Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи фильтрации по модели Био 7
1.1. Уравнения совместного деформирования каркаса и течения жидкости 7
1.2. Постановка краевой задачи 11
1.3. Вариационная постановка 17
Глава 2. Численная реализация модели Био 25
2,1. Метод дискретизации 25
2,2. Итерационный метод решения 30
2.3, Тестовая задача 40
2.4. Расчет водоотбора под Храмом Христа Спасителя и нефтедобычи на месторождении Тенгиз 43
Глава 3. Задача о «мягком ударе» по железобетонной конструкции, находящейся в грунте 71
3.1. Постановка задачи «мягкого удара» 71
3.2. Линеаризация задачи. Явная и неявная схема 83
3.3. Тестонле расчеты 86
3.4. Расчет «бункера» 92
Заключение 98
Список
Литературы
- Постановка краевой задачи
- Итерационный метод решения
- Расчет водоотбора под Храмом Христа Спасителя и нефтедобычи на месторождении Тенгиз
- Линеаризация задачи. Явная и неявная схема
Введение к работе
Задачи механики грунтов, имеющие приложение к строительству и к разработке геологических ресурсов, являются востребованными на протяжении не одного десятилетия. В их решении получены значительные успехи. Современное продвижение в этой области связано с решением пространственных задач для конструкций сложной формы, использованием усложненных определяющих соотношений, моделированием новых, наблюдаемых на практике, эффектов поведения сред. Предлагаемая работа также следует данному направлению. В ней рассмотрены две задачи. Первая относится к теории фильтрации жидкости через пористый грунт. Причиной течения жидкости служит ее откачка через скважину. Задача решается в связанной постановке по модели Био. Эффект связанности появляется из-за взаимного влияния пространственной деформации каркаса грунта и изменения давления жидкости в порах. Он же служит причиной неожиданного небольшого увеличения давления в жидкости и, соответственно, появления зон растяжения в грунте, в начальные времена откачки. Решение задачи в постановке, описывающий такой эффект, приобретает актуальность в связи с активной застройкой исторического центра больших городов и часто требующегося при этом осушения грунта в зоне строительства. Вторая задача моделирует процесс так называемого мягкого удара по пространственной железобетонной конструкции, находящейся в грунте. Причиной удара может быть падение на конструкцию тела или его осколков с меньшими прочностными свойствами, чем у бетона. Такая задача, связанная с защитой объектов, к сожалению, приобретает актуальность в свете участившихся случайных или преднамеренных катастроф.
Целью работы является разработка численного моделирования указанных явлений,
характеризующихся, с математической точки зрения, свойствами плохой обусловленности и
высокой размерности получаемых в результате дискретизации линейных систем уравнений.
Связанная система уравнений задачи фильтрации по модели Био решается по неявной схеме
итерационным методом. Для преодоления плохой обусловленности, вызванной
присутствием производной по времени в уравнениях системы и большим разбросом
модулей слоистого грунта, особенно коэффициента проницаемости, предложен новый
оператор предобусловливания, позволяющий получать решение со скоростью сходимости,
не зависящей от коэффициента проницаемости и числа неизвестных в системе. Этот
результат был получен одновременно или даже несколько раньше аналогичных публикаций,
включая зарубежные. Вторая задача описывает совместное динамическое деформирование
упруго-вязкопластического грунта с находящейся в нем армированной железобетонной
конструкцией сложной формы. Она также обладает свойством плохой обусловленности. В
решении используется неявная схема и безусловно устойчивый метод Ньюмарка. Впервые в
отечественной практике в одной программной реализации создана возможность трехмерного моделирования сложных конструкций как с использованием уравнений на основе теории пластического течения, так и деформационной теории пластичности.
Построенные алгоритмы были отлажены на модельных задачах с известными аналитическими решениями. Достоверность программы, рассчитывающей процессы фильтрации, для общего случая подтверждена сравнением результатов со специально поставленным натурным экспериментом. Для программы расчета совместного деформирования грунта и находящейся в нем железобетонной конструкции достоверность результатов подтверждена сравнением с рядом расчетов, полученных с помощью программного вычислительного комплекса ANSYS.
Построенные численные алгоритмы реализованы в виде пакета прикладных программ. Программа расчета задачи фильтрации создавалась по заказу и в сотрудничестве с кафедрой инженерной и экологической геологии Геологического факультета МГУ. По ней были проведены расчеты, описывающие деформации грунта и понижение пьезометрического уровня воды в результате откачки при повторном строительстве Храма Христа Спасителя в Москве. Помимо этого, она использовалась при вычислении проседания поверхности земли и оценке перспективности Тенгизского нефтяного месторождения в Казахстане. Программа расчета мягкого удара по железобетонной конструкции создавалась в сотрудничестве с 26 ЦНИИ МО РФ.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Численные модели для двух, представляемых к защите, задач объединяет то, что обе они относятся к механике грунтов. При этом физическая суть задач различна.
Первая из них описывает квазистатические процессы деформирования пористого скелета и медленного течения насыщающей его жидкости под действием мало меняющихся во времени внешних сил. Опишем сначала объект исследования. Мы будем решать задачи, связанные с деформацией грунтовой толщи. Эта толща имеет слоистую структуру, где высокопористые водоносные слои чередуются с малопористыми, с малой водопроницаемостью. Толщины поверхностных слоев грунта составляют метры и десятки метров и увеличиваются с глубиной. При этом водоносные слои состоят из скальных пород, известняков, механическое поведение которых при не слишком высоких нагрузках хорошо моделируется линейно-упругим законом. Малопроводящие слои состоят из нескальных пород с мелкозернистой структурой. Это, как правило, глины. Тем не менее, это сильносцементированные грунты, так же с линейно-упругим поведением. Они выступают в роли «запирающих» по отношению к водоносным. Верхний поверхностный слой грунта
имеет рыхлую разрушенную структуру и уже при небольших нагрузках ведет себя как неупругий.
В этом классе задач также существует деление на задачи консолидации и задачи фильтрации. Под фильтрацией понимают процесс деформирования, вызванный откачкой жидкости из водоносных слоев грунта, под консолидацией - уплотнение грунта и высачивание из него жидкости под действием поверхностных сил. Очевидно, что в задачах фильтрации слоистое строение грунта существенно.
Первая из известных моделей совместного деформирования грунта и течения насыщающей его жидкости принадлежала К. Терцаги, и использовалась им в задаче консолидации под действием силы тяжести. Он первым стал рассматривать водонасыщенный грунт как двухфазную среду. Им введено понятие эффективного напряжения, как среднего по малому объему напряжения в твердой фазе грунта при нулевом давлении в насыщающей его жидкости. Уравнения Терцаги были одномерными и учитывали только вертикальную компоненту вектора перемещения. Несмотря на такое упрощение, модель получила широкое применение в механике грунтов и используется до сих пор при вычислении проседания поверхности грунта, если возможно пренебречь горизонтальными деформациями.
В СССР интерес к проблеме фильтрации появился в 1930-е годы в связи со строительством гидротехнических сооружений. Отечественные исследования в это время связаны с трудами Н.М. Герсеванова, В.А. Флорина, Н.А. Цытовича, П.Я. Полубариновой-Кочиной, Я.И. Френкеля. Работу ЯМ. Френкеля 1944 года следует указать особо, поскольку до него уравнение движения твердой фазы водонасыщенного грунта вообще не использовалось при моделировании задач фильтрации в отечественной научной школе. Задача деформирования насыщенного грунта ставилась в одномерной постановке. Так, Френкель предложил полную систему динамических уравнений, состоящую из уравнений движения твердой и жидкой фаз, уравнения неразрывности для жидкости, условия упругого деформирования твердой фазы и замыкающего систему теоретического соотношения для пористости. Автор использовал ее для анализа гармонических сейсмических волн и сейсмоэлектрического эффекта.
Но несколькими годами ранее появилась модель трехмерной консолидации М. Био, которая, с некоторыми обобщениями, является, пожалуй, наиболее употребимой в теории фильтрации с самого момента своего появления и по настоящее время. Такую популярность модели Био в своем классе задач можно объяснить, по-видимому, удачным компромиссом между числом описываемых физических явлений (и, соответственно, используемых уравнений), и минимальным количеством используемых при этом предположений и упрощений. Платой за достаточную общность и универсальность в построении модели
явилась связанность входящих в нее уравнений. Известны аналитические решения задачи консолидации по модели Био для однородного изотропного грунта для нагрузки по времени в виде функции Хэвисайда: задачи о полосе на границе полупространства, о круглом штампе в осесимметричной постановке. Они условно могут считаться аналитическими, поскольку получены методами численных интегральных преобразований Фурье по пространственным переменным и Лапласа по времени. Гораздо большее распространение получили конечно-разностные и конечно-элементные методы. В двух- и трехмерных задачах фильтрации для слоистых грунтов альтернативы последним методам решения нет. До начала 1990-х годов построить устойчивое численное решение по модели Био не удавалось. Причиной служила плохая обусловленность получаемой в результате дискретизации матрицы системы линейных алгебраических уравнений. Один из возможных способов преодоления этой плохой обусловленности представлен в главе 2 данной диссертации.
В последующие годы развитие в моделировании процесса фильтрации жидкости в грунте шло, по сути, в двух направлениях.
Во-первых, в создании моделей с нелинейными и неупругими определяющими соотношениями для твердой фазы грунта, в обобщении закона Дарси на случай нелинейной зависимости от скорости жидкости, учете температурных деформаций, увеличении числа фаз в модели, учете фазовых переходов и массообмена между фазами и т.д. Здесь существенный вклад внесли работы В.Н. Николаевского, Р.И. Нигматулина, Г.И. Баренблатта, С.А. Христиановича. Методы определения констант и построения решения для настолько общих моделей пока встречают определенные трудности.
Во-вторых, развивались математические, как правило, численные методы решения
практических задач фильтрации по модели Био. В этом направлении известны работы Р.
Бори, Д. Хелма, X. Чена, П. Хсая, Дж. Зу и другие. В главе 1 и главе 2 построена численная
модель на основе уравнений Био, описывающая процесс откачки жидкости из слоистого
грунта. Там же представлено решение двух задач: одна посвящена водоотбору под Храмом
Христа Спасителя в Москве, другая нефтедобыче на месторождении Тенгиз в Казахстане.
Численная модель для другой задачи механики грунтов, исследуемая в диссертации,
представлена в главе 3. Это задача «мягкого удара» по железобетонной конструкции,
погруженной в грунт. Предполагается, что интенсивность внешней динамической нагрузки
такова, что она вызывает упругопластические деформации как в бетоне, так и в грунте.
Поскольку скорость изменения внешней нагрузки значительна, соотношения будут
учитывать скорость деформации.
Моделям ударных и взрывных процессов в грунтах и распространению ударных волн
в бетоне посвящены работы Григоряна С.С., Евтерева Л.С., Замышляева Б.В., Кукуджанова
В.Н., Ляхова Г.М., Максимова В.Ф., Никитина Л.В., Рахматулина Х.А., Рыкова Г.В.,
Сагомоняна А.Я., Ставрогина А.Н. и других авторов. В исследуемой в диссертации модели за счет деформации более мягкого падающего на бетон тела время действия ударной нагрузки в несколько сот раз превышает время свободного пробега волны в бетонной конструкции. Следовательно, искомым в задаче будет не процесс распространения волн, а деформация конструкции «грунт-железобетон» в течение всего (достаточно длительного) времени действия нагрузки. Отличия в задачах мягкого и жесткого ударов проявляются не на уровне используемых определяющих соотношений или уравнений движения, а только в методе их решения. Поэтому в качестве определяющих соотношений модели используются соотношения из работ Григоряна С.С., Быкова Д.Л., Победри Б.Е., Никитина Л.В., Ляхова Г.М., Кукуджанова В.Н., Рыкова Г.М., а схема интегрирования по времени выбрана неявной. Подобный подход для задач о мягком ударе известен, его использовал, например, Брандес К. в федеральном институте материаловедения (ВАМ, Германия)
Постановка краевой задачи
1. Матрица AQ системы обладает большой размерностью. Данный факт вызван двумя причинами. Во-первых, это является следствием связанности уравнений, описывающих процесс фильтрации, поскольку матрицу AQ составляют коэффициенты, отвечающие как за вектор перемещения скелета, так и за давление жидкости в его порах. Во-вторых, на большую размерность влияет большая геометрическая протяженность рассчитываемых реальных геологических объектов, колеблющаяся от нескольких сот метров, до километров. При этом довольно быстро меняющиеся с глубиной геологические и механические свойства грунтов вынуждают проводить расчеты на достаточно подробных сетках.
2. Матрица А системы обладает ленточной структурой и является сильно разреженной. Наличие большого количества нулей в А вызвано простым видом используемых в методе конечных элементов функций формы, и является, вообще говоря, положительным фактом.
3. Матрица А системы является плохо обусловленной. Большое число обусловленности, определяемое как отношение максимального собственного значения оператора А к минимальному, без сомнения, оказывается самым неприятным свойством, поскольку ставит под угрозу саму возможность построения устойчивого решения системы (II.2.4) каким бы то ни было способом. Плохая обусловленность вызвана наличием множителя — в матрице А, г " который при уменьшении шагов по времени ведет к пропорциональному расширению спектра матрицы. Кроме того, из вида (II. 1.29), (II. 1.30) матриц А и В, составляющих А,, следует, что в них входят модули упругости каркаса грунта, пористость, коэффициент его проницаемости и сжимаемость насыщающей его жидкости. В реальных геологических средах, в которых предлагаемая модель используется для решения задачи об откачке жидкости через скважину, имеет место значительный разброс значений для некоторых из них. Это также является причиной плохой обусловленности системы уравнений (П.2.4). Максимально неудобный, в этом смысле, коэффициент - тензор проницаемости, поскольку в моделируемых задачах характерный разброс его величин в слоях грунта составляет 5-6 порядков. Для пористости и модулей упругости это 1-2 порядка, сжимаемость жидкости -мало меняющаяся величина.
Эти обстоятельства явились причиной выбора итерационного метода решения системы (11,2,4) на каждом временном шаге tm. В работах Дьяконова Е.Г. [11], Самарского А.А. [35], Джорджа А., Лю Дж. [9] изучаются прямые и итерационные методы. Обычно при решении больших линейных систем на однопроцессорных машинах прямые методы уступают по итерационным, особенно в смысле используемой оперативной памяти. Обращение разреженных матриц предпочтительнее осуществлять итерационными методами, поскольку они не увеличивают количество ненулевых элементов матрицы в процессе работы. Следовательно, используя компактную форму хранения только ненулевых элементов, можно также экономить на памяти компьютера. При обращении разреженных матриц ленточной структуры прямыми методами происходит неизбежное заполнение лент, поскольку в процессе решения нулевые компоненты становятся ненулевыми и требуют дополнительный объем памяти.
Итерационным методам решения систем линейных алгебраических уравнений с большим числом обусловленности посвящено значительное количество работ. В МДТТ проблема обращения оператора с широким спектром возникает, например, при численном решении задач механики композиционных материалов с сильно различающимися механическими свойствами компонент, задач деформирования слабо сжимаемых сред, задач о тонких телах в случае их трехмерной постановки.
В работе Кобелькова Г.М. [66] предлагается асимптотически оптимальный двухслойный неявный стационарный итерационный метод решения уравнения диффузии с кусочно-постоянным коэффициентом. Для построения оператора предобусловливания автор использует метод фиктивных областей. Скорость сходимости предлагаемого алгоритма не зависит как от числа уравнений, так и от разброса значений коэффициента диффузии. Однако ощутимым ограничением является условие существования только одной внутренней поверхности разрыва коэффициента диффузии в области определения задачи. Это не позволяет использовать рассматриваемый метод для решения задач фильтрации в более чем двухслойных грунтах.
Достаточную известность при решении связанной системы уравнений по модели Био получил подход Бори Р.И. [56]. Он предлагает рассматривать дискретизированное по пространственным переменным эволюционное уравнение (П.1.31), как задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Из-за предположения о несжимаемости насыщающей поры жидкости такая система является жесткой, то есть также обладает свойством плохой обусловленности. Для решения задачи Коши автор использует неявные многошаговые методы Гира [35]. Получаемая система нелинейных уравнений решается итерационным методом Ньютона. Необходимо отметить, что в данной работе 1991 года, пожалуй, впервые получено решение связанной задачи консолидации модели Био в двумерном случае при произвольной нагрузке, хотя и для однородного изотропного грунта. Однако данный метод является чувствительным к величине шага по времени т. Поэтому использование его для расчета реальной слоистой среды с сильно меняющимся коэффициентом проницаемости каркаса едва ли возможно.
Идейно близкой к рассматриваемой в данной диссертации задаче является задача о больших деформациях в несжимаемых телах, например резинах. Так же как и в модели для фильтрующейся жидкости, здесь в каждой точке тела есть две переменные: вектор перемещения и объемное напряжение. Отсутствие объемного сжатия приводит к плохой обусловленности задачи, и как следствие - неустойчивости решения. Эта неустойчивость имеет наглядное проявление - так называемый эффект «песочных часов», получивший название из-за характерной деформации прямоугольной сетки в области в начальные моменты расхождения решения. В работах Батэ К.Ю. [49, 50], известного своими исследованиями в области МКЭ, преодолевать плохую обусловленность задачи предлагается за счет выбора конечных элементов высокого порядка. Так, в двумерном случае эффективными оказываются прямоугольные конечные элементы с девятью узлами для перемещений и одним для объемного напряжения. Однако использование подобного приема приводит к ощутимому росту размерности линейной системы, что снижает его привлекательность в случае, когда доступная оперативная память ограничена возможностями стандартного персонального компьютера.
Итерационный метод решения
Предложенный итерационный алгоритм обладает еще одним, очень полезным с точки зрения экономии машинной памяти, свойством. Он позволяет разделить уравнения связанной задачи фильтрации по модели Био. Действительно, вернемся к уравнению итерационного метода в форме (II.2.6) Подставляя в него выражения для предобусловливателя (И.2.7) и параметра а (11.223), получим:
Как видно, теперь нет необходимости в обращении блочной матрицы Н целиком. Вычисления можно вести поэтапно: из второго уравнения системы (Н.2.32) на s - й итерации найти давление р по известному с 5 — 1 - й итерации решению, а затем использовать вычисленное значение р для нахождения из первого уравнения системы вектора перемещения и на s + l - м итерационном слое. На каждом шаге итерации надо будет поочередно обращать блоки Н - по сути - оператор Лапласа и Н - оператор теории упругости, каждый размера меньшего, чем исходная матрица системы Я. Для этого мы будем использовать прямой алгоритм, сочетающего метод Фурье разделения переменных, быстрое дискретное преобразование Фурье и метод прогонки. Число операций при этом является величиной 0(N), где N - число неизвестных системы[35].
Автором диссертации был реализован описанный численный метод решения задачи фильтрации по модели Био в связанной постановке в случае осевой симметрии в виде пакета программ на языке программирования Фортран стандарта 90. При этом в качестве основы использовался пакет программ решения двух- и трехмерных задач теории упругости, созданный научным руководителем автора профессором МГУ СВ. Шешениным. Данный этап работы, как и основные полученные результаты по рассматриваемой задаче, относится к началу 1990-х годов. Задача была реализована в осесимметричной постановке. Это упрощение было сделано по причине ограниченных вычислительных возможностей персональных компьютеров (машин, на которых предполагалось использовать написанную программу) того времени. Даже используя режим динамического выделения памяти и максимально-разреженную, с точки зрения точности результатов, сетку, задача в осесимметричной постановке адресовала всю доступную оперативную память ЭВМ. Вместе с тем, осевая симметрия хорошо приближает геометрию реального грунтового массива из-за почти горизонтального залегания слоев в большинстве реальных расчетных областей в задаче откачки жидкости из одиночной скважины.
В этом параграфе рассмотрена тестовая задача об откачке воды из трехслойного грунта. На рис. П.3.1 изображена расчетная область с используемыми в расчете граничными условиями. На рис. П.3.2 - П.3.4 приведено сравнение решения, полученного по собственной программе для связанных уравнений модели Био (обозначение графиков цифрой 1) с решением для так называемого упругого режима фильтрации (несвязанная РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ система, обозначение графиков цифрой 2). Последнее взято у Шестакова-В:Мг-[44]. на ,: v С : grad и = 0, р - О на Х2: и = 0, Э/?/Эы = О / р г Ч ч 3 Ч Рис.П.3.1 Модули упругости и скалярный коэффициент фильтрации для водоупорных слоев 1 и 3 соответствуют глине, водопроводящего слоя 2 - известняку. Скважина расположена по высоте всего слоя 2, Параметр водоотбора Q(t) выбран постоянным. На всех трех рисунках Н.3.2 - Н.3.4 приведена зависимость приращения порового давления от времени в безразмерных переменных. В качестве обезразмеривающего значения времени Гж принято условное время установления решения (модуль разности решения для двух соседних временных слоев не превышает заданной малой величины) в фиксированной точке из слоя грунта 1. В качестве обезразмеривающего давления р используется /?( «,) в тех точках грунта, для которых строятся соответствующие графики. На рис. П.3.2 и IL3.3 приведено сравнение решений для одной и той же точки из слабопроницаемого слоя 1. Из первого рисунка видно, что с установлением процесса фильтрации решение по связанной системе уравнений стремится к решению упругого режима фильтрации. То, что решения стремятся к очень близким значениям, подтверждает правильность работы программы. Из второго рисунка видно, что на начальном интервале времени ( 1/1000 от времени установления) различие в поведении решений принципиальное - давление, соответствующее решению по связанной модели Био возрастает, тогда как давление по несвязанной системе уравнений сразу убывает. Таким образом, модель Био описывает наблюдаемый на практике эффект Мандела-Крайера, в отличии от модели упругого режима. Аналогичные зависимости для слоя 3, представленные на рис. И.3.4 показывают, что для слоя, расположенного под фильтрационным, процесс возрастания давления смещен по времени и продолжается дольше, чем в верхнем слабопроницаемом слое.
Расчет водоотбора под Храмом Христа Спасителя и нефтедобычи на месторождении Тенгиз
После выполнения схематизации была построена расчетная модель массива для решения осесимметричной задачи, где в центре модели располагается центральная скважина, из которой производится откачка воды. Скважина пробурена до подошвы эксплуатируемого нижнего водоносного горизонта, по всей его мощности она снабжена перфорированным фильтром, а выше него блокируется обсадными трубами. Таким образом, моделируется совершенная откачка (по всей мощности водоносного горизонта). Расчетная модель массива - основания Храма Христа Спасителя в Москве показана на рис. П.4.4 в виде разреза от центральной скважины вдоль радиуса модели. Радиус осесимметричной модели составляет 200 м. При выборе горизонтальных размеров модели учитывался определенный опытным путем радиус влияния откачки, проводимой гидрогеологической партией ВНИПИ «Стройсырье», который достигал 160 м. Высота модели составляет 38 м. На расчетной области использовалась равномерная сетка с шагом по горизонтали, равным 8 м, и с шагом по вертикали, равным 1 м (рис. Н.4.4).
В модели задавались следующие граничные условия, также указанные на рис. П.4.4. На верхней границе изменение давления воды равно нулю, поверхность свободна от напряжений и может свободно деформироваться (/7 = 0, о" =0, 0 =0). На вертикальной границе, расположенной вдоль оси центральной скважины, градиент изменения давления воды по горизонтали равен нулю (граница водонепроницаемая), радиальные перемещения отсутствуют, касательные напряжения отсутствуют (-7 - = 0, И_ =0, о"„ =0). Такие условия позволяют скелетной матрице на этой ОГ ти. границе перемещаться только в вертикальном направлении. На вертикальной границе, удаленной от центральной скважины на 200 м. изменение давления воды равно нулю (возможен приток жидкости из реки), радиальные перемещения отсутствуют (р = 0, Иг=0). На нижней границе градиент изменения давления воды по вертикали равен нулю (граница водонепроницаемая), вертикальные перемещения отсутствуют ( = 0, uz=0). В водоносном слое задается массовый постоянный расход насоса Q, равный 1,85 л/с. Начальные условия принимаются однородными: и=0, р = 0 пги/ = 0. Расчеты проводились с шагами по времени, равными 1 мин и 1 ч.
Анализ результатов расчетов. С помощью предложенной численной модели М.Био исследовалось влияние откачки на изменение напоров (давления воды) в различных слоях разреза и на перемещения в скелете пород.
В процессе откачки вод из нижнего известнякового горизонта, проводимой гидрогеологической партией ВНИПИ «Стройсырье», велись наблюдения за уровнями верхнего и нижнего водоносных горизонтов, что дало возможность сопоставить расчетные значения пьезометрических уровней с фактическими. На рис. П.4.5 показана зависимость измеренных и вычисленных по модели М.Био значений понижения напора от времени в нижнем водоносном горизонте в процессе откачки в центральной скважине и в скважинах, расположенных на расстоянии 14 и 102 м от центральной. Как видно из рис. П.4.5, натурные изменения уровня воды нижнего горизонта в центральной и наблюдательных скважинах спустя 5-7 часов после начала откачки практически совпадают с расчетными, что свидетельствует о правильности работы реализованной численной модели. Полное слияние графиков изменения уровня наблюдается на расстоянии 112 м от водозаборной скважины, наибольшее расхождение (около 10 %) - на расстоянии 14 м. Как отмечено в [13], ошибка в 10% не является в механике грунтов большой величиной, поскольку константы грунтов определяются с точностью до 20%. Сами слои грунта в рассматриваемой натурной задаче, как видно из рис. И.4.2, расположены не совсем горизонтально.
На рис. II.4.6 показаны изменения порового давления (I), вертикальных (II) и горизонтальных (радиальных) (III) перемещений в скелете пород через 1 мин, 1 ч и 40 ч после начала откачки. Из рис. 111.2.6(1) видно, что в первую же минуту после начала откачки выше и ниже нижнего (ратмировского) водоносного горизонта возникают зоны повышения давления воды, впоследствии исчезающие. Заметим, что небольшой подъем уровня воды (порядка нескольких см) в верхнем водоносном комплексе был зафиксирован и в наблюдательных скважинах. Это явление требует объяснения. Откачка воды из сжатого резервуара сопровождается уменьшением объема эксплуатируемого слоя, т.е. его трехмерной деформацией. Трехмерная деформация резервуара включает вертикальные и горизонтальные деформации, отчетливо прослеживающиеся на рис. II.4.6 (II и III). Так, на рис. IL4.6 (И) заметно, что уже через 1 мин после начала водоотбора происходит вертикальное сжатие ратмировских известняков. На рис. Н.4.6 (III) видно, что в откачиваемом слое возникает зона горизонтального перемещения скелета породы по направлению к центральной скважине. Радиальные перемещения каркаса, очевидно, сопровождаются его горизонтальным сжатием вблизи водозаборной скважины и растяжением вдали от нее. Деформация эксплуатируемого горизонта, вызванная падением давления воды вблизи скважины, влечет за собой почти мгновенную деформацию соседних слоев, которая происходит гораздо быстрее, чем гидравлическое распространение падения пьезометрического уровня. Нарис. 11.4.6(H) наблюдается зона вертикального сжатия вблизи скважины, захватывающая мало проницаемый слой глин верхнего горизонта. На рис. II. 4 6 (Ш) зона горизонтального сжатия пород вблизи скважины пронизывает все слои грунта по всей мощности разреза, через 1 мин после начала откачки в эксплуатируемом слое горизонтальная зона сжатия расположена ближе к водозаборной скважине (на расстоянии от 10 до 105 м от скважины), в соседних слоях - дальше (на расстоянии от 20-40 до 90-105 м от скважины), таким образом, зона горизонтального сжатия имеет форму бочонка. Объемное сжатие соседних с откачиваемым слоев разреза обусловливает уменьшение порового пространства пород, что, в свою очередь, является причиной повышения порового давления в первые минуты и часы после начала откачки, особенно в малопроницаемых слоях, характеризующихся низкой пористостью. Впоследствии, по мере того, как происходит гидравлическое распространение понижения напора от откачиваемого слоя в смежные слои, вызванный эффект роста напора рассеивается течением жидкости от областей с более высоким напором к областям с более низким напором и путем распространения зоны понижения напора от откачиваемого слоя к соседним слоям. Скорость рассеивания вызванного эффекта зависит от проницаемости слоев и их мощности. Как видно из рис. II.4J6 (I), зона повышенного порового давления дольше сохраняется в нижезалегающих глинах, характеризующихся меньшей проницаемостью и большей мощностью, чем вышезалегающие глины.
Линеаризация задачи. Явная и неявная схема
В данном параграфе приведены результаты численного решения задачи о мягком ударе по железобетонной конструкции, погруженной в грунт. Конструкция представляет собой двухэтажное строение, с вертикальными опорами на каждом этаже. Все перекрытия строения армированы двумя слоями стальной сетки, расположенной вблизи поверхностей перекрытий.
Шаг сетки составляет 25 см., диаметр армирующего прутка 1,5 см. Строение целиком погружено в грунт. На уровне поверхности земли строение защищено железобетонной плитой, армированной аналогичным образом. Защитную плиту от строения отделяет слой грунта толщиной 2 метра. Размер строения в плане составляет 73,6 на 82 метра, высота равна 9,6 метра. Толщина защитной плиты равна 0,4 метра. Каждый прямоугольный объем, из которых составлена область определения задачи, разбит равномерной сеткой на конечные элементы в виде параллелепипедов. Общий вид части области, в которой решается задача, приведен на рис. III. 4.1. На 4 части область разбивается вертикальными плоскостями (XOZ) и (YOZ). Сеткой на рисунке выделены железобетонные элементы области. Жирной линией выделены границы прямоугольных объемов, составляющих область.
Учитывается действие веса конструкции. Принимается, что грунт в отсутствии железобетонного строения в поле силы тяжести находится в недеформированном состоянии, поэтому на первых двух шагах по времени решается статическая задача о деформации среды «грунт-бетон» полем силы тяжести, приложенном только к бетонным элементам. Два шага по времени используются для того, чтобы учесть возможные пластические деформации в грунте, вызванные весом конструкции.
Поверхностная сила является равномерно распределенной и приложена в центре верхней горизонтальной поверхности защитной железобетонной плиты на площади в хк поверхности плиты. В системе координат, приведенной на рис. III. 4.1, область приложения поверхностной нагрузки имеет координаты: 0 х 18,4 м, 0 у 20,5 м. Время приложения поверхностной нагрузки составляет 1 сек., направлена она вертикально в сторону отрицательных значений оси Z. По времени нагрузка распределена следующим образом: она линейно возрастает от 0 да 1 мПа при 0 / 1/2 сек и линейно убывает от 1 мПадо Опри 1/2 / 1 сек.
Граничные условия, используемые в расчете, следующие. На боковой и нижней поверхностях грунта заданы условия равенства нулю нормальной составляющей вектора перемещения и сдвиговых напряжений. Верхняя поверхность грунта и защитной плиты свободна от нагрузок, кроме той части плиты, где задана поверхностная сила.
Используется модель линейного упрочнения грунта по сдвигу и объемному сжатию в области пластических деформаций. Кроме того, используется свойство вязкости грунта по объемному сжатию. Для бетона используется модель линейно упрочняющегося по сдвигу в области пластических деформаций материала. Для арматуры используется линейно-упругая модель деформирования с модулем Юнга, равным 29000 мПа. Значения расчетных констант приведены в таблице Ш.4.1. - модуль сдвига в пластической области, a s - предел упругости по сдвигу, b - угол внутреннего трения, л. - объемная вязкость. Задача решается в динамической постановке.
На рис. Ш.4.2 изображен вид железобетонной конструкции, рассчитываемой в задаче, с прослойкой из грунта (вьщелена белым цветом), отделяющей защитную плиту от сооружения. Здесь сеткой белого цвета выделена защитная плита и часть плиты крыши сооружения. Конструкция изображена в деформированном состоянии в момент времени, отвечающий состоянию активного нагружения с удельной нагрузкой 0,6 мПа.
На рисунках III.4.3 - Ш.4.5 представлены значения напряжений а.., т.3 и а„ и перемещений w в направлении оси Z. Каждая из этих функций построена для верхней и нижней поверхностей защитной плиты и нижней поверхности части плиты крыши сооружения. Все рисунки представлены в момент времени, отвечающий состоянию активного нагружения с удельной нагрузкой 0,6 мПа. Они позволяют оценить характер испытываемых конструкцией деформаций.
Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы, 1. Предложен новый численный алгоритм реализации модели Био. Его высокая эффективность достигнута за счет учета структуры решаемых,уравнений. Данный алгоритм может быть применен к решению аналогичных по структуре уравнений. 2. Численно реализована в трехмерной постановке задача о совместном деформировании железобетонной конструкции, погруженной в грунт. Используемая модель позволяет учитывать процессы многократной нагрузки-разгрузки, несимметричные пределы пропорциональности, возможность задания одновременно жесткой диаграммы нагружения по объемному сжатию и мягкой по сдвигу. 3. Проведены расчеты важных для практики задач. Эти решения предназначены для проведения эффективных защитных мероприятий.
