Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор моделирования процессов в твердых телах методом молекулярной динамики 15
1.1. Применение метода молекулярной динамики к исследованию интенсивных процессов в твердых телах 15
1.2. Анализ используемых модификаций метода молекулярной динамики 26
1.3. Динамическое разрушение твердых тел: численные расчеты и эксперимент 34
Глава 2. Пропагаторная реализация метода молекулярной динамики ..41
2.1. Алгебраическая модификация классической механики 41
2.2. Классический пропагатор и численная схема для случая стационарных внешних полей 46
2.3. Пропагаторная реализация метода молекулярной динамики для случая нестационарных внешних полей 52
2.4. Сравнительный анализ численных схем, традиционно используемых в ММД 55
Глава 3. Численный анализ динамических процессов в бездефектных кристаллах при постоянной скорости деформации 75
3.1. Апробация пропагаторной методологии на задаче разрушения одномерных кристаллов 76
3.2. Физическая система и численная схема для трехмерного кристалла 92
3.3. Выбор начальных данных и их мезоанализ 97
3.4. Мезоанализ явлений, возникающих в трехмерных кристаллах при постоянной скорости движения свободной границы 104
3.5. Физический анализ разрушения бездефектных твердых тел 120
3.6. Интегральные критерии разрушения 131
3.7. Исследование влияния поперечных размеров нанокристалла на результаты 137
Глава 4. Численный анализ процессов в бездефектных нанокристаллах при нагружении внешней силой 145
4.1. Физическая система и численная схема для моделирования процессов в трехмерном кристалле под воздействием внешней силы 146
4.2. Исследование применимости континуальной механики к бездефектным наноструктурам при постоянной внешней нагрузке 149
4.3. Моделирование квазистатических процессов в кристаллах методом молекулярной динамики 159
Приложение 1. Сравнение метода оператора эволюции с другими традиционными методами решения, используемыми в рамках ММД 163
Заключение 168
Литература 173
- Динамическое разрушение твердых тел: численные расчеты и эксперимент
- Пропагаторная реализация метода молекулярной динамики для случая нестационарных внешних полей
- Мезоанализ явлений, возникающих в трехмерных кристаллах при постоянной скорости движения свободной границы
- Исследование применимости континуальной механики к бездефектным наноструктурам при постоянной внешней нагрузке
Введение к работе
В последние годы наблюдается бурное развитие нанотехнологий, имеющих дело с бездефектными нанокристаллами. В связи с этим, становится актуальным исследование свойств наноструктур при их интенсивном нагружении, получение механических характеристик, используемых в механике деформируемого твердого тела. Особый интерес представляет изучение процесса динамического разрушения бездефектных наноструктур, нахождение критериев разрушения и получение соответствующих критических параметров.
Необходимо отметить ряд особенностей, возникающих при исследовании явлений в бездефектных наноструктурах при интенсивных динамических нагрузках. Во-первых, это масштабы в пространстве: характерные размеры наноструктур составляют менее 300 А. Во-вторых, определяющие процессы имеют длительность от времени возбуждения атомных связей, что составляет порядка 10 13 с, до времени прохождения волны возмущения по характерному масштабу в пространстве, т.е. до 10" с. Такие пространственно-временные масштабы явлений обусловливают невозможность их экспериментального исследования, по крайней мере, в настоящее время.
Все это обусловило необходимость применения метода молекулярной динамики (МД) для исследования свойств бездефектных нанокристаллов при динамическом импульсном нагружении. Этот метод позволяет, только лишь на основании знания потенциала взаимодействия между атомами системы, получить максимальную информацию о ней - наборе координат и импульсов всех атомов. Это ласт возможность, путем того или иного способа свертки информации, обоснованно перейти от микроуровня на следующий масштабный уровень - мезоуровень, и получить параметры системы для согласования с макрохарактеристиками континуальной механики.
В настоящее время существует несколько модификаций МД, основанных на различных динамических законах, применяемых в форме уравнений Ньютона, Лагранжа или Гамильтона. Во второй половине 20-го века получила широкое распространение алгебраическая модификация классической механики, предложенная Фон-Нейманом. Законы динамики, лежащие в основе этого подхода, имеют вид алгебраических эволюционных соотношений. Их особенностью является то, что значение любой характеристики системы определяется действием оператора эволюции (или классического пропагатора) на значение этой величины в начальный момент времени. Этот формализм позволил подойти с единых позиций, как к задачам механики, так и к задачам кинетической теории. Данный подход был использован в научной школе Пригожина для обоснования единой кинетической теории, что дало выдающиеся результаты. Однако, до 90-х годов алгебраическая модификация Фон-Неймана не применялась для решения задач механики.
В связи с этим, представляет интерес построить метод молекулярной динамики, основанный на пропагаторном представлении уравнений динамики. В настоящей работе МД формулируется в рамках обобщенного формализма алгебраической механики. Эта модификация названа пропагаторной реализацией метода молекулярной динамики.
Настоящая работа посвящена разработке пропагаторной реализации метода молекулярной динамики и на его основе - численному исследованию процессов в бездефектных нанокристаллах при интенсивных динамических нагрузках.
Целью работы является:
1. Разработка пропагаторной реализации метода молекулярной динамики и апробация на задачах механического нагружения бездефектных нанокристаллов.
2. Изучение процессов в бездефектных нанокристаллах при интенсивных динамических нагружениях.
3. Исследование применимости механики сплошных сред к нанообъектам при интенсивном динамическом нагружении.
4. Получение количественных значений механических параметров, характеризующих свойства нанообъектов при динамическом нагружении.
5. Физический анализ процесса разрушения наноструктур при механических нагрузках и нахождение критериев динамического разрушения аналогичных, имеющихся в континуальной механике.
6. Верификация найденных критериев разрушения на разных классах механических воздействий.
Научная новизна. Впервые получены необходимые уравнения и на их основе разработаны численные схемы пропагаторной реализации метода молекулярной динамики, основанной на алгебраической модификации классической механики. Данный метод позволяет достигать практически любой требуемой точности расчетов и получать не только качественные, но и количественные результаты моделируемых явлений. Показано, что численная схема на основе разработанного метода имеет высокую точность при обращении времени, что не имеет аналогов в работах других авторов.
Впервые в рамках метода молекулярной динамики для бездефектных трехмерных нанокристаллов создана модель двух основных экспериментов в механике по изучению динамических характеристик твердых тел: растяжение образца с постоянной скоростью деформации одной из границ и растяжение при постоянной силе, приложенной к свободной грани.
Разработана методология исследования явления повреждения и последующего разрушения нанокристаллов при механическом нагружении. На ее основе подробно изучено явление разрушения в бездефектных кристаллах, что проделано впервые именно в этой работе. Получены количественные характеристики, определяющие состояние и свойства бездефектных кристаллов в процессе повреждения и последующего разрушения, выявлены локальные критерии динамического разрушения бездефектных нанокристаллов.
Для нанокристаллов получен ряд механических свойств, показана возможность применения континуальной механики к исследованию наноструктур.
Проведен анализ критериев разрушения, используемых в континуальной механике, дана подробная трактовка их физического смысла на атомарном уровне.
Дана трактовка на микро- и мезоуровне явлению разрушения с точки зрения распространения волны возмущения по кристаллу, что дало объяснение зависимости области разрушения от приложенной внешней нагрузки.
Диссертация состоит из введения, четырех глав с изложением результатов исследования, заключения, списка цитируемой литературы и списка работ, опубликованных по теме диссертации.
В главе I дан обзор предыдущих исследований процессов в твердых телах при интенсивных динамических нагрузках методом молекулярной динамики. Особое внимание уделено области применимости метода молекулярной динамики, а также современному состоянию дел в исследованиях механических свойств наноструктур при их механическом импульсном нагружении. Проведен сравнительный анализ используемых модификаций ММД, определено преимущество той или иной модификации. Сформулированы основные вопросы, остающиеся нерешенными в указанных работах к настоящему времени.
В главе II представлено подробное описание используемого в работе численного метода. Показан последовательный переход от классической механики Ньютона к алгебраической модификации механики Фон Неймана. Получены выражения для классического пропагатора и основанные на j-іем численные схемы для случая стационарных и нестационарных внешних полей. Представлены результаты по сравнению разработанной пропагаторной реализации метода молекулярной динамики с традиционно используемыми схемами, такими как схемы Рунге-Кутта, Адамса-Мултона и Верле для тестовых задач. В результате исследований показано, что пропагаторная реализация МД обладает необходимыми требованиями к численным схемам, а именно - устойчивостью, сходимостью. Показано значительное преимущество нового подхода к расчету интенсивных динамических процессов, таких как разрушение.
Глава III посвящена молекулярно-динамическому исследованию процессов в трехмерных бездефектных нанокристаллах при их импульсном нагружении с постоянной скоростью движения свободной границы. В качестве конкретного вещества был выбран нанокристалл меди. Дан мезоанализ состояния нанокристалла, определивший выбор начальных данных для кристалла и способ моделирования закрепления кристалла на неподвижной границе и на границе, движущейся с постоянной скоростью. Проведено численное исследование процессов в интервале скоростей движения свободной границы от 10 м/с до 1 км/с. При этом получены как количественные значения механических параметров, так и важнейшие закономерности для бездефектных нанокристаллов меди.
Проведено численное исследование явления разрушения в бездефектных нанокристаллах. На основе предложенного в работе мезоанализа объяснен механизм разрушения и получены локальные критерии разрушения. Проведен сравнительный анализ с критериями разрушения, широко используемыми в континуальной механике.
Анализ волновых процессов в наноструктурах и их прямое сравнение с численными результатами континуальной механики позволили сделать вывод о возможности применения механики деформируемого твердого тела к микрообъектам с размерами порядка 100 А. Однако при этом необходимо использовать механические параметры и характеристики, найденные в рамках метода МД.
Проведены прямые численные расчеты ряда характеристик нанокристалла для различных поперечных сечений. Показано, что при увеличении размеров от 3 3 кристаллических ячеек до 6 6, модуль Юнга и предел прочности несколько увеличиваются. Однако при дальнейшем увеличении поперечного сечения все характеристики остаются инвариантными, и могут быть использованы при моделировании идеальных макрокристаллов.
В главе IV проводится тестирование результатов, полученных в случае движения свободной границы с постоянной скоростью, на другом примере внешнего механического возмущения - растяжения кристалла, с постоянной внешней силой, приложенной к свободной границе. Показана универсальность найденных ранее механических характеристик, критериев разрушения и соответствурощих критических параметров. Прямое сравнение численных результатов, полученных в рамках метода МД и механики деформируемого твердого тела, позволило подтвердить выводы III главы.
В приложении 1. проведено повторное тестовое сравнение традиционных численных схем, применяемых в методе МД, на задаче растяжения кристалла с постоянной силой, приложенной к свободной границе. Показано преимущество пропагаторного подхода в применении к случаю высокоинтенсивных динамических нагрузок.
В заключении представлены основные выводы работы.
На защиту выносятся:
• численная реализация схемы на основе классического пропагатора для молекулярно-динамического моделирования процессов повреждения и разрушения металлических бездефектных нанокристаллов;
• методика исследования разрушения бездефектных наноструктур в рамках молекулярной динамики;
• расчет механических параметров бездефектного кристалла, используемых в механике деформируемого твердого тела, таких как зависимость стхг(е), модуль Юнга;
• механизм явления разрушения бездефектных нанокристаллов при импульсном механическом нагружении двух видов: 1) движение свободной границы с постоянной скоростью; 2) действие постоянной силы на одну из границ;
• доказательство применимости континуальной механики к решению задач интенсивного механического нагружения нанообъектов при условии использования аналитической зависимости , полученной в рамках МД;
• локальный критерий разрушения для бездефектных нанокристаллов, значение критических параметров разрушения для меди. Автор выражает благодарность за помощь в выполнении работы научным руководителям чл.-корр. РАН Фомину Василию Михайловичу и к.ф.-м.н. Головневу Игорю Федоровичу. А также за неоценимые консультации проф. Киселеву Сергею Петровичу, к.ф.-м.н. Латыпову Альберту Фатхиевичу.
Динамическое разрушение твердых тел: численные расчеты и эксперимент
Влияние внешних механических возмущений на состояние твердого тела изучалось в работах [20-27]. Статья [20] посвящена подробному исследованию вопроса о зарождении сдвигов в одномерно сжатой решетке -состоянии, реализуемом на фронте ударной волны. Простая оценка показывает, что вследствие симметрии бездефектная решетка в сильно сжатом состоянии оказывается устойчивой при малых смещениях атомов. Показан активационный характер зарождения сдвига в бездислокационной решетке в условиях сильного одномерного сжатия, характерного для твердого тела на фронте ударной волны. Авторы [21] провели моделирование двумерной кристаллической решетки Си, когда атомы находятся в узлах, при этом исследовались сдвиг, влияние всестороннего давления на теоретическую сдвиговую прочность, растяжение, откол, одномерное сжатие. В сообщении [22] изложены результаты исследования механизма явления длительной прочности единичной межмолекулярной связи с помощью ММД. Расчеты показали, что элементарный акт разрушения, состоящий в разрыве единичной связи, происходит по термофлуктуационному механизму, и длительная прочность определяется соотношением величин энергии, необходимой для разрыва связи и энергии тепловых колебаний атомов. Авторы [23] провели исследование одного из эффектов Ребиндера на основе анализа атомного механизма разрушения твердых тел в присутствии адсорбционно-активной среды. В работе [24] изучено влияние механической обработки на вещество в результате интенсивных атомных движений. Было обнаружено, что тип и последствия подобных движений зависят не только от мощности механического воздействия, но и от структурного строения обрабатываемого вещества, определяющего характер внутренних атомных движений. В статье [25] проанализировано поведение двумерной модели, составленной из равновеликих кристаллов двух сортов, и показано, что в процессе релаксации после одноосного сжатия атомы перемещаются блоками, а интенсивное перемешивание на атомарном уровне осуществляется в промежуточных областях, в том числе на границе раздела кристаллов. В работе [26] обсуждается уравнение движения одномерной решетки точечных масс, связанных нелинейными пружинами, и сравнивается с уравнениями соответствующей непрерывной среды. Получен постоянный режим демпфированной решетки с помощью ряда аппроксимаций и показано соответствие с этим режимом в непрерывной среде. Более точная аппроксимация приводит к режиму постоянного профиля для недемпфированной решетки со стационарными колебаниями за ударным фронтом. Показано, что это находится в качественном соответствии с результатами численного интегрирования задачи переноса. Авторами [27] разработаны и обсуждены формулировки и методологии ММД, касающиеся моделирования материальных систем при приложении конечных внешних возбуждений. На основе межфазных систем, состоящих из граничащих твердых тел, которые характеризуются различными межатомными взаимодействиями и атомными размерами, исследованы механизмы и динамика отклика и рельефа сжатия при упругом, пластичном и неупругом режимах. Определены критические величины внешних воздействий (растяжения и сжатия), что показывает зависимость от природы границы раздела и окружающих условий.
Влияние дефектов на макропараметры, проблемы пластичности и разрушения исследовались в работах [28-38]. Авторы [28] провели исследование движения междоузлий и вакансий в 01ДК решетке, в статье [29] изучен искаженный ударный фронт. Исследование влияния дефектов кристаллической структуры проделано в [30]. В статье [31] описываются результаты расчета для плоской решетки с введенной до начала сжатия парой Френкеля - междоузельным атомом и вакансией. Область вакансии, вследствие меньшей локальной плотности, оказывается более устойчивой при одномерном сжатии, чем идеальная решетка. В области, где находился междоузельный атом, при приложении одноосного сжатия зарождается сдвиг вблизи дефекта. В работе [32] изложены результаты исследования процесса зарождения и развития пластической деформации в кристаллической решетке при ударно-волновом нагружении. Развитие деформационной структуры при ударном нагружении характеризуется большой вероятностью дислокационных реакций, благодаря чему обеспечивается одноосность деформирования и существенное уменьшение плотности дислокаций на стадиях выдержки и разгрузки по сравнению с фронтом сжатия. Авторами [33] изучены деформация и разрушение двухмерного молекулярного кристалла, зарождение и движение дислокаций, гомогенный сдвиг в плоскости скольжения и хрупкое разрушение при низкой температуре. Статья [34] рассказывает о проведении моделирования на двумерной системе напряжения и разрушения кристалла, влияния окружающей среды на эти процессы, взаимодействие между адсорбционно-активными атомами й окружающими стенками, влияние напряжения на подвижность междоузельных примесей, формирование и разрушение контакта между двумя кристаллами. Исследователи [35] занимались определением способов рассасывания граничных зерен при различных условиях нагружен ия. Результаты работы дают представление о механизме пластической деформации. Структурная неустойчивость плоских решеток под влиянием точечных дефектов исследована в [36]. Полученные результаты показали, в частности, что при исследовании двумерных кристаллитов на основе ММД необходимо более корректно подходить к вопросу об определении устойчивости моделируемой атомной структуры, т.к. наличие дефектов может нарушить устойчивость исходной структуры и привести к ее перестройке. Целью работы [37] было изучение молекулярного механизма эффекта Ребиндера - адсорбционного понижения прочности. Результаты показали, что быстрые локальные процессы, в которых участвуют адсорбционно-активные атомы - миграция в напряженную решетку, двумерное давление, могут вызвать переход от пластической деформации к хрупкому разрушению. Механизм адсорбционного понижения прочности изучен в [38]. Оказалось, что в отдельные моменты времени сила, действующая на стенки трещины, превосходит прочность межатомной связи.
Пропагаторная реализация метода молекулярной динамики для случая нестационарных внешних полей
Континуальная механика имеет дело с различными процессами, происходящими в среде, которые, в свою очередь, подразделяются на статические и динамические, что определяется пространственно-временными параметрами внешнего воздействия. Одной из наиболее приоритетных задач механики является проблема динамического разрушения твердых тел, т.е. разрушения, происходящего за времена порядка действия внешнего импульса. При динамическом нагружении материалы проявляют иные свойства по сравнению с квазистатическими нагрузками. Экспериментально установлено [72, 91-98], что, если мы имеем дело с внешним импульсом продолжительностью от микросекунд и меньше, то в этом случае законы общепринятой классической механики не всегда выполняются. Анализ несоответствия экспериментальных данных и результатов традиционной континуальной механики (см., например, [91]) выявил ряд противоречий, основными из них являются следующие: 1. При быстром нагружении материалы выдерживают большие нагрузки, чем в статике. 2. Динамическая прочность зависит от способа внешнего воздействия, т.е. от "истории" нагружения. 3. Разрушение может начаться, когда локальное нагружение уже начинает уменьшаться. Одной из причин этого является то, что сильно различаются прочностные свойства материалов при статическом и динамическом нагружении. Подходы к решению задачи о динамическом разрушении твердых тел во многом зависят от качества и свойств рассматриваемого материала. Твердые тела можно классифицировать по уровню и виду загрязненности, наличию или отсутствию кристаллической структуры и т.п. Так, наибольшее количество работ посвящено изучению разрушения материалов с имеющимися изначально макродефектами, такими как трещины [65,99-104], поры [105-108], неоднородности [109]. Имеется ряд работ, в которых исследовался процесс разрушения в твердых телах с микродефектами, включая вакансии, дислокации и т.п. [105, 109, ПО]
Тем не менее, современные технологии зачастую требуют высококачественных, бездефектных материалов (нанокристаллов). Возникает вопрос о прочностных свойствах бездефектных кристаллов в условиях динамического импульсного нагружения. Молшо перечислить несколько работ [111-115], в которых экспериментально исследуются бездефектные или высокочистые кристаллы. Так, в работе [111] исследовано динамическое пластическое разрушение с помощью экспериментов по зарождающемуся расщеплению на образцах из тантала двух видов. Были использованы промышленно чиаый образец тантала и высоко чистый образец. Были исследованы такие микроструктурные параметры разрушения, как пористость, распределение по размеру пор, коэффициент пористости посредством анализа изображений и методики оптической профилометрии. В статье [112] представлены результаты динамической растягивающей деформации монокристаллов алюминия. В ударно-волновых экспериментах продолжительность нагрузки была 40 не, начальная температура варьировалась от 20 до 648 С, что лишь на 12 градусов ниже температуры плавления алюминия. Авторы выявили, что при таких условиях динамическая расімгивающая деформация не зависит от температуры вплоть до 630 С. Она слегка увеличивается при дальнейшем возрастании начальной температуры до 648 С. Высокотемпературные данные превышают оценочные напряжения, при которых может начаться плавление в растянутом материале. В работах [113,114] представлены экспериментальные результаты по динамическому пределу текучести и динамическому пределу прочности на разрыв монокристаллов алюминия при ударно-волновом нагружении как функция от температуры. Продолжительность воздействия была от 40 до 200 не. Температура варьировалась от 15 до 650 С (что на 10 градусов ниже температуры плавления). Измерения проделаны на образцах под воздействием плоских ударных волн с давлением 5 ГПа за фронтом 2-Ю"7 с. Обнаружено, что динамический предел текучести аномально возрастает, достигая близости точки плавления, результаты при этом получаются такие же, как и при комнатной температуре. Высоко динамический предел прочности на разрыв поддерживался на всем температурном интервале, включая условия, при которых начинается плавление в материале при растяжении. Динамическое напряжение монокристаллов в этом температурном интервале уменьшается примерно на 40% высокое напряжение остается в состоянии, при котором ожидается плавление во время расширения. Авторы [115] исследовали экспериментальные характеристики пластичного повреждения высокочистого тантала при динамической одноосной растягивающей нагрузке. Эти эксперименты по отколу выполнены для диапазона ударного давления 5-М 2 ГПа для продолжительности импульса 1.5 мкс. Проведенные исследования позволили дать лучшее понимание различным стадиям образования, роста и объединения микропор.
Мезоанализ явлений, возникающих в трехмерных кристаллах при постоянной скорости движения свободной границы
В первую очередь были рассчитаны таблицы с данными аналитического решения задачи (2.4.11). После этого были проведены численные расчеты этой задачи посредством вышеуказанных методов до времени = 100 с различными шагами по времени, величина шага варьировалась в пределах 0.1-Ю.8. Точность численных схем исследовалась двумя способами.
Во-первых, сравнивались результаты расчетов, полученные вышеуказанными методами на разных расчетных шагах, с аналитическим решением. При этом использована формула для определения относительной погрешности: где хех, уех - табличные координаты, полученные на основе аналитического решения.
Вычисления точности методов для задачи (2.4.11) очень наглядно показаны на графиках: на рис.2.4.1 можно увидеть значения погрешности для всех трех сравниваемых методов и для разных расчетных шагов по времени. Видно, что шаг h = 0.1 дает очень точные результаты при использовании как пропагаторного метода, так и метода Рунге-Кутта. Шаг h = 0.5 уже не годится для расчетов, т.к. погрешности слишком велики. В методе Рунге-Кутта и пропагаторным она достигает 5% к окончанию счета. Во всех случаях погрешность метола предиктор-корректор на порядок выше.
Во-вторых, сравнивались указанные выше численные схемы по результатам, полученным уменьшением шага по времени в 2 раза. При этом использовано выражение (2.4.12), но вместо аналитических значений были взяты результаты численного расчета, полученные при меньшем шаге. По данному критерию схема Рунге-Кутта и пропагаторная схема ведут себя абсолютно одинаково, по этой причине на графиках (рис.2.4.2) приведены результаты только для пропагаторного метода. В то же время, по рис.2.4.3 видно, что метод Адамса-Моултона дает на порядок худшие результаты по сравнению с ними.
Информативными являются и зависимости x(t) или y(t), х(у), полученные разными методами на одних и тех же шагах по времени. Примечательно, что поведение зависимостей x(t), найденных с помощью пропагаторнои схемы и Рунге-Кутты полностью совпадают при всем наборе шагов по времени. Результаты, полученные методом Адамса-Моултона, практически совпадают с результатами двух выше названных численных схем вплоть до шага h =0.5 для задачи (2.4.11), см. рис.2.4.4 (а-б).
На рис.2.4.5 приведены графики х{у), полученные эволюционным методом на разных расчетных шагах. Видно, что при расчетных шагах 0.05 и 0.1, графики идентичны между собой и визуально неотличимы от аналитического решения. Данные по результатам сравнения методов можно увидеть в табл.2.4.1. Сравнение численных схем по обратимости во времени В работах, использующих ММД, в основном исследовались неравновесные процессы, даже если сами авторы это и не указывали. Поэтому важнейшим условием работы численной схемы является уменьшение численной ошибки при обращении времени. Эта ошибка равносильна появлению в уравнении Лиувилля искусственного источника в правой части, что может приводить к сильному искажению динамики самого исследуемого явления (см. например работы по исследованию уравнения Лиувилля с источником [87,88]). Подробный критический анализ поведения численных схем но отношению к обращению времени дан в работе [89], а в работах [85,86] доказывается, что многошаговые методы не могут быть обратимыми. К тому же, обратимость численного метода по времени - хороший показатель надежности работы схемы, в то же время исследование обратимости позволяет определить максимальный расчетный шаг для каждого метода. Обратимость проверяется достаточно простым способом. В качестве начальных данных берем значения х, у на последнем временном шаге, полученные из прямых расчетов. После чего задаем шаг по времени отрицательным и делаем столько же шагов, сколько.и в прямых расчетах. В идеале, должно получиться полное совпадение начальных данных прямой задачи с конечными результатами задачи с обращенным временем. На практике их отклонения и являются показателем погрешности схемы при обращении времени. Для исследований обратимости сравниваемых численных методов берем исходные данные, полученные из расчетов с положительными шагами: 0.1, 0.5, 0.05, 0.2, 0.3, 0.4 на момент времени / = 100. По рис.2.4.6(а,б) видно, что при обращении времени результаты, полученные пропагаторным методом и методом Рунге-Кутта, совпадают с большой точностью с решением прямой задачи, вплоть до шага А = 0.5. При этом, метод предиктор-корректор дает хорошие результаты при обращении времени лишь до шага А = 0.2 . В качестве примера на рис.2.4.6 (г) приведены результаты расчета этим методом для шага А = 0.5, траектории прямой и обратной задачи сильно отличаются.
Исследование применимости континуальной механики к бездефектным наноструктурам при постоянной внешней нагрузке
Для понимания физической основы разрушения бездефектных твердых тел и исследования зависимости этого явления от скорости, необходимо провести анализ явления на мезо- и макроуровне.
Прежде всего, была исследована структура волн возмущения, распространяющихся от движущегося конца стержня. Расчеты проводились в интервале скоростей от 1м/с до 1км/с. Ниже весь графический материал для большей наглядности приведен для Т = 0.01 К. На рис.3.1.1-а,б представлена мезоструктура скоростей центров масс ячеек vc для v0 = 0.08 км/с через Nr = 10" и NT=3-]04 , соответственно, шаг по времени г = 10"5с. Аналогичная структура приведена на рис.3.1.2-а,б, но для v0= 0.38км/с. Видно, что для малых скоростей v0 фронт волны достаточно узкий, а с увеличением v0 наблюдается его дисперсия. Численные исследования показали, что "подошва" фронта движется со скоростью звука для всех v0 0.38, а скорость "вершины" уменьшается (рис.3.1.3). Для выяснения энергетической мезоструктуры кристалла по подсистемам выводились значения средней кинетической энергии атомов Екш в системе центра масс каждой ячейки, а также средние значения потенциальной и полной энергий. На рис.3.1.4-а,б приведено характерное распределение U и Ekin , соответственно, по ячейкам для v0 = 0.08 км/с в момент iVr =3-10 , а на рис.3.1.5-а,б - то же самое, но для скорости v0 = 0.38 км/с. Видно, что тепловая энергия волны намного меньше потенциальной энергии взаимодействия атомов. Таким образом была исследована зависимость средней полной энергии атомов SD за фронтом волны возмущения от скорости свободной границы кристалла v0 (рис.3.1.6) в интервале от 10 м/с до 380 м/с. При этом максимальное значение 5D « 12 . Даже небольшое возмущение, вызывающее превышение этой величины, приводит уже к разрыву связи и разрушению кристалла. Детальный анализ показал, что это связано с зависимостью силы между атомами от расстояния между ними (рис.3.1.7). Максимальное значение Fmax = aDI 2 « 37.186, а соответствующее расстояние гкР=ге+ In2/а «3.35. Этому расстоянию соответствует потенциальная энергия /кр« 14.5 (отсчет от "дна" потенциальной ямы). Итак, имеем следующий механизм разрушения одномерного кристалла. Волна возмущения, проходя по кристаллу, возбуждает энергию межатомной связи до критического значения. Если этой энергии при одном проходе недостаточно, то волне требуется неоднократный проход по данной области твердого тела. После отражения от одной из границ волна попадает в такую критическую область и приводит к превышению икр, и расстояния между атомами становятся больше гкр, т.е. происходит разрыв атомных связей. При этом даже небольшие растягивающие напряжения ведут к росту относительного удлинения.
Следовательно, трактовка результатов, полученных в данном параграфе, может быть последовательно дана с точки зрения диссипации энергии волны возмущения во внутренний структурный элемент. Т.к. материал рассматривается бездефектный, то структурным элементом является пара атомов в связанном состоянии. В связи с этим были проведены дополнительные исследования и на микроуровне. При получении макропараметров разрушения фиксировалась пара атомов, между которыми происходил разрыв атомной связи. Далее в отдельных расчетах внимание фиксировалось на этой паре, и выводились следующие характеристики: полная энергия двух атомов в системе их центра масс, скорость самого центра масс va, их потенциальная энергия Ua и расстояние между этими атомами га.
На рис.3.1.8 -а-г приведены зависимости этих величин от числа шагов по времени NT (шаг г = 0.01) для скорости v0 = 10м/с, для пары атомов с номерами 40-41. Видно, что энергия ступенчато возрастает при прохождении волны возмущения.
Таким образом, выделено три локальных критерия разрушения одномерного кристалла. А именно: . F = = 37.186 - значение силы взаимодействия между двумя атомами. Данные выражения и величины критических параметров обусловлены выбранным потенциалом Морзе.
В процессе численного моделирования процесса нагружения и последующего разрушения применение локальных критериев требует дополнительных численных ресурсов. В связи с этим возникает необходимость определить более удобные параметры для определения момента разрушения, не требующие расчета характеристик пары атомов. Для этой цели параллельно проводились расчеты макропараметров всей цепочки. Так, выводились относительное удлинение є, средние значения полной и потенциальной энергии, сила, действующая на атом со стороны движущейся стенки FN в зависимости от числа шагов по времени NT. На рис.3.1.9 эти величины представлены для v0 = 120м/с. Как видно, наиболее характерным
признаком разрушения является точка разрыва производных для зависимости потенциальной энергии от времени. Действительно, пока кристалл представляет единое целое, значение U монотонно увеличивается вместе с є (или длиной стержня). В момент разрыва имеются две независимые части, одна из которых прикреплена к неподвижной стенке, а вторая - к стенке, движущейся с постоянной скоростью. Как показал анализ для других скоростей, этот момент времени синхронизирован с выходом потенциальной энергии пары атомов, между которыми на больших временах максимальное расстояние, на асимптотическое значение D. Однако, с точки зрения расчета, условие определения точки излома на кривой U{i) более удобно, т.к. нам не требуется прежде определять номера атомов с максимальным расстоянием на больших временах.
Похожие диссертации на Исследование механических свойств и динамического разрушения бездефектных нанокристаллов
