Введение к работе
Актуальность темы. Предельные теоремы всегда занимали Центральное место в теории вероятностей. Закон больших чисел, центральная предельная теорема и закон повторного логарифма-Напболее известные п популярные результаты из этой области. Наиболее элегантные и глубокие результаты были получены для схемы независимых и одинаково распределенных случайных величии. Эта моделі) приводит нас к понятию устойчивого распределения. Классические результаты в тсорли устойчивых распределений были получены в работах П. Леви, А.Я. Хинчіпіа, В. Феллера, В. Дсблина и Б.В. Гнеденко.Эти исследования были продолжены как в нашей стране, так и за рубежом. Усилсшю исследовались аналитические свойства устойчивых распределений. Большой вклад в эти исследования внесли И.А. Ибрагимов, В.М. Золотарев, А.В. Скороход п многие другие. Различные обобщения устойчивых распределений рассматривались Б. В. Гнеденко и его учениками. Соврсмеїшое состояние теории одномерных устойчивых законов освещено п мопографип В.М. Золотарева. Новый всплеск интереса к устойчивым распределениям возник в конце шестидеелтых-пачале семидесятых годов в связи с изучением свойств их мпогомерпмх обобщенпй-операторно устойчивых распределений п свойств устойчивых процессов и их распределеппй-устоЙчниых законов в функциональных пространствах. Интерес к этой проблематики не утихает и сейчас. Регулярпо проводятся конференции по разлігчішм аспектам теории устойчивых распределений, существуют обширные коллективы ученых систематически изучающие устойчивые распределения па группах, линейных ц топологических пространствах. Число исследователей работающих в этой области огромно. Назовем только некоторых из нпх: К. "Урбаппк, А. Всроп, 3. Юрек, Дж. Мейсоп, D. Хадсоп, Р. Сол-тапп, М. Таку, В. Хацод, Э. Зпберт, В.Н. Тутубалип и многие другие.
Еще в шестидесятые годы Мальдебротом „было указало, что
устойчивые распред» лення являются хорошими моделями в экономических задачах. Это находит подтверждение в работах последних лет, посвященных актуарной н финансовой математике. С точки зрения самой математики интересно то, что теория устойчивых распределении приводит вас к очень интересным функциональным уравнениям, имеющих приложения ве только в теории вероятностей.
Цель работы-систематпчесхое изучение структуры устойчивых распределений и некоторых их обобщений и, в конечном итоге, построении теории, которая позволит с единой точки зрения рассматривать различные обобщения устойчивых распределений и связанные с ними предельные теоремы.
Методы исследования. Основными методами исследования являются метод характеристических функций в сочетании с теорией правильно меняющихся функций, а также изучение сходимости непрерывных саерточных полугрупп в терминах их порождающих функционалов. В рассматриваемых нами задачах очень эффективным оказался метод перенесения задач для распределений вероятностей на группах на распределения вероятностей на алгебрах Ли ^л> есть на линейных пространствах).
Научная новизна состоит в следующем:
-
впервые систематически изучаются предельные теоремы о сходимости к устойчивым законам на группах,
-
предложен новый метод доказательства предельных теорем на группах путем сведения их к аналогичным задачам на алгебрах Ли,
-
впервые с единых позиций исследуются различные обобщения устойчивых распределений.
Т*юрети"еское и прикладное значение. Работа имеет теоретический характер. Показано, что большинство предельных теорем о сходимости к устойчивым законам и их обобщениям могут
быть доказаны классическими методами теории правшн.по мепя-ющихся фупкций в сочетании с теорией преобразований Фурье на лруннах. Важную роль иірают вопросы сходимости сьертсч-ньп. полугрупл мер. Результаты о структуре иредельпых распределений могут найти применения j прикладных исследованиях, например, при оппсанііп данамлкя процессов, распределения которых имеют тяжелы»" хвості с почіи-периодичесхой структурой.
Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались в разпое время на Международных Г..льтаосских конференциях по теории вероятностен и математической статистике (і981, 1985, 1989, 1993), Сояетско-Японских симпозиумах по теории вероятностей и математи»іеской_статисти«'е (1982,1991), международных семинарах по проблемам устойчивости стохастических моделей (1987, 1989, 1991, 1992, 1994, 1995), Международной конференции "Распределения'вероятностей на группах и смежные вопросы" (Обервольфах, Гермапия, 1994), юбилейной конференции в МГУ, посвягценпой 80-летаю Б.В.Гнедепко (1992), pt лличных семнпарах в МГУ математическом институте пм.В.А.Стехлова, Университетах Германии (Дортмунд, Тюбинген, Ввле^.ельд -1993, 1994). Р его по теме диссертации опубликовало 29 работ, 17 из которых цитируются в диссертации.
Структура л объем работы. Диссертация состоит из Впеде нпя, семи глав п списка литературы, содержащего 240 наименований. Объем работы -257 страниц.
Во введении (48 стр.) излагается история проблемы, обсужла-ютсл постановки задач и их современное состояние, описываются основные результаты, представленные в диссертации.
В главе 1 (23стр.) обсуждаются некоторые вопросы из теории топологических групп, вероятностные меры на них и их описание. В частности, обсуждается вопрос о задании непрерывной свер-Точной полугруппы мер с помотъю порождающего фуркцпеплчп и его канонический виц-
Глава 2 (57 стр.) является центральной в диссертации. В ней подробно обсуждается понятие устойчивой вероятностной меры. Прослеживается развитие этого понятия, начиная с классического одномерного случая н кончая понятием устойчивого распределения на локально компактной группе. Изложение ыа каждом этапе состоит из двух частей: описание структуры устойчивого распределения и доказательство предельной теоремы о сходимости к этому распределению.
Глава 3 (22 стр.) содержит аналоги результатов из главы 2, но для полуустойчивых распределений. В силу большого параллелизма доказательства проводятся не столь подробно.
В глава 4 (22 стр.) рассматривается задача Б.В.Гнеденко об ошісашиї класса предельных раснределешііі для нормированных комнозиций из последовательности распределений, среда которых лишь конечное число различных. Дается определение ц описание области нормального притяжения. Приводится многомерный аналог этой задачи.
Композиции случайного числа элементов рассматриваются в главе 5 (27 стр.). Основной результат главы - обратная теорема переноса - применяется для описания структуры геометрически устойчивых И волуусточывых распределений.
Глава 6 (13 стр.) носвящена доказательству закона повторного логарифма в форме Човера для последовательности: сумм случайных векторов с одераторно устойчивым предельным законом.
Характериэащюнные задача для распределений иероятностей и связанные с шаш фуикциональные-уравнетш рассматриваются в главе 7 (17 стр.).
