Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задачи 16
1.1 Постановка трехмерной задачи о равновесии прямолинейного стержня (бруса) 16
1.2 Приближённая постановка задачи для длинного стержня . 19
1.3 Общая задача Сен-Венана 20
1.4 Задача Сен-Венана о кручении стержня 22
1.4.1 Полная система уравнений теории кручения не однородного анизотропного стержня 22
1.5 Функция напряжений при кручении 24
1.5.1 Функция напряжений 24
1.5.2 Постановка задачи для функции напряжений . 24
1.5.3 Крутка и жесткость при кручении. Выражение через функцию напряжений 26
1.5.4 Оценка снизу для жёсткости при кручении 27
1.6 Функция кручения (депланация) 30
1.6.1 Выражение для перемещений при кручении 30
1.6.2 Постановка задачи для функции кручения 32
1.6.3 Крутка и жёсткость при кручении. Выражение через функцию кручения 33
1.6.4 Формула связи между функцией напряжений и функцией кручения и определение перемещений по функции напряжений 33
1.7 Примеры решения известных задач о кручении изотропных стержней 35
1.7.1 Кручение круглого стержня неоднородного по радиусу 35
1.7.2 Кручение бесконечного слоя неоднородного по толщине 38
1.7.3 Кручение однородного стержня прямоугольного сечения 40
2 Осреднение задачи для функции напряжений 43
2.1 Сопутствующая задача 43
2.2 Интегральное представление решения исходной задачи через решение сопутствующей задачи 44
2.2.1 Функция Грина при кручении 44
2.2.2 Интегральная формула 44
2.3 Представление решения в виде ряда по производным от решения сопутствующей задачи 46
2.4 Рекуррентные задачи для коэффициентов ряда 48
2.4.1 Случай неоднородного по толщине анизотропного слоя 48
2.4.2 Случай изотропного и неоднородного по толщине слоя 51
2.4.3 Случай однородного слоя 52
2.5 Обобщенное уравнение для функции напряжений 56
2.5.1 Интегральная формула для решения обобщенного уравнения 56
3 Эффективные характеристики при кручении 58
3.1 Математическое определение эффективных коэффициентов в обобщенной задаче 58
3.1.1 Эффективные коэффициенты, полученные из первой специальной краевой задачи 58
3.1.2 Эффективные коэффициенты, полученные из второй специальной краевой задачи 59
3.1.3 Замечания по поводу двух типов эффективных коэффициентов 60
3.2 Постановка задачи об определении эффективных податливостей 61
3.2.1 Интегральная формула для эффективных податли-востей при кручении 61
3.2.2 Постановка новой краевой задачи для вычисления эффективных податливостей 62
3.2.3 Симметрия и положительная определенность эффективных податливостей 62
3.2.4 Интегральная формула для эффективных модулей сдвига при кручении 63
3.2.5 Постановка новой краевой задачи для вычисления эффективных модулей сдвига 64
3.2.6 Симметрия и положительная определенность эффективных модулей сдвига 64
3.2.7 Ещё одна форма краевой задачи для вычисления эффективных модулей сдвига 65
3.3 Случай неоднородного по толщине слоя 68
3.4 Нулевое приближение в теории кручения неоднородных стержней 70
3.4.1 О нулевом приближении в механике композитов . 70
3.4.2 Нулевое приближение при кручении 71
4 Применение метода конечных элементов для расчета N- функций и эффективных податливостей 73
4.1 Описание методики 73
4.2 Случай длинной полосы с тремя чередующимися слоями . 77
4.3 Случай круглого сечения 79
4.4 Случай квадратного сечения с одним квадратным включением 81
4.5 Случай квадратного сечения с одним квадратным включением с периодическими граничными условиями 84
4.6 Случай квадратного сечения с девятью квадратными включениями 86
4.7 Случай квадратного сечения с 25 квадратными включениями 88
4.8 Выводы к четвёртой главе 90
4.8.1 Точность результатов 90
4.8.2 Краевой эффект для ЛГ-функций 90
4.8.3 Взаимная обратность эффективных податливостей . 91
4.8.4 Совпадение эффективных характеристик, вычисленных на ячейке с пулевыми граничными условиями, с характеристиками, вычисленными на ячейке с периодическими граничными условиями 91
4.8.5 Независимость формы включений для вычислений эффективных податливостей 92
Заключение 93
Список литературы. 108
- Полная система уравнений теории кручения не однородного анизотропного стержня
- Представление решения в виде ряда по производным от решения сопутствующей задачи
- Ещё одна форма краевой задачи для вычисления эффективных модулей сдвига
- Случай квадратного сечения с одним квадратным включением с периодическими граничными условиями
Введение к работе
Краткий обзор литературы
Среди многочисленных технических задач при коистрз^ировании машин и проектировании инженерных сооружений важное место занимают расчеты их элементов на прочность. Высокие темпы разработки и внедрения новых конструкционных материалов приводят к необходимости учета неоднородности механических свойств. Это подтверждается выходом большого количества книг, монографий и научных статей.
Общая теория кручения неоднородного анизотропного стержня с упругими характеристиками, являющимися непрерывными функциями координат была развита в работах Чао Вей-Юаня [73], Лехницкого С.Г. [34], Ломакина В.А. [38] и в ряде работ других авторов. Большое количество работ по кручению неоднородных стержней собрано в двух библиографических указателях, опубликованных Колчиным Г.Б. и Фавермапом Э.А. [29, 30], в которых систематизировано 2611 работ советских и иностранных авторов, вышедших только до 1973 г..
Систематическое изложение теории упругости тел с непрерывной неоднородностью, в частности, обобщение задачи Сен-Венана на случай неоднородных брусьев, дано в книге Ломакина В.А. [38].
Наиболее общий подход к проблеме Сен-Венана при трехмерной неоднородности без применения полуобратного метода Сен-Венана основан на использовании шести функций Бельтрами, через которые выражаются все компоненты напряжений [78]. Уравнения равновесия при этом удовлетворяются, а шесть уравнений совместности являются определяющими для шести неизвестных функций. В работе [78] показано также, что в случае трансверсальной неоднородности (модули упругости — функции координат поперечного сечения) напряженное состояние имеет трехмерный характер, а для удовлетворения уравнениям совместности и граничным условиям достаточно введения двух неизвестных функций.
Постановка задачи Сен-Венана для анизотропного (и более подробно для ортотротшого) бруса в случае трансверсальной неоднородности
дана Лехницким С.Г. [34, 35]. Им использован полуобратный метод Сен-Венана, в котором искомые компоненты тензора напряжений считаются функциями координат поперечного сечения. Задача сведена к решению краевых задач относительно двух функций напряжений, причем определяющим для каждой из них является уравнение в частных производных эллиптического типа с переменными коэффициентами второго и четвертого порядка.
Из вышеуказанных работ следует, что в случае изотропного бруса при переменном по сечению модуле сдвига G = G(x, у) и постоянном коэффициенте Пуассона v = const как задача о кручении, так и об изгибе бруса сводится к решению краевой задачи для уравнения в частных производных второго порядка относительно одной неизвестной функции. В задаче о кручении эта функция может быть введена двумя способами. В первом случае она носит название функции напряжении ір(х, у) и вводится таким образом, чтобы тождественно удовлетворить уравнениям равновесия. Уравнения совместности и граничное условие на контуре приводят к задаче Дирихле относительно ф(х,у). Во втором случае вводится функция кручения (р(х,у), которая удовлетворяет уравнению совместности, а уравнение равновесия и граничное условие дают задачу Неймана для функции кручения. Обе постановки подробно изложены, например, в работах [34, 38, 74].
Построению общего теоретического решения указанных краевых задач в случае изотропного бруса, сечение которого — многосвязная область с видом неоднородности G = G(x, y)%v — const посвящены работы Раду [76, 77]. В указанных работах исходная задача при помощи теории обобщенных аналитических функций Векуа [15] сводится к обобщенной задаче Римана-Гильберта, которая в свою очередь приводится к сингулярному интегральному уравнению относительно одной неизвестной функции действительного аргумента, чем в конечном счете доказывается существование и единственность решения задачи Сен-Венана для неоднородного бруса с многосвязным поперечным сечением.
Решения задач изгиба и кручения ортотропных брусьев прямоугольного сечения, когда модули сдвига принимаются в виде степенных или экспоненциальных функций одной из координат, приведены в работах Колчина Г.В. [28] и Лехнпцкого С.Г. [34, 35]. В работе Колчина также приводится точное решение задачи о кручении круглого сплошного бруса при произвольной зависимости модуля сдвига от радиуса сечения; аналогичная задача для анизотропного бруса исследована в работах Лех-ницкого С.Г. [32, 33].
Точное решение может быть иногда построено обратным методом, являющимся специфическим для теории упругости неоднородных тел.
Он состоит в задании a priori вида напряженного состояния и получения затем из основных уравнений соответствующего типа неоднородности, а иногда и вида поперечного сечения. Так в работе [74] приведены примеры точных решений для круглого и эллиптического сечений методом задания функции кручения, при этом вид сечения определяется из граничного условия, а вид функции G(x, у) — из основного уравнения для ф{х,у).
Найденные точные решения позволяют выбрать необходимый для построения замкнутого решения вид аппроксимации для функций, характеризующих неоднородность тела. Точные решения также могут быть использованы для оценки степени пригодности приближенных методов решения более сложных задач.
Особое место в теории неоднородных тел занимает механика композитов, которая к настоящему времени выделилась в самостоятельное направление в МДТТ. Наиболее ценные работы в этой области, вышедшие до 1989 года, были проанализированы в обзоре Ю.М. Тарнопольского [65].
Методы решения краевых задач теории упругости неоднородного тела во многом определяются видом функций, характеризующих зависимость упругих свойств от координат. Большое количество частных задач для непрерывно неоднородных тел было рассмотрено В.А. Ломакиным [37, 38], а также Г.Б. Колчиным [28].
Общая теория расчета упругих брусьев, составленных из материалов с различными механическими характеристиками, развивалась Н.И. Му-схелишвили [43]. Им рассмотрены задачи изгиба, растяжения и кручения неоднородных (кусочно-однородных) в сечении изотропных брусьев в плане пространственной задачи теории упругости.
Многослойная среда в условиях плоской деформации была рассмотрена И.Г. Альпериным [1]. Альперин рассмотрел плоскую деформацию полуплоскости, состоящей из п слоев, на границах которых отсутствует трение. Решение строится с помощью интегрального преобразования Фурье через бигармонические функции напряжений для каждого слоя. В итоге задача сводится к системе из п функциональных уравнений относительно п неизвестных функции.
В 1942 году была опубликована работа Г.С. Шапиро [67], в которой рассмотрена осесимметричная задача для многослойной плиты, а также для многослойного цилиндра. Методом интегрального преобразования Ханкеля дается точное решение задачи. Конструкция такого решения получается с помощью общего представления решения осесимметричной задачи теории упругости А. Лява [41]. Если плита имеет п слоев, то задача в конечном итоге сводится к решению системы из An функциональных
уравнений. Применяя этот метод, Г.С. Шапиро в 1944 году в работе [68] довел до числовых результатов решение задачи для одного слоя, опирающегося на абсолютно гладкое и жесткое основание при воздействии па границе слоя равномерно распределенной нагрузки но площади круга. Дальнейшее развитие этот метод получил в монографиях [44, 45].
В 1948 году была опубликована работа P.M. Раппопорт [56], в которой с помощью интегрального преобразования Ханкеля решена осесиммет-ричная задача Буссшіеска, а с помощью интегрального преобразования Фурье — плоская задача Фламана для двухслойного полупространства. Позже в ряде работ Раппопорт [57, 60, 59, 58] и Буфлера [71, 70, 72] был развит метод послойного решения осесимметричной и плоской задач теории упругости для многослойных сред. В работах Раппопорт [60, 59] этот метод был распространен на трехмерную задачу для многослойного полупространства. В методе послойного решения задача для п-слойной плиты в итоге сводится к решению системы из 2(п — 1) уравнения относительно трансформант Ханкеля (Фурье) нормальных и касательных напряжений на одной из плоскостей слоя. В указанных работах Раппопорт и Буфлера решения доведены до числовых результатов лишь в отдельных частных случаях для сред из двух, трех слоев.
В работе В.И. Петришина и А.К. Приварпикова [49] был предложен метод послойного решения для случая, когда на одной поверхности многослойной плиты задана нормальная и касательная нагрузка, а на другой обращаются в нуль перемещения.
Для случая непрерывной неоднородности В.А. Ломакиным был развит метод возмущений [37, 38]. При практическом использовании метода возмущений обычно ограничиваются первым приближением. Границы применимости получаемых решений и оценка погрешностей дана в работе В.А. Ломакина и В.И. Шейнина [39].
Приближенные теории упругой многослойной среды, основой которых являются различные ограничения, накладываемые на геометрические и упругие характеристики всей среды в целом и отдельных ее слоев развивались в работах В.В. Болотина [9, 10, 11], в книге В.В. Болотина и Ю.Н. Новичкова [13], в книге В.В. Васильева [14] и в ряде других работ. Обзор различных инженерных подходов применительно к изделиям из композитов дан в работах [65, 37, 12].
В настоящее время наиболее распространенными методами решения задач механики композитов являются два метода — это метод малого геометрического параметра (ММГП) и метод тензоров Грина (МТГ). Первым был предложен ММГП. В 1974 и 1975 годах Бахвалов Н.С. в ДАН СССР опубликовал две статьи [3, 4] по осредненным характеристикам тел с периодической структурой и по осреднению дифференциальных
уравнений в частных производных с периодическими коэффициентами. В работе [3] получены осреднения уравнений параболического и гиперболического типов, а также осреднение стационарной и нестационарной систем уравнений теории упругости. Асимптотическое разложение решений нестационарных систем уравнений второго порядка и осредненные системы строятся в [4]. Результаты работ [3, 4] обобщаются на нелинейные уравнения второго [5, 7] и высших порядков [5] и операторные уравнения. В работах Панасенко [47, 48] исследуются вопросы осреднения композиционных сред с сильно изменяющимися свойствами компонентов. В 1984 году вышла книга Бахвалова Н.С. и Панасенко Г.П. [8], в которой подробно рассмотрено осреднение различных математических моделей.
Дальнейшее развитие и применение ММГП к линейным и нелинейным задачам механики деформируемого тела было дано в работах По-бедри Б.Е. и его учеников [52, 53, 55, 17, 19, 42, 69].
В ММГП решение исходной краевой задачи для периодически неоднородного тела ищется в виде формального асимптотического ряда по малому геометрическому параметру, равного отношению размера ячейки периодичности к характерному размеру тела. В итоге исходная задача сводится к двум рекуррентным последовательностям задач.
Вначале решаются вспомогательные рекуррентные задачи на ячейке периодичности, из решения которых находятся периодические N— функции Бахвалова-Победри первого, второго, и т.д. порядков. Из решения самой первой задачи на ячейке находятся iV-функции первого порядка и эффективные упругие характеристики композиционного материала.
Вторая рекуррентная последовательность задач заключается в решении краевых задач для тела той лее формы, что и исходное, но с постоянными (эффективными) характеристиками и с различными входными данными, зависятцими от решений предыдущих задач. В начальной задаче в качестве входных данных используются те же самые данные, что и в исходной задаче.
Если решены начальные задачи в первой и второй рекуррентных последовательностях, то по решению начальной краевой задачи для тела с эффективными характеристиками и iV-функциям первого порядка находятся напряжения, деформации и перемещения в компонентах композита, т.е. строится, так называемое, нулевое приближение в исходной задаче [52]. В большинстве практических задач ограничиваются нулевым приближением.
Для уточнения решения исходной задачи необходимо найти iV-функции следующего порядка. Для этого нужно снова решать задачу на ячей-
ке периодичности с новыми входными данными, определяемыми через vV-функции первого порядка. После этого, опять же, нужно снова решать краевую задачу для тела с эффективными характеристиками, но с другими входными данными. В работе В.И. Горбачева [18] приведено нулевое, первое и второе приближение к точному решению задачи о неоднородной по радиусу трубе под давлением. Показано, что при фиксированном числе ячеек периодичности с увеличением номера приближений уменьшается разница между приближенным и точным решениями. В первом и последующими приближениями разница между приближенным и точным решениями уменьшается также п с увеличением числа ячеек периодичности, укладывающихся на заданной толщине трубы (с измельчением структуры).
Будучи асимптотическим, метод малого геометрического параметра тем не менее даёт хорошее приближение к точному решению даже в том случае, когда геометрический параметр близок или равен единице [18]. В некоторых частных случаях этот метод позволяет получить точное решение краевых задач при любом виде неоднородности. Последнее относится в основном к задачам для неоднородных полос. При простых видах нагружения ряды по малому параметру оказываются сходящимися и их удается просуммировать. Впервые этот результат был получен В.И. Горбачевым и Б.Е. Победрей в 1979 году в работе [54], в которой методом суммирования рядов были получены новые точные решения нескольких задач о равновесии неоднородной по высоте изотропной полосы. Позже в 1993 году [21] В.И. Горбачеву удалось получить решение этих же задач для произвольно анизотропной полосы.
Другой метод решения задач механики композитов — МТГ (метод тензоров Грина) был предложен Горбачевым В.И. чуть позднее. Первая работа вышла в 1991 году [20]. В этом методе рассматривается произвольно неоднородное упругое тело (в том числе и периодически неоднородное). В основе МТГ лежит возможность представления решения любой линейной краевой задачи для тела с одними упругими характеристиками через решение такой лее задачи для тела точно такой же формы, что и исходное, но с другими упругими характеристиками. В представлении существенную роль играет тензор Грина рассматриваемой краевой задачи для исходного тела. Это обстоятельство как раз и послужило основанием для выбора названия метода.
В работах [22, 23, 24], было получено интегральное соотношение, связывающее решение любой начально-краевой задачи для произвольного линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами с решением точно такой же задачи для уравнения того лее типа, но с постоянными коэффициентами.
Интегральное соотношение легко может быть заменено на эквивалентное представление в виде ряда. Таким образом, решение краевой задачи для неоднородного упругого тела может быть представлено в виде ряда по градиентам решения такой же краевой задачи для однородного (можно даже и изотропного) упругого тела. Коэффициенты ряда находятся из рекуррентной последовательности краевых задач в области занятой телом с однородными граничными условиями. Отметим, что "сложность" уравнений в рекуррентной последовательности задач для коэффициентов определяется видом зависимости упругих характеристик от координат, а также видом области занимаемой упругим телом. Например, в случае неоднородного по толщине слоя все уравнения в рекуррентной последовательности являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, которые легко интегрируются в общем виде.
Краткое содержание работы
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы.
В первой главе дается общая постановка трёхмерной задачи о равновесии прямолинейного стержня. Используя принцип Сен-Венана, даётся приближённая постановка для этой же задачи: вместо распределенных по торцам усилий рассматривается статически эквивалентная им система сил и моментов, приложенных в центрах тяжести торцов. Даётся общая постановка задачи Сен-Венана и вводятся ограничения на тип анизотропии и вид неоднородности, полагая, что любое поперечное сечение бруса является плоскостью симметрии упругих свойств, а свойства являются функциями координат точки в поперечном сечении. В случае, если выбрать декартову систему координат и ось Хз направить по оси стержня, то все коэффициенты Jijki с нечетным количеством индексов «3» обратятся в нуль, а компоненты тензора податливостей будут зависеть только от координат х\ и .т2.
Далее рассматривается чистое кручение, то есть полагается, что внешние силы, распределённые на торце приводятся только к крутящему вокруг оси хз моменту М — М. Используя полуобратный метод Сен-Венана, даётся окончательная постановка задачи Сен-Венана, которая состоит из условий равновесия, закона Гука, условий совместности, граничных условий на контуре поперечного сечения и интегральных условий на правом торце.
Вводятся функция напряжений при кручении и функция кручения
(депланация), выводятся постановки задач для нахождения этих функций, также выводятся выражения для крутки и жесткости при кручении через эти функции, определяются перемещения. Приводится формула, которая связывает функцию кручения и функцию напряжений при кручении.
Приводятся примеры точного решения известных задач о кручении однородного изотропного стержня, а именно: кручение круглого стержня, кручение бесконечного слоя, кручение стержня прямоугольного сечения.
Во второй главе рассматривается метод осреднения для функции кручения. Вводится сопутствующая задача — такая же задача, как и для нахождения функции кручения, только с постоянными коэффициентами. Смысл метода осреднения в данной работе заключается в том, чтобы выразить решение исходной задачи через решение сопутствующей.
Вводится функция Грина исходной задачи Т(х, ), после этого дается вывод интегрального представления решения исходной задачи через решение сопутствующей задачи и функции Грина исходной задачи.
Далее раскладывается в ряд Тейлора функция напряжений ф сопутствующей задачи. После подстановки этого разложения в интегральное представление получаем представление в виде ряда по производным от решения сопутствующей задачи. Коэффициентами ряда являются N-функции. После подстановки ряда в исходную задачу получается система рекуррентных соотношений для нахождения JV-функции.
Данным методом аналитически решаются задачи, когда поперечное сечение — однородная и трехслойная полоса.
В третьей главе рассматриваются эффективные характеристики при кручении. Даётся математическое определение эффективных модулей сдвига и эффективных податливостей при кручении неоднородного стержня. Получены интегральные формулы для эффективных характеристик при кручении. Эти формулы позволяют представить эффективные податливости при кручении через тензор Грина первой краевой задачи уравнения для функции напряжений, а эффективные модули сдвига при кручении — через тензор Грина второй краевой задачи этого же уравнения. Доказаны теоремы о симметрии и положительной определенности тензора эффективных податливостей и тензора эффективных модулей сдвига. Подробно рассматривается случай неоднородного по толщине слоя. Получены явные аналитические выражения эффективных модулей сдвига и эффективных податливостей неоднородного по толщине слоя. Показано, что в этом случае эффективные характеристики, найденные через решения первой и второй специальных краевых задач, являются взаимно обратными.
В конце третьей главы обсуждается, так называемое, нулевое приближение в механике композитов, введенное Б.Е Победрей в 1984 году в работе [52]. Рассматривается нулевое приближении в задаче о кручении неоднородного стержня.
В четвертой главе применяется метод конечных элементов для нахождения iV-функций и эффективных податливостей. Дается краткое описания метода конечных элементов и численно решается несколько задач, а именно: задача о кручении длинной полосы, задача о кручении стержня, поперечное сечение которого слоистый круг и задача о кручении стержня, когда поперечное сечение — квадрат с различным количеством квадратных включений.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
В первом приложении дается подробное описание комплекса программного обеспечения, с помощью которого вычисляются iV-функции и эффективные податливости.
Во втором приложении приводятся технические характеристики областей при проведении численных расчётов.
Полная система уравнений теории кручения не однородного анизотропного стержня
Другой метод решения задач механики композитов — МТГ (метод тензоров Грина) был предложен Горбачевым В.И. чуть позднее. Первая работа вышла в 1991 году [20]. В этом методе рассматривается произвольно неоднородное упругое тело (в том числе и периодически неоднородное). В основе МТГ лежит возможность представления решения любой линейной краевой задачи для тела с одними упругими характеристиками через решение такой лее задачи для тела точно такой же формы, что и исходное, но с другими упругими характеристиками. В представлении существенную роль играет тензор Грина рассматриваемой краевой задачи для исходного тела. Это обстоятельство как раз и послужило основанием для выбора названия метода.
В работах [22, 23, 24], было получено интегральное соотношение, связывающее решение любой начально-краевой задачи для произвольного линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами с решением точно такой же задачи для уравнения того лее типа, но с постоянными коэффициентами.
Интегральное соотношение легко может быть заменено на эквивалентное представление в виде ряда. Таким образом, решение краевой задачи для неоднородного упругого тела может быть представлено в виде ряда по градиентам решения такой же краевой задачи для однородного (можно даже и изотропного) упругого тела. Коэффициенты ряда находятся из рекуррентной последовательности краевых задач в области занятой телом с однородными граничными условиями. Отметим, что "сложность" уравнений в рекуррентной последовательности задач для коэффициентов определяется видом зависимости упругих характеристик от координат, а также видом области занимаемой упругим телом. Например, в случае неоднородного по толщине слоя все уравнения в рекуррентной последовательности являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, которые легко интегрируются в общем виде.
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы.
В первой главе дается общая постановка трёхмерной задачи о равновесии прямолинейного стержня. Используя принцип Сен-Венана, даётся приближённая постановка для этой же задачи: вместо распределенных по торцам усилий рассматривается статически эквивалентная им система сил и моментов, приложенных в центрах тяжести торцов. Даётся общая постановка задачи Сен-Венана и вводятся ограничения на тип анизотропии и вид неоднородности, полагая, что любое поперечное сечение бруса является плоскостью симметрии упругих свойств, а свойства являются функциями координат точки в поперечном сечении. В случае, если выбрать декартову систему координат и ось Хз направить по оси стержня, то все коэффициенты Jijki с нечетным количеством индексов «3» обратятся в нуль, а компоненты тензора податливостей будут зависеть только от координат х\ и .т2.
Далее рассматривается чистое кручение, то есть полагается, что внешние силы, распределённые на торце приводятся только к крутящему вокруг оси хз моменту М — М. Используя полуобратный метод Сен-Венана, даётся окончательная постановка задачи Сен-Венана, которая состоит из условий равновесия, закона Гука, условий совместности, граничных условий на контуре поперечного сечения и интегральных условий на правом торце.
Вводятся функция напряжений при кручении и функция кручения (депланация), выводятся постановки задач для нахождения этих функций, также выводятся выражения для крутки и жесткости при кручении через эти функции, определяются перемещения. Приводится формула, которая связывает функцию кручения и функцию напряжений при кручении.
Приводятся примеры точного решения известных задач о кручении однородного изотропного стержня, а именно: кручение круглого стержня, кручение бесконечного слоя, кручение стержня прямоугольного сечения.
Во второй главе рассматривается метод осреднения для функции кручения. Вводится сопутствующая задача — такая же задача, как и для нахождения функции кручения, только с постоянными коэффициентами. Смысл метода осреднения в данной работе заключается в том, чтобы выразить решение исходной задачи через решение сопутствующей.
Вводится функция Грина исходной задачи Т(х, ), после этого дается вывод интегрального представления решения исходной задачи через решение сопутствующей задачи и функции Грина исходной задачи.
Далее раскладывается в ряд Тейлора функция напряжений ф сопутствующей задачи. После подстановки этого разложения в интегральное представление получаем представление в виде ряда по производным от решения сопутствующей задачи. Коэффициентами ряда являются N-функции. После подстановки ряда в исходную задачу получается система рекуррентных соотношений для нахождения JV-функции.
Данным методом аналитически решаются задачи, когда поперечное сечение — однородная и трехслойная полоса.
В третьей главе рассматриваются эффективные характеристики при кручении. Даётся математическое определение эффективных модулей сдвига и эффективных податливостей при кручении неоднородного стержня. Получены интегральные формулы для эффективных характеристик при кручении. Эти формулы позволяют представить эффективные податливости при кручении через тензор Грина первой краевой задачи уравнения для функции напряжений, а эффективные модули сдвига при кручении — через тензор Грина второй краевой задачи этого же уравнения. Доказаны теоремы о симметрии и положительной определенности тензора эффективных податливостей и тензора эффективных модулей сдвига. Подробно рассматривается случай неоднородного по толщине слоя. Получены явные аналитические выражения эффективных модулей сдвига и эффективных податливостей неоднородного по толщине слоя. Показано, что в этом случае эффективные характеристики, найденные через решения первой и второй специальных краевых задач, являются взаимно обратными. В конце третьей главы обсуждается, так называемое, нулевое приближение в механике композитов, введенное Б.Е Победрей в 1984 году в работе [52]. Рассматривается нулевое приближении в задаче о кручении неоднородного стержня.
В четвертой главе применяется метод конечных элементов для нахождения iV-функций и эффективных податливостей. Дается краткое описания метода конечных элементов и численно решается несколько задач, а именно: задача о кручении длинной полосы, задача о кручении стержня, поперечное сечение которого слоистый круг и задача о кручении стержня, когда поперечное сечение — квадрат с различным количеством квадратных включений. В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы. В первом приложении дается подробное описание комплекса программного обеспечения, с помощью которого вычисляются iV-функции и эффективные податливости. Во втором приложении приводятся технические характеристики областей при проведении численных расчётов.
Представление решения в виде ряда по производным от решения сопутствующей задачи
Начало координат — в центре квадрата, ось х\ направлена горизонтально вправо, ось Х2 вертикально вверх, х\ и Х2 меняются от -1 до 1. Функции JVi, N2 симметричны друг другу при замене координат Х\ на х2 и наоборот, т.е. горизонтальные сечения N\ равны вертикальным сечениям А 2 и функции симметричны относительно нуля. Поэтому ниже на рисунке (рис.4.9) приведена только функция N\. График представляет линии уровней функции Ni. Приведены эффективные податливости, функция ф и напряжения а = \/{сгіг)2 + (о"2з)2 Момент брался равным М — 1000. Жёсткость и крутка будут равны D = 2.70, т = 396.92 для случая (а), для случая (b) D = 1.9, г = 535.26.
Сравнивая iV-функции на ячейках периодичности в задачах о кручении стержня квадратного сечения с 9 квадратными включениями (рис. 4.6) и с 25 включениями (рис. 4.7) можно сделать вывод, при кручении стержня с периодической структурой в окрестности контура поперечного сечения имеется пограничный слой, в котором JV-функщщ не являются периодическими функциями координат на ячейке периодичности. При удалении от границы вглубь тела TV-функции стремятся к своим периодическим значениям на ячейке периодичности.
В таблице 4.1 приведены эффективные характерттстики и результат вычисления выражения Можно утверждать, что значения в четвертом столбце почти равны нулю, это означает, что при взаимной обратности модулей сдвига, эффективные податливости получаются взаимно обратными. Совпадение эффективных характеристик, вычисленных на ячейке с нулевыми граничными условиями, с характеристиками, вычисленными на ячейке с периодическими граничными условиями Сравним эффективные податливости, полученные в 4.4 и 4.5 (таблица 4.1). Разница составляет 0.13%, что оправдывается погрешностью вычислений. Можно утверждать, что эффективные характеристики совпадают при решении задачи с нулевыми граничными условиями и с периодическими граничными условиями. При решении задач о кручении стержня квадратного сечения с одним, 9-ю, 25-ю включениями, объемная доля включений бралась одна и та же — одна треть. Из таблицы 4.1 видно, что эффективные характеристики практически совпадают для одинаковых модулей сдвига, поэтому можно сделать вывод, что эффективные податливости не зависят от формы включения. В заключении сформулируем основные результаты диссертации. 1. Получена новая интегральная формула для представления решения задачи о кручении неоднородного стержня через решение задачи о кручении однородного стержня с таким же поперечным сечением. Из интегральной формулы найдено эквивалентное представление решения задачи о кручении неоднородного стержня в виде ряда по производным от решения задачи о кручении однородного стержня с таким же поперечным сечением. Для коэффициентов ряда (iV-функций) выведена система вспомогательных рекуррентных краевых задач на поперечном сечении. 2. Получено выражение для эффективных характеристик при кручении через функцию Грина. Показана, их симметрия и положительная определённость. 3. Программно реализован метод конечных элементов для нахождения iV-функций с одним индексом, необходимых для расчёта эффективных податливостей и решения задачи о кручении в нулевом приближении. Численно решено несколько конкретных задач, а именно: задача о кручении длинной полосы, задача о кручении стержня, когда поперечное сечение — слоистый круг и когда поперечное сечение — квадрат с различным количеством (1, 9, 25) квадратных включений. Проведено сравнение численного решения с точным решением для случая длинной полосы. Проанализированы полученные результаты. 4. Исследованы периодические структуры. Показано, что при кручении стержня с периодической структурой в окрестности контура поперечного сечения имеется пограничный слой, в котором N-функции не являются периодическими функциями координат на ячейке периодичности. При удалении от границы вглубь тела N-функции стремятся к своим периодическим значениям на ячейке периодичности. Показано, что эффективные характеристики, найденные через периодическое решение вспомогательной задачи на ячейке, практически не отличаются от эффективных характеристик, определяемых через решение краевой вспомогательной задачи на ячейке.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, д.ф-м.н., проф. Горбачеву Владимиру Ивановичу за его постоянное внимание к работе, личное участие и поддержку моей уверенности и интереса, терявшихся в многочисленных трудностях, а также своему мужу Василию за понимание, поддержку и помощь.
Ещё одна форма краевой задачи для вычисления эффективных модулей сдвига
Для случая непрерывной неоднородности В.А. Ломакиным был развит метод возмущений [37, 38]. При практическом использовании метода возмущений обычно ограничиваются первым приближением. Границы применимости получаемых решений и оценка погрешностей дана в работе В.А. Ломакина и В.И. Шейнина [39].
Приближенные теории упругой многослойной среды, основой которых являются различные ограничения, накладываемые на геометрические и упругие характеристики всей среды в целом и отдельных ее слоев развивались в работах В.В. Болотина [9, 10, 11], в книге В.В. Болотина и Ю.Н. Новичкова [13], в книге В.В. Васильева [14] и в ряде других работ. Обзор различных инженерных подходов применительно к изделиям из композитов дан в работах [65, 37, 12].
В настоящее время наиболее распространенными методами решения задач механики композитов являются два метода — это метод малого геометрического параметра (ММГП) и метод тензоров Грина (МТГ). Первым был предложен ММГП. В 1974 и 1975 годах Бахвалов Н.С. в ДАН СССР опубликовал две статьи [3, 4] по осредненным характеристикам тел с периодической структурой и по осреднению дифференциальных уравнений в частных производных с периодическими коэффициентами. В работе [3] получены осреднения уравнений параболического и гиперболического типов, а также осреднение стационарной и нестационарной систем уравнений теории упругости. Асимптотическое разложение решений нестационарных систем уравнений второго порядка и осредненные системы строятся в [4]. Результаты работ [3, 4] обобщаются на нелинейные уравнения второго [5, 7] и высших порядков [5] и операторные уравнения. В работах Панасенко [47, 48] исследуются вопросы осреднения композиционных сред с сильно изменяющимися свойствами компонентов. В 1984 году вышла книга Бахвалова Н.С. и Панасенко Г.П. [8], в которой подробно рассмотрено осреднение различных математических моделей.
Дальнейшее развитие и применение ММГП к линейным и нелинейным задачам механики деформируемого тела было дано в работах По-бедри Б.Е. и его учеников [52, 53, 55, 17, 19, 42, 69]. В ММГП решение исходной краевой задачи для периодически неоднородного тела ищется в виде формального асимптотического ряда по малому геометрическому параметру, равного отношению размера ячейки периодичности к характерному размеру тела. В итоге исходная задача сводится к двум рекуррентным последовательностям задач. Вначале решаются вспомогательные рекуррентные задачи на ячейке периодичности, из решения которых находятся периодические N— функции Бахвалова-Победри первого, второго, и т.д. порядков. Из решения самой первой задачи на ячейке находятся iV-функции первого порядка и эффективные упругие характеристики композиционного материала. Вторая рекуррентная последовательность задач заключается в решении краевых задач для тела той лее формы, что и исходное, но с постоянными (эффективными) характеристиками и с различными входными данными, зависятцими от решений предыдущих задач. В начальной задаче в качестве входных данных используются те же самые данные, что и в исходной задаче. Если решены начальные задачи в первой и второй рекуррентных последовательностях, то по решению начальной краевой задачи для тела с эффективными характеристиками и iV-функциям первого порядка находятся напряжения, деформации и перемещения в компонентах композита, т.е. строится, так называемое, нулевое приближение в исходной задаче [52]. В большинстве практических задач ограничиваются нулевым приближением. Для уточнения решения исходной задачи необходимо найти iV-функции следующего порядка. Для этого нужно снова решать задачу на ячей ке периодичности с новыми входными данными, определяемыми через vV-функции первого порядка. После этого, опять же, нужно снова решать краевую задачу для тела с эффективными характеристиками, но с другими входными данными. В работе В.И. Горбачева [18] приведено нулевое, первое и второе приближение к точному решению задачи о неоднородной по радиусу трубе под давлением. Показано, что при фиксированном числе ячеек периодичности с увеличением номера приближений уменьшается разница между приближенным и точным решениями. В первом и последующими приближениями разница между приближенным и точным решениями уменьшается также п с увеличением числа ячеек периодичности, укладывающихся на заданной толщине трубы (с измельчением структуры).
Будучи асимптотическим, метод малого геометрического параметра тем не менее даёт хорошее приближение к точному решению даже в том случае, когда геометрический параметр близок или равен единице [18]. В некоторых частных случаях этот метод позволяет получить точное решение краевых задач при любом виде неоднородности. Последнее относится в основном к задачам для неоднородных полос. При простых видах нагружения ряды по малому параметру оказываются сходящимися и их удается просуммировать. Впервые этот результат был получен В.И. Горбачевым и Б.Е. Победрей в 1979 году в работе [54], в которой методом суммирования рядов были получены новые точные решения нескольких задач о равновесии неоднородной по высоте изотропной полосы. Позже в 1993 году [21] В.И. Горбачеву удалось получить решение этих же задач для произвольно анизотропной полосы.
Другой метод решения задач механики композитов — МТГ (метод тензоров Грина) был предложен Горбачевым В.И. чуть позднее. Первая работа вышла в 1991 году [20]. В этом методе рассматривается произвольно неоднородное упругое тело (в том числе и периодически неоднородное). В основе МТГ лежит возможность представления решения любой линейной краевой задачи для тела с одними упругими характеристиками через решение такой лее задачи для тела точно такой же формы, что и исходное, но с другими упругими характеристиками. В представлении существенную роль играет тензор Грина рассматриваемой краевой задачи для исходного тела. Это обстоятельство как раз и послужило основанием для выбора названия метода.
В работах [22, 23, 24], было получено интегральное соотношение, связывающее решение любой начально-краевой задачи для произвольного линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами с решением точно такой же задачи для уравнения того лее типа, но с постоянными коэффициентами.
Случай квадратного сечения с одним квадратным включением с периодическими граничными условиями
Функции iVi, N2 симметричны друг другу при замене координат а; і на х2 и наоборот, т.е. горизонтальные сечения JVi равны вертикальным сечениям N2 и функции симметричны относительно нуля. Поэтому ниже на рисунке (4.7) приведена только функция N±. График представляет линии уровней функции Ni. Приведены функция ф и напряжения а —
Функция напряжений находилась по формуле: ф = I/J+NI ф +М2 ф2. Функция напряжений для сопутствующей задачи ф была взята из параграфа (1.7.1).
Напряжения находились по формулам: сг/з = т еиф , где т = jr fdE s С13 и "23 симметричны относительно поворота на угол — . Функции симметричны относительно нуля. Момент брался равным М — 1000. Жёсткость и крутка будут равны D = 1.77, г = 564.86 для случая (а), для случая (b) D = 1.44, г = 696.62. Начало координат — в центре квадрата, ось Х\ направлена горизонтально вправо, ось Х2 — вертикально вверх, х,\ и х,2 меняются от -1 до 1. Функции iVi, ЛГ2 симметричны друг другу при замене координат Xi на Х2 и наоборот, т.е. горизонтальные сечения N± равны вертикальным сечениям Л 2 и функции симметричны относительно нуля. Поэтому ниже на рисунке (рис.4.9) приведена только функция Ni. График представляет линии уровней функции N\. Приведены эффективные податливости, функция ф и напряжения о = \/(сгіз)2 + (о"гз)2 м Функция напряжений находилась по формуле: ф = Лгі ф1+М2 ф2-Функция ф обладает центральной симметрией. Функция напряжений для сопутствующей задачи ф была взята из параграфа (1.7.3) для к = 13. Напряжения находились по формулам: т/3 = т виф , где г 0"із и сг23 симметричны относительно поворота на угол - . Функции симметричны относительно нуля. Момент брался равным М = 1000. Жёсткость и крутка будут равны D = 2.29, т = 436.78 для случая (а), для случая (b) D = 2.2, г = 453.53. Случай квадратного сечения с одним квадратным включением с периодическими граничными условиями Посчитаем такое же сечение как и в предыдущем параграфе, только с периодическими граничными условиями. На рисунке (рис.3.1) была приведена одна ячейка периодической структуры. Под периодическими граничными условиями понимаются следующие выражения: где 7t — границы ячейки периодичности, пронумерованные в соответствии с рисунком 3.1. При численном решении задачи периодические условия учитываются следующим образом: для каждого граничного узла подбирается соответствующая пара с противоположной границы и в матрице жёсткости [К] из 4.1.7 соответствующие коэффициенты заменяются на следующее выражение: где г — номер узла на границе ячейки периодичности, к — номер узла, расположенного на противоположной границе и соответствующего узлу г. При расчётах этого варианта триангуляция строилась так, что любой узел на границе ячейки имеет пару на противоположной границе. Этого можно добиться, если взять квадратную ячейку и противоположные стороны разбивать на одинаковое количество элементов. Ниже на рисунке (рис.4.11) приведена только функция N\. График представляет линии уровней функции iVi.
