Предельные теоремы для случая сходимости распределений вероятностей к равномерному распределению Куликова Анна Алексеевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Формула суммирования Пуассона 13

1.1 Формула Пуассона. Формальный вывод 13

1.2 Обобщения формулы 14

1.3 Условия справедливости 15

1.4 Приложения в теории вероятностей 16

1.5 Применения формулы Пуассона 23

2 Оценка сходимости к равномерному распределению в терминах убывания характеристических функций 25

2.1 Сглаживающее распределение 25

2.2 Неравенства для разности vo\s(D±s) ~ vo\s(D) 26

2.3 Неравенства для Р(Х Є D) 27

2.4 Оценка одной суммы по т Є Zs 29

2.5 О характеристической функции f{t; V{D)) 30

2.6 Одна теорема о сходимости к равномерному распределению 31

2.7 Одновершинные распределения 35

2.8 Некоторые свойства компактных выпуклых тел в Шв. Симметризация Шварца 35

2.9 Равномерные распределения на компактных выпуклых телах 36

3 Распределение дробных частей гауссовских случайных векторов 38

3.1 Оценка величины \р(х;{Х}) 38

3.2 Случай s = 4 39

3.3 Случай s = 8 40

3.4 Случай s = 12 41

3.5 Случай произвольного s 44

3.6 Пример: выборка из марковской последовательности . 45

4 Распределение дробных частей случайных величин из некоторых параметрических семейств 47

4.1 Логарифмически нормальное распределение 47

4.2 Хи-квадрат распределение 49

4.3 Устойчивое распределение 54

4.4 Двумерное нормальное распределение 59

5 Закон первой значащей цифры 65

5.1 Оценка отклонения от закона первой значащей цифры . 65

5.2 Пример: логарифмически нормальное распределение . 66

Список литературы 78

• Условия справедливости
• Одна теорема о сходимости к равномерному распределению
• Некоторые свойства компактных выпуклых тел в Шв. Симметризация Шварца
• Хи-квадрат распределение

Введение к работе

Первая глава. Глава 1 посвящена формуле суммирования Пуассона. Перечислены некоторые результаты, сформулированные и доказанные вне связи с теорией вероятностей. В 1.4 приведен вид формулы, наиболее удобный для приложений в теории вероятностей, а также сформулированы и доказаны условия справедливости формулы суммирования Пуассона в контексте теории вероятностей и ряд вспомогательных утверждений, которые используются в последующих главах для оценки отклонения распределений вероятностей от равномерного. Глава 1 носит обзорный характер и является вспомогательной по отношению к другим главам.

Если р(х; X) — плотность распределения вероятностей случайной величины X и /(; X) — соответствующая характеристическая функция, то формулу суммирования Пуассона можно записать следующим образом: оо оо Y^ p(x + k\X) = l + Y1 І(2тгп-Х)е-^^іпх. к=—оо п=—оо,п^0

Обозначим через S(x) сумму ряда, стоящего в левой части (она периодична с периодом 1).

Ряд, стоящий в правой части формулы, является рядом Фурье функции S(x).

Плотность дробной части {X} случайной величины X представляется в виде

, _/vu fs(x), хе [0,1], р(х; {X}) = ( (0, x[0Л}.

Следовательно, при х Є [0,1] отклонение р(х; {X}) от 1 (плотности равномерного распределения) оценивается величиной ]Г f(2Tm;X)e-^27!inx . п=—оо,тг^0

В главе 1 перечислены условия справедливости формулы суммирования Пуассона и ее многомерного обобщения. Их отбор определяется основной целью настоящей работы, которая состоит в сравнении распределения дробных частей случайных величин (случайных векторов) и равномерного распределения.

Вторая глава. В главе 2 рассматриваются последовательности случайных векторов Х₁,Х₂,..., Х_п,..., Х_п = (X_ni,..., X_ns), 0 < X_nj < 1, в евклидовом пространстве M.^s (s > 2).

Величина отклонения распределения случайных векторов Х_п от равномерного в кубе [О, l]^s распределения оценивается в терминах математических ожиданий Ee^27IX^m,Xn), _Где т — любой вектор с целочисленными координатами. При достаточно быстром их убывании при п —> оо для любой выпуклой области D С [0, l]^s величина |Р(Х_П Є D) — vo\_s(D)\ убывает как некоторая положительная степень дроби 1/тг.

Теорема. Пусть последовательность случайных векторов Х\, Хч, .. ., Х_п, ..., Х_п = (X_ni,..., X_ns), 0 < X_nj < 1, в евклидовом пространстве M.^s (s > 2) для некоторого I > 1 удовлетворяет условию |_Ее2тгг(т,Х_п)| _< К\ш\ ~ П при любом т Є Z^s \ {0}, и пусть D С [0, l]^s — выпуклая область. Тогда \Р(Х_п Є D) - vo\_s{D)\ < c_6il(s,l,K)n-^^l+^ при n > (cs_fi(s) vol_s(D))-V^+s\

Постоянные положительные множители c₆,i(s,/,K) и c₆,2(s) могут быть выписаны явно.

Доказанная теорема является обобщением на многомерный случай результата работы [38], где предполагалось s — 1.

Следствие. Пусть Т> — класс выпуклых областей в единичном кубе. Тогда в условиях теоремы имеет место оценка скорости сходимости к равномерному распределению sup |Р(Х_П Є D) - vol_e(D)| < const n-^1/il+s\

Постоянный множитель в правой части зависит от s, К и I и может быть выписан явно.

При фиксированном п и достаточно больших т неравенство, входящее в условие теоремы, выполняется тривиальным образом, но учет этого факта в доказательстве заменой правой части неравенства на единицу не дает существенного улучшения.

Следует отметить, что в доказательстве теоремы использовался метод сглаживающих распределений, отличающийся от традиционно применяемых в этих вопросах. Метод доказательства может, по-видимому, быть использован и в более общих случаях.

Доказательство теоремы опирается также на следующее неравенство для характеристических функций, представляющее самостоятельный интерес.

Теорема. Пусть случайный вектор V(D) имеет равномерное распределение в компактном выпуклом теле D СІ'. Тогда его характеристическая функция удовлетворяет неравенству где R — радиус шара в Ж⁸, содержащего D.

Здесь V_s = 7r^S|/2/r(s/2 + 1) — объем единичного шара в R^s. Доказательство этого неравенства использует факты из геометрии выпуклых областей.

Третья глава. В главе 3 рассматривается распределение вероятностей дробной части s-мерного гауссовского случайного вектора. Доказаны неравенства для отклонения этого распределения от равномерного. Доказательства используют формулу суммирования Пуассона и некоторые факты теории представлений целых чисел квадратичными формами. Основное внимание этой части работы уделено случаю относительно небольших значений s. Для случая произвольного значения s предложенные неравенства не являются окончательными.

Пусть X — гауссовский случайный вектор в пространстве R* с нулевым средним и матрицей ковариации ст² (а > 0), Л > 0 — минимальное собственное значение Е, Л > 0 — максимальное собственное значение Е.

Пользуясь формулой суммирования Пуассона, получаем при х Є [0, l]^s

Д= sup \р(х;{Х})-1\<^ Е ^е -2тг²(7²ЛЛ^г

Число слагаемых во внутренней сумме равно числу представлений числа N значениями квадратичной формы (т,т). Это замечание сразу устанавливает связь между оценкой величины А и классической задачей теории чисел — изучением числа представлений целых чисел квадратичными формами. Число r_s(N) представлений N в виде суммы квадратов весьма непросто выражается через делители числа N (см. [6], [23] и [24]). Например, при s = 8 r₈(N) = 16(-1)^^(-1)³.

Ниже приведены типичные примеры неравенств, получаемых этим путем.

Обозначим

Утверждение. При s = 4

Утверждение. При s = 8 _А< 16(l + 4g + g²) _д> /2₁₆ , 716(1+4^+9²) (1-<7)« *' - \9 '9 (І-,)*

Утверждение. При s = 12

7.5(1 + 26^+66^ + 26^ + 9⁴)

А > 24.5 + (1-?)^е - 1 ₊ 4в ₊ ?₊^^{+48 + 5в}) (l-q)⁷\ ' * "* ' (1 ₊ )4 у у-

Четвертая глава. В главе 4 рассматриваются некоторые параметрические семейства случайных величин. Выясняется, при каких значениях параметров распределение дробных частей этих величин близко к равномерному в соответствующей области (на отрезке [0,1] или в квадрате [О, I]²) распределению.

В 4.1-4.3 случайная величина X является логарифмом некоторой положительной случайной величины Y с одновершинным распределением, имеющим "тяжелый" правый хвост (логарифмически нормальным распределением в 4.1, хи-квадрат распределением в 4.2, одностороннем устойчивым распределением в 4.3). Аналитически последние два примера сближает тот факт, что преобразование Меллина случайной величины У, то есть ЕУ^г = J_Q x^zp(x; Y)dx, выражается в терминах Г-функций (в действительности класс плотностей подобного рода очень широк, см., например, [36, раздел 8.4, с. 630-732]). Весьма быстрое убывание коэффициентов /(27гп; X) позволяет ограничиться небольшим числом слагаемых в правой части формулы суммирования Пуассона (см. соответствующие таблицы и графики).

Двумерный случай изучается в 4.4. Рассматривается гауссовский двумерный случайный вектор X — (Xi,X₂) с Х_Х = ЕХ₂ = 0, DX_X = DX₂ = 1 и коэффициентом корреляции р. Исследуется отклонение распределения вектора {X} от распределения, равномерного в единичном квадрате, в зависимости от коэффициента корреляции р. Особенно интересен случай \р\ близкого к единице, то есть двумерного распределения, близкого к вырожденному.

Рассмотрим случайную величину X, имеющую нормальное распределение, с математическим ожиданием т и дисперсией а².

Утверждение. Имеет место следующая оценка отклонения {X} от равномерного: при любом целом N > 2

Д = 2е~²*^2а2 + A_N, ⁿjz¹ 2e-^{27r2 \^\<2^^W + j _e-47rV2N' п=2}

Рассмотрим случайную величину X, распределенную как логарифм хи-квадрат распределения с а > 0 степенями свободы.

Утверясдение. Имеет место следующая оценка отклонения {X} от равномерного: при любом целом N > /_с7г^-2 + 1

Г(а/2 + 2тгг)

Д = 2

Г(а/2)

4тг² (\Ц)\е-^-^² H(N- l)%^2j (_{c +} j)2^Mc ,,-2( ГІСІ+1) 2-* j\ ^{N 1} Г(а/2 + 2тгш) Г(а/2) и константы с, М_С) 1_С и \1_С] определены следующим образом: а/2 — I + а_х, I > 0 — целое, О < «! < 1,

1/2, О < оч < 1/2, 1, 1/2 <аі<1, с =1/2, с=1,

М_с =

2тг/УГ- е-

I, с =1/2, / + 1/2, с = 1, |7_С] — ближайшее целое к 1_С сверху.

Рассмотрим случайную величину X, распределенную как логарифм устойчивого распределения с параметрами 0 < а < 1, /3 = 1, *у = Q, Л > 0, то есть X = log(y) и характеристическая функция Y задается формулой (см. [21]) '^₇-A|^(l-*^tg (|)а), аф\, it4-\\t\(\ + iPl±\oz{\t\j), а=1.

Утверждение. Имеет место следующая оценка отклонения {X} от равномерного: при любом целом N > 2

Г(1 + 2тгг/а) log(/(i;Y)) + А^, ₃-4tt²W

Г(1 + 2тгг)

Г(1 + 2тгпг/а) _^Е

2_e-7T²7V(l/a-l)

Г(1 + 2тгпг)

Рассмотрим J^ = (ХіДг) гауссовский двумерный случайный вектор с ЕХ[ = ЕХ₂ = 0, DXx = DX₂ = 1 и коэффициентом корреляции р.

Утверждение. Имеет место следующая оценка отклонения {X} от равномерного: при любом целом N > 2 д < \ ** -2к²(т\+2рт\т2+т\) . т₁,тп2 = -(^ЛГ_1) (тп_ьт₂)^(0,0)

4_e-27r³(l-p)iV² / _4e-27r²(l-p)iV² 1 _ e-47r2(l-/j)JV I 1 _ _е-4тг²(1-р)ІУ т=-(ЛГ-1) >-27г²(1-р)т²

Пятая глава. Глава 5 посвящена так называемому закону первой значащей цифры.

Закон первой значащей цифры (или закон Бенфорда) — это эмпирическая закономерность, наблюдаемая в ряде обширных собраний статистических данных, в соответствии с которой первая значащая цифра принимает значение d — 1, 2,..., 9 с частотой, примерно равной lg (1 + \jd) (значения приведены в таблице 9).

История открытия, попытки обоснования закона первой значащей цифры детально описаны в [17] и [7], где также дан обширный список относящейся к этому закону литературы.

В отдельных случаях математическое обоснование закона первой значащей цифры может опираться на следующие соображения. Если X — случайная величина с равномерным на отрезке [0,1] распределением вероятностей, то случайная величина Y = 10^х имеет первую значащую цифру, равную d, с вероятностью lg(l + l/d). Если теперь X — случайная величина, дробная часть которой распределена приблизительно равномерно на [0,1], то первая значащая цифра величины Y принимает значение d с вероятностью, близкой к lg (1 + 1/d). При этом часто приближенная равномерность распределения дробной части X может быть установлена с помощью формулы суммирования Пуассона. Также возможно предсказать и величину отклонения распределения первой значащей цифры Y от закона Бенфорда.

Пусть случайная величина Y имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами т и а². Тогда lg(F) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием mlg(e) и дисперсией 2lg²(e).

Утверждение. Имеет место следующая оценка отклонения распределения первой значащей цифры Y от закона Бенфорда: при любом целом N > 2 p(ACn = d)-ig(i + i) = yt _е-2^а* i_R2_(e)n2sin(27rn(lg(d+ 1) - mlg(e))) - sin(27m(lg(rf) - mlg(e))) _| ' *' - TrJV^-e-⁴*²*²¹*²^)"

В качестве примера рассмотрен случай т — 0.46, а = 1. Значения параметров взяты из [26, с.246].

В таблице 9 приведены значения lg(l + 1/d) и оценки отклонения в зависимости от d. При вычислениях бралось N — 2. В этом случае |Ajv| < 1-085 10~~⁷. Поскольку |Длг| очень мал, полученная оценка близка к истинному значению отклонения.

Аналогичные формулы можно получить и для неотрицательных случайных величин Y, рассматриваемых в 4.2 и 4.3.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю академику Ю. В. Прохорову.

Условия справедливости

Многомерным аналогом формулы суммирования Пуассона является равенство /( + m) = /Ne2 1 , (3) тЄІ3 теї3 где f(t) = f f{x)e 2niit x) dx, -— преобразование Фурье функции от s переменных /. Формула Пуассона имеет аналоги в коммутативных и некоммутативных группах (см. статью Гуда [4], комментрарии Дьякониса и Энглера [3] и книгу Макки [12]). 1.3 Условия справедливости Одной из задач, касающихся формулы суммирования Пуассона, является нахождение условий справедливости этой формулы. Мы укажем здесь некоторые из известных результатов, не обсуждая их соотношение между собой. Морделл [15]: f(x) и f"(x) таковы что интегралы J f(x) dx и J \f"(x)} dx сходятся и / является интегралом от /". Зигмунд [20]". интеграл f /(х) dx сходится и f(x) имеет ограниченное изменение; Курант, Гильберт [27, гл.2 5]: существуют все встречающиеся в формуле интегралы; Ряд сходится равномерно по х в интервале 0 х 2тг и представляет функцию, разлагающуюся в ряд Фурье. См. также работы Линфута [11, Т.З] и Титчмарша [32, гл.13]. В многомерном случае: Стейн и Вейс [31, Гл.7 Сл.2.6]: Пусть причем где 5 0 (так что f и f можно считать непрерывными). Тогда Y f{x + Бее четыре ряда в равенствах сходятся абсолютно. Бохнер сходится равномерно в единичном кубе и то для всех х Є Rs справедливо равенство Известно, что выполнение условия /, / Є Ll еще не является достаточным для справедливости формулы Пуассона. Пример такой функции, для которой ряды в обеих частях формулы (1) расходятся можно найти в [2], а пример функции, для которой оба ряда сходятся, но различны, приведен в [8], [9]. Заметим, что приводимые ниже утверждения 1 и 3 являются следствием [31, Гл.7 Т.2.4]. Но их доказательства для плотностей становятся особенно ясными, и поэтому мы приводим их здесь. Утверждение 1. Ряд Коэффициенты Фурье функции S(x) равны Рассмотрим условия справедливости формулы суммирования Пуассона в рамках теории вероятностей. Феллер (см. [34, с.705-707]) доказывает формулу при следующих ограничениях: интеграл Jl /(t; Х)\ dt сходится; ряд сходится к непрерывной функции от t.

При этом формулу суммирования Пуассона Феллер записывает в виде ОО 00 - p{k\;X)e W= ) /(t + 2nA;X). A . "V A fc= —сю п=—ОО Формуле можно придать привычный вид при выполнении следующих (более сильных) условий: интеграл / \f(t; Х)\ dt сходится; ряд сю J2 \f(t + 2nir;X)\ П= —ОО сходится равномерно. Именно, легко видеть, что при любом вещественном у условия выполняются для случайной величины X — у, поэтому ОО ОО A J А — к= —оо ті—— оо Полагая t = О, X — тг, у — х получим ОО ОО J2 р{х + к-Х)= Y, /(2тгп;Х)е к=—оо п= —оо Следствие 1. Пусть г\ О, J.aj интеграл J /(; Х) dt сходится; 1.6) ряд оо 53 /fo( + 27wr);X) п= —оо сходится к непрерывной функции от t. Тогда оо оо J] p(a; + fc;77X)= J3 /(Зтгтггу; Х)е"2 . fc=-00 п = — 00 Эта формулировка может быть использована в главе 5 при переходе от натурального логарифма к десятичному. Утверждение 2. Формула суммирования Пуассона имеет место для всех х, если II.a) p(x\ X) имеет непрерывную производную; II. б) ряд оо р (х + к;Х) fc=—оо сходится равномерно по х на отрезке [0,1]. Доказательство. Если условия выполнены, то по [22, Т. 1.9] ряд оо Y p(x + k;X) k= — oo сходится равномерно по х на отрезке [0,1] и у функции S(x) существу ет непрерывная производная. По [22, Т.10.11] стоящий в правой части ряд Фурье функции S(x) сходится к этой функции равномерно по х на отрезке [0,1]. Замечание. Теорема [22, Т.10.11] формулируется для тригонометрических рядов Фурье оо — + / (ап cos(nx) + bn sin (па;)), 71=1 где / 7г/2 /чг/2 /-тг/2 f(x)dx, ап = / f(x) cos(nx) dx, bn = / f(x) s m(nx) dx, -7Г/2 JT/2 JT/2 но утверждение справедливо и для ряда Фурье в комплексной форме, так как , _ оо , _ ап + ibn f __ ап - ibn _ , 9 /о — п і In — су і J-n — г) 5 77. — І, 2, . . . и в доказательстве теоремы показывается сходимость ряда оо 52(к\ + \ьп\), п=\ что равносильно сходимости ряда оо п=—оо откуда и следует равномерная сходимость ряда Фурье в комплексной форме. Эта теорема справедлива также для рядов Фурье функций с периодом 1, только в этом случае разложение

Одна теорема о сходимости к равномерному распределению

Теперь, используя результаты предыдущих параграфов, мы имеем возможность доказать теорему о сходимости к равномерному распределению в кубе [О, l]s, которая является обобщением результата работы [38] на многомерный случай. Теорема 2. Пусть последовательность случайных векторов Х\, Х2, ..., Хп, ..,, Хп — {Хп-[,..., Xns), 0 Хщ 1, в евклидовом пространстве M.s (s 2) для некоторого I 1 удовлетворяет условию К\т\1 Ее2тгг(т,Л:„) ЛШ П при любом т Є Zs\ {0}, и пусть D С [0, l]s — выпуклая область. Тогда Доказательство. Полагая Я = \А/2 и применяя формулу суммирования Пуассона при 5 vols())/c2)i(s, y/s/2), получим Формула суммирования Пуассона применима в данном случае, например, по условиям Стейна и Вейса [31, Гл.7 Сл.2.6], так как плотности случайных векторов Z(D±s; 5) обращаются в нуль вне некоторого компакта, а их характеристические функции f(t;Z(D±s;S)) = f{t\V(D±s))f(6t;U) убывают на бесконечности достаточно быстро по лемме 1. По лемме По условию теоремы, леммам 1, 4 и следствию 2 при 0 6 C6,2(s)vol,,(D), где c6)2(s) = mm{c5)2(v/s/2,s),4/s/2,l/(577rs\/5)}, получаем Следствие 3. Пусть Т — класс выпуклых областей в единичном кубе. Тогда в условиях теоремы имеет место оценка скорости сходимости к равномерному распределению Постоянный множитель в правой части зависит от s, К и I и может быть выписан явно. Доказательство. Пусть п C62(s) +S\ Рассмотрим класс областей Щп) = который непуст, так как открытый куб (О, l)s Є 2 i(n). По теореме 2 sup Рассмотрим теперь дополнительный класс Для каждой D є T 2(n) выберем выпуклую область D такую, что D С П С [О, l]s и vols(D ) = n- + Vce.aCe). Тогда Є Х і(«), и по доказанному Поскольку T i(n) U Т 2(п) = X , доказательство завершено. П Докажем теорему 1. Всюду ниже D обозначает компактное выпуклое множество в Rs, имеющее внутренние точки (то есть компактное выпуклое тело, по терминологии [28]), a V(D) обозначает случайный вектор с равномерным распределением в D, то есть

Напомним, что распределение вероятностей случайной величины Z называют одновершинным (или унимодальным) если существует такое а что при х а функция распределения F(x; Z) выпукла, а при х а F(x; Z) вогнута. Замечание. Пусть [а, Ь] некоторый отрезок на числовой прямой, функция R(z) такова, что а) R(z) — 0 при z а и z Ь, б) R(z) непрерывна на [а, Ь], в) R(z) положительна и вогнута на (а,Ь). Тогда при любом целом I 1 функция Rl(z)/ f Rl(u)du будет плотностью одновершинного распределения вероятностей. Известно следующее утверждение (см. [33]) Лемма 5. Если F(x\ Z) —одновершинная функция распределения, то Пусть D — компактное выпуклое тело в Is. Не ограничивая общности будем считать, что начало координат О лежит внутри D. Пусть дан единичный вектор и ("направление"). Обозначим Gu прямую в Rs проходящую через О в направление и (то есть совокупность точек вида zu, —оо z оо). Рассмотрим семейство (s — 1)-мерных гиперплоскостей ортогональных Gu. Каждая такая гиперплоскость однозначно определяется точкой zu ее пересечения с Gu. Пусть jau,fru] с К1 наибольший отрезок, такой что Lz Г) D ф 0 при всех z Є [au, &ц]. Лемма 6. Функция vols_i (Lz П D) непрерывно зависит от z при аи z bu, и при аи z bu эта функция положительна. Доказательство см. [28, примечание нас. 230 (передзамечанием 19.1)]. Процедура, называемая "симметризацией Шварца", приводит к следующему утверждению Лемма 7. Для данных D и и существует выпуклое тело вращения SQU с осью вращения Gu, такое что при всех z Доказательство см. [28, Т. 19.1]. Следствие 4. При аи z bu радиус R(z) сечения (шара!) тела SGU гиперплоскостью Lz будет вогнутой функцией z. (s — 1)-мерный объем этого сечения равен Vs-iRs 1(z). Для доказательства достаточно рассмотреть сечения тела SGU любой двумерной плоскостью, содержащей ось вращения Gu. Характеристическую функцию случайного вектора V(D) можно представить в виде где г = \t\, t = ти (и—как и раньше, единичный вектор в К5, определяющий некоторое направление). Функцию концентрации случайной величины Z(u; D) легко оценить. Пусть R — радиус какого-либо s-мерного шара B(y,R), содержащего D. Тогда Поэтому Докажем теперь, что верна Лемма 8. Распределение вероятностей случайной величины Z(u; D) одновершинно. Доказательство. Плотность Теперь одновершинность распределения вытекает из следствия 1 леммы Из лемм 5 и 8 получаем теорему 1.

Некоторые свойства компактных выпуклых тел в Шв. Симметризация Шварца

Пусть X — гауссовский случайный вектор в пространстве Ks с нулевым средним и матрицей ковариации ст2 (сг 0), Л 0 — минимальное собственное значение , Л 0 — максимальное собственное значение Е. Характеристическая функция X имеет вид Оценим отклонение случайной величины {X} от равномерного распределения в кубе [0, l]s. Пользуясь формулой суммирования Пуассона, получаем при х Є [0,1] Формула суммирования Пуассона применима в данном случае, например, по условиям Стейна и Вейса [31, Гл.7 Сл.2.6], так как плотность и характеристическая функция случайного вектора X убывают на бесконечности достаточно быстро. Следовательно 9. А 1 + п Замечание. Очевидно, что полученные оценки монотонно возрастают по q uq соответственно, и следовательно, монотонно убывают по а2Х и сг2А. В таблице 1 приведено значение верхней оценки величины Д в зависимости от параметра о 2\. Докажем, что имеет место следующее Утверждение 6. При 5 = 8 Доказательство. По [6, ф-ла в начале 20.13, с.314] Далее, пусть N = 27и, где и — нечетное. Если N — нечетное, то 7 — 0, и = N, Если iV — четное, то 7 1) Замечание. Очевидно, что полученные оценки монотонно возрастают по q и q соответственно, и следовательно, монотонно убывают по а2Х и а2А. В таблице 2 приведено значение верхней оценки величины А в зависимости от параметра а2\. 3.4 Случай s = 12 Докажем, что имеет место следующее Доказательство. Пусть N = 27«, где и — нечетное. Тогда по [ЗО, Т.6] Если JV — нечетное, то 7 = 0, и = N, Если N — четное, то j 1, 3.5 Случай произвольного s Докажем, что имеет место следующее Утверждение 8. Для любого s Доказательство. Применяя преобразование Абеля, получаем (X) оо ЕТ №)я" = Е м1) + + r»W) {QN - ям+1) = N-l N=l oo q(l-q)Y,(r ) + --- + rs(N))qN-\ N=1 Имеем s /2 r3(l) + --- + rs(N) Vs( /N + j Vs(l + pj N Далее oo oo oo E Л У"1 = 1 + E( V + l)s/2 1 + 2s/2 E Nsl2qN. N=l N=l N=l При у 0 функция ysl2qy достигает единственного максимума в точке s Уі 4тг2а2Х Тогда Г(з/2 + 1) / s у/2 V /V V /00 WV Л/ 4- 2«S/V - Г /2 + 1) + 2 ( S — ) ; Q -J0 У Ч dy + 2Vl Q - {2 а2\у/ +1\еА а2х) Следовательно, Е Nsl2qN l 1 + 2s/2 27r2a2A)e/2+i + 2 \е4 а2\) ) Отсюда, используя лемму 9, получаем Пусть Хп% п Є Z, — гауссовская марковская последовательность. Предположим, что ЕХп = 0, DXn = 1 и коэффициент корреляции 0 д 1. Образуем s-мерный гауссовский вектор X = (Х\,..., Ха) из первых s членов последовательности. Тогда матрица ковариации Е имеет вид Ejj = /х 1--7 , 1 г, І s- Обозначим Л — минимальное собственное значение Е, Л — максимальное собственное значение Е. "Утверждение 9. А і , Л 1+/і 1 + /л 1 — /л Замечание.

Этот пример интересен тем, что указанные выше границы для А и А не зависят от s. Доказательство. По [29, с.7] s-l S-1 43/1,---. ) = -2 Е 2+ -2 +1 \j=l J=2 j=l По неравенству Коши-Буняковского (Е%УІ+І) (5 ?- 2) (Е - 2 \j=i / 4.7 = 1 / \j=l / На единичной сфере из соотношений 5-І S 5 — 1 Е УзУз j=i V(i-y?)(i-ye2), Е у2з= 1 Е у? = х у у 3=1 J=2 следует Y j2 (і + / 2(i - у? - у]) - 2nyJ{i-yb(i-vl)) Е-ЧУЬ , У.) (і + Ді - 1/? - У2) + 2мд/(1-у?)(1-у?)) Находя максимум функции 1 + //2(1 - z\ — z2) + 2/u-y/(l — Zi)(l — z2) и минимум функции I + /j?(l — Zi — z2) — 2//- /(1 — i)(l — 22) в области 2i, z2 0, 2L + . 1, получаем, что (I-/,2) -L b---,ys) (1_/i2). Отсюда (1 - ц2) = 1 - /л (1 - Ма) = 1 Н- /х -(1 + /.)2 l + /i -(1- )2 І-/! П Замечание. Очевидно, что полученные оценки монотонны по ц. В таблице 4 приведены значения Л, Л и их оценок в зависимости от параметра д в случае s — 4. Пусть случайная величина У имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами т и а2. Плотность Y равна f 1/ (oZX ) e-(logx-m)2/(2a2) X Q 0, x 0. Рассмотрим случайную величину X = log(V). Тогда X имеет нормальное распределение, с математическим ожиданием т и дисперсией а2. Плотность X равна (7\/27Г Характеристическая функция X имеет вид f{t;X) = Eeltx = e22/2eitm. Проверим, что X удовлетворяет условиям П.а и И.б. Производная плотности равна aV2-?r \ о1 ) Функция р (х;Х) непрерывна. Ряд оо J2 р (х + к;Х) к=—оо сходятся равномерно по х на отрезке [0,1]. Таким образом, условия П.а и П.б выполнены, и формула суммирования Пуассона применима. Рассмотрим р(х; {X}) на отрезке [0,1]. Имеем -2-кіпх р{х-{Х})= J2 Р( + к;Х)= Y, /(2тгп;Х)е к=—оо П——0О ОО 00 \ " -27г2(т2п2 І2ппт р-2жгпх \ л — 27г2ст2п2 -2ігіп(х—т) __ П = —ОО П= —ОО ОО 1 + 2 YI е-2ж2а2п2 соз(2тт(:г - т)). п=1 Оценим отклонение {X} от равномерного распределения на отрезке [0,1] Д = sup \р(х; {X}) - 1 = 2 max 0 i l о х е-2 ст2"2со8(27гп(х-т)) п=1 Пользуясь тем, что -2ж2а2п2 cos(27rn(a: — га)) е -2ж2а2 получаем Д 2]Г, -27г2(т2п2 2е-2 2 + 2 е-2Л2" 71=1 п= А J2 е-2 2"42 cos(2 n(x0 - m)) n=l где -2тг2гт2 COS (2ф0 -т)) - 2 е"2 w = 2е-2 2 - 2 е"2 v»a, n=2 n=2 Жо = 7П + и целое г выбрано так, чтобы 0 х0 1. Таким образом, Д = 2e-27r2 j2+AN, где оо iV — 1 оо Д„ = 2 ]Г е-2-2-2"2 = 2 J]) е-2-2-2-2 + 2 53 е-2 2 2"2, N 2. п=2 n=2 n=7V Замечание. Гак как е 27Г ст п монотонно убывает по а, то следовательно, и Длг монотонно убывает по о. Оценим сумму ряда n=JV -2тг2 т2п2 Имеем n=Af 71 = 0 00 й-2тг2 72ЛГ2 -2тГ2 72ЛГ2 V „-47rV2JVn _ Є у е-27г2 72п2 _ e-27r2 727V2 ТГ e-2x2a2((n+N)2-N2) оо X _ e-47r2T2JV n=0 В итоге доказано Утверждение 10. Имеет место следующая оценка отклонения {X} от равномерного: при любом целом N 2 А = 2е 27Г а + AN, где Д»1 2 Е"- + 5 = п=2 В таблице 5 приведены значения оценки величин Д и Длг в зависимости от параметра а. Поскольку последняя очень мала, полученная оценка Д близка к истинному значению отклонения для рассматриваемых а. На графике 1 представлено значение десятичного логарифма оценки в зависимости от параметра а. На графике 2 представлены значения десятичного логарифма первого слагаемого (1) и оценки \AN\ (2). При вычислениях бралось N = 3. 4.2 Хи-квадрат распределение Пусть случайная величина Y имеет хи-квадрат с а О степенями свободы. Плотность Y равна f 1/ (2"/2Г(а/2)) xaf2-le-s 2, х О, р(ж;У) = - [О, ж О, Рассмотрим случайную величину X — log(F). Тогда X имеет плотность Я ; 2«/2Г(а/2) Характеристическая функция X имеет вид Л ; Г /2) Проверим, что X удовлетворяет условиям II.а и П.б. Производная плотности равна

Хи-квадрат распределение

Пусть случайная величина Y имеет хи-квадрат с а О степенями свободы. Плотность Y равна Рассмотрим случайную величину X — log(F). Тогда X имеет плотность Характеристическая функция X имеет вид Проверим, что X удовлетворяет условиям II.а и П.б. Производная плотности равна Функция p (x; X) непрерывна. Так как сходится равномерно по х на отрезке [0,1]. Таким образом, условия П.а и П.б выполнены, и формула суммирования Пуассона применима. Рассмотрим р(х; {X}) на отрезке [0,1]. Имеем Оценим отклонение {X} от равномерного распределения на отрезке [0,1]: u константы с, Mc, lc и \lc \ определены следующим образом: а/2 = I + cti, I 0 — целое, О аі 1, с — 1/2, 0 аі 1/2, 1, 1/2 Q! 1, [27Г/ /, с =1/2, / + 1/2, с=1, [7С] — ближайшее целое к 1С сверху. В таблице 6 приведены значения оценки величин А и оценки Ajv в зависимости от параметра а. Поскольку последняя очень мала, полученная оценка Д близка к истинному значению отклонения для рассматриваемых а. На графике 3 представлено значение десятичного логарифма оценки в зависимости от параметра а. На графике 4 представлены значения десятичного логарифма первого слагаемого (1) и оценки \AN\ (2). При вычислениях бралось N = 3. Тогда неравенство N /с7г-2 + 1 выполняется для 1С 27Г2, то есть для а 47г2. Пусть случайная величина У имеет устойчивое распределение с параметрами 0 а 1, /в — 1, 7 = О, Л 0. F(x, а, 1,0, А; У) — функция распределения У. Характеристическая функция У задается формулой (см. [21]) Рассмотрим случайную величину X = log(F). При таком выборе параметров У почти наверное положительна и X определена. Так как У имеет плотность и обратная к логарифму показательная функция дифференцируема, то X имеет плотность р(х;Х). Характеристическая функция X где R(it, a, 1,0, Л) преобразование Меллина функции распределения F(z,a, 1,0, А; У). Проверим, что X удовлетворяет условиям І.а и 1.6 (при г) = 1). Пользуясь {21, Т.З], получаем непрерывна на [0, to], то / Jo Г(1 + it/a) Г(1 + г ) dt оо f е- (1/а-1)/2ч/1 _ e-2ixt Va J и, л/1 - е- / dt dt Г(1 + it/a) J to Г(1 + it) 2е-т о(1/а-1)/2 ,,1 Г сю. e- t(l/a-l)/2 dt _ VWl - e-27rio Л0 vWl - е-2жііг(1/а - 1) Следовательно, / оо \f(t;X)\dt oo. оо Докажем равномерную сходимость ряда оо /(t + 2mr;X). п= — оо Значит, и ряд /(г + 2птг;Х) равномерно сходится. Таким образом, условия I.a и 1.6 выполнены, и формула суммирования Пуассона применима. Рассмотрим р{х\ {X}) на отрезке [0,1]. Имеем р(х;{Х}) = 5Z Р(х + к;Х)= ]Г /(2тт;А к= оо -2-кпіх Г(1 - і2ігп) Г(1 + 2ігпі/а) 2ігпі(х_І0яХ/а) _ у- Лг2 п/аГ(1 - 2ігпі/а) 2ппіх = у, 2vni/aT{l + 2тгпі/а Г(1-І2жп) -" Г(1 + 2тгга) п——оо Е1 -га оо + 2жпі) 1 + 2 Re ,2-кпі(х—log А/а) Г(1 + 2-кпі/а) n=l Г(1 + 2тгга) Последнее равенство справедливо, так как 2-кпіх rq-2 m/a)c_2W logA/ Л = Г(1 + 2тгт/а)с2тпі(а_І0кЛ/а Г(1-2тгш) / Г(1 + 2тгга) Оценим отклонение {X} от равномерного на [0,1]: 1 Д= sup р(х;{Х})-1 = 2 max 0 х VRe ( r(X + 27Г /а)с27гш— целое, О аі 1, с — 1/2, 0 аі 1/2, 1, 1/2 Q! 1, [27Г/ /, с =1/2, / + 1/2, с=1, [7С] — ближайшее целое к 1С сверху. В таблице 6 приведены значения оценки величин А и оценки Ajv в зависимости от параметра а. Поскольку последняя очень мала, полученная оценка Д близка к истинному значению отклонения для рассматриваемых а. На графике 3 представлено значение десятичного логарифма оценки в зависимости от параметра а. На графике 4 представлены значения десятичного логарифма первого слагаемого (1) и оценки \AN\ (2). При вычислениях бралось N = 3. Тогда неравенство N /с7г-2 + 1 выполняется для 1С 27Г2, то есть для а 47г2. Пусть случайная величина У имеет устойчивое распределение с параметрами 0 а 1, /в — 1, 7 = О, Л 0. F(x, а, 1,0, А; У) — функция распределения У. Характеристическая функция У задается формулой (см. [21]) Рассмотрим случайную величину X = log(F).

При таком выборе параметров У почти наверное положительна и X определена. Так как У имеет плотность и обратная к логарифму показательная функция дифференцируема, то X имеет плотность р(х;Х). Характеристическая функция X где R(it, a, 1,0, Л) преобразование Меллина функции распределения F(z,a, 1,0, А; У). Проверим, что X удовлетворяет условиям І.а и 1.6 (при г) = 1). Пользуясь {21, Т.З], получаем непрерывна на [0, to], то / Jo Г(1 + it/a) Г(1 + г ) dt оо f е- (1/а-1)/2ч/1 _ e-2ixt Va J и, л/1 - е- / dt dt Г(1 + it/a) J to Г(1 + it) 2е-т о(1/а-1)/2 ,,1 Г сю. e- t(l/a-l)/2 dt _ VWl - e-27rio Л0 vWl - е-2жііг(1/а - 1) Следовательно, / оо \f(t;X)\dt oo. оо Докажем равномерную сходимость ряда оо /(t + 2mr;X). п= — оо Значит, и ряд /(г + 2птг;Х) равномерно сходится. Таким образом, условия I.a и 1.6 выполнены, и формула суммирования Пуассона применима. Рассмотрим р{х\ {X}) на отрезке [0,1]. Имеем р(х;{Х}) = 5Z Р(х + к;Х)= ]Г /(2тт;А к= оо -2-кпіх Г(1 - і2ігп) Г(1 + 2ігпі/а) 2ігпі(х_І0яХ/а) _ у- Лг2 п/аГ(1 - 2ігпі/а) 2ппіх = у, 2vni/aT{l + 2тгпі/а Г(1-І2жп) -" Г(1 + 2тгга) п——оо Е1 -га оо + 2жпі) 1 + 2 Re ,2-кпі(х—log А/а) Г(1 + 2-кпі/а) n=l Г(1 + 2тгга) Последнее равенство справедливо, так как (Д-1окЛ/а) \ Г(1 + 2тгти) л=1 п=2 Г(1 + 2rrni/a) Г(1 4- 2тгт) Пользуясь тем, что Г(1 + 2тгпі/а) с2тог(а-іойл/а) Г(1 + 2тгш) Re (Г(1 + 27rn Q)c2 i(x-loRA/q) V Г(1 + 2тгта) Г(1 + 2тгга/а) Г(1 + 2тгпг) получаем Г(1 + 27гга/о;) д 2Е = 2 Г(1 + 2тті/а) Г(1 + 2тгг) п=1 Г(1 + 2тгпг)

Похожие диссертации на Предельные теоремы для случая сходимости распределений вероятностей к равномерному распределению

Некоторые методы нахождения точных распределений вероятностей функций случайного аргументаКумганбаев, Мурат Шамильханович

Стационарное распределение вероятностей состояний сетей обслуживания с обходамиЯкубович, Оксана Владимировна

Исследования по решетчатым распределениям теории вероятностейГамкрелидзе, Николай Георгиевич

Качественные свойства стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов.Шапошников, Станислав Валерьевич

Некоторые задачи теории вероятностей и математической статистики, связанные с распределением ЛапласаЛямин, Олег Олегович

Некоторые задачи теории вероятностей и математической статистики, связанные с распределением Стьюдента У Да

Оценки скорости сходимости к равномерному распределению в многомерном случаеХохлов Владимир Иванович

Оценка скорости сходимости распределения процесса отношения правдоподобия в случае разрывной плотностиМосягин, Вячелав Евгеньевич

Предельные теоремы для условных распределенийМухамеджанов, Кабулджан Махмудович

Оценки точности асимптотических разложений в предельных теоремах для решетчатых распределений Карымов Дмитрий Николаевич