Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Ковариационные и моментные оценки для слабо зависимых случайных полей 13
1.1 Ассоциированность случайных полей и родственные понятия 13
1.2 Оптимальная оценка ковариаций индикаторных функций от положительно или отрицательно ассоциированных случайных вели -
1.3 ЦПТ для эмпирических функций распределения 33
1.4 Моментная оценка для сумм (BL, #)-зависимых случайных величин 34
1.5 ФЦПТ для (BL, #)-зависимых случайных величин 42
Глава 2. Предельные теоремы для объемов экскурсионных множеств случайных полей 45
2.1 ЦПТ для объемов экскурсионных множеств ассоциированных случайных полей 45
2.2 ФЦПТ для объемов экскурсионных множеств ассоциированных случайных полей 48
2.3 ФЦПТ для объемов экскурсионных множеств квази-ассоциированных случайных полей 56
Глава 3. Предельные теоремы для функций от случайных мер 62
3.1 Обобщение ЦПТ Эванса для интегралов по случайным мерам . 62
3.2 ФЦПТ для интегралов по случайным мерам 71
3.3 ФЦПТ для параболически преобразованных решений уравнения
3.4 ФПТ для решений уравнения Бюргерса, соответствующих начальным потенциалам, задаваемым полями дробового шума 77
3.5 Предельная теорема для макс-обобщенных процессов Кокса 88
Заключение 95
Список литературы 96
- Оптимальная оценка ковариаций индикаторных функций от положительно или отрицательно ассоциированных случайных вели
- Моментная оценка для сумм (BL, #)-зависимых случайных величин
- ФЦПТ для объемов экскурсионных множеств ассоциированных случайных полей
- ФЦПТ для интегралов по случайным мерам
Введение к работе
Актуальность темы
Положительно или отрицательно зависимые семейства случайных величин играют важную роль в рамках современной теории случайных процессов и полей. Такие формы зависимости исследовались в основополога-ющих работах Т. Харриса, Е.Лемана, Дж. Изери, Ф. Прошана, Д.Уолкапа, К. Фортуина, П. Кастелейна, Ж. Жинибра, К. Алама, К. Саксены и К. Иоаг-Дева. Интерес к подобным стохастическим системам обусловлен наличием у них широкого класса приложений к задачам математической статистики, теории надежности, теории перколяции и статистической физики. Ключевым понятием тут является ассоциированность рассматриваемых случайных величин, представляющая собой одно из обобщений независимости. Начиная с 80-х годов прошлого века ведется активная работа по установлению классических предельных теорем теории вероятностей для ассоциированных случайных полей, а также полей, обладающих родственными формами зависимости. Данной тематике посвящены труды Ч.Ньюмена, А.Райта, А. В. Булинского, А. П.Шашкина, Т. Биркела, ХаоЮ, К.-М.Шао, С.Луиши, П.Оливейры, Ш. Сюкэ, Б. Мореля, М. А. Вронского, Н. Ю. Крыжановской, Л.-К. Жанга, Дж. Вена, Б. Пракаса Рао и других исследователей. Условия, обеспечивающие выполнение многих предельных теорем для упомянутых полей, формулируются достаточно просто и легко проверяются. Так, например, при рассмотрении стационарного поля обычно предполагается, что входящие в него случайные величины обладают абсолютным моментом определенного порядка, а ковариационная функция убывает достаточно быстро при росте аргументов.
В диссертации основное внимание уделяется изучению нелинейных функций, берущихся от семейств зависимых случайных величин. Примером таких функций могут служить индикаторы, возникающие при исследовании эмпирических распределений, непараметрических статистик, экскурсионных множеств. Доказательства ряда предельных теорем для таких стохастических объектов опираются на оценку ковариаций индикаторных функций от ассоциированных случайных величин, установленную в работе
И. Багай, Б.Пракаса Рао . В диссертации получено уточнение упомянутой оценки и показано, что этот результат является в определенном смысле оптимальным.
В диссертации также исследуются (-BL, #)-зависимые случайные поля, которые часто возникают при рассмотрении нелинейных функций от элементов ассоциированных полей. Получена новая оценка моментов мульти-индексированных сумм (-BL, #)-зависимых случайных величин, обобщающая теоремы К.-М. Шао, Хао Ю2 и А. В. Булинского, А. П. Шашкина3. С ее помощью устанавливается новый вариант слабого принципа инвариантности для зависимых случайных величин. А именно, обобщаются результаты А. В. Булинского, М. С. Кина4 и А. В. Булинского, А. П. Шашкина5 (теорема 5.1.5 (д)).
Теория экскурсионных множеств и множеств уровня случайных полей является одной из динамично развивающихся областей стохастической геометрии. Отметим вклад в изучение подобных случайных объектов, который внесли Ю. К. Беляев, А. В. Иванов, Н. Н. Леоненко, А. П. Шашкин, Д. Н. Запорожец, И.А.Ибрагимов, Д. Мешенмозер, Р.Адлер, Д.Тейлор, Ж.-М. Азаис, М. Вшебор. В диссертации получены несколько предельных теорем для объемов экскурсионных множеств стационарных случайных полей с непрерывной ковариационной функцией. В частности, установлен функциональный вариант центральной предельной теоремы из работы А. В. Булинского, Е. Сподарева и Ф. Тиммерманна6.
Кроме того, в диссертации изучаются асимптотические свойства ряда функций от случайных мер. Получено обобщение центральной предельной теоремы С. Эванса7 для интегралов по случайным мерам и
1BagaiL, PrakasaRao В. L. S., Estimation of the survival function for stationary associated processes // Statistics and Probability Letters, 1991, 12, 5, 385-391.
2Shao Q.-M., YuH., Weak convergence for weighted empirical processes of dependent sequences // Annals of Probability, 1996, 24, 4, 2098-2127.
3Bulinski A., Shashkin A., Strong invariance principle for dependent random fields // IMS Lecture Notes — Monograph Series Dynamics and Stochastics, 2006, 48, 128-143.
4Bulinski A. V., KeaneM. S., Invariance principle for associated random fields // Journal of Mathematical Sciences, 1996, 81, 5, 2905-2911.
5Булинский А. В., Шашкин А. П., Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2008.
6Bulinski А. V., SpodarevE., TimmermannF., Central limit theorems for the excursion sets volumes of weakly dependent random fields // Bernoulli, 2012, 18, 1, 100-118.
7EvansS.N., Association and random measures // Probability Theory and Related Fields, 1990, 86, 1, 1-19.
доказан ее функциональный вариант. В качестве примера применения этого результата установлено обобщение теоремы Ю. Ю. Бахтина8 для преобразованных решений уравнения Бюргерса со случайными начальными данными. Предельные свойства таких решений интенсивно изучаются начиная с 90-х годов прошлого века. Им посвящены работы М. Розенблатта, А. В. Булинского, С. А. Молчанова, Д. Сургайлиса, В. Войчинского, Я. Г. Синая, Н. Н. Леоненко, Э. Орзингера, Т. Фунаки, М. Руиз-Медины, О. Барндорфф-Нильсена и других исследователей. В диссертации также доказана функциональная предельная теорема в пространстве гладких функций для решений уравнения Бюргерса, соответствующих начальным потенциалам, задаваемым определенными полями дробового шума.
Отметим, что в диссертации уделяется внимание и исследованию макс-обобщенных процессов Кокса, играющих важную роль при анализе неоднородных потоков экстремальных событий, см., напр., монографию В. Ю. Королева и И. А. Соколова9.
Цель работы
Цель данной диссертации состоит в решении следующих взаимосвязанных задач: получить оптимальную ковариационную оценку для индикаторных функций от положительно или отрицательно ассоциированных случайных величин; обобщить слабый принцип инвариантности Булинского-Кина; доказать функциональный вариант предельной теоремы Булинского-Сподарева-Тиммерманна для объемов экскурсионных множеств; обобщить предельную теорему Эванса для интегралов по случайным мерам; изучить асимптотические свойства решений уравнения Бюргерса, соответствующих начальным потенциалам, задаваемым определенными полями дробового шума; исследовать предельные свойства макс-обобщенных процессов Кокса, порожденных зависимыми случайными величинами.
8БахтинЮ.Ю., Функциональная центральная предельная теорема для преобразованных решений многомерного уравнения Бюргерса со случайными начальными данными // Теория вероятностей и ее применения, 2001, 46, 3, 427-448.
9КоролевВ.Ю., Соколовії. А., Математические модели неоднородных потоков экстремальных событий. Москва: ТОРУС-ПРЕСС, 2008.
Научная новизна
Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные из них:
-
Установлена оптимальная ковариационная оценка для индикаторных функций от положительно или отрицательно ассоциированных случайных полей. Кроме того, найдена новая моментная оценка для сумм зависимых случайных величин, обобщающая неравенства К.-М. Шао, Хао Ю и А. В. Булинского, А. П. Шашкина.
-
Доказаны новые варианты функциональных предельных теорем, в частности, для объемов экскурсионных множеств ассоциированных и квази-ассоциированных стационарных случайных полей, заданных на последовательности многомерных блоков.
-
Получена центральная предельная теорема для интегралов по случайным мерам, обобщающая результат С. Эванса. Установлена ее функциональная версия.
-
Доказана функциональная предельная теорема в пространстве гладких функций для решений уравнения Бюргерса, соответствующих начальным потенциалам, задаваемым определенными полями дробового шума.
-
Получена предельная теорема для макс-обобщенных процессов Кокса, порожденных зависимыми случайными величинами, обобщающая результат статьи В. Ю. Королева и И. А. Соколова.
Результаты диссертации обоснованы в виде строгих математических доказательств и получены автором самостоятельно.
Методы исследования
В диссертации использовалась разнообразная техника. Помимо вероятностных методов изучения распределений случайных функций автором применяется аппарат теории функции и функционального анализа.
Теоретическая и практическая ценность
Диссертация носит теоретический характер. Доказанные в ней новые предельные теоремы для систем слабо зависимых случайных величин будут полезны при изучении асимптотического поведения широкого класса стохастических моделей. Результаты диссертации могут быть использованы специалистами МГУ им. М. В.Ломоносова, Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Санкт-Петербургского государственного университета, Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, а также других ведущих научных центров.
Апробация работы
По теме диссертации были сделаны доклады на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова:
Большом семинаре кафедры теории вероятностей под рук. академика РАН А.Н.Ширяева (2013),
семинаре «Асимптотический анализ случайных процессов и полей» под рук. профессора А. В. Булинского и доцента А. П. Шашкина (2011-2013),
а также
Санкт-Петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под рук. академика РАН И. А. Ибрагимова (2013),
семинаре «Forschungsseminar Stochastische Geometrie unci raumliche Statistik» университета г. Ульм под рук. профессора Е. Сподарева и профессора Ф.Шмидта (2011).
Результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях: «Ломоносов-2011» (Москва, 2011), «XXIX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models» (Светлогорск, 2011), «Ломоносов-2012» (Москва, 2012), «Ломоносов-2013» (Москва, 2013), «XXXI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models» (Москва, 2013), «29-th European Meeting of Statisticians» (Будапешт, Венгрия, 2013).
Работа автора поддержана грантом РФФИ 10-01-00397-а.
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в 9 работах автора, из которых три — в журналах из перечня ВАК. Список работ приведен в конце автореферата [1-9]. Все работы написаны без соавторов.
Структура диссертации
Диссертация изложена на 105 страницах и состоит из титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 102 наименования.
Оптимальная оценка ковариаций индикаторных функций от положительно или отрицательно ассоциированных случайных вели
Многие годы активно развивается теория дифференциальных уравнений с частными производными, начальные данные для которых задаются некоторыми случайными объектами. Уравнение Бюргерса является одним из наиболее интенсивно исследуемых. Известно, что с помощью так называемой подстановки Хопфа-Коула его можно свести к уравнению теплопроводности, так что решение задачи Коши для уравнения Бюргерса представимо в явном виде как отношение двух интегралов с определенными ядрами. Данное уравнение описывает множество физических явлений (см., напр., [13]), причем немаловажную роль играют модели, в которых начальный потенциал задается некоторым стационарным случайным полем { ж, х Є Rd}. Так, например, подобные стохастические конструкции возникают при анализе крупномасштабного строения Вселенной. Исследованию асимптотических свойств преобразованных решений уравнения Бюргерса со случайными начальными данными посвящены работы М. Розенблатта, А. В. Булинского, С. А. Молчанова, Я. Г. Синая, Д. Сургаилиса, В. Войчинского, Н. Н. Леоненко, Ю.Ю.Бахтина и многих других (см., напр., [91], [45], [8], [96], [46], [47], [97], [73], [1], [2], [98], [74]). При этом часто задача анализа асимптотики решений сводится к получению ЦПТ для интегралов от определенных гладких функций по случайной мере M(dx) = e xdx. В третьей главе диссертации установлен ряд ЦПТ и ФЦПТ для интегралов по случайным мерам, которые затем применяются к обобщению ФЦПТ Бахтина для решений уравнения Бюргерса со случайными начальными данными.
В первом параграфе третьей главы доказывается обобщение ЦПТ Эванса [66] для интегралов от ограниченных интегрируемых функций по стационарным квадратично интегрируемым случайным мерам. Потребность в таком результате обусловлена желанием иметь возможность применить подобную ЦПТ к мерам вида M(dx) = F( x)dx (где F — неотрицательная липшицева функция) для достаточно широкого класса квази-ассоциированных случайных полей , в то время как ЦПТ Эванса применима только к ассоциированным случайным мерам. Во втором параграфе рассматриваются интегралы по случайным мерам от гладких функций с параметром. При этом предложен новый метод оценки второго момента приращений подобных интегралов на блоках, позволяющий установить для них ФЦПТ при весьма широких ограничениях на рассматриваемую меру и интегрируемую функцию. Наконец, в третьем параграфе с помощью этой ФЦПТ выводится обобщение теоремы Бахтина.
Важным примером квадратично интегрируемой случайной меры является пуассоновский точечный процесс и его различные модификации. В четвертом параграфе в качестве начальных потенциалов в задаче Коши для уравнения Бюргерса рассматриваются порожденные им случайные поля дробового шума. Подобная модель изучалась в работах А. В. Булинского [45], [46], А. В. Булинского и С.А.Молчанова [8], Д. Сургаилиса и В. Войчинского [97], а также других исследователей. Распределение пуассоновского точечного процесса характеризуется его интенсивностью. Мы рассматриваем случай, когда интенсивность равна натуральному п, и устанавливаем функциональную предельную теорему (ФПТ) для соответствующих решений уравнения Бюргерса при п — оо. При этом интересно отметить, что функциональную сходимость удалось доказать не только в пространстве непрерывных функций, но и получить более сильный результат в пространстве гладких функций.
В пятом параграфе третьей главы рассматривается дважды стохастический пуассоновский процесс Z = {Z(t), t 0}, называемый также процессом Кокса, и некоторая последовательность случайных величин X = {Хп, п Є N}, не зависящая от Z. В недавних работах В. Ю. Королева и соавторов ([22], [23]) исследуется предельное поведение макс-обобщенного процесса Кокса {max/j=i;...;z(t) Xki t 0} в случае, когда X состоит из независимых одинаково распределенных величин. Этот процесс имеет ряд приложений к теории риска (см. монографию [24]). В диссертации рассмотрена более общая модель, когда случайные величины Хп, п Є N, вообще говоря, зависимы, и распределение Хп может зависеть от п. Оказывается, что если для их максимумов Мп = maxk=i,...,nX} справедлива определенная предельная теорема при п — оо, то можно без каких-либо дополнительных ограничений на распределение X получить предельный результат для соответствующих макс-обобщенных процессов Кокса.
Моментная оценка для сумм (BL, #)-зависимых случайных величин
Подобные моментные оценки находят широкое применение при анализе предельного поведения траекторий случайных полей. Так, например, на них опирается ряд методов доказательства принципов инвариантности. Для ассоциированных, положительно или отрицательно ассоциированных, а также (BL, #)-зависимых полей результаты в этой области были получены Т. Биркелом [44], А. В. Булинским [5], К.-М. Шао и ХаоЮ [94], А. П. Шашкиным [37], Т. Кристофидесом и Е. Ваггелату [55], А. В. Булинским и А. П.Шашкиным [51], М.А.Вронским [12]. Отметим также моментную оценку Н. Ю. Крыжановской [25] для сумм по произвольным множествам, доказанную с применением методов секционирования из [28] и [4]. Установленный нами результат обобщает оценку из [94]. Кроме того, одно из его следствий является обобщением моментного неравенства из [51].
Полученная в диссертации моментная оценка применяется к доказательству ФЦПТ типа Донскера-Прохорова для (BL, #)-зависимых случайных полей. Задачи, связанные с исследованием подобных ФЦПТ, образуют крупную область современной теории случайных процессов. Толчком к рассмотрению так называемых слабых принципов инвариантности послужила появившаяся в 1946-м году работа П. Эрдеша и М. Каца [64], в которой доказывалась сходимость распределений четырех функционалов от процессов частных сумм независимых случайных величин к распределениям соответствующих функционалов от броуновского движения. В общей постановке варианты ФЦПТ были установлены М.Донскером [63] и Ю.В.Прохоровым [32]. В дальнейшем было доказано множество подобных утверждений для случайных полей c тем или иным характером зависимости. Так, например, для случайных величин, обладающих свойством перемешивания, результаты, относящиеся к принципу инвариантности, изложены в монографии П.Биллингсли [3]. Рассмотрению ассоциированных, положительно или отрицательно ассоциированных, а также (BL, #)-зависимых полей посвящены работы Ч. Ньюмена и А. Райта [84], Бу-линского и М. Кина [49], Л.-К.Жанга и Дж. Вена [102], А. П.Шашкина [36], А. В. Булинского и А. П. Шашкина [10]. Результаты такого рода также установлены А. В. Булинским и Э. Шабанович [9]. В диссертации удалось обобщить одновременно варианты ФЦПТ из [49] и [10] (теорема 5.1.5, (д)). Изучение различных геометрических характеристик случайных поверхностей является одной из самых динамично развивающихся областей современной стохастической геометрии, см., напр., труд Р.Адлера и Дж. Тэйлора [39] и там же ссылки. Особое место в рамках данной теории занимает исследование свойств экскурсионных множеств и множеств уровня случайных полей, см., напр., недавнюю книгу Ж.-М.Азаиса и М.Вшебора [40]. В монографии Н.Н.Леоненко и А.В.Иванова [26] среди прочих результатов была установлена ЦПТ для объемов экскурсионных множеств гауссовских случайных полей, заданных на последовательности расширяющихся шаров Доказательство этого результата было проведено с помощью техники, основанной на разложении рассматриваемой функции (в данном случае эта функция — индикатор) по системе полиномов Чебышева-Эрмита. В дальнейшем ряд результатов, касающихся свойств экскурсионных множеств гауссовских случайных полей, был получен в работах Д. Н. Запорожца, И. А. Ибрагимова, А. П. Шашкина и Д. Мешенмозера (см., напр., [20], [30], [95]). В 2012-м году А. В. Булинским, Е. Сподаревым и Ф. Тиммерманном [52] был разработан новый метод, позволивший получить ЦПТ для объемов экскурсионных множеств QA полей. Существенную роль при этом сыграло понятие (BL, #)-зависимости случайных полей, заданных на пространстве Md, предложенное А. В. Булинским в [48]. Отметим также статью Д. Мешенмозера и А. П. Шашкина [78], в которой доказывается ФЦПТ в пространстве Скорохода D(M) для объемов экскурсионных множеств, индексированных уровнем экскурсии и Є Ш. Эта теорема представляет собой аналог ФЦПТ для эмпирических функций распределения, только вместо последовательности случайных величин в ней рассматривается некоторое случайное поле на Wd. Во второй главе диссертации доказаны три предельные теоремы для объемов экскурсионных множеств строго стационарных случайных полей. Первая из них (теорема 2.1.1) представляет собой вариант ЦПТ из [52] для ассоциированных полей. Замена требования квази-ассоциированности более жестким условием ассоциированности позволила применить полученную в первой главе диссертации ковариационную оценку для индикаторных функций и, таким образом, ослабить ограничения, налагаемые на ковариационную функцию исследуемого случайного поля. Вторая предельная теорема (теорема 2.2.1) является функциональным вариантом первой. Рассматриваются объемы экскурсионных множеств на блоках (0,nii] х х (0,п ], t = (ti,...,td) Є [0,l]d, п = (пі,...,п ) Є Nd, и доказывается их сходимость по распределению в пространстве непрерывных функций С([0, l]d) при п — оо (в секвенциальном смысле). Наконец, мы также доказываем подобную ФЦПТ и для QA случайных полей (см. теорему 2.3.1). Отметим, что обе ФЦПТ установлены при тех же ограничениях на ковариационную функцию случайного поля, что и соответствующие ЦПТ. Их доказательства опираются на моментную оценку для (BL, #)-зависимых случайных полей из первой главы диссертации и теорему Морица [81].
ФЦПТ для объемов экскурсионных множеств ассоциированных случайных полей
Исследование разнообразных функций от случайных полей играет важную роль в современной теории вероятностей. При этом многие теоретические проблемы и прикладные задачи требуют рассмотрения нелинейных функций, что часто сопряжено со значительными трудностями. Примером таких функций могут служить индикаторы, возникающие при изучении эмпирических распределений, разнообразных непараметрических статистик, а также экскурсионных множеств. Настоящая диссертационная работа посвящена разработке техники получения предельных закономерностей для нелинейных функций от слабо зависимых случайных полей. Установленные результаты применяются к обобщению ряда известных теорем теории вероятностей и случайных процессов.
Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 102 наименования. Во введении дается краткий обзор содержания диссертации и проводится сопоставление полученных результатов с предшествующими. При этом точные формулировки доказанных утверждений отнесены в основную часть работы, а во введении указываются номера соответствующих результатов и формул.
Начиная с 80-х годов прошлого века активно исследуются случайные поля, обладающие свойством ассоциированности или каким-либо родственным типом зависимости. Интерес к ним обусловлен с одной стороны простотой проверки этого свойства для широкого класса случайных объектов, а с другой — наличием развитой техники получения предельных теорем для таких полей. В этой связи укажем на монографию А. В. Булинского и А. П.Шашкина [10]. Ассоциированность позволяет устанавливать множество предельных закономерностей при наложении ограничений исключительно на моменты рассматриваемого поля и на его ковариационную функцию. Так, например, согласно теореме Ньюмена [82] строго стационарное ассоциированное случайное поле = {ki к Є Zd} Є 1-2 удовлетворяет центральной предельной теореме (ЦПТ), если выполнено условие конечной восприимчивости (1.6), т.е. его ковариационная функция суммируема. Ч. Ньюменом также была выдвинута гипотеза, что вместо (1.6) достаточно потребовать всего лишь, чтобы функция К определяемая соотношением К(.(п) = ІШІ ncov( k), neN, была медленно меняющейся на бесконечности. Однако через четыре года данная гипотеза была опровергнута в работе Н.Херрндорфа [69]. Позднее А. П.Шашкин [38] показал, что требование выполнения условия конечной восприимчивости является в определенном смысле оптимальным. Наконец, в 2011-м году А. В. Булинским [7] был установлен критерий, обеспечивающий справедливость ЦПТ для положительно ассоциированных случайных полей с медленно меняющейся функцией К .
Доказанная в работе А. В. Булинского и Э. Шабанович [9] ковариационная оценка (1.2) для липшицевых функций от положительно или отрицательно ассоциированных случайных полей является основным инструментом, позволяющим устанавливать предельные теоремы для таких полей. В последствии квадратично интегрируемые случайные поля, удовлетворяющие неравенству (1.2), были названы А. В. Булинским и Ш. Сюкэ [53] квази-ассоциированными (QA). Оказалось, что на класс QA полей можно распространить множество предельных результатов, доказанных ранее в предположении ассоциированности. В [53] был также определен класс (BL, #)-зависимых случайных полей, расширяющий класс квази-ассоциированных полей, заданных на целочисленной решетке и удовлетворяющих условию конечной восприимчивости. (BL, #)-зависимые поля часто возникают при рассмотрении липшицевых фукнций от элементов QA полей, причем как представляющие самостоятельный интерес случайные объекты, так и как аппроксимации некоторых нелипшицевых функций от наборов величин, входящих в QA поле.
Если элементы исследуемого поля представимы в виде нелипшицевой функции от элементов положительно или отрицательно ассоциированного поля, то задача проверки условия конечной восприимчивости является нетривиальной и обычно требует применения различных приемов аппроксимации. В случае, когда рассматриваются индикаторные функции, для ее решения можно использовать ковариационную оценку, доказанную в работах И. Багай и Б. Пракаса-Рао [41], а также ХаоЮ [101], и имеющую вид (1.7). В дальнейшем эта оценка была обобщена в статье П. Матулы и М. Зиемба [77] на случай неограниченности плотностей рассматриваемых случайных величин. П. Матула [76] также доказал несколько ее уточнений при наложении на характер зависимости случайных величин X и Y (фигурирующих в (1.7)) достаточно жестких ограничений. Оценка (1.7) играет основополагающую роль при доказательстве предельных теорем во множестве работ, посвященных анализу асимптотического поведения самых разных случайных объектов. В частности, она имеет ряд приложений к теории непараметрических статистик. Для семейств независимых величин многие их свойства хорошо исследованы (см., напр., [31] и там же ссылки), однако перенос классических результатов на случай зависимых величин часто сопряжен со значительными трудностями. В предположении ассоциированности оценка (1.7) позволила получить варианты ЦПТ, например, для 7-статистики [61] и Т-статистики [62]. Отметим, что величина показателя степени в правой части (1.7) напрямую влияет на ограничения, которые приходится налагать на скорость убывания на бесконечности ковариационной функции рассматриваемого случайного поля. В данной работе мы показываем, что показатель степени может быть сколь угодно близок к 1/2. Более того, полученная нами оценка является оптимальной с точностью до постоянного множителя. В качестве примера применения доказанной нами ковариационной оценки мы ослабляем ограничения на скорость убывания ковариационной функции ассоциированной случайной последовательности в ЦПТ для эмпирических функций распределения, полученной ХаоЮ [101]. Подобные варианты ЦПТ играют важную роль в математической статистике. Среди результатов для случайных полей со структурой зависимости типа ассоциированности следует отметить также функциональную центральную предельную теорему (ФЦПТ) в пространстве Скорохода для эмпирических функций распределения, доказанную вначале Хао Ю [101], и в дальнейшем обобщенную в работах К.-М. Шао и ХаоЮ [94] и С.Луиши [75]. П. Оливейрой и Ш. Сюкэ [88], а затем В.Морелем и Ш. Сюкэ [80] исследовались и ФЦПТ для эмпирических функций распределения в пространствах интегрируемых функций.
ФЦПТ для интегралов по случайным мерам
В последние годы активно исследуются различные геометрические характеристики экскурсионных множеств и множеств уровня случайных полей. Интерес к подобным стохастическим объектам обусловлен широким кругом как математических, так и естественнонаучных приложений, в которых они возникают (см., напр., [39], [40]). В монографии [26] (теорема 2.4.6) получена ЦПТ для объемов экскурсионных множеств гауссовских случайных полей с непрерывной ковариационной функцией, заданных на последовательности расширяющихся шаров. В [52] ЦПТ такого рода установлена для более широкого класса квази-ассоциированных случайных полей. Отметим также, что в [78] доказана ФЦПТ в пространстве Скорохода D(M) для объемов экскурсионных множеств ассоциированных полей, рассматриваемых как функции экскурсионного уровня.Парламентаризм – сложное социально-политическое явление, сущность которого выражается в дееспособности представительных институтов как субъектов политического процесса оказывать реальное влияние на формирование и реализацию государственной политики. Роль парламентаризма в системе политических отношений определяется степенью легитимности представительной ветви власти в обществе, ее возможностью самостоятельно исполнять законотворческие функции и выступать ведущим элементом системы сдержек и противовесов в демократическом правовом государстве. 2. Обосновывается применение институционального подхода, включающего «теорию институциональной эволюции», который позволяет исследовать эволюцию политических практик представительной власти (протоинститутов парламентаризма), а также транзитологического (в том числе концепции «третьей волны демократизации», «консолидации демократии», «гибридных политических режимов»), позволяющего проследить цикличный характер современного российского парламентаризма. Указанные подходы определены как наиболее значимые и обладающие существенным аналитическим и прогностическим потенциалом для осмысления институциональной динамики парламентаризма в условиях политического транзита. 3. Предлагается авторская трактовка генезиса политических идей и практик представительной власти в России, которая заключается в том, что в ходе исторического развития российской государственности постоянно вызревали и дополнялись основы представительства по типу парламентского. Это позволяет сделать вывод о том, что российский парламентаризм - не «искусственное явление», он развивается на собственной основе. Представлена также периодизация процесса становления политических практик и институтов представительной власти в России: - зарождение идей и практик российского парламентаризма, а также формирование суждений в области конституционализма и парламентаризма (вторая половина XVIII в. - 1905 г.); - формирование конституционных и парламентских институтов (1905 г. -1917 г.). На данном этапе закладываются основы законодательного оформления российского парламента, функционируют первая, вторая, третья и четвертая Государственные думы; - становление и функционирование квазипарламентских институтов -Советов (1917 г. - 1989 г.). С 1917 г. по 1936 г. Советы утверждаются в качестве представительных органов государственной власти, а также народных политических организаций. Наблюдается также преобразование Советов в органы государственной власти. На данном этапе действуют Конституция РСФСР 1936 г. и Конституция РСФСР 1978 г.; - формирование институтов представительной демократии на основе Советов (1989 г. - 1993 г.); - формирование и развитие современной парламентской системы (1993 г. настоящее время). 4. Формулируется ряд содержательных характеристик современного российского парламентаризма (после принятия Конституции Российской Федерации 1993 г.), свидетельствующих о его институциональном становлении: выделение публичной политики в качестве сферы профессиональной деятельности; обретение депутатами статуса представителей политической элиты, а именно возможности осуществления государственного управления; - постоянное обновление депутатского корпуса как отражение актуальных социально-политических изменений (лидеры общественного мнения, экономический класс и т.д.); - тенденция к профессионализации парламентского представительства; - результативное функционирование парламента в части его основных задач: законодательство и представительство. Выявляется специфика процессов институционализации современного российского парламентаризма, которая заключается в половинчатости, непоследовательности, внутренней противоречивости парламентаризации властных отношений и обусловлена комплексом причин: - отсутствием актуального опыта парламентских отношений; - некритическим использованием, без должной адаптации, достижений зарубежной политико-правовой мысли и практики парламентаризма; - высокими рисками «быстрого» парламентского строительства в условиях политической нестабильности и кризисных процессов в современной России. 5. Приводятся результаты анализа деятельности российского парламентаризма в его взаимодействии с гражданским обществом. Это позволяет сделать вывод о том, что оптимальный режим функционирования парламентаризма, задающего вектор демократизации политической системы страны еще не сформирован, о чем свидетельствует комплекс проблем и противоречий, важнейшие из которых: - проблема взаимодействия законодательной и исполнительной ветвей власти; - проблема взаимодействия федерального и регионального уровней законодательной власти; - проблема взаимодействия парламента как института народного представительства с гражданским обществом.
