Некоторые предельные теоремы для слабо зависимых случайных полей Шашкин Алексей Павлович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1 Примеры слабо зависимых полей и асимптотическая нормальность 23

1,1. Примеры слабой зависимости 23

1.2. Центральная предельная теорема, метод Стейна 33

1.3, Применение техники Бернштейна к слабо зависи мым полям 48

Глава 2 Оптимальность условий центральной предельной теоремы для ассоциированных полей, приложения . 55

2.1. Контрпример к гипотезе Ньюмена 55

2.2. Ядерные оценки плотности 68

Глава 3 Максимальные неравенства и принцип инвариантности 75

3.1. Моментные неравенства и их следствия 75

3.2. Неравенства, основанные на методе рандомизации 80

3.3. Функциональные центральные предельные теоремы 86

Список литературы 99

• Центральная предельная теорема, метод Стейна
• Ядерные оценки плотности
• Моментные неравенства и их следствия
• Функциональные центральные предельные теоремы

Введение к работе

Актуальность темы.

Получение предельных теорем для сумм случайных величин в различных условиях — классическая проблема теории вероятностей. Изучаются как независимые случайные величины (см., например, книги И.А.Ибрагимова и Ю.В.Линника¹, В.В.Петрова² и А.Н.Ширяева³), так и случайные системы, наделенные определенными условиями зависимости. Хорошо изучены, например, марковские процессы и поля, мартингалы, процессы и поля с перемешиванием. Среди разнообразных описаний зависимости случайного поля {Xt, t Z**}, d ^ 1, важное место занимает подход, состоящий в исследовании ковариаций функций от непересекающихся наборов компонент процесса или поля. Точнее, рассматривается функционал

F(f,g,I,J) = \cov(f(Xi,i t),g(X_hj Є .7))1,

где функции / и д принадлежат заданному классу "пробных" функций, а I и J - конечные непересекающиеся подмножества Z^rf, и задается оценка для него, зависящая от некоторых характеристик f,g и взаимного расположения /, J. Разумно предполагать, что значение оценки должно убывать, когда индексные множества 7. и J отодвигаются друг от друга, тогда как при росте самих множеств оно может расти.

В 1967 г. Дж. Изери и др.⁴ было введено понятие ассоциированных случайных величин, нашедшее применения в задачах статистики, математической физики, теории надежности. В физике ассоциированность или несколько более общее понятие называется также FKG—неравенствами⁵, ⁶. Отметим, что всякое семейство независимых случайных величин ассоциировано. Для гауссовских случайных систем, как

'И.А.Ибрагимов, Ю.В.Линник. Независимые и стационарно связанные величины. М., Наука,

1965. 'В.В.Петров. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М., Наука,

1987.

'А.Н.Ширяев. Вероятность-1, Вероятности. 3-е изд., перераб. я доп. М., МЦНМО, 2004.

'J.Esary, F.Proschan, D.Walkup. Association of random variables with applications. Ann. Math. Statist. 1967. V.38. № 5. P. 1486-1474.

'C.Fortuin, P.Kasteleyn, J.Ginibre. Correlation inequalities on some partially ordered sets. Com-mun. Math. Phye. 1971. V.22. № 2. P. 89-103

F.Guerra, L.Roeen, B.Simon. The Р(ф)г Euclidean quantum field theory as classical statistical mechanics. Ann. Math. 1975. V. 101. * 1-2. P. 111-259.

J РОС. НАЦИеНАЛЫия
1 J БИБЛИОТЕКА I

доказано Л.Питтом⁷, ассоциированность равносильна неотрицательной коррелированное, т.е., как и независимость, она определяется конечномерными распределениями порядка не выше двух. Впоследствии были введены другие важные описания зависимости, родственные ассоциированности - отрицательная ассоциированность⁸ и слабая ассоциированность⁹ .

Для указанных классов случайных процессов и полей ведутся активные исследования в области предельных теорем, начиная с работы Ч.Ньюмена¹⁰ 1980 г. Значительные результаты были получены Ч.Ньюменом, А.Домбровским, Т.Биркелом, А.В.Булинским, А.Якубовским, М.Кином, К.-М.Шао, Г.Самородницким и другими авторами (см., например, статью¹¹ и там же ссылки). Известны, в частности, оценки точности нормального приближения, в том числе неулучша-емые, законы повторного логарифма, принципы инвариантности, результаты об асимптотическом поведении различных статистик и т.д. Следует отметить, что условия справедливости большинства предельных теорем сводятся к моментным ограничениям, стандартным для таких утверждений, и требованиям к скорости убывания ковариационной функции (например, ее суммируемости). Эти условия, таким образом, достаточно просты и допускают практическую проверку.

В работе А.В.Булинского и Ш.Сюке¹² предложено условие на распределения случайного поля (для случайных последовательностей оно введено в статье¹³), которое обобщает перечисленные выше свойства типа ассоциированности. Точнее, любое положительно или отрицательно ассоциированное случайное поле с конечными вторыми моментами и достаточно быстро убывающей (суммируемой) ковариационной

'L.D.Pitt. Positively correlated normal variables are associated. Ann. Probab. 1982. V. 10. N. 2 P. 496-499.

K.Joag-Dev, F.Proschan Negative association of random variables, with applications. Ann Statist. 1983. V. 11. № 1. P. 286-295

R.Burton, A R Oabrowski, H.Dehling. An invariance principle for weakly associated random vectors. Stochastic Process Appl. 1986. V. 23. » 2. P. 301-306.

"C.M.Newman. Normal fluctuations and the FKG inequalities. Commun. Math. Phys. 1980. V.74. » 2. P.l 19-128.

"А.В.Булииский, M.А Вронский. Статистический вариант центральной предельной теоремы для ассоциированных случайных полей. Фундам. и прикл. математика. 1996. Т.2. № 4 С. 999-1018.

"A.V.Bulinski, Cb.Suquet. Normal approximation for quasi associated random fields Statist, and Probab. Letters. 2001. V.54. * 2. P.215-226.

"P.Doukhan, S.Louhichi. A new weak dependence condition and application to moment inequalities. Stochastic Process. Appl. 1999. V. 84. № 2. P. 313-342.

функцией удовлетворяет этому условию . Оказалось, что данного условия, названного слабой зависимостью, достаточно для того, чтобы доказать, например, центральную предельную теорему. В дальнейшем появился ряд работ, где для обладающих им случайных полей были получены и другие результаты (исследования свойств эмпирического процесса, ядерных оценок плотности).

Цель работы.

Настоящая диссертация посвящена исследованию слабо зависимых случайных процессов и полей. Ее основные задачи: построить нетривиальные примеры случайных полей, обладающих новым свойством зависимости; доказать для них новые предельные теоремы (главным образом - оценки типа Берри-Эссеена и принципы инвариантности); установить неулучшаемость условий ЦПТ для ассоциированных случайных полей.

Научная новизна.

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем.

1. Приведены новые примеры слабо зависимых случайных полей. В частности, доказано, что данное условие зависимости естественным образом возникает в теории физических систем с локальным взаимодействием.

2. Установлен ряд оценок точности нормальной аппроксимации для мультииндексированных слабо зависимых случайных векторов, имеющих конечный второй абсолютный момент. При этом, вообще говоря, не предполагается стационарности случайного поля.

3. Исследована оптимальность условий центральной предельной теоремы для строго стационарных ассоциированных случайных полей. Именно, показана несправедливость гипотезы Ньюмена о возможности ослабить условия центральной предельной теоремы.

4. Доказаны новые моментные и максимальные неравенства для случайных процессов и полей в условиях слабой зависимости.

"А.В.Булинский, Э.Шабанович. Асимптотическое поведение некоторых функционалов от положительно я отрицательно зависимых случайных полей. Фундам. и прикл. математика 1998. Т. 4. » 2. С. 479-492.

5. С помощью новых максимальных неравенств получены широкие условия справедливости принципов инвариантности для слабо зависимых полей.

Указанные результаты являются новыми и обоснованы строгими математическими доказательствами. Точные формулировки ряда утверждений приведены ниже.

Методы исследования.

В диссертации используются классические и современные методы теории вероятностей (урезание случайных величин, характеристические функции, моментные и максимальные неравенства) и случайных процессов (марковские процессы, спектральное представление, слабая сходимость мер), а также методы математического и функционального анализа (дифференциальные уравнения, ряды Фурье, медленно меняющиеся функции, гильбертовы пространства).

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут найти применение при решении задач теории вероятностей и математической статистики.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах по теории вероятностей, проводимых на механико-математическом факультете МГУ (2002-2005 гг.), на Городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике в Санкт-Петербурге (2004), а также на Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике в Сочи (2002 и 2004), на международной кон4>еренции "Колмогоров и современная математика" в Москве (2003), на Европейской конференции молодых статистиков в Овронна, Швейцария (2003) и на XXIV-м Международном Семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей в Юрмале, Латвия (2004). Тематика работы была поддержана грантами РФФИ 603-01-00724 и Программы поддержки ведущих научных школ НШ 1758.2003.1.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 8 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трех глав (разбитых на параграфы) и списка литературы, насчитывающего 123 наименование. Общий объем диссертации - 108 страниц.

Центральная предельная теорема, метод Стейна

Цель настоящего параграфа - исследовать нормальное приближение для слабо зависимого случайного поля, используя в качестве основного инструмента технику Стейна. В этом параграфе мы рассматриваем (#,.,-0і)-зависимое случайное поле {Xt,t %d] со значениями в Ш8. Пусть U - конечное подмножество Zd. Предположим, что где V-1 - матрица, обратная к квадратному корню из V2. Очевидно, V2, W, /2 - функции от Xj, j Є U, и запись V2(ATy), \У{Хц), R{Xu) также будет использоваться. Рассмотрим функцию h : Rs — R такую, что для некоторых положительных констант MQ,Мі,ЛІ2 и для всех х,х К", А; — l,...,s, верны неравенства где Л - функция, для которой выполнено (1.15), Z - стандартный нормальный вектор в R и U - конечное подмножество Zd. Основной результат данного параграфа (теорема 1.2.1) дает оценку для A(h)Xu) в терминах функции Линдеберга и функции і?, введенной в (1.14); здесь случайные векторы Yj определены в (1.14). Если, кроме того, для некоторого S Є (0,1] то теорема 1.2.2 дает оценку А(к,Хц) в терминах дроби Ляпунова, а не функции Линдеберга С. С помощью техники сглаживания устанавливается (теорема 1.2.3) верхняя граница для где В произвольное выпуклое множество в Rs. Теорема 1.2.1. Пусть X = {Xj j Є Zd} - случайное поле со значениями в R , удовлетворяющее условию (1.13), где U - конечное подмножество 1id, Предположим, что для функции h выполнено условие (1.15). Тогда для каждого є О (1.22) здесь Z = (Zi,..., Z&) - стандартный нормальный вектор в Мв (как обычно, если $ = 1, то #i(xi) = Е(й(#і) — h(Zi)), а если J? 2, то Hi(xi,... ,rre) = Е(А(хі,...,хл) — A(Zi,i2»"4 »)) и Hs(x8) = E(h(Zi,...tZt-i,xe) — A(Zb...,Ze))). Для 5 = 1,... ,s рассмотрим дифференциальное уравнение Итак, чтобы установить (1.24), используем верхние оценки абсолютных значений функций, находящихся под интегралами в представлениях для /g(xtf,...,xe) и dfq(xqi... ,x8)/dxk. А именно, применим оценки \Hq\ 2Мо, \dHq/dxk\ 2My,k q\ для оценки dfq{x)fdx}. нужно еще воспользоваться уравнением (1.23). Чтобы получить (1.25), прежде всего, положим для х, х Є Hs_g+1. Очевидно, что при к = g,..., s Случай 1: к q. Заметим, что существуют вторые частные производные д2fq/dxgdxk, к — q,..., s. Действительно, из уравнения (1.23) мы имеем Отсюда же с учетом (1.26) получаем, что Оценим вторую частную производную, например, при xq 0 (при xq О аналогичные рассуждения). Используя тождество J expf—u2/2)udu = — ехр(—i2/2) и интегрирование по частям в представлении для /д, имеем где Hg(u,...) — Hq(u,xg+i,... ,:cs). Так как при и х9 имеем 0 1 — ЗУ /U1 1 и э /г( Ь то второе слагаемое в последнем выражении по абсолютному значению не превосходит М\, а третье Соберем теперь оценки, отвечающие случаям 1-4.

Для к = q,..., s в левой части (1.28). Действуя аналогично [60], введем для заданного є 0 вспомогательные случайные векторы Заметим, что, в силу Леммы 1.1.1, для липшицевой функции G : Жт — R и линейного отображения A : R" —у Rm (т,п N) композиция G(A(-)) снова является липшицевой функцией с Lip(GA) Lip(G)\\A\\i. Используя этот факт, слабую зависимость, определения чисел 0Г, (1.17) и неравенства (1.24), мы получаем следующие оценки. Заметив, что J=l(e -q + l)m = c(e) и Е ( - q + 1} == «( + 1)/2, приходим к (1.20). Доказательство теоремы 1.3.1 закончено. Следствие 1.2.1. Для семейства центрированных случайных полей Х — {Xj\j Є Zrf} (п Є N) со значениями в R9 и семейства конечных подмножеств Un решетки Xd справедлива центральная предельная теорема, т.е. по распределению, если для каждого є 0 Если Х состоит из независимых случайных векторов, то R(X("\Un) = 0. Таким образом, теорема 1.2.1 содержит многомерную теорему Линдеберга для независимых слагаемых. Теорема 1.2.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.3.1 и, кроме того, справедливо (1.18). Тогда (1.29) Далее потребуются новые обозначения. Пусть В - 7-окРестность множества ВсМ в евклидовой метрике (т.е. В = {х Є R : inf s # — У\\ 7}) а дВ - граница В. Замечание 1.2.1. Из теоремы 1.4 работы [79] можно получить оценку для &{h,Xu) (в наших обозначениях), если h Є C (RS) и EX,- = О, EJj-4 оо, j Є U. А именно, Используя функции h C$, приближающие индикатор выпуклого множества В С Ш (точнее, для заданного -у Є (0,1) полагаем h(x) = 1 при х В, h{x) = 0 при х ?) и 0 А(х) 1 при всех х Є М9), из приведенной оценки можно вывести, что где А(,Ху) определено в (1.20), G7(-) - некоторый неслучайный функционал на Хи. В теоремах 1.2.1 и 1.2.2 данной главы оценки для A(k,X(/) получены (в терминах других функционалов) при меньших моментных предположениях и для более широкого класса функций h, удовлетворяющих условиям (1.15). Имеем где Н (-) - определенный неслучайный функционал от Хи, как будет показано в следующей теореме. Для фиксированных U, є и s имеем G7(Xu) — 0(7 3) при 7- 0, тогда как Щ{Хи) = 0(j 2) при у -+ 0. Теорема 1.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.2,1 и В -выпуклое множество в Ш8. Тогда для каждого 7 (0,7о( )] оценка (1.32) Легко проверить справедливость следующего утверждения. Лемма 1.2.2. Функция ф Є С2(М.) и для каждого иЄІ Для выпуклого множества Всі" определим функции (1.36) где ф фигурирует в (1.35) и р - евклидово расстояние в Ж . Очевидно, Лемма 1.2.3. Функция h Є С М ) и условие (1.15) для нее выполнено сМо = 1, Мі = 2-у 1 и М2 = 127"2. Доказательство. Можно сразу считать, что множество В замкнуто, так как при взятии замыкания функция h не изменится. Также для упрощения записи положим р(х) = р(х,В). Утверждение \h(x)\ 1 =: MQ очевидно. Пусть х В, тогда для каждого = 1,...,8 существует производная Здесь eq - q Vi единичный вектор стандартного ортонормированного базиса в М , п — у — х, где у Є В и \\х — / = р{х). Действительно, при р ф О» \р\ ( ) мы имеем (расстояние от х -\- реq до В не меньше расстояния до гиперплоскости, проходящей через точку у ортогонально вектору п); Из этих неравенств получаем Итак, мы вычислили частные производные функции р(х) при х В. Теперь нам потребуется следующее Предложение 1.2.1. Пусть х,х $ В и ттуф р(у) = т 0 (здесь под отрезком [х,х], как обычно, понимается множество точек Ах + (1 — А)х, Л Є [0,1]). Тогда для любого q = 1,...,5 Доказательство предложения. Сперва предположим, что г — р(х). Пусть у, у Є В, р(х) = \\х — г/, / () = \\х - у, - гиперплоскость, проходящая через точку у ортогонально х — у, и х -проекция х на і/. Обозначим через ana величины углов в радианах между eq и, соответственно, у — х и у — х. Угол между у — х и у — х пусть равен Д. По известной теореме геометрии о трехгранном угле Итак, достаточно показать, что tg/3 = х — z]\/\\x — х\\ \\х — х\\/т7 где z — иГ\[х,у]. Заметим, что х — х\\ г. Иначе бы на отрезке [х,х] нашлась точка, расстояние от которой до точки у (а стало быть, и до множества В)

Ядерные оценки плотности

Стейна. В этом параграфе мы рассматриваем (#,.,-0і)-зависимое случайное поле {Xt,t %d] со значениями в Ш8. Пусть U - конечное подмножество Zd. Предположим, что где V-1 - матрица, обратная к квадратному корню из V2. Очевидно, V2, W, /2 - функции от Xj, j Є U, и запись V2(ATy), \У{Хц), R{Xu) также будет использоваться. Рассмотрим функцию h : Rs — R такую, что для некоторых положительных констант MQ,Мі,ЛІ2 и для всех х,х К", А; — l,...,s, верны неравенства где Л - функция, для которой выполнено (1.15), Z - стандартный нормальный вектор в R и U - конечное подмножество Zd. Основной результат данного параграфа (теорема 1.2.1) дает оценку для A(h)Xu) в терминах функции Линдеберга и функции і?, введенной в (1.14); здесь случайные векторы Yj определены в (1.14). Если, кроме того, для некоторого S Є (0,1] то теорема 1.2.2 дает оценку А(к,Хц) в терминах дроби Ляпунова, а не функции Линдеберга С. С помощью техники сглаживания устанавливается (теорема 1.2.3) верхняя граница для где В произвольное выпуклое множество в Rs. Теорема 1.2.1. Пусть X = {Xj j Є Zd} - случайное поле со значениями в R , удовлетворяющее условию (1.13), где U - конечное подмножество 1id, Предположим, что для функции h выполнено условие (1.15). Тогда для каждого є О (1.22) здесь Z = (Zi,..., Z&) - стандартный нормальный вектор в Мв (как обычно, если $ = 1, то #i(xi) = Е(й(#і) — h(Zi)), а если J? 2, то Hi(xi,... ,rre) = Е(А(хі,...,хл) — A(Zi,i2»"4 »)) и Hs(x8) = E(h(Zi,...tZt-i,xe) — A(Zb...,Ze))). Для 5 = 1,... ,s рассмотрим дифференциальное уравнение Итак, чтобы установить (1.24), используем верхние оценки абсолютных значений функций, находящихся под интегралами в представлениях для /g(xtf,...,xe) и dfq(xqi... ,x8)/dxk. А именно, применим оценки \Hq\ 2Мо, \dHq/dxk\ 2My,k q\ для оценки dfq{x)fdx}. нужно еще воспользоваться уравнением (1.23). Чтобы получить (1.25), прежде всего, положим для х, х Є Hs_g+1. Очевидно, что при к = g,..., s Случай 1: к q. Заметим, что существуют вторые частные производные д2fq/dxgdxk, к — q,..., s. Действительно, из уравнения (1.23) мы имеем Отсюда же с учетом (1.26) получаем, что Оценим вторую частную производную, например, при xq 0 (при xq О аналогичные рассуждения). Используя тождество J expf—u2/2)udu = — ехр(—i2/2) и интегрирование по частям в представлении для /д, имеем где Hg(u,...) — Hq(u,xg+i,... ,:cs). Так как при и х9 имеем 0 1 — ЗУ /U1 1 и э /г( Ь то второе слагаемое в последнем выражении по абсолютному значению не превосходит М\, а третье Соберем теперь оценки, отвечающие случаям 1-4. Для к = q,..., s в левой части (1.28). Действуя аналогично [60], введем для заданного є 0 вспомогательные случайные векторы Заметим, что, в силу Леммы 1.1.1, для липшицевой функции G : Жт — R и линейного отображения A : R" —у Rm (т,п N) композиция G(A(-)) снова является липшицевой функцией с Lip(GA) Lip(G)\\A\\i. Используя этот факт, слабую зависимость, определения чисел 0Г, (1.17) и неравенства (1.24), мы получаем следующие оценки. Заметив, что J=l(e -q + l)m = c(e) и Е ( - q + 1} == «( + 1)/2, приходим к (1.20). Доказательство теоремы 1.3.1 закончено. Следствие 1.2.1. Для семейства центрированных случайных полей Х — {Xj\j Є Zrf} (п Є N) со значениями в R9 и семейства конечных подмножеств Un решетки Xd справедлива центральная предельная теорема, т.е. по распределению, если для каждого є 0 Если Х состоит из независимых случайных векторов, то R(X("\Un) = 0. Таким образом, теорема 1.2.1 содержит многомерную теорему Линдеберга для независимых слагаемых. Теорема 1.2.2.

Пусть выполнены условия теоремы 1.3.1 и, кроме того, справедливо (1.18). Тогда (1.29) Далее потребуются новые обозначения. Пусть В - 7-окРестность множества ВсМ в евклидовой метрике (т.е. В = {х Є R : inf s # — У\\ 7}) а дВ - граница В. Замечание 1.2.1. Из теоремы 1.4 работы [79] можно получить оценку для &{h,Xu) (в наших обозначениях), если h Є C (RS) и EX,- = О, EJj-4 оо, j Є U. А именно, Используя функции h C$, приближающие индикатор выпуклого множества В С Ш (точнее, для заданного -у Є (0,1) полагаем h(x) = 1 при х В, h{x) = 0 при х ) и 0 А(х) 1 при всех х Є М9), из приведенной оценки можно вывести, что где А(,Ху) определено в (1.20), G7(-) - некоторый неслучайный функционал на Хи. В теоремах 1.2.1 и 1.2.2 данной главы оценки для A(k,X(/) получены (в терминах других функционалов) при меньших моментных предположениях и для более широкого класса функций h, удовлетворяющих условиям (1.15). Имеем где Н (-) - определенный неслучайный функционал от Хи, как будет показано в следующей теореме. Для фиксированных U, є и s имеем G7(Xu) — 0(7 3) при 7- 0, тогда как Щ{Хи) = 0(j 2) при у -+ 0. Теорема 1.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.2,1 и В -выпуклое множество в Ш8. Тогда для каждого 7 (0,7о( )] оценка (1.32) Легко проверить справедливость следующего утверждения. Лемма 1.2.2. Функция ф Є С2(М.) и для каждого иЄІ Для выпуклого множества Всі" определим функции (1.36) где ф фигурирует в (1.35) и р - евклидово расстояние в Ж . Очевидно, Лемма 1.2.3. Функция h Є С М ) и условие (1.15) для нее выполнено сМо = 1, Мі = 2-у 1 и М2 = 127"2. Доказательство. Можно сразу считать, что множество В замкнуто, так как при взятии замыкания функция h не изменится. Также для упрощения записи положим р(х) = р(х,В). Утверждение \h(x)\ 1 =: MQ очевидно. Пусть х В, тогда для каждого = 1,...,8 существует производная Здесь eq - q Vi единичный вектор стандартного ортонормированного базиса в М , п — у — х, где у Є В и \\х — / = р{х). Действительно, при р ф О» \р\ ( ) мы имеем (расстояние от х -\- реq до В не меньше расстояния до гиперплоскости, проходящей через точку у ортогонально вектору п); Из этих неравенств получаем Итак, мы вычислили частные производные функции р(х) при х В. Теперь нам потребуется следующее Предложение 1.2.1. Пусть х,х $ В и ттуф р(у) = т 0 (здесь под отрезком [х,х], как обычно, понимается множество точек Ах + (1 — А)х, Л Є [0,1]). Тогда для любого q = 1,...,5 Доказательство предложения. Сперва предположим, что г — р(х). Пусть у, у Є В, р(х) = \\х — г/, / () = \\х - у, - гиперплоскость, проходящая через точку у ортогонально х — у, и х -проекция х на і/. Обозначим через ana величины углов в радианах между eq и, соответственно, у — х и у — х. Угол между у — х и у — х пусть равен Д. По известной теореме геометрии о трехгранном угле Итак, достаточно показать, что tg/3 = х — z]\/\\x — х\\ \\х — х\\/т7 где z — иГ\[х,у]. Заметим, что х — х\\ г. Иначе бы на отрезке [х,х] нашлась точка, расстояние от которой до точки у (а стало быть, и до множества В)

Моментные неравенства и их следствия

Для х, у Є R, как обычно, х V у = тах{х, г/}, х Л у = тіп{:г,у}. Пусть X = {Xj,j Є Zd} - центрированное слабо зависимое случайное поле с действительными значениями, заданное на вероятностном пространстве (Гї, 7, Р). Для р 1 положим Dp — supjEd EXjp. Как обычно, для W С Zd, \W\ оо, пусть Sw = T,&wxi Будем предполагать, что существуют со 0 и Л 0 такие, что Пусть U— произвольный целочисленный параллелепипед в Zd с длинами ребер її, ...,/І Є N, т.е. U = V П Zd, где V = (аь ах + її] х х (а , а + Id] и аі,..., а Є Z. Обозначим 14 класс таких множеств U. Теорема 3.1.1. Пусть X = {Xh j Є Zd} является слабо зависимым центрированным случайным полем, удовлетворяющим условию (3.1). Предположим, что Dp со для некоторого р 4. Тогда для любого Если случайное поле квазиассоциированно (в смысле определения 0.6) и при любых і ф з\ где сі, к 0, го ? та лее оценка справедлива с заменой со на Сі и \ на к. Доказательство. Если CQ = 0, то поле состоит из независимых величин и утверждение очевидно. Поэтому далее считаем, что со 0. Имеем здесь вторая сумма берется по множеству Л всех упорядоченных наборов индексов JA, = [ji,J2ihiJ4) таких, что хотя бы два из четырех индексов различны. Для оценки S представим множество четверок индексов, по которым ведется суммирование в в виде объединения множеств Лг, г Є N, по следующему правилу: набор ТА = ( ьйг з» ) принадлежит типу Лг, если Без ограничения общности можно считать, что длины ребер V связаны неравенствами \\ ... lj. Пусть IQ = 0. Тогда каждому г = 1,..., однозначно сопоставляется А: (г), 0 k d — 1, такое, что h т /jt-fi-Нетрудно показать (аналогично [11,71]), что где к = к(г) (произведение по пустому множеству индексов считается равным единице). Действительно, пусть к = fc(r), а Г4 - (fi 2 3, 4) Є Лг, тогда в Т± существуют два индекса, расстояние между которыми равно г. При этом набор, полученный из Т\ перестановкой индексов, также принадлежит Л4; таких наборов, соответствующих одному неупорядоченному множеству {ъ 2) з, 4} имеется не более 24. Пусть {ь 2, з, 4І7 неупорядоченный набор. Разобьем все такие наборы на d подклассов Ar , / = l,...,i, где /-минимальный номер координаты і Є {1,..., d}, на которой достигается расстояние г между подмножествами набора.Тогда ЛГ 24 2тах/ Лг,і. Можно считать, ввиду неупорядоченности, что dist( i, 2) — ги ( )і = ( i)l + r) т.е. 2 находится в шаре с центром t\ + (0,...,г,..., 0) размерности d — 1 радиуса г в метрике р, пересеченном с множеством U. Здесь (0,..., г, ...,0)— вектор, где на Ї—м месте стоит г, а в остальных нули. Таким образом для t\ имеется \U\ положений, для 2 их Точка з содержится в одном из шаров радиуса г с центрами в t\ и t t, пересеченном с U, поэтому для нее положений не более 2/І.../І(2Г + l)d_fe; точка 4 содержится в одном из шаров радиуса г с центрами в i, 2 hi поэтому для нее не более 3/і.../ (2г + l)d k. Всего получаем ЛГ 24d 6( .../ )8(3r)3(rf- bitT = I44rf(/i ..J )3 (Зг)3 - )-1117. Зафиксируем набор J\ — {ji,J2-,Ja,J4) Є Лг, r = 1,...,/.

Пусть сперва \Q\ = 1, где Q - множество, на котором достигается максимум в (3.5). Не ограничивая общности, можно считать, что dist({ji}, J4 \ {ji}) = г. Для упрощения записи далее будем писать Xq вместо Xjq, q = 1,2, 3, 4. Пусть А 0. Введем функцию Тогда /Гд(і) A, t Є К, и Ыр(Н ) = 1. Для u = 2,3,4 представим случайные величины Хи в виде Хи Х и + Л"", где Х , = Яд(Хм), Х% = Л — Л . Ясно, что (вообще, для липшицевых ограниченных /і,...,/л верна оценка поэтому Lip(fi...fn) Y,lziLip(fi)Tl&i8UP fj) Имеем IccwfXJX XgX j 4c$A?r x. Оценивая все слагаемые в (3.11), кроме первых двух, аналогично (3.9)-(3.10), получаем, что [EX1X2X3X4I ЕХ;ХЕХ Х41 + 4с0А2г х + SDpA4- , Положим F(A) := 4coA2r x+8DpA4 p. Приравнивая нулю производную функции F, находим, что минимум F{A) достигается в точке А — ((р — 4)Пргх/с0)1 2\ и при таком А где v введено в (3.3). Пользуясь условием слабой зависимости, несложно доказать, что Yl,j EXJJX/JEX XJ-J (%2jeU EXJ + #it/)2, здесь сумма берется по всем наборам J4 с Q — {ji7J2} Таким образом, учитывая (3.6), имеем (3.12) где г введено в (3.3), Л(?7) = (Z 2 + i)2 25 а- сумма по пустому множеству индексов считается равной нулю. Отсюда нетрудно получить, что Если поле X квазиассоциированно, D% оо и выполнено (3.4) с с\ 0 « к d, mo me wee утверждения верны с заменой X на к и со на с\С{к),где Доказательство. Докажем сначала первое утверждение. Не ограничивая общности, можно считать, что вероятностное пространство причем случайные величины {XJ(DI),J Є U,u\ Є Пі} заданы на пространстве (Пі, J7!, Pi), а на (П2, 2 Р2) существует случайное поле {EJ(L)2), j Є Zd,W2 П2}, где величины ЄІ независимы и каждая из них принимает значения 1 и —1 с вероятностью 1/2. Для случайных величин Очевидно, имеем Е1Е2У = Е2Е1У = ЕУ, а если при каждом ы2 Є Пг І7 и G — липшицевы функции, то для оценки ковариации covi{Y,Y ) можно использовать условие слабой зависимости (0.2). Пусть бо Є V- минимальный элемент U в смысле лексикографического порядка. Рассмотрим множество Г = {0, ...,т — l}d. Для 7 Є Г введем целочисленную решетку и положим Z/(7) = t/ П Zd(7)- Очевидно, Имеем (последнее неравенство следует из второго и третьего). Так как М не зависит от {е,-, j е U}, то (ЕМ2)1/2 = (М jMi + М_і. Пусть где /3 = (со 1 /(7) I m_A) , причем в случае, когда знаменатель какой-либо из дробей равен нулю, вся дробь полагается равной нулю. Легко видеть, что ] 1, Ї; 1. При каждом W2 Є Пг множества {j Є U(y) : Sj = 1} и {j Є U{у) : j = — 1} не пересекаются, причем расстояние между ними равно т, и величины Мі и М_і представляют собой липшицевы функции от непересекающихся наборов величин Xj, j Є tf{j). Для этих функций константы Липшица равны 1. Поэтому ввиду слабой зависимости и (3.16). Аналогично ЕіцМі /З+Е1А/1. Заметим также, что если jMij /3, то EiAfi — jjMijj, а если jjAf-ijj /?, то Ei?/M_i = величины (на вероятностном пространстве (ГЪэ-Т э Рг)) с E.2Q = 0 и Е2С,2 = Xj, j Є U. Применяя стандартный принцип отражения для семейства независимых симметричных случайных величин, видим, что Докажем второе утверждение. Функция F(x) = xd(a+bx x)J где о, Ь О, имеет минимум в точке х = ((\—d)b/ady/x. Если a = Dl\U\2-\-18 2jeU EX2 и Ь = 16соі7, то при условии (Ао) получаем, что х 1и, следовательно, при должном выборе числа т в правой части (3.14)

Функциональные центральные предельные теоремы

В данном параграфе доказываются две функциональные центральные предельные теоремы для слабо зависимых случайных полей, устанавливающие слабую сходимость соответственно в [0, l]d и L2([0, l]rf) к мультипара-метрическому броуновскому движению. Будут использоваться следующие обозначения: для х Є R пусть \х] = гаіп{п Є X : п х}. На %d и Ш введем отношение частичного порядка: х у (или х - у), если я,- j/,-(соответственно ХІ УІ) для всех г = 1,... ,d. Для п Є Nd запись п —У оо означает, что щ - оо,..., п — оо. Назовем функцию h(x) : R+ -+ К, h(x) 0 при х а, а О, медленно колеблющейся, если для любых у, z SS.+ \ {0}, и для любой функции у(т) Є М+ \ {0}, г 0, такой, что у(т) — у при т —У оо, Это определение обобщает хорошо известное понятие медленно меняющейся функции одной переменной (см. [45]). Далее удобно рассматривать случайное поле, заданное только на элементах решетки Zd с положительными координатами. Пусть X = {Xj, j 6 Nd} - слабо зависимое случайное поле с действительными значениями, заданное на вероятностном пространстве (fi,jF, Р), такое, что Пусть s,u Е [0, l]rf, s - v. Положим A = (s,v] — (si,t/i] х - х (srf, Vd]. Пусть также V— произвольный "целочисленный" параллелепипед с длинами ребер /і,..., Ід Є N, содержащийся в Nd. Обозначим Л и Ы классы таких множеств Л и U соответственно. Как и выше, для W С Zd, \W\ оо, пусть Sw = Yljew Xj- В случае, когда (аь..., ad) = (0,..., 0), U — п„ і = 1,...,(2, будем обозначать Sy = 5П, считая, что 5n = 0, если какая-либо из компонент п равна 0. Пусть В2 = B2(U) — Yli&u Х] Для U li. Будем предполагать, что выполнены следующие условия: при C/j —у оо таких, что В 0; существует медленно колеблющаяся функция d переменных Положим т„,(я) = [ПІГС1 1] , где х 0, п = (ТІЇ, "d) Є Nd, г = 1,..., d, и rnn(t) — (m„i( i),...,Tnnd( d)), гдеі Є [0, l]rf, n Є Теорема 3.3.1. Пусть X — {Xj, j Є Nd} является слабо зависимым случайным полем, удовлетворяющим условиям (3.25)-(3.28). Тогда случайное поле Wn(t) = 5, )/vT)S„, где t Є [0, l]d, п Є Nd, сходится no распределению в равномерной топологии при п —ї оо к d-параметрическому броуновскому движению {W(t),t [0, l]d}. Доказательство. Для параллелепипеда Л — (8fv] Є Л пусть U(n} А) = (mn(s),mn(v)] Є Л. Нам потребуется ряд лемм. Всюду далее С\,С2,--. различные положительные величины, зависящие лишь от d, X,CQ. Доказательство.

Согласно интегральному представлению для медленно колеблющихся функций [45], для некоторого а 0 и всех п, \п\ а, при n -+ оо. Отсюда и из очевидного соотношения (rrгn (i)/n,) — 1, г = 1,.,., (і, следует утверждение леммы. Лемма 3.3.2. Пусть выполнены условия (3.25), (3.26), (3.28), и U = U(n, А) для некоторого А Є А. Тогда Доказательство. С помощью операций пересечения и объединения можно получить U из стандартно вложенных в (0, п] параллелепипедов / !,..., t/jv", где N 2d (см. обозначение после замечания 3.1.1). Применяя к ним лемму 3.3.1, получаем, что утверждение сводится к оценке ковариаций сумм по непересекающимся параллелепипедам, содержащимся в U{n,A). Так как ввиду (3.28) имеем limsup \и(п,А)\/ОЗп со при п — оо, то эту оценку Утверждение леммы 3.3.5 теперь очевидным образом вытекает из леммы 3.3.4. Перейдем к доказательству теоремы 3.3.1. Мы докажем плотность семейства распределений {W,,(tf), п Є Nd} в равномерной топологии и воспользуемся теоремой Ю.В.Прохорова о соотношении плотности и относительной компактности семейства мер [28], [5, гл. 2]. Заметим, что по построению W„(t) = 0, если t\...td = 0. Проверим, что для любого є О Пусть 6 Є (0,1). Событие, стоящее под знаком вероятности, влечет наступление хотя бы одного из событий Введем параллелепипеды АДг, S) = (0,1] x x ({j — l)5,j8A 1] x x (0,1], (полуинтервал длины не более S- на г-м месте), где .7 = 1,..., K{S) = Г -1], и положим Uj = U(n Aj(i,S)), j = 1,... ,К. Имеем Из лемм 3.3.2 и 3.3.3 следует, что существует п(5) Є Nd такое, что при п - п(6) для всех j = 1,..., К выполнены неравенства DS /DSn 26 и D-SJ/J ci jl/2- По лемме 3.3.5 выражение, стоящее под знаком максимума в (3.31), стремится к нулю, когда S —У 0 и \Uj\ —У со. Следовательно, Пусть rit - со, & N - произвольная последовательность элементов По доказанному она содержит подпоследовательность {nP}, р = р — со, такую, что W„p — У по распределению, где У- некоторое случайное поле с непрерывными траекториями (см. [5, гл. 2], [69,122]). В частности, для любых q Е N, Ai,..., Aq Є Л имеем по распределению в Ш? при р — сю, здесь У(Д,)- случайные величины, являющиеся функциями от У и Ay, j = l,...,g, а п = пр. Докажем, что У имеет распределение броуновского движения. Согласно лемме 2 [69] (см. также теорему 19.1 [5]), для этого достаточно убедиться, что ЕУ() = 0, EY(t)2 = ti...td при t Є [0, l]d, и для любых q Є N и набора точек (см. обозначения в начале данного параграфа) случайные величины У(Аі),... уУ(Ад) независимы, где A = ($J, vJ], j 1,..., g. Первые два соотношения следуют из лемм 3.3.1 и 3.3.5, а также следующего факта. Лемма 3.3.6. Пусть последовательность интегрируемых случайных величин {Zk,k Є N} сходится по распределению к случайной величине Z и E\Zk\l{\Zk\ и} -» 0 при к - со и fi - оо. 3Wa EZ оо и EZk -» EZ при & —f оо. Доказательство. Последовательность {Zkyk Є N} равномерно интегрируема, откуда и следует утверждение.

Похожие диссертации на Некоторые предельные теоремы для слабо зависимых случайных полей

Некоторые предельные теоремы для ассоциированных случайных полейВронский, Михаил Александрович

Статистические предельные теоремы для слабо зависимых случайных полейКрыжановская Наталья Юрьевна

Предельные теоремы для максимальных приращений случайных полейЩербакова Ольга Евгеньевна

Уточнение предельных теорем для оценок коэффициентов регрессии случайных полейКоваль, Татьяна Леонидовна

Предельные теоремы для функционалов от случайных процессов и полей и их применения в статистикеБямбажав, Доржийн

Предельные теоремы для нелинейных функционалов от гауссовских случайных полейДериев, Егор Иванович

Предельные теоремы для локальных времен однородных изотропных случайных полейСахно, Людмила Михайловна

Предельные теоремы для нелинейных функций от слабо зависимых случайных полейДемичев Вадим Петрович