Содержание к диссертации
Введение
1. Уравнения изгибно-крутильных колебаний крыла большого удлинения с отсеками, частично заполненными жидкостью 14
1.1. Математическая модель для изгибно - крутильных колебаний крыла большого удлинения с учетом поперечных сдвигов и конусности . 14
1.2. Матрица жесткости отсека крыла 21
1.3. Вычисление обобщенных масс и обобщенных сил для крыла 25
1.4. Оценка точности упругодинамической модели крыла 27
1.4.1. Влияние конусности крыла 27
1.4.2. Сравнение с результаты расчета по МКЭ 31
1.4.3. Сходимость собственных частот колебаний по числу отсеков 32
1.5. Динамические характеристики жидкости в отсеках упругой конструкции 35
1.5.1. Формулировка задачи о колебаниях жидкости в подвижной полости 35
1.5.2. Уравнения колебаний жидкости в обобщенных координатах 36
2. Применение метода ритца и мкэ для расчета колебаний жидкости в упругих полостях 41
2.1. Вариационные принципы для расчета колебаний жидкости в полостях 41
2.1.1. Принцип Лаграыжа 41
2.1.2. Принцип Кастильяно 42
2.1.3. Смешанный вариационный принцип 43
2.2. Гармонические степенные функции 44
2.3. Точное решение плоской задачи о колебаниях жидкости в прямоугольной полости 46
2.3.1. Собственные колебания жидкости в неподвижной полости 47
2.3.2. Колебания жидкости при заданных перемещениях полости 47
2.4. Применение метода Ритца 49
2.4.1. Уравнения метода Ритца 49
2.4.2. Пример расчета $1
2.4.3. Матрица присоединенных масс жидкости $3
2.5. Применение МКЭ 55
2.5.1. МКЭ на основе принципа Лагранжа 56
2.5.2. МКЭ на основе принципа Кастильяно и смешанного вариационного принципа 59
2.5.3. Пример расчета 61
3. Сведение плоской гидродинамической задачи к одномерной для жидкости переменной глубины, частично заполняющей упругую полость 63
3.1. Постановка задачи и метод ее решения 63
3.2. Использование разложений по степенным функциям для сведения задачи к обыкноведенным дифференциальным уравнениям 66
3.3. Использование разложений по полиномам Лежандра для сведения задачи к обыкновенным дифференциальным уравнениям 67
3.4. Численное решение системы дифференциальных уравнений
3.5. Определения коэффициенты присоединенных масс жидкости 74
3.6. Применение МКЭ 76
3.6.1. Вычисление кинетической энергии жидкости 77
3.6.2. Определение коэффициентов присоединенных масс жидкости 79
3.6.3. Расчет собственных колебаний жидкости 80
3.7. Примеры расчета 82
3.8. Примеры расчета присоединенных масс жидкости 85
4. Колебания жидкости, частично заполняющей упругие отсеки фюзеляжа 91
4.1. Сведение дифференциального уравнения несжимаемости жидкости с кинематическими граничными условиями к интегральному уравнению неразрывности 91
4.2. Уравнения колебаний упругого бака с жидкостью в обобщенных координатах 93
4.3. Выбор координатных функций для перемещений жидкости 97
4.4. Колебания жидкости в упругой полости, часть которой заполнена полостью 101
4.5. Примеры расчета собственных колебаний жидкости в цилиндрической полости 102
4.5.1. Горизонтально расположенная полость 102
4.5.2. Наклонная полость 104
5. Влияние подвижности жидкости на упругие колебания и флаттер 105
5.1. Собственные колебания прямоугольного кессона с отсеками, частично заполнеными жидкостью 105
5.1.1. Поперечные колебания 105
5.1.2. Крутильные колебания 109
5 5.2. Флаттер крыла с полостью, частично заполненной жидкостью, при различных углах наклона свободной поверхности
Заключение
Литература
- Математическая модель для изгибно - крутильных колебаний крыла большого удлинения с учетом поперечных сдвигов и конусности
- МКЭ на основе принципа Кастильяно и смешанного вариационного принципа
- Использование разложений по полиномам Лежандра для сведения задачи к обыкновенным дифференциальным уравнениям
- Сведение дифференциального уравнения несжимаемости жидкости с кинематическими граничными условиями к интегральному уравнению неразрывности
Введение к работе
Задачи о колебаниях жидкости со свободной поверхностью в неподвижных, подвижных и упругих полостях весьма часто встречаются в природе, в различных сооружениях и в машиностроительных конструкциях. Это — водоемы, каналы, гидротехнические сооружения, водонапорные башни, нефтехранилища, нефтеналивные суда (танкеры), авто- и железнодорожные цистерны, космические аппараты и пр.
Большой вклад в теорию, разработку методов расчета и решение конкретных задач динамики твердых и упругих тел с полостями, содержащими жидкость, внесли Стоке, Жуковский Н.Е., Моисеев Н.Н., Колесников К.С., Рабинович Б.И,, Лампер Р.Е., Луковский И.А., Балакирев Ю.Г., Шмаков В.П., Шклярчук Ф.Н., Abramson H.N., Bauer H.F., Miles J.W. и др.
Задача о малых (линейных) колебаниях жидкости, частично заполняющей неподвижную, подвижную или упругую полость, формулируется более или менее одинаково [9, 15, 17, 21, 30, 31, 34 - 36, 47, 52, 71, 85]. В большинстве таких задач жидкость можно считать идеальной (невязкой) и несжимаемой, а её движение внутри и на стенках полости -безотрывным.
В этом случае из уравнений движения колеблющейся жидкости следует, что давление является потенциалом для ускорений частиц жидкости и, следовательно, существуют потенциал скоростей и потенциал перемещений жидкости.
В результате задача о колебаниях идеальной жидкости может быть описана только одной неизвестной функцией, представляющей давление в жидкости, или потенциал скоростей или потенциал перемещений жидкости, которые на основании условия несжимаемости должны удовлетворять уравнению Лапласа.
В случае сжимаемой жидкости также существуют указанные выше потенциалы. При этом на основании уравнения неразрывности жидкости (давление равно объемной деформации жидкости, умноженной на её модуль объемного адиабатического сжатия) задача вместо уравнения Лапласа сводится к волновому уравнению для потенциала [15,52]. Необходимость учета сжимаемости тяжелой жидкости (не газа) возникает в случае высокочастотных акустических колебаний или в случае гидроупругих колебаний при больших глубинах заполнения толстостенных оболочек (например - трубопроводов).
Задача о колебаниях вязкой жидкости в полостях по постановке и методом решения существенно отличается от задачи о колебаниях идеальной жидкости [30,36].
При малых колебаниях подвижных и упругих полостей, частично заполненных несжимаемой жидкостью, её сложное движение можно представить в виде суммы переносного движения, обусловленного перемещениями стенок, и относительного движения, обусловленного гравитационными волнами на свободной поверхности жидкости.
Теоретически в жидкости могут также происходить внутренние относительные движения жидкости, не связанные с движениями стенок и свободной поверхности. В действительности такие движения в идеальной жидкости не возникают, поскольку отсутствуют внутренние силы для их возбуждения. Однако при численных методах решения гидродинамической задачи для уравнения Лапласа (особенно при использовании метода конечных разностей, метода конечных элементов и некоторых вариантов метода Ритца) такие движения возникают и они сильно усложняют анализ колебаний системы. Например, при расчете собственных колебаний жидкости в полости или гидроупругой системы указанными методами появляются «паразитные» (spurious) формы колебаний с близкими к нулю частотами.
Эти формы обусловлены внутренними движениями жидкости, собственные частоты которых теоретически должны быть равны нулю. Паразитные формы, число которых равно числу внутренних степеней свободы, получаются неортогональными и могут приводить к погрешностям расчета низших собственных частот гравитационных и упругих колебаний. Это необходимо учитывать при разработке и при использовании методов расчета, допускающих появление паразитных форм колебаний.
Для расчета колебаний жидкости в подвижных и упругих полостях используются различные приближенные аналитические и численные методы. Точные решения могут быть получены только для таких форм объема жидкости, которые допускают применение метода разделения переменных в изученных системах координат (декартовой, цилиндрической, сферической и др.), [2-4,16,57,59].
Для получения приближенных и численных методов для баков сложной формы обычно используются вариационные формулировки задачи о колебаниях жидкости со свободной поверхностью в виде принципа Лагранжа и Кастильяно [32,84], принципа Бейтмана [27,28] и различных вариантов смешанного вариационного принципа [8,15,17,47].
При использовании принципа Лагранжа для гидроупругих колебаний оболочек основная трудность заключается в том, чтобы точно удовлетворить кинематическое граничное условие безотрывного движения оболочки и жидкости. В [1] для этого в качестве основной неизвестной рассматривается гармоническая функция потенциала перемещений жидкости, а нормальное перемещение оболочки выражается через нее.
В [54,55] наоборот перемещения жидкости выражаются через нормальное перемещение оболочки, удовлетворяя условие несжимаемости жидкости и условие безотрывности её на подвижной стенке. Решения в [1,54,55] получены методом Ритца в перемещениях с достаточно быстрой сходимостью.
Более простой алгоритм реализации метода Ритца для решения задач о колебаниях жидкости в неподвижных, подвижных и упругих полостях получается при использовании принципа Кастильяно (классического вариационного принципа для давления жидкости или связанных с ним потенциалов скоростей или перемещений жидкости [10,28,41,42]. Из этого принципа следуют условие несжимаемости жидкости в виде уравнения Лапласа, кинематическое условие её безотрывного движения на стенке и условие на свободной поверхности жидкости в случае, когда гравитация не равна нулю.
Принцип Кастильяно не применим, если частоты колебаний значительно выше низшей собственной частоты гравитационных колебаний жидкости в неподвижной полости или, формально, если при наличии свободной поверхности ускорение поля массовых сил (сил тяжести) стремится к нулю.
Чтобы обойти эту трудность при использовании принципа Кастильяно, в некоторых работах заранее удовлетворяется динамическое граничное условие на свободной поверхности [2]. Во многих работах для этого вводится еще одна функция, представяющая нормальное перемещение свободной поверхности, которая рассматривается также, как нормальное перемещение стенки полости, и далее может считаться заданной или неизвестной [18,28].
При решении гидродинамической задачи таким способом для определения потенциалов переносного движения жидкости (при этом гравитация не учитывается), свободную поверхность жидкости заменяют «крышкой», которая считается связанной со стенками полости [23,32,34-36, 41-43] или свободно плавающей [30,31,44,45]. Далее, чтобы устранить влияние такой несуществующей «крышки», добавляются в качестве неизвестных волновые движения свободной поверхности жидкости.
Алгоритм метода Ритца упрощается, если вместо принципа Кастильяно для жидкости использовать смешанный вариационный принцип, предложенный в [17]. При использовании этого принципа нет необходимости вводить на свободной поверхности дополнительную неизвестную функцию или «крышку», или заранее удовлетворять динамическое условие, так как оно удовлетворяется автоматически, даже если гравитация не учитывается. Оценки сходимости решений по методу Ритца с использованием смешанного вариационного принципа были выполнены в [63] на примере осесимметричных колебаний конической оболочки с жидкостью и в [24] на примерах колебаний жидкости в прямоугольной полости и в круговом цилиндре.
Среди других методов, используемых при расчете колебаний жидкости в подвижных и упругих полостях отметим следующие: метод граничных элементов [11,82], метод аналитического продолжения решения при увеличении глубины жидкости [12], метод коллокаций для удовлетворения условия безотрывного движения жидкости и стенки [13], метод итераций для расчета собственных осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью [66].
В последние годы широкое распространение в гидроупругости получил метод конечных элементов (МКЭ) в различных вариантах [18,20,22, 37,48,53,62,72,74-83,86-92].
В работах [48,72,77,79-81,83,90] решение строится в перемещениях для сжимаемой жидкости как для частного случая упругого тела с нулевой жесткостью на сдвиг. Решение в таком виде может привести к большим вычислительным трудностям и ошибкам, поскольку в системе одновременно присутствуют низкочастотный спектр гравитационных колебаний, высокочастотный спектр акустических колебаний и нулевой спектр внутренних движений жидкости. В некоторых из этих работ для случая несжимаемой жидкости накладываются дополнительные связи. Это значительно усложняет алготритм.
В [56,76,78,92] составляются уравнения МКЭ для давления (потенциала) несжимаемой жидкости и затем исключаются внутренние переменные как циклические координаты. Том самым устраняются «нулевые» формы внутренних движений жидкости.
В [20,74] уравнения гидроупругости для КЭ-модели получаются путем удовлетворения всех уравнений и граничных условий приближенно по методу Бубнова-Галеркина. Такой подход приводит к несимметричным системам уравнений высокого порядка,
В [37,86,87] уравнения МКЭ строятся на основе смешанного вариационного принципа для двух функций, характеризующих колебания в общем случае сжимаемой жидкости, - давления и потенциала перемещений. Это сильно увеличивает размерность системы.
В [18] и ряде других работ этого автора также используется смешанный вариационный принцип для расчета колебаний оболочек вращения с жидкостью по МКЭ. При этом колебания жидкости описываются потенциалом перемещений и нормальным перемещением свободной поверхности.
В [25] для расчета колебаний жидкости в полостях использовался МКЭ, так же как ранее метод Ритца [24], на основе различных вариационных принципов (Лагранжа, Кастильяно и смешанном) для одной неизвестной функции - потенциала перемещений жидкости.
В работах [15,53,60,62] для оболочек вращения и произвольных полостей в виде наклонных каналов с жидкостью предложен вариант МКЭ в перемещениях, когда в качестве КЭ рассматриваются поперечные слои жидкости. Этот метод разработан на основе сведения гидродинамической задачи в таких полостях к одномерной задаче, путем разложения продольных перемещений жидкости по заданным функциям координат поперечного сечения [15,16,40,56,61,64,67-69].
Таким образом гидродинамическая задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений или соответствующих алгебраических уравнений МКЭ с КЭ в виде слоев жидкости. Такой подход является весьма эффективным и позволяет получить приближенное решение с достаточно высокой точностью при небольшом числе неизвестных (с 1-м или 2-мя дифференциальными уравнениями или с 8 -10 КЭ).
Отмеченные здесь методы расчета колебаний жидкости в подвижных недеформируемых и деформируемых полостях используются в динамике упругих тонкостенных конструкций с отсеками и баками, содержащими жидкость. К ним односятся жидкостные ракеты [14,23,30,31,45,47,49,58,70, 73], самолеты [5,40,43,44], корабли [29,33], а также другие конструкции и сооружения с жидкостью.
На основании анализа литературы по теме диссертации определена цель работы: разработать методы расчета колебаний тонкостенной конструкции самолета, отсеки крыла и фюзеляжа которого частично заполнены жидкостью.
Основное содержание диссертации изложено в пяти главах.
В первой главе разработана математическая модель для изгибно-крутильных колебаний крыла большого удлинения с отсеками, частично заполненными жидкостью, а также - для фюзеляжа, используя метод отсеков. Деформация отсеков конструкции, как укрупненных конечных элементов, рассматривается на основе теории изгиба, сдвига и кручения подкрепленных слабоконических оболочек с произволным контуром поперечных сечений, который может свободно депланировать и искривляться. Получены уравнения колебаний конструкции с учетом подвижности жидкости, частично заполняющей отсеки.
Во второй главе рассмотрено применение метода Ритца и МКЭ для расчета колебаний жидкости в упругих полостях на основе вариационных принципов Лагранжа, Кастильяно и смешанного вариационного принципа. Получены сравнительные результаты для собственных частот гравитационных колебаний жидкости и коэффициентов присоединенных масс жидкости на примере плоской задачи для подвижной прямоугольной полости с оценками их сходимости и точности.
Третья глава посвящена разработке метода сведения плоской гидродинамической задачи к одномерной для жидкости переменной глубины, частично заполняющей произвольную упругую полость с плоскими торцами. Используются разложения продольного перемещения жидкости по степенным функциям, а также по ортогональным полиномам Лежандра, по поперечной координате. Получены обыкновенные дифференциальные уравнения, а также соответствующие алгебраические уравнения МКЭ с КЭ в виде поперечных слоев жидкости.
Выполнены сравнительные расчеты с оценкой сходимости результатов для подвижной прямоугольной полости с наклоненной свободной поверхностью жидкости. Показано, что приближение, соответствующее гипотезе плоских поперечных сечений жидкости, имеет практически приемлемую точность.
В четвертой главе гипотеза плоских поперечных сечений жидкости используется для решения трехмерной задачи о колебаниях жидкости, частично заполняющей упругие отсеки фюзеляжа, имеющие продольную плоскость симметрии. Решение построено с помощью МКЭ. В качестве КЭ рассматриваются поперечные слои жидкости, в пределах толщины которых для перемещений используется линейная аппроксимация. Представлены примеры расчета собственных колебаний жидкости, частично заполняющей круговую цилиндрическую полость, расположенную горизонтально и с наклоном.
Пятая глава посвящена оценке влияния подвижности жидкости на упругие колебания и флаттер. Рассмотрены собственные поперечные и крутильные колебания прямоугольного кессона с отсеками, частично заполнеными жидкостью, при разных углах наклона свободных поверхностей.
Также рассмотрен флаттер крыла с полостью, частично заполйеной жидкостью. Оценено влияния подвижности жидкости при разных углах наклона ее свободной поверхности.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Математическая модель для изгибно - крутильных колебаний крыла большого удлинения с учетом поперечных сдвигов и конусности
В настоящее время для решения задач колебаний и аэроупругости крыльев большого удлинения наиболее часто используются: одномерная балочная модель [7, 38, 39, 50, 51] и пространственная конечно-элементная модель [22]. В балочной модели крыло рассматривается как балка с переменным поперечным сечением, работающая на изгиб и кручение (в некоторых случаях также учитывается поперечный сдвиг). Эта модель, особенно без учета поперечных сдвигов, является простой и удобной для расчета колебаний, флаттера и аэроупругого нагружения крыла, но грубой и способной привести в некоторых случаях к существенным неточностям при определении напряжений.
В пространственной конечно-элементной модели составная тонкостенная конструкция крыла рассматривается в виде системы достаточно мелких оболочечных, пластинчатых и стержневых элементов. Такая расчетная модель является весьма трудоемкой и требует высокого уровня детализации конструкции, что делает её неудобной на ранних этапах проектирования самолета.
Здесь для расчета изгибно-крутильных колебаний крыла большого удлинения используется вариант уточненной балочной модели, основанной на теории подкрепленных слабоконических безмоментных оболочек с произвольным контуром поперечных сечений. В этой модели допускается свободная депланация и деформации контура поперечных сечений, учитывается поперечный сдвиг и влияние конусности (т.е. то, что нормальные продольные напряжения направлены вдоль образующих оболочки крыла и в отличие от балки переменного сечения не параллельны его оси). Варианты такой теории использовались для расчета изгибно-крутильных колебаний крыла большого удлинения в [19, 52, 65].
Будем считать что крыло в общем случае является стреловидным и симметричным относительно плоскости х z , или, в более общем случае, что главные центральные оси всех поперечных сечений крыла лежат в этой плоскости (рис. 1.1). Тогда можно рассматривать изгиб и сдвиг только в направлении, перпендикулярном плоскости наименьшей жесткости крыла.
В расчетной математической модели деформирования крыла будем использовать метод отсеков [39, 52], как укрупненных конечных элементов. Крыло делится на N отсеков поперечными сечениями k = l,2,....,N—1, перпендикулярными или почти перпендикулярными некоторой произвольно выбранной продольной оси крыла. Углы между этой осью и прямыми линиями - образующими слабоконической оболочки каждого отсека, вдоль которых направлены стрингеры и лонжероны, должны быть малыми, так чтобы можно было считать синус угла равным углу, а косинус угла -единице. Каждый отсек в общем случае рассматривается как слабоконическая (в частном случае — цилиндрическая) оболочка с произвольным одно - или многозамкнутым контуром поперечных сечений, дискретно подкрепленная вдоль образующих.
Для каждого отсека будем использовать местную систему координат 0г] с началом в произвольной точке левого торца отсека (рис. 1.2), так чтобы ось 2; совмещалась с главной центральной осью поперечного сечения, лежащей в плоскости наиболыцей жесткости. Ось направляется так, чтобы она проходила через вершину конической оболочки данного отсека; в каждом отсеке эти оси могут не совпадать и отклоняться друг от друга на малые углы. Таким образом расчетная модель крыла в виде системы отсеков может быть использована для расчета изгибно-крутильных колебаний крыла 17 большого удлинения со слегка искривленной продольной осью, например -крыла с переменной стреловидностью по размаху.
Контуры поперечных сечений отсека (рис. 1.2) являются геометрически подобными: s=xso = Х о 1= ХЛо» гДе X = l+/L0; L0 - расстояние от вершины конуса, лежащей на оси при 0, до левого торца ( = 0); для сужающейся оболочки L0 0. В случае цилиндрической оболочки Ограничимся рассмотрением только прямых отсеков. Скошенные корневой (к = 1) и концевой (k= N) отсеки стреловидного крыла в упругой модели можно приближенно заменить эквивалентными по длине прямыми отсеками при условии, что корневая часть крыла является сравнительно жесткой и ее деформации пренебрежимо малы; деформации концевого отсека малы вследствие малости действующих на него нагрузок.
Обшивку и силовые элементы приводим к постоянному модулю упругости Е. Будем считать, что в пределах длины отсека толщина оболочки h и приведенная толщина h = h + fv 5(s - sv) зависят только от контурной координаты, т.е. h = h(s), h« = h. (s); f v - площадь поперечного сечения v -го стрингера или полки лонжерона; 8(.„.) - импульсная функция Дирака. Для этого необходимо, чтобы площади поперечных сечений стрингеров и полок лонжеронов менялись по линейному закону как fv = f0v %. Если же f v = fv = const , то в пределах длины короткого слабоконического отсека 1Х такой стрингер можно приближенно заменить эквивалентным по жесткости на растяжение стрингером переменного сечения fv=f0vXj где Что касается нервюр, которые имеются в поперечных сечениях, разделяющих отсеки, то они считаются абсолютно податливыми из своей плоскости и абсолютно жесткими в своей плоскости, допуская при этом свободное проскальзывание обшивии вдоль контура невюры. Таким образом реакции между нервюрой и обшивкой отсутствуют и поперечные сечения оболочки могут свободно депланировать и деформироваться вдоль контура. Пусть М и Q обозначают равнодействующий момент нормальных напряжений о и равнодействующую перерезывающую силу касательных напряжений т в поперечном сечении = const при изгибе и сдвиге из плоскости наименьшей жесткости крыла т\ , а Н обозначает равнодействующий крутящий момент касательных напряжений относительно оси , (рис. 1.2).
МКЭ на основе принципа Кастильяно и смешанного вариационного принципа
Вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно являются классическими минимальными принципами. Смешанный вариационный принцип является минимаксным. Можно записать несколько различных вариантов этого принципа.
Смешанный вариационный принцип, сформулированный в [17] для расчета гидроупругих гармонических колебаний оболочки, частично заполненной сжимаемой жидкостью, выражается через вектор перемещений оболочки и функцию Ф, которая представляет одновременно возмущенное давление р р(02Ф и потенциал перемещений жидкости (V = УФ).
В частном случае, когда нормальное перемещение w оболочки (полости) задано и жидкость является несжимаемой, функционал этого принципа принимает вид:
Вариационное уравнение смешанного принципа: Из этого принципа следуют условие несжимаемости жидкости, кинематическое условие на подвижной стенке So и динамическое условие на свободной поверхности а. Смешанный вариационный принцип в варианте (2.6) в отличие от принципа Кастильяно (2.4) может применяться также при g/ o2 - 0. Таким образом, этот принцип можно использовать для решения задачи (1.46) и задачи (1.47).
При использовании вариационных принципов и основанных на них методе Ритца и МКЭ желательно, чтобы при аппроксимации функции Ф точно удовлетворялось как можно больше уравнений и граничных условий гидродинамической задачи. Это улучшит сходимость решения и увеличит его точность. При решении задач (1.46), (1.47) в первую очередь желательно, чтобы неизвестные функции H j, Фп удовлетворяли уравнению Лапласа. При использовании принципа Лагранжа это условие является необходимым. Для этого эти функции следует аппроксимировать рядами по гармоническим функциям.
В качестве системы гармонических функций при решении гидродинамической задачи по методу Ритца в работах [28,30,32] использовались функции, полученные при решении уравнения Лапласа в рядах методом разделения переменных для некоторый простой по форме описанной области, включающей рассматриваемый объём жидкости V. Такими областями, например, являются параллепипед, прямой круговой цилиндр, сфера и др. При таком подходе гармонические функции получаются в виде произведений тригонометрических, гиперболических и специальных функций по одной из трех координат (функций Бесселя, сферических функций и пр.). Такие функции не вполне удобны для вычисления интегралов, представляющих гидродинамические коэффициенты (1.52),(1.54).
Во - первых, отдельные сомножители таких функций сами по себе в компьютерных программах вычисляются в виде бесконечных рядов. Это делает вычисление гидродинамических коэффициентов уравнений метода Ритца для систем высокого порядка весьма трудоемким.
Во - вторых, гармонические функции, получаемые методом разделения переменных, являются быстрорастущими (типа экспоненты) по одной из координат. Вследствие того, что аргументы системы таких быстрорастущих функций содержат в качестве множителя параметры метода разделения переменных, которые для каждой последующей функции берутся из ряда возрастающих чисел, уравнения метода Ритца для систем высокого порядка получаются плохо-обусловленными.
Поэтому такой метод оказывается практически непригодным для расчета колебаний жидкости в удлиненных полостях.
В работе [15] был предложен способ построения гармонических функций в виде полиномов степенных функций. Например, в декартовой системе координат гармонические степенные функции строятся следующим образом. Берется полный полином по степеням х, у, z с неопределенными коэффициентами. Подставляя его в уравнение Лапласа и приравнивая нулю суммы членов с одинаковыми степенями, получаются рекуррентные соотношения между неопределеными коэффициентами.
Использование разложений по полиномам Лежандра для сведения задачи к обыкновенным дифференциальным уравнениям
В [37,86,87] уравнения МКЭ строятся на основе смешанного вариационного принципа для двух функций, характеризующих колебания в общем случае сжимаемой жидкости, - давления и потенциала перемещений. Это сильно увеличивает размерность системы.
В [18] и ряде других работ этого автора также используется смешанный вариационный принцип для расчета колебаний оболочек вращения с жидкостью по МКЭ. При этом колебания жидкости описываются потенциалом перемещений и нормальным перемещением свободной поверхности.
В [25] для расчета колебаний жидкости в полостях использовался МКЭ, так же как ранее метод Ритца [24], на основе различных вариационных принципов (Лагранжа, Кастильяно и смешанном) для одной неизвестной функции - потенциала перемещений жидкости.
В работах [15,53,60,62] для оболочек вращения и произвольных полостей в виде наклонных каналов с жидкостью предложен вариант МКЭ в перемещениях, когда в качестве КЭ рассматриваются поперечные слои жидкости. Этот метод разработан на основе сведения гидродинамической задачи в таких полостях к одномерной задаче, путем разложения продольных перемещений жидкости по заданным функциям координат поперечного сечения [15,16,40,56,61,64,67-69]. Таким образом гидродинамическая задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений или соответствующих алгебраических уравнений МКЭ с КЭ в виде слоев жидкости. Такой подход является весьма эффективным и позволяет получить приближенное решение с достаточно высокой точностью при небольшом числе неизвестных (с 1-м или 2-мя дифференциальными уравнениями или с 8 -10 КЭ). Отмеченные здесь методы расчета колебаний жидкости в подвижных недеформируемых и деформируемых полостях используются в динамике упругих тонкостенных конструкций с отсеками и баками, содержащими жидкость. К ним односятся жидкостные ракеты [14,23,30,31,45,47,49,58,70, 73], самолеты [5,40,43,44], корабли [29,33], а также другие конструкции и сооружения с жидкостью. На основании анализа литературы по теме диссертации определена цель работы: разработать методы расчета колебаний тонкостенной конструкции самолета, отсеки крыла и фюзеляжа которого частично заполнены жидкостью. Основное содержание диссертации изложено в пяти главах. В первой главе разработана математическая модель для изгибно-крутильных колебаний крыла большого удлинения с отсеками, частично заполненными жидкостью, а также - для фюзеляжа, используя метод отсеков. Деформация отсеков конструкции, как укрупненных конечных элементов, рассматривается на основе теории изгиба, сдвига и кручения подкрепленных слабоконических оболочек с произволным контуром поперечных сечений, который может свободно депланировать и искривляться. Получены уравнения колебаний конструкции с учетом подвижности жидкости, частично заполняющей отсеки. Во второй главе рассмотрено применение метода Ритца и МКЭ для расчета колебаний жидкости в упругих полостях на основе вариационных принципов Лагранжа, Кастильяно и смешанного вариационного принципа. Получены сравнительные результаты для собственных частот гравитационных колебаний жидкости и коэффициентов присоединенных масс жидкости на примере плоской задачи для подвижной прямоугольной полости с оценками их сходимости и точности. Третья глава посвящена разработке метода сведения плоской гидродинамической задачи к одномерной для жидкости переменной глубины, частично заполняющей произвольную упругую полость с плоскими торцами. Используются разложения продольного перемещения жидкости по степенным функциям, а также по ортогональным полиномам Лежандра, по поперечной координате. Получены обыкновенные дифференциальные уравнения, а также соответствующие алгебраические уравнения МКЭ с КЭ в виде поперечных слоев жидкости. Выполнены сравнительные расчеты с оценкой сходимости результатов для подвижной прямоугольной полости с наклоненной свободной поверхностью жидкости. Показано, что приближение, соответствующее гипотезе плоских поперечных сечений жидкости, имеет практически приемлемую точность. В четвертой главе гипотеза плоских поперечных сечений жидкости используется для решения трехмерной задачи о колебаниях жидкости, частично заполняющей упругие отсеки фюзеляжа, имеющие продольную плоскость симметрии. Решение построено с помощью МКЭ. В качестве КЭ рассматриваются поперечные слои жидкости, в пределах толщины которых для перемещений используется линейная аппроксимация. Представлены примеры расчета собственных колебаний жидкости, частично заполняющей круговую цилиндрическую полость, расположенную горизонтально и с наклоном. Пятая глава посвящена оценке влияния подвижности жидкости на упругие колебания и флаттер. Рассмотрены собственные поперечные и крутильные колебания прямоугольного кессона с отсеками, частично заполнеными жидкостью, при разных углах наклона свободных поверхностей. Также рассмотрен флаттер крыла с полостью, частично заполйеной жидкостью. Оценено влияния подвижности жидкости при разных углах наклона ее свободной поверхности.
Сведение дифференциального уравнения несжимаемости жидкости с кинематическими граничными условиями к интегральному уравнению неразрывности
При решении гидродинамической задачи обобщенные координаты qj, представляющие перемещения упругого бака, считаются заданными.
Для составной упругой конструкции, имеющей несколько отсеков (баков), частично заполненных жидкостью, кинетическая и потенциальная энергии конструкции (Т , П) в обобщенных координатах q; суммируются соответственно с кинетической и потенциальной энергиями жидкости (ТЖ,ПЖ) во всех отсеках ( Т=Т+ТЖ, П=П+ПЖ ). После этого составляются уравнения колебаний системы для обобщенных координат qP К этим уравнениям добавляются уравнения (1.55) для обобщенных координат fn всех отсеков с жидкостью. В результате получается связанная система уравнений для q:, fn с симметричными матрицами инерции и жесткости. Такая система далее может быть преобразована к несвязанным уравнениям в нормальных координатах, представляющих собственные формы колебаний гидроупругой конструкции. Обычно собственные частоты гравитационных колебаний жидкости в баках оп, значительно меньше собственных частот упругих колебаний конструкции. В этом случае в диапазоне частот упругих колебаний g/co2R«l , гдеR-характерный размер конструкции, влиянием гравитации можно пренебречь, положив g 0. Тогда к = 0, к «0, G2=0, и Пж«0 і поскольку они пропорциональны g. При этом из уравнения (1.55) следует, что fn =0. Следовательно, при расчете преимущественно упругих колебаний конструкции с жидкостью, которые представляют наибольщий интерес для решения задач аэроупругости и динамической реакции самолёта, можно положить =0, Тогда влияние жидкости, частично заполняющей отсеки (баки) конструкции, при её колебаниях будет характеризоваться только коэффициентами её присоединенных масс т , определяемых по формулам (1.54). Это существенно упрощает решение задачи о гидроупругих колебаниях конструкции. Это происходит благодаря тому, что функции у;, получаемые как решения задачи (1.46), подчиняются динамическому граничному условию \j/j= 0 на а. В этом случае при g/o 2R—»0 точно удовлетворяется условие (1.41). В работах [32, 23, 30] и многих других при расчете колебаний жидкости в подвижных и упругих баках ЛА в разложении (1.45) функции у( подчинялись на о кинематическому условию как на плоской жесткой крышке, соединенной со стенками полости или свободно плавающей на поверхности жидкости. В этом случае даже при g/co R = 0 в разложении v (1-45) требуется использовать функции Фп, чтобы устранить влияние такой несуществующей «крышки». Это усложняет решение задачи. Точные решения гидродинамической задачи (1,39)-(1.41) могут быть получены только для таких полостей с жидкостью, поверхности которых S0 и о совпадают с координатными поверхностями известных систем координат (декартовой, цилиндрической, сферической и др.), допускающих применение метода разделения переменных [3,4,15]. Для произвольных полостей решение может быть получено приближенно аналитическими или численными методами. Для этого удобно использовать метод Ритца и метод конечных элементов, основанные на вариационных принципах, а также метод граничных элементов [11]. Для решения задач (1.46) и (1.47) будем считать что колебания являются гармоническими и функции W и Ф изменяются по времени с частотой to, например, пропорционально sin он. Приведенные в этой главе результаты опубликованы в [24,25]. В данном случае Ф является потенциалом перемещений жидкости (v = УФ) и должен разыскиваться в классе функций, удовлетворяющих всем кинематическим условиям, т.е. условиям (1.39) и (1.40). Функционал принципа Лагранжа, как разность кинетической и потенциальной энергий жидкости при гармонических колебаниях, записывается в виде (общий множитель р(0 опускаем): Вариация этого функционала с учетом формулы Грина (1.53) и кинематических условий (1.39), (1.40) записывается в виде
