Введение к работе
1. Актуальность темы исследования. Изучение асимптотического
поведения сумм случайных величин (св.) - одна из
классических задач теории вероятностей. Предельные теоремы
остаются одним из важных разделов и современной теории,
продолжая оказывать значительное влияние на ее развитие
(см., например, [2,4,7,11,14,15]).
Настоящая работа посвящена некоторым предельным теоремам в схеме серий для независимых слагаемых (разделы II и III) и для некоторых типов зависимости (разделы IV и V).
2. Цель работы. Рассмотрим серии заданных на некотором
вероятностном пространстве (П, ?, Р) случайных величин (св.)
{х } и [Y }, j, п*1, где п - номер серии, j - номер св.
в серии. Образуем суммы
S = Z X ,
n J, п J
S = 2 У .
n J, п
Обозначим число суммируемых св. к , считая к ^. В том
п п
случае, когда суммы бесконечны, будем считать ряды сходящимися абсолютно Р-почти наверное (п. н. ).
Обозначим, как обычно, символом () закон распределения (или просто закон) св. , символом Ш )->(в)
сходимость законов в смысле слабой сходимости соответствующих распределений.
Целью той части работы, которая посвящена независимым величинам, является установление необходимых и достаточных условий сходимости
Eu( Z X ) - Eu( Z Y ) - О при П-а> (1)
J, п J, п
JB J6B
п п
для любых последовательностей множеств В{1, 2, 3, . .. ) и для
всех и, принадлежащих множеству U непрерывных и ограниченных
функций на вещественной прямой. Рассматривается также применение указанных условий к доказательству предельных теорем.
Целью второй части работы, посвященной зависимым величинам, является обобщение некоторых классических предельных теорем на случай зависимых слагаемых, в частности, доказательство необходимости условия Линдеберга в центральной предельной теореме для мартингалов.
3. Методы исследования. В работе широко используются методы
классической теории суммирования независимых случайных
величин [2, 11].
Результаты первой части работы опираются на идеи и методы неклассической теории суммирования, развитой в работах В.М.Золотарева (см., например, [5-7]), а также В.Н.Круглова [9,10], Ю. Ю. Мачиса и др. авторов. Используются условия близости распределений в интегральных метриках, предложенные В.И.Ротарем [16,17].
Во второй части работы используются мартингальные методы, развитые в работах Р. Ш. Липцера и А.Н.Ширяева [12-14] (см. также [4]). Применяются также методы общей теории слабой сходимости вероятностных мер в метрических пространствах, построенной Ю.В.Прохоровым [15] и др..
4. Научная новизна. В первой части работы найдены
необходимые и достаточные условия сходимости (1). Постановка
задачи (1) является новой. Получены новые предельные теоремы
о сходимости законов сумм к предельному закону.
Во второй части работы доказана (при некоторых дополнительных условиях симметричности слагаемых) необходимость условия Линдеберга в центральной предельной теореме в схеме серий для некоторых классов зависимых величин, в частности, в случае мартингальной зависимости. Результаты являются новыми по сравнению с публиковавшимися ранее (см., например, [4]) необходимыми условиями в «принципах инвариантности:», так как функциональная
сходимость к распределению гауссовского процесса не предполагается.
Получены также новые результаты, касающиеся условий нормальной и пуассоновской сходимости для одного специального класса зависимых величин.
-
Практическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер и могут быть использованы в различных областях науки и техники, где применяются методы теории вероятностей и математической статистики.
-
Апробация результатов. Результаты работы были предметом докладов на Шестом Советско-японском симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике, а также на научных семинарах в Математическом институте РАН им.Стеклова, на кафедре Математической статистики МГУ, в ЦЭМИ РАН, в Вильнюсском университете.
7. Структура работы. Диссертация состоит из аннотации, пяти
разделов, включая введение, и списка литературы. Объем
работы - 81 с. , библиогр. - 57 назв. .
