Введение к работе
Актуальность темы. В последнее время в теории уравнений с частными производными немалов&таое место занимают исследования, посвященные краевым задачам для нагруженных дифференциальных уравнения. Такие уравнения имеют следующий обіди й вид :
Su3%>u(x)+j/e/(x)=f(jc) в областирс/?", (1>
где Ю - дифференциальный оператор, J/ - дифференциальный или интегродифференциальный оператор, содержащий оператор взятия следа от искомой функции Ц(х) на многообразиях из замыкания iQ размерности строго меньше ft
Уравнения вида (I) возникают при изучении обратных задач математической физики, нелинейных уравнений, сведении нелокальных краевых задач к локальным и т. д. В частности, к задачам для нагруженных параболических уравнений приводит исследование многих управляемых процессов.
Это проблемы управления протяженными динамическими объектами (нефте- и газопроводы, промыаленные термические установки и пр.), задачи прогноза и регулирования уровня грунтовых вод, управление летательными аппаратами и т„ д„
К первым работам по теории нагруженных уравнений можно отнести исследования $г. Ktiedet (1914 г.), Н.М. Понтера (1932 г.), А.Н. Крылова (1932 г.), Н.Н. Назарова (1948 г.), А.Ш. Габиб-заде (1959 г.), А.Д. Искендерова, В.М. Будака (1967, 1971 гг.) и др., в которых, как правило, рассматри-
4 вались нагруженные интегральные уравнения. Дифференциальные и интегродифференциальные уравнения, содержащие нагруженные члены, присутствуют в работах СМ. Тарга (1951 г.), Н.Н. Кочиной (I97I-I973 гг.).
Однако начало глубокого и систематического изучения нагруженных уравнеклй, в том числе краевых задач для них, было положено в трудах A.M. Нахушева и его последователей. Именно A.M. Нахушевым (1976 г.) было дано принятое сейчас в научной литературе общее определение нагруженного уравнения. Им и его учениками исследованы вопросы однозначной раз решимосги уравнений вида (І) в классах непрерывных- функций.
Проблемы обобщенной разрешимости краевых задач для нагруженных уравнений 2тго и более высокого порядков в классах соболевских пространств изучались в работах М.Т. Дженалиева (с 1986 г.)= Однако при рассмотрении некоторых типов задач оптимального управления возникают нагруженные уравнения 4-го порядка, которые ранее никем не описывались и не изучались„ Анализ краевых задач для таких уравнений представляє» несомненный интерес»
Важное место в теории нагруженных уравнений занимают задачиj где "нагрузка" осуществляется при помощи фиксации некоторых моментов аремени t- „ Частично эти вопросы также рассмотрены М.Т. Джшалиевым. Тем не менее весьма актуальным видится приложение полученных результатов к многочисленным задачам для параболических уравнений 2-го и 4-го порядков.
Задачи оптимального управления - одна из важных сфер применения нагруженных параболических уравнений. Так, в
исследованиях Ж.А. Караева (1985 г.) и В.З. Кенжегулова (1992 г.) анализируются задачи, где управление протяженным динамическим объектом осуществляется воздействием на него в конечном числе фиксированных точек. Но не меньший интерес представляют случаи, когда, кроме "нагрузки", существует еще управление начальными условиями, либо, когда управление распределено в конечном числе многообразий размерности меньшей, нежели размерность области Ьс . Такие задачи впервые рассматриваются в данной работе.
Всё сказанное выше подчеркивает важность постановки и исследования задач оптимального управления и краевых задач для нагруженных уравнений параболического типа 2-го и 4-го порядков.
Цель работы. Исследование задач стартового оптимального управления (начальным условием), а также задач управления по фиксированным многообразиям с помощью методов нагруженных уравнений, а также численных методов.
Постановки краевых задач для параболических уравнений 2-го и 4-го порядков, нагруженных как по пространственной, так и по "временной" переменной. Формулировка теорем об однозначной разрешимости поставленных краевых задач.
Получение априорных оценок решений и доказательство единственности решений. Доказательство существования решений задач в соболевских классах функций.
Методика исследования. Для доказательства обобщенной разрешимости поставленных краевых задач применяются методы априорных оценок и Галеркина, а также метод Фурье.
Кроме того, используются методы теории оптимального
управления, общей теории дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа, в частности, теории пространств Соболева»
Для численного решения указанных задач применяются различные разностные и итерационные методы^
Научная новизна. В диссертационной работе задачи оп-.тимального управления по фиксированным многообразиям и начальным условием впервые сведены к изучению краевых задач для нагруженных параболических уравнений 2-го и 4-го порядков .
Исследована задача оптимального управления для параболического уравнения 2-го порядка, получены необходимые и достаточные условия оптимальности, показана однозначная обобщенная разрешимость соответствующих краевых задач для нагруженных уравнений.
Приведены постановки «овых корректных краевых задач для нагруженных параболических уравнений 4-го порядка, в том числе задачи Дирихле и Неймана,
Приведены примеры некорректных краевых задач для нена-груженного параболического уравнения 2-го порядка, которые становятся корректными при специальном добавлении "нагрузки". .
Достоверность результатов. Все полученные в диссертации результаты сформулированы в виде теорем, лемм и следствий и математически полностью доказаны.
Теоретическая и практическая ценность. Приведенные в работе постановки краевых задач, а также сформулированные и доказанные теоремы об однозначной разрешимости этих задач
могут представить интерес с точки зрения теории нагруженных уравнений и в целом уравнений с частными производными. С другой стороны, эти результаты, а вместе с ними задачи, составляющие содержание главы III, могут оказаться полезными при реиении практических задач оптимального управления моделирования оптимальных процессов и т.д.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались в период с 1992 г. по 1994 г. на научном семинаре по проблемам оптимального управления (рук., д. т. н., проф. Айсагалиев С.А., КазГУ им. Аль-Фараби), Республиканской научной конференции "Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики", посвященной 70-летию Т.И. Аманова (Алматы, 1993 г.), а также научных конференциях КазГУ им. Аль-Фараби (1993, 1994 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [іЗ - [53 .
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и приложения. Основной текст изложен на ^<2 страницах машинописного текста, включающего > иллюстраций. Список литературы содержит >У наименований.
