Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Третья двухточечная краевая задача для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
1.1 Основные результаты 36
1.2 Априорная оценка: общий случай А\
1.3 Априорная оценка: случай т>2 4&
1.4 Априорная оценка: случай т<2 53
1.5 Инвариантность свойства разрешимости 57
1.6 Теоремы существования 60
ГЛАВА II. Третья двухточечная краевая задача для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
2.1 Основные результаты 60
2.2 Оценка производного 80
2.3 Свойства замкнутой цепи
2.4 Априорная оценка 93
2.5 Инвариантность свойства разрешимости 106
2.6. Разрешимость краевой задачи 110
2.7 Доказательство теоремы 2.7 119
ГЛАВА III. Третья двухточечная краевая задача для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на плоскости
3.1 Основные результаты 130
3.2 Свойства систем не имеющих ненулевых ограниченных решений 145
3.3 Теоремы существования
3.4 Гомотопическая классификация 159
3.5 Вычисление вращения 168
ГЛАВА IV. Существование обобщенного периодического решения нелинейного уравнения колебания струны
4.1 Основные результаты 193
4.2 Теоремы существования
4.3 Уравнение без диссипативного члена
4.4 Уравнение с сильной нелинейностью 214
ГЛАВА V. Исследование линейных дифференциальных операторов в пространствах периодических и ограниченных функций
5.1 Основные результаты 22І
5.2 Нормальная разрешимость линейного дифференциального оператора в пространстве обобщенных периодических функций 226
5.3 Обобщение теоремы Эсклангона 233
5.4 Обратимость предельных линейных обыкновенных дифференциальных операторов в пространстве ограниченных функций 24*3
Литература
- Инвариантность свойства разрешимости
- Инвариантность свойства разрешимости
- Свойства систем не имеющих ненулевых ограниченных решений
- Нормальная разрешимость линейного дифференциального оператора в пространстве обобщенных периодических функций
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена изучению и развитию методов исследования краевых задач для некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, а также исследованию нормальной разрешимости и обратимости некоторых линейных дифференциальных операторов в пространствах периодических и ограниченных функций. Изучаемые в диссертации проблемы являются актуальными и исследованию этих проблем посвящены классические и фундаментальные работы С.Н.Бернштейна, М. Нагумо, О.А.Ладыженской, Ж.-Л. Лионса, П. Рабиновича, X. Брезиса, М.А.Красносельского, В.М. Миллионщикова, Э. М. Мухамадиева.
Основу методов исследования затрагиваемых в диссертации проблем составляет идея компактности: выделяя какую-нибудь последовательность решений задачи и переходя к пределу устанавливаются свойства, по которым выясняются условия существования априорной оценки и разрешимости задачи. Реализацию идеи компактности к исследованию краевых задач, в особенности нелинейных, в некоторых работах называют методом компактности. Специфичность данного метода состоит в том, что применительно к заданной краевой задаче он позволяет, в сочетании с другими схемами и методами, найти новые н более общие условия, обеспечивающие априорную оценку решений задачи и ее разрешимость. Здесь важным и первоначальным этапом является вывод необходимых априорных оценок решений задачи. В исследованиях С.Н.Бернштейна, О.А. Ладыженской, Ж.-Л. Лионса получены априорные оценки для решений широкого класса нелинейных краевых и граничных задач.
Наличие необходимых априорных оценок позволяет исследовать условия разрешимости задачи. На данном этапе, оказывается эффективным применение топологических методов, развитых в работах М. А. Красносельского, Э.М.Мухамадиева. Такой вариант сочетания метода компактности в исследовании краевых задач встречается редко. Большинство имеющихся исследований краевых задач для нелинейных дітфференцнальньїх уравнений в какой-то степени сводится к случаю, когда порождегчое задачей вполне непрерывное векторное поле имеет I вращение по модулю не больше единицы.
Исследование краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка берет свое начало с классических работ С.Н. Бернштейна и М. Нагумо , где методом априорных оценок и с помощью дифференциальных неравенств изучены условия разрешимости первой краевой задачи для скалярных уравнений второго порядка
/ = /('.>./) в случае, когда порядок роста правой части относительно производной У не больше, чем 2. С. Н. Бернштейном было доказано, что если порядок роста правой части относительно/ больше, чем 2, то первая краевая задача не всегда разрешима и могут быть ограниченные решения, производные которых неограниченно возрастают. В 60-70 годы работы С.Н. Бернштейна и М. Нагумо развиты в исследованиях Ю.А. Клокова, К. Шредера, А.Я. Ленина, Н.И. Васильева.
В связи с этими исследованиями представляет интерес выделить широкий класс краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которые разрешимы и относительно производной v' имеют порядок роста больше, чем 2.
В последиые годы исследованию двухточечных краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка посвящены работы R. Dalmasso, T.Diotko, G. Kim, L. Lefton, Y. Mao, J. Lee, D.O'Regan, В.В.Филнппова. Имеющиеся исследования можно разделить на две группы. К первой группе относятся исследования, где применяются функциональные методы - методы, основанные на применении принципа Лере-Шаудера и различных его модификаций, а также методы, основанные на применении некоторых вариационных принципов. Данные исследования можно охарактеризовать тем, что: 1) изучаются специфичные классы краевых задач, т. с. не рассматриваются какие-нибудь широкие классы краевых задачу 2) важную роль шрают линейные члены или нелинейные члены, специально согласованные с линейными; 3) вполне непрерывные векторные поля, порожденные краевыми задачами, обычно имеют вращения по Модулю не больше, чем 1.
Ко второй группе работ относятся исследования, где изучаются траектории решений обыкновенных дифференциальных
уравнений н свойства операторов сдвига вдоль траекторий. Главным объектом исследования является конечномерный оператор сдвига. Среди данной группы работ следует отметить цикл работ В. В. Филиппова, где на основе топологического анализа структуры решений обыкновенных дифференциальных уравнений и специальных топологических конструкций изучены условия существования решений первой краевой задачи для скалярных и векторных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Аппарат исследования В.В.Филиппова позволяет рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения, правые части которых разрывные (где неприменимы функциональные методы) и являются многозначными отображениями. В случае непрерывных правых частей результаты В. В. Филиппова можно получить посредством принципа Лере-Шаудера.
Исследование краевых задач, рассмотренных в первых трех главах диссертации, представляет интерес в связи с развитием идеи и методов нелинейного анализа - метод априорных оценок, принцип Лере-Шаудсра, гомотопическая классификация,' вычисление вращения бесконечномерных вполне непрерывных векторных полей. В работах Э. М. Мухамадиева и его учеников эти идеи и методы развиты в вопросах существования периодических и ограниченных решений некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений. Разработанный в этих работах аппарат неприменим к исследованию краевых задач, рассмотренных в диссертации.
Исследованию существования обобщенных периодических решений нелинейного уравнения колебания струны с граничными условиями Дирихле посвящены работы П. Рабиновича, X. Брсзиса, Дж. Берковича, X. Норимихи, С. Вана и других авторов. В фундаментальных работах П. Рабиновича и X. Брезиса применяются вариационные методы и изучваются условия, при которых задача разрешима. А в работах X. Норимихи, С. Вана и ряда других авторов используется топологический принцип Лере-Шаудера. В этих исследованиях важную роль играет соизмеримость величины периода с длиной струны и наличие или отсутствие диссипативного члена. В связи с этим представляет интерес: 1) применение идеи и методов нелинейного анализа, развиты.- в краевых задачах для нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений, и нахождение новых достаточных условий существования обобщенного периодического решения нелинейного уравнения колебания струны; 2) исследование условий обратимости и нормальной разрешимости общего линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами в пространстве обобщенных периодических функций.
В исследованиях В.М. Миллнонщикова, Э.М. Мухамадиева с помощью понятий предельного решения и предельных систем изучены неавтономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений в пространствах функций, ограниченных на всей оси или полуоси. Основу применяемых методов составляет идея нахождения некоторых предельных свойств, порожденных компактностью ' множества решений уравнения. Актуальной является исследование обратимости предельных систем, порожденных неавтономной линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Цель работы. Исследовать условия существования априорной оценки и разрешимости третьей нелинейной двухточечной краевой задачи с главными положительно однородными членами. Разработка теории разрешимости данного класса задач в одномерном и двумерном случаях.
Используя идеи и методы, развитые в краевых задачах для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений,
1) исследовать новые условия существования обобщенного'
периодического решения нелинейного уравнения колебания струны
' с граничными условиями Дирихле;
2) исследовать условия обратимости предельных неавтономных
систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и
свойства компактности множества решений в пространстве
ограниченных функций
Общие методы исследования. В работе применяются и развиваются методы теории дифференциальных уравнений, функциональные методы, аппарат априорных оценок и топологические методы нелинейного анализа.
Научная новизна. Основные результаты диссертации. 1. Для третьей нелинейной двухточечной краевой задачи с главными положительно однородными членами в скалярном случае найдены новые достаточные условия существования априорной оценки, которые в некоторых случаях являются и
необходимыми. В условиях существования априорной оценки разработана полная теория разрешимости данного класса задач.
-
В многомерном случае изучены новые достаточные условия существования априорной оценки и разрешимости третьей нелинейной двухточечной краевой задачи с главными положительно однородными членами.
-
В двумерном случае для третьей нелинейной двухточечной краевой задачи решена задача гомотопической классификации и предъявлен алгоритм эффективного вычисления вращения бесконечномерного вполне непрерывного векторного поля, порожденного краевой задачей.
-
Найдены новые достаточные условия существования обобщенного периодического решения нелинейного уравнения колебания струны с граничными условиями Дирихле.
-
Исследована нормальная разрешимость линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами в пространстве обобщенных периодических функций.
-
Доказаны новые теоремы, обобщающие классическую теорему Эсклангона об ограниченности производных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений на бесконечном промежутке.
-
Доказана однозначная разрешимость предельных неоднородных систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве ограниченных функций при условии отсутствия ненулевых ограниченных решений у соответствующих предельных однородных систем.
Теоретическая и практическая ценность работы. Работа теоретическая. В ней развиты идеи и методы исследования краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных. Разработанная методика может быть применена к исследованию краевых задач для других линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. Результаты работы могут быть использованы в теории нелинейных краевых задач.
Апробации работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях проходивших в городах Алма-аты (сентябрь 1995г.), Душанбе (ноябрь 1996г., сентябрь 1998г., июнь 2000г.), Самарканде (ноябрь 1997г.), Екатері..(бурге (февраль 1998г.), Сулюкте (август 1999г.), Бак>
(сентябрь 1999г.), Санкт-Петербурге (июнь 2000г.), Москве
(сентябрь 2000г.), на республиканских и областных конференциях
проходивших в городах Душанбе (1995г., 1998г.), Ташкенте
(сентябрь 1997г.), Курган-Тюбе (ноябрь 1997г.), Худжанде (1996-
1999г.г.), в ряде выступлений на семинарах члена-корреспондента
Академии наук Республики Таджикистан, профессора
Э.М.Мухамадиева (1994-1998г.г.), на семинаре по качественной
теории дифференциальных уравнений Московского
госуниверситета (руководители - профессор В.М. Миллионщиков, профессор В.А. Кондратьев, профессор Н.Х.Розов, март 2000г.), на семинаре лаборатории математических методов анализа систем упрааления Института проблем управления нм. В.А. Трапезникова РАН (руководитель - профессор Н.А. Бобылев, февраль 2000г.), на семинаре но нелинейному анализу Белорусского госуниверситета . (руководитель - профессор П.П. Забрейко, апрель 2000г.), на семинаре НИИ математики Воронежского госуннверситета (руководитель - профессор Ю.И. Сапронов, май 2000г.), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягикские чтения - XI. Современные методы качественной теории краевых задач" (3-9 мая 2000г.), на общеинститутском семинаре Института математики Академии наук Республики Таджикистан (руководитель - академик Академии' наук Республики Таджикистан Л. Г. Михайлов, июнь 2000г.), на общем семинаре кафедры функционального ' анализа и дифференциальных уравнений, кафедры теории функций и математического анализа и ' кафедры высшейматематики Таджикского государственного национального университета (руководитель - член-корреспондент Академии наук Республики Таджикистан, профессор Н.Р.Раджабов).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 29 работах и трудах вышеуказанных конференций, из которых основными являются [1-18]. Из работ, написанных в соавторстве, в диссертацию включены только те результаты, которые получены автором лично.
Структура н объем работы. Диссертация изложена на 260 страницах машинописного текста, сострит из введения, пяти глав н списка литературы, включающего 118 наименований.
Инвариантность свойства разрешимости
Проведённые в первых трёх главах исследования еще раз убеждают в справедливости следующих высказываний: " В естественных ситуациях приходится изучать не индивидуальные операторные уравнения, а такие общие их классы, в которых уравнения можно в разумном смысле мало изменять, можно непрерывно деформировать, варьируя различные входящие в них элементы ( ядра интегральных операторов, правые части дифференциальных уравнений, граничные условия, параметры и т.п. ). Как правило, интерес представляют лишь математические утверждения, устойчивые по отношению к малым изменениям уравнения. Поэтому следует пытаться вначале обнаружить те общие характеристики уравнения, которые сохраняются при малых его изменениях, уже после этого искать в терминах найденных характеристик ответ на интересующий нас конкретный вопрос. Указанная схема хорошо известна математикам; она особо плодотворна, если соответствующие характеристики могут быть эффективно вычислены или оценены и если в терминах этих характеристик достаточно просто формулируются содержательные задачи. Именно такое положение сложилось в теории широких классов нелинейных операторных уравнений. Это позволило подойти с единых позиций ко многим задачам, на первый взгляд совершенно различным", [36].
В четвертой главе изучаются некоторые достаточные условия существования обобщенного решения задачи Задача (14) различными методами исследована в работах [7,11,16,23,30, 62, 97, 98, ]. В этих исследованиях важную роль играет соизмеримость величины периода с длиной струны и наличие или отсутствие диссипативного члена. В связи с этим представляет интерес применение идеи и методов нелинейного анализа, развитые в краевых задачах для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, и нахождение новых достаточных условий существования обобщенного периодического решения нелинейного уравнения колебания струны. Главными отличительными особенностями проведенных в этой главе исследований состоит в том, что 1) применяя некоторые методы исследования начально-краевых задач из работы [43], в сочетании с методами из работы [64] удается получить более сильные априорные оценки для так называемых приближенных решений; 2) используя полученные оценки, на основе метода малого параметра, принципа Лере-Шаудера доказаны ряд новых достаточных условий разрешимости задачи (14). Полученные в четвертой главе результаты дополняют исследования проведенные в работах [11,62,64, 98]. Предполагая F є C(Q xR;R), J3,T є R, j3 0,T 0 и либо при некотором ОС и натуральном к выполненными условия: не имеет ненулевое обобщенное решение, доказаны теоремы 4.1,4.2 о существовании обобщенного решения задачи (14), обладающего следующими свойствами: Теоремы 4.1, 4.2 доказаны методом малого параметра и с помощью принципа Лере - Шаудера, и существенно опираются на априорные оценки, которые являются более сильными по сравнению априорных оценок полученных в работе [64]. Через свойства нелинейного члена F удается квалифицированно 2 указать / є L (Q), для которых задача (14) разрешима (теорема 4.1). В этих условиях функция F по у может иметь произвольный порядок роста. Отметим, что исследование задачи (14) во многом, особенно в случае (5 - 0, зависит от рациональности или иррациональности величины Г и в какой-то мере связано с проблемой оценки "малых знаменателей". Когда J3 = 0, Т -рациональное исследованию задачи (14) посвящены фундаментальные работы [97, 98]. Но, случай J3 = 0,T - иррациональное мало изучен. В теореме 4.3 доказано, что в случае, когда /3 = 0 и Г является положительным иррациональным корнем некоторого многочлена второй степени с рациональными коэффициентами ( т.е. Т - алгебраическое иррациональное число ), существует хотя бы одно обобщенное решение вида (15) задачи (14), если выполнены следующие условия: где числа Сп, М- определяются через Т и Ф. Далее, задача (14) изучена в одном частном случае, когда функция F не зависит от t и ее порядок роста относительно третьей переменной у при у — оо сверху неограничен. Задача (14) в условиях близких к нашими при Т - рациональное, изучена в работе [98]. В этой работе решение задачи (14) рассматривается как критическая точка некоторого функционала в соответствующем пространстве и доказано существование непрерывного решения сколь угодно большой амплитуды.
В наших исследованиях сочетаются методы использованные в работах [43, 64]. Устанавливается гладкость решения задачи в зависимости от гладкости правой части. Полученные результаты сформулированы в теоремах 4.4, 4.5, предполагая выполненными следующие условия: 5. F(t,x,y) = Fl(x,y), FleC([0,l]xR;R).
Инвариантность свойства разрешимости
Таким образом, о разрешимости задачи (1.1)-(1.2) для тройки {Q,B ,B ) єР9 при y{Q) -\ теорема 3.2 даёт исчерпивающий ответ только в случае, когда тройка гомотопна некоторой тройке (Q,B,B). Оказывается, это в дальнейшем будет доказано, при y(Q) -1, в общем, не всякая тройка из Р обладает этим свойством. Следовательно, остаётся 2,т выяснить условия разрешимости задачи (1.1)-(1.2) для произвольной тройки (Q,BQ,Bl)e?2m при y(Q) -\. Отметим, что в силу результатов предыдущей главы в пространстве Р- с метрикой имеет место так называемая гомотопическая инвариантность свойства разрешимости задачи (1.1)-(1.2): если две тройки лежат в одной связной компоненте метрического пространства и для одной тройки задача 2,т разрешима, то для другой тройки задача также разрешима. Поэтому представляется интересным исследование задачи об описании связных компонент метрического пространства Р? какими-нибудь дискретными или наглядными характеристиками - инвариантами. Данную задачу назовём гомотопической 135 классификацией нелинейных краевых задач вида (1.1)-(1.2). Решение этой задачи позволяет найти новые достаточные условия разрешимости задачи (1.1)-(1.2). В силу леммы 3.1.1, если y{Q ) y(Q ), то тройки (Q[ ,В1 ,В1), (Q , 5„ , В. ) є Р лежат в разных связных компонентах метрического пространства Р . Поэтому описание связных компонент следует провести на множествах из Р_ , где y(Q) принимает постоянное значение. Для любой деформации {Q{-,?L),BA;X),B. (-,A))eP,_ , Я є [0,1] при y(Q(-A)) = l Я є [ОД] Отсюда вытекает, что связная компонента элемента (Q, В , В.) Є Р? при 7(0= 1 определяется множеством Z, ()) и числом Следовательно, множество троек (Q, В , В.) є Р , для которых (0 = 1, состоит из счётного числа связных компонент и каждая связная компонента, вопервых, определяется парой (L (Q),y ), во-вторых, является разрешимой, только если у 0. Из доказательства первой части теоремы 3.2 не трудно увидеть, что множество троек (Q,B„,B ) Є Р0 , для которых y(Q) = 0, состоит из одной связной компоненты и эта связная компонента не является разрешимой. Таким образом, при y{Q) 0 задача гомотопической классификации и определения связных компонент полностью решается. Для исследования случая y{Q) 0 введем некоторые понятия. Пусть (Q,BQ,Bl)eV2 и y(Q)--ju 0. Тогда множества L (jQ), L_ (Q) состоят из 1 + /л частей, каждая из которых является либо лучом, либо сектором с вершиной в точке ноль. Причем, между двумя соседними частями из і (Q ) расположена одна часть множества L (0. Эти свойства множеств L (Q), L {Q) вытекают из теоремы 3.1. Область ограниченную двумя соседними частями множества L (0, (или L (0) назовем положительным ( отрицательным ) сектором. Начиная с положительного сектора, который либо содержит правую часть абсциссы координатной плоскости, либо ближе к ней сверху, пронумеруем положительные сектора числами 1,...,1 + // по порядку их расположения против направления хода часовой стрелки. Пронумеруем отрицательные сектора числами 1,...,1 + // по порядку их расположения против направления хода часовой стрелки так, чтобы первый отрицательный сектор находился между первым и вторым положительным сектором. Для yL (0,(или у l (0) через J (у), ( J (у)) обозначим номер положительного ( отрицательного) сектора в котором находится точка у. Функция J (у), (J (у)) в каждом положительном ( отрицательном ) секторе принимает постоянное значение. Рассмотрим множества S_={yeR2:\y\ = \, B tLJQ)}. Так как для любого ненулевого у либо Б {y)L (0, либо BAy) L_(Q), поэтому объединение множеств S , S покрывает единичную окружность. 137 Составляющий сегмент (#,и) множества S , \S_ ], ориентированный против направления хода часовой стрелки, с началом в точке d и с концом в точке Ъ назовем положительным (отрицательным) сегментом, если существует точка Сє(а,Ь) такая, что В. (с) є L_ (Q), \в „(с) є L {Q)\ Очевидно, если не существует положительного ( отрицательного ) сегмента, то S , \S+ ) совпадает с единичной окружностью. В этом случае S_, IS+ J назовем положительным ( отрицательным ) сегментом. Лемма 3.1.3. Объединение положительных и отрицательных сегментов покрывает единичную окружность. Число положительных и отрицательных сегментов конечно. Если множества S , S_ непустые, то количества положительных и отрицательных сегментов совпадают. Пусть множества S , S_непустые и ( ., .),...,( 7 ,Ь ) являются положительными сегментами, последовательно расположенные против направления хода часовой стрелки так, что первый (а. ЪЛ сегмент либо пересекается с правой частью оси абсциссы координатной плоскости, либо сверху находится ближе к ней. И пусть (с d ),..., (с ,d ) являются отрицательными сегментами, последовательно расположенные против направления хода часовой стрелки так, что точка Ъ. находится между точкой С. и правой частью оси абсциссы координатной плоскости.
Свойства систем не имеющих ненулевых ограниченных решений
Проверим, что любой составляющий сегмент множества S ( или iS ) либо является положительным (отрицательным) сегментом, либо содержится внутри какого-нибудь отрицательного (положительного) сегмента. Тогда отсюда следует справедливость первого утверждения леммы.
Пусть (а,Ь) произвольный составляющий сегмент множества S . Если (а, Ь) не является положительным сегментом, то В (у) . L (Q) Vy е (a, b) и В (а), В. (b) L (Q). Следовательно, сегмент (а, Ь) вместе с концами содержится внутри S_, откуда вытекает, что {ci,b) лежит внутри какогонибудь отрицательного сегмента. Аналогичным образом, рассматривается и случай, когда (а, Ь) является составляющим сегментом множества S_.
Предположим, что существует бесконечное число положительных сегментов. Тогда можно выделить последовательность положительных сегментов (а ,Ь ),п = 1,2,..., обладающую следующими свойствами: А это противоречить тому, что (Q, В„, В ) є Р_ . Следовательно, число положительных сегментов не может быть бесконечным.
Аналогичным образом можно показать, что число отрицательных сегментов не может быть бесконечным. Пусть множества S , S непустые. Тогда существуют хотя бы по одному положительных и отрицательных сегментов. По определению положительные (отрицательные) сегменты взаимно не пересекаются. Так как объединение положительных и отрицательных сегментов покрывает единичную окружность, поэтому между двумя соседними положительными (отрицательными) сегментами находится ровно один отрицательный (положительный) сегмент, пересекающийся с каждыми из соседних сегментов. Отсюда вытекает, что количества положительных и отрицательных сегментов совпадают. Лемма 3.1.3 доказана. последовательно расположенные против направления хода часовой стрелки, так, чтобы обладали следующими свойствами: 1) объединение сегментов совпадает с единичной окружностью; 2) сегменты (a ,bA...,(a ,b ) взаимно не пересекаются; 3) сегменты (с, ,d.),..., (с ,d ) взаимно не пересекаются; 11 г г 4) при каждом I сегмент (с.,d.) пересекается с сегментами («.,i.),(a. + r6. + 1); 5) сегмент {a ,b ) пересекается с правой частью оси абсциссы координатной плоскости. Пусть (и. ,v. ) - максимальный сегмент единичной окружности, содержащий точку Z+ и лежащий на множестве L (Q),a(u. ,v. ) - макси z + і і 161 мальный сегмент единичной окружности, содержащий точку Z7 и лежащий на множестве L (Q). Непрерывные, положительно однородные отображения Вп, В. на единичной окружности определим следующим образом: где (p7 - непрерывное, взаимно однозначное отображение сегмента (a.,Z?.) на сегмент (и. , v. ), такое, что (р. (а.) = и. , р. (b.) = v. , (pT - непрерывное, взаимно однозначное отображение сегмента (с.,б/.)на сегмент (иГ, vГ), такое, что (р 7(с.) = а7, $?Г(б/.) = УГ, у/. , {у/. ) - сохраняющая ориентацию непрерывное, взаимно однозначное отображение сегмента (b.,a. .), ((d.,c. ,)) на сегмент (v. ,и. А, He трудно проверить, что тройка (Q, В ,В.) принадлежит множеству Р9 и обладает нужными свойствами. Лемма 3.1.4 доказана. Доказательство леммы 3.1.5. Пусть множества S , Sl , і =1,2, т — соответствующие тройкам (Q ,В„,В ), і = 1,2, непустые. Обозначим через LL непрерывное преобразование плоскости, переводящее положительные и 2 2 2 отрицательные сегменты тройки (Q ,В„,В ) на положительные и отрица тельные сегменты тройки (Q ,В,В) соответственно. Через обозначим непрерывное преобразование плоскости, переводящее положительные и отрицательные секторы отображения Q на положительные и отрицательные секторы отображения Q соответственно. Преобразования П., П9 можно считать положительно однородными первого порядка и отображающими единичную окружность в себя так, что первый положительный сектор и сегмент переходят в первый положительный сектор и сегмент соответственно.
Нормальная разрешимость линейного дифференциального оператора в пространстве обобщенных периодических функций
Утверждение II показывает гомотопическую инвариантность свойства разрешимости для класса краевых задач, удовлетворяющих условиям 1)-3). Отсюда, как следствие, вытекает, что если для любого ненулевого у є R либо 0 ,0) (0, (.,-,0)), либо ( ,0) (0, (,-,0)), то при 1 = \ для любых (/,L,i)5i задача (10) разрешима тогда и только тогда, когда разрешима задача для любых (/,L,/i.)e?l . Таким образом, исследование разрешимости задачи (10), следовательно и задачи (5)-(6), сводится к исследованию разрешимости следующей задачи: (11) x" = Q(x ) + f{t,x,x ), 0 Г 1, (12) x (0) = B0(x(0)) + hQ(x), х (1) = 51(х(0)) + А1(х), где (/, h , /L) є 9І , Q,B ,B \R - - R - непрерывные отображения, удовлетворяющие условиям: система у = Q(y) не имеет ненулевых (13) \ ограниченных на (-оо,+со) решений; для любого ненулевого у є R либо ІЗ (у) . L (Q), и + либо Bx{y)L_(Q). Здесь L (Q), (L (0) означает множество точек уп є Rп, для которых хотя бы одно решение системы у = Q(y), выпущенное из этой точки (т.е. с начальным условием у(0) = у ), ограничено на промежутке [0,+со), ((-оо,0]). На Р - множестве всех троек (Q, В„,В ), удовлетворяющих условиям (13), вводится топология по норме равномерной сходимости и приведены следующие определения. 11 2 2 Элементы (О, ,Вп,В. ),(0_ ,В .ВЛ ) є Р назовем гомотопными, K Y 0 K v 2 0 1 J п,т если существует семейство (Q(y, Я), 2?п (у, Я), В (у, Я)), Я є [0,1] непрерывно зависящее от Я, как функция с значением в Р , такое, что п, т 6( 0) = ЦО), В0{у,0) = Bl0(y), 0/,0) = В\{у), QW)-Q2(y\ В0(уЛ) = В (у), В1(у,1) = В (у). Скажем, что для тройки {Q,B ,ВЛ є. задача (11)-(12) разрешима, если для любых (Л/zn,/z,) є $Н задача (11)-(12) имеет хотя бы одно yj 0 [/ п,т решение. Из теоремы 2.4 вытекает, что для гомотопных троек из Р задача (11)-(12) одновременно разрешима или неразрешима. Таким образом, как в скалярном случае ( глава I), благодаря гомотопической инвариантности свойства разрешимости, исследование задачи (11) - (12) сводится к нахождению простейших троек в каждой связной компоненте пространства Р и исследованию разрешимости задачи для них. Отметим, что гомотопическая инвариантность свойства разрешимости является одним из вариантов развития топологического принципа Лере - Шаудера - принципа продолжения по параметру решений операторных уравнений [см., например, 36, 41] и в используемой нами форме применены в работах [48, 59, 60] в вопросах существования ограниченных и периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с главной положительно однородной нелинейной частью. На основе теорем 2.3, 2.4 легко проверяется, что 1) для тройки (Q,B„,B )е? задача (11)-(12) разрешима, если число у (ф(х;), В ,В.)) - вращение вполне непрерывного векторного поля Ф(ж;й В0,5,) s х(?) - [Вг (х(0))+х(0) - 50(х(0)) - )Q(x (s))ds + о 1 t + (В(х(0))- lQ(x (s))ds)t+ j(t-s)Q(x (s))ds] 0 0 1 п на сферах достаточно больших радиусов пространства С ([0,1]; R ) отлично от нуля; 2) на гомотопных тройках значения у совпадают. В общем случае, когда п 2 описание связных компонент пространства Р представляет собой трудную задачу, решение которой связано с исследованием гомотопической классификации систем у -Q(y),y є R", не имеющих ненулевых ограниченных на (-оо,+да) решений. Гомотопическая классификация таких систем значительно продвинуто вперед в работах [59, 60]. Обозначая через уЛФІх В ВЛ) вращение вполне непрерывного векторного поля Ф(х; Q, В ВЛ на сферах достаточно малых радиусов с 1 п центром в точке ноль пространства С ([ОД]; У? ), если ноль является изолированной особой точкой поля Ф, и обозначая через y(F) вращение всякого непрерывного, положительно однородного конечномерного векторного поля F : R -» R , не имеющего ненулевых особых точек на единичной сфере пространства R п, получены следующие результаты. Теорема 2.5. Пусть (Q,B В )е? . Тогда 1) если В (у) Ф В (у) Vy є R \ {о}, то нулевая особая точка поля Ф(х;Q,В В ) изолирована и (0( 6, ,5)) = - ); 2) если В = В., то У0 (Ф(х; Q, BQ, BQ)) «Уоо (Ф(х; Q, BQ, BQ)) =y(Q)y(BQ). Лемма 2.1.3. Пусть (Q,Bn,B.) єР . Тогда v О V п,т 1) если В„ =В. и для тройки {Q,B ,B ) задача (11)-(12) разрешима, то у(В0) 0. 2) если 5 = 0 (или В . = 0), то для того чтобы для тройки (Q,0, В ) ( (Q, В ,0) ) задача (11)-(12) была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы y(B 0,y(Q) = (-lf, (y(BQ) Ф О, y{Q) = 1). В качестве применения теоремы 2.5 доказано, что задача х" = x w_1Сх + f(t,x,x ), 0 t \, xeRn, 1 x {0) = CQx(0) + hQ(x), х (ї) 0 (0) +h x), где (/, /г„, h.) є 91 , С, С_, С. - квадратные матрицы размера и х п, разрешима, если выполнены условия: а(С) п iR = 0, det(n_C0 + U С{) Ф 0. Здесь &(С) - множество собственных значений матрицы С, П , (П__) матрица оператора проектирования Rn в подпространство L (С), (L (С)) 4- — параллельно подпространстве L (С), (L (С)). — т Основные результаты второй главы опубликованы в работах [ 72, 75, 77, 79, 80, 8Ь]. Из результатов второй главы видно, что для заданной тройки (Q, В , В ) є Р , в общем, значение у (Ф(х; Q, 5„ , В.)) удаётся эффективно \J X її $ tfl %J V/ 1 найти только в случае, когда В = В. .Третья глава, по существу, посвящена эффективному вычислению значения у (Ф(х; Q, 5А, В )) для любой заданной тройки (Q,B ,B ) є Р и выяснению условий разрешимости задачи (11)-(12) для произвольной тройки из Р Эффективное вычисление значения у (Ф(х; Q, В„ ,В )) в случае п = 2 удаётся благодаря более простой геометрической наглядности поведения траекторий решений систем вида (9), не имеющих ненулевых ограниченных на всей оси решений. Поэтому третья глава начинается с изучения некоторых свойств таких систем при п = 2. Классические и фундаментальные работы по исследовнию плоских систем вид (9), не имеющих ненулевых ограниченных на всей оси решений, принадлежат Р. Гомори [18] и Н.А. Бобылеву [8, 36]. В теореме 3.1 третьей главы доказаны лишь те свойства таких систем, которые применяются, в дальнейшем, при исследовании задачи (11)-(12).
