Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. "Необходимые сведения из функционального анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов."
1. Сведения из функционального анализа. 8
2. Сведения из теории вероятностей. 10
3. Элементы дискретного стохастического анализа . 15
Глава 2. "Одна задача управления случайными последовательностями с мультипликативным критерием" .
1. Кумулянта и ее свойства. 21
2. Допустимые управления и стратегии. Процесс Крамера-Эшера. Преобразование Крамера-Эшера. Свойства кумулянты . 30
3. Описание управляемой модели. Оценка стратегии, функция Беллмана. 34
4. Вывод уравнения Беллмана. 40
5. Разрешимость уравнения Беллмана. 44
6. Существование -оптимальных и оптимальных стратегий. Допустимость оптимальных и е-оптимальных стратегий. Эквивалентные стратегии . 47
7. Необходимые и достаточные условия оптимальности стратегий. 55
Заключение по главе 2. 66
Глава 3. "Представление -измеримых случайных величин и свойства оптимальных стратегий".
1. Описание множеств эквивалентных вероятностных мер, связанных с уравнением Беллмана. 68
2. (5, т, Л)-представление измеримых ограниченных случайных величин. 71
3. S- представимость -измеримых ограниченных случайных величин. 76
4. E - представимость -измеримых ограниченных случайных величин.
5. S-представление -измеримых ограниченных случайных величин. 91
6. Представление -измеримых ограниченных случайных величин .
7. Условия оптимальности и е-оптимальности стратегий. 102
8. Расчет опциона Европейского типа. 110
Заключение по главе 3. 115
Заключение (Основные результаты, которые выносятся на защиту). 116
Список основных обозначений. 117
Список литературы. 118
- Элементы дискретного стохастического анализа
- Допустимые управления и стратегии. Процесс Крамера-Эшера. Преобразование Крамера-Эшера. Свойства кумулянты
- Существование -оптимальных и оптимальных стратегий. Допустимость оптимальных и е-оптимальных стратегий. Эквивалентные стратегии
- Представление -измеримых ограниченных случайных величин
Введение к работе
1.Теоремы о представлении мартингалов являются одними из важнейших утверждений в теории случайных процессов, имеющие приложения в общей теории случайных процессов [20,24,51,10], в теории стохастического оптимального управления [40,46,54], стохастической финансовой математике [22,27,37,10], статистике случайных процессов [23].
Данная диссертация посвящена построению нескольких видов представлений мартингалов и функционалов, заданных на траекториях случайных последовательностей.
2.Перейдем к обзору результатов, относящихся к теореме о представлении мартингалов и функционалов, заданных на траекториях случайных последовательностей.
В работах [42,20,24,51] содержится фундаментальная теорема об интегральном представлении мартингалов в виде стохастических интегралов. В них показано, что любой локальный мартингал, согласованный с фильтрацией, порожденной непрерывным справа семимартингалом, допускает интегральное представление тогда и только тогда, когда вероятностная мера, заданная на траекториях указанного выше семимартингала является крайней. В работах [52,20,22] содержится критерий S-представимости для локальных мартингалов, в том числе в том числе и для дискретного времени.
В работах [42,50,13] в предположении, что процесс (S,)l±0
является семимартингалом относительно меры Р, причем относительно некоторого класса вероятностных мер Q~P он (процесс (St)(kf>) является локальным мартингалом, был построен критерий S-представимости.
В работах [47,49,53,13,21] построено, так называемое, опциональное разложение [47,49,53,13,21], которое является обобщением известного разложения Дуба-Мейера.
В работе [37], в предположении, что (S,)lk0 допускает
представление и S, = S,_t (l + р,), S, i-0 = S0, где р{ -
последовательность бернуллиевских случайных величин, такая, что Mpt = О, была доказана теорема о S-представлении для дискретного
времени.
Подробный обзор результатов, связанных с теоремами о представлении мартингалов можно найти в [37,10].
3. В диссертации для построения различных представлений для ограниченных функционалов /(5,), заданных на траекториях
последовательности (S,)!ta применяется теория оптимального
стохастического управления случайными последовательностями с мультипликативным критерием R^(o))>Q, у которого In RN (со)
представим в виде суммы терминальной части, представляющей собой ограниченный измеримый функционал /^(5.) заданный на траекториях процесса (5Дг0, и профита представляющего собой кумулянту, построенную по последовательности (S,)li0 относительно некоторой меры Q. В связи с этим перейдем к обзору основных
результатов теории оптимального управления стохастическими последовательностями.
В настоящее время существует два подхода в теории оптимального управления случайными последовательностями. Первый подход - его можно назвать стохастическим вариантом принципа максимума Понтрягина, подробно изложенный в [1], в которой были получены необходимые условия существования
оптимальных стратегий для случайных последовательностей порождаемые рекуррентными соотношениями в форме принципа максимума.
Второй подход основан на методе динамического программирования [43,14,11,15,19,25,34,35]. Впервые метод динамического программирования для решения задачи статистического последовательного анализа , был применен А. Вальдом [11], Ширяевым А.Н. [38]. Для решения задач оптимального управления случайными последовательностями метод динамического программирования применен в работах Блекуэлла [43,44], Ховарда [35], X. Майн, С. Осаки [25]. Эти результаты были обобщены на случай «общих» управляемых случайных последовательностей в работах Ш. Стрибел [55], Е.Б. Дынкина, А.А.Юшкевича [19], И.И. Гихмана, А.В. Скорохода [14]. Современное изложение теории оптимальных стохастических управлений случайными последовательностями содержится в книге Д. Бертсекаса, С. Шрива [2]. Развиваемый в диссертации подход близок к работе В.М. Хаметова, А.Б. Пиуновского [34]. В работе [39] рассмотрена задача оптимального управления семимартингалами.
Отметим, также, что подход, используемый в диссертационной работе к решению задач представления мартингалов с дискретным временем, основанный на теории оптимального управления случайными последовательностями ранее не был использован другими авторами.
4.Перейдем к краткому изложению работы.
В главе 1 приведены необходимые сведения из функционального анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов.
Элементы дискретного стохастического анализа
Данная глава с точки зрения результатов работы носит вспомогательный характер и посвящена решению одной задачи оптимального управления случайной последовательностью.
В настоящее время в теории оптимального стохастического управления сложилось два подхода: 1) первый состоит в управлении траекториями управляемого процесса, 2) второй - в управлении мерами (вероятностными), заданными на траекториях некоторых случайных процессов. Отметим, что второй подход в теории управления случайных процессов называют теорией управляемых в слабом смысле случайных процессов (по аналогии с теорией слабой сходимости вероятностных мер).
В данной главе мы опираемся на второй подход в теории оптимального стохастического управления. Теории управляемых в слабом смысле случайных последовательностей посвящена довольно обширная литература [14, 19, 25, 41, и др.]. Отметим также, что задаче (в слабом смысле) оптимального управления случайными последовательностями с мультипликативным критерием посвящены ряд работ [14, 15, 19, 25, 30, и др.]. В отличие от них здесь мы рассматриваем случай, когда логарифм функционала дохода представляет собой сумму нелинейного терминального функционала и аддитивного функционала, каждое слагаемое (профит) которого представляет собой кумулянту некоторой случайной последовательности.
Перейдем к изложению содержания и основных результатов данной главы. В 1 дается определение кумулянты для согласованной случайной d-мерной последовательности, заданной на стандартном стохастическом базисе, и устанавливаются условия ее существования, а также основные свойства. Кроме того, в этом параграфе дается определение управления и стратегии. В 2 дается определение допустимой стратегии, устанавливаются достаточные условия допустимости стратегий. Кроме того, в этом параграфе: І) определяется процесс Крамера-Эшера и устанавливаются условия его существования, а также некоторые его свойства; іі) вводится понятие преобразования Крамера-Эшера вероятностной меры Р и устанавливаются его свойства. В 3 на основе результатов 2 вводится понятие управляемой в слабом смысле случайной последовательности и устанавливаются условия существования такой последовательности. Для управляемой в слабом смысле случайной последовательности в вводится положительный мультипликативный функционал стоимости, логарифм которого представляет собой сумму терминального ограниченного измеримого функционала и аддитивного функционала, каждое слагаемое которого (профит) представляет собой кумулянту (свойства которой подробно исследованы в 1-2). В этом параграфе также содержится постановка задачи оптимального управления для управляемой в слабом смысле случайной последовательности. В конце параграфа мы определяем функцию Беллмана и устанавливаем условия ее существования, а также некоторые ее свойства. В 4 показано, что определенная в 3 функция Беллмана удовлетворяет рекуррентному соотношению, названному уравнением Беллмана. В 5 получены достаточные условия разрешимости уравнения Беллмана. В 6 определяются е-оптимальная и оптимальная стратегии и устанавливаются условия существования -оптимальной и оптимальной стратегий. Кроме того, здесь показано, что если существуют -оптимальная и оптимальная стратегии, то они являются допустимыми. В 7 установлены условия (необходимые и достаточные) оптимальности стратегий. 1. Кумулянта и ее свойства. 1.1. Пусть на стохастическом базисе ( Q,F, (і )(_г0 N\,P) задана случайная последовательность ( Si -Fi)t={o..m» принимающая значения в (Rd, В (Rd)), причем N оо и d со. Пусть F? = a{ST,T t]. Предположим, что {yt,Ff)t=n N\ предсказуемая последовательность, принимающая значения в [Rd,B (Rd)). . Определение. Пусть 7, = {ТіЬєдг и 7( - РДі-измеримая при каждом і и принимающая значения в (Rd B (Rd)) называется управлением в момент времени , а набор {ТЛІЄЛГ будем называть стратегией. Множество управлений в момент времени t обозначим через Sf и будем писать, что jt S(. Множество стратегий у. обозначим через S.. Определение. Ff_i- из мери мая функция, определяемая (1), называется кумулянтой последовательности (S$, Ff)t N относительно меры Р. Замечание. Анализ литературы источников показал, что к настоящему моменту отсутствует систематическое исследование свойства такого объекта, как кумулянта. Для построения модели управляемой случайной последовательности возникла необходимость в изучении свойств кумулянты.
Допустимые управления и стратегии. Процесс Крамера-Эшера. Преобразование Крамера-Эшера. Свойства кумулянты
В данном параграфе мы дадим описание управляемой в слабом смысле последовательности (St, Ff) „ и приведем постановку задачи оптимального управления.
Отметим, что мы фиксируем некоторую базовую меру Р на фильтрованном пространстве (Q, F , (Ft )І О), относительно которой в 2 было построено семейство вероятностных мер {Р7 }7 ejt «v, причем для любой допустимой стратегии 7» Р7 Р 3.1. Пусть на стохастическом базисе (Q, F, {Ft)teN , Р), задана случайная последовательность (St,Ft)teNo, принимающая значения в (Rd,B(Rd)), причем d оо и N со. Без ограничения общности можно считать, что Ft = Ff = a{S0t...tSt}ta F = F .
Пусть для любого t Є N\ Р (t — 1,XQ-1;, В) - регулярные переходные вероятности [36] на Rd х В (Rd) со значениями в [0,1], соответствующие последовательности (St,Ff), т.е. Р-п.н. Хорошо известно [36], что в данном случае такие переходные вероятности существуют. Будем считать, что вероятностная мера Р, соответствующая случайной последовательности (St,Ff) , порождается начальным распределением PQ (SQ Є J4), где VA 6 В (Rd) и переходными вероятностями Р (, 5J; і + 1, Б), где S\ = (50,. -. ,5f), t Є ЛЬ, "история" процесса (Su Ff) до момента времени t. Пространства последовательностей {хг}тЄ0 (-, (ж 0), {xT}TeN (х$) будем обозначать через Et и 2?дг соответственно, через В (Et) и В (EN) -борелевские сг-алгебры на Et и Ем, соответственно. Соглашения. 1) Q = Е ] 2) элементы XQ[JRd(N t+1 будем также обозначать через х\\ 3) Et (J Rd(N t+i) также будем обозначать через Et. 3.2. В 1 (см. пункт 1.3) мы определили стратегию 7» = (ТОІЄ-ЛҐ как S предсказуемую случайную последовательность со значениями в (Rd, В [Rd)) В 2 (см. пункты 2.1, 2.3) мы определили допустимое управление и допустимую стратегию, а также множество допустимых управлений Dt(P) и допустимых стратегий Z).(P). В данном пункте мы построим управляемую в слабом смысле последовательность. Пусть на (Q,Pjy) задана "базовая" мера Р, описанная в пункте 3.1. данного параграфа. В 2 с помощью преобразования Крамера-Эшера мы для каждой стратегии 7« Є D,(P) поставили в соответствие вероятностную меру Ру эквивалентную Р. Последнее означает, что: 1) множества нулевой меры Р7 не зависят от выбранной стратегии 7. Є D.(P); 2) каждой 7« Є &.(Р) соответствует вероятностная мера Р7 , эквивалентная вероятностной мере Р на траекториях случайной последовательности (St,Ft)teN , причем выбор производной Радона-Никодима Z]} (CJ) = -(w), имеющей вид (4), определяется выбором стратегии 7. Є D.{P). Отметим также, поскольку Г2 - польское пространство, то мера Р7 порождает семейство регулярных условных вероятностных мер Р7, (B Ff). В 2 мы установили достаточные условия относительной слабой компактности семейства s Р7 к Теперь перейдем к определению управляемой в слабом смысле случайной последовательности. Обозначим через т(7 ) ст-алгебру, порожденную 7(-Определение. Будем говорить, что случайная последовательность (St,Ft)teN управляема в слабом смысле, если для любой 7» Є D,(P) существует вероятностная мера Р7 Р (где Р - базовая мера), такая, что порождаемые ей условные вероятности Р7 (ASt Є Л \Ff_r) для Vi Є N\ и А Є В [Rd) являются Ff а {7 }-измеримыми, а начальные распределения вероятностей Ръ (So Л) = Р (S0 Є Л) для VA Є В (Rd), (т.е. оно не зависит от 7.)- Доказательство. В силу теоремы 3, для V7 Є D {P) определен процесс Крамера-Эшера [Zj ,Ff) N , определяемый рекуррентным соотношением (4). В силу теоремы 4, существует вероятностная мера Р1 (В) = MZ]$lD (to), где V5 Є FjJ и V7. Є D,(P)t причем Ръ Р} поэтому множество нулевой меры Ръ не зависит от 7.- Так как ( +1) - польское пространство, то для любых t N1, А В (Rd) и \Ау. Є D (P) существуют регулярные условные распределения Р (ASt Є А \Ff_-y), Ръ (ASt A \Ff ) В данном случае эти регулярные условные распределения взаимно абсолютно непрерывны, поэтому в силу теоремы Радона-Никодима сущест вует плотность —Л і / Поэтому Ръ (ASt A\Fts ) для VA Є В (Rd) является F? {7 }-измеримой. Доказательство закончено. Опишем теперь функционал стоимости Ядг- Предположим, что он мультипликативный, причем терминальная часть логарифма функцио нала стоимости является действительной, ограниченной F -измеримой функцией, обозначаемой через //v (".), а текущая стоимость (профит) яв ляется кумулянтой последовательности (St,Ff) „ относительно меры Р, т.е. Отметим, что если применена стратегия 7. ?.(Р), то среднее значение функционала стоимости относительно меры Ръ определим выражением MT RN(S.). Требуется найти такую стратегию у, Є D.(P), чтобы значение средней стоимости относительно меры Ръ было минимальным. Для дальнейшего изложения понадобится ряд обозначений. Пусть Ї7. С D (P). Обозначим через t/fl2 множество, являющееся сужением на {ti + 1,... ,} множества U.. Через U a обозначим подмножество U, такое, что на {l,...,ti} применена некоторая { Л$є{і t\ f/ 1, а, на {ti + 1,..., 1%} - любая {j3s}se,t +1 ;(і Є Uti+v Обозначим для любых t Є Щ и 7, Є D.(P)
Существование -оптимальных и оптимальных стратегий. Допустимость оптимальных и е-оптимальных стратегий. Эквивалентные стратегии
Целью этой главы является построение представлений -измеримых ограниченных случайных величин.
В этой главе содержатся основные результаты работы. 1 содержит в себе описание множеств вероятностных мер, связанных: а) с уравнением (12), б) свойствами решения уравнения Беллмана (12), в) с оптимальными допустимыми стратегиями, которое необходимо для формулировки основных утверждений. Отметим, что это описание существенным образом опирается на результаты главы 2. В 2 определяется (, т, А)-представление и устанавливаются условия его существования для некоторого класса вероятностных мер. Здесь показано, что это представление имеет место для любой і -измеримой ограниченной случайной величины, если: і) соответствующее уравнение Беллмана (12) имеет единственное ограниченное положительное решение; іі) существует оптимальная стратегия. 3 посвящен построению 5-представления для ограниченных F -измеримых ограниченных случайных величин. В этом параграфе получены необходимые и достаточные условия существования этого представления, а также установлена связь 5-представления с уравнением Беллмана (12). Отметим, что конструкция -представления полностью определяется решением уравнения Беллмана и оптимальной стратегией. 4, по существу, содержит обобщение результатов 2. Здесь мы устанавливаем представление, аналогичное (5, т, А)-представлению с той лишь разницей, что вместо оптимальной стратегии используется е-опти-мальная. В силу сказанного, построенное в этом параграфе представление было названо є — (5, m, УІ)-представлением. В 5 получены условия, когда существует S-представление с точностью до любой наперед заданной величины є 0, поэтому это представление было названо є — 5-представлением. Попутно отметим, что конструкция этого представления определяется решением уравнения Бел-лмана и е-оптимальной стратегией. В 6 получены условия, выполнение которых обеспечивает существование представлений для i -измеримых случайных величин: а) относительно целочисленной случайной меры [iS и вероятностной меры Р\ б) относительно мартингальной случайной меры fts — и и вероятностной меры Q. Кроме того, в этом параграфе устанавливается связь fis и (fis — -представлений с некоторыми результатами 2-5. 7 посвящен применению результатов, полученных в 2-5, к задаче нахождения новых (по сравнению с результатами 7 главы 2) необходимых и достаточных условий существования оптимальных и є-оп-тимальных стратегий. Кроме того, в этом параграфе получены: і) новые оценки для оптимальных и е-оптимальных управлений, Іі) условия единственности оптимальных стратегий. В 8 содержится применение результатов 2-5 для решения ряда задач расчета Европейского опциона для полных рынков. 1. Описание некоторых множеств эквивалентых вероятностных мер. 1.1. В главе 2 для rf-мерной последовательности (5 , Ff)N и мультипликативного критерия мы вывели уравнение Беллмана (2.12) и установили некоторые свойства решений и оптимальных управлений. В данном параграфе, опираясь на результаты главы 2, строим классы вероятностных мер, эквивалентных Р, относительно которых уравнение Беллмана (12) разрешимо, существуют оптимальная и -оптимальная допустимые стратегии в задаче оптимального стохастического управления, описанной в 3 главы 2. 1.2. Пусть на стохастическом базисе (П, F, {Ff)tN , Pj задана tf-мерная случайная последовательность (,, Pf)teN , меру Р будем называть базовой. Обозначим VN (5, Р) = { множество вероятностных мер Q на фильтрованном измеримом пространстве (Q}F,(Ff)N ) эквивалентных базовой мере Р, т.е. Q ру. В дальнейшем интеграл по любой мере Q Є VN (S, Р) будем обозначать через М . Предложение 1. VN (5, P) - выпукло. Доказательство. Пусть Q Є Vw(S,P), і = 1,2. Нам надо доказать, что Q& = aQW + (1-a) Q&\ где Va Є [0,1], принадлежит VN [S,P). Действительно: а) очевидно, что Qa - вероятностная мера, б) так как Q(0 V Р, ТО И Q(a Р. Доказательство закончено. 1.3. V% 5, Р) — {Q Є PJV (5, P) : существуют положительные константы сі и С2 такие, что MQ [ес Л5(! Pi] с2 Q-п.н. для любого ( Є iVi}. PN,C{S,P) = {Q Є Vjy(S,P) : существуют положительные константы с3 и с4 такие, что Q [[Д5( х \Ff-i] сзе С4ЯГ Q-п.н. для любого t iVj}. Отметим, что из предложения 1 главы 2 следует, что (S,P)=VN,C(S,P). 1.4. Пусть GQ (i,5$_1,-7) = \nMQ [e- AS(» 1] - кумулянта последо вательности (St,Ff)teN относительно меры Q, а Dt{Q) = {lRd- \GQ (i,Sj_1,-7) ooP - п.н.}. D.{Q) - определяется аналогично пункту 2.3 2 главы 2. 1.4.1. Обозначим VNtD, (5, Р) {Q Є Pjv (5, Р) : Д (Q) ф 0 для V Ni]. Очевидно, что Рад (5, Р) С VN 5, Р). VN,D.,I{S,P) = {Q Є VN,Dt(S,P) : MQ \ASt\l со для любого t iVi и г = 1,2} Предложение 2. Если выполнено одно из условий: а) V%{S,P) ф 0, б) VNtc 5, Р) # 0, то 7 ад (5, Р) 0 и VNM (5, Р) ф 0. Доказательство утверждения предложения 2 следует из теоремы 2 главы 2. 1.4.2. Положим VxiDt 5, Р) = {Q Є VN,D. (5, Р): существует положитель ная константа с 0 такая, что Q — essinf exp [GQ (t, 5J"1, —7) } с 0 7ЄІ?(((?) Q-и.к. для любого і G N1}. 1.4.3. 7. (5, Р) = {Q Є 7 лг,хэ. (5, Р) : для любого Є ЛГХ Q-п.н. lim GQ ( ! 55 ,-7) -00}.
Представление -измеримых ограниченных случайных величин
Стало быть стратегия рє9 - -оптимальна. Доказательство закончено. 7.5. В данном пункте мы получим условия сходимости по вероятности Q е-оптималыгой стратегии (рєл Є Dm (Q) к оптимальной стратегии 7? Є .D. (Q), а также оценим модули 7? и ip\. Теорема 24. Пусть выполнены условия теоремы 12, а также:
Для Любых t Є NQ Существуют Положительные Константы 0 С\ С2, такие, что, для решения уравнения Беллмана справедли teN0 вы неравенства с\ Vt сг Q-п.н., ii) существует положительная константа сз 0, такая, что для любых Тогда справедливы следующие утверждения: 1) для оптимальной стратегии 7? Є D» (Q) справедлива оценка І7Я ( In -Г Q-п.н. для любых Є iVi, 2) для е-оптимальной стратегии рЕ9 -D. (Q) справедлива оценка \(рЦ Q-п.н. для любых t Є Ni, 3) если мартингальная мера Q единственна, то справедлива оценка \фІ - 7? (]fe) Q-п.н. для любых t iVi. Доказательство. 1) В силу условия ІІ) Н (,-1, — 7) Q-п.н. строго выпукла, поэтому оптимальная стратегия 7? единственна в силу пункта 2 теоремы 30 главы 2. Так как 7 Є (Q), то для любых t N\ Q-п.н. Отсюда следует первое утверждение. 2) Так как pi 6 D. (Q) — -оптимальная стратегия, то в силу теоремы 18 главы 2 для любых є 0 и t Є iVi Q-n.n. справедливо е Н (t,So_1, — vf)- Далее проводя выкладку, аналогичную использованной при доказательстве пункта 1 теоремы, имеем е еСз 1 Q-п.н. Отсюда следует второе утверждение теоремы. 3) Так как (рєф Є D, (Q) — е-оптимальная стратегия, а 7, Є & (Q) -оптимальная стратегия, то для любых є О и t Є N\ Q-п.н. справедливо ?ASt)-(9t-i?ASt) \FS_ Поэтому в силу условия ii) и единственности мартингальной меры в силу теоремы 7 имеем Q-п.н. для любого t Є JVi Отсюда следует третье утверждение теоремы. 7.6. В заключение параграфа приведем условия неединственности оптимальной стратегии. Теорема 25. Пусть выполнены условия теорем 7 или 8. Для некоторого момента времени tE.Ni оптимальное управление 7І неединственно тогда и только тогда, когда компоненты вектора ASt Q-п.н. линейно зависимы, т.е. существуют Ff_i измеримый cf-мерный вектор Ct такой, что {CttASt) = 0Q-n.n. Доказательство. Пусть yt , г = 1,2, два различных оптимальных . гр 0(A) & х 0(1) , /, хч 0(2) управления в момент времени г, 1 огда управление т = Ъ +(Д )Ъ в момент времени , где VA Є (0,1), в силу теоремы 31 главы 2, также является оптимальным. Поэтому из теоремы 7 следует, что для VA Є (0,1) Q-п.н. справедливы представления Д1пУ( = i t ,AStJ и AlnV — f 7( ,ASt). Отсюда, в силу единственности Vt , следует, что 0 = [Ъ It і Д5; ] Q-п.н. Значит, компоненты вектора ASt линейно за висимы. 109 Обратно. Пусть существует нетривиальный -мерный РД -изме-римый вектор Ct такой, что (Ct,ASt) = 0 Q-п.н. Тогда, в силу условий, Q-n.H. AVtQ = blASt) = ( fltASt) + (Ct,ASt) = (7? + С,,Д5і). т-е-7f + Ct - также оптимальная стратегия по утверждению теоремы 7. Доказательство закончено. 8. Расчет опциона Европейского типа. Данный параграф посвящен решению задачи расчета Европейского опциона. Здесь мы применим теоремы 6, 7 и 13 к решению этой проблемы. 8.1. Для формулировки основных утверждений введем ряд обозначений и определений. Пусть {St)Ffj N - d-мерная последовательность. Предположим, что она управляется рекуррентным соотношением где So - d-мерный вектор, Е = {6ц) - матрица размера d х d, 5{j — . , (р(, Ff) N , (р , Ff) N -последовательность случайных мат З риц размера d X d, и описывает эволюцию стоимости d различных активов. Предположим, что выполняется условие (S) для VQ Є РрЕВьі ) -і) MQ 5o oo; Іі) для любого 16 No Sf 0 Q-п.н., где Si - г-я компонента вектора St. Величину Xt = (7f,S() назовем капиталом в момент времени t Є ./). Определение. Стратегию (портфель) 7» Є D9 (Q) назовем самофинансирующей, если для любого t Є NQ Q-п.н. (Ajt, St-i) — 0- Множество самофинансирующих стратегий обозначим через SFD. (Q). Очевидно, если 7. Є SFD.(Q), то для капитала {Xt%Ff}N t справедливо представление Q-п.н. X] = Х$ + J2 (7І Д %) а величину XQ - .Fjf-измеримую, называем начальным капиталом. . -измеримую ограниченную случайную величину / (S»), вве 110 денную в 2, в стохастической финансовой математике называют платежным обязательством с моментом погашения N. Задача расчета опциона Европейского типа состоит в выборе стратегии (портфеля) 7 Є 3FDt (Q) и минимального начального капитала XQ такого, что Xjj — /лг(5.) Q-П.Н. Отметим, что такой портфель называют хеджирующим, а 7. SFD.(Q) минимальным хеджем. 8.2. Теперь мы можем сформулировать основное утверждение. Теорема 26. Пусть выполнены условия теоремы 7, либо теоремы 8, и условие (5). Тогда относительно меры Q Е Л4 Р ЕВ (,{Р) справедливы следующие утверждения:
