Введение к работе
Актуальность темы исследования
Изучение асимптотического поведения максимума приращений частичных сумм независимых случайных величии является классической задачей теории вероятностей
Объектом исследования являются два типа статистик В первом тине статистик рассматривается максимум по всем приращениям частичных сумм определенной длины Во втором - максимум берется по всем приращениям, длины которых не превосходит определенной величины. В последнем случае переходим к двойному максимуму.
Задача состоит в отыскании такой нормирующей последовательности, что предел в смысле сходимости почти наверное (н.н), если он существует, или верхний предел равнялся единице В зависимости от величины, определяющей длину приращений, асимптотическое поведение максимума меняется от нсипвариаптпости к сильной инвариантности Когда приращение будет иметь ту же длину, что и сумма, асимптотическое поведение выражается законом повторного логарифма
Первым систематическим изучением таких статистик можно считать книгу Черго и Ревеса "Сильная аппроксимация в вероятности и статистике"|6| (1981).
В дальнейшем исследование ионию по следующим направлениям:
1 Для случайных блужданий
Расширение класса рассматриваемых случайных величин и поиск универсальной нормирующей последовательности. Такое направление нашло законченное оформление в работах Фролова [4|
Исследование следующих членов асимптотики Этой задачей
занимались многие авторы, например, Деврой, Дсовсльс, Штайнебах [31
Отыскание нижнего предела. Этим вопросом для винеровского
процесса занимались Дно [7|, Бук и Шор [2], для дробного
броуновского движения Занг Ли-Сии [10].
2. Для случайных полей
Поиск универсальной нормирующей последовательности. Этой проблемой также занимался Фролов [1], [5]
Расширение класса приращений В книге Чёрге и Ревеса [6[, а затем в работах Запга [11] рассматривались приращения по параллелепипедам, лежащим в областях, включающих в себя как кубы, так и гиперболические области Но эти авторы ограничились размерностью два
Исследование следующих членов асимптотики. Для приращений логарифмических объемов результат получен Штайнсбахом и Пфулем [9].
Отыскание нижнего предела Частный случай размерности два был рассмотрен Зангом [И] для дробного и обычного броуновского движения.
Тема диссертации лежит в русле бурно развивающихся исследований в области предельных теорем для случайных полей. В частности, исследование случайных полей проводится но трем из перечисленных выше направлений, за исключением поиска универсальной нормирующей последовательности.
Существенной чертой диссертации является рассмотрение случайных полей с односторонним условием Крамера - рассмотрение этого класса
можно встретить в работах Штайпсбаха (8| - [9|. Это обстоятельство исключает возможность доказательства теорем с помощью сильного принципа инвариантности из результатов для винеровского процесса
В диссертации исследуется асимптотическое поведение максимальных приращений случайных полей. В связи с рассмотрением случайных нолей возникают некоторые особенности, во-первых, невозможность определить полный порядок на целочисленной решетке и, во-вторых, возможность разных вариантов определения тех приращений, которые исследуются. Асимптотическое поведение случайных полей первоначально изучалось для максимальных приращений по различным параллелепипедам, лежащим внутри кубов возрастающего объема.
Важной чертой настоящего исследования является расширение класса объектов, рассматриваемых в предельных теоремах для приращений, до параллелепипедов и гиперболических областей Структура множеств для двунараметрического винеровского процесса, представленная Черго и Рсвесом [6|, а позднее Заигом [11], включает в себя как кубические, так и гиперболические области, но параллелепипеды оставались вне поля зрения этих авторов. В отличие от кубов, которые при возрастании объема образуют возрастающую последовательность множеств, параллелепипеды ведут себя иначе. Это обстоятельство существенно осложняет доказательство. В верхних оценках это затруднение преодолевается рассмотрением гиперболических областей, включающих все параллелепипеды данного объема и обладающих свойством кумулятивное В нижних оценках для параллелепипедов приходится конструировать сложные семейства из дизъюнктных параллелепипедов
Цель работы
Цели диссертации состоят в следующем:
получить комбинаторные оценки для различных подмножеств целочисленной решетки произвольной размерности;
расширить класс рассматриваемых статистик для произвольной размерности,
получить результаты о вероятностях больших уклонений для больших приращений случайного поля;
определить нормирующие последовательности в предельных теоремах для максимальных приращений случайных нолей;
найти скорость сходимости в предельных теоремах для приращений случайных полей;
отыскать верхний и нижний предел нормированных и центрированных статистик
Методы исследования
Существует два подхода к изучению таких задач.
Первый продемонстрирован в книге Черго и Ревеса [6] и основан на применении сильного принципа инвариантности Такой подход весьма ограничивает класс рассматриваемых случайных величин, налагая па них дополнительные моментные условия, и применим не для всяких длин приращений.
Другой подход предполагает изучение объектов, построенных непосредственно на случайных величинах. Этот подход в основном применяют для тех зон приращений, где нет инвариантности Кроме того,
он даст возможность ослабить момептпые условия Этот метод будет использован в диссертации, кроме того, отражение этого подхода можно увидеть у таких авторов как Штайнсбах и Фролов
Методы исследования, использованные в диссертационной работе, можно охарактеризовать так.
в верхней оценке вероятностей максимума приращений случайных нолей доказываются и используются неравенства для двойного максимума и оценки мощностей семейств множеств многомерной вещественной решетки, куда погружаются параллелепипеды целочисленной решетки,
доказываются и применяются результаты о вероятностях больших уклонений для случайных нолей,
для оценки снизу Используются различные дизъюнктные семейства многомерных параллелепипедов;
сходимость почти наверное устанавливается с помощью некоторых обобщений леммы Бореля-Каителли.
Научная новизна
Новизну работы можно увидеть в нескольких аспектах.
Во-первых, сформулирована и доказана теорема о точной асимптотике для больших приращений, из которой вытекают следствия о скорости сходимости и верхнем и нижнем пределе центрированных и нормированных статистик.
Во-вторых, обобщены предельные теоремы Штайнебаха для приращений случайных полей но кубам на гиперболические области и снято ограничение на рост объема приращений, а также обобщены теоремы
Штайнебаха и Пфуля о скорости сходимости для логарифмических приращений случайных нолей по кубам на гиперболические области
В-третьих, сформулирована и доказана важная теорема о вероятностях больших уклонений для больших приращений случайного поля с односторонним условием Крамера.
В-четвертых, расширен класс рассматриваемых приращений. Рассматриваются приращения но параллелепипедам, которые в отличие от кубов и гиперболических областей при возрастании объема не образуют возрастающей последовательности множеств.
В-нятых, в диссертации сформулирован и доказан ряд лемм комбинаторной аппроксимации, которые позволяют получать оценки для мощностей множеств па с(-мерной целочисленной решетке и, кроме того, их можно использовать для вычисления метрической энтропии, то есть оценивать мощность е-сетей
Важным этапом исследования стало изучение следующих членов асимптотики. В теоремах о скорости сходимости для случайных полей ранее были представлены результаты лишь для логарифмических приращений, приращения рассматривались только по кубам. Для приращений большего объема часть результатов о скорости сходимости и о нижнем пределе является новой и для одиопарамстрического случая.
Практическая и теоретическая ценность
Результаты работы важны для расширения и углубления знаний об асимптотическом поведении случайных полей и, в частности, случайных блужданий Проведенные исследования позволяют дополнить аппарат работы с многомерными множествами и могут быть полезны для
оценок метрической энтропии. Полученные оценки вероятностей больших уклонений могут быть использованы в статистических приложениях
Публикации
По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ Список приведен в конце автореферата
Апробация работы
О результатах исследования докладывалось на конференциях' международной конференции, посвященная 90-лстию со дня рождения Б.В. Гисдеико (Киев, 2002 год), Одиннадцатой исероссийской школе коллоквиуме по стохастическим методам (Сочи, 2004 год), Российско-Скандинавском Симпозиуме но теории вероятностей и прикладной вероятности (Петрозаводск, 2006), на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике в ПОМП РАН (2006 год).
Структура и объем диссертации
