Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию ряда общих стохастических моделей рынков ценных бумаг с точки зрения теории арбитража. Основное внимание уделяется моделям с дискретным временем. Исследованы модели с ограничениями на портфель, с операционными издержками, с бесконечным горизонтом, модели больших рынков. Получен ряд новых критериев безарбитражности, допускающих вычислительно осуществимую проверку. Исследованы некоторые математические задачи, тесно связанные с изучаемыми вопросами: задача о мартингальном выборе, теорема Крепса-Яна, вопрос о существовании эквивалентной супермартингальной плотности для разветвленно-выпуклого семейства случайных процессов.
Теория арбитража является краеугольным камнем стохастической финансовой математики. Согласно принципу отсутствия арбитража любая модель рынка должна быть устроена таким образом, что инвестор (участник торгов, спекулянт) не может получить прибыль без риска при отсутствии начального капитала. Другими словами, не существует инвестиционной стратегии, не требующей начального капитала и приносящей неотрицательный доход, который положителен с положительной вероятностью.
Привлекательность принципа отсутствия арбитража обусловлена тем, что сделанные предположения минимальны и экономически убедительны. Он позволяет указать наиболее широкие классы случайных процессов, которые могут быть использованы для описания цен активов (при заданных правилах торговли), и определить интервалы безарбитражных цен платежных обязательств.
Принцип отсутствия арбитража упоминался еще основоположником финансовой математики Башелье1 , который не использовал термина «арбитраж», но говорил об «операциях, в которых одна из договаривающихся сторон получает прибыль при любых ценах», и о том, что «подобная разница (цен) никогда не возникает на практике». В той же работе Башелье ввел процесс броуновского движения с целью описания цен первичных активов («ренты») и расчета цен платежных обязательств (форвардных контрактов и опционов). При этом, фактически, использовалась идея о том, что цены активов являются мартингалами.
Новый импульс развитию финансовой математики был придан работами Блэка, Шоулза и Мертона2. С использованием принципа отсутствия арбитража и теории стохастического интегрирования Ито в них была однозначно определена цена Европейского опциона в модели, где динамика цен рисково-
1 Bachelier L. Theorie de la speculation //Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1900. Vol. 17. P. 21-86.
2Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities //J. Polit. Econ. 1973. Vol. 81, no. 3. P. 637-654. (1973); Merton R.C. Theory of rational option pricing // Bell J. Econ. Manag. Sci. 1973. Vol. 4, no. 1. P. 141-183.
го актива описывается геометрическим броуновским движением. Ключевую роль при этом играет полнота рассматриваемой модели рынка: начальный капитал, необходимый для воспроизведения платежного обязательства, совпадает с ценой последнего.
В общем случае условие отсутствия арбитража приводит к существованию строго положительного функционала (ценообразующего правила), обладающего свойством согласованности: он приписывает существующие цены всем имеющимся на рынке активам и безарбитражные цены любым новым активам. Результаты об эквивалентности условия отсутствия арбитража и существования согласованного ценообразующего правила объединяются под названием «первая фундаментальная теорема теории расчета цен финансовых активов». Впервые результаты такого рода были сформулированы в работах Росса3. Термин «первая фундаментальная теорема» введен в работе Дубвига и Росса4.
В динамических моделях рынков, где цены первичных активов описываются некоторым случайным процессом S, в классических работах Харрисона и Крепса, Харрисона и Плиски5 было подчеркнуто, что условие отсутствия арбитража равносильно существованию эквивалентной мартингальной меры для S. При этом согласованное ценообразующее правило определяется математическим ожиданием по эквивалентной мартингальной мере. Таким образом, была установлена связь теории арбитража с теорией мартингалов.
Дальнейшее развитие теории арбитража было связано с различными обобщениями данных результатов, а также анализом новых моделей и условий безарбитражности. Состояние данной теории к концу прошлого века освещено в обзоре Кабанова6 и монографии Делбаена и Шахермайера7. Укажем наиболее известные результаты.
В модели с дискретным временем и конечным горизонтом теорема Да-ланга-Мортона-Виллинджера8, в случае произвольного вероятностного пространства и произвольного согласованного с фильтрацией процесса цен S, устанавливает эквивалентность условия отсутствия арбитража и существования эквивалентной мартингальной меры для S. В модели с операционными издержками, предложенной Кабановым9, аналогом этого результата
3Ross S.A. The arbitrage theory of asset pricing //J. Econom. Theory. 1976. Vol. 13, no. 3. P. 341-360.
4Dybvig P.H., Ross S.A. Arbitrage //The New Palgrave: a Dictionary of Economics / Ed. by Eatwell J., Milgate M., Neuman P. London: Macmillan, 1987. P. 100-106.
5Harrison, J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets //J. Econ. Theory. 1979. Vol. 20. P. 381-408. (1981); Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading //Stochastic Process. Appl. 1981. Vol. 11, no. 3. P. 215-260.
6Kabanov Yu.M. Arbitrage theory // Handbook of mathematical finance. Option pricing, interest rates and risk management / Ed. by Jouini E., Cvitanic J., Musiela M. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. P. 3-42. (2001)
7Delbaen ., Schachermayer W. The mathematics of arbitrage. Berlin: Springer, 2006.
8Dalang R.C., Morton A., Willinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models // Stoch. Stoch. Rep. 1990. Vol. 29, no. 2. P. 185-201.
9Kabanov Yu.M. Hedging and liquidation under transaction costs in currency markets // Finance Stoch.
является утверждение об эквивалентности условия робастного отсутствия арбитража и существования строго согласованного процесса цен10. В обоих случаях условия безарбитражности носят алгебраический характер.
При рассмотрении моделей с непрерывным временем и/или бесконечным горизонтом необходимо использовать топологические версии условия безарбитражности. В работах Делбаена и Шахермайера11 было установлено, что условия отсутствия бесплатного ленча с исчезающим риском, предполагающего расширение множества достижимых капиталов за счет замыкания по , достаточно для существования эквивалентной локальной мартин-гальной (в общем случае, сг-мартингальной) меры.
Наконец, в модели «большого рынка», предложенной Кабановым и Крам-ковым12 и представляющей собой последовательность обычных моделей рынков с конечным числом первичных активов, условия отсутствия асимптотического арбитража и наличия сильного асимптотического арбитража выражаются в терминах контигуальности и асимптотической разделимости последовательностей эквивалентных (локальных) мартингальных мер.
В настоящее время теория арбитража остается активной областью исследований. В частности, большое внимание привлекают модели с операционными издержками: условия безарбитражности в моделях с дискретным временем рассматривались в работах Кабанова, Рашоньи и Стрикера13, Шахермайера14, Григорьева (2005), Кавал и Молчанова (2006), Демпстера, Евстигнеева и Таксара (2006), Бушара (2006), Валери, Кабанова и Стрикера (2007), Жака, Беркаоуи и Варрена (2008), Рашоньи (2008), в моделях с непрерывным временем — в работах Гуазони (2006, 2008), Черного (2007), Гуазо-ни, Рашоньи и Шахермайера (2008, 2009), Кабанова и Стрикера (2008) и др. Современное состояние теории арбитража в моделях с операционными издержками отражено в монографии Кабанова и Сафарьяна15.
После основополагающих работ Росса, Хубермана16, Кабанова и Крам-кова (1994, 1998), Клейн и Шахермайера (1996) модели больших рынков
1999. Vol. З, по. 2. Р. 237-248.
10Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time // Math. Finance. 2004. Vol. 14, no. 1. P. 19-48.
11 Delbaen F., Schachermayer W. A general version of the fundamental theorem of asset pricing // Math. Annalen. 1994. Vol. 300, no. 1. P. 463-520; Delbaen F., Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes // Math. Annalen. 1998. Vol. 312, no. 2. P. 215-250.
12Кабанов Ю.М., Крамков Д.О. Большие финансовые рынки: асимптотический арбитраж и контигу-альность // Теор. вероятн. и ее примен. 1994. Т. 39, № 1. С. 222-229.
13Kabanov Y., Rdsonyi М., Strieker С. No-arbitrage criteria for financial markets with efficient friction // Finance Stoch. 2002. Vol. 6, no. 3. P. 371-382; Kabanov Y., Rdsonyi M., Strieker C. On the closedness of sums of convex cones in L and the robust no-arbitrage property // Finance Stoch. 2003. Vol. 7, no. 3. P. 403-411
14Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time // Math. Finance. 2004. Vol. 14, no. 1. P. 19-48.
15Kabanov Y.M., Safarian M. Markets with Transaction Costs. Berlin: Springer, 2009.
16Ross S.A. The arbitrage theory of asset pricing // J. Econom. Theory. 1976. Vol. 13, no. 3. P. 341-360; Huberman G. A simple approach to Arbitrage Pricing Theory // J. Econom. Theory. 1982. Vol. 28, no. 1. P. 183-191;
исследовались в статьях Клейн (2000, 2003, 2006, 2008), Рашоньи (2003, 2004, 2008), ДеДонно, Гуазони и Прателли (2005), Фёльмера и Шахермайера (2008).
С точки зрения настоящей работы, большой интерес представляют также недавние исследования (Каратзас, Кардарас17, Кристенсен, Л арсен18), касающиеся эталонных портфелей (numeraire portfolios) в связи с теорией арбитража. В этих работах было подчеркнуто, что в общей модели с непрерывным временем и конечным набором активов одно из естественных условий безарбитражности рынка может быть выражено в терминах (относительно) log-оптимальных портфелей.
Отметим также исследования, касающиеся определения границ цен платежных обязательств на основе принципа отсутствия арбитража. Непосредственное отношение к вопросам, рассматриваемым в диссертационной работе, имеют результаты Гапеева (1997), Шатаева (1998), Ширяева (1998), Ка-щеева (2000), Гущина и Мордецкого (2002), Рушендорфа (2002), Карассуса, Гобет и Темама (2007), Роу, Токарж и Заставняка (2008).
Актуальность работы подчеркивается также тем обстоятельством, что ряд результатов почти одновременно независимым образом был получен другими авторами. Это касается критерия безарбитражности при наличии ограничений на портфели активов [1], которые были анонсированы в [12] (аналогичные результаты были получены в работе Евстигнеева, Шургера и Таксара19, препринт которой появился в 2002 г.); теоремы Крепса-Яна для L [3]: препринт 2004 г. (тот же результат получен Кассезе20: препринт 2005 г.); теоремы о мартингальном выборе [2, 6] (при дополнительных ограничениях аналогичный результат получен Рашоньи21). Однако методы доказательства во всех случаях были существенно различными.
Цель работы состоит в исследовании условий безарбитражности различных моделей рынков ценных бумаг с акцентом на вычислительно осуществимые процедуры проверки таких условий.
Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем.
1. Получены новые критерии безарбитражности в моделях рынков с ограничениями на портфели активов, в моделях с операционными издерж-
17Karatzas I., Kardaras С. The numeraire portfolio in semimartingale financial models // Finance Stoch. 2007. Vol. 11, no. 4. P. 447-493.)
18 Christensen M.M., Larsen K. No arbitrage and the growth optimal portfolio // Stoch. Anal. Appl. 2007. Vol. 25, no. 1. P. 255-280.
19Evstigneev I. V., Schiirger K., Taksar M.I. On the fundamental theorem of asset pricing: random constraints and bang-bang no-arbitrage criteria // Math. Finance. 2002. Vol. 14, no. 2. P. 201-221.
20 Cassese G. Yan theorem in L with applications to asset pricing // Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser.
2007. Vol. 23, no. 4. P. 551-562.
21 Rdsonyi M. New methods in the arbitrage theory of financial markets with transaction costs // Lecture
Notes in Math. / Ed. by Donati-Martin С et al. Berlin: Springer, 2008. Vol. 1934. P. 455-462. Seminaire de
probabilites XLI.
ками, в моделях больших рынков.
-
Поставлена и решена задача о мартингальном выборе. С использованием этого результата в моделях с операционными издержками получены критерии безарбитражности, выраженные в терминах носителей условных распределений многозначных случайных процессов, определяющих динамику цен активов и правила торговли, а также новые рекуррентные формулы для границ цен платежных обязательств.
-
Доказаны новые версии теоремы Крепса-Яна об отделимости конусов в пространствах измеримых функций. С использованием соответствующего результата для пространства L реализована новая схема доказательства первой фундаментальной теоремы в достаточно общей модели рынка с дискретным временем и бесконечным горизонтом.
-
Исследована задача о нижних оценках плотностей мартингальных мер в модели с дискретным временем и конечным набором активов. Критерии существования нижних оценок выражены в терминах носителей условных распределений приращений цен. В качестве побочного результата получено новое доказательство теоремы Даланга-Мортона-Виллинджера.
-
Установлено, что арбитражные свойства большого рынка полностью определяются асимптотическим поведением последовательности эталонных портфелей, построенных для малых рынков. С использованием этого результата проанализирован ряд конкретных моделей. Показано, что предлагаемый подход ведет к новым доказательствам и усилению ключевых результатов теории больших рынков.
-
Показано, что условие отсутствия неограниченной прибыли с ограниченным риском равносильно существованию эквивалентной супермар-тингальной плотности для весьма общей модели рынка с непрерывным временем, где множество процессов-капиталов подчинено лишь условию разветвленной выпуклости.
Методы исследования. В работе применяются методы теории вероятностей и функционального анализа. В частности, используются теоремы об измеримом выборе, теоремы отделимости, теория двойственности.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты являются вкладом в развитие математической теории арбитража. Разработанные методики исследования рынков с дискретным временем на основе теоремы о мартингальном выборе и больших рынков на основе свойств эталонных порфтелей могут быть использованы для анализа новых моделей. Полученные рекуррентные формулы
для границ цен платежных обязательств в моделях с дискретным временем имеют практическую ценность и могут служить основой для разработки соответствующих алгоритмов.
Представляет интерес дальнейшее развитие предложенной методики исследования нижних оценок плотностей мартингальных мер. Этот же подход был успешно применен для доказательства новых версий теоремы Крепса-Яна. Полученный общий критерий существования эквивалентной супермар-тингальной плотности для разветвленно-выпуклого семейства случайных процессов с непрерывным временем может служить отправным пунктом для исследования вопроса о существовании эталонного портфеля в указанной модели.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались в Венском техническом университете, Австрия, 2005; на Третьем коллоквиуме Башелье по финансовой математике и стохастическому анализу, Метабиф, Франция, 2008; в университете г. Безансон, Франция, 2008; на симпозиуме по финансовой математике, Гданьск, Польша, 2008; на Большом семинаре кафедры теории вероятностей МГУ, 2009; на семинаре отдела теории вероятностей и математической статистики МИАН им. В.А. Стеклова, 2009; на заседании Ростовского математического общества, 2009.
Публикации. Основные работы, в которых отражены результаты диссертации: [1-11]. К тематике диссертации относятся также работы [12-17].
Личный вклад автора. Все работы, за исключением [4], выполнены без соавторов. Из указанной совместной работы в диссертацию включены два примера (в модифицированном виде). Идеи этих примеров принадлежат соавтору. Также проф. Шахермайер указал автору на ценность леммы 2.5 работы [3] как самостоятельного результата, его связь с вопросом о нижних оценках плотностей мартингальных мер и предложил простую схему доказательства указанной леммы. В первоначальном варианте данный результат был скрыт в доказательстве теоремы 2.1 работы [3], а его обоснование опиралось на косвенные соображения, связанные с преобразованием Юнга-Фенхеля.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 10 глав, приложения и списка литературы из 189 наименований. Полный объем диссертации — 293 страницы.
