Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 2
Глава I
ЗАДАЧИ ТЕШОЭЛАСТОСТАТИКИ ДЛЯ КИТОВЫХ ОБЛАСТЕЙ
§ I. Эффективное решение основных граничных задач термоэластостатики для круга и бесконечной плоскости с круговым отверстием 9
§ 2. Решение гранично-контактных задач термоэластостатики для составного круга и кольца 32
Глава П
ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КРУГА И КОЛЬЦА
§ 3. Решение первой и второй основных смешанных задач динамики для круга 55
§ 4. Решение основных гранично-контактных задач динамики для составного круга и кольца 65
Глава Ш
ГРАНИЧНЫЕ, КОНТАКТНЫЕ И ГРАНИЧНО-КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИКИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ШАРА
§ 5. Эффективное решение основных граничных задач эластостатики для шара и пространства с шаровой полостью 78
§ 6. Некоторые контактные задачи статики теории упругости 104
§ 7. Решение некоторых гранично-контактных задач теории упругости для слоистого сплошного и полого шара III
Глава ІУ
АЛГОРИШЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ, РЕШЕННЫХ В ПРЕДЫДУЩИХ ГЛАВАХ
§ 8. Численное решение первой основной граничной задачи термоэластостатики для. круга 125
§ 9. Численное решение гранично-контактной задачи статики теории упругости для слоистого шара 130
Приложение I 143
Приложение 2 145
Литература 156
Введение к работе
Задачи теории упругости стали предметом исследований, как только были найдены основные уравнения движения упругой среды. Интенсивная работа продолжается и в настоящее время для применения существующих методов решения основных задач теории упругости к новым задачам, возникающих при анализе напряженно-деформированного состояния в различных условиях деформации, при наличии значительных градиентов температур, термо- и бародиффузии, нестационарных, электромагнитных полей и других явлений немеханического характера. С другой стороны появление быстродействующих электронных вычислительных машин поставило вопрос решения задач теории упругости (в некоторых случаях - заново) в удобном для численных реализаций виде.
Предлагаемая работа посвящается эффективному решению некоторых граничных, контактных, гранично-контактных и начально-граничных задач теории упругости и термоупругости в виде позволяющим наиболее эффективное применение ЭВМ.
Работа состоит из четырех глав и двух приложений.
В первой главе решаются задачи упрощенной теории термоупругости, известной под названием несвязанной, температурно-напряженной, квазистатической, а также при стационарном температурном поле - статической. В теории температурных напряжений, которая восходит к истокам теории упругости и за последнее время интенсивно развивается ввиду ее растущего прикладного значения, исследуется классическое уравнение теплопроводности, не содержащее члена связанного с деформацией тела. Задачи решаются здесь в следующем порядке: на основе уравнения теплопроводности находится распределение температуры в теле, а затем решают уравнения теории упругости в смещениях, содержащие уже накден-ше члены, зависящие от градиента температуры.
Не имея возможности хотя бы вкратце остановиться на обозрели имеющих многочисленных работ, упомянем что важные результаты исследований и методы решения задач несвязанной теории термоупру-?ости изложены в книгах Б.Боли, Дж.Уэпнер [13], А.Н.Динник [29] , I.Д.Коваленко [32], Б.Г.Коренев [33] Н.Н.Лебедев [45], В.М.Май-зель [49], Э.Мелан и Г.Паркус [5і], В.Новацкий [61,63] , С.П.Ти-дошенко, Дж.Гудьер[77], а также в статьях В.И.Даниловская [27], Г.Н.Маслов [50] , Н.И.Мусхелишвили [54], П.Ф.Папкович [бб] и др. 3 этих работах имеются также подробные исторические и библиографические справки.
За последние двадцать лет начались интенсивно развиваться исследования и по более общей, чем теория температурных напряжений, теории связанной термоупругости, где учитывается взаимное злияние полей деформации и температуры, В этом направлении отменил работы M.Biot [9l], Т.В.Бурчуладзе [I5J , CZafer/иаі [92], ІОгтШ-Cazirrur У. [d3],LJenUcl [95], Н.С.Кахниашвили [ЗО] , З.Д.Купрадзе, Т.В.Бурчуладзе [39-4і] , В.Новацкий [б2,63І, Я.С Іодстригач [7і], Я.О.Подстригач, Р.Н.Швец [72], Р.Н.Швец[88]и др.
Чаще всего в работах по несвязанной теории термоупругости рассматриваются задачи с первой (на границе заданы вектор смещения и температура или поток тепла) или второй (заданы вектор тер-лонапряжения и температура или поток тепла) основными граничными условиями, причем в явном виде получены решения в основном для симметрично нагруженных и симметрично нагретых круговых областей.
В §1 настоящей работы, используя результаты решения первой я второй основных задач статики классической теории упругости, порученные М.О.Башелейшвили [2,з], а таїте формулы Пуассона и Дини (решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа) эюфектив _ 4 -но (в квадратурах) решаются не только первая и вторая, но и третья (на границе заданы нормальная составляющая вектора смещения и касательная составляющая вектора термонапряжения, а также температура или поток тепла) и четвертая (заданы касательная составляющая вектора смещения и нормальная составляющая вектора термонапряжения, а также температура или поток тепла) основные граничные задачи статики термоупругости для круга и бесконечной плоскости с круговым отверстием.
В §2 эффективно (в рядах) решены гранично-контактные задачи термоэластостатики для кусочно-однородных круга и кольца. В этих задачах на границе тела задаются одно из основных краевых условии а на контактных линиях, являющихся концентрическими окружнос-тьми, разные условия сопряжения векторов смещений и напряжений.
Вторая глава посвящается эффективным решениям динамических задач теории упругости в общей постановке для круговых областей. Задачи динамики классической теории упругости исследованы многими авторами. Доказательство теорем существования и единственности решений основных пространственных и плоских начально- граничных задач динамики однородного изотропного и анизотропного упругого тела с конечной границей методами теории потенциалов и интегрального преобразования Лапласа было получено в работах Т.В. Бурчуладзе [ібі, Т.Г.Гегелиа[20] , В.Д.Купрадзе, Т.В.Бурчуладзе [42, 43], а также М.О.Башелейшвили, Д.Г.Натрошвили [э]. Другим методом, основанным на общем представлении решения динамических уравнений с помощью произвольных гармонических, аналитических функций и специальных потенциалов динамические задачи исследованы в работе Л.Г.Магнарадзе [48J. Для неоднородных упругих тел методами функционального анализа динамические задачи исследованы в работах Т.Г.Гегелиа, О.И.Маисаиа [21], Г.ФикераПво]. Теоремы существования и единственности имеются также в работе R.KbOp LVagne, [97]. Динамические смешанные задачи теории упругости цля неклассических областей исследованы в монографии И.И.Ворович, З.А.Бабешко[і8] . Из работ, посвященных эффективным решениям основных задач динамики изотропного однородного упругого шара и бесконечного слоя, отметим работы Д.Г.Натрошвили [59] , Е.И.Обо-аашвили [б4] .Г.И.Петрашень [б8] , Ж.А.Рухадзе [75].
В § 3 рассматриваются основные начально-граничные задачи динамики для изотропного упругого круга. Задачи решаются способом, предложенным в работе [43], в которой рассмотрены первая и вторая основные трехмерные задачи динамики изотропного упругого те-іа. Преобразованием Лапласа рассматриваемые задачи приводятся к граничным задачам псевдоколебаний, решения которых пишутся в ви-i,e абсолютно и равномерно сходящихся рядов. Доказывается, что обратные преобразования дают решения исходных динамических задач.
Аналогичным подходом решаются в § 4 основные гранично-контак-шые задачи динамики для кусочно-однородных круга и кольца.
Третья глава посвящена задачам о равновесии упругого шара. Ізвестно много решений этих задач. Решение первой и второй ос-ювных граничных задач статики для шара (сплошного и полого) бы-ю получено еще Ламе. Эти задачи разными методами решали также омпсон, Тедоне, Сомилиана, Черути. Сведения о их и других ран-шх работах можно найти в книгах А.Лява [ 47] и А.И.Лурье [4б). Третья основная граничная задача для круга и шара была решена в )аботе СГ Нас/амага [с$щ # Отметим еще некоторые более поздние )аботы, касающиеся задач о равновесии шара. Это работы Л.Г.Гиор-•ашвили [22], А.И.Лурье [4б], Ю.Н.Подильчук [70], Во всех перечис-:енных работах решения задач даются в виде рядов. В виде квадратур ешения всех четырех основных граничных задач статики для изот-юпного упругого шара получены в работе Д.Г.Натрошвили [57], а дя т-мерного (ШЇ2) шара - в работе М.О.Башелейшвили [4].
В случае симметрично нагруженного шара решения задач в квадратурах получены в работах А.Я.Александров, Ю.И.Соловьев [і], В.Ф. Бондарева [і4], Б.Г.Галеркин [19].
Вопросы существования и единственности решений основных граничных задач теории упругости для трехмерных областей изучены достаточно хорошо и подробно изложены в монографиях В.Д.Купрадзе [36], В.Д.Купрадзе, Т.Г.Гегелиа, М.О.Башелейшвили, Т.В.Бурчулад-зе [44] , В.Новацкий [бЗ] , А.Ляв [4?], Г.Фикера [ 8(. В двумерном случае теоремы существования решении основных задач статики теории упругости доказаны Н.И.Мусхелишвили [55J , Д.И.Шерманом [89, 90] , С.Г.Михлиным [52].
Отметим, что вопрос существования решения рассматриваемых в работе задач не возникает, поскольку эти решения будут построены фактически, а теоремы единственности для этих задач доказываются.
Контактные и гранично-контактные задачи статики теории упругости с условиями сопряжения, рассмотренные в настоящей работе (главы I и III), для трехмерных кусочно-однородных изотропных областей поставлены и отдельные задачи исследованы Л.Иентчем ( L. Jetfisc/i[94] ). В работе В.Д.Купрадзе [37] доказаны теоремы зуществования и единственности решений задач с такого рода условиями контакта (различные случаи сопряжения, относящиеся, к касательным и нормальным составляющим векторов смещения и напряжения) . Для этих же задач М.О.Башелейшвили [б] доказал теоремы су-цествования и единственности решений в случае плоских областей.
Отметим, что контактные задачи, когда на разделяющей грани-де заданы разности векторов смещения и напряжения, исследованы з работах В.Д.Купрадзе [Зб], М.О.Башелейшвили, Т.Г.Гегелиа [7], Ї.Г.Натрошвили [б8] , Г.Фикера [8о].
В третьей главе настоящей работы с помощью специального представления решения системы уравнений теории упругости, полученного М.О.Башелейшвили [б], методом, отличным от примененных в упомянутых выше работах, единым образом решены граничные, контактные и гранично-контактные задачи статики теории упругости для тел со сферическими границами или со сферическими поверхностями контакта. Все решения представлены рядами или квадратурами в удобном для численной реализации виде.
В §5 решены основные граничные задачи эластостатики для однородного изотропного упругого шара и пространства с шаровой полостью, причем решения первой и третьей задачи записаны в квадратурах, а второй и четвертой - в рядах по сферическим функциям Лапласа.
Используя решения первой основной внутренней и внешней задач в §6 решены контактные задачи для кусочно-однородного пространства, состоящего из двух частей, разделенные сферической поверхностью. Рассмотрены различные случай сопряжения, относящиеся к касательным и нормальным составляющим поля.
В §7 решаются гранично-контактные задачи для кусочно-однородного сплошного и полого шара, состоящего из т, (тъ2) концентрических шаровых слоев из различных изотропных упругих материалов, когда на границе задано предельное значение вектора смещения, а на поверхностях контакта слоев заданы разности нормальных составляющих векторов смещений и напряжений и касательные составляющие векторов смещений.
Строится представление решения для шарового кольца с помощью которого находятся решения (в рядах) поставленных задач. Во всех случаях указаны достаточные условия, которым должны удовлетворять заданные на поверхностях функции для того, чтобы полученные ря ы сходились абсолютно и равномерно.
В четвертой главе на основе эффективных решений рассмотрен - 8 -шх в предыдущих главах некоторых задач составлены алгоритмы и грограммы для их численной реализации. Имеется общирная литература, где наряду с общими аналитическими и численными методами ре-иения задач механики рассматриваются приемы и схемы реализации этих методов при решении прикладных задач на ЭВМ (см.,например, работы Н.И.Безухов, О.В.Лужин [I2J, А.И.Каландия [ЗО], А.Г.Угод-шков, М.И.Длугач, А.Е.Степанов[79], Б.Е.Победря [69]).
Описываемый в §8 алгоритм рассчитан на приближенное вычисление регулярного решения, данного в виде интегралов типа потенциа-іа, первой основной граничной задачи термоэластостатики для однородного изотропного круга. Автоматический выбор шага интегрирования для каждой точки дает возможность вычислить смещения, напряжения и температуру внутри круга (в частности, в точках, лежащих шк угодно близко к границе круга) с погрешностью, меньшей зара-ЇЄЄ заданного числа. Приведен контрольный пример.
В §9 описываются алгоритм и программа, составленные для чис-іенного решения гранично-контактной задачи многослойного сплошного шара. Применены стандартные (библиотечные) программы. Решена юнтрольная задача.
В приложении I приведен текст программы, записанной на алгоритмическом языке АЛТОЛ-60, с помощью которого получаются числен-ше решения первой основной граничной задачи термоэластостатики.
В приложении 2 дана программа, записанная на алгоритмическом языке ФОРТРАН, для численного решения гранично-контактной за-іачи в случае многослойного шара.
Основные результаты настоящей работы опубликованы (см. работы [Ю, II, 81 - 8б]).
