Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Большие деформации композитных тел стохастической структуры 27
1.1. Основные соотношения нелинейной теории упругости и теории упругости второго порядка 27
1.2. Макроскопические переменные нелинейной теории 39
1.3. Приведенные постоянные сжимаемых, макро скопически изотропных сред. Потенциал Мурнзгана 45
1.4. Эффективные характеристики несжимаемых, макроскопически изотропных композитных сред. Потенциал Муни 69
1.5. Несжимаемые волокнистые композиты 83
1.6. Слоистые структуры 94
ГЛАВА 2. Линеаризированные задачи механики стохастически армированных композитных СРВД 103
2.1. Основные уравнения линеаризированной теории упругости 104
2.2. Макроскопические переменные линеаризированной теории. Изотропные композитные среды 108
2.3. Волокнистые материалы с начальным напряжённо-деформированным состоянием волокон и матрицы 127
2.4. Слоистые композиты с начальными напря жениями компонентов 159
2.5. Вариационные оценки для приведенных коэффициентов упругости линеаризированной
теории 172
ГЛАВА 3. Физически нелинейное деформирование композитных СРВД 178
3.1,, Напряжённо-деформированное состояние и приведенные характеристики пространственно армированных композитных сред 178
3.2. Осреднение тензоров и макроскопические постоянные для различных видов армиро вания 200
3.3. Волокнистые и слоистые композиты 226
3.4. Приведенные термопластические свойства композитов, упрочнённых анизотропными волокнами 239
3.5. Упруго-пластическое деформирование пластины с включениями 247
3.6. Волокнистые композиты. Уравнения совместности 262
3.7. Физически нелинейные зернистые композиты. Метод моментных функций 281
ГЛАВА 4. Пьезоэлектрические и пьезомагнйтные композитные материалы стохастической структуры 294
4.1. Пьезоэлектрический эффект в композитных телах стохастической структуры 295
4.2. Волокнистые и слоистые композитные материалы 299
4.3. Напряжённо-деформированное состояние компонентов пьезоэлектрического композита. Макроскопическая прочность 316
4.4. Эффективные свойства пьезомагнитной керамики,
упрочненной дискретными волокнами 322
4.5. Макроскопические коэффициенты диэлектрических и магнитных проницаемостей пространственно
армированных композитов 332
ГЛАВА 5. Распространение плоских гармонических волн в стохастически неоднородных срещах 340
5.1. Динамические уравнения статистической теории упругости. Распространение волн в зернистых композитах с сильными флуктуациями упругих свойств компонентов 340
5.2. Распространение волн в композитных материалах с начальными напряжениями в компонентах. Влияние начального состояния на дисперсию 354
5.3. Дисперсия и затухание гармонических волн, обу словленные вязкоупругими свойствами связующего 364
Приложение I. К оценке прочности композитных алмазосодержащих материалов 373
Приложение 2. Применение теории эффективных свойств неоднородных сред для описания движения смесей в трубопроводах 381
Приложение 3. Физико-механические постоянные материалов, используемых в качестве связующих и наполнителей 392
Заключение 395
Литература
- Приведенные постоянные сжимаемых, макро скопически изотропных сред. Потенциал Мурнзгана
- Слоистые композиты с начальными напря жениями компонентов
- Волокнистые и слоистые композитные материалы
- Дисперсия и затухание гармонических волн, обу словленные вязкоупругими свойствами связующего
Введение к работе
Интенсивное внедрение в практику современных типов композитных материалов способствовало развитию новых моделей, теорий, методов для описания деформирования неоднородных сред. Одной из важных задач механики композитов является определение приведенных свойств материала по известным свойствам компонентов. Имея решение этой задачи, можно исследовать напряжённо-деформированное состояние в макроскопических и микроскопических элементах структуры, формулировать критерии прочности и разрабатывать рекомендации по оптимальному выбору структуры и состава композита. Теоретические исследования в этой области позволяют сократить до минимума проведение дорогостоящих экспериментальных работ.
Условия эксплуатации современных композитных материалов характеризуются высокими уровнями внешних механических нагрузок, температур, электрических и магнитных полей. При этом может нарушаться линейность соотношений между динамическими и кинематическими параметрами. Использование линейной теории деформирования в таких случаях приводит к значительным погрешностям. Убедительным примером сказанному являются композиты с упруго-пластической металлической матрицей, находящие всё более широкое применение в элементах конструкций современной техники. Причём их работа происходит именно в зоне нелинейного, пластического дефоряирования. При высоких уровнях нагрузок необходимо учитывать нелинейность деформирования и полимерных связующих, служащих основой стеклопластиков, боропластиков и т.д.
Композиты, изготовленные на основе резиноподобных материалов, как правило, эксплуатируются в условиях, когда градиенты механических, смещений не являются малыми. Поведение этого класса материалов может быть описано в рамках теории больших деформаций, причём матрица композита может рассматриваться как несжимаемая.
Учёт физически и геометрически нелинейного деформирования является целесообразным не только с целью уточнения соответствующих результатов линейной теории. Ряд задач механики композитов вообще нельзя исследовать в линейной постановке. Это, например, задачи устойчивости, распространения волн в предварительно деформированных микронеоднородных телах и т.д. При этом известно, что согласующиеся с опытом результаты в акустоупруго-сти могут быть получены /48/ с применением упругих потенциалов, зависящих от третьего алгебраического инварианта тензора деформаций. Наиболее простым и распространённым потенциалом такого типа является потенциал ВДурнагана.
Говоря о современных композитных материалах, нельзя не отметить такую их особенность как анизотропия физико-механических свойств наполнителя, а иногда и матрицы. Характерным примером анизотропных волокон являются углеродные, для которых продольный модуль Юнга в тридцать и более раз превышает поперечный. Полимерные и металлические матрицы, в основном, являются изотропными, но в некоторых случаях, например, при развитии в них ориентированных микродефектов, дискообразных трещин, эллипсоидальных пор их поведение также не может быть описано в рамках модели упругого изотропного тела.
Пьезоэлектрические композитные материалы, использующиеся в приборостроении, электромеханических преобразователях представляют собой пример композита с анизотропной матрицей. Как извест -7-но, пьезоэлектрический эффект в изотропном теле не может наблюдаться. Расчёт механических, электрических и пьезоэлектрических полей в неоднородных пьезоэлектриках можно выполнить только с учётом упругой и электрической анизотропии.
Таким образом, можно констатировать, что нелинейное деформирование - физическое и геометрическое,-а также анизотропия компонентов представляют собой важный с практической точки зрения объект исследования и определяют новое научное направление в рамках механики композитных сред.
Постановка и выполнение исследований нелинейного деформирования композитов представляются возможными благодаря достигнутым к настоящему времени успехам в развитии общей нелинейной теории деформирования сплошных сред. Здесь следует отметить работы советских учёных: В.В. Болотина /7, 8, II/, В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова /15/, А.Н. І гзя /38, 40, 42, 44, 45/, А.А. Ильюшина /59, 60/, А.А. Ильюшина, Б. Е. Победри /61/, А.И. Лурье /91/, В.В. Новожилова /122, 123/, В.А. Пальмова /128/, Ю.Н. Ра-ботнова /129, 130, 131/, Л.И. Седова /142, 143/ и зарубежных: Д. Бленда /6/, Р. Кристенсена /74/, А. Грина, Дж. Адкинса /212/ Р. Ривлина /246/, Р. Хилла /218/ и других. Основываясь на результатах работ указанных авторов, имеется возможность перенести постановки и методы общей нелинейной теории на случай деформирования микронеоднородных сред.
В механике композитных материалов условно выделяют два подхода: детерминированный и статистический. Первый основан на представлении об упорядоченной структуре среды, обладающей некоторой периодичностью. Это даёт возможность получить точные решения задач о распределении напряжений и определении приведенных характеристик. Второй предполагает структуру материала случайной. Как правило, это более соответствует реальным компо -8 зитам, где тяжело обеспечить периодичность укладки волокон включений и т.д. По-видимому, наибольший прогресс может быть достигнут на пути дальнейшего развития обоих подходов и использования результатов каждого из них.
Впервые осреднение упругих характеристик поликристалла было проведено в работах В. Фойгта /261/ и А. Рейсса /245/, где использовались предположения о постоянстве в теле деформаций (схема Фойгта) или напряжений (схема Рейсса). Очевидно, что эти ограничения являются достаточно сильными, в реальной структуре осуществимыми лишь в частных случаях деформирования. Схемы Фойгта и Рейсса приводят к разным результатам, расчёт в схеме Фойгта дает верхнюю гранилу истинного макроскопического модуля а расчёт в схеме Рейсса - нижнюю.
Существенное улучшение границ Фойгта-Рейсса было получено 3. Хашиным и С. Штрикманом /217/. На основе вариационного принципа для анизотропного неоднородного тела найдены верхняя и нижняя границы макроскопических модулей поликристаллов и хаотически армированных материалов. В случае равенства модулей сдвига компонентов границы Хашина-Штрикмана совпадают, определяя точное значение эффективного модуля объёмного сжатия. Существенным моментом вариационного метода является вычисление так называемой энергии взаимодействия. Предполагается, что тензор поляризации сохраняет постоянное значение в области, занятой кристаллами одинаковой ориентации или, для случая композитной среды, одним из компонентов. Это означает пренебрежение флукту-ациями деформаций в компонентах.
В исследованиях Хилла /219/, Уиллиса /263/ и других для определения эффективных упругих свойств поликристаллов и композитных сред применяется метод самосогласования. Рассматривается напряжённо-деформированное состояние единичного включения, поме -9-щённого в однородную матрицу с упругими свойствами композита.
На бесконечности задаётся однородное поле напряжений или однородное поле деформаций. Используется тот факт, что возникающее при этом напряжённо-деформированное состояние в сферическом или эллипсоидальном включении также будет однородным /192/. В результате, учитывая формулы, связывающие напряжения и деформации включения, матрицы без включения и матрицы с включением, можно получить алгебраические уравнения относительно приведенных упругих характеристик композитного материала. Метод самосогласованного поля предполагает однородность напряжений и деформаций во включении, что достигается привлечением модели единичного эллипсоидального включения в бесконечной матрице. Несколько иной подход, базирующийся на введении эффективного поля деформаций, предложен в работах С.К. Канауна /65, 66/.
В работах Г.А. Ванина /19, 20/ композитный материал моделируется средой, армированной системой параллельных цилиндрических волокон, расположенных в узлах правильной двоякопериоди-ческой решётки.Определение макроскопических упругих постоянных и напряжённого состояния сводится к решению плоской задачи теории упругости с применением методов теории функций комплексного переменного. В работе /21/ предложен новый метод учёта взаимодействия в теории композитных систем, разработана теория волокнистых сред с несовершенствами /22, 49/. В статьях /23, 24/ определены интегральные параметры продольного сдвига композитной пьезоэлектрической среды с несовершенствами. Предложено обобщение теории /25/ на случай композитных материалов с неупорядоченной структурой.
Точные решения для периодических структур /19, 20/ имеют большое значение для установления достоверности приближённых подходов, в частности, статистических. В работе Л.ЇЇ. Хорошуна /170/ результаты, полученные методом условных статистических моментных функций, сравниваются с точными решениями Г.А. Ванина /19/, Отмечено их хорошее соответствие в широком интервале концентраций компонентов, их упругих свойств. Небольшое расхождение находится в пределах влияния способа упаковки (детерминированной, случайной) на расчётные характеристики композита.
В работах А.Н. Гузя /51, 41, 42, 43/ дана постановка задачи об определении приведенных свойств композитов с начальными напряжениями. Методом длинных волн определены приведенные коэффициенты линеаризированной теории упругости для слоистых композитов, слои которых находятся в состоянии однородной начальной деформации. Показано, что макроскопические определяющие уравнения не могут быть записаны в форме соотношений классической теории упругости анизотропного тела.
В работах Н.А. Шульги /49, 191/ разработана точная теория распространения волн в регулярно-слоистых средах и на её основе изучены поверхностные и объёмные волны (упругие, термоупругие, электромагнитоупругие) в слоистых композитах.Разработана теория дифракции и распространения волн в волокнистых композитных материалах с волокнами произвольного поперечного сечения, изучены собственные частоты колебаний элементов конструкций, изготовленных из кошозитных материалов.
Нелинейные феноменологические модели деформирования волокнистых композитных материалов предложены в работах И.Ф. Образцова, В.В. Васильева /127/, В.В. Васильева, С.А. Содцатова /26/ В этих работах отмечаетсяпрактическая значимость исследований деформирования композитных тел при больших деформациях и нелинейности определяющих физических соотношений.
Большой цикл исследований по механике композитных материалов выполнен учёными рижской школы. Это работы А.К. Малмейстера, В.П. Тамужа, Г.А. Тетерса /93/, И.Г. Жигуна, В.А. Полякова /57/ Р.Б. Рикардса, А.К. Чате /134, 135/, A.M. Скудры и Ф.Я. Булав-са /146, 147, 148/, В.П. Тамужа, B.C. Куксенко /152/, Ю.М. Тар-нопольского, Т.Я. Кинциса /154/. А.Ф. Крегерсом и Ю.Г. Мелбар-дисом определены макроскопические параметры деформируемости пространственно армированных композитов методом осреднения жё-сткостей /71/. Этот подход с успехом распространён на волокнистые /115/ и пространственно армированные композиты с упрутоплас-тической матрицей /72/.
Значительное место в исследованиях советских и зарубежных ученых по механике композитных материалов занимают работы, в которых используются статистические методы. Неоднородные материалы, такие как поликристаллы, матричные композиты, имеют, как правило, случайную структуру с различной степенью упорядоченности составляющих элементов. Поэтому все возможные модельные представления лишь приближенно соо.-тветствуют реальным композитам. Применение статистических методов открывает новые возможности в изучении и прогнозировании свойств композитных материалов.
В работе /80/ И.М. Лифшицем и Л.Н. Розенцвейгом дана постановка задачи об определении приведенных упругих постоянных поликристаллов, сформулированы стохастические краевые задачи , записанные относительно флуктуации перемещений. Решение получено с учетом корреляционных связей второго порядка. Рассмотрен случай изотропного распределения упругих характеристик в пространстве, а также одномерная задача, когда среда имеет слоистую структуру.
В работах В.А. Ломакина /87/,/88/ исходная статистически нелинейная краевая задача линеаризуется методом малого параметра и дается представление решения через статистические характе -12-ристики поля упругих модулей. В случае малой неоднородности можно ограничиться лишь моментами второго порядка, тогда для статистически изотропного поля упругих характеристик находится общий вид корреляционного тензора, определяются макроскопические модули, совпадающие с результатами И.М. Лифшица, Л.Н. Ро-зенцвейга. В монографии /88/ изложены общие подходы к решению статистических задач теории упругости.
Достаточно полный обзор работ по проблемам механики стохастически неоднородных сред, выполненных зарубежными учеными, содержится в недавно вышедшей монографии МакКоя /236/.
Погрешности методов, предполагающих малость флуктуации упругих свойств, становятся весьма заметными при расчете макроскопических модулей композитных материалов, компоненты которых имеют существенно отличающиеся физико-механические свойства, например, стеклопластики, углепластики и т.д. Здесь оказывается необходимым учет высших приближений теории случайных функций.
Важным этапом в развитии теории стохастически неоднородных сред явились работы В.В. Болотина, В.Н. Москаленко /12,13,14/, А.Г. Фокина, Т.Д. Шермергора 3163/, Л.П. Хорошуна /166/. В этих работах предложены методы решения стохастических задач для сред с сильными флуктуациями свойств компонентов.
В исследованиях В.В. Болотина, В.Н. Москаленко определены макроскопические постоянные теплопроводности, диффузии, упругости. Используется понятие сильно изотропных случайных полей, для которых моментные функции любого порядка зависят только от расстояния между точками поля. В результате удается провести интегрирование уравнений. Бесконечный ряд, определяющий макроскопические постоянные, рассматривается как решение операторного соотношения, поэтому окончательные формулы удается предста -13-вить в компактном виде.
В работах Т.Д. Шермергора /190/, А.Г. Фокина, Т.Д.Шермер-гора /163/ используется методика, применяемая при изучении распространения волн в средах с сильными флуктуациями. На базе дифференциального оператора уравнений равновесия строятся один дифференциальный и два интегральных оператора, при помощи которых случайная составляющая поля упругих перемещений выражается че рез регулярную часть. Полученный после перенормировки бесконечный операторный ряд по форме отличается от соответствующих рядов схемы возмущений. Интегрирование выполнено в пренебрежении формальными составляющими вторых производных функций Грииа, что приводит к однородности напряженно-деформированного состояния в области, занимаемой каждым ия компонентов.
В методе, предложенном Л.П. Хорошуном /166/, задача об определении макроскопических свойств композита, поле деформаций которого статистически изотропно в пространстве, сводится к решению бесконечной системы алгебраических уравнений относительно одноточечных моментных функций. Интегрирование выполнено в пренебрежении угловыми составляющими моментов, содержащих деформации. Исследована структура одноточечных моментов двухкомпонен-тных сред, наосновании чего решение бесконечных систем найдено в за мкнутом виде.
Перечисленные три подхода в задачах определения макроскопических постоянных, учитывающие высшие приближения теории случайных функций, основаны на различных предположениях. Эти предположения, в смысле получаемых решений, эквивалентны гипотезе однородности напряженно-деформированного состояния в пределах компонента. В работе Л.П. Хорошуна /168/ предложен метод условных моментных статистических функций. В нем заранее предполагается малость флуктуации деформаций в компонентах, в результате чего удается выполнить интегрирование уравнений,не прибегая к непосрественному анализу структуры моментных функций. Метод оказался эффективным при исследовании свойств неоднородных материалов сложных видов армирования, а также при решении статистических задач нелинейной теории упругости.
В работе В.В. Новожилова /124/ намечен подход к исследованию напряженно-деформированного состояния в случае, когда поля тензоров напряжений и деформаций не являются статистически однородными. Ю.И. Кадашевичем и В.В. Новожилпвым /64/ предложен один из вариантов учета микронапряжений в теории пластичности. Неравномерность пластической деформации приближенно учитывается суммой элементарных пластических деформаций, каждой из которых отвечает своя поверхность текучести. Исследован случай, когда в теле помимо микронапряжений, вызываемых микронеоднородностью пластической деформации, имеются еще и начальные упругие микронапряжения.
Упруго-пластическое поведение композитов с пластической матрицей исследовалось С.Т. Милейко, Н.М. Сорокиным, Е.Г. Голо-фаст /116/.
Свидетельством растущего интереса исследователей к проблемам механики структурно-неоднородных тел является выход в свет за последние годы монографий С.Д. Волкова, В.П. Ставрова /27/, Р. Кристенсена ( ред. перевода Ю.М. Тарнопольский)/74/, А.К. Ма-лмейстера, В.П. Тамужа, Тетерса /93/, Т.Д. Шермергора /190/, МакКоя /236/ и других, а также многотомных обобщающих изданий под ред. I. Браутмана, Р. Крока /69,70/, А.Н. Гузя /49/.
Проведенный анализ литературы показывает, что к настоящему времени недостаточно исследованы вопросы нелинейного деформирования композитных сред, в том числе композитов с существв-н-но анизотропными компонентами. В наибольшей мере это относится к материалам стохастической структуры.
Краткая аннотация диссертационной работы
Целью настоящей работы является развитие теории деформирования композитных сред стохастической структуры с нелинейными и анизотропными свойствами компонентов и исследование основных закономерностей макроскопического поведения зернистых, волокнистых, слоистых и пространственно армированных композитов при статическом и длинноволновом динамическом нагружении.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
-разработка теории деформирования стохастически армированных композитных сред при больших деформациях компонентов, определение приведенных свойств физически и геометрически нелинейных зернистых, волокнистых и слоистых композитов, исследование микроструктурных напряжений и градиентов смещений.
-разработка линеаризированной теории деформирования стохастических композитов с учетом начального напряженно-деформированного состояния компонентов и изучение влияния этого состояния на приведенные свойства материала и перераспределение полей напряжений идеформаций в микроструктурных элементах.
-разработка теории деформирования композитов пространственных типов армирования с физически нелинейной (упруго-пластической) матрицей и исследование свойств материала по известным свойствам волокон и матрицы, размерам волокон, способу армирования.
-разработка теории деформирования стохастических пьезоак-тивных композитов с анизотропными матрицей и включениями, решение задач прогнозирования приведенных свойств, расчета микроструктурных напряжений и формулировка критериев прочности с учетом механического и электрического нагружения.
-разработка теории распространения гармонических волн в макроскопически изотропных стохастических композитах, в том числе с учетом начального напряженного состояния компонентов (линеаризированная теория), исследование дисперсии, затухания, их зависимости от структурных параметров, вязкости матрицы.
Научная новизна и значимость результатов исследований. В работе впервые разработана теория деформирования композитных сред стохастической структуры с нелинейными и анизотропными свойствами компонентов. Получены решения задач о напряженно-деформированном состоянии компонентов и определены приведенные постоянные материалов, характеризующие нелинейно-упругие свойства, приведенные постоянные линеаризированной теории, пьезоэлектрические, пьезомагнитные постоянные для зернистых, волокнистых, слоистых и пространственно армированных композитов. Исследованы эффективные динамические характеристики микронеоднородных сред с начальными напряжениями компонентов.
Достоверность основных научных положений гарантирована тем, что все результаты получены на основе единого подхода с использованием метода условных статистических моментных функций, хорошо зарекомендовавшего себя при решении задач линейной статистической теории уррутости. Все вычисления на ЭВМ, связанные с применением методов последовательных приближений, выполнены с контролируемой точностью. Проведено сравнение ряда полученных данных с экспериментом, показавшее достаточно хорошее совпадение результатов предлагаемой теории и эксперимента. В некоторых случаях проведено сравнение с имеющимися решениями (точными и приближенными) других авторов, проверена справедливость вариационных, энергетичнских оценок.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, трех приложений, заключения и списка литературы.
В первой главе приведены основные соотношения нелинейной теории упругости, дающие представление о системе обозначений, используемых в работе.
Показано, что осредненная вариация удельной потенциальной энергии может быть представлена в виде свертки осредненного тензора напряжений Кирхгофа и вариации осредненного градиента смещений, если в пределах представительного объема выполняются уравнения равновесия, а на границе заданы условия, обеспечивающие однородность напряженно-деформированного состояния в гомогенной среде.
Рассматривается стохастически армированный макроскопически изотропный композитный материал, упругие свойства компонентов которого описываются потенциалом Мурнагана. Ставится задача о нахождении приведенных постоянных с учетом физической и геометрической нелинейности среды. Для случайных эргодических полей эта задача эквивалентна определению условных математических ожиданий градиентов смещений через их статистические средние. Решение ищется разложением в ряд по неслучайному параметру смещений и их градиентов, напряжений, граничных условий. Исследуются нелинейные эффекты в рамках теории упругости второго порядка (по терминологии Грина, Адкинса/212/, Трусделла/158/, А.И. Лурье/91/). При этом формулировка задачи первого порядка полностью совпадает с задачей линейной статистической теории упругости.
Для нахождения решения первого приближения применяется метод условных моментных функций. Полученный результат совпадает с хорошо известными результатами В.В. Болотина, В.Н. Москаленко/14, А.Г. Фокина, Т.Д. Шермергора/163/, Л.П. Хорошуна/166/, что говорит о достоверности последовательно применяемого далее в работе метода условных моментных функций.
Задача второго порядка, будучи линейной по отношению к величинам второго порядка малости, приводит к нелинейной статистической задаче относительно статистических характеристик этих величин. Здесь снова применяется метод условных моментных функций, чтобы получить решение, выражающее средние по компонентам градиенты смещений второго порядка малости через математические ожидания градиентов смещений первого и второго порядков.
В результате получены выражения пяти приведенных постоянных потенциала Мурнагана для макроскопически изотропного композита. Исследована зависимость этих постоянных от свойств вомпо-нентов и их объемных концентраций. Установлено, что учет только геометрической нелинейности приводит к пренебрежимо малым значениям констант третьего порядка, поэтому, если свойства компонентов описываются потенциалами, по форме совпадающими с потенциалами линейной теории упругости, то и в выражениях макроскопических потенциалов можно ограничиться лишь членами при макроскопических коэффициентах второго порядка.
Рассматриваются стохастически армированные композитные ере • ды с несжимаемыми компонентами. Задачи формулируются в рамках нелинейной теории упругости второго порядка, причем свойства компонентов описываются потенциалом Муни-Ривлина. Показано, что эффективные постоянные макроскопически изотропного несжимаемого композита могут быть получены из соответствующих формул сжимаемого предельным переходом.
Определены приведенные характеристики композита, представляющего собой несжимаемую матрицу, армированную анизотропными дискретными волокнами. Получены определяющие уравнения теории слоистых пластин большого прогиба, собранных их несжимаемых изотропных слоев, каждый из которых может представлять собой макроскопически изотропный композит, описанный ранее.
Во второй главе приведены основные уравнения линеаризированной теории упругости и определены макроскопические переменные для микронеоднородных сред. Найдены приведенные постоянные макроскопически изотропного композита, компоненты которого находятся в состоянии равномерной всесторонней начальной однородной деформации. Макроскопические постоянные линеаризированной теории являются функциями упругих характеристик компонентов, их объемных концентраций и вел чины начального деформированного состояния матрицы и включений. При отсутствии начального состояния полученные выражения переходят в известные формулы линейной теории микронеоднородных сред. Начальное состояние компонентов может быть вызвано внешней нагрузкой, обусловлено технологическими причинами, например, остыванием композита от темпера -туры отвердения связующего до нормальной эксплуатационной температуры. Приведены формулы для расчета микроструктурных напряжений, вызванных внешней нагрузкой или перепадом температур.
Исследованы волокнистые композиты с начальным однородным состоянием компонентов, обладающим осевой симметрией. Получены формулы расчета начального напряженного состояния компонентов при заданных внешних температурных или силовых воздействиях. В результате решения стохастической задачи найдены выражения приведенных коэффициентов линеаризированной теории через упругие постоянные матрицы и волокон, а также характеристики начального состояния. Показано, что при воздействии интенсивных внешних нагрузок происходит заметное изменение макроскопических модулей по сравнению с результатами линейной теории армирования.
Получены решения задач о напряженно-деформированном состоянии компонентов и определении приведенных характеристик материалов, свойства матрицы которых описываются потенциалом Мур-нйгана, а свойства волокон потенциалами линейной анизотропной теории упругости. Исследованы приведенные свойства слоистых композитов с учетом начального деформированного состояния слоев. Решения, полученные в работе в статистической постановке, совпадают с аналогичными результатами А.Н. Гузя/41,43/, полученными методом длинных волн.
Доказан вариационный принцип линеаризированной теории упругости микронеоднородных сред, исходя их которого получены вариационные оценки для приведенных коэффициентов упругости. Доказательство основано на существовании определенного типа симметрии тензоров упругих коэффициентов, отличной от симметрии тензоров классической анизотропной теории.
Третья глава посвящена разработке теории деформирования физически нелинейных композитов.
Предлагается метод исследования напряженно-деформированного состояния компонентов и определения приведенных характеристик пространственно армированных нелинейных композитных сред. Рассматривается материал, представляющий собой физически нелинейную матрицу, армированную произвольным образом ориентированными короткими волокнами. Чтобы получить аналитические выражения условных вероятностей перехода из волокна в волокно разных направлений, вводится представление о марковском процессе, который описывается этими плотностями. Параметрам процесса ставятся в соответствие геометрические характеристики волокон: их размеры, взаимное расположение. В итоге плотности перехода находятся из системы дифференциальных уравнений марковского процесса, коэффициенты которых выражаются через микроструктурные параметры композита.
Приведены формулы осреднения тензоров и получены выражения эффективных постоянных для различных видов армирования. Рассмотрено хаотическое армирование короткими волокнами, раз -21-ориентированными в пространстве, хаотическое армирование короткими волокнами в плоскости и подкрепление однонаправленными волокнами вдоль оси, перпендикулярной этой плоскости, ортогональное армирование вдоль координатных осей. Исследовано влияние формы включений и способа армирования на распределение напряжений в компонентах и приведенные свойства материала. Изучены некоторые частные случаи, например, наличие в материале различным образом ориентированных пор эллипсоидальной формы. Устремляя один из размеров эллипсоидальной поры к нулю, в пределе получим соотношения для среды, ослабленной дискообразными трещинами. Вычислены макроскопические коэффициенты для случая хаотической ориентации трещин в пространстве, причем полученные коэффициенты линейной теории, совпадают с результатами В.П. Та-мужа/150/. Подробно исследованы волокнистые и слоистые композиты с нелинейной матрицей. Получен полный набор констант транс-версально изотропного тела с кубической по девиаторам нелинейностью. Экспериментальное определение такого большого числа констант представляется затруднительным. В предлагаемом подходе из эксперимента находятся только постоянные изотропных волокон и изотропной нелинейной матрицы.
Исследованы приведенные термопластические свойства композитов, армированных анизотропными высокомодульными волокнами. В ограничении двух приближений (по физической нелинейности) получен макроскопический закон термопластического деформирования композита. Определены приведенные постоянные нелинейно деформирующейся (упруго-пластической) пластины с включениями эллиптической или прямоугольной формы. Если включения имеют круговую форму, пластина становится изотропной. Исследованы пластины, имеющие жесткие включения и пластины, перфорированные отверстиями. Проведено сравнение результатов теории и эксперимента для
-22 4 пластины, перфорированной круговыми отверстиями. Сравнение показало хорошее совпадение результатов.
Исследованы волокнистые композиты с матрицей, поведение которой описывается степенным относительно второго алгебраического инварианта девиатора напряжений законом с высоким показа телем степени. Поскольку исходные определяющие уравнениядля ма J
трицы записаны в виде деформации- напряжения, используются стохастические уравнения совместности деформаций. Определены приведенные податливости материалов, армированных однонаправленными эллипсоидальными волокнами, откуда следуют результаты для волокнистых, слоистых и зернистых сред. Получены выражения коэффициентов концентрации напряжений в компонентах, определяемых отношением интенсивности напряжений в компоненте к интенсивности макроскопических напряжений. Проведено сравнение расчетных кривых деформирования с имеющимися в литературе опытными данными. Показано, что нелинейность деформирования матрицы приводит к увеличению концентрации напряжений в жестком наполнителе и снижению в матрице.
Рассматривается физически нелинейный изотропный композит, причем его характеристики находятся при помощи статистических моментных функций, без применения условных моментов. Показана эквивалентность этих методов применительно к нелинейным задачам отмечены преимущества метода условных моментов.
Четвертая глава посвящена исследованию пьезоэлектрических и пьезомагнитных композитных материалов стохастической структуры. Приведены основные соотношения электроупругости, введены макроскопические переменные нелинейной теории пьезоэлектричества. При решении конкретных задач используется физически линейная связанная теория.упругих и электрических полей. Интегрирование стохастических уравнений выполнено для волокнистых и ело -23-истых пьезоэлектриков, обладающих макроскопической трансверсаль-но изотропной симметрией. Если предпшгожить, что напряженность электрическоро поля постоянна в компонентах, формулы значительно упрощаются, приведенный тензор пьезоэлектрических постоянных может быть выражен через макроскопический тензор упругости и пьезоэлектрические постоянные компонентов. Предложен метод расчета микроструктурных напряжений в пьезоэлектрическом композите по известным приведенным постоянным и заданным внешним механическим нагрузкам и электрическим полям. Формулируется макроскопический критерий прочности по условию разрушения одного из компонентов.
Исследованы эффективные свойства пьезомагнитной керамики, упрочненной дискретными волокнами, ориентированными вдоль оси магнитной симметрии матрицы. Предложен метод определения макроскопических диэлектрических (магнитных) проницаемостей композитных материалов, упрочненных различным образом ориентированными в пространстве короткими волокнами. Получены достаточно простые расчетные формулы для материалов, хаотически армированных в трех измерениях, хаотически армированных в плоскости и в направлении перпендикулярном ей, ортогонально армированных вдоль координатных осей. Показано, что пространственное армирование позволяет заметно изменять электростатические характеристики во всех направлениях композита.
Пятая глава посвящена развитию теории распространения достаточно длинных волн в стохастически армированных композитах.
Рассматривается задача о распространении упругой гармони- , ческой волны в неограниченной среде со случайными свойствами. Для ее решения предлагается метод условных статистических момен-тных функций. Это позволяет избежать обычно используемых ограничений на величину случайных флуктуации упругих свойств. При интегрировании функция Грина динамической теории упругости и функции от волновых векторов разлагаются в ряд по частоте и
удерживаются члены, содержащие частоту не более чем в третьей степени, что соответствует длинноволновому приближению. Эффективные динамические модули являются комплексными функциями частоты распространяющейся волны, т.е. среда различным образом реагирует на волны разной частоты. Использование таких модулей позволяет описать явления дисперсии и поглощнния волн.
Рассмотрена задача об определении эффективных динамических характеристик стохастически армированного композита с начальными напряжениями в компонентах. Используются динамические уравнения линеаризированной теории упругости микронеоднородных сред Значения макроскопических характеристик композита являются комплексными функциями частоты и величины начальных градиентов смещений в компонентах. Таким образом, характеристики дисперсии и поглощения также зависят от величины начального состояния.
Кратко изложены методы исследования статических и динамических свойств композитов с вязкоупругими свойствами матрицы.
В приложении I рассмотрена задача, иллюстрирующая примене г ниетеории к оценке прочности композитных алмазосодержащих материалов. В приложении 2 теория эффективных свойств применяется для описания движения вязких смесей в трубопроводах. В приложении 3 приведены значения постоянных для материалов, используемых в качестве связующих и наполнителей.
В целом проведенные исследования можно квалифицировать как новое научное направление, суть которого заключается в следующем:
Развита теория деформирования композитных сред стохастической структуры с нелинейными и анизотропными свойствами компонентов, включающая:
1) разработку теории для композитов, компоненты которых деформируются физически и геометрически нелинейно;
2) разработку линеаризированной теории стохастически армированных композитных материалов.
3) разработку теории пьезоэлектрических композитов волокнистой и слоистой структуры
4) разработку теории распространения длинных волн в стохастически армированных композитах, в том числе с начальным деформированным состоянием компонентов.
Изложенные в работе результаты докладывались на 17, У Всесоюзных конференциях "Проблемы надежности в строительной механике (Вильнюс, 1975, 1979), ХІУ, ХУ Всесоюзных научных совещаниях по тепловым напряжениям (Киев, 1977,1980), У Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981), X Всесоюзной конференции по композитным материалам (Москва, 1981), семинаре Института проблем материаловедения АН УССР (Киев, 1982), семинаре по механике деформируемых систем и общей механике Института механики АН УССР (Киев, 1982), семинаре проф. Т.Д. Шермергора (МИЭТД982), семинаре проф. В.Н. Москаленко (МЭИ,1982), семинаре проф. Ю.М. Тарнопольского (Институт механики полимеров, Рига,1982), Всесоюзном симпозиуме "Актуальные проблемы нелинейной теории упругости" (Ленинград,1983), Всесоюзном семинаре, посвященном памяти чл.-корр. АН СССР А.И. Лурье (ЛПИ,1983), семинарах отдела механики стохастически неоднородных сред Института меяаники АН УССР (Киев,1976-1983).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах /49,54,94-113,171-186/, из них две монографии/49,181/. Работы /49,54,109-113,171-186/ написаны в соавторстве. Научный вклад каждого из соавторов следующий: в главах 9,10,11,12 монографии /49/ и монографии /181/ Л.П. Хорошуну принадлежит общий замысел работы, разработка метода моментных и условных моментных функций, решение статистических задач линейной теории упругости, диссертанту - постановка задач нелинейного деформирования композитных сред и сред с анизотропными компонентами и их решение. В работах /I7I-I83/ Л.П. Хорошуну принадлежит общий замысел работ, диссертанту - конкретная постановка задач и их решение. В работах /184-186/ Л.П. Хорошуну принадлежит общий замысел, разработка метода, диссертанту - постановка задач, метод их аналитического решения и анализ результатов, П.В. Лещенко- решение конкретных задач, составление программ счета на ЭВМ. В работе /186/ П.Г. Шишкин выполнил эксперимент по определению эффективных модулей. В работах /І09-ІІ2/ Б.П. Маслову принадлежит общий замысел, постановка задач, их решение и анализ результатов, соавторам- решение конкретных задач, составление программ. Соавторам статьи /III/ принадлежит экспериментальная часть работы,
В заключение автор выражает благодарность своему научному консультанту профессору Л.П. Хорошуну за полезные советы и постоянное внимание к работе.
Приведенные постоянные сжимаемых, макро скопически изотропных сред. Потенциал Мурнзгана
Как известно, при расчете упругих полей стохастически неоднородных сред /14,49,88,190/ существенным является вычисление результата действия: интегрального оператора в правой части уравнения типа (1.3.12). Обычно здесь вводят некоторые упрощающие предположения относительно структуры рассматриваемых случайных полей. Так в работах /14,166/ интегрирование выполнено в пренебрежении угловыми составляющими моментных функций, содержащих деформации. Другой возможностью интегрирования является учет.только-сингулярной составляющий производных функций Грина /190/. Указанные приближения эквивалентны в том смысле, что расчетные поля тензоров напряжений и деформаций оказываются однородными в пределах каждого компонента.
В используемом здесь подходе, получившем название метода условных моментных функций /168,181,49/ будем заранее считать статистич шше_флутстушзди градиента смещений,в, каждом из ком-понентов_пренебрежимо-малыгж т.е. поле градиентов смещений среды принимаем в виде где п -индикаторная функция объема V . .
Используя приближение (1.3.14), при построении условных моментных функций градиентов смещений (1.3.13), получаем Л " (I.3.I5) ми Ь Условные вероятности р обладают очевидными свойства рчФ =S« , ft C =b = s і ІР«С = 1 cv (I.3.16) тогда с учетом соотношений (I.3.15), (I.3.16) интегральное уравнение (I.3.12) относительно условных моментных функций градиента смещений сводится к алгебраическому относительно средних градиентов смещений в компонентах
Уравнение (1.3.17) может быть решено, если задан конкретный вид тензора М . Его вид, очевидно, зависит от функции Грина G- для представительного объема V и условных вероятностей р , задающих распределение неоднородностей по объему V . Размеры включений пренебрежимо малы (I.2.I) по сравнению с линейными размерами объема V , поэтому гращшу можно считать бесконечно удаленной относительно микроточки, задаваемой вектором с- , Функцию Грина неограниченной изотропной среды найдем из уравнения (1.3.9). Применив к нему интегральное преобразование Фурье и учитывая (1.3.5), будем иметь /190,98/
Формулы (1.3.44) совпадают с известными результатами, полученными В.В. Болотиным, В.Н. Москаленко /14/ с использованием гипотезы сильной изотропии случайных полей, Т.Д. Шермергором /190/ при помощи сингулярного приближения теории случайных фун -54- . ,. кций, Л.П. Хорошуном по методу моментных функций /166/.
Такое совпадение дает основание утверждать, что используемый в настоящей работе метод условных моментных функций и , в частности, приближение (1.3.14) обеспечивают достаточно высокую точность расчета, сопоставимую с точностью хорошо известных методов /14,166,190/.
Тензор эффективных упругих постоянных A,./fr дает возможность выразить средние напряжения, действующие в компонентах, через макроскопические напряжения. Действительно, из соотношений
Слоистые композиты с начальными напря жениями компонентов
Концентрация стали принималась равной сЛ = оч& . Этот пример иллюстрирует возможности использования эффективных постоянных для решения задач акустоупругости неоднородных сред.
В литературе имеется много экспериментальных данных о постоянных упругости третьего порядка 0. кс для различных типов материалов. Но, к сожалению, отсутствуют сведения об этих постоянных для компонентов наиболее распространенных композитов: стеклопластиков. В дальнейших расчетах будем принимать, что смола имеет те же постоянные цДс. , что и полистирол/А & /, а стекло - постоянные стекла "пирекс" /91 /. Таким образом, для стекла и смолы будем принимать
На рисунке 1.3.8 представлены кривые изменения макроскопических постоянных (X (о » с зернистого стеклопластика, свойства компонентов которого заданы постоянными (1.3.60).
Постоянные Q и с. - немонотонно зависят от концентрации наполнителя. Кроме того, можно отметить слабую зависимость постоянных третьего порядка этого композита от концентрации стеклянных включений в интервале О&е (\б . Таким образом, можно рекомендовать в инженерных расчетах, в том числе и при определении напряжений методом акустоупругости, применять постоянные третьеюю порядка связующего в качестве макроскопических. Эта рекомендация относится, безусловно, только к данному конкретному виду стеклопластика.
Одним из наиболее часто упоминаемых примеров несжимаемых упругих сред являются резиноподобные материалы, эластомеры. Относительное изменение объёма при деформировании таких материалов является величиной высшего порядка малости по сравнению со сдвигами.
Математическая модель упругого несжимаемого тела во многих случаях оказывается проще соответствующей модели сжимаемого тела, особенно это касается постановок и методов решения нелинейных задач. Поэтому даже относительно жёсткие на сдвиг материалы часто служат объектом исследования в рамках модели несжимаемого тела. В последние годы предложены модели "почти" несжимаемых сред, в которых несжимаемая в обычном смысле среда является лишь удобным в математическом плане первым этапом решения общей задачи.
На рис. 1.3.4, 1.3.5 линии, помеченные цифрой 2, соответствуют физически нелинейной теории. Как видим, в этом примере различие результатов, полученных по общей нелинейной теории и по физически нелинейной теории не столь существенно как в предыдущем случае.
Таким образом, есть основания рекомендовать формулы (1.3.56) для расчета эффективных постоянных третьего порядка композитных сред, образованных достаточно жесткими компонентами, как например, оргстекло-сталь. Для прогнозирования упругих характеристик пористых тел целесообразнее воспользоваться результатами общей нелинейной теории (1.3.54).
На рис. 1.3.6 приведены кривые изменения эффективных постоянных с? с для композита смола-углерод, причем при расчете упругие постоянные второго порядка углерода и смолы принимались соответственно равными К =Д2 ,3 ЧО (Act , j4 = 47,540 Ца k(2 =o(MV(la- уі( о,тло а постоянные третьего порядка считались равными нулю. Графики рисунка 1.3.6 дают представление о влиянии учета геометрически нелинейного деформирования компонентов на эффективные нелинейные свойства срвды типа смола-углерод. Отметим, что значения постоянных О- , с в данном примере довольно малы.
На рис 1.3.7 представлены графики изменения скоростей макроскопических продольной и поперечных V л , VjT, , VL волн в зависимости от величины сжимающей нагрузки &. , действующей вдоль оси дсь на композит оргстекло-сталь.
Волокнистые и слоистые композитные материалы
Приведенные здесь вариационные границы (2.5.23) имеют большое значение для подтверждения достоверности результатов этой главы, касающихся прогнозирования приведенных коэффициентов линеаризированной теории. К сожалению, в литературе отсутствуют экспериментальные данные по определению приведенных свойств с учётом величины начального состояния. Поэтому вариационные границы (2.5.23) и имеющиеся точные решения (для слоистых композитов) /41, 42, 43/ служат основой для подтверждения, после соответствующих сравнений, достоверности полученных в этой главе формул.
В некоторых случаях непосредственный практический интерес представляет сама нижняя граница эффективных коэффициентов, по L (2) с2) лученная из условия о = t если о тензор коэффициентов упругости более мягкого компонента. Знание нижней границы может служить критерием справедливости выбранной механической модели в общем смысле. Если результаты эксперимента находятся ниже нижней вариационной границы, это говорит о принципиальной непригодности данной модели для расчёта композитных материалов конкретного класса. При непопадании экспериментальных результатов в вариационную вилку необходимо уточнить модель: учесть возможные микроразрушения, пористость, неидеальность контакта между связующим и наполнителем, а не пытаться уточнить решение в рамках старой модели.
Композитные материалы часто используются в таких условиях, когда даже при малых деформациях уже не соблюдается линейность соотношений напряжения-деформации. Этот случай физически нелинейного поведения композитов более полно освещен в литературе по сравнению с другими типами нелинейноетей. Это объясняется, безусловно, относительной простотой исходных соотношений, что позволяет при помощи ЭВМ довести до конца практически любую задачу, имеющую линейно упругое решение. Другой важной причиной . интереса исследователей к этому типу нелинейности является его практическая значимость. Многие композиты с металлической матрицей проявляют существенные пластические свойства, что стимулирует развитие исследований в этой области.
Пространственное армирование нелинейно деформирующейся матрицы позволяет получать композиции с улучшенными свойствами по сравнению со слоистыми и однонаправленными волокнистыми материалами. Например, композиты, армированные волокнами в трёх взаимно ортогональных направлениях, обладают повышенными жёсткое тными и прочностными характеристиками в поперечных направлениях /57/.
Пространственные связи в композите могут быть образованы вследствие искривления всех или части волокон одного из направлений. Эти материалы создаются в рамках традиционной системы двух нитей: основы и утка. При одноразовой прошивке волокна основы пронизывают весь материал по толщине, а при повторяющейся -179-лишь часть его, таким образом волокна основы соединяют лежащие рядом волокна утка по высоте пакета или соединение осуществляется через одно, два и более волокон утка.
Пространственное армирование получается в результате введения волокон третьего направления. Такие композиты образуются системой трёх нитей в прямоугольной декартовой или цилиндрической системе координат. Волокна могут быть взаимно ортогональными в трёх направлениях или располагаться под утлом в одной из плоскостей армирования.
Существуют также композиты, в которых пространственные связи создаются нитевидными кристаллами. Такие материалы образуются при использовании вискеризованных волокон. Особенность этих материалов заключается в характере расположения нитевидных кристаллов относительно направления основной арматуры. Наиболее типичными являются две схемы армирования: с хаотическим расположением нитевидных кристаллов в одной плоскости и во всём объёме.
Дисперсия и затухание гармонических волн, обу словленные вязкоупругими свойствами связующего
Пьезоэлектрическим эффектом называется способность материала генерировать электрический заряд, пропорциональный механическому напряжению. Впервые этот эффект был обнаружен более ста лет тому назад в 1880 г. Пьером и Жаком Кюри. Вскоре после того было установлено наличие у некоторых материалов и обратного пьезоэлектрического эффекта: способности деформироваться пропорционально приложенному электрическому напряжению.
Если к пьезоэлектрическому материалу приложено соответствующим образом направленное электрическое поле, то он попеременно расширяется, сокращается или изгибается в противоположные стороны. Если при этом частота переменного поля совпадает с частотой собственных колебаний пьезоэлектрического образца, то вследствие резонанса амплитуда механических колебаний значительно возрастает.
Возбуждаемые таким способом материалы (пьезокристаллы, пьезокерамика, пьезополимеры) могут стабилизировать частоту приложенного электрического поля. Другим важным применением обратного пьезоэлектрического эффекта является генерирование ультразвуковых колебаний. Пьезоэлектрик, находящийся в контакте с жидкостью или твердым телом, заставляют колебаться с определенной частотой, в результате чего в среду, с которой он находится в контакте, распространяются механические колебания. Эти колебания, волны используют для обнаружения трещин внутри тела, определения глубины и изучения дна океана и т.д.
Пьезоэлектрические кристаллы, пьезокерамика и начинающие находить практическое применение пьезополимеры / / являются наиболее важными материалами из использующихся в приемниках и излучателях акустических колебаний. При этом в последние годы уделяется значительное внимание созданию пьезоэлектрических композитных материалов, в частности, керамики, армированной монокристальными волокнами или усами, слоистых пьезополимерных тел и т.д.
Пьезоэлектрический эффект в композитных телах стохастической структуры. Будем рассматривать квазистатические электрические поля и выделим две координатные системы OCj и 4j -отсчетной и актуальной конфигурации, причем -механическое смещение частицы, имевшей в недефор-мированном состоянии координату
Вектор напряженности электрического поля Е. зададим выражением Здесь f -электрический скалярный потенциал, индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей координате недсформированного состояния. Отметим также, что вектор (4.1.2) соответствует вектору работы связанному с вектором напряженности Е" деформированного состояния
Уравнения элект -роупругого равновесия имеют вид общий тензор Пиолы-Кирхгофа, представляющий собой сумму обычного тензора механических напряжений "Ц- и электро-статического тензора напряжений Максвелла М;.- ,S); -вектор электрического смещения (индукции) в коордиинатах отсчетной конфигурации.
Здесь G0-электрическая постоянная (в0 = & Х5 0 ф ) Е- вектор напряженности электрического поля в недеформированном состоянии тела (4.1.2), Р. -вектор поляризации в координатах недсформированного состояния, М.. -тензор электростатических напряжений Максвелла в координатах недеформированного состояния. Если скаляр ф представляет собой удельную функцию состояния единицы объема, то Функцию ф запишем в форме ряда по переменным тензор постоянных упругости второго порядка, G..I -тензор пьезоэлектрических постоянных второго порядка, тензор коэффициентов упругости третьего порядка, к аЦ. Oj4fl, -чётный и нечётный тензор коэффициентов электроупругости третьего порядка, )Ll-тензор диэлектрической восприимчивости третье-го порядка.
При решении конкретных задач электроупругости обычно пренебрегают нелинейноетями электрического поля и упругой физической нелинейностью. Тогда из (4.1.6), (4.1.7) получим
Выделим из неоднородной пьезоэлектрической среды некоторый представительный объём V , ограниченный поверхностью 8. . Пусть на недеформированной поверхности заданы условия где чертой сверху, как и ранее, обозначено осреднение по неде-формированному представительному объёму.
Таким образом, переменные "t.. Н Я . fc. могут быть выбраны в качестве макроскопических переменных нелинейной теории, формулируемой в координатах недеформированного состояния.
Дальнейшей задачей является определение макроскопических тензоров упругости А....! электроупругости диэлектрических проницаемоотеи
Если предположить, что все рассматриваемые поля, вследствие стохастической структуры композита, являются случайными, обладающими свойством эргодичности, то придём к обычной для этой работы формулировке задачи о нахождении приведенных характерис тик статистических полей, и условных моментных функций тензоров механических деформаций и электрической напряжённости, описывающих электроупругое состояние микронеоднородной среды. Волокнистые и слоистые композитные материалы.
Сформулированная выше задача о нахождении приведенных постоянных является геометрически нелинейной, поскольку тензор деформаций Грина нелинейным образом (4.1.6) выражается через градиенты смещений. Решение этой задачи будем искать методом возмущений. Для этого разложим механические смещения в ряд по неслучайному параметру" П. и подставим это разложение в физические соотношения (4.1.8). Ограничившись двумя приближениями, получим
В первой главе показано, что решение геометрически нелинейной задачи во втором приближении без учёта физической нелинейности материала приводит к тем же значениям приведенных упругих постоянных, что и решение соответствующей задачи в первом приближении. Поэтому здесь приведём только решение первого приближения. Второе приближение и в случае электроупрутого деформирования даёт те же значения приведенных констант, если не учитывается физическая нелинейность среды.
