Содержание к диссертации
Введение
1 Колебания стержневых конструкций 29
1.1 Уравнения линейной теории стержней 29
1.2 Сравнение собственных частот балки, полученных по разным моделям 31
1.2.1 Модель Коссера - Тимошенко 33
1.2.2 Модель с растяжением без сдвига 35
1.3 Метод возмущений 39
1.4 Малые поправки к частотам колебаний опоры с платформой малой массы 41
1.5 Влияние силы тяжести 47
1.6 Продольные колебания опоры с деформируемой платформой 52
1.7 Вынужденные колебания 59
1.8 Колебания двухопорной конструкции 65
1.9 Малые поправки, обусловленные учетом податливости на растяжение 68
1.10 Связанные пространственные колебания 74
2 Влияние внешней среды на колебания упругой системы 89
2.1 Основные уравнения идеальной жидкости 89
2.2 Движение цилиндра в идеальной несжимаемой жидкости . 92
2.3 О присоединенной инерции при изгибных колебаниях цилиндра 96
2.4 Влияние сжимаемости среды 98
2.5 Изгибные колебания в идеальной сжимаемой жидкости . 100
2.6 Малые колебания вязкой сжимаемой жидкости , , 103
2.7 Реакция вязкой жидкости на колебания цилиндра 106
2.8 Резонансные колебания балки в жидкости 108
2.8.1 Численный пример 111
2.9 Резонансные колебания морской буровой платформы с предварительно натянутыми связями 112
2.9.1 Уравнение движения нити 113
2.9.2 Резонансные колебания нити 114
2.9.3 Численные результаты 117
Колебания цилиндрической оболочки 119
3.1 Уравнения теории тонких оболочек 119
3.2 Уравнения цилиндрической оболочки в перемещениях . 125
3.3 Волны в оболочке 128
3.3.1 Дисперсионные кривые оболочки 129
3.3.2 Сравнение с кривыми для стержня 133
3.4 Колебания цилиндрической оболочки 135
3.4.1 Сравнение с теорией Гольденвейзера 136
3.4.2 Сравнение с собственными частотами стержня . 138
3.5 Свободные колебания оболочки в жидкости 142
3.5.1 Реакция жидкости на колебания оболочки 143
3.5.2 Дисперсионные свойства оболочки в жидкости 144
4 О неравномерности вращения гибкого вала в бурильной установке 148
4.1 Уравнения нелинейной теории стержней 148
4.1.1 Деформация стержня 148
4.1.2 Уравнения баланса и соотношения упругости 151
4.2 Стержень в трубке-оболочке 152
4.2.1 Форма трубки-дуга окружности, начальная форма вала - дуга окружности другого радиуса, жесткости на изгиб равны 153
4.2.2 Форма трубки - дуга окружности, вал изначально прямой, жесткости на изгиб различны 155
4.2.3 Форма трубки - дуга окружности, начальные кривизна и кручение малы, жесткости на изгиб равны 156
4.2.4 Пример расчета допустимой начальной кривизны вала 156
4.3 Влияние неоднородности угловой ориентации 158
Заключение 161
Список литературы
- Сравнение собственных частот балки, полученных по разным моделям
- О присоединенной инерции при изгибных колебаниях цилиндра
- Сравнение с кривыми для стержня
- Форма трубки-дуга окружности, начальная форма вала - дуга окружности другого радиуса, жесткости на изгиб равны
Введение к работе
Краткий обзор морских сооружений на континентальном шельфе
Необходимость освоения шельфа была вызвана истощением наиболее доступных и богатых месторождений на суше, трудностями добычи углеводородов в отдаленных и неосвоенных районах и все возрастающими потребностями в топливе.
Первые подводные нефтяные скважины были на отмели, в защищенных районах вблизи разрабатываемых береговых месторождений нефти. Стационарные платформы монтировались над поверхностью воды. В случае если буровые вышки устанавливались на баржах, последние лежали днищем на грунте и бурение нефтяных скважин, таким образом, происходило так же, как и на берегу.
Однако со временем скважины начали бурить вдали от берега, в связи с чем стали разрабатываться подвижные платформы, которые могли передвигаться к месту бурения и опираться во время бурения на дно при помощи выдвигающихся опор. Когда буровая вышка передвигалась с одного места на другое, опоры поднимались вверх, а при необходимости поднять рабочую платформу выше зоны досягаемости штормовых волн опоры с помощью гидравлических или механических домкратов опира-
лись о дно (рис. 1).
Рис. 1: Типы буровых установок. Слева направо: береговая платформа; стационарная платформа; самоподъемная подвижная буровая установка; полупогружная буровая установка с якорной системой удержания; буровое судно; платформа, с предварительно напряженными связями [66]
Для добычи нефти в глубоководных районах континентального шельфа стали создаваться новые буровые вышки на основе плавучих платформ без опор. Разработано два типа безопорных плавучих буровых вышек: полупогружиые платформы с глубоководными якорями и буровые суда с обычным корпусом, удерживаемые на месте производства работ глубоководными якорями и подруливающим устройством [51].
В последнее время на глубинах порядка 1000 м широко используются полупогружные плавучие буровые установки с гибкими предварительно напряженными связями (в зарубежной практике - платформы типа TLP).
В настоящее время в мире имеется более 6500 удаленных от бере-
га (оффшорных) нефтяных и газовых сооружений, расположенных в 53 странах.
Главные области расположения:
Америка (Мексиканский залив): 4000
Азия: 950
Ближний Восток: 700
Европа, Северное море и Северная Восточная Атлантика: 490
Побережье Западной Африки: 380
Южная Америка: 340
Эти сооружения построены для различных применений:
Бурение
Добыча и обработка нефти и газа
Опреснение морской воды
Размещение средств обслуживания
Стационарные платформы
Большую часть всех сооружений на морских нефтегазо промыслах составляют стационарные сооружения, т. е. комплексы прочно установленные на дне на постоянных фундаментах. К числу стационарных относят платформы с ферменным опорным основанием и гравитационные платформы.
Конструкции с ферменным опорным основанием
Сооружения этого типа состоят из собранного на береговой строительной базе металлического опорного основания, имеющего вид пространственной фермы пирамидальной формы, простирающейся от морского дна до некоторой отметки над водной поверхностью, и металлического, заранее (до установки) изготовленного верхнего строения (платформы). Платформа опирается на трубчатые сваи, забитые в грунт через колонны опорного основания. Эти сваи не только поддерживают платформу, но и фиксируют сооружение в целом от сдвигающих нагрузок, вызванных ветром, волной и течением.
Первая платформа такого типа была построена в 1936 г. на Каспийском море, в 1947 г. появилась первая платформа за рубежом - в Мексиканском заливе, на глубине 6 м [42].
Держащая сила свай, забитых через стойки опорного блока, может оказаться недостаточной для обеспечения устойчивости платформы от опрокидывания. В этом случае дополнительно забивают окаймляющие сваи. Они могут быть размещены по контуру блока или сконцентрированы около стоек.
Типичная конструкция глубоководной современной буровой платформы на опорном основании ферменного типа изображена на рис. 2. Это сооружение расположено в Мексиканском заливе у побережья штата Луизиана на глубине около 90 м. Верхнее строение имеет в плане размеры 18 х 36 м и массу около 900 т. Масса опорного основания около 1800 т. Восемь трубчатых свай, забитых через колонны опорного основания, имеют наружный диаметр 1.22 м и толщину стенки около 25 мм. В дополнение к ним по периметру основания забиты четыре окаймляющие сваи. Все
сваи забиты в грунт с наклоном 1 : 7 к вертикали на глубину от 60 до 90 м [24].
Рис. 2: Опорные блоки сквозной конструкции с различными вариантами размещения свай: а - со сваями, забитыми через колонны блока; 6-е дополнительными окаймляющими сваями
Опорные блоки изготовляют на берегу полностью или из нескольких ярусов. Транспортируют их либо на специальных баржах, либо на плаву. Опорный блок глубоководной платформы состоит из панелей - плоских боковых ферм - и соединяющих их диафрагм - плоских ферм, придающих жесткость всей пространственной конструкции. Основным элементом панелей и всего опорного блока являются стойки - металлические трубы диаметром 1.2 - 3.0 м (в отдельных случаях до 10 м), со стенками толщиной 15 - 50 мм. Общее число стоек в блоке может быть различным - от 4 до 15.
По высоте блока стойки могут иметь неодинаковый диаметр, и разные стойки одного блока могут отличаться по диаметру. Для придания
плавучести опорному блоку стойки одной из панелей делают значительно большими по диаметру, чем все остальные. С увеличением диаметра стоек резко возрастают трудности обеспечения устойчивости формы оболочек, которые подвергаются значительному внешнему гидростатическому давлению. Для обеспечения жесткости конструкции используются диафрагмы, переборки и ребра жесткости внутри стойки.
Сваи, крепящие опорный блок к грунту, представляют собой стальные трубы диаметром 0.92 - 2.13 м и стенками толщиной 38 - 64 мм, их забивают в донный грунт на глубину до 150 м. После погружения сваи на заданную глубину часть ее, выступающую над опорным блоком, срезают. По верху сваю и стойку блока соединяют сваркой, а пространство между ними цементируют. В отдельных случаях для усиления конструкции в наиболее уязвимых местах - на уровне воздействия льда и входа в грунт - внутрь сваи погружают дополнительно одну или несколько труб и вес пространство между ними цементируют.
Гравитационные конструкции
Опорные основания ферменного типа, описанные выше, обычно используются на мягких грунтах в районах, подобных Мексиканскому заливу, где глубоко забитые сваи удерживают все сооружение от сдвига и воспринимают вес верхнего строения. Для районов с твердыми грунтами, затрудняющими погружение свай, предложена иная конструкция опорного основания, которое удерживается от сдвига под влиянием ветра, волн и течения благодаря собственному весу.
Наиболее распространенным видом гравитационных конструкций является железобетонная конструкция с крупными цилиндрическими фун-
даментными ячейками, которые окружают несколько несвязанных друг с другом опорных колонн, поддерживающих верхнее строение с оборудованием. Рис. 3 отражает характерные особенности таких конструкций. Показанное здесь проектное решение, разработанное и осуществленное в Норвегии, известно под названием "Кондип" (concrete deepwater, т. е. бетонная, глубоководная).
Рис. 3: Гравитационная железобетонная буровая платформа типа "Кондип", используемая в Северном море
Основными элементами платформ этого типа являются фундаментный блок, образующий в плане фигуру, близкую к шестиугольнику; две, три или четыре опорные колонны и верхнее строение.
Опорные колонны в платформах типа "Кондип" представляют собой предварительно напряженные железобетонные оболочки вращения, цилиндрические в верхней части и конические в нижней. Внешний диаметр колонн от 9 - 13 м вверху увеличивается к основанию до 14 - 23 м. Соответственно меняется и толщина стенки колонны: от 0.4 - 0.6 м вверху до
0.6 - 1.0 м у основания. Сужение колонны в верхней части обусловлено стремлением к уменьшению волновых нагрузок.
Внутренний объем колонн используется по-разному. Так, например, в двух из четырех колонн платформы "Статфьорд В" размещены трубы-кондукторы, предназначенные для пропуска бурильных труб, третья колонна - "разводная " - служит для прокладки трубопроводов, связывающих ячейки нефтехранилища в фундаментном блоке с рейдовым причалом и другими платформами в районе месторождения, а четвертая колонна разделена переборками на 13 этажей, на которых установлены насосы, вентиляционное, энергетическое и другое оборудование.
Для всех осуществленных конструкций глубоководных платформ характерны: значительное по площади опирапие на грунт; использование внутренних объемов сооружения - ячеек фундаментного блока и колонн - в качестве хранилищ добытых углеводородов; высокая степень готовности сооружения перед перегоном от береговой строительной базы к месту установки на дно.
Подвижные буровые установки
Подвижные буровые установки во время эксплуатации удерживаются и фиксируются над точкой бурения, опираясь фундаментным блоком корпуса непосредственно на морское дно (погружные), посредством выдвижных опор (самоподъемные), с помощью гибких связей (полупогружные и TLP-платформы) или систем динамического позиционирования (буровые суда).
Погружные буровые установки
Погружные буровые установки предназначены в основном для разведочного, а также эксплуатационного бурения на участках шельфа с небольшой глубиной (от 3 до 30 метров). Эти установки обладают качествами, свойственными судовым конструкциям, и поэтому их можно буксировать к месторождению на значительные расстояния. После приема балласта (забортной воды) и погружения на дно погружная буровая установка приобретает свойства гравитационного гидротехнического сооружения. Основными элементами установки являются верхний корпус, нижний корпус (или фундаментный блок), опирающийся непосредственно на морское дно, и опорные колонны, связывающие верхний и нижний корпуса.
Рис. 4: Погружная буровая установка "Трансуорлд - 65": 1 - морское дно; 2 - фундаментный блок; 3 - стабилизирующая колонна; 4 - верхнее строение; 5 - склад бурильных труб; 6 - буровая вышка; 7 - трубчатые связи
Наибольшее распространение получили погружные буровые установки с тремя стабилизирующими колоннами бутылеобразной формы на
уширенных понтонах-башмаках (рис. 4) "Трансуорлд-65". Стабилизирующие колонны этих установок имеют диаметр от 4 до 9 м; элементы пространственной решетки, соединяющей колонны, выполняют из труб диаметром 1.5 - 2.5 м. Высота установки (от дна до главной палубы) -около 30 м. Буровая вышка высотой 42 - 45 м может перемещаться по палубе и устанавливается над центром тяжести установки на плаву, а при эксплуатации на точке бурения она смещается в пределах габаритов консоли, имеющей вылет до 13 м.
Сам о подъемные плавучие буровые установки
Самоподъемные плавучие буровые установки предназначены для бурения в основном разведочных и, реже, эксплуатационных скважин на нефть и газ на участках шельфа глубиной до 120 м. В походном положении установка находится на плаву, а над точкой бурения при эксплуатации ее верхний корпус с буровой вышке поднимается по опертым на грунт колоннам и вывешивается над водой. Колонны могут опираться на грунт различной плотности, причем подготовка грунтового основания не требуется.
Основными конструктивными элементами самоподъемиой плавучей буровой установки являются водоизмещающий корпус (понтон) и опорные колонны (рис. 5). Преобладают трех- и четырехопорные конструкции. Форма понтона в плане зависит главным образом от числа опорных колонн, т.е. при четырех или большем числе колонн она близка к прямоугольной, при трех колоннах - к треугольной. Буровая вышка, которая располагается на перемещающемся портале, и другое технологическое оборудование обеспечивают проходку глубоких скважин (до 6.5 тыс. м).
ft Iff >' " ,fl .'V S» ,'fl ,» /ff /// у
Рис. 5: Самоподъемная плавучая буровая установка на плаву (а) и при стоянке на грунте (б): 1 - корпус; 2 - буровая вышка; 3 - опорная колонна; 4 - краны; 5 - надстройка; 6 - портал колонны с подъемным механизмом; 7 - вертолетная площадка; 8
- башмак
Применяются в основном два конструктивных типа опорных колонн
- цилиндрические и ферменные (с треугольной или квадратной фор
мой сечения). Цилиндрические колонны более технологичны. Но по ме
ре возрастания расчетной глубины моря для обеспечения необходимой
изгибной жесткости колонн приходится увеличивать их диаметр и тол
щину стенки, что приводит к повышению металлоемкости конструкции.
Опорная колонна любого типа имеет понизу заостренный башмак, об
легчающий фиксацию колонн в донном грунте.
Для постановки на слабые грунты разработана конструкция самоподъемной плавучей буровой установки с нижним корпусом - опорным матом (рис. 6), опускаемым вместе с колоннами на морское дно. Нижний корпус используется для придания буровой установки плавучести в походном положении и для хранения нефти при эксплуатации. Эта кон-
струкция имеет телескопические колонны, выполняемые из двух трубчатых секций, в походном положении входящих одна в другую. Конструкции такого типа эксплуатируются на глубине до 115 м.
Рис. 6: Самоподъемная плавучая буровая установка фирмы "Бэтлхэм Стил"с телескопическими опорными колоннами: 1 - опорный мат; 2, 3 - нижний и верхний участки опорной колонны; 4 - корпус; 5 - портал колонны с подъемным механизмом; 6 - буровая вышка; 7 - поперечные связи; 8 - проем для морского стояка
Для глубин моря порядка 160 м разработана конструкция двухъярусной самоподъемной установки (рис. 7). Колонны верхнего яруса жестко закреплены в решетчатый нижний корпус. Колонны нижнего яруса снабжены балластными цистернами, заполняемыми водой при опускании колонн и продуваемыми при извлечении их из грунта и переводе установки в походное положение.
Полупогружные плавучие буровые установки
Полупогружные плавучие буровые установки предназначены в основном для разведочного бурения на шельфе с глубинами 180 - 200 м и более
Рис. 7: Двухъярусная самоподъемная плавучая буровая установка на плаву (а) и при стоянке на грунте (б): 1 - решетчатый нижний корпус; 2 - колонна нижнего яруса; 3 -колонна верхнего яруса; 4 - корпус; 5 - вертолетная площадка; 6 - портал подъемника; 7 - буровая вышка; 8 - консоль; 9 - морской стояк
при любых грунтовых условиях.
Основные элементы установки - верхнее строение, понтоны и стабилизирующие колонны, они жестко соединены горизонтальными, вертикальными и наклонными трубчатыми связями (рис. 8).
Стабилизирующие колонны выполняют обычно в форме круговых цилиндров диаметром 6 - 12 м. Внутренний объем колонн разбивают на водонепроницаемые отсеки, которые используются как складские помещения и цистерны с пресной водой.
Понтоны образуют основной водоизмещающий объем установки, когда она находится в транспортном состоянии и имеет минимальную осадку. При эксплуатации конструкция подводной части корпуса должна обеспечивать минимальные нагрузки от волнения и течения, а надводной части - минимальные ветровые нагрузки. Для этого установку притап-ливают, принимая воду в балластные отсеки, размещенные в стабилизи-
рующих колоннах и понтонах.
Рис. 8: Полупогружная плавучая буровая установка с двумя понтонами: 1 - понтон; 2 - стабилизирующая колонна; 3 - верхнее строение; 4 - трубчатые связи; 5 - якорные связи
Буровую вышку обычно располагают в центре установки, но известны установки со смещенной вышкой. Для ведения буровых работ в условиях волнения качка установки должна быть минимальной. Установка удерживается над точкой бурения системой позиционирования, которая состоит из средств удержания и средств контроля положения установки.
Средства удержания выбирают с учетом диапазона глубин, на которых должна работать установка: при глубинах до 200 м применяют пассивные средства - якорную систему удержания на свободно провисающих связях, при глубинах от 600 до 1000 м и более - активные средства - автоматически управляемые движители, гребные винты и подруливающие устройства; в диапазоне 200 - 600 м - комбинацию пассивных и активных средств.
К достоинствам подобных систем можно отнести большую стабиль-
пость и хорошие характеристики движения при любой погоде и ветре, возможность нести достаточно тяжелый груз, поддерживать довольно большое количество вертикальных трубопроводов и скважин, это относительно недорогие пришвартовывающиеся системы. Недостатком является непрактичность для хранения нефти.
Полупогружные плавучие буровые установки с гибкими предварительно напряженными связями (платформы типа TLP)
Область применения буровых установок с гибкими предварительно напряженными связями несколько иная по сравнению с установками, оснащенными якорной или динамической системами удержания, и со стационарными платформами. Во-первых, они предназначены в основном для бурения эксплуатационных скважин и добычи нефти и по этому признаку ближе к стационарным платформам. Во-вторых, их применяют для разработки небольших месторождений, где использование стационарных платформ нерентабельно, т.е. они могут быть передислоцированы на другое место.
В установках данного типа система удержания состоит из большого числа вертикальных или наклонных связей, закрепленных у морского дна и натянутых за счет избыточной плавучести корпуса установки. В качестве гибких связей могут быть использованы канаты (стальные или синтетические), цепи, трубы. Испытания различных видов связей по-, казали, что только стальные канаты и стальные трубы удовлетворяют предъявляемым требованиям в отношении долговечности, коррозийной стойкости, жесткости и простоты операций по установке.
Крепление представляет собой либо один крупногабаритный донный
бетонный массив или металлический понтон, балластируемый водой, либо группу массивов, каждый из которых удерживает несколько связей, либо гирлянду из донных массивов, удерживающих связь. В транспортном положении массивы подтянуты к корпусу установки, а над точкой бурения опущены на дно.
Перед натяжением связей корпус установки притапливают, принимая забортную воду, слабину связей выбирают и фиксируют положение точки крепления связи па корпусе. После сброса балласта корпус установки приобретает избыточную плавучесть и натягивает одновременно все связи.
На рис. 9 показана буровая платформа "AUGER", установленная в Мексиканском заливе на глубине 870 м. Ее эксплуатация началась в 1994 г., она стала первой платформой в этом заливе, используемой одновременно для бурения и добычи нефти [65].
Стабили
зируюшис
колонны
Верхнее строение
Труоо- -проводы
Гибкие
связи
Сваи —
Скпажииы
Рис. 9: Буровая установка "AUGEE'Vima TLP
Высота всей установки составляет 1000 м. Платформа удерживается 12-ю стальными трубами длиной около 840 м, каждая труба имеет
диаметр 66 см и толщину стенки 3.3 см. Общая масса 12-ти труб равна 5800 т.
Предварительное натяжение связей создаст благоприятные условия для удержания установки над точкой бурения. Платформа не может двигаться вверх и вниз в волнах, и эта стабильность делает возможным использовать более простые и менее дорогие вертикальные трубопроводы, а контрольно-измерительная аппаратура для скважин может быть расположена на палубе платформы. Платформа может поддерживать большое количество вертикальных трубопроводов и скважин. Недостатком подобных систем является относительно дорогостоящее строительство и установка, а также непрактичность для нефтехранения.
На выбор конструктивного типа и размера сооружения для освоения месторождения на морском шельфе влияют естественные условия залегания, стратегия освоения этого месторождения, а также внешние условия, в которых должно транспортироваться, возводиться и эксплуатироваться сооружение.
Общая характеристика работы
Актуальность темы
При проектировании сооружений морского шельфа для оценки их жесткости необходимы расчеты колебаний. Причинами колебаний могут быть неуравновешенность двигателя, реакция буровой колонны и гидродинамические силы при срывном обтекании.
Однако морские буровые платформы - тонкостенные конструкции, частично погруженные в жидкость, - представляют собой достаточно
сложные объекты для аналитического и численного анализа. В настоящее время несколько известных программ позволяют рассчитывать взаимодействие деформируемых тел с жидкой средой методом конечных элементов. Подобным расчетам посвящено множество работ, но лишь в некоторых проводится сопоставление результатов с экспериментальными данными или с аналитическими расчетами.
Для оценки реальной точности численных результатов, повышения эффективности алгоритмов решения связанных задач и тестирования программных модулей необходимы аналитические расчеты колебаний упругих конструкций с учетом влияния жидкости на инерционные и демпфирующие свойства системы. Разработка и анализ соответствующих математических моделей, а также создание на основе этих моделей программ, позволяющих провести необходимые численные эксперименты, представляют научный и практический интерес.
Цель работы
Целью диссертационной работы является создание математических моделей и анализ динамики упругих тонкостенных конструкций, взаимодействующих с жидкостью и буровой установкой. В связи с этим ставятся следующие задачи:
— построение точных аналитических решений уравнений теории стерж-
ней и теории тонких цилиндрических оболочек для определения спектральных свойств ряда идеализированных моделей;
- нахождение аналитических решений связанных задач гидроупругости
для учета влияния жидкости на свободные и вынужденные колсба-
ния погруженных объектов;
- постановка и решение задач нелинейной теории стержней для исследо-
вания неравномерности вращения бурильной колонны в скважине -как одной из причин вибрации конструкций;
- создание эффективных программ для проведения необходимых чис-
ленных экспериментов;
- получение численных результатов методом конечных элементов и
сравнение их с аналитическими;
- разработка практических рекомендаций на основе численных экспери-
ментов.
Методы исследования
При расчете колебаний стержневых моделей используются уравнения линейной теории упругих стержней. Метод возмущений применяется для нахождения малых поправок к собственным частотам, связанных с тяжестью, дополнительными массами и податливостями.
Исследование спектральных свойств оболочки проводится путем решения дифференциальных уравнений лагранжсвой механики тонких оболочек.
Силы сопротивления жидкости определяются из аналитического решения двумерных задач гидромеханики для длинного стержня и длинной цилиндрической оболочки в безграничной жидкой среде. Для описания жидкости используются линеаризованные дифференциальные уравнения модели идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкости, а также
модель сжимаемой вязкой жидкости. При решении задачи о вынужденных резонансных колебаниях нити и стержня в жидкости использован метод сингулярных возмущений, главный член асимптотики находится с помощью условий разрешимости для малых поправочных членов на следующих шагах.
При рассмотрении механики бурильной колонны построены аналитические решения уравнений нелинейной теории стержней.
Для нахождения численных результатов на основе аналитических расчетов построены процедуры в системе компьютерной математики MAPLE. Конечно-элементные расчеты проведены с использованием программы ANSYS.
Научная новизна
В диссертации получены следующие новые результаты:
- разработан метод возмущений для решения задач о колебаниях стерж-
невых систем;
- рассмотрены главные колебания и волны в цилиндрической оболочке
с использованием дифференциальных уравнений лагранжевой механики тонких оболочек;
- выполнен асимптотический анализ вынужденных резонансных коле-
баний нити и стержня в сжимаемой вязкой жидкости;
- исследовано влияние идеальной сжимаемой жидкости на спектраль-
ные свойства цилиндрической оболочки;
- получена особая форма нелинейных уравнений стержней и исследо-
вана неравномерность вращения упругой буровой колонны в скважине.
Достоверность
Достоверность полученных в работе результатов обусловлена
- корректным использованием основных положений механики деформи-
руемого твердого тела и гидромеханики;
применением высокоточных алгоритмов и программ;
сравнением результатов, полученных по разным моделям;
сопоставлением аналитических расчетов с результатами, полученными
методом конечных элементов.
Практическая ценность
Результаты работы могут быть использованы при проектировании и диагностике конструкций морских буровых установок; при оценке допустимости параметров бурильной колонны (начальной кривизны и кручения, неоднородности угловой ориентации), а также при разработке и тестировании программных модулей для расчетов связанных задач методом конечных элементов.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на семинаре Политехнического симпозиума "Молодые ученые - промышленности северо-западного ре-
гиона" (С.-Петербург, 2003); на Всероссийских конференциях по проблемам науки и высшей школы "Фундаментальные исследования в технических университетах" (С.-Петербург, 2004, 2005 гг.); на Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов XXXIII Неделя Науки СПбГПУ (С.-Петербург, 2004); на седьмой международной конференции по проблемам механики ICOVP-2005 (Стамбул, Турция, 2005).
Публикации
По теме диссертации опубликовано десять печатных работ.
Содержание работы
Основное содержание излагается в четырех главах. В первой главе получены решения задач о свободных и вынужденных колебаниях упругих стержневых систем без учета влияния жидкости. Используется стержневая модель Кирхгофа-Клебша. В качестве основной модели рассматривается четырехопорная конструкция с прямоугольной твердой плитой. Предварительно изучаются упрощенные модели - с одной и двумя опорами. Использование свойств симметрии позволяет свести основную постановку к рассмотренным ранее. Отдельно рассматривается задача о свободных продольных колебаниях опоры с круглой деформируемой платформой, моделируемой пластиной Кирхгофа.
Метод возмущений используется для нахождения поправок к собственным частотам одноопорной конструкции при учете малой массы платформы и силы тяжести, а также при учете податливости опор на растяжение в модели с двумя опорами. Выполнены необходимые числен-
ные расчеты с помощью процедур, написанных в системе компьютерной математики MAPLE. Для ряда рассмотренных задач получены решения методом конечных элементов с помощью программы ANSYS.
Вторая глава посвящена учету влияния жидкости на свойства погруженной в нее конструкции. Первоначально рассматривается модель идеальной несжимаемой жидкости, эта модель используется в большинстве инженерных расчетов гидромеханики кораблей и водных сооружений. Рассмотрено классическое представление о присоединенных массах для учета влияния идеальной несжимаемой жидкости на колебания твердого цилиндра. Получено решение для цилиндра с синусоидально меняющимся прогибом, позволяющее оцепить влияние деформации тела на присоединенные массы.
Однако модель идеальной несжимаемой жидкости позволяет учесть лишь инерционное воздействие, для изучения влияния жидкости на демпфирующие свойства системы рассматривается модель идеальной сжимаемой жидкости. Реакция жидкости определяется из двумерной задачи гидромеханики о движении цилиндра в безграничной жидкой среде. Найденная реакция используется для нахождения собственных частот балки, полностью погруженной в жидкость. Проводится численное сравнение полученных частот с собственными частотами, найденными с помощью присоединенных масс.
Как известно, обтекание жидкостью преграды цилиндрической формы может вызвать колебания этой преграды от срыва вихрей. С целью изучения этих колебаний рассматривается модель вязкой сжимаемой жидкости. Получено выражение для реакции жидкости на движение в ней цилиндра. Методом сингулярных возмущений решены задачи
о вынужденных резонансных колебаниях стержня и натянутой нити в вязкой сжимаемой жидкости.
В третьей главе исследуются спектральные свойства тонкой цилиндрической оболочки. Используются новые уравнения, полученные методами лаграижевой механики. Получены дисперсионные уравнения и построены дисперсионные кривые оболочки. Найдены собственные частоты "сухой" и погруженной в жидкость оболочки. Проведен сравнительный анализ частот с полученными ранее собственными частотами стержня кольцевого поперечного сечения.
Четвертая глава посвящена проблеме бурения. Получена особая форма нелинейных уравнений стержня для решения задачи о вращении гибкого упругого вала в жесткой трубке произвольной формы. Численные результаты получены для нескольких случаев начальной формы вала, вращающегося в трубке, которая имеет форму дуги окружности. Показано, что вращение ведомого конца вала может быть неравномерным даже при строго равномерном вращении ведущего конца и найдена количественная оценка неравномерности.
Сравнение собственных частот балки, полученных по разным моделям
Вместо соотношений упругости для компонент Qly Q2 в общей системе уравнений будет 7fc = 0, к — 1,2. Эта модель называется стержневой моделью Кирхгофа-Клебша. Как правило, в модели с растяжением без сдвига используется упрощенное выражение тензора инерции J, учитывается только инерция вращения вокруг касательной. В линейной статике стержней справедлива теорема взаимности работ [25] і о где индексы 1 и 2 характеризуют два различных состояния стержня, q и т - это внешние сила и момент на единицу длины, a Q и М - нагрузки на концах. Эта теорема будет использована далее при нахождении малых поправок к собственным частотам стержня.
В этой главе опоры морских сооружений будут моделироваться прямыми стержнями, защемленными одним концом. Для прямых стержней можно считать, что перекрестные связи отсутствуют, и пренебречь соответствующими податливостями. Тогда дифференциальные уравнения стержневых моделей Коссера и Кирхгофа-Клебша распадаются на четыре группы, описывающие растяжение, кручение и изгиб в двух плоскостях. Уравнения растяжения и кручения для обеих моделей совпадают. Для изгиба по модели Коссера получается уравнение балки Тимошенко, а по модели Киргофа-Клебша - уравнение балки Бернулли-Эйлера.
Рассматривая задачу о колебаниях стержня, СП. Тимошенко показал [45], что влияние инерции вращения и деформации сдвига на низшую частоту достаточно длинной однородной прямой сплошной балки очень мало, оно оказывается существенным в случаях более высоких частот, коротких балок, наличия неоднородностей и т.п.
Выясним насколько велико расхождение первых трех собственных частот изгибных колебаний балки кольцевого поперечного сечения, вычисленных по двум стержневым моделям, относительно частот, найденных для стержня в постановке трехмерной теории упругости. ПроведехМ это сравнение при различных значениях относительной длины балки.
Видно, что р2 0, поэтому всегда есть два мнимых корня Ait2 = ±гр(ш), соответствующих одному спектру собственных частот. Величина q2 имеет знак (l —typify ), па низких частотах она положительна и Аз,4 — ±q(u) - второго спектра нет. Выполнение условия (р2 1//31/ соответствует второму, высокочастотному спектру.
Общее решение для форм колебаний выражается в виде где Ck - неизвестные константы. Принимая Uk = 1, из (1.10) найдем 9 : Граничные условия (1.9) ведут к системе уравнений относительно констант Ck Приравнивая определитель этой системы к нулю, получим частотное уравнение для искомых частот шп.
Момент инерции кольцевого поперечного сечения стержня и жесткость па изгиб рассчитываются по следующим формулам жесткость стержня на сдвиг определяется по энергии деформации [26]: обьемная плотность материала, Е - модуль упругости, [і -модуль сдвига, v - коэффициент Пуассона, F - площадь поперечного сечения, R - внешний радиус кольца, г - внутренний радиус.
В этом случае набор частот один, искомые частоты находятся по формуле Шп = J t Посчитаем частоты изгибных колебаний для стержня с поперечным сечением в виде кругового кольца с внешним радиусом R — 0.5 м и толщиной стенки h = 0.05 м. Стержень изготовлен из стали со следующими свойствами: модуль Юнга Е = 2.1 1011 Н/м2, коэффициент Пуассона v — 0.28, плотность р = 7800 кг/м3.
О присоединенной инерции при изгибных колебаниях цилиндра
Из (2.22) следует, что при увеличении волнового числа присоединенная масса уменьшается. Что не совпадает с результатом (2.15), полученным для абсолютно твердого цилиндра. Это объясняется тем, что при — 0, вследствие отсутствия в модели характерного размера вдоль оси цилиндра, не осуществляется предельный переход к абсолютно твердому цилиндру.
Влияние сжимаемости среды Учтем сжимаемость жидкости. Воспользуемся акустическим приближением, описанным, например, в работе [43].
Рассмотрим движение идеальной сжимаемой жидкости с малыми возмущениями давления р = Ро+Р плотности р — ро+р и скорости v. Будем считать, что массовые силы отсутствуют, р, р и v - малые одного порядка. Тогда, пренебрегая малыми второго порядка, для жидкости получим следующую систему уравнений: уравнение баланса сил, р — с2р, с2 = (dp/dp)\0 - уравнение состояния, р + A) - уравнение неразрывности. Из этой системы получим волновое уравнение для давления:
Для того, чтобы понять, как влияет сжимаемая жидкость на колеблющуюся в ней упругую систему, рассмотрим простейшую одномерную задачу. Пусть грузик на пружинке взаимодействует со столбом жидкости площадью S (рис. 2.3).
Грузик па пружинке, взаимодействующий со столбом жидкости Для грузика имеем уравнение баланса сил: для жидкости - волновое уравнение:
На поверхности грузика его скорость совпадает со скоростью жидкости U(t) = v(0,t). Учитывая уравнение баланса сил для жидкости, получим Рассмотрим случай вынужденных колебаний: Откуда находим Р(х) = Ліе іих с + A2eiwx c. В силу условия излучения Да = 0. Вторую константу определим из условия (2.26): А1 = Р(0) = iwpacUo. (2.30) Для определения амплитуды перемещения грузика имеем равенство: (-тсо2 + iujpocS + k)UQ = F0. (2.31)
Уравнение (2.31) аналогично уравнению для амплитуды в задаче о вынужденных колебаниях грузика на пружинке при линейном демпфировании. Т.е. в рассмотренной задаче не возникает присоединенная масса, сжимаемая среда даст лишь вязкость, а не инерцию.
Рассмотрим задачу об изгибиых колебаниях упругого стержня большой длины в идеальной сжимаемой жидкости. Для нахождения распределенной нагрузки, действующей на стержень со стороны жидкости при его движении, предлагается решить двумерную задачу для цилиндра. Пусть цилиндр радиуса R перемещается по закону
Решение этого уравнения можно представить в виде линейной комбинации функций Крылова: Пусть стержень защемлен в сечении х = 0 и свободен на конце при х = I: Искомую частоту из найдем из следующего уравнения:
Вычислим частоты свободных колебаний стержня длиной I = 100 м, изготовленного из материала с модулем Юнга Е = 2.1 10п Н/м2 и плотностью р = 7800 кг/м3. Поперечное сечение стержня - кольцо с внутренним радиусом 7?i =4.5 м и внешним R% = 5 м. Скорость звука в жидкости с = 1500 м/с, плотность жидкости примем равной средней плотности морской воды на большой глубине ро = 1028 кг/м3 [51].
Первые пять частот стержня, найденные по рассмотренным выше моделям, приведены в таблице Частота колебаний "сухого" стержня обозначена /о, частота колеба-пий в сжимаемой жидкости Частоты посчитаны с помощью, присоединенных масс, найденных по формулам (2.15) и (2.22) соответственно.
Эти результаты показывают, в частности, что учет сжимаемости обязателен для моделирования демпфирования. Малые колебания вязкой сжимаемой жидкости
Рассмотрим модель вязкой сжимаемой жидкости. Для решения задач о колебаниях опор морских сооружений необходимо получить аналитическое представление реакции жидкости на установившееся колебательное движение твердого цилиндра.
Двумерная задача о вибрации кругового цилиндра в вязкой сжимаемой жидкости была рассмотрена в работе А.Н. Гузя [20]. Линеаризованные уравнения жидкости использованы для определения силы, действующей на твердый цилиндр. Тем же автором в [19] были получены основные соотношения задачи вибрации цилиндра в потоке вязкой сжимаемой жидкости, а в [22] рассмотрено нестационарное движение цилиндра. В последней работе применяется интегральное преобразование Лапласа и получено выражение реакции жидкости в пространстве изображений. Однако аналитическое обращение этого выражения возможно лишь для малых моментов времени с использованием асимптотических разложений. Реакция вязкой сжимаемой жидкости на цилиндр при переходе к установившемуся процессу определяется в работе [5] численно.
Здесь давление определяется как среднее нормальное напряжение, второй коэффициент вязкости выражен через г/. Это справедливо при условии, что в жидкости не рассматриваются быстроразвивагощисся процессы [30].
Сравнение с кривыми для стержня
Этим значениям соответствуют три типа волн, бегущих вдоль оболочки, причем положительные волновые числа р отвечают волнам, бегущим в сторону увеличения координаты х, а отрицательные - бегущим в сторону уменьшения X.
На рис. 3.3 показаны дисперсионные кривые, соответствующие этим трем типам волн, для случая v = 0.28, h/R — 0.01. Каждый тип обозначен цифрой от 1 до 3. Сплошными линиями изображены дисперсионные кривые при значении параметра га = 1, пунктирными - при га = 4.
Тангенс угла наклона линии, соединяющей начало координат с точкой на дисперсионной кривой, пропорционален значению фазовой скорости в этой точке, поскольку фазовая скорость
Скорость переноса энергии волной характеризует групповая скорость сд = du /dX, она пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к дисперсионной кривой [3].
Как видно из графика, с увеличением параметра т фазовые скорости воли типа 2 и 3 увеличиваются, а групповые скорости уменьшаются.
Дисперсионные кривые волн 1-го типа при т 1 начинаются на оси ординат. Это хорошо видно на рис. 3.4, где представлены дисперсионные ветви для трех значений параметра т. Ветвь, соответствующая параметру т — 1, начинается в начале координат, как будет показано ниже, на низких частотах она соответствует изгибу оболочки как балки (с преобладанием нормальных смещений).
Точки дисперсионных ветвей на оси ординат соответствуют не бегущим волнам, а некоторым колебательным движениям оболочки, независящим от осевой координаты х.
Полагая Л = 0 в (3.14) и подставляя в (3.11), нетрудно показать, что начала ветвей, соответствующих волнам типа 2, определяют случай "чистого" сдвига. Все сечения оболочки, перпендикулярные оси х, движутся одинаково, только вдоль этой оси. Причем одни части каждого сечения движутся в одном направлении оси, другие - в противоположном. Это движение происходит с частотой ш = ту (1 — и)/2.
Начала ветвей, соответствующих волнам типа 1 и 3, определяют колебания в плоскости сечений, перпендикулярных оси X.
Первый тип осесимметричных волн соответствует "чистому" кручению: точки каждого сечения оболочки, перпендикулярного оси х, одинаково поворачиваются вокруг этой оси, причем угол поворота зависит от координаты х. В этом случае фазовая скорость постоянна - дисперсии нет:
Второму и третьему типу осесимметричных волн соответствуют две дисперсионных ветви II, III. Эти волны представляют собой взаимодействие осевых Ux и нормальных Un смещений.
Точка ветви III, лежащая па оси ординат, соответствует осесиммет-ричному колебанию оболочки, при котором все сечения, перпендикулярные оси х, движутся одинаково. Перемещения происходят лишь в направлении нормали, оболочка "дышит". Это колебание происходит с также показаны дисперсионные кривые волн типа 13 при т = 1. При большом волновом числе эти волны принимают вид осесимметричных волн I - III.
Сравнение с кривыми для стержня Логично предположить, что на низких частотах цилиндрическая оболочка ведет себя как стержень с тонким кольцевым сечением. Рассмотрим возможность существования бегущих волн в стержне и сравним дисперсионные кривые.
Продольная деформация стержня описывается уравнением (1.5). Для бегущих волн их = щег(Хх ш получим, что дисперсии нет u//A = VKJp, {Ъх/р = Е/ръ), 134 или во введенных для оболочки безразмерных параметрах и /р = у/1 - іА (3.17) (Здесь в качестве радиуса R используется радиус срединной поверхности стержня). Фазовая скорость крутильных волн в стержне также постоянна " /P=)f - (3-18) Разыскивая волновые решения уравнений изгиба балки Бернулли-Эйлера (1.14) иу = иоег(-Хх "г\ получим аг\А - рш2 = О, = LJ/X = \y/az/pt здесь имеет место дисперсия. Для стержня с кольцевым сечением а- = т ( -f") Р = Р «{&-?), где R — R + h/2 - внешний радиус, г = R — h/2 - внутренний радиус. Во введенных обозначениях дисперсионное уравнение изгибных волн принимает вид /р-Р - (1+3 ), [c? = J y (3.19)
Вычисления показывают, что на низких частотах поведение оболочки хорошо согласуется с поведением стержня. На рис. 3.6 представлены зависимости безразмерной частоты продольных и изгибных волн в стержне от безразмерного волнового числа для рассмотренного случая v = 0.28, h/R — 0.01. На том же графике показаны начальные участки дисперсионных кривых волн 1-го типа при т = 1 и 11-го типа в оболочке.
Форма трубки-дуга окружности, начальная форма вала - дуга окружности другого радиуса, жесткости на изгиб равны
Частицы стержня взаимодействуют посредством сил Q (з) и моментов М (s). Их баланс выражается уравнениями где q и m - внешние сила и момент на единицу длины.
В полной системе уравнений механики стержней имеем также выражения деформаций и соотношения упругости:
Тензор а определяет жесткость стержня на изгиб и кручение. Обычно полагают (в диадном представлении) Здесь аз = at - жесткость на кручение, а\ - на изгиб. Это обосновано для стержней из однородного изотропного материала [25].
Для гибкого вала в жесткой трубке функция г (s) задана, неизвестен лишь угол поворота p(s). Проектируя уравнение моментов (4.4) на касательную, получим
Будем считать вращение настолько медленным, что силы инерции пренебрежимо малы. Тогда при отсутствии трения m = 0. Уравнение (4.7) имеет вид и в общем случае интегрируется лишь численно. Но если д = д (tp), проходит следующее решение:
Постоянные cit2 находятся из граничных условий. На ведущем конце - заданный монотонно возрастающий угол поворота. На свободном и ненагруженном ведомом конце
Решив уравнение (4.8), найдем угол Фі = р (I). Передаточное отношение йФі/йФц представляет наибольший интерес.
Форма трубки — дуга окружности, начальная форма вала — дуга окружности другого радиуса, жесткости на изгиб равны
В этом случае г = 7 = 0 (всегда для плоской кривой), щ = О, к и / постоянны, Й1 — а 2 = а, и задача принимает вид Введение переменной ф - известный прием. При возрастании s от 0 до I угол убывает от Фо до Ф;, cos р/2 соответственно возрастает, а ф возрастает от -00 = arcsin (w"1 соэФо/2) до тг/2. Появляются эллиптические интегралы первого рода - неполный и полный [27]:
Это - параметрическое представление функции Ф (Фо) Рис. 4.4: Зависимость угла поворота ведомого конца вала от угла поворота ведущего конца при а 7г/2 Подчеркнутое выражение в скобках определяет амплитуду угловых колебаний ведомого конца. Колебание ведомого конца вала является важным недостатком конструкции, амплитуда этого колебания должна быть ограничена. Пусть ось вала в недеформированном состоянии лежит в плоскости (то = 0) и изогнута по синусу (рис. 4.6): rQ(s) — x{3)i + AoBm{ Qx{s))j.
Вал почти прямой: отношение амплитуды искажения формы А0 к длине У, Рис. 4.6: Ось вала в начальном состоянии вала 1 мало; в длине вала укладывается небольшое число полуволн. Вал помещают в жесткую трубку, изогнутую по дуге окружности (с кривизной к), жесткости вала на изгиб равны (аі =аг = а).
Определим какой должна быть амплитуда начального искажения формы вала А$ при заданном волновом числе, чтобы амплитуда колебаний ведомого конца вала лежала в допустимом диапазоне. Для этого воспользуемся формулой (4.20).
Начальная кривизна вала, при введенных ограничениях, определяется так Амплитуда колебаний ведомого конца вала должна быть меньше допустимого значения где п [о//тг] - целая часть числа полуволн, укладывающихся в длине вала.
Посчитаем допустимую амплитуду начального искажения формы вала круглого поперечного сечения радиуса Я = 0.2 м, длиной I — 100 м, изготовленного из стали с модулем упругости Е — 2.1 - 10й Н/м2 и коэффициентом Пуассона v = 0.28. Пусть кривизна трубки к = 0.01 м-1, а допустимое значение амплитуды колебаний А$ = 0.1 рад.
В таблицу 4 сведены четыре варианта расчета максимально допустимого значения амплитуды Л о в зависимости от количества т полуволн в начальной форме вала.
Главные оси тензора жесткости о в некоторых случаях не направлены вдоль ортов ег-, например, когда материал стержня анизотропен.
Другой пример - случай неоднородности угловой ориентации: когда стержень состоит из одинаковых секций, изготовленных из однородного изотропного материала, которые соединены с некоторой угловой неточностью. В этом случае тензор а может быть представлен в виде где at — az - жесткость на кручение, а = а\ = а2 - жесткость на изгиб, тензор ct(s) - малая добавка.
