Сумма и вариационный ряд независимых случайных величин Ефимова Елена Алексеевна

'Іг

(0.2)

fc 1-4,-14^

(0.3)

В том случае, когда слагаемые -^^ имеют одинаковое распределение и конечный третий момент, первый предел был вычислен А.Валь-дом [18] , [l9] и К.Л.%уном [20]. Независимость указанных вероятностей от функции распределения слагаемого ^и; была доказана М.Кацем [2l] (так называемый принцип инвариантности). Предельное распределение (0.2) и (0.3) было доказано П.Ердешем и Кацем М. [22] в предположении взаимно независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым "средним и дисперсией равной единице, (0.3) было получено в предположении ^х-М «В общем случае (0.3) впервые было выписано А.Вальдом [їв]. Обобщение на случай, когда среднее отлично от нуля, а дисперсия от I, даны А.Вальдом [їв] , [23] .

Попытка обобщения результатов на случай бесконечного второго момента сделана М.Кацем и П.Поллардом [24j . Для случайных величин ^_ft-_L , имеющих функцию распределения Коши, получено интегральное уравнение относительно предельной вероятности (0.1).

В предположениях, что случайные величины ^ru удовлетворяют условию Линдеяберга, т.е. М 5tiL~0,

К* bfat> Ті i_{u д} Elm, о^Г $зЛ1$ас«)=0,*>0,

равенства (0.1)-(0.3) получены Реньи A. [io] .

С другой стороны эту проблему рассматривали Д.А.Дарлинг и П.Ердеш [25] . Они рассматривали предельное распределение мак-симума, следующим образом нормированных частичных сумм З_к/К при следующих предположениях: случайные величины -n,i ^зависимы с математическим ожиданием равным нулю а дисперсией равной I, с равномерно ограниченным третмм моментом. Некоторые интересные результаты в случае, когда %yi\>-~ > yiyl принадлежат области притяжения некоторых устойчивых законов, получены Д.А.Дар-лингом [26 ] и К.К.Хейди [27] ; в частности, для Уг пгвл-^ выписана предельная плотность распределения. Обобщением результатов Д.А.Дарлинга является работа Невзорова Б.В. [28] . Отличительной чертой перечисленных выше результатов являются требования конечности моментов определенного порядка у случайных величин.

Остановимся на кратком изложении содержания диссертации.

Пусть дана последовательность серий

независимых в каждой серии случайных величин. Образуем последовательность сумм

Хц,- Х_м + -V- Kft^ + Ct^ , (О*⁵)

где Ct^ некоторые вещественные числа, \ь =1, 2,..., и вариационный ряд

Хм^Хг^-бХ^. ⁽⁰-⁶⁾

Обозначим З^С*), 5^(ж), FnC (⁰) Функции распределения

случайных величин Х^₅ X*_hp , Хріі соответственно.

В первой главе мы изучаем связь между асимптотическим пове-

- 9 -дением распределений сумм я асимптотическим поведением распределений порядковых статистик. Первый параграф содержит подготовительные результаты.

Следующие три теоремы представляют собой основные результаты второго параграфа.

Теорема 2.1. Пусть дана последовательность серий (0.4), независимых в каждой серии, равномерно предельно малых случайных величин. Для того чтобы при некотором выборе чисел &^_}Ук,- К,1,..._} последовательность функций распределения {S^J сумм (0.5) Д - сходилась к безгранично делимой функции распределения S- S'l/f^ ,M,/V~j , необходимой достаточно, чтобы

I. для любого натурального числа и каждой точки непрерывности функций Д/ и Л/ выполнялись равенства:

-МЫ М :

О ₉ оскО ,

_{/V(*)/ и.}

2. Fern, fenw Z.[\ *JTwC=»D-( \*(ІШ\

«=»0 M,*=o ^( ' ^ч »3//

- 10 -3. OLyi можно выбрать в виде

%

_^⁼ _{%, А,,~}^хс1,3_{ч -$^*}

іде t>o число, такое, что функции М и Л/ непрерывны в точках -Т и +Ъ~ соответственно, и

-х о

В качестве частного случая эта теорема содержит теорему М.Лоэва [.14], известную под названием экстремального критерия. Следующая теорема представляет собой аналог известной теоремы Хинчина [29"] .

Теорема 2.2. Пусть дана последовательность серий (0.4) равномерно предельно малых и независимых в каждой серии случайных величин. Предположим, что при некотором выборе чисел (X ^ _э 1г = 1,2,..., последовательность функций распределения {*.} сумм

т.

_Д - сходится к некоторой безгранично делимой функции распределения $ = fF\ Yэ^**, М э N~l Для того чтобы функция распределения У была нормальной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения: для любого натурального I и любого ё>0

В части достаточности условие:"для любого натурального 2 " можно заменить условием:"для некоторого натурального I ".

- II -

Обозначим С (bj^) - (2(4,!?") - центр случайной величины -g (функции распределения У ).

Теорема 2.3. Пусть дана невырожденная функция распределения У , характеристическая функция которой нигде не обращается в нуль. Предположим, что C(*t, ST)= 0(^,3^-0 > Н* - 1,2.,--, при некотором t >0 . Для того, чтобы І ст. т\.(3>ъ У)⁼0 необходимо и достаточно выполнений, условий:

I) существует такая последовательность наборов функций распределения

3) для любого фиксированного натурального числа

rr*(Mn) „*№*) ~*(Мп) _л*(^им) где функции распределения у & її-

построены с использованием последовательности наборов, фигурирующих в первом условии.

В части достаточности требование "для любого натурального числа 2 " можно заменить на требование "при некотором натуральном І "

Описание множества „ дается в тексте диссертации.

Эта теорема в частности, содержит в себе теорему Круглова [l3j , теорема 3.1.

В третьем параграфе изучается связь между асимптотическим
поведением функций распределения сумм и асимптотическим поведе
нием функций распределения центральных порядковых статистик,
под последними мы понимаем порядковые статистики ftl ^с

номерами 2 , удовлетворяющими условию

lint - = Р, 0 tptl. (0.7)

Основными результатами этого параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 3.1. Пусть дана последовательность серий (0.4) рав
номерно предельно малых независимых и одинаково распределенных
в каждой серии случайных величин. Для того чтобы при некотором
выборе чисел (X/г , гь = {,,..., последовательность распределе
ний сумм угъъ

у\ - сходилась к безгранично делимой функции распределения У*= JTf У, Ъ^г, М _Р N ] , необходимо и достаточно выполнение условий:

I) для любой последовательности натуральных чисел { (n)j> удовлетворяющих условию (0.7), справедливы равенства

Д* п_к {$_лт&) = С(р) Н(«), *^0;

/~ **('-W*J --СО-р)Л/(*),*>0;

- ІЗ -в каждой точке непрерывности функций А/С⁰¹¹) и /!/(*) ;

2) ^

-=>0 л-^<*> ,_л1<& ^^

3) числа Q, ^ уы^^... , можно взять следующими

іде Ъ">о -положительное число такое, что -V и +7Г есть точки непрерывности функций М и /V ,

-X

В части достаточности требование "для любой последовательности ^ l*0j " можно заменить на условие "для некоторой последовательности { 1Ы)) ".

В диссертации имеется теорема 3.2, являющаяся обобщением теоремы 3.1 на случай разнораспределенных случайных величин.

Обозначим

й^=\ f_KH~^{y (0}-⁸⁾

среднюю арифметическую функций распределения случайных величин, входящих в ]ъ-ую серию (0.4).

Теорема 3.3. Пусть дана последовательность серий (0.4) равномерно предельно малых и независимых в каждой серии случайных величин. Предположим, что при некотором выборе чисел &_к,

її - (, ,... , последовательность функции распределения {% J
сумм рік

.Л - сходится к некоторой безгранично делимой функции распределения з% sr[y>e²,/4,/v]

Для того, чтобы предельная функция распределения была нормальной, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности натуральных чисел { Е()г)) , удовлетворяющей условию (0.7), выполнялись соотношения

Четвертый параграф посвящен сходимости моментов сумм независимых случайных величин. Особое внимание уделялось условиям сходимости моментов в терминах порядковых статистик.

Пусть функция ^С^х^> эс. є (2^> удовлетворяет условиям

1) для любых ос_;

2) Lnf (/>(«) >0.

Теорема 4.2. Пусть дана последовательность серий (0.4) неза
висимых в каждой серии равномерно предельно малых случайных вели
чин. Предположим, что последовательность функций распределения
ІТп,) сумм ^

J\ - сходится к безгранично делимой функции распределения Т- ЗГ[ \>1, ЬАу Д/J . Предположим, что величины Щ У(-гц\ J6J 4: т_{к 7} К^ 1,2,. * конечны, где у> q Qfy . Для того чтобы

О ОО

/Ъ-^оо -со -оо

необходимо и достаточно, чтобы дяя любого натурального 2 выполнялись условия:

В части достаточностд требование "для любого натурального числа с ^п можно заменить на требование "при некотором натуральном Ь ".

Эта теорема содержит в себе как частный случай теорему Круглова [із] , теорема 4.2.

Необходимые и достаточные условия сходимости моментов сумм, выраженные через моменты средних порядковых статистик, предлагает

Теорема 4.3. Пусть дана последовательность серий (0,4) независимых в каждой серии, равномерно предельно малых случайных величин. Пусть также дана функция $ ^TfL такая, что она не возрастает на ( - о , о)ц не убывает на (0, + оо ).

Предположим, что последовательность функций распределения

_Д - сходится к безгранично делимой функции распределения

-У'".»

&?1}[>1¹,М,М] и величины Му1$ф,**р*-к,Ъ>\Л

конечны. Для того, чтобы

⁰⁰ —со ~оо

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

К"^ c*o ft, — оо

со „ 1—_—

^{/г-voo *) I MM}

_{fc.7 ^l^^Ku^T* --о}

для любой последовательности натуральных чисел {(/ijj t удовлетворяющей условию (0.7).

В части достаточности условие "для любой последовательности {&)}" можно заменить условием для "некоторой последовательности

Пятый параграф посвящен глобальным предельным теоремам. Прежде чем сформулировать основные результаты этого параграфа, дадим определение средней метрики.

Каждой неубывающей ограниченной функции f(^x), x^R^, поставим в соответствие функцию ^(#) = -P(⁺<»)--f (зс) при оа>о и -f (эс) = J(-x) при Я. ± О . Пусть даны функции $ и л. из специальных классов (их описание дано в тексте диссертации) функций и две функции распределения и Q- такие, что

- o

конечны.

- oo — oo у

Назовем расстоянием P между У ^й Q величину

Теорема 5.2. Пусть дана последовательность серий (0.4) независимых в каждой серии равномерно предельно малых случайных величин. Для того чтобы последовательность функций распределения

- 17 -пгуъ Ви," ^ni

P - сходилась к безгранично делимой функции распределения

, необходимо и достаточно, чтобы:

^1} еы Л(Г_№, 3)=0,

2) для каждого натурального числа о выполнялось соотношение:

В части достаточности требование "для любого натурального 2 " можно заменить условием "для некоторого натурального t " Эта теорема, в частности, содержит в себе теорему Круглова [із] , теорема 5.3.

При формулировке теоремы 5.3 будем пользоваться функциями R, , определенными в (0.8).

Теорема 5.3. Пусть дана последовательность серий (0.4) независимых в каждой серии равномерно предельно малых случайных величин. Для того чтобы последовательность функций распределения 13^} сумм

р - сходилась к безгранично делимой функции распределения

, необходимо и достаточно, чтобы

²⁾ * . 'ш, _t 'Ajctwi g^^W^H *(t-w4 1)<И<Ы)

К.

- 18 -для любой последовательности натуральных чисел [ 2(п)] удовлетворяющих условию (0.7).

В части достаточности условие "для любой последовательности { 2(п-и " можно заменить условием "для некоторой последовательности { 1Ы) ".

В шестом параграфе мы кратко сравниваем некоторые из результатов диссертаций с цитированными выше результатами Б.В.Гнеденко и Н.В.Смирнова. Доказательство следующих теорем составляет содержание параграфа.

Пусть I - фиксированное целое, тогда справедлива

Теорема 6.1. Для того, чтобы последовательности функций рас
пределения І^м) и ( ^ът-t+Л _Л -сходились,
необходимо и достаточно, чтобы существовали функции Af(^),
ос (-«>,о) и /\/(х) , x.g(o, оо) ; такие, что

в каждой точке непрерывности функций Af и Л/ Предельные функций для последовательностей / Т *_л } и / Т* _л } имеют вид

_{г* w -і}

О, »40, Л/О), Е-1 ., чК

Пусть РМ) такова, что выполнено

-I -. ^ . *-ч . і , тогда справедлива

/*"> оо

- 19 -Теорема 6.2. Последовательность функций распределения^ «, Л Л - сходится к вырожденной функции распределения

Во второй главе мы изучаем асимптотическое поведение распределений (0.1)-(0.3). Наши результаты представляют собой обобщения соответствующих результатов А.Реньи [іОІ на случай, когда случайные величины не имеют моментов. Основные результаты второй главы составляют следующие две теоремы. Следует специально подчеркнуть, что при нашем подходе принципиальную роль играет понятие центра Золотарева. Определение центра дано в первом параграфе первой главы.

Пусть дана последовательность сумм ^= 2_ ^ ,п,= 4,2,,...> независимых в каждой сумме случайных величин. Будем предполагать, что слагаемые удовлетворяют условию равномерной предельной малости. Обозначим 2ц =5п^-С (Mnj), Д>* =. , \ feUyfifc.

Теорема 2.1. Бели _%

для каждого ос G Q ^ , тогда для любого положительного числа t найдется натуральное число А/ - /V (Л) такое, что центры

^(^frti) > 4 ~i - W'W , гъ^Л/, существуют, и выполняются равенства:

ОС 16^

(0.9)

' 0₉ ос±0;

і у kSL. _a —YZ^

О, 5Єо. ^(оло)

7ь '-"-""л,

0 , аз0 или ^'0. ^(0#II)

Фиксируем число A _;0 ^A^-1! ) и определим последовательность натуральных чисел { K^J , „/ tn,^ ₉ к- ijZj... , удовлетворяющих условию

спъ ZL о ti\ ~ А ,

л О

Теорема 2.2. Длгг Р( *л* \ $A'lv) =

сс>Г

_{Р = Jib &^ZA С гГї . ,}

На утверждения из теорем 2.1 и 2.2 можно смотреть как на обобщение теорем об асимптотическом поведении для распределений порядковых статистик, построенных по зависимым случайным величинам.

Результаты диссертаций докладывались на кафедре математической статистики факультета В/ІК МГУ; на семинаре по избранным вопросам теории вероятностей, руководимым профессорами В.М.Золотаревым, В.В.Калашниковым и В.М.Кругловым; на Пермской конференций по применению статистических методов в производстве и управлении.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах Гзо] и [31] .

Большинство постановок рассмотренных в диссертации задач принадлежит профессору Круглову В.М., которому автор выражает свою глубокую благодарность за оказанное им внимание.

Обобщенный экстремальный критерий

Пусть дана последовательность { 5п,} независимых случайных величин. Обозначим іі00) функцию распределения . Определение 0.1. Случайные величины %i,$z,.. , % расставленные в порядке возрастания 3(0 - 1(2) - - rt) называются вариационным рядом. Величина . называется I -м членом вариационного ряда или I -ой порядковой статистикой. При і - \ и і = гь мы имеем дело с экстремальными порядковыми статистиками, минимальной и максимальной. Одной из задач, которой посвящено много работ, является задача описания предельных распределений для распределения величин 1ъ- I n-J.,2.,... при надлежащим образом выбранных числах Оь и 8 ц, Первые результаты в этом направлении принадлежат М.Фреше [і]. Им был описан один из трех возможных типов предельных законов для максимального члена вариационного ряда в случае одинаково нормально распределенных случайных величин . Дальнейшее исследование - 4 было проведено Р.Фишером [2] и Л.Тйппетом [з]. ими были открыты три возможных предельных закона, В работе Р.фон Мизеса [4], в частности, введено понятие области притяжения, связанной с исследованием предельных распределений максимального члена вариационного ряда.

Наиболее полные результаты, о которых можно сказать, что они суммируют в известной степени исследования этого направления, получены Б.В.Гнеденко [б]. Он показал, что предельные распределения для максимального члена вариационного ряда в случав одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин, т.е. предел функций распределения У С n,x+pO » 6 к О и & есть соответствующим образом выбранные действительные постоянные, могут принадлежать только к одному из трех типов Л 0 .) = ехр -еосрС- )); (ехр(-асА) 9 кю, [0 , я&О, где ol - некоторая положительная константа, либо являться несобственным законом. Гнеденко Б.В. были найдены также области притяжения функций распределения к указанным трем типам, причем найдены необходимые и достаточные условия принадлежности функции распределения ГЛ) к области притяжения функции распределения Л(зс) t области притяжения ЛЛ0і(32)д Ф С ) 11 найдены в абстрактной форме. Л.Хааном [6] найдены необходимые и достаточные условия для принадлежности функции распределения Sf(pc) к областям притяжения функции \1г (ос) и Р (х) t

Смирновым Н.В. В работе [7] были исследованы предельные распре деления величин % уьк и области их притяжения в случае Sim Ц-к = р, 0 Ми когда И л п-\С постоянные. Случай Аг- оо г і \С± оо при гь «io , K-Yi- O, исследован в работе [81 Чибисовым Д.П. Доказано, что собственные предельные распределения для величин при п оо й 1С , удовлетворяющем некоторому условию, могут принадлежать только к одному из трех типов: G"3(oc)= P(oa) , где , o ф(зс) -функция распределения стандартного нормального закона. Доказаны также условия принадлежности функции распределения 3"(Л) к областям притяжения GcA , C?z р Сгз . В книге Д.Галамбоса [э] соединены вместе и дополнены результаты, связанные с предельными распределениями порядковых?, статистик. Приведены оценка скорости сходимости функции распределения максимального члена вариационного ряда к предельной, ряд теорем, связывающих сходимость функций распределения членов вариационного ряда и сходимость функций распределения сумм взаимно независимых случайных величин.

Интересный метод построения теории вариационных рядов был предложен Реньи А. [ю ] . Исходя из факта, отмеченного А.Н.Колмогоровым [її], что последовательность членов вариационного ряда образует аддитивную Марковскую цепь, предложено изучение членов вариационного ряда свести к изучению суммы взаимно незави - 6 симых случайных величин.

Используя этот подход, известные теоремы для порядковых статистик могут быть получены достаточно просто. Связь между сходимостью функций распределения сумм взаимно независимых случайных величин и функций распределения максималь ного члена вариационного ряда была отмечена Б.В.Гнеденко [12 ] : было доказано, что нормирующие множители 9И для функции рас пределения сумм И -L и функций распределения максималь ных членов пьсь х, $L и пъоих /-i/ могут быть выбраны одинаковыми, если У(эс) -функция распределения случайной величины %i - принадлежит области притяжения устойчивого закона: с характеристическим показателем d-2. . Свойства, присущие одновременно и последовательности функций распределения сумм,независимых в каждой сумме случайных величин, /5 } и последовательностям функций распределения минимального и максимального членов вариационного ряда, изучены в работе [із] Кругловым В.М. Ранее эта связь была изучена М.Яоэвым ( [и] стр. 329) в случае схемы серий в предположении равномерной предельной малости слагаемых. Другие работы, связанные с изучением порядковых статистик, освещают проблему с другой стороны.

С другой стороны эту проблему рассматривали Д.А.Дарлинг и П.Ердеш [25] . Они рассматривали предельное распределение мак-симума, следующим образом нормированных частичных сумм Зк/К при следующих предположениях: случайные величины -n,i зависимы с математическим ожиданием равным нулю а дисперсией равной I, с равномерно ограниченным третмм моментом. Некоторые интересные результаты в случае, когда %YI\ - YIYL принадлежат области притяжения некоторых устойчивых законов, получены Д.А.Дар-лингом [26 ] и К.К.Хейди [27] ; в частности, для Уг пгвл- выписана предельная плотность распределения. Обобщением результатов Д.А.Дарлинга является работа Невзорова Б.В. [28] . Отличительной чертой перечисленных выше результатов являются требования конечности моментов определенного порядка у случайных величин.

Глобальные предельные теоремы

Этот параграф посвящен выяснению условий сходимости функций распределения сумм независимых случайных величин в средней метрике , определение которой приведено ниже. Как и в предыдущих параграфах, особое внимание уделяется условиям сходимости, выраженным в терминах порядковых статистик.

Определение 5.1. Непрерывная функция й(сс) , x R принадлежит классу U , если она обладает, свойствами 1) для любого о СкЯ Q-CX) 0; 2) для любого oL o найдется число C(d) 0 » такое, что tyU HCU) ) для всех xeRi; 3) существуют положительные числа ЗЄ: = \(Л) \ = -1-»2 з такие, что 0.(х)- -(: дАС.36-) всех я &і.. Примером может служить функция fo(jx) \я\", у Оь жЄ R . Определение 5.2. Непрерывная функция tyC.oc) э ое Ц, принадлежит классу -± , если она обладает свойствами: 1) - четная функция, л)г( о) = 0 и строго возрастает на полуоси [ о, + со) 2) существует число L- cL("V) 0 , такое, что - (сл) (рс)С , каковы бы ни были scef a С,0 -6М; 3) для любых я , и в , выполняется неравенство Примером может служить функция Определение 5.3. Непрерывная функция ( -). В , принадлежит классу ; » если она обладает свойствами: I) \J - четная функция, (р(о) = 0 и строго возрастает на полупрямой р; + оо) ; - 84 2) существует число А AM Ьі такое, что неравенство (« ч А С ММ) справедливо для всех зс б Примером может служить функция (а)= л) В . Замечание 5.1. Если LJ е (У 2. » то наиДетя постоянная $г\ такая, что (к ) (ос) для любого хє Доказательство. Пусть, например Lf G "st и х , тогда имеем В качестве ф можно взять число 2А. С каждой неубывающей функцией С ) э эс R , свяжем функцию Определение 5.4. Пусть даны функции в U (fy U Назовем расстоянием между функциями распределения Sf и Q. величину - со Заметим, что о( э0Л заведомо оказывается конечной, если конечны интегралы Это следует из свойств функции . Пусть, например, 5 . Имеем ?№,Q 1 U -GrW) qjH dec = о — \ -00 со -оо - 85 О оо 4 A U H) ( 4hH +A%(.Grc4 (i c4]v = -оо О = А (УЦ с )л + A (QWV«0 -со с э Отметим очевидные свойства расстояния 9 : симметричность, т.е. (.=Р (Gr, ї) Ї не отрицательность ( % () Q ; аналогом неравенства треугольника служит неравенство где CU =i .если j =± и CC j)-A(if), если \ - 2. Симметричность и неотрицательность расстояния Р очевидны, докажем справедливость для Р аналога неравенства треугольника. Действительно, пусть, например, tj? Q Ц . Для любых функций распределения У , Q- и ($ имеем оо -оо CO = A L?Cy, &) + ()] Если фиксировать функции UP и О- , то естественно поставить вопрос о классе функций распределения, для любой пары функций, из которого конечна величина ? . При этом приобретает смысл и интерес вопрос о сходимости последовательностей функций распределения из этого класса по расстоянию Р Нам потребуется один результат. Теорема 5.1. Пусть дана последовательность серий независимых в каждой серии равномерно предельно малых случайных величин. Для - 86 того чтобы последовательность функций распределения /jjf сумм т.п. о - сходилась к безгранично делимой функции распределения У= 5 Г у,?,2",М, Л/] » необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: 1) & , Л( Д) = 0; 2) вып. ОР W? KH l 4 u od = o. Доказательство можно найти в [38].

Теорема 5.2. Пусть дана последовательность серий независимых в каждой серии равномерно предельно малых случайных величин. Для того, чтобы последовательность функций распределения {$ } сумм ?п, = -Л- , = /,2,,... , Jr4 / - сходилась к безгранично делимой функций распределения 5F 3 [ $ & МsNj , необходимо л достаточно, чтобы 2) для каждого натурального числа с выполнялось соот ношение : В частя достаточности условие "для каждого натурального часла 2 " можно заменать на условае"для некоторого натурального і ". Доказательство. Ееобходамость. В предыдущем параграфе была доказаны неравенства - 87 -для С і1ґ L1L с О д всех достаточно больших гъ и для 1r . Ю - с и всех достаточно больших Уь , Постоянная А от ft, , to и 1Ґ не зависит. Устремив в первом наревенстве to к -v оо , а во втором неравенство 1/ к - оо , долучим і - У для всех Zr . С и всех достаточно больших }ь и го, . У Ы А У Ы для всех to - С и всех достаточно больших гь . Возьмем натуральное число К , А to всех достаточно больших гь и любого R C получим, что U zTpC\ini\ l«u)Ax ь" \1(.РС\ -Ъса!) - 88 Здесь мы воспользуемся замечанием 5.1. По теореме 5.1 выполняется условие I). Привлекая второе условие теоремы 5.1, получим о Необходимость доказана. Достаточность. При доказательстве достаточности условий в теореме 4.2 мы установили, что найдутся числа А 0Э 0 и такие, что К-л для любых Л., л . Д Л . Устремляя Zr- oo и ое. -= со , получим, что Возьмем натуральное число L такое, чтобы L . Г . По замечанию 5.1 имеем - 89 Из условий 2) и теоремы 5.1 следует, что последовательность функций распределения { %,J Р - сходится к У. Тяорема доказана. При формулировке и доказательстве следующей теоремы мы будем пользоваться функцией , определенной в (3.7). Теорема 5.3. Пусть дана последовательность серий (I.I), независимых в каждой серии равномерно предельно малых случайных величин. Для того, чтобы последовательность функций распределения [J-J сумм ге A(%j)-o, О - сходилась к безгранично делимой функции распределения 5 = 3"l If Л, М 3Mj , необходимо и достаточно, чтобы I) Ь VKLOW Ч адЙ М \ &m, Гг[{ 1Ы = JO, 0 р + 1 для любой последовательности натуральных чисел { 1ш] , удовлетворяющих условию -і В части достаточности условие "для любой последовательности { Е( )} " можно заменить условием "для некоторой последовательности (ЕЫ) ". Доказательство. Необходимость. Из (3.8) вытекает неравенство lU Л,,илі% (2-9) ( Ч - )/г &/ЮЛЄОЦ им-"" 7 -np (n. ) \ 1 Цп і = иээии ааіпзїґ Из/Л і ; 9ЇЙ (1 9) Диолеоп и . :Л5,К"а) 06 - 91 -где Из (5.1) и (5.2) следует, что UA 0 ГС с-м-з Ц для любого Х 0. По теореме 5.1 условие (I) выполнено. В силу монотонности функции имеем ШЫ4" -№ 1 00 ПЧи , Л На последнем этапе мы воспользовались свойством функции 4 из замечания 5.1. - 92 -По второму условию теоремы 5.1 имеем к со )пг Ест. C(A fta) MP(\VA 4 Hd =0 Необходимость доказана. Достаточность. Из (3.8) следует, что (4)1( (4 0- 4 ял») Из условия равномерной предельной малости следует, что rt- oo Следовательно, найдется натуральное число Н , такое, что % (І-Й,(4 Й (І- Ї v і - 93 -Для а . /V, и ог І. -J_ лмеем ЩН (5.3) / пцЛ VIEW, ч Йг \Г-К « Далее имеем ЧВД (W-i)K N\ V («кМК ем)! R,W к; И m- -ecwj+i В силу равномерной предельной малости случайных величин имеем, - 94 Поэтому найдется натуральное число Д/ такое, что для всех К М и ое , i. . to h. - ДГ и ее 2-і имеем Поэтому А Ч АмЯ л(М ), (5.4) тае Из (5.3) и (5.4) следует, что для oc i. и )ъ ї»ьал! (\1 Ng J выполняется неравенство к (о г \ 1 w. f J о , Л К Мм) VA І "SA і- адН - 95 где 4 - ntln ( {)І Л Воспользовавшись тем, что функция возрастает на положительной оси, получим Л, оо pv -1 Выберем натуральное число К Ф Привлекая замечание 5.1, для R-M и уіг г июс (АГ /\L) Далее имеем С «/ А г/ W , \У(а М). Из этих неравенств и условия 2) следует, что fern, 4u.p (? Р(\ МДИ =0. По теореме 5.1 iCfiv PV i- о" ) = 0. Теорема доказана - 96 6. Предельные распределения для порядковых статистик

Вспомогательные утверждения

В предыдущей главе мы занимались исследованием асимптотических свойств порядковых статистик, построенным по независимым случайным величинам. В этой главе мы рассмотрим асимптотическое поведение величин типа где \Ууь} некоторая последовательность натурных чисел, к, " rv 4 K WW" , + IK.- частйчная с?ша » $mjrA " 3 независимых случайных величин. Нет необходимости специально останавливаться на объяснении того, что указанные величины играют роль порядковых статистик, построенным по частичным суммам. В отличие от первой главы здесь мы будем следовать методу А.Реньи [Ю]. Доказанные в этой главе результаты представляют собой обобщение соответствующих результатов из [ю] на случай, когда исходные случайные величины не имеют каких-либо моментов. Принципиальную роль при этом играет используемое нами понятие центра случайной величины, введенное В.М.Золотаревым [Зб] .

В этом параграфе будут приведены вспомогательные утверждения, которые потребуются для доказательства основной теоремы.

Пусть в К - мерном евклидовом пространстве ( задана последовательность вероятностных мер ( } . По определению, последовательность { Q- } слабо сходится к вероятностному распределению Q- , если для любой непрерывной и ограниченной функции ( х), #. Ry, . Напомним, что границей множества AeR., называется мяожест в0 [Л] О LR \(\1 .we [ft ] -замыкание ft . Лемма I.I. Пусть даны вероятностные распределения Q Q гь»A,,2,,..., на Кчлерном евклидовом пространстве . Если последовательность Gr J слабо сходится к Q , то для любого борелевского множества (\& R.. , граница которого имеет нулевую Q- -меру, выполняется равенство

Доказательство можно найти в [39] стр. 21-25. Лемма 1.2. Пусть дана последовательность сумм случайных величин, удовлетворяющих условию равномерной предельной малости. Для любого t 0 найдется натуральное число /V такое, что центры C(t, $кі) , -І І ЇЧ , существуют для всех K, ./V. Кроме того, случайные величины 1? .= $ъ\ (%% {) \i\±Y\ у УЪ ъ N, также удовлетворяют условию равномерной предельной малости Доказательство. Обозначим f у» характеристическую функцию случайной величины nj .Из условия равномерной предельной малости следует, что Нот таж I (і)- // = 0 (І 2) равномерно относительно - в любом конечном интервале. Доказательство можно найти в Г40І стр. 86. Поэтому, для любого Ъ - 105 найдется натуральное число Л/-/\/( ) такое, что .МфО

Пусть дана последовательность сумм (I.I). Предположим, что слагаемые, независимые внутри каждой суммы случайных величин, удовлетворяют условию равномерной предельной малости. Если последовательность функций распределения /3 1 j\ - сходится к стандартной нормальной функции распределения ф , то для любого X 0 найдется натуральное число /V такое, что существуют центры Cf Cfffu)) М/і fb M І. 2. Доказательство. у\. - сходимость последовательности функций распределения / # } к р влечет равенство , -ч _ t2/a , Следовательно, найдется натуральное число М= M(t) такое, что П -f (04 0 - всех frb у /V «Это гарантирует - 107 существование центров С( У {fjfcm, 1 - По свойству центров имеем Заметам, что 1 4 іде Е , . , как обычно, обозначает функцию распределе ния случайной величины с вероятностью единица равной - C ihJ По лемме 1.3 из главы I имеем Из (1.4) и предположения о J\. - сходимости последовательности функций распределения { J к Ср следует, что fon А( Я К і,Ф)«0. (1-5) Ц, Свертка ИК И,; является функцией распределения суммы независимых случайных величин. По лемме 1.2 случайные величины V и Ібі т пьАЇ, удовлетворяют условию равномерной предельной малости. Условия 1-3, как известно ( [40] стр. 99) являются необходимыми и достаточными для _Д сходимости последовательно-сти функций распределения { П Н/ ( \ к стандартной нормаль-ной функций распределения ф . Лемма доказана. Будем считать выполненными условия леммы 1.3. Пусть / - натуральное число такое, что существуют центры С ( С; hij , где - 108 -обозначим 7Z С uZ I и ( л \ Л По лемме I.3 имеем, что СІҐҐЬ & = і. . (j ел Фиксируем натуральное число К. Для каждого натурального числа 1 Н і - \С j выберем наименьшее натуральное число fYi — j7 ( "N , удовлетворяющее условию J = i d а для =o положим ко Из условия равномерной предельной малости слагаемых имеем, что Действительно, пусть задано , О J. » имеем Из определения величины #, . имеем Привлекая лемму 1.2 и тот факт, что число 0 можно выбрать произвольно малым, получим - 109 и, следовательно, справедливо (1.8). Рассмотрим Справедливы неравенства а аналогично J= г Справедливость неравенств следует из (1.7) и из условия выбора /77 т . Отсюда имеем Перейдя к пределу при гъ- 5 оо и использовав соотношения (1.6) и (1.8), получим для каждого фиксированного I 1 с - к- Лемма 1.4. Бели выполнены условия леммы 1.3, тогда для каждого , , 1± к, - по lino Л( Щ К ,%)-(), где Ф - нормальная функция распределения с параметрами О и Ук . т-е- Рк(.х) = Ф(лГк ж).

Предельные теоремы для частичных сумм

Пусть дана последовательность сумм независимых в каждой сумме случайных величин. Будем предполагать, что слагаемые удовлетворяют условию равномерной предельной малости. Обозначим, как и раньше, . = f - C( f :) . Доказательство. Существование центров \ jimj для дан ного t 0 и всех 4 -Л 171 , /V=/V(t) доказано в лемме 1.2. аксируем % 0 и будем считать, что M("t)-L. Предположение /V(4) - L делается ради сокращения речи, чтобы не оговариваться всякий раз, что центры существуют при ль /V. Докажем равенство (2.2). Мы находимся в условиях леммы 1.3. Фиксируем натуральное число \С и определим числа е t-\C как указано в (1.7). Для сокращения записи у 1 будем опускать индекс Уь , и . будем писать 14 р вместо JU . Обозначим - 118 -Пусть натуральное число , удовлетворяет неравенствам №. 4. t лг. . Для этого t и ё 0 обозначим дW--P(( Sw «J МН Ц-VW) Очевидно, что Обозначим В силу независимости событий о / . - Srifc " J а / /n c /Зп %;иь Х f получаем Пк1Сос) = Joft-c ; (2.6) СО о о - 119 -Докажем, что їй д со h (2-7) для каждого І , К і і К . По лемме 1.4 последовательность функций распределения сумм &W , П-U,..., (2.8) независимых случайных величин j\ - сходится к нормальной функции распределения Фк( ) = ФС ІК ) Случайные величины Щ \= ,+ bum. " Ph,t п . ь есть слагаемое суммы (2.8). Обозначим Gp J., Функцию распре деления разности g - $ , Л СО - У&Ч (.0. Для каждого VI/ найдется 4- t такое, что V = P r ) По лемме I.I из главы I последовательность функций распределения { G)j, vY компактна. Возьмем последовательность {ftj такую, чтобы І її - ""4 Из последовательности { It J выделим подпоследовательность {jij такую, чтобы последовательность функции распределения {Qj,»- „J J\ - сходилась к некоторой функции распределения Q. . Из равенства и А - сходимости последовательностей Й / 1 й {fid! J к Фі/ и Gr с помощью теоремы 1.3 из главы.I убеждаемся, что f 1 7 также последовательность функций распределения V Щ Ки,у Г - сходится к некоторой функции распределения D . Из (2.9) заключаем, что ф =. Q -х R, .По теореме Крамера о разложении нормального закона следует, что Gr я ]\, являются нормальными функциями распределения.

Аналогично можно доказать, что математическое ожидание функции распределения гъ равно нулю. Если -f и J? независимые случайные величины с функциями распределения 6- й (5 » то + !? имее.т функцию распределения Фк . Нормальные случайные величины 5 и j? имеют нулевые математические ожидания, как только что было показано, следовательно, они симметричны. По неравенству Лещ имеем P(\3l g) 2.P(\f +?h g) По неравенству Чебыщева получим, что Таким образом, имеем - 121 -Другими словами, наїли доказано неравенство (2.7). Оценим теперь П ( 0 . считая, по-прежнему, что влекут событие S S Pn: " J ПоэтомУ имеем J Р (т,съх Е ; $т х; (x-g)) й СобЫТЙЯ / / С щ їх.-, tfyiAt ъ л }, l b rn попарно не совместны, поэтому получаем (Я) S V П/ А і-сил -о Неравенство пьК Lz) (2.10) П Ос) { -Q (л-О, равенство (2.5) и соотношения (2.6) позволяют написать z: гі и-іг пс («о г /гс ч«) й t-A Отсюда получаем = z. п„ „ с ) б І«Л д w с ос - э;Н+ + i-GLwСж-0 - Л &h ; U) м-Gi (= -0 "- -UKK " А (О Следовательно Кроме того, справедливо неравенство Окончательно получаем QVUKС -0 - _ е&) t 5 0 0«= Q KС=0. (2 для всех зь, & 0, Уь И К . По лемме 1.5 имеем т для каждого оо . Это равенство вместе с (2.7) и (2.II) даст t Т ч 4 и .-к м Н МКУ По лемме 1,7 имеем Устремляя к нулю, получим (2.2). Доказательство равенства (2.4). Фиксируем вещественные числа ос и Ц такие, чтобы - г оа. . Обозначим Пусть натуральное число К удовлетворяет условию M t ±mj при некотором /, ±1± \С «Для этого г a g o,-y+g xng, получим где 10 п =р(-г , ЖА4:с; 4(1я); Мк-Я: Н-1-\Д) С ) "І - Поступая так же, как при доказательстве (2.6), получим Оценим теперь П 0 ) сч1 тая по-прежнему, что утї. e,fc ЙІ: События [ л С" Л)І 0 " 11ЛГУ влекут событие { . $(- -6, : -)} ПоэтомУ ймевм П Ы х) t р(-Ч , 4е-упЛ/0С Л 1 События -4Е фыг& 40С; ( )j, Д не совместны. Имеем =, к У Р(;с/(4 .Ф(т Неравенство равенство (2.12) а неравенство (2.13) позволяют нашсать - 126 CO ОС ) t Y. 6 Следовательно, CO Кроме того, справедливо очевидное неравенство Vb Окончательно приходим к неравенству Q -0 - ж дк 6) Ч УЬ у ф»ч - 127 Из леммы 1.6 и (2.7) получаем 1С

Похожие диссертации на Сумма и вариационный ряд независимых случайных величин

Неравенства для рядов из вероятностей больших уклонений для сумм случайных величинГассан Ахмед Абуд

Асимптотические разложения с явной оценкой констант для экспоненциальных моментов сумм случайных величин, определенных на цепи Маркова, и их применения к предельным теоремам для моментов достиженияАбадов, Закир Абдурахман оглы

Некоторые применения операторных методов в предельных теоремах для сумм случайных величинЧан Лок Хунг

Скорость роста сумм случайных величинЕгоров, Владимир Алексеевич

Асимптотические задачи изучения распределения геометрической суммы случайных величинЭль Сайед Хассан, Салех Нушед

Асимптотическое поведение самонормированных сумм случайных величин Жукова Галина Николаевна

Свойства самонормированных сумм случайных величинЖданов Игорь Игоревич

Уточнение структуры моментных оценок скорости сходимости в предельных теоремах для сумм независимых случайных величинНефедова, Юлия Сергеевна

Оптимизация структуры моментных оценок точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величинШевцова, Ирина Геннадьевна

Предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин и случайных процессовФролов Андрей Николаевич