Введение к работе
Актуальность темы. Развиваемая в диссертации математическая теория запасов направлена на исследование стохастических моделей, описывающих процессы производства и потребления. Любые производственные процессы (и не только они) являются в конечном счете процессами создания запасов для будущего потребления. Поэтому построение адекватных математических моделей таких процессов, а также получение выводов в рамках изучаемых моделей имеет очень большое значение.
Математическая теория запасов возникла менее 50 лет назад благодаря работам K.J.Arrow, T.Harris, T.Marschak, A.Dvoretzky, J.Kiefer, J.Wolfowitz. Тогда же сложилась традиция широкого использования в теории терминологии, идущей от приложений. До 50-х годов нашего века велись отдельные исследования некоторых детерминированных моделей. Согласно обзору T.Whitin'a до 1953г. насчитывалось 180 таких работ. Среди ранних результатов отметим известную формулу Wil-sorfa (которую связывают также с именами K.Andler, B.Marganinsky, K.Steffamc-Allmayer, F.Harris), описывающую оптимальный размер заказа как определенную функцию от размера потребления. Единственной н весьма простой стохастической моделью, возникшей в годы Второй мировой войны, была модель "продавца газет" Ph.Morse и G.KimbeH'a. вошедшая ныне в большинство учебников по исследованию операций.
С 50-х годов до настоящего времени теория запасов прошла в своем развитии несколько важных периодов. Исследования таких авторов как R.Bellman, J.Glicksberg, О.Gross привели к созданию динамического про-грамирования, послужившего основой решения большинства задач в рамках так называемого "стоимостного подхода"', связанного с минимизацией средних издержек. Большой вклад в развитие этого направления внесли S.Karlin, Н.Scarf, A.Clark, J.H.Girlich, H.Klemm. R.Grubstrom, E.Silver, S.Axater и многие другие ученые.
С начала 50-х годов начинает развиваться и то направление, которое получило название теория хранения или теория водохранилищ. В отличие от задач, непосредственно связанных с производством, где предполагалось, что необходимо выбрать наиболее рациональный способ пополнения запасов для удовлетворения будущего спроса, который случаен, здесь специфика состоит в следующем. Считается, что будущее потребление (воды) задано, т.е. ведется по определенному правилу, а
поставки (приток воды) случайны, иначе говоря, описываются некоторым случайным процессом. Существенный вклад в создание и развитие этого направления внесли P.A.P.Moran, J.Gani, N.U.Prabhu.
С середины 60-х годов возникает новый "надежностный подход" в теории запасов. Пионерской работой в этой области была статья А.Ргёкора 1964г. Данный подход ориентирован на те ситуации (прорыв плотины, другие катастрофы), когда в качестве целевой функции не следует выбирать лишь возникающие издержки. Перспективность такого подхода обеспечивалась глубокими результатами, полученными в математической теории надежности Б.В.Гнеденко, А.Д.Соловьевым, И.Н.Коваленко, В.А.Каштановым, Ю.К.Беляевым, их коллегами и учениками. Важно подчеркнуть, что с начала 70-х годов разворачиваются исследования в области теории водохранилищ, связанные с введением управлений.
После нефтяного кризиса 1973г. во всем мире усиливается интерес к детерминированным моделям, связанным с централизованным планированием производственных процессов, запасов сырья и полуфабрикатов. В 1975г. выходит монография J.A.Orlicky "Material Requirement Planning", посвященная этим проблемам. Ведущие японские компании вкладывают средства в теоретические исследования нового направления в теории запасов, получившего название синхронизации поставок и потребления. Основы этого направления заложены T.Ohno(1982-1986), K.Suzaki (1985), S.Shingo (1985-90). Цель этого подхода - по возможности сократить уровень запасов (в том числе до нуля) и тем самым уменьшить издержки. В 80-е годы идеи этого направления начинают распространяться на США и Западную Европу. К началу 90-х годов появилось уже более 1000 работ в журналах, а также книг по системам с синхронизацией ("just-in-time*1). Среди них - исследования R. W.Hall, Y.Monden, S.Jordan, W.E.Deming. T.P.Ryan, R.J.Schonberger. M J.Schniederjans. H.Groenvelt, U.S.Karmarkar, S.Kerkre и др. Однако до настоящего времени имеется очень мало работ (J.A.Buzacott, D.Mitra. I.Mitrani, P.H.Zipkin), в которых делаются попытки учесть в подобной ситуации возможность случайных возмущений детерминированных процессов (задержки в доставке, брак производства, выход из строя оборудования и др.). Дестабилизирующее воздействие на экономические процессы жестких систем планирования без буферов в виде запасов ярко проявилось во время землетрясения 1995г. в Кобе, когда производство
остановилось из-за отсутствия запасов и невозможности поставок вследствие разрушения коммуникаций.
Таким образом, мы видим, что задачи математического изучения проблем теории запасов не только не теряют своей актуальности, но становятся особенно важными в периоды сложных экономических потрясений. В диссертации развиваются все указанные выше математические подходы к теории запасов. При этом на многие разрозненные задачи удается взглянуть с единой точки зрения исследования случайных блужданий (в том числе в случайной среде). Отметим также, что классификация моделей теории запасов, предложенная автором на I Международном Симпозиуме по исследованию запасов (Будапешт, 1980г.), является ныне общепринятой.
Однако основной вклад автора в данную математическую область состоит в создании целостной теории устойчивости случайно возмущенных систем с синхронизацией поставок и потребления. Также актуальным и перспективным является предложенный статистический подход к построению асимптотически оптимальных политик управления запасами, основанный на использовании эмпирических распределений. Тем самым преодолевается главная трудность на пути практического применения разработанных теоретически оптимальных политик, поскольку ранее всегда предполагалось, что распределение спроса хотя бы частично известно.
Цель работы - решение следующих взаимосвязанных проблем современной математической теории запасов.
-
Создание теории устойчивости случайно возмущенных систем с синхронизацией поставок и потребления.
-
Разработка нового подхода к определению асимптотически оптимальных политик управления запасами в условиях неизвестного распределения спроса.
-
Анализ асимптотического поведения моделей с дискретным временем на основе диффузионных приближений.
Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с помощью сочетания методов преобразований Лапласа, факторизации Винера-Хопфа и сходимости мер в функциональных пространствах. Использован также аппарат теории случайных процессов (про-
цессов восстановления, регенерирующих и марковских).
Научная новизна работы состоит в следующем.
-
Впервые исследована устойчивость случайно возмущенных систем с синхронизацией поставок и потребления. Установлена неустойчивость к малым случайным возмущениям широко применяемых на практике систем типа "just-in-time". Доказано, что введение многоуровневых управлений приводит к стабилизации неустойчивых систем. Введена новая целевая функция, характеризующая функционирование системы и найден вид оптимального управления. Таким образом, построена законченная теория устойчивости случайно возмущенных систем с синхронизацией поставок и потребления.
-
Впервые введены в рассмотрение дважды стохастические модели теории запасов, позволяющие более адекватно описывать реальные системы. Анализ поведения таких систем потребовал исследования моментов пересечения уровня случайными блужданиями в случайной среде, что в свою очередь позволило уточнить соответствующие результаты для неуправляемых систем.
-
Предложен новый подход к построению асимптотически оптимальных политик управления запасами в условиях неизвестного распределения спроса, позволивший преодолеть основную трудность в применении на практике теоретически разработанных оптимальных политик (найденных в предположении, что распределение спроса известно).
-
Обобщены управляемые модели с непрерыным временем (M.J.Faddy. F.A.Attia, P.J.Brockwell, D.Zuckerman и др.), показано, что процессы, описывающие введенные автором модели, являются предельными для соответствующим образом нормированных процессов с дискретным временем.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее основная ценность состоит в том, что созданная автором теория устойчивости стохастических моделей управления запасами ориентирована на построение оптимальных режимов функционирования сложных систем, представляющих интерес для приложений. Такие системы возникают не только в математической теории запасов, но и в теории массового обслуживания, теории надежности, теории страхования и других областях применения современной теории
вероятностей.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на многих конференциях в нашей стране и за рубежом, в том числе на Международном конгрессе математиков в Москве (1966 г.), на I, III, IV, V, VI Международных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике (1973, 1981, 1985, 1989, 1993гг.), на I Всемирном конгрессе общества Бернулли (Ташкент, 1986г.), на двенадцати Международных семинарах по проблемам устойчивости стохастических моделей в период 1979-1998 гг., на всех десяти Международных симпозиумах по теории запасов в Будапеште (1980-1998 гг.), на Международном симпозиуме по исследованию операций в Пассау (1995г.), на 21-27 Всепольских конференциях по приложениям математики в 1992-98 гг. и др. Неоднократно делались доклады на Ломоносовских чтениях в МГУ, научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета и факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, ЦЭМИ РАН.
По теме диссертации были прочитаны лекции и доклады в университетах Бухареста (1973г.), Берлина (1974г., 1990г.), Дрездена (1974г.), Лейпцига (1974г., 1989г.), Будапешта (1985г.), Софии (1986г.), Ульма (1990г.), Магдебурга (1995г.), Лондона (1998г.).
В 1998г. решением Исполкома Международного общества по исследованию запасов (ISIR) Е.В.Булинской присуждена медаль "За выдающийся вклад в развитие математической теории запасов".
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырехглав, списка литературы (219 наименований) и списка публикаций автора по теме диссертации (64 наименования). Объем работы 271 страница.
Данная работа основана на результатах исследований, проводившихся автором в течение многих лет на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета МГУ. Автор пользуется возможностью выразить искреннюю признательность всем сотрудникам этой кафедры, возглавлявшейся Андреем Николаевичем Колмогоровым, Борисом Владимировичем Гнеденко, а ныне - Альбертом Николаевичем Ширяевым, за творческую, доброжелательную атмосферу и постоянную поддержку.
