Предельные теоремы и большие уклонения для приращений случайных блужданий Козлов Андрей Михайлович

Содержание к диссертации

Введение

1 Асимптотика вероятностей в гауссовском блуждании 17

1.1 Асимптотика больших уклонений статистики типа Эрдегаа- Реньи для гауссовского случайного блуждания 17

1.1.1 Введение 17

1.1.2 Оценка одинарной суммы 18

1.1.3 Оценивание P(AQ) 19

1.1.4 Оценка двойной суммы 23

1.1.5 Завершение доказательства Теоремы 1.1 25

1.1.6 Доказательство Теоремы 1.2 26

1.2 Асимптотика больших уклонений статистики типа Шеппа для гауссовского случайного блуждания 28

1.2.1 Введение, основные результаты 28

1.2.2 Схема доказательства Теоремы 1.3 29

1.2.3 Оценивание Р(А&>) 30

1.2.4 Оценивание Р(А(у})Л > 2 32

1.2.5 Оценивание Р(АЙ)А[")) 33

1.2-6 Завершение доказательства Теоремы 1.3 37

1.2.7 Доказательство Теоремы 1.4 40

2 Асимптотика для статистики Эрдеша-Реньи 42

2.1 Введение. Основные результаты 42

2.2 Доказательство Теоремы 2.1 44

2.3 Доказательство Теоремы 2.2 54

2.4 Доказательство Теоремы 2.3 56

3 Асимптотика для статистики Шеппа 59

3.1 Введение 59

3.2 Предварительные результаты 61

3.3 Основные результаты 64

3.4 Доказательство Теоремы 3.1 65

3.5 Доказательство Теоремы 3.2 . 75

3.6 Доказательство Теоремы 3.3 76

4 Предельные Теоремы 82

4.1 Основные результаты 82

4.2 Доказательство Теоремы 4.3 83

4.3 Доказательство Теоремы 4.2 86

4.4 Доказательство Теорем 4.3, 4.4 88

Литература 89

• Асимптотика больших уклонений статистики типа Шеппа для гауссовского случайного блуждания
• Доказательство Теоремы 2.2
• Доказательство Теоремы 3.2
• Доказательство Теоремы 4.2

Введение к работе

Объектом изучения настоящей диссертации является случайное блуждание *» = & (і) где &- независимые одинаково распределенные (н.о.р.) случайные величины (ел.в.), Е = 0. Относительно функции распределения ( ф.р.) F{x) = Р{,і < #) делается одно из двух предположений: * — стандартные гаус-совские, fi — удовлетворяют правостороннему условию Крамера: R{h) := [ e^dFix) < со, 0 < h < Ъ < со. (2)

Выделение частного случая гауссовского распределения обусловлено рядом причин — содержательных и методологических. Во-первых, более простая техника доказательств позволяет лучше освоить методологию общего (кра-меровского) случая. Во-вторых, исследование статистики Шеппа (см. ниже (7)) для крамеровского блуждания было бы достаточно проблематично без предварительного рассмотрения частного случая гауссовского блуждания, так как априори не было уверенности, что метод двойных сумм сработает в этом технически более сложном случае. Положим Vk,i = Sk+i — Sk, к, I = 1,2, (3)

При фиксированном I в гауссовском случае ел. в. %/, к = 1,2,..., образуют стационарный гауссовский процесс с дискретным временем. Относительно него в диссертации ставится и решается задача нахождения асимптотики вероятностей больших уклонений

Р( max T]k_tL >в1), L - оо, (4)

Введение

Фактически, это задача о большом скачке гауссовского случайного блуждания в окне ширины L, сдвигающемся вдоль отрезка блуждания [1,-6]. Более общая постановка задачи о вероятностях

РСтах m_L>9L). L.N —> оо, (5) практически сводится к случаю (4). Вторая задача — нахождение асимптотики вероятностей больших уклонений

Р( max max 7?ы > 9L), L.N—>oo, (6) относится к теории больших скачков гауссовского поля (3) и решается также в 2 этапа: при N"= L и при N —» оо таким образом, что вероятность (6) (как и в случае (5)) стремится к нулю, т.е. когда речь идет об уклонениях, происходящих с малой вероятностью. Введем статистики Эрдеша-Реньи и Шеппа, полагая:

7V = ты щ_гЬ и W_N,_L = m« max _т, (7) где величины r]k,i определены соотношениями (3), (1).

Далее мы будем писать а_п ~ 6_П, те —> оо, если последовательности а_п, 6_И, п = 1,2, , таковы, что linin-.oo ^- = 1.

В первой главе доказаны следующие утверждения.

Теорема 1.1. Пусть &, к = 1,2..., — независимые одинаково нормально М(0,1) распределенные случайные величины. Тогда равномерно по 0 < є < 9 < А < оо и любых є, Л > 0 имеет место асимптотика P{T_L,L>eL)~J_ee2L, L-^oo, (8) где константа Je > О определена соотношениями Jo = lim ^М, J(n) := в-¹Ъехр{9 max (y/2S_k - 9k)}. (9) га-кзо П 0

Введение б

Теорема 1.2. В условиях теоремы 1.1 V{T_N,L>6L)~^P{T_L,_L>eL), L-+co, (10) когда N —> оо таким образом, что вероятность слева в (10) стремится к нулю: т.е. при N = о{1)\ҐЬе*^вЧ: (11)

Как известно, для хвостов гауссовского распределения имеет место асимптотика P(S_L> 9L)~—±=e-*^92L, L->oo, 9>0, (12)

0у/2ігь так что соотношение (10) можно переписать в виде более раскрывающем суть дела:

Р {Tn,l > 0L) ~ J_eNP (S_L>9L), L_y N -> оо. (13)

Порядок асимптотики вероятности в правой части соотношения (13) улавливается с помощью простой оценки: P{T_n,l > 6L) = Р (\J{vk_tL > 0L}\ < < Y,^P&k,L > QL) = N?{S_L > 9L). (14)

С другой стороны, но неравенству Бонферрони P(%>^)>Pfe,L>^)- Р(Ч*Ді>^,ї7^>^) = k=l l BL) - )(JV - ) ?(Sl > BU Si+_m -S_m> 0L). (15)

Для общего члена двойной суммы в (15) воспользуемся оценкой, по существу содержащейся в [17]: P(S_L > eL_tS_L+m ~S_L> 9L) < 2qfV{S_L > BL), 0 < q_e < 1, 1 < m < L.

Введение

Отсюда для двойной суммы в (15) получаем границу сверху в виде

2 УШ - m)$T?{S_L > 9L) <~^-P{S_L > 6L). (17)

При N > L события под знаком левой вероятности в (16) независимы, и вероятность распадается в произведение. В результате оценка типа (17) имеет место и при N > L. Таким образом, хотя бы в случае j^r < 1 оценки (14), (15) дают правильный порядок асимптотики вероятностей больших уклонений (13), Конечно, получение точной асимптотики требует гораздо более точной техники. Здесь оказывается эффективным разработанный в теории экстремумов гауссовских процессов и полей так называемый метод двойных сумм [8, 26, 23, 27, 10]. Отрезок [1, iV] разбивается на промежутки Aj = (С? - 1)щ jn)_t j = 1,2,..., и далее неравенства Бонферрони применяются к представлению события {Tl,l > 0L} в виде объединения {JAf\ Af = тах{7^ > 9L]. з ^j

При этом возникают задачи: (а) нахождения асимптотики вероятностей Р(А* ), (б) оценки общего члена двойной суммы P(Ai Aj¹), j > 2:Решение первой задачи приводит к заключению (см. обозначение в (9))

Р(А[^П)) - J{n)P{S_L > 9L)₇L^ со, где п — любое фиксированЕюе. Принципиальным моментом последующих построений является тот факт, что -^ —> J& при п —* оо для некоторого О < Jq < со, или подробнее

Еехр{# max {y/2S_k - вк)} ~ ej₉n, п — оо. (18)

Введение

Метод двойных сумм не дает прямого доказательства соотношений типа (18), ив этом заключены его как сильная, так и слабая стороны. Соотношение (18) относится к числу граничных задач для случайных блужданий, и, по-видимому, может быть доказано методом теории факторизационных тождеств. Для общих гауссовских процессов и полей нахождение постоянных типа Je, называемых константами Пикандса, представляет собой самостоятельную и трудную задачу. Отметим, что для статистики Т^,ь имеем из (14), что Je,1ie < 1 и в гауссовском, и в крамеровском случаях. Направление исследований в области теории вероятностей, с которыми имеется логическая связь настоящей диссертации, это так называемые законы Эрдеша — Рёньи — Шеппа. Сохраняя за буквой X любое из значений Т или W, зададимся вопросом о наличии для подходящей нормирующей последовательности &дг, предела почти наверное

1ІШ ^=1 N,L—»оо Off при подходящем функциональном соотношении между L H:N и L —* со. Имеется несколько десятков публикаций на эту тему, начиная с работ Эрдеша - Рёньи [19] и Шеппа [30) (см. [20, 6_Г17, 24, 12, 22, 21, 18,15, 16, 31)). Также как и в случае предельных теорем для статистик Хдг,/;, законы больших чисел Эрдеша — Рёньи — Шеппа опираются на асимптотику вероятностей больших уклонений статистики X^l.

Исследование статистики Тм,ь было проведено в 1975 году Koralos и Tusnady в статье [24], в которой реализуется принципиально другой подход: Эта важная работа основана на выводе условной теоремы о вероятностях больших уклонений, обобщение которого на другие процессы и статистики представляет собой особую проблему. Еще один подход к данной проблематике реализован в работе М.В. Козлова [5].

В исследованиях по законам Эрдеша - Рёньи - Шеппа используется (в случае блуждания крамеровского типа) известная теорема В.В. Петрова [7]

Введение о больших уклонениях сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Результаты настоящей диссертации можно рассматривать и как развитие этой классической теории. Выводу принципа больших уклонений для разного типа процессов посвящено очень большое число публикаций. Отметим лишь недавние работы А. А. Боровкова и ДА. Коршунова [1,. 2],.. в которых идет речь о марковских цепях асимптотически близких к случайным блужданиям. Следует подчеркнуть, что в диссертации получены точные, а не логарифмические асимптотики, и что рассматриваемые в диссертации процессы (и поля) представляют собой скользящие средние по последовательности независимых, одинаково распределенных случайных величин и, тем самым, не являются марковскими. При этом, в диссертации речь идет о скользящих средних в схеме серий, в отличие от большинства исследователей, которые рассматривают обычные скользящие средние [29, 14].

Непосредственным предшественником настоящей диссертации можно считать работу В.И. Питербарга [9], развитую затем в [4] и диссертации В.В. Довгалюка [3]. В [9, 4, 3] решается задача об асимптотике умеренных уклонений вероятностей P(T_N>L>o(l)L), N_tL.-* оо,. (19) при выполнении двустороннего условия Крамера. Коренное отличие в выводах состоит в том, что главный член асимптотики (19) не зависит от частных свойств распределения шага блуждания и совпадает со случаем гаус-совского блуждания. Это приводит к существенным изменением в технике доказательств: если в диссертации длины отрезков разбиения Д-/ выбираются постоянными (точнее длина Aj есть параметр щ значение которого фиксируется при переходе к пределу при L —+ со), то в [9, 4, 3] длина отрезков Aj есть растущая функция L (что и обеспечивает "гауссовизацию" вероятностей умеренных уклонений).

Введение

Для статистики Шеппа в Главе 1 получены результаты, аналогичные Теоремам 1.1 и 1.2. Положим Je := lim ~, J_n := 0^-1Еехр{0 max {щ_п+г — вп)}. (20) п—юо п 1<к,г<п '

Теорема 1.3. Пусть случайные величины &,г = 1,2,..., независимы и нормально jV(0, 1) распределены. Тогда существует конечный положительный предел (20) и равномерно по0<е<9<А< оо для любых є, А >0 V(W_L,_L>eL)~J_&]J^'e-^^L, L->oo. (21)

Теорема 1.4. В предположениях Теоремы 1.3 P(W_N>L > 9L) ~ jP(W_LtL > 0L) (22) для N ~» сю тотеилі образом, что правая часть в (22) стремится.к нулю, т.е. при N = o(l)VZe№^L_t L -+ со. (23)

Ход доказательства Теорем 1.3, 1.4 в общих чертах сходен с Теоремами 1.1, 1.2. Принципиальное отличие возникает лишь при оценке слагаемых двойной суммы: вместо неравенства (16) здесь выводится его обобщение, которое (в гауссовском случае) имеет вид:

РФ*, > 0L_t S_a+p+y ~S_a> 9L) < -^e"^²4^L^, 0 < q₉ < 1, (24) где а, /3,7 — натуральные такие, что а + /? < , Р + у < L.

Во второй и третьей главах асимптотика вероятностей больших уклонений статистик Tjv, W^_ti находится в предположении, что распределение вероятностей шага блуждания удовлетворяет условию Крамера (2). Положим:

4{l\h) := Еехр{/і тах(_п+І_і - S_n)}. (25)

Введение

Обозначим через kg единственный корень уравнения R'{h) =

В основе построений глав 2, 3 лежит классическая формула для больших уклонений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин сусловием Крамера [7, 13]: ?(S_L > LB) = ^_he(j exp{-A(0)L}(l + o(l)), L -+ oo, (26) в предположении, что функция распределения F{-) является нерешетчатой; в решетчатом случае в правую часть (26) добавляется множитель d(l — e^-t№(>)~¹, где d - максимальный шаг распределения. Здесь _2r^ R"{h)R{h) ~ R'(h)² _{W/n ьл} , „_{/L ч}^ ^:= д(М2—> ^А^) ^:= ^ - Ь Д(Л_?).

Соотношение (26) выполняется равномерно поО'<є<0.<а — є при а < со, и при О<е<0<.А<оои любом А > 0, если а = оо.

Теорема 2.1. Пусть выполнено правостороннее условие Крамера (2) и Е^і = 0. ТЬгда для всех 8 Є (0, а) существует конечный положительный предел

По = \imr^lR(h_ey^l+lH(l;h_e);

1—КХ> в случае нерешетчатого распределения шага блуждания i имеем ^ї'Ч-Й^ (Я) при L —* оо ^авилмерпо тш0,є<0<а — є, є > 0 - произвольно (при а = со для е < в < А и любого А); в случае решетчатого распределения правую часть соотношения (27) следует домножитъ на d(l — e~^dh9)~^l, где d - максимальный шаг распределения.

Введение 12

Теорема 2.2. В нерешетчатом случае в предположениях Теоремы 2.1 равномерно пов в указанных там пределах ^^-ж^^ ^^ю- ⁽²⁸⁾ для N — оо таким образом, что правая часть в (28) стремится к нулю, т.е. при N = o{l)y/Le^A^^L, L->oo. (29)

В решетчатом случае следует ввести в (29) изменения, указанные в Те-ореме 2.1,

Соотношение (29) можно представить в форме

Р(2>, > 9L) ~ H₉N{S_h > 9L), (30) общей для решетчатого и нерешетчатого случаев.

В Главе 3 приведены аналогичные Теоремам 2.1 и 2.2 результаты для больших уклонений статистики Шеппа для случайного блуждания с условием Крамера. Введем обозначение _{щ - шп -я<}^п)_я(М~^2г_{\ (31)} п—юо П

Щ :=Eexp{hff max %_fU+r}. (32)

Теорема 3.1. Пусть &, і = 1,2,...,- н.о.р. сл.в., для которых выполнено условие Крамера (2) и Е& — 0. Тогда существует конечный положительный предел (31) и P{W_L>L>6L)~ H₉LP{S_L>9L)_} L^oo, (33) равномерно по0<е<9<а — , є > 0 при а < оо и при 0 < є < 9 < А для любого А при а — оо.

Введение

Теорема 3.2. В предположениях Теоремы 3.1 равномерно по в в указанных там пределах P(W_N>L>eL)~H₀N-p(S_L>9L), L^oo, (34) для N — со таким образом, что правая часть в (34) стремится к нулю, т.е. при N = o{l)VZe^^L_} L -» со. (35)

Доказательство Теоремы 3.1 опирается на следующее обобщение неравенства (24) (Лемма ЗЛ): P(S_a+0>9L,S_a+i3^-S_a>$L)L>eL), 0<р₉<1, (36) где а, р, 7 — натуральные такие, что а-\- /3 < L, /3 + ^ < L.

В Главе 4 асимптотики вероятностей больших уклонений статистик T^_ti и Wtfj, применяются для получения предельных теорем для них, В обоих случаях используется единая схема доказательства. Пусть X заменяет любую из букв Т uW. Введем натуральный параметр m и разобьем отрезок [1, N] на перемежающиеся отрезки длины mL и L, предполагая для простоты, что -/V кратно (m4- 1)L. Обозначим через X^_LL, X^_L, і = І,..., т^йь, статистику X, вычисленную последовательно по длинным и коротким отрезкам разбиения последовательности случайных величин 1,^2,..., лг-

Учитывая, что случайные величины X^_LL} і = 1,2,..., независимы, получаем

Р(%<и)<Р(Пх^<«) = = (P(41l < u))^ = (1 - P(*U > *))*&*. (37)

Если и изменяется так, что {m+l)LF{xMj,>u) х_у N,L — 00,

Введение то правая часть в (37) стремится к е~^х, что приводит к верхней оценке для предела вероятности Р(Х^^ < и). Аналогичные соображения дают нижнюю оценку. Увеличивая параметр т можно сблизить нижнюю и верхнюю границы и получить предельную теорему. Сформулируем полученные в диссертации результаты.

Теорема 4.1. В условиях Теоремы 3.1 при L —> оо, любом с > 0 и N-cVZtMV, Ъ_в= f* (38) имеет место сходимость P0^N,L < 6L + х) —> ехр {—bg ехр {—hffX}}, — ОО < X < оо, (39) в случае нерешетчатого распределения шага блуждания. В решетчатом случае в (39) надо положить bo = ^с %)-7^е _ih I—> ^г$е d ~ максимальный шаг распределения. Сходимость равномерна по х в любой ограниченной области.

Теорема 4.2. В условиях Теоремы 2.1 при L —> оо, любом О 0 и N = cSZeW^L, a_s= J"'._h,, (40) имеет место сходимость

Р(Тлг,/, < вЬ + х) —* ехр {—ае ехр {—hex}}, —оо < х < оо, (41) в случае перешетчатого распределения шага блуждания. В решетчатом случае в (11) надо положить а$ = V-~^e '.' , где d - максимальный шаг распределения. Сходимость равномерна по х в любой ограниченной области.

Теорема 4.3. В условиях Теоремы 1.1 при L — оо, любом с > 0 и N = c^e"^$2L, ge = cj_$ (42)

Введение имеет место сходимость: P(7>_t < 9L + х) -+ ехр {-55 ехр {-&с}}, ~оо < х < оо, (43) Сходимость равномерна по х в любой ограниченной области. Теорема 4.4. В условиях Теоремы 1,3 при L — оо, любом о 0 и N = &/Z&?¹, U = сЛ (44) илшет место сходимость: P(Wtf,L < 5L + а:) -* ехр {—/$ехр {—to}}, -оо < а; < со. (45)

Сходимость равномерна по х в любой ограниченной области.

Для доказательства указанных предельных теорем типа Гнеденко-Фишера для статистик Tjv^, и W}v,l используется стандартная процедура: отрезок блуждания [1, N] разбивается на перемежающиеся "длинные" Di и "короткие" d{. Соотношение между длинами \Di\, \di\ и N должны удовлетворять следующим требованиям: (а) вероятность реализации максимума Xn,Li где X заменяет любую из букв Т или W, на коротких промежутках должна быть асимптотиче ски пренебрежимой; (б) реализация максимума Xnj, на различных "длинных" участках долж ны быть асимптотически независимыми; (в) должно выполняться соотношение N T-P(X_|D|_fL > b_N,tx + a_Nib) ~ 1, N_t L -> оо, для подходящих центрирующих и нормирующих последовательностей олг.і, &№,; х_п .>: г/п обозначает, что отношение 7^а отделено от нуля и бесконечности.

Введение

Соотношение (в) связывает асимптотику N и L. В диссертации получена асимптотика вероятностей больших уклонений при N х , так что требование (в) сводится к соотношению (ср. (40), (38)): V^p№, > 0L) ж 1, L - со, или ЛГ х л/е^л№, где в гауссовском случае Л (в) = ^6>². Иначе говоря, уровень больших уклонений статистик Тдг,^ и W_NjIj) рассматриваемый в диссертации, диктует соотношение L = щЫХ- i(l + o(l))loglogiV] между шириной L движущегося окна и длиной N отрезка блуждания. Заметим, что рассмотрение размера окна L « log ЛГ представляет определенный интерес для задач в биологии, по определению сходства двух молекул ДНК одинаковой длины ЛГ (см. [11, 32, 28]). Для умеренных уклонений работ [9, 4, 3] асимптотика имеет вид: что приводит к следующему соотношению между ЛГ и L:

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Питербаргу Владимиру Ильичу за постановку задач и постоянную поддержку.

Асимптотика больших уклонений статистики типа Шеппа для гауссовского случайного блуждания

Выделение частного случая гауссовского распределения обусловлено рядом причин — содержательных и методологических. Во-первых, более простая техника доказательств позволяет лучше освоить методологию общего (кра-меровского) случая. Во-вторых, исследование статистики Шеппа (см. ниже (7)) для крамеровского блуждания было бы достаточно проблематично без предварительного рассмотрения частного случая гауссовского блуждания, так как априори не было уверенности, что метод двойных сумм сработает в этом При фиксированном I в гауссовском случае ел. в. %/, к = 1,2,..., образуют стационарный гауссовский процесс с дискретным временем. Относительно него в диссертации ставится и решается задача нахождения асимптотики вероятностей больших уклонений гауссовского случайного блуждания в окне ширины L, сдвигающемся вдоль отрезка блуждания [1,-6]. Более общая постановка задачи о вероятностях РСтах mL 9L). L.N — оо, (5) практически сводится к случаю (4). Вторая задача — нахождение асимптотики вероятностей больших уклонений Р( max max 7?ы 9L), L.N— oo, (6) относится к теории больших скачков гауссовского поля (3) и решается также в 2 этапа: при N"= L и при N —» оо таким образом, что вероятность (6) (как и в случае (5)) стремится к нулю, т.е. когда речь идет об уклонениях, происходящих с малой вероятностью. Введем Отсюда для двойной суммы в (15) получаем границу сверху в виде При N L события под знаком левой вероятности в (16) независимы, и вероятность распадается в произведение. В результате оценка типа (17) имеет место и при N L. Таким образом, хотя бы в случае j r 1 оценки (14), (15) дают правильный порядок асимптотики вероятностей больших уклонений (13), Конечно, получение точной асимптотики требует гораздо более точной техники. Здесь оказывается эффективным разработанный в теории экстремумов гауссовских процессов и полей так называемый метод двойных сумм [8, 26, 23, 27, 10]. Отрезок [1, iV] разбивается на промежутки и далее неравенства Бонферрони применяются к представлению события {TL,L 0L} в виде объединения При этом возникают задачи: (а) нахождения асимптотики вероятностей Р(А ), (б) оценки общего члена двойной суммы P(Ai Aj1), j 2: Решение первой задачи приводит к заключению (см. обозначение в (9)) где п — любое фиксированЕюе.

Принципиальным моментом последующих построений является тот факт, что - — J& при п — оо для некоторого О JQ со, или подробнее Метод двойных сумм не дает прямого доказательства соотношений типа (18), ив этом заключены его как сильная, так и слабая стороны. Соотношение (18) относится к числу граничных задач для случайных блужданий, и, по-видимому, может быть доказано методом теории факторизационных тождеств. Для общих гауссовских процессов и полей нахождение постоянных типа Je, называемых константами Пикандса, представляет собой самостоятельную и трудную задачу. Отметим, что для статистики Т ,ь имеем из (14), что Je,1ie 1 и в гауссовском, и в крамеровском случаях. Направление исследований в области теории вероятностей, с которыми имеется логическая связь настоящей диссертации, это так называемые законы Эрдеша — Рёньи — Шеппа. Сохраняя за буквой X любое из значений Т или W, зададимся вопросом о наличии для подходящей нормирующей последовательности &дг, предела почти наверное при подходящем функциональном соотношении между L H:N и L — со. Имеется несколько десятков публикаций на эту тему, начиная с работ Эрдеша - Рёньи [19] и Шеппа [30) (см. [20, 6Г17, 24, 12, 22, 21, 18,15, 16, 31)). Также как и в случае предельных теорем для статистик Хдг,/;, законы больших чисел Эрдеша — Рёньи — Шеппа опираются на асимптотику вероятностей больших уклонений статистики X L. Исследование статистики Тм,ь было проведено в 1975 году Koralos и Tusnady в статье [24], в которой реализуется принципиально другой подход: Эта важная работа основана на выводе условной теоремы о вероятностях больших уклонений, обобщение которого на другие процессы и статистики представляет собой особую проблему. Еще один подход к данной проблематике реализован в работе М.В. Козлова [5]. В исследованиях по законам Эрдеша - Рёньи - Шеппа используется (в случае блуждания крамеровского типа) известная теорема В.В. Петрова [7] о больших уклонениях сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Результаты настоящей диссертации можно рассматривать и как развитие этой классической теории. Выводу принципа больших уклонений для разного типа процессов посвящено очень большое число публикаций. Отметим лишь недавние работы А. А. Боровкова и ДА. Коршунова [1,. 2],.. в которых идет речь о марковских цепях асимптотически близких к случайным блужданиям. Следует подчеркнуть, что в диссертации получены точные, а не логарифмические асимптотики, и что рассматриваемые в диссертации процессы (и поля) представляют собой скользящие средние по последовательности независимых, одинаково распределенных случайных величин и, тем самым, не являются марковскими. При этом, в диссертации речь идет о скользящих средних в схеме серий, в отличие от большинства исследователей, которые рассматривают обычные скользящие средние [29, 14]. Непосредственным предшественником настоящей диссертации можно считать работу В.И. Питербарга [9], развитую затем в [4] и диссертации В.В. Довгалюка [3]. В [9, 4, 3] решается задача об асимптотике умеренных уклонений вероятностей при выполнении двустороннего условия Крамера. Коренное отличие в выводах состоит в том, что главный член асимптотики (19) не зависит от частных свойств распределения шага блуждания и совпадает со случаем гаус-совского блуждания.

Доказательство Теоремы 2.2

Это приводит к существенным изменением в технике доказательств: если в диссертации длины отрезков разбиения Д-/ выбираются постоянными (точнее длина Aj есть параметр щ значение которого фиксируется при переходе к пределу при L —+ со), то в [9, 4, 3] длина отрезков Aj есть растущая функция L (что и обеспечивает "гауссовизацию" вероятностей умеренных уклонений). Для статистики Шеппа в Главе 1 получены результаты, аналогичные Теоремам 1.1 и 1.2. Положим Je := lim , Jn := 0-1Еехр{0 max {щп+г — вп)}. (20) п—юо п 1 к,г п Теорема 1.3. Пусть случайные величины &,г = 1,2,..., независимы и нормально JV(0, 1) распределены. Тогда существует конечный положительный предел (20) и равномерно по0 е 9 А оо для любых є, А 0 V(WL,L eL) J&]J e- L, L- oo. (21) Теорема 1.4. В предположениях Теоремы 1.3 P(WN L 9L) jP(WLtL 0L) (22) для N » сю тотеилі образом, что правая часть в (22) стремится.к нулю, т.е. при N = o(l)VZe№Lt L -+ со. (23) Ход доказательства Теорем 1.3, 1.4 в общих чертах сходен с Теоремами 1.1, 1.2. Принципиальное отличие возникает лишь при оценке слагаемых двойной суммы: вместо неравенства (16) здесь выводится его обобщение, которое (в гауссовском случае) имеет вид: РФ , 0Lt Sa+p+y Sa 9L) - e" 24L , 0 q9 1, (24) где а, /3,7 — натуральные такие, что а + /? , Р + у L. Во второй и третьей главах асимптотика вероятностей больших уклонений статистик TJV, W ti находится в предположении, что распределение вероятностей шага блуждания удовлетворяет условию Крамера (2). Положим: 4{l\h) := Еехр{/і тах(п+І_і - Sn)}. (25) 0 п Обозначим через kg единственный корень уравнения R {h) В основе построений глав 2, 3 лежит классическая формула для больших уклонений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин сусловием Крамера [7, 13]: ?(SL LB) = he(j exp{-A(0)L}(l + o(l)), L -+ oo, (26) в предположении, что функция распределения F{-) является нерешетчатой; в решетчатом случае в правую часть (26) добавляется множитель d(l — e№( ) 1, где d - максимальный шаг распределения. Здесь 2r R"{h)R{h) R (h)2 W/n ьл , „/L ч := д(М2— А ) := - Ь Д(Л?). Соотношение (26) выполняется равномерно поО є 0. а — є при а со, и при О е 0 .А оои любом А 0, если а = оо. Теорема 2.1. Пусть выполнено правостороннее условие Крамера (2) и Е І = 0. ТЬгда для всех 8 Є (0, а) существует конечный положительный предел По = \imrlR(heyl+lH(l;he); 1—КХ в случае нерешетчатого распределения шага блуждания i имеем ї Ч-Й (Я) при L — оо авилмерпо тш0,є 0 а — є, є 0 - произвольно (при а = со для е в А и любого А); в случае решетчатого распределения правую часть соотношения (27) следует домножитъ на d(l — e dh9) l, где d - максимальный шаг распределения.

Теорема 2.2. В нерешетчатом случае в предположениях Теоремы 2.1 равномерно пов в указанных там пределах -ж ю- (28) для N — оо таким образом, что правая часть в (28) стремится к нулю, т.е. при N = o{l)y/LeA L, L- oo. (29) В решетчатом случае следует ввести в (29) и величины &,г = 1,2,..., независимы и нормально JV(0, 1) распределены. Тогда существует конечный положительный предел (20) и равномерно по0 е 9 А оо для любых є, А 0 V(WL,L eL) J&]J e- L, L- oo. (21) Теорема 1.4. В предположениях Теоремы 1.3 P(WN L 9L) jP(WLtL 0L) (22) для N » сю тотеилі образом, что правая часть в (22) стремится.к нулю, т.е. при N = o(l)VZe№Lt L -+ со. (23) Ход доказательства Теорем 1.3, 1.4 в общих чертах сходен с Теоремами 1.1, 1.2. Принципиальное отличие возникает лишь при оценке слагаемых двойной суммы: вместо неравенства (16) здесь выводится его обобщение, которое (в гауссовском случае) имеет вид: РФ , 0Lt Sa+p+y Sa 9L) - e" 24L , 0 q9 1, (24) где а, /3,7 — натуральные такие, что а + /? , Р + у L. Во второй и третьей главах асимптотика вероятностей больших уклонений статистик TJV, W ti находится в предположении, что распределение вероятностей шага блуждания удовлетворяет условию Крамера (2). Положим: 4{l\h) := Еехр{/і тах(п+І_і - Sn)}. (25) 0 п Обозначим через kg единственный корень уравнения R {h) В основе построений глав 2, 3 лежит классическая формула для больших уклонений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин сусловием Крамера [7, 13]: ?(SL LB) = he(j exp{-A(0)L}(l + o(l)), L -+ oo, (26) в предположении, что функция распределения F{-) является нерешетчатой; в решетчатом случае в правую часть (26) добавляется множитель d(l — e№( ) 1, где d - максимальный шаг распределения. Здесь 2r R"{h)R{h) R (h)2 W/n ьл , „/L ч := д(М2— А ) := - Ь Д(Л?). Соотношение (26) выполняется равномерно поО є 0. а — є при а со, и при О е 0 .А оои любом А 0, если а = оо. Теорема 2.1. Пусть выполнено правостороннее условие Крамера (2) и Е І = 0. ТЬгда для всех 8 Є (0, а) существует конечный положительный предел По = \imrlR(heyl+lH(l;he); 1—КХ в случае нерешетчатого распределения шага блуждания i имеем ї Ч-Й (Я) при L — оо авилмерпо тш0,є 0 а — є, є 0 - произвольно (при а = со для е в А и любого А); в случае решетчатого распределения правую часть соотношения (27) следует домножитъ на d(l — e dh9) l, где d - максимальный шаг распределения. Теорема 2.2. В нерешетчатом случае в предположениях Теоремы 2.1 равномерно пов в указанных там пределах зменения, указанные в Те-ореме 2.1, Соотношение (29) можно представить в форме Р(2 , 9L) H9N{Sh 9L), (30) общей для решетчатого и нерешетчатого случаев. В Главе 3 приведены аналогичные Теоремам 2.1 и 2.2 результаты для больших уклонений статистики Шеппа для случайного блуждания с условием Крамера. Введем обозначение щ - шп -я п)я(М 2г\ (31) п—юо П где Щ :=Eexp{hff max %fU+r}. (32) l r,k n Теорема 3.1. Пусть &, і = 1,2,...,- н.о.р. сл.в., для которых выполнено условие Крамера (2) и Е& — 0. Тогда существует конечный положительный предел (31) и P{WL L 6L) H9LP{SL 9L)} L oo, (33) равномерно по0 е 9 а — , є 0 при а оо и при 0 є 9 А для любого А при а — оо.

Доказательство Теоремы 3.2

Пусть (к к 1) — последовательность независимых нормально Л/"(0,1) распределенных случайных величин; Sn = 2Z=i к, п I, SQ — 0 — порожденное ими случайное блуждание. Введем статистику Теорема 1.1. Пусть jt, к = 1,2„.. — независимые одинаково нормально М(0,1) распределенные случайные величины. Тогда существует конечный положительный предел (1.3) и равномерно поО є 9 А оо для любых Е} А 0 имеет место следующая асимптотика Доказательство Теоремы 1.1 приводится в разделах 1.1.2 — 1.1.5. При этом используется подход к исследованию асимптотики больших уклонений максимума гауссовских процессов, содержащийся в работах [9], [8]. Доказательство Теоремы 1.2 приводится в разделе 1.1.6. может быть приближена к асимптотике вероятности (1.2) за счет увеличения параметра I. Отсюда, в частности, следует, что при L не кратном I наличие одного неполного отрезка разбиения не влияет на результат. В основе используемого подхода лежат неравенства Бонферрони : условную вероятность под знаком интеграла (1.10) следует понимать как интеграл от условной плотности, a psL — плотность JV(0, L) распределенной случайной величины S Сделаем в (1.10) замену переменного у — QL — z и, подставляя в интеграл (1.10) явное выражение для (fsLf получим Чтобы упростить обозначения, введем при фиксированных у, L гауссов-скую последовательность случайных величин {г)п , 0 п I), средние и ковариации которых совпадают с условными средними и ковариациями последовательности Sn+i — Sn — Si при условии Si = BL — у. Таким образом, (1.24) оценивается сверху при п I некоторой постоянной Сі . Множитель перед экспонентой в (1.23) оценивается при у О неравенством Функция фі{у) при всех достаточно больших L (например, L 21) представляет собой интегрируемую на всей прямой функцию. При у 0 вероятность иод интегралом (1.12) равна 1. Таким образом, подинтегральное выражение в (1.12) оценивается сверху с точностью до множителя, зависящего от і , функцией фі{у) при у 0 и не превосходит еу9 при у О , так что можно воспользоваться теоремой Лебега о мажорированной сходимости, и соотношение (1.20) полностью доказано.

Попутно заметим, что правая часть (1.20) после интегрирования по частям приобретает вид а интеграл (1.31) взятый по области [0, t-7 )] оценивается сверху выражением (1-33), домноженным на 6 1 . Интеграл (1.31) по области [ к\оо) оценим сверху, заменив условную вероятность под знаком интеграла единицей. В результате получим оценку сверху равную Дальнейший ход рассуждений по выводу асимптотики вероятности (1.2) дословно следует работе [8]. Из (1.8), (1.28) и (1.38) получаем при любых ЩО- = Г10-1Ъехр{ max (y/2Sn - пв)} -+ J&, I- оо. (1.41) Т1 /—і Таким образом, при условии (1.40), из (1.39) и (1.41) получаем : P(TL L 6L) J9]jj e- 2L. (1.42) Для завершения доказательства асимптотики (1.42) выведем соотношение (1.40), также следуя работе [8]. Запишем левое неравенство (1.8), оставив события с четными номерами : Ppb.fi ЄЬ) Р ({jA2n\ X ( 2m) - X)P(iWW- (1.43). \ n / m m n Асимптотика первой суммы в правой части (1.43) дается соотношением (1.28), где суммирование ведется по четным j. Вторая сумма в (1.43) оценивается сверху предпоследним неравенством в (1.38), где суммирование ГЛАВА І . Асимптотика вероятностей в гауссовском блуждании 26 ведется также по четным к 2. В результате получаем: ШоИ PPU 9L) Ще- " Ж - jf . (1.44) Интеграл J{h) является возрастающей функцией (см. (1.27)), а функция се 2 убывает к нулю при 1? — со . Следовательно, найдется h = Щ. Для которого правая часть (1-44) положительна. С учетом (1.39) получаем для любого 1\

Доказательство Теоремы 4.2

Далее, проводя рассуждения аналогичные тем, которые были изложены на Шаге 1, приходим к соотношениям (3.84), а также к следующей асимптотике (ср. (3.45)) На Шагах 3 и 4 используется следующее обобщение Леммы 3.1, Лемма 3.2. Пусть а,/?, 7 - натуральные числа: а + /3 L,/? + 7 - -ТЪгда для некоторого 0 рв I и для всех \х\ А и любого А 0 существует постоянная С А такая, что P{Sa+i3 9L + x,Sa+fi+T-Sa вЬ + х) CApQ pV{SL вЬ + х). (3.93) на соотношениях (3.6)-(3.10), которые мы в свою очередь дополним необходимыми обобщениями. Заметим, что Р(Я 9L + х) = P(SL (0 + y)L) тг(і, в + у) - тг(Ь, 6»)е л . (3.94) Следовательно, вместо (3.6) при тех же условиях имеем: с&{1\ в)е НвХ P(5L вЬ + х) Csir(L; 0)е {цх) (3.95) где постоянные С, Се зависит от Л. Заметим также, что согласно (3.3) имеем, применяя теорему Лагранжа о промежуточном значении: he+l=m-l{e + j)=he+ 2(} ї х. (3.96) L az{hff+s.) Ь Li Тогда равномерно по Д = о(Ь 1 2), \х\ АпО є 9 а — є получаем (ср. (3.7)) P(SL (e + A)L + x) _ P(SL 6L + x) Следовательно, имеем аналогичные (3.8) неравенства: - P(SL 0L + х) - v где постоянные сє $, CEts зависит от А. От соотношений (3.95) и (3.98) приходим к оценке (ср. (3.9)): Само доказательство Леммы 3.2 в точности повторяет доказательство Леммы 3.1 с учетом выведенных выше обобщений неравенств (3.6)-(3.10). Приведем здесь ключевые изменения, возникающие при оценке двойных сумм на Шагах 3 и 4. На Шаге 3 члены суммы Y i оценим следующим образом ( см. (3.99)): Pfaw &L + х, r)r,s 9L + x) Р{гь- ЄЬ + х) CeP{SL 9L + x)R(he)s-L. (3.101) Члены суммы J 2 оценим с помощью неравенства (3.93) из Леммы 3.2 : Pfe 0L + xtTfr 0L+x) = = p(a,0t-y) cp%-0 P(SL OL + x)t 0 р& 1. (3.102) Далее, основываясь на рассуждениях аналогичных проведенным на Шаге 3, получаем: Р(4?4;}) Ei + Е 2 + ЕЇ № BL + х). (з.юз) Поскольку на Шаге 4 мы пользуемся только оценкой (3.102), то получаем аналогично (ср. (3.69)): Завершение доказательства Теоремы 3.3 проводится полностью аналогично изложенному на Шаге 6 (для N = V) и в разделе 3.5. Так, при N L, положив для краткости Переходя в (3.107) к пределу при п — со, получаем Мг-« NTT{L; 0)e-hx к J Рассуждения при N L полностью аналогичны приведенным в разделе 3.5 и приводят к условию (3.31) на стремление N — со. Глава 4 Предельные теоремы для статистик типа Эрдеша-Реньи и Шеппа 4.1 Основные результаты Теорема 4.1. В условиях Теоремы 3.1 при L — со, любом о 0 и имеет место сходимость P(HV,L QL + х) — ехр {-Ьдехр {-hex}}, -оо х оо (4.2) е случае нерешетчатого распределения шага блуждания. В решетчатом случае в (4-2) надо положить Ь$ .= i- e . . —; где d - максимальный шаг распределения. Сходимость равномерна по х в любой ограниченной области. 1 - P(Am) - V(Bm) P(WNtL вЬ + х) 1- P(Am). (4.13) В последующих рассуждениях х произвольно, но фиксировано. Проведем оценку вероятности Р(Вт). Имеем: гг (тп+1)Ь Р(А0=Р( U {Щ ь 9Ь+х}) Е P(WL!L ЄЬ + х) Р(% вЬ + х). (4.14) Воспользуемся

Теоремой 3.3 для оценки вероятности в правой части неравенства (4.14). Согласно (3.32) имеем для всех достаточно ЬеА ь (ср. (4.1)). Для оценки вероятности Р(Дп) используем независимость случайных величин W LL, і = 1,..., и получим: 1 - Р(А»)= J] Р(И у; 0L + а:)= (1 - P(W L 0L + я)) . (4.18) Далее представим правую часть равенства (4.18) при NyL — со в виде: ЄХР {(т + 1)Ь Ь(1 " Р д - 9L + Ж»} = iV = exp{-(ro + 1)i.P(Wrln + х)+ + Q( (m f 1)L PAW & + ))2 ) }. (4.19) По Теореме 3.3 имеем следующую асимптотику больших уклонений статистики WmLjL P(WmL,L BL + x) J rL/L , е 1 e h , L со. (4.20) Согласно асимптотике (4.20) и условию (4.1) на выбор Nt остаточный член в разложении (4.19) пренебрежимо мал, а главная часть представим а в виде: ехр{-Ь, - «г »}, где be = Я .. (4.21) m+1 V2irhe(r(he) Таким образом, совмещая оценки (4.18), (4.19) и (4.21) при любых m приходим к следующему результату: lim (1 - P(Am)) = ехР{-6, - - е-л } (4.22) рг,ь-юо m+l ГЛАВА 4. Предельные Теоремы Теперь подставим полученные оценки в (4.13). Поскольку Р(Дп) удо влетворяет неравенству (4.17), а для (1 — P(A„i)) имеется асимптотика (4.22), то, переходя в (4.13) к пределу при L — оо и N = cyLeK L —» со, получаем при любом т и х ; т _hgX, Св. ехр{-Ь0 e-heX\ - —22- liminf P(WNL 6»L + re) lira sup P(WVL вЬ + х) ехр{-Ъе —е-ПвХ] N,L- x m+1 Устремляя m к бесконечности находим: » Hm P(WNtL 9L + x) = exp{-bee k»x}, где b9 = д- ,- (4.24) N,L- oa у/2-7Г ke T{he) 4.3 Доказательство Теоремы 4.2 Доказательство Теоремы 4.2 проводится в точности по той же схеме, что и примененная выше при доказательстве Теоремы 4Л. Определяются соответствующие разбиению (Di,di)y і = 1,..., fa+вь (см- (4-9)) отрезка [1, N] статистики Эрдеша — Реньи (ср. (4.10)) TmL,L = ах щ,ь, T{lL = max 7]kiL. (4.25) .(і) гтп(г) kDi К также для любого m определяются события Am и Bm (ср. (4.11)) tL С (m+l)b (m-l)L А»= U {тІь ЄЬ + х}, Bm = \J PL?L - + }- С4-26) Основу доказательства составляют простые оценки 1 - Р(А») - P(Bm) PpV,L 6L + я) 1 - Р(А„), (4.27) а также замечание, что случайные величины T L L независимы. Подобным образом доказывается, что Р(Вт) пренебрежимо мала при N,L —+ оо, где N величина порядка, указанного в условии (4.3). Согласно Теореме 2.3 для ГЛАВА 4. Предельные Теоремы всех достаточно больших L и для х таких, что в -f f а — є имеем оценки (ср. (4.14), (4.15)): ) ( + (m+l)L тп+1 Для оценки вероятности Р(Лт), используя независимость случайных величин Т , і = 1,..., fm+i),i запишем аналогичное (4.19) представление при N, L —+ оо: 1-Р(Ат) = ехр! \n(l-P(TmL L 9L + x))X = = eXp{"(m + l)LP(Tm L - + + + ?( (ш 1)Х/(Р(Гт,д + ))2 ) } (4.29) По Теореме 2.3 имеем (ср. (4.20)): ПТтЬ,Ь 9L + x) J ,, Є тЬ e k X L (4-3) Тогда из (4.29) и (4.30), следуя рассуждениям приведенным в разделе 4.2, получаем (ср. (4.22)) при любом т : Ит (1 - Р(Лт)) - ехр{-й, - -е" }, где ае = -fV ,- (4.31) Подставляя полученные оценки (4.28) и (4.31) в неравенства (4.27) и переходя к пределу при L — оо и N = су/Ье 1, — оо, получаем при любом тих (ср. (4.23)) т „-Mi С 1 N,L юо ехр{-а - — е 1} - — 7 liminf Р(Тдг 9L + х) limsup P(7Vt/j 9L + x) exp{-a9 e hx} (4.32) NtL oo ТП+1 Устремляя m к бесконечности находим требуемую асимптотику. ГЛАВА 4. Предельные Теоремы 88 4.4 Доказательство Теорем 4.3, 4.4 Гауссовское распределение удовлетворяет двустороннему условию Крамера, а потому результаты главы 1 представляют собой частный случай соответствующих утверждений глав 2, 3. В гауссовском случае имеем R(h) = \h2, m(h) = h, a\h) = 1, h9 = 0, А{в) = V, (4.33) и потому заключения Теорем 1.1, 3.1 можно представить в виде: P(WW,L Щ JV- =- е" " 1, (4.35) Сравнение с теоремами 1.1, 1.3 приводит к равенствам: Л-Ш ./, = (4.36) Следует подчеркнуть, что выражение (1.3) для постоянной J& имеет более конструктивную форму, связанную с преобразованием Лапласа максимума отрезка гауссовского случайного блуждания с отрицательным сносом, в случае Теоремы 1.1. Таким образом из Теоремы 4.2 в гауссовском случае получаем: P(TN,L 9L + X)- ехр {—ф= exp {-Ox}}; (4.37) V27T а из Теоремы 4.1: P(% OL + x) - exp {-- exp {-0x}}. (4.38) Литература [1] Боровков А.А. Асимптотика вероятности пересечения границы траекторией цепи Маркова. Регулярные хвосты скачков.— Теория вероятностей и ее применения,2002,T,47,N 4,с. 625-653. [2] Боровков А,А., Коршунов Д.А. Вероятности больших уклонений одномерных цепей Маркова. Часть 1. Стационарные распределения.— Теория вероятностей и ее применения, 1996,T.41,N 1,с. 3-30. [3] Довгалюк В.В. Большие уклонения траекторий точечных и связанных с ними случайных процессов. Дисс. канд. физ. мат. наук, М., 1990. [4) Довгалюк В.В., Питербарг В.И. Большие уклонения траекторий пуас-соновского процесса.— Вероятностные процессы и их приложения., 1989, М.: МИЭМ, с. 112-117. [5] Козлов М. В. О частичных суммах Эрдеша-Реньи: большие уклонения, условное поведение.— Теория вероятн. и ее примен., 2001, т. 46, в. 4, с. 678-696. [6] Новак СЮ. О распределении максимума частичных сумм Эрдеша-Реньи.— Теория вероятностей и ее примененияД997,т. XLII, N 2,с. 274-293. [7] Петров В. В. О вероятностях больших уклонений сумм независимых случайных величин.— Теория вероятностей, 1965,т. Х,с. 310-322.

Похожие диссертации на Предельные теоремы и большие уклонения для приращений случайных блужданий

Большие уклонения и предельные теоремы для некоторых функционалов от случайного блужданияШкляев, Александр Викторович

Асимптотическое поведение некоторых характеристик случайных блужданий и однородных процессов с независимыми приращениямиШнеер Всеволод Владиславович

Предельные теоремы в двуграничных задачах для случайных блужданийЛотов, Владимир Иванович

Предельные теоремы для числа пересечений полосы траекториями случайного блужданияОрлова Нина Геннадьевна

Теоремы о больших уклонениях в задаче проверки статистических гипотезМедведева, Марина Ивановна

Многомерные предельные теоремы для вероятностей больших уклоненийСветулявичене, Виля Казевна