Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Метод отсеков для расчета колебаний составных конструкций 10
1.1. Уравнения колебаний отсека в обобщенных координатах 10
1.2. Редуцирование уравнений колебаний отсека способом квазистатической аппроксимации 12
1.3. Редуцирование уравнений колебаний отсека способом динамической аппроксимации 13
1.4. Отсеки в виде оболочек вращения и круговых шпангоутов , 14
ГЛАВА 2. Конечно-элементная модель для расчета колебаний тонких оболочек вращения 21
2.1. Постановка задачи. Основные соотношения 21
2.2. Аппроксимация перемещений КЭ. Обобщенные координаты 24
2.3. Потенциальная и кинетическая энергии КЭ в обобщенных координатах ... 26
2.4. Матрицы жесткости и инерции круглой пластины плоского днища оболочки вращения
2.5 Уравнения колебаний КЭ-модели оболочки вращения 33
2.6 Расчет собственных колебаний полусферической оболочки с оценками точности и анализом влияния параметров 34
ГЛАВА 3. Конечно-элементная модель для расчета колебаний жидкости в упругих оболочках вращения 41
3.1. Аппроксимация перемещений слоя жидкости при осесимметричных колебаниях внутри оболочки вращения 42
3.2. Кинетическая энергия жидкости при осесимметричных колебаниях оболочки вращения 44
3.3. Матрица присоединенных масс жидкости для осесимметричных колебаний оболочки вращения 47
3.4. Аппроксимация перемещений слоя жидкости при неосесимметричных колебаниях внутри оболочки вращения 52
3.5. Кинетическая энергия жидкости при неосесимметричных колебаниях оболочки вращения 54
3.6. Матрица присоединенных масс жидкости для неосесимметричных колебаний оболочки вращения 56
3.7. Учет гравитационных колебаний свободной поверхности жидкости 58
3.8. Уравнения гидроупругих колебаний КЭ-модели оболочки вращения 61
3.9. Поперечные колебания недеформируемой оболочки вращения, частично заполненной жидкостью 62
3.10. Примеры расчета собственных колебаний оболочек вращения с жидкостью; сравнение результатов 66
ГЛАВА 4. Колебания составных осесимметричных тонкостенных конструкций 74
4.1. Матрицы жесткости и инерции кольцевого шпангоута 75
4.2. Условия соединения шпангоута с оболочками 78
4.3. Матрица присоединенных масс жидкости для упругой оболочки вращения со шпангоутами 80
4.4. Математические модели баков с трубопроводами для расчета продольных колебаний составных конструкций 85
4.4.1. Несущий бак 85
4.4.2. Подвесной бак 93
4.5. Влияние соединительного шпангоута на собственные колебания цилиндрического бака со сферическим днищем, заполненного жидкостью
4.5.1. Осесимметричные колебания 98
4.5.2. Неосесимметричные колебания
4.6. Уравнения колебаний осесимметричной конструкции как системы отсеков 115
4.7. Пример расчета продольно-радиальных колебаний системы двух баковых отсеков 121
Заключение 125
Список литературы
- Редуцирование уравнений колебаний отсека способом квазистатической аппроксимации
- Потенциальная и кинетическая энергии КЭ в обобщенных координатах
- Кинетическая энергия жидкости при осесимметричных колебаниях оболочки вращения
- Условия соединения шпангоута с оболочками
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Тонкостенные конструкции с полостями, частично заполненными жидкостью, широко используются в различных областях машиностроения и строительства сооружений. Это - нефтеналивные суда (танкеры), авто - и железнодорожные цистерны, самолеты, жидкостные ракеты, космические аппараты, аппараты химического производства, нефтехранилища, водонапорные башни, пр. Наличие тяжелой жидкости в подвижных полостях (баках) тонкостенных конструкций оказывает большое влияние на их динамические характеристики и на динамические нагрузки.
Для регулярных тонкостенных конструкций большого удлинения с отсеками, частично заполненными жидкостью, например таких как танкер, крыло и фюзеляж самолета, корпус жидкостной ракеты, при практических расчетах продольных, поперечных и изгибно-крутильных колебаний часто используются балочные модели, в которых относительное движение жидкости в подвижных и упругих полостях моделируется эквивалентными механическими осцилляторами.
Для больших составных осесимметричных тонкостенных конструкций, образованных из тонких упругих оболочек вращения с жидкостью или без жидкости, соединенных между собой упругими шпангоутами с упруго присоединенными к ним грузами, при расчете осесимметричных и неосесимметричных колебаний приходится использовать метод подконструкций (отсеков). Конструкция поперечными сечениями делится на составные части - подконструкций, в качестве которых можно использовать конструктивные модули - подвесные баки и грузы, несущие баки, отсеки различного типа и пр.
Упругодинамические характеристики отдельных отсеков в виде оболочек вращения могут быть определены аналитически (например, для оболочек простой формы и постоянной толщины) или численно (для оболочек сложной формы). Желательно, чтобы эти расчетные характеристики можно было проверить путем сравнения с экспериментальными результатами на отдельных отсеках.
Уравнения динамики составной упругой конструкции получаются путем синтеза упругодинамических характеристик отдельных подконструкций. Метод подконструкций (отсеков) является многовариантным как в плане определения характеристик отдельных отсеков, так и выполнения условий их сопряжения. При этом недостаточно исследованным является вопрос о влиянии на динамические характеристики системы формы поперечных сечений соедини-
тельных шпангоутов и эксцентриситетов их соединения с оболочками. Обычно считается, что кольцевой шпангоут соединяется с оболочками на одной линии или в упрощенном варианте шпангоут заменяется "упругой" линией.
Тема диссертации, посвященной разработке метода отсеков в приложении к динамике составных осесимметричных тонкостенных конструкций с баками, содержащими жидкость, является актуальной.
Целью работы является:
разработка конечно-элементной модели в перемещениях для расчета осесимметричных и неосесимметричных колебаний ортотропных оболочек вращения, частично заполненных жидкостью, с учетом предварительного осесимметрично-го напряженно-деформированного состояния.
разработка метода отсеков для расчета колебаний составных тонкостенных конструкций в виде оболочек вращения с жидкостью и без жидкости, соединенных круговыми шпангоутами с произвольными поперечными сечениями с учетом эксцентриситетов соединений.
Научная новизна заключается в следующем:
разработан новый вариант метода конечных элементов (МКЭ) в перемещениях для расчета осесимметричных и неосесимметричных колебаний оболочек вращения, частично заполненных идеальной несжимаемой жидкостью;
перемещения жидкости в тонком слое, ограниченном узким кольцевым КЭ оболочки, точно удовлетворяют уравнению неразрывности, условию безотрыв-ности на поверхности оболочки, уравнениям движения в радиальном и окружном направлениях и в итоге выражаются через осевое перемещение жидкости, которое аппроксимируется асимптотически "подходящей" функцией радиальной координаты и линейной функцией по толщине слоя;
получены матрицы присоединенных масс жидкости для осесимметричных и неосесимметричных колебаний оболочки вращения для обобщенных координат ее КЭ-модели (амплитудные значения осевого, радиального и окружного перемещений и угла поворота нормали в меридиональной плоскости);
представлен алгоритм формирования уравнений колебаний составной осесим-метричной конструкции по методу отсеков с использованием упругодинамиче-ских характеристик отдельных отсеков.
Практическая ценность диссертации состоит в разработанных с необходимыми обоснованиями алгоритмах МКЭ в перемещениях для расчета гидроупругих колебаний ортотропных оболочек вращения (баков, отсеков) и алгоритмов метода отсеков (подконструкций) для расчета колебаний составных осесимметричных тонкостенных конструкций с соединительными шпангоутами.
Алгоритм является эффективным с точки зрения точности и времени вычислений и пригоден для практических расчетов реальных конструкций. Для вычислений необходимы только стандартные программы линейной алгебры матриц.
Достоверность полученных результатов и выводов обосновывается строгостью и общностью математических формулировок и решений, оценками точности численных решений путем сравнения с точными решениями в отдельных случаях и с численными и экспериментальными результатами других авторов.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международных конференциях "Инновации в авиации и космонавтике", 2012 (МАИ, 17-20 апреля 2012 г.); 2013 (МАИ, 16-18 апреля 2013г.); на Международном XIX-ом симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" имени А.Г.Горшкова (Ярополец, 18-22 февраля 2013г.).
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 6-ти печатных работах из которых 3- в журналах, рекомендованных ВАК РФ.
Объем работы. Диссертация состоит из введения четырех глав, заключения и списка использованных источников из 129 наименований. Общий объем диссертации 138 страниц машинописного текста, 43 рисунков, 16 таблиц.
Редуцирование уравнений колебаний отсека способом квазистатической аппроксимации
Кинематическое соединение данного отсека с другими отсеками и блоками осуществляется только по координатам вектора q; и поэтому эти координаты представляющие переносное движение отсека, можно считать основными. Что касается обобщенных координат вектора q/;, представляющих относительное движение, то число этих координат может быть уменьшено путем кинематических аппроксимаций (например, методом наименьших квадратов с некоторой весовой матрицей) или динамических (силовых) аппроксимаций (статическая конденсация или динамическая конденсация).
В случае тонкостенных конструкций масса оболочки обычно мала по сравнению с сосредоточенными массами на граничном контуре (торцах) отсека, где имеются подкрепляющие элементы (шпангоуты) с присоединенными к ним массами грузов. Кроме того, при сравнительно медленных колебаниях конструкции в целом (как системы отсеков) по низшим глобальным формам собственных колебаний доминирующими являются перемещения переносного движения отсека, а перемещения относительного движения являются сравнительно малыми. Хотя деформации относительного движения отсека могут быть значительными и могут давать существенный вклад в общее выражение потенциальной энергии отсека.
Поэтому в этих случаях (малая масса внутренней части оболочки отсека и малые перемещения относительного движения) в уравнениях (1.5) можно пренебречь инерционными силами, полагая M12q,; « 0, M2l4/ « 0, М,2Ч// « 0 .
Таким образом, за счет исключения "квазистатических" обобщенных координат (вектора (\„ ) порядок системы может быть сильно уменьшен без существенной потери точности.
Если внешние нагрузки, действующие на отсек, малы по сравнению с реакциями на его граничном контуре, то вместо (1.7) можно использовать упрощенное соотношение
Для уточнения дополнительно учетом инерцию относительного "квазистатического" движения. Подставляя (1.11) в выражение кинетической энергии (1.4) с учетом матриц инерции М12 и М22, получим: Т=±ЦТ,МА,; (1-12) М, =M„+M12S + (M12S)7 +SrM22S. (1.13) Тогда вместо уравнения (1.8) будем иметь M;q;+K/q;=Q ;. (1.14)
В этом способе для редуцирования числа обобщенных координат отсека, описывающих его относительное движение, вектор q7/ приближенно записывается в виде разложения [38] q„=Sq/+/„„ (1.15) Здесь первое слагаемое представляет квазистатические перемещения (1.11); /„— нормальные координаты, представляющие некоторое число s низших собственных форм колебаний (векторов Yn) закрепленного на всей грани це отсека, которые получаются из решения следующей задачи: q, =0, q„ = Ys m&t,
Выражения (1.5) для потенциальной энергии, кинетической энергии и вариации работы внешних нагрузок и реакций на граничном контуре с учетом разложения (1.15) и условий ортогональности собственных форм колебаний Y M,2Y„-0, Y K22Y„ = 0 при т Ф п записываются в виде [38]
Таким образом редуцированная упруго-динамическая модель отсека описывается обобщенными координатами вектора q, и нормальными координатами /л, и = 1,2,...,s.
Если низшая собственная частота колебаний ю, данного отсека значительно превышает диапазон рассматриваемых частот колебаний системы в целом, то нормальными координатами fn в выражениях (1.17) можно пренебречь. Это обусловлено тем, что при низкочастотных колебаниях системы в целом инерционные силы отсека малы по сравнению с реакциями, действующими на границах между ними, и такой отсек деформируется в основном квазистатиче-ски.
Удлиненные осесимметричные конструкции типа ракет-носителей (РН) являются составными и образуются из отсеков тонкостенных цилиндрических, конических или произвольных оболочек вращения, которые соединяются друг с другом круговыми шпангоутами. При этом к шпангоуту может крепиться одна, две или несколько оболочек. Массы основных грузов, находящихся в корпусе (оборудования, агрегатов, подвесных баков и пр.), крепятся к шпангоутам.
Деление конструкции на отсеки производится условными поперечными сечениями, перпендикулярными оси конструкции. При этом удобно в качестве отсеков рассматривать типовые конструктивные модули, упруго-динамические характеристики которых, как изолированных систем, могут быть определены теоретически на основании расчетных моделей разного уровня и для сравнения -экспериментально на натурных образцах или конструктивно-подобных моделях. Отсеками могут быть: оболочка вращения без шпангоутов на торцах; оболочка со шпангоутами на двух торцах; шпангоут с присоединенной к нему осе-симметричной или циклически симметричной системой (подвеской бак с жидкостью, двигательный отсек, пр.); переходник в виде циклически симметричной фермы без шпангоутов или со шпангоутами на торцах. Некоторые типовые отсеки ракет-носителей показаны на рис. 1.1.
Перемещения осесимметричных отсеков оболочек вращения и круговых шпангоутов, характеристики которых в окружном направлении постоянны обычно представляются в виде разложений в ряды Фурье по функциям со&пв или sin пв, где в -угловая окружная координата; п = О,1,2,.... Так как эти функции на окружности 0 в 2л при различных п ортогональны, то колебания распадаются на несвязанные: осесимметричные (продольно-радиальные и крутильные) колебания при п - О; антисимметричные (поперечные) колебания при п-\; неосесимметричные колебания при п-2,3,4,... (к ним для общности можно отнести и антисимметричные колебания).
Наибольший интерес с точки зрения динамики полета и колебаний РН представляют продольно-радиальные (их обычно называют продольными) колебания (и = 0) и поперечные колебания (и = 1). Такие колебания удлиненных осесимметричных конструкций по низшим собственным формам часто рассматривают приближенно, пренебрегая деформацией шпангоутов и краевыми изгибами оболочек в местах соединения отсеков, на основе гипотезы плоских недеформируемых поперечных сечений, которая приводит к одномерной модели растяжения сжатия и изгиба-сдвига стержня (балки) переменного сечения, несущего сосредоточенные массы [43,54,68].
Неосесимметричные колебания (и = 2,3,...) осесимметричной конструкции могут возникнуть при действии на нее неосесимметричных внешних сил и реакций взаимодействия. В частности, при соединении оболочки вращения через упругий шпангоут с циклически симметричной фермой в N узлах в шпангоуте и в соединенной с ним оболочке вблизи этих узлов будут возникать местные податливости, обусловленные неосесимметричными деформациями при n = N,2N,... в случае осесимметричных колебаний ( п = 0 ) и при n = N-\,N + l,2N l,2N + l,... в случае антисимметричных колебаний [38]. Такие местные податливости можно определить на основе квазистатических решений задачи локального деформирования оболочки со шпангоутом при указанных значениях п путем суммирования этих решений [38].
Потенциальная и кинетическая энергии КЭ в обобщенных координатах
Рассмотрим круглую пластину плоского днища, жестко соединяющуюся на краю радиуса RQ с оболочкой вращения, рис.2.3. Это также может быть условная пластинка достаточно малого радиуса R0, заменяющая полюс оболочки вращения. Будем считать что упругая пластина является изотропной имеет постоянную толщину h0 и изгибную жесткость D0 и работает только на изгиб (в своей плоскости пластина считается абсолютно жесткой).
На окружности радиуса г (рис.2.3,а) погонный изгибающий момент Мг и погонная поперечная сила с учетом приведенного крутящего момента Q выражаются через нормальное перемещение пластины [11]: d2w
Нормальное перемещение пластины при колебаниях по п - ой гармонике, которое обусловлено в основном реакциями оболочки, соответствующими перемещению 0 cos пв и углу поворота 30 cos пв при r = R0, возьмем в виде точного решения однородной статической задачи изгиба пластины D0AAw = О w(r,e) = W(r)cosпв, « = 0,1,2,... (2.28)
Это решение для сплошной пластины (опуская члены, обращающиеся в бесконечность при г -» 0 ) записывается в виде [11]
Так как w(r, 9) удовлетворяет уравнению Z)0AAw = 0, то выражение потенциальной энергии изгиба пластины можно записать, используя теорему Клапейрона, как половину работы упругих сил (2.27) на краю г = R : При и = 1 возможен поворот пластины как твердого тела характеризуемый обобщенной координатой &0; при этом 0 = R090 и выполняется условие п -Kg + 2k\VRQ + k\V = 0. При гс = 0 А:, = 0 и поэтому возможно осевое перемещение пластины как твердого тела 0 при i90 = 0. При п — \ к выражению (2.35) следует добавить кинетическую энергию движения пластины в ее плоскости как твердого тела характеризуемого обобщенной координатой 77о ПРИ V0 - -rj0;
Если часть оболочки вблизи полюса заменяется отверстием достаточно малого радиуса R0 со свободным краем, то %0,т}0,30,У0 считаются независимыми неизвестными.
Упругая пластина плоского днища оболочки вращения по существу рассматривается как КЭ под номером = 0. Матрицы жесткости и инерции такой пластины записываются на основе выражений потенциальной (2.32) и кинетической (2.35), (2.37) энергий в обобщенных координатах.
Пусть полюс пустой оболочки вращения заменяется отверстием. Тогда векторы обобщенных координат КЭ-модели незакрепленной оболочки без шпангоутов и без разветвлений (рис. 1.1) для осесимметричных и неосесиммет-ричных колебаний будут
В случае, когда полюс оболочки заменяется абсолютно жесткой круглой пластиной, то в соответствие с условиями (2.38) в выражениях векторов некоторые обобщенные координаты опускаются. Также учитываются условия закрепления по определенным обобщенным координатам.
Потенциальная и кинетическая энергии КЭ-модели оболочки, а также вариация работы внешних нагрузок получаются путем суммирования (2.22), (2.23) по всем КЭ с учетом кинематических условий их соединения и закрепления: no=Xno)=WK (2 40) 2 к Здесь матрица жесткости Ко и матрица инерции Мо оболочки составляются соответственно из матриц К и М путем их наложения по совместным обобщенным координатам для соседних КЭ; Q0(/)-вектор обобщенных внешних сил, действующих на оболочку, соответствующий вектору обобщенных координат q.
Уравнения колебаний КЭ-модели оболочки в обобщенных координатах получаются по методу Лагранжа и записываются в матричном виде Moq + K0q = Qo.
Рассмотрим собственные осесимметричные (п = 0) и неосесимметрич-ные (и = 1,2,3,...) колебания изотропной полусферической оболочки постоянной толщины с различными граничными условиями на верхнем краю, рис.2.4,а,б,в. Для этих вариантов закрепления имеются точные аналитические решения задачи о собственных колебаниях оболочки по общей моментной теории с учетом инерции в нормальном и тангенциальных направлениях. Эти решения могут быть использованы для оценки точности результатов расчета по МКЭ.
Погрешности рассматриваемого здесь варианта МКЭ обусловлены следующими факторами: аппроксимацией гладкого меридиана оболочки вращения кусочно-линейной функцией (использованием конических КЭ); аппроксимаци ей перемещений КЭ оболочки - тангенциальных перемещений линейными функциями и нормальных перемещений кубическим полиномом; конечным числом КЭ; заменой полюса оболочки пластинкой или отверстием достаточно малого радиуса. Кроме того, возникает дополнительная погрешность в случае, когда при определении матрицы инерции КЭ оболочки с целью упрощения его нормальные перемещения аппроксимируются линейной функцией, также как тангенциальные перемещения. Оценим влияние всех этих факторов на точность вычислений по МКЭ нескольких низших собственных частот колебаний оболочек, показанных на рис.2.4.
Кинетическая энергия жидкости при осесимметричных колебаниях оболочки вращения
В случае неосесимметричных колебаний жидкости в оболочке вращения с недеформируемым плоским дном при п = 2,3,... накраю к = 0 выполняются условия 0 = г]0 = 90 = V0 = О и v0 = 0; в качестве вектора обобщенных координат КЭ-модели оболочки с жидкостью рассматривается
При этом структура матриц т,р и к остается такой же как (3.71) для случая п = 1, а в матрице С (3.71) следует опустить второй, третий, четвертый и пятый столбцы, соответствующие 0 = 0,т}0 = 0,30 = 0 и V0=0. Обычно влияние гравитации на гидроупругие колебания оболочек вращения при п = 2,3,... мало и им можно пренебречь.
Для корректности необходимо учитывать гравитацию при определении гидростатического давления и предварительного напряженно - деформированного состояния. В большинстве случаев при расчете гидроупругих колебаний оболочек это влияние весьма мало и им обычно пренебрегают. Однако в особых случаях гравитацию следует учитывать: например, для мягких оболочек, форма которых в предварительном состоянии сильно зависит от гидростатического давления, а также для абсолютно жестких оболочек, потенциальная энергия деформаций которых равна нулю и остается только потенциальная энергия усилий предварительного напряженного состояния при повороте оболочки как твердого тела.
Кинетическая и потенциальная энергии оболочки с жидкостью и вариация работы действующих на оболочку внешних сил и реакций связей для «-ой гармоники (и = 0,1,2,...): Здесь М0,Ко и Qo- матрицы жесткости и инерции и вектор обобщенных сил КЭ-модели оболочки и пластины плоского дна для обобщенных координат на узловых окружностях = 0,1,...,/?; Мж -матрица присоединенных масс жидкости, частично заполняющей оболочки вращения до сечения к = г, для обобщенных координат на узловых окружностях к — 0,1,.. .,г р, а также, в случае дна с отверстием, для дополнительных обобщенных координат v0, v0 при п — 0 и v0, vr при « = 1,2,3,...; Кг- матрица, содержащая только один ненулевой элемент кг (3.68) на диагонали для обобщенной координаты vr при учете гравитации (g 0) и при п = 1,2,....
Матрицы Мо,Ко получены в главе 2, а матрица Мж-в главе 3 для различных вариантов дна оболочки вращения (абсолютно жесткая или упругая пластина или отверстие со свободной поверхностью жидкости).
Уравнение колебаний КЭ-модели оболочки вращения, частично заполненной жидкостью, согласно (3.73) записывается в матричном виде
В этом случае п = 1 и поперечные колебания недеформируемой оболоч ки, частично заполненной жидкостью, характеризуются тремя обобщенными координатами: т]0,&0 и vr, где т]0,30 - поперечное перемещение в центре плоского дна при х = х0 = О и угол поворота относительно этой точки; &r = vr I Rr -угол поворота плоской свободной поверхности жидкости, отсчитываемый от ее невозмущенного горизонтального положения, рис.3.4.
Эту задачу можно решить как для частного случая поперечных колебаний (п = \) деформируемой оболочки вращения с учетом влияния гидростатического давления.
Перемещения на к-ой угловой окружности недеформируемой оболочки при ее поперечном перемещении ]0 и повороте на угол Э0 как твердого тела будут: М,хг - масса оболочки с жидкостью и ее координата центра тяжести; S-статический момент массы оболочки с жидкостью, свободная поверхность которой при наклоне оболочки на угол 30 сохраняет горизонтальное положение; J- приведенный момент инерции оболочки с подвижной жидкостью. Уравнения поперечных колебаний недеформируемой оболочки вращения, частично заполненной жидкостью, на основании (3.79) имеют вид:
Численные результаты, приведенные во второй строке, совпадают с точностью до 4-х значащих цифр с результатами точного аналитического решения этой задачи для сферы в той же самой постановке (сведение гидродинамической задачи к одномерной задаче для функции v(x,t) с использованием аппроксимации (3.40).
Заметим, что рассмотренную в этом разделе задачу о поперечных колебаниях произвольной недеформируемой оболочки, частично заполненной жидкостью, которая сводится к уравнениям (3.81), можно решить по МКЭ проще как чисто гидродинамическую задачу для функции v(x,t),[82,87].
Рис.3.5 В табл.3.2 для сравнения приведены результаты расчета квадратов трех низших безразмерных собственных частот осесимметричных колебаний оболочки с жидкостью, полученные на основании точного решения [25] и решений по МКЭ при равномерном делении оболочки на N —100 КЭ для случаев, когда полюс оболочки заменяется абсолютно жесткой пластинкой и отверстием малого радиуса i?0.
В табл.3.3 приведены две низшие безразмерные частоты собственных колебаний полусферической оболочки, полностью заполненной жидкостью со свободной поверхностью, для осесимметричной (и = 0) и неосесимметричных (« = 1,2,3,4,5,6) форм колебаний: а - результаты точного решения в рядах по функциям Лежандра [104]; б - результаты расчета по МКЭ при делении образующей оболочки с равномерным шагом на ТУ = 100 КЭ и при замене полюса абсолютно жесткой пластинкой малого радиуса R . Результаты для случая, когда для вычисления матрицы инерции оболочки использовалась линейная аппроксимация нормальных перемещений оболочки КЭ ( также как при вычислении кинетической энергии слоя жидкости), совпадают с точностью до четырех значащих цифр с результатами, приведенными в табл.3.3 для варианта б. В этом варианте при вычислении матрицы инерции КЭ, как и матрицы жесткости, использовалась аппроксимация нормальных перемещений КЭ четырехчленным кубическим полиномом.
Условия соединения шпангоута с оболочками
Рассмотрим /и-ый упругий кольцевой шпангоут с недеформируемым по перечным сечением произвольной формы (рис.4.3,а), который на узловых окружностях т-1 и т жестко соединяется с краями оболочек вращения. Считая размеры поперечного сечения шпангоута малыми по сравнению с его радиусом Rm о, при определении движения жидкости в слое, ограниченном сбоку шпангоутом, заменим его конической поверхностью, соединяющей узловые линии т-\ и т, прямолинейная образующая которой наклонена под углом рт и в данном случае является недеформируемой (как и поперечное сечение шпангоута). В результате такого упрощения для m-го слоя жидкости, ограниченного т-ым шпангоутом, можно использовать решение гидродинамической задачи, полученное для слоя жидкости, ограниченного коническим КЭ оболочки, нормальное перемещение которой W аппроксимируется линейной функцией вдоль образующей. Нормальные перемещения на узловых окружностях конической поверхности, представляющей m-ый шпангоут (m-ый КЭ), и соединенных с ним (т-1)-ым и (т+1)-ым КЭ оболочек показаны на рис.4.3,б.
Векторы Z, представляющие нормальные перемещения плоского дна с отверстием и КЭ смоченной части оболочки имеют вид: для осесимметричных колебаний (3.16) Нормальные перемещения на узловых окружностях т—\ и ти+1, принадлежащих m-ному шпангоуту с недеформируемым поперечным сечением, выражаются согласно рис.4.3 через основные обобщенные координаты этого шпангоута по формулам (3.58) и (4.7):
Вектор основных обобщенных координат в общем случае неосесиммет-ричных колебаний (и = 1,2,3,...) оболочки вращения со шпангоутом при к = т, частично заполненной жидкостью до сечения к г р и имеющей круглое отверстие в дне при к = О со свободным краем и свободной поверхностью жидкости, записывается аналогично (4.15) с заменой рнаги добавлением обобщенной координаты v0, представляющей осевое перемещение свободной поверхности жидкости в отверстии дна: матрица преобразования для оболочки со шпангоутом, имеющим недеформиру-емое поперечное сечение, приведена на странице 83. і .- ч " с? }v
В случае осесимметричных колебаний (п-0; Vk=0, к = 0,1,2,...,г ) оболочки вращения со шпангоутом при к = т, частично заполненной жидкостью и имеющей отверстие в дне со свободным краем и свободной поверхностью жидкости, вектор основных обобщенных координат записывается в виде
При этом вектор нормальных перемещений плоского дна и смоченной поверхности оболочки Z имеет вид (4.16). Этот вектор выражается через вектор q как (4.22). Матрица С получается из матрицы (4.23) путем вычеркивания всех столбцов, представляющих обобщенные координаты Vk=0, А: = 0,1,2,...,г, и кроме того, добавлением к ней первой строки [1 0 0 ... 0] и первого столбца [і 0 0 ... 0] , представляющих обобщенную координату v0.
Если вместо отверстия в дне оболочка имеет абсолютно жесткую или упругую на изгиб пластину, то векторы q и соответствующие им матрицы С изменяются только в части координат %0,г)0,&0 как (3.33) и (3.36), соответственно.
Приведенные здесь результаты для оболочки вращения с одним шпангоутом при к = m по аналогии обобщаются на случай составной оболочки вращения с несколькими соединительными шпангоутами с недеформируемыми поперечными сечениями.
С учетом преобразования (4.22) кинетическая энергия колебаний жидкости в упругой оболочке вращения (4.18) записывается в виде - матрица присоединенных масс жидкости для вектора основных обобщенных координат КЭ-модели составной оболочки вращения с упругими соединительными шпангоутами с недеформируемыми поперечными сечениями с учетом эксцентриситетов соединений.
Выражения кинетической и потенциальной энергий оболочки со шпангоутами, частично заполненной жидкостью записываются в виде (4.14). При этом матрица присоединенных масс жидкости Мж определяется по формуле (4.26), учитывающей наличие шпангоутов. С учетом этого изменения колебания составной оболочки вращения с соединительными шпангоутами, частично заполненной жидкостью описываются уравнением (3.75).
Рассмотрим несущий цилиндрический бак А, частично заполненный жидкостью, и являющийся частью составной осесимметричнои конструкции, с которой он соединен через шпангоуты на нижнем а и верхнем /3 торцах, рис.4.4,а. Бак имеет днище в виде упругой оболочки вращения с центральным отверстием, соединенной по краю отверстия с упругим расходным трубопроводом, содержащим жидкость.
Составим редуцированную математическую модель этого бакового отсека как подконструкции для расчета его гидроупругих продольно-радиальных осесимметричных (п — 0) колебаний в составе осесимметричной тонкостенной конструкции на основе подхода, изложенного в разделе 1.3. Отделим этот бак (рис.4.4,б): от трубопровода с жидкостью по координатам v0,0,770,.90; ОТ нижней оболочки по координатам %а,т]а,&а; от верхней оболочки по координатам „,г/„,3„. Здесь v0 представляет плоское продольное перемещение жидкости из трубопровода в бак через отверстие в днище; при этом депланацией поперечного сечения жидкости в плоскости отверстия пренебрегаем (v0=0), поскольку в длинном трубопроводе движение жидкости обычно считается плоским и одномерным.
