая трубка с объемным распределением Q. Интеграл от нормальной составляющей Q по площадке, пересекающей трубку, равен циркуляции трубки ДГ = J Q+n+ds. Эта величина положительна, если вектор Q, направлен к поверхности (входящая трубка), и отрицательна в противоположном случае (выходящая трубка). С другой стороны эта же величина равна интегралу jVsy+ds = ncy+dl, (1.1.2) s.S С где nc - внешняя по отношению к As нормаль к контуру, лежащая на поверхности. Таким образом, получаем, что вихревая трубка, оканчивающаяся на поверхности, переходит в плоские вихревые трубки той же суммарной циркуляции.

   Нетрудно показать, что суммарная интенсивность вихревых трубок, пересекающих или оканчивающихся на замкнутой поверхности, равна нулю [49].

   Рассмотрим замкнутую поверхность, вне которой определено векторное поле V. Суммарная интенсивность вихревых трубок, опирающихся на эту поверхность, равна интегралу по всей поверхности n+ds. Согласно полученным выше соотношениям он равен frsy+ds. s s

   Проведем на поверхности замкнутый контур, разбивающий ее на две незамкнутые поверхности Si и S2. Используя (1.1.2) и учитывая, что внешние нормали к контуру nCji и пс,2 Для этих поверхностей отличаются только знаком, получим, что сумма двух интегралов равна нулю.

   Отсюда следует, что суммарная циркуляция Г вихревых трубок, оканчивающихся на замкнутой поверхности, равна нулю или, что то же самое, суммарная циркуляция входящих в замкнутую поверхность вихревых трубок равна суммарной циркуляции выходящих трубок. Здесь доказательство записано только для непрерывного поля V, но оно легко обобщается на случай наличия поверхностей разрыва и изолированных вихревых нитей, пересекающих поверхность S. Данное кинематическое соотношение, справедливое для любого векторного поля, имеет важное практическое значение, так как из него следует, в частности, что невозможно уменьшить циркуляцию концевых вихрей, сходящих с крыла, не уменьшив циркуляцию вокруг крыла, а, следовательно, и его подъемную силу.

   Если область течения имеет внешние границы или содержит обтекаемые тела, то поле скорости может быть произвольным образом доопределено до безграничного пространства, например, приравниванием скорости к нулю вне области течения, а в области, занятой телом, — скорости его движения. При этом в общем случае появляются поверхности разрыва скорости. Разрыв тангенциальной составляющей скорости интерпретируется как поверхностная завихренность у , а разрыв нормальной составляющей как поверхность с распределенными источниками qs =(У_ - V+)n+, (п+ нормаль к S, внешняя по отношению к области «+»). При моделировании тела, совершающего вращательное или деформационное движение, скорость-гипотетического течения внутри1 него может иметь объемную или сингулярную завихренность ( Г,-), а также объемное ( qb ) или точечное ( Q{) распределение источников. В этом случае в формулу Био - Савара должны быть добавлены интегралы по поверхностям разрыва и сингулярным особенностям. Запишем ее в виде

   Численные схемы при решении различных типов задач

   Условие непротекания записывается либо в контрольных точках, либо в виде интегралов по отрезкам так же, как и при обтекании идеальной жидкостью. И так же, как при моделировании обтекания тела идеальной жидкостью, вводится дополнительный неизвестный источник для регуляризации системы уравнений (при записи условия непротекания в контрольных точках), либо одно из уравнений отбрасывается (при интегральной формулировке).

   После того, как циркуляции новых вихрей найдены, вычисляются индуцированные и диффузионные скорости всех вихрей по формулам, приведенным в разделе 5 главы 1. Далее вихри перемещаются в соответствие с вычисленной скоростью. Отдельные свободные вихри могут пересекать поверхность. Такие вихри должны быть удалены, при этом необходимо «запомнить» циркуляции и координаты (после перемещения) удаленных вихрей, так как эта информация будет нужна при вычислении сил, действующих на тело.

   Давление в произвольной точке R может быть вычислено по формуле (2.4.12). А также может быть использована формула (1.2.15), которая в данном случае имеет вид

   Здесь u.- скорость движения z -го свободного вихря, равная сумме диффузионной и индуцированной скоростей. Все остальные обозначения те же, что и в (2.4.17). Если вихри не удалялись, а перемещались по принципу отражения или иному закону, в выражение должна быть добавлена сумма

   Величина 5/ представляет собой сумму циркуляции рожденных и удаленных (с обратным знаком) вблизи 1-ого узла вихрей.

   Наличие константы в правой части связано с тем, что давление во внутренней области может быть определено неоднозначно (с точностью до константы). Также выбор начальной точки нумерации узлов может быть произвольным, что влияет только на величину этой константы. Поскольку при поступательном движении тела давление с внутренней стороны к-ото отрезка равно рк_ =-{ubrk) + const, давление в жидкости на поверхности тела выражается формулой

   Гидродинамическая сила, действующая на твердое тело, при его поступательном движении со скоростью u 6 может быть вычислена по формулам (1.5.7) и (1.5.18):

   В отличие от случая бесконечно тонкой поверхности здесь присутствует член, связанный с ускорением тела. Индексы j относятся к вихрям, удаленным при пересечении контура, г, - положение вихря в момент удаления (после пересечения контура). Сила трения Fw определяется выражением (2.4.14).

   Формула для момента сил относительно точки гс для твердого тела, совершающего поступательное движение со скоростью и ь, согласно (1.6.8) и (1.6.17), имеет вид:

   Здесь Mi,, - момент сил трения, определяемый выражением (2.4.16); Постановка сопряженной1 задачи аналогична случаю обтекания поступательно движущегося; тела\ В; идеальной жидкости. Дискретные уравнения, обладающие свойствомконсервативности, имеют вид

   Уравнения; выражающие условия непротекания, вместе с уравнением сохранения циркуляции (2.4.2) и(2.427) образуют систему, которая является линейной относительно неизвестных величин Yk и иь. 2.4.4 Произвольное движение тела

   При моделировании вращательного или деформационного движения тела гипотетическая жидкость в области, занятой телом, не может быть покоящейся или движущейся с постоянной во всей области скоростью. Так как внепшее течение не зависит от внутреннего, последнее может моделироваться разнообразными способами. Рассмотрим некоторые из них.

   Задана скорость щ движения точек тела, включая поверхность (скачок скорости с внутренней стороны поверхности отсутствует)

   Примером может быть случай вращающегося твердого тела, когда во внутренней области скорость задана формулой иь (г) - ис + со х (г - гс). Поле lb = V x ub считается присоединенной завихренностью внутри тела. Если при этом Vub Ф 0, то поле qb = Vu6 считается плотностью источников внутри тела. Присоединенная завихренность на поверхности тела (или свободная завихренность, образовавшаяся вблизи контура за время очередного шага по времени) определяется из условия непротекания. Очевидно, что скорость V, индуцированная всей совокупностью вихрей и источников при выполнении условия непротекания совпадает внутри области тела с иь. Это следует из единственности функции с заданным распределением ротора и дивергенции при заданной нормальной составляющей на поверхности.

   При вычислении скорости движения вихрей, должна учитываться скорость, индуцированная всей совокупностью вихрей и источников, включая находящиеся внутри тела. В общем случае это требует интегрирования по области тела.- Однако в случае поступательно-вращательного движения тела неизменной формы интегралы по площади в области тела могут быть преобразованы в контурные, что существенно упрощает вычисления.

   Обтекание цилиндра при высоких значениях числа Re (эффект кризиса сопротивления)

   Как известно, при обтекании неподвижного кругового цилиндра однородным потоком вязкой несжимаемой жидкости в диапазоне, чисел Рейнольдса. Re = DFOT/v от 60 до 300? след имеет регулярный вид дорожки Кармана с частотой колебаний /0=ShVa/D, где D=2a — диаметр цилиндра;-Sh - число Струхаля, зависящее от Re. В экспериментах [224] изучалось влияние частоты, / и амплитуды в0 вынужденных вращательных колебаний цилиндра на структуру обтекания при Re = 30 300, при этом амплитуда угловых отклонений 9(/) = 6 0sin(27r/"0 варьировалась в диапазоне О 0О 90, а относительная частота,вынужденных колебаний f/f0 достигала 20 и более единиц; Именно при такой высокой частоте колебаний в экспериментах [224] наблюдалось прекращение колебаний следа, а картина течения приобретала вид безотрывного обтекания цилиндра идеальной- жидкостью. В других экспериментальных [227], [226], [176] и в многочисленных расчетных работах, например [133], [151], [236], параметр n = f/f0 не превышал 5 единиц. В них основное внимание уделялось другому интересному эффекту, связанному с, так называемым, захватом частоты, когда в окрестности f f0 колебания следа синхронизируются с вынужденными колебаниями при сопутствующем резком росте среднего сопротивления цилиндра. В теоретической работе [95] рассмотрено влияние высокой частоты угловых колебаний цилиндра на структуру нестационарного пограничного слоя, однако при этом вне пограничного слоя на цилиндре априори постулировались стационарные распределения скорости и давления, соответствующие идеальному безотрывному обтеканию цилиндра. Таким образом, обнаруженный в экспериментах [224] эффект стабилизации следа за цилиндром при высокочастотных колебаниях долгое временя не был воспроизведен и исследован численно (комментарии по этому поводу приводятся в [234]).

   Отсутствие опубликованных сведений о численном моделировании эксперимента [224] может быть связано с трудностями расчета течений, требующих высокого1 разрешения пространственной и временной структуры пограничного слоя. В частности, причиной может быть неустойчивость численных схем, присущая, многим методам при решении задач с достаточно высоким значением местного- числа Re, а также представления о недостаточной практической значимости эффекта стабилизации при столь высокой, как в опытах [224], частоте вынужденных колебаний цилиндра. Тем не менее, численное воспроизведение данного эффекта представляет интерес, как для понимания физической причины явления, так и для проверки возможностей численных методов.

   Постановка задачи. До начального момента времени t = О круговой цилиндр покоится в неограниченном пространстве неподвижной вязкой несжимаемой жидкости. При t О цилиндр движется таким-образом, что его ось симметрии перемещается с постоянной скоростью (в перпендикулярном к оси направлении), а его поверхность совершает гармонические угловые колебания относительно оси симметрии с заданной частотой и амплитудой. Число Рейнольдса, вычисленное по скорости движения оси цилиндра и его диаметру, равно Re= 111, это значение выбрано как базовое для сравнения с результатами работы [224]. Возмущенное цилиндром течение жидкости описывается нестационарными двумерными уравнениями Навье-Стокса, граничные условия на поверхности цилиндра суть условия прилипания, в бесконечности ставятся условия вырождения возмущений.

   Результаты расчетов для Re =111, во= 45. При отсутствии вынужденных колебаний (/ = 0) за цилиндром формируется нестационарный след с характерным числом Струхаля Sh «0.17. С увеличением параметра n flfa от 0 До 10 гидродинамический след за цилиндром остается нестационарным. При этом средняя протяженность области рециркуляционного течения за цилиндром остается на уровне 4а вплоть до п «10, однако скорость возвратного движения существенно снижается. Так что при w ll ближний след за цилиндром- уже не содержит области возвратного движениями происходит его стабилизация.

   По ходу увеличения параметра п, в окрестности значений я«1 наблюдался аномальный режим существенного роста амплитуды поперечных колебаний следа, сопровождающийся усложнением вихревой структуры течения в донной, области непосредственно за цилиндром, а также значительным увеличением амплитуды колебаний и среднего значения коэффициента сопротивления цилиндра. Подобное явление связано с упомянутым выше эффектом захвата частоты, оно детально исследовалось во многих экспериментальных и расчетных работах [227], [226], [176], [111], [151], [236], [3] и др. . Визуализированные в эксперименте [224] и полученные в настоящих расчетах [54] картины мгновенных линий тока около неподвижного и колеблющегося с высокой частотой цилиндра хорошо согласуются между собой, рис.3.25 . При л = 20 след выглядит стабильным, однако в узком слое вблизи поверхности цилиндра частицы жидкости увлекаются вращением поверхности, поэтому течение нестационарное. Для понимания механизма стабилизации следа необходимо рассмотреть процессы в этом слое.

   Здесь и далее картины течения представлены в системе координат, связанной с осью цилиндра.

   Черными точками изображены вихревые частицы с отрицательной циркуляцией (с направлением вращения по часовой стрелке), светлыми — с положительной. Видно, что пристеночный слой на цилиндре имеет слоеную структуру чередующихся колец положительной и отрицательной завихренности. Механизм стабилизации следа при высокочастотных осцилляциях цилиндра можно представить следующим образом. На полупериоде вращения цилиндра против часовой стрелки имеются фазы ускоряющегося и замедляющегося движения, соответственно на всей поверхности цилиндра генерируется сначала отрицательная, затем положительная завихренность. Аналогично происходит генерация двух колец знакопеременной завихренности при вращении цилиндра в противоположную сторону. Диффузия и аннигиляция противоположных вихрей в окрестности границ между соседними кольцами приводит к их взаимному ослаблению. В результате, из пограничного слоя на быстро осциллирующем цилиндре во внешний поток уносится существенно менее завихренная жидкость, чем в случае неподвижного цилиндра.

   Сказанное подтверждается сравнением течений при и = О и и = 20 в момент времени t = 12а/Кю на начальном отрезке движения, когда течение за не осциллирующим цилиндром еще сохраняет начальную симметрию. На рис. 3.27 на фоне лагранжевых вихревых частиц построены соответствующие профили продольной скорости в поперечном сечении следа на расстоянии одного калибра за цилиндром. В случае п = 0 скорость на оси симметрии направлена в сторону, противоположную скорости набегающего потока, т.е. имеет место возвратное течение, тогда как при п = 20 возвратного течения нет. Разность скоростей на оси следа и вне его в том же сечении характеризует погонную плотность циркуляции. В случае не осциллирующего цилиндра она значительно выше.

   Способы удовлетворения граничным условиям на обтекаемых поверхностях

   Рассмотрена задача о свободной нестационарной конвекции системы первоначально локализованных однородно нагретых цилиндрических областей в неограниченном пространстве вязкой теплопроводной жидкости в постоянном поле сил тяжести. На рис. 4.12 (см. снизу вверх) показано развитие процесса конвекции первоначально однородно нагретой области, имевшей форму цилиндра бесконечного размаха. Здесь и далее число Грасгофа Gr=2-104, число Прандтля Рг=1, безразмерный радиус цилиндра равен 1. На рис. 4.13 показаны вихревые картины, в те же моменты времени, что и первые три картины на рис. 4.12.

   Вихревые картины при свободной конвекции цилиндрической нагретой области. Черными и серыми точками изображены домены с положительной и отрицательной циркуляцией соответственно На рис. 4.14 представлены результаты расчета свободной конвекции двух одинаковых тепловых областей такой же формы, расположенных одна над другой. Чёрными и серыми точками показаны тепловые частицы для первой и второй нагретых областей соответственно,, для того чтобы различать их положение в процессе конвекции. На рис. 4.15 показано развитие процесса конвекции двух таких же тепловых включений, расположенных на одной горизонтали. Видно, что при вертикальном расположении с течением времени нижнее тепловое включение внедряется в верхнее, некоторое время обгоняет его, после чего они сливаются. Аналогичный эффект наблюдается при начальном расположении тепловых включений по диагонали (рис. 4.16).

   На рис. 4.17 дано сравнение зависимостей H(t) высоты подъёма различных систем тепловых включений от времени. Высота Н определяется по верхнему «фронту» нагретой области. Видно, что на начальном этапе конвекции системы горизонтально расположенных тепловых включений поднимаются медленнее, чем одиночное включение, а системы вертикально расположенных тепловых включений поднимаются быстрее.

   В методах ВВД и ВВТД применяется явная схема интегрирования уравнений движения контрольных точек доменов. Известно, что явные схемы при неудачном выборе параметров дискретизации могут оказаться неустойчивыми. Так, при решении в Эйлеровых координатах уравнений гидродинамики, диффузии, теплопроводности и других, содержащих лапласиан, критерием устойчивости явной схемы является число Куранта С = 2aAt lh , где Дґ, h — шаг по времени и по пространству соответственно, а - коэффициент, стоящий перед лапласианом. При

   На основании этих соотношений можно построить следующую численную схему: отрезок разбивается на N частей, вычисляются и запоминаются значения g, на каждом отрезке. В линейном приближении gi = 0.5 (T(xt, 0) + T(xi+1,0)) ( JC,+1 -x,). В дальнейшем эти величины не изменяются, а изменяются координаты х(. Простейшие выражения для величин Xi (t + At) и

   На рис. 4.17 приведены результаты расчетов, полученные с шагом по времени At — 5-Ю-5 (маркеры). Изображены зависимости T(x,i) при t = 0, 0.02 и 0.05. Там же пунктирной линией изображено точное решение в эти же моменты времени. Расстояние между точками в начальный момент равно ho = 0.02. Сплошной линией изображено решение, полученное с шагом At = Ю-4 в момент времени t = 0.05 До значения t = 0.045численные решения, полученные с разными значениями шага практически совпадали друг с другом и с точным решением. Затем в схеме с шагом At= 10"4 началось развитие неустойчивости с быстрым ростом возмущений. Как видно из графиков, с увеличением времени точки JC, сгущаются к середине отрезка. При t = 0.045 расстояние между точками уменьшается до значения 0.013. Число Куранта в середине отрезка при А? =10 становится равным 1.2. Схема теряет устойчивость, тогда как при Аг = 5-10-5 число Куранта в середине отрезка равно 0.6, и устойчивый счет продолжается. Таким образом, данная схема так же, как и при интегрировании в эйлеровых координатах, оказывается устойчивой, если число Куранта меньше единицы.

   Устойчивость численной схемы зависит от выбранной аппроксимации производных. В методе ВВД для вычисления производных используется интегральное представление, основанное на соотношении

   Критерий Куранта, вычисленный по расстоянию между точками в середине отрезка при t = 0.05, равен 26, тем не менее, схема сохраняет устойчивость. Численные эксперименты показали, что устойчивость данной схемы зависит не от расстояния между точками, а от выбора параметра є. Схема устойчива, если отношение At /є2 2. В примере, приведенном на рис. 4.18 это отношение равно 0.4.

   Необходимо отметить, что если в предыдущей схеме неустойчивость приводит к неограниченному росту значений переменных, то в данной схеме фатальных последствий не наступает. Неустойчивость приводит к «перепутыванию» лагранжевых частиц (последовательность х, становится немонотонной), и снижению точности, но не к остановке счета из-за неограниченного роста переменных, что можно видеть из рис. 4.19, где представлены результаты расчета при At = 0.002, /z0 = 0.01, є = 0.03, и, соответственно, At/г2 =2.2.

   Устойчивость численной схемы ВВД при решении двумерных уравнений Навье-Стокса исследовалась на примере эволюции осесимметричного вихря. Известно, что независимо от начального распределения завихренности в таком течении через достаточно продолжительное время устанавливается автомодельное распределение, называемое вихрем Лэмба и описываемое формулой [101]

   Для проведения численных экспериментов подготавливалась стартовая модель вихря Лэмба. Для этого в круге малого радиуса 8 задавалось случайное распределение вихревых элементов одинаковой интенсивности, и дальнейшее развитие течения моделировалось методом ВВД до тех пор, пока оно не становилось близким к (4.8). Распределение завихренности контролировалось с помощью функции G(R), равной суммарной циркуляции вихревых доменов в круге радиуса R. В случае распределения Лэмба эта зависимость описывается формулой

   Похожие диссертации на Вихревые методы исследования нестационарных течений вязкой несжимаемой жидко-сти

   

   Моделирование внутренних течений вязкой несжимаемой жидкости методом конечных элементов с использованием противопотоковых схемГобыш Альбина Владимировна

   Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости с применением методов расщепленияМошкин, Николай Павлович

   

   Численное моделирование кавитационных течений вязкой жидкости в гидротурбинахПанов Леонид Владимирович

   

   Применение квазигидродинамических уравнений для математического моделирования течений вязкой несжимаемой жидкостиЖериков Андрей Валерьевич

   Моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости около пластины со вдувом с части поверхности на основе алгоритма расщепленияБазовкин, Андрей Владимирович

   Математическое моделирование ламинарного течения вязкой среды в каналах произвольной формыВасильева, Елена Игоревна

   

   Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными границамиВинников Владимир Владимирович

   

   Математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода в параллельных течениях вязкой электропроводящей жидкостиПроскурин Александр Викторович

   

   Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости с подвижными границамиМинаков Андрей Викторович

   

   Решение задач о течении однородной вязкой несжимаемой жидкости в каналах при заданном перепаде давленияГейдаров Назим Абульфат оглы