Многомерные предельные теоремы для вероятностей больших уклонений Светулявичене, Виля Казевна

Леммы

Сначала приведем несколько вспомогательных лемм, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Пусть Р(х,у) - расстояние между точками X и u , f -определена на R , ограниченная и измеримая и - обобщенные меры, определенные на классе борелевс-ких множеств в R , К - сглаживающая вероятностная мера, Лемма I«I (см. [бі] , с, 93, следствие II.5, формула 11.25). Пусть (Ч и \ - конечные обобщенные меры, определенные на R , і - положительное число и К - сглаживающая вероятностная мера на R , удовлетворяющая условию Тогда для любой определенной на К вещественной, ограниченной и измеримой по Борелю функции f Лемма 1.2 (см. [38] , леммы 5 и б). Если /53 , то Далее мы докажем одну лемму, которая дает оценку вероятностей FnW для "малого объема" множества && , являющегося подмножеством шара fx.- fx $ 0(п\, Lo 0 . Для любого фиксированного k R , lk{ H , введем вспомогательный закон распределения и рассмотрим последовательность независимых одинаково распределенных случайных s -мерных векторов 2(\ Ї 2,... , с функцией распределения FAx) Через m=гп (h) и Г(М обозначим соответственно среднее и ковариационную матрицу распределения / (х) . Пусть (х) обозначает функцию распределения суммы тогда соотношение указывает на связь между функциями распределения Fn (xj и //XJ (см. [59J , формула (2)). Так как R(o) = i и R(k) непрерывна по h в окрестности нулевой точки, то существует такое число Н0$Н , что u mlk\ H0 будет IRiMj оо и, следовательно, при К Н0 можем взять uiR(h) (берется главное значение логорифма). Разложив функцию vi R(h) в окрестности точки h 0 в ряд по степеням /г имеем - семиинвариант \ -того порядка распределения Fix).

В силу условия (I.I) этот ряд сходится для всех /ftl H Следовательно, а элементами матрицы E(h) являются величины сі Обозначим f= и рассмотрим уравнение Якобианом уравнения (1.10) является "W , непрерывный по h и равный единице в точке k=0 . Поэтому dd E(k)w в некоторой окрестности точки /i=0, и уравнение однозначно обратимо для к и 4Г с достаточно малыми координатами: = отвечает точке 1Ґ= о ; для іг достаточно малой длины (скажем для всех №{ $ i0 , где 0 - достаточно малое положительное число) получаем вектор k достаточно малой длины. Пусть h-h[ ) Является решением уравнения (1.10). Используя алгорифм обращения уравнения (1.10), приведенный в работе [36] , имеем Положим s Обозначим d(ir = (k(.v},v)-ln R{h(v))I \nr\ І tc, тогда Используя метод вычисления аналогичного выражения в работе [56] получаем Здесь 2— ft J - многомерный ряд Крамера, сходящийся при {іг{ Е0 Qv W однородные полиномы 9 -той степени, коэффициенты которых выражаются через семиинварианты распределения F(x) порядка не большего i? . Лемма 1.5. Для борелевского множества D , являющегося подмножеством множества {х- (xsRj П[х.- - $. _ .1., ir= 75 } при некотором a е, ос-(,оии...,аь) и 4 & :о(г1 имеет место соотношение Заметим, что величины, соответствующие символам 0(.) не зависят ни от а ни от множества D Доказательство леммы 1.3. Пусть /i=h(a/ ) является решением уравнения тШ = а . Тогда, согласно (1.7) ( см. также [59] , доказательство леммы I) Оценим Ji . Так как Jx 4-і при xeD-a. , то согласно соотношению (1.9) Из соотношения (I.I4) следует: если ІЩ + ІІҐІ 0 и lQ -- достаточно малая постоянная, то Отсюда, в силу (1.8) и (I.II) Так как- -=0() при хеЭ-сс , то Сравнивая соотношения (I.I7) и (1.18}и учитывая (I.II), нетрудно видеть, что 3) Для вычисления интеграла - воспользуемся леммой I.I. Пусть Согласно (I.II) для хє-а будет \Ш(к,к(%))( = ОМ. Следовательно Отсюда, в силу неравенства (см. [l?J, с. 217) для любых элементов Ц, и 2. множества D - о. получаем Поэтому Оценим J (f;n.) . Имеем где иУп(і) - преобразование Фурье плотности обобщенной меры %r() - характеристическая функция распределения „(х). Сглаживающее распределение ЛМ выберем так, чтобы оно удовлетворяло условию леммы 1,1 и чтобы kt (і) было равно ну- лю при Ш Т= -.

Доказательства теорем 2.1 и 2.2

При доказательстве, не ограничивая общности, будем считать что Х 1 . Доказательство теоремы 2.1. Пусть (см. 2.ID))F(x) - распре- деление на R такое, что Нетрудно видеть, что Фц Ц) является п -той композицией функции (yi . Согласно (2.22) Введем вспомогательную функцию распределения и рассмотрим последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов Z\ Z ,... с функцией распределения ІМ . Через m=m(k) и E(h.J обозначим соответственно среднее и ковариационную матрицу распределения V Cxj При этих обозначениях распределением нормированной суммы = (? + .... +Z -тп) будет распределение Отсюда, ввиду (2.23) Z(la{-b\l3lna) и сначала вычислим п,л. ) » где Ъг ЪПЫг, = { /= /#/ $, «о}. Так как (см. (2.12)) R(o}=i+o(4) и (h) непрерывна по /г в окрестности нулевой точки, то при е\ будет 1$(Ьрс о. Поэтому при heBa можем взять In R(h) (берется главное значение логорифма). Разложив функцию по степеням /1 в окрестности точки /i = 0 , для любого # 0 имеем Нетрудно видеть, что в соотношении (2.26) семиинварианты f У распределения / ( ) можно заменить семиинва- риантами у " г распределения F(xj с погрешностью о - -Ф(П) ) . Следовательно Элементами матрицы E(h) будут величины Далее, согласно (2.25) Пусть = = . Рассмотрим уравнение которое эквивалентно системе уравнений Из соотношений (2.27) и (2.28) следует, что равномерно по h.tbn v якобиан уравнения (2.30) при п- & равен Тогда уравнение (2.30) при достаточно больших п (следовательно при достаточно малых пґ ) в области 5 имеет единственное решение h0- [hoV о hos) . Разложив величины h0 , l- Ть, в ряды по степеням tf (алгорифм разложения hoi или, точнее, алгорифм обращения рядов (2,31) приведен в работе [36]) имеем где д /-%/г. / a,i _ Следовательно h0= 1Ґ+ 0(MZ) , т.е. Далее, пусть ,«ГУ /е Ч- г, 0 - #? ), (2.33) где % - отрезок, содержащий К первых членов многомерного ряда Крамера, который определяется распределением . В дальнейшем будет видно (см. (2.53) и (2.54)), что при U\i Теперь из соотношения (2.29) ввиду (2.30) получаем Вычислим интеграл f± . Поступая аналогично, как и при вычислении соответственного интеграла в работе [і], получаем (см. ft], С. 67 - 69) 2) если множество D таково, что /а/ ШІ и 3) если множество I) таково, что &c=foh0 и а 7 то 4) если множество U таково, что \а\$ , 6=\fnk чает угол между векторами и ), то При вычислении интеграла & в случае, когда / (а/ M=r и выполнено условие (2.1), тоже используем некоторые идеи из работы flj.

Разделим множество Ъ -а. на непересекающиеся подмножества Д—СДПД)- а , где D- - конгруэнтные полуоткрытые кубы со сторонами, параллельными координатным плоскостям и с ребрами длины . Через d- обозначим ближайшую точку мно-жества j от начала координат. Тогда при h. = h0 Сначала вычислим интегралы /2І . Пусть Так как Ь0е 6Л , то при zt 6а имеем, что h0 + ze &а . Отсюда и из соотношений (2.12) и (2.24) получаем, что R kU . Введем вспомогательные независимые случайные векторы распределенные по закону Пусть m=m(2) и E (z-) обозначают соответственно среднее и ковариационную матрицу распределения lV2(x) . Тогда а элементами матрицы Ew(z) будут величины Отсюда Далее рассмотрим функцию являющуюся функцией распределения нормированной и центрированной суммы (_ У(1,+ ... + Положим Т= ф . Так как с -/ =тіа(г(/а/+Жг]1 j) . то r- o при п оо . Составим уравнение rrz(z) = r ze Нетрудно видеть, что настоящее уравнение, как и уравнение (2.30) при i Вп имеет единственное решение 20 = (20(,..., z05) . Как и при получении (2.32), разложив m(z), ze6 , в ряд и воспользовавшись алгоритмом обращения степенных рядов (см. 3б]), находим, что при достаточно больших п Положив в соотношении (2.44) z = za » имеем Дальнейшее вычисление интеграла проводим аналогично вычислению соответственного интеграла из работы [її (см. [і] с.71), в результате чего получаем Отсюда, учитывая неравенства и Из соотношений (2.40), (2.45) и (2.47) следует, что при k=h0 Щ С /е е Ч" -C(i (2.48) Итак, согласно (2.35) и (2.48) Отсюда в силу (2.36) - (2.39) Используя метод вычисления аналогичного выражения в работе [36], получаем, что при /а/$ 4= Для любого Зс о где 9У ъ Q - однородные полиномы Р -той степени, коэффициенты которых выражаются через семиинварианты распределения F(x) порядка не большего . Число -Н в соотношениях (2.51) и (2.52) подбираем ак, чтобы при условиях 2, 3 и 4 выполнялось равенство Отсюда находим, что H-jr j i . При условиях пункта 1, число Х-М0 находим из соотношения п[Ш\Н0н Ш Ш/ = п//3 откуда следует, что н _ р ы ( {\1 Далее из соотношений (2.51) и (2.52) имеем, что при \CL\ І —? и достаточно больших п Наконец, согласно (2.49) - (2. 52) где 3ni eR и является і -той координатой суммы усеченных случайных векторов (см. (2.10)). Далее заметим, что при условиях нашей теоремы, имеет место теорема В.-Д.Рихтера (см. С64], теорема I), согласно которой для всех xeSl± Применив это утверждение к вероятности (2.59) имеем Отсюда и из соотношений (2.58) и (2.59) следует, Следовательно, при = -jtlP и достаточно больших п. Поэтому, согласно условию (2.8), а также (2.53) и (2.54) Следовательно, если то имеет место соотношение (2.61). Пусть теперь к = . Разделим множество I) на непересекающиеся подмножества Вгп ЪПЬ1Ъу\ (%ч}о иИтл, падбираем так, чтобы (m- t) А1 . спс ,. Множество 2Х, 2 $ т или выпуклое, или его можно разделить на конечное число выпуклых множеств, расстояние которых от начала координат не меньше величины (t-i)o = 2М(/а+в). Поэтому для каждого подмножества (а следовательно и для Э д 2 $ ъ па ) при достаточно больших п. можно применить доказанное нами утверждение (2.55).

Многомерные локальные предельные теоремы для больших уклонений

Пусть А , х j.,, - последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов в R с функцией распределения R ) , с ограниченной плотностью р(х) , с нулевым средним и с единичной ковариационной матрицей Е . Через ра(х) обозначим плотность распределения нормированной суммы rn= Sa/fri . Пусть К - класс неубывающих функций $( ) , удовлетворяющих условиям (2.2) - (2.4), и пусть Л (п.) является ре.-, шением уравнения (2.5). Далее будем считать, что выполнено условие (2.1), т. е. Теорема 2.6. Если выполнено условие (2.97) и существует натуральное число п такое, что 5п имеет ограниченную плотность, то для \х\ $ ±iiiii при достаточно больших п. имеет место соотношение где М. [--г1 + L, 00 - плотность 5-мерного стандартного нормального распределения, a Q ( ) - однородные полиномы -той степени, коэффициенты которых выражаются через семиинварианты распределения F(x) порядка, не большего \) Далее рассмотрим последовательность решетчатых случайных векторов Х( Х( ... . Предположим, для простоты, что случайные векторы X , i=4 2,... принимают целочисленные значения к (векторы из R с целочисленными координатами). Пусть ЕХ1=о, pd) = P{X(1)=k}, fj[(k)= Pl$n=&} и распределение векторов является однорешетчатым (см. [36]). Теорема 2.7. Если однорешетчатые векторы удовлетворяют условию (2.97), то для / / 4 , где X = ак = j= , при достаточно больших а имеет место соотношение Величины (х), JM , $v(%.) определены в теореме 2.6. Доказательство теоремы 2.6, Неограничивая общности будем считать п0= і и Щ ы , Пусть Введем функции рА(У) и \(у] следующим образом Ті Положим Согласно (2.103) Так как S /У- монотонно убывает, то ввиду (2.5) для кь&а и М Л (aj Отсюда, при $; , имеем, что /(h,x)Uc(lxl) . Следовательно, в силу (2.97) для UUA(n) и in е. 8R Далее введем вспомогательный закон распределения и рассмотрим последовательность независимых случайных векторов yfV y V... , распределенных по закону ( J . Пусть m m(hj, "(/1) и (х) обозначают соответственно среднее, коварна- ционную матрицу и вероятностную плотность распределения и Ы-Теперь распределением суммы (Чт ... Чт-тп) будет распределение Пусть - /jC ) обозначает вероятностную плотность распределения /%/zM . В силу соотношения (2.104) Следовательно Рассмотрим уравнение Известно, что уравнение (2.109) однозначно обратимо и его решение h0 = h0 (% ] равно Заметим, что /& ah(x) является плотностью распределения нормированной и центрированной суммы независимых одинаково распределенных случайных векторов, имеющих конечные моменты всех порядков.

Согласно локальной предельной теореме для плотностей с учетом оценки скорости сходимости в R5 (см. например [9], [44]) имеем Следовательно, из (2.108), в силу (2.III) и (2ЛІЗ), получаем Поступая как и в работе [36], нетрудно получить, что для любого X 0 при П - оа где Qi(x/tn) - однородные полиномы -той степени, коэффициенты которых выражаются через семиинварианты распределения порядка, не большего \ Число я = м подбираем так, чтобы при Ul $ - Ш имело место соотношение Отсюда находим, что = РгЧ-1 + 4 . В силу (2.115) для 1к\$ Щ= при достаточно больших п. Итак, из соотношений (2.114)-(2.116) при х Ш и а « имеем Остается оценить разность I ра(х.)-рпл( с)\ . Пусть В силу условий (2.2), (2.5) и (2.6) из соотношений (2.119)-(2.121) при достаточно больших п получаем Из соотношений (2.118) и (2.122) следует утверждение теоремы 2.6. Доказательство теоремы 2.7. По-прежнему , пусть Щіі. Положим jM=fXCli , ,xl ACn), (2.123) В силу условия (2.97) и соотношения (2.105) производящая функция моментов существует в области z-h+iit h.6&n, - Ьоо, Производящая функция суммы 2L Х(К равна Гак как Rfe) периодична с периодом 21 і , то ."множив соотношение (2.125) на e (z и проинтегрировав вдоль z = h + ii", t.$ T,ktbnjН имеем Положим х = xnfc- %ї (эти значения принимает нормированная .сумма Za = 5Л/І/7? ). Тогда Далее, вычисляя аналогично Рихтеру [36], при х т и п получаем Разность [Рп[к)-Рп А(#)] оценивается аналогично, как и соответствующая разность при доказательстве теоремы 2,6 (см. (2.I22J. Из соотношений (2.122) и (2.126) следует утверждение теоремы. Пусть Xм, Хи), ... - последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов со значениями в R5 , с функцией распределения F( j , с нулевым математическим ожиданием и с единичной ковариационной матрицей Е . 1-і Будем считать, что случайные векторы Xі, i=f,2,... удовлетворяют условию где СУ о - некоторая постоянная. Теорема 3.1.

Если выполнено условие (3.1), то для множества $ с расстоянием от начала координат р І С \!ln п удовлетворяющего условию (3.2), имеет место соотношение где п= сАгї 2, Х=ггип(, с2-;, о кс1. Следовательно, если, кроме условий теоремы, множество D удовлетворяет условию P((dD)ia) -Теорема 3«2. Если выполнено условие (3.1) и при некотором Ґі0 абсолютно непрерывная компонента распределения суммы За отлична от нуля, то для множества Dc ,5 о » удовлетворяющего условию (3.2), при л- « =» имеет место соотношение Сформулируем несколько лемм, которыми будем пользоваться при доказательствах теорем. Лемма 3.1. Гем. ГбО] ). Если Д = М Х ( . для некоторого , 2 г 3 , то для 1 1 « Ь(2і/гї Здесь {лЩ=їЧ /т), /tf] = Me p{ifr,XwJ}, a , кг и - некоторые положительные постоянные, зависящие лишь от 5 и моментов Л Лемма 3.2 (см. [71] ). Пусть л ,л , ... - последовательность независимых векторов в R , MX -0, Доказательство теоремы 3.1. Достаточно доказать утверждение теоремы для сГ(п) Р sc &iri , где cf(n)-»o достаточно медленно, так как в области 0 о(п) оно следует из ин- тегральной предельной теоремы. Пусть р, = с і in п -і Разделим множество D на непересекающиеся подмножества А Сначала вычислим .(А) . Для этого разделим множество D на непересекающиеся подмножества Д- = Д/ЧД,- , где Dij - конгруэнтные полуоткрытые кубы со сторонами параллельными координатным плоскостям и с ребрами длины Ур . Следова- тельно Оценим 1 п(А;) Пусть точка х = (а-,,..., а.-ъ) является ближайшей точкой множества А.- от начала координат.

Доказательства теорем

В настоящей работе исследуется нормальное приближение для вероятностей (І) в следующих трех случаях: I). Когда выполнен многомерный аналог условия Крамера, т.е. когда интеграл сходится для всех (k[ H , Н 0 . 2). Когда выполнено условие типа Ю.В.Линника, т.е. когда где %d - класс неубывающих функций, удовлетворяющих условиям d /у монотонно убывает, а Р(х) - функция, сколь угодно медленно стремящаяся к бесконечности при х- ( условие (3) было введено С.В.Нагаевым в одномерном случае (см. [23], [64]) и является некоторым ослаблением известных условий Ю.В.Линника ). 3). Когда .FOO при Щ- убывает степенным образом. 2. Исследованию вероятностей больших уклонений крамеровско-го типа в одномерном случае посвящено довольно много работ. Первыми результатами в изучении предельных теорем с учетом больших уклонений были работы А.Я.Хинчина [62] и Н.В.Смирнова [48], в которых рассматривались большие уклонения для схемы Бернулли. Первые общие результаты в этом направлении получены Г.Крамером f20] (1938г.). В.В.Петров обобщил теорему Крамера на случай неодинаково распределенных величин и заменил порядок роста х= о(Ш)(ап.) на х=о(т) В.Статулявичус доказал общую теорему для любой случайной величины, удовлетворяющей условию Крамера в терминах семиинвариантов. Л.Саулис получил асимптотические разложения остаточного члена в асимптотике вероятностей больших уклонений. Общие асимптотические формулы для вероятностей Fa(Da) при п. - о для некоторых последовательностей [Т Л подмножеств R. , имеющих "большие отклонения от нуля, при условии (2) получены в работах АА.Боровкова, Б.А.Рогозина [Ю] и А.Б.Нагаева, С.К.Сакояна формулах выписывается аналогичным одномерному случаю образом только для множеств DsDa » расстояние которых от начала /6 , координат не превышает величины а п (в одномерном случае для х - о (nVi) ). Дальнейшие исследования В.Рихтера [34], Б. фон Бара [59], Л.В.Осипова [28], А.Алешкявичене [і], Л.Саулиса [67j, [45J показали, что для некоторых специальных классов последовательностей {ЪЛ , главный асимптотический член вероятностей (I) можно выразить более "наглядным" образом.

В зависимости от структуры множеств Da можно выделить три случая аналитического выражения асимптотических формул для вероятностей Fri(Dfzj: 1-ый случай ( подкласс выпуклых множеств), когда ряд Крамера достаточно рассматривать в ближайшей точке множества от начала координат, т.е. когда множитель с многомерным рядом Крамера полностью выносится из под знака интеграла. Исследованию этого случая посвящены работы Л.0сипова[28], А.Алешкявичене [I], Л.Саулиса [67]. Для прямоугольных множеств аналогичные результаты получены Б. фон Баром [59]. 2-ой случай (внешности шаров с центрами в начале координат), когда множитель с многомерным рядом Крамера частично выносится из под знака интеграла, т.е. когда остается проинтегрировать его по поверхности единичного шара. К этому случаю относится работа Б. фон Бара [59]. 3-ий случай , когда множитель с рядом Крамера оставляется под знаком интеграла. Такая теорема получена в работе Б, фон Бара [59J для множеств D /j/: l } R ln являющихся разнастью двух выпуклых множеств. Ю.В.Линник [21] , [22] ввел ослабление условия Крамера и рассматривал вероятности больших уклонений, когда хе/?1 меняется в зонах [0,11 ], о . Работы В.В.Петрова 32] являются развитием исследований Ю.В.Линника и содержат значительное обобщение его результатов. Дальнейшие результаты в этой области находим в работах В.Вольфа [14]-[16], [69], Л.Саулиса [40]-[42]. Во всех работах в оценках остаточных членов фигурировала функция Р(п) , сколь угодно медленно стремящаяся к бесконечности. С.В.Нагаеву [23] удалось функцию f(n) заменить константой. Дальнейшие исследования в этом направлении находим в работах Л.В.Осипова [25], Н.Н.Амосовой [3], В.Вольфа [16],[70]. В терминах семиинвариантов доказана общая лемма (Р.Рудзкис, Л.Саулис, В.Статулявичус [39]), учитывающая большие уклонения как в зоне Крамера, так и в зонах Линника. Многомерные предельные теоремы больших уклонений в зонах Линника впервые получены в работах Л.Вилкаускаса [її] -[13]. В.-Д.Рихтер [64] рассматривал вероятности больших уклонений на прямоугольных множествах, когда случайные векторы удовлет воряют условию (3). В работах Л.В.Осипова [27]и Л.В.Розовско го [37] найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы соотношение —, п стремилось к единице. Исследование вероятностей умеренных уклонений в одномерном случае (когда о х с\Г&Гп ) было начато Г.Рубином и И.Сатураманом [66]. Дальнейшие результаты в этом направлении находим в работах Н.Н.Амосовой [4]-[7] и А.Сластникова [46] у [Л?] Обобщение этих результатов на многомерный случай дано в работах А.Слаетникова [47] , В.-Д.Рихтера [65]. Локальные предельные теоремы больших уклонений в одномерном случае рассматривались В.Рихтером [35], когла распределение Г(х) удовлетворяет условию Крамера и x = o(fn) . рЯд локальных теорем в зонах Линника получен в работах Ю.В.Линника [22], В.В.Петрова [32], [33j, Л.Саулиса [42], В.Вольфа [14], Н.Амосовой [3]и др. . В статье Л.Саулиса [43]при условиях на рост семиинвариантов закона F(x) доказана общая лемма больших уклонений для плотностей.

Многомерные локальные предельные теоремы больших уклонений при выполнении условия Крамера (2) получены в работе В.Рихтера [Зб]. Локальные теоремы умеренных уклонений в R находим в работе Н.Н.Амосовой и В.-Д»Рихтера [8]. 3. Перейдем к краткому обзору содержания диссертации. Глава I посвящена исследованию вероятностей больших уклонений в Rs , когда выполнено условие Крамера (2) . Здесь приведены теоремы больших уклонений (теоремы I.I и 1.2 ) для боре-левских множеств D { : [ $tQ(h I » граница которых не является слишком "извилистой". В этих теоремах многомерный ряд Крамера оставляется под знаком интеграла. Заметим, что теорема I.I является обобщением результатов Б. фонБара [59J в том смысле, что мы получили асимптотику вероятностей больших уклонений для более широкого класса борелевских множеств чем у Б. фон Бара [59]. Напомним, что Б. фон Бар исследовал асимптотическое поведение вероятностей (I) только для множеств, являющихся разностью двух выпуклых множеств. В главе 2 рассматриваются вероятности больших уклонений в R5 - типа Линника т.е., когда случайные векторы X , Z=f,2v.. удовлетворяют условию (3). Б этой главе выделен класс выпуклых борелевских множеств, для которых отрезок многомерного ряда Крамера в асимптотике вероятностей (I) достаточно рассматривать в ближайшей точке множества от начала координат ( теоремы 2.1 и 2.2). Далее приведена теорема больших уклонений (теорема 2.5) для внешностей шаров с центром в начале координат. В этом случае множитель с отрезком многомерного ряда Крамера частично выносится из под знака интеграла. Теоремы 2.3 и 2.4 аналогичны теоремам 1,1 и 1.2, но получены при условии типа Линника. В конце этой главы доказаны локальные предельные теоремы больших уклонений в зонах Линника. Основные результаты этих глав опубликованы в работах [49]-[51] и [56]. Глава 3 посвящена изучению асимптотического поведения вероятностей умеренных уклонений для борелевских множеств, граница которых не является слишком "извилистой" и нормальная мера от которых не стремится к нулю слишком быстро. Теорема 3.1 обобщает известные результаты [47] и [65], которые были получены только для внешностей шаров или для вероятностей типаР/" // ґи], ueR при разных определениях нормы [I II (см. [65]).

Похожие диссертации на Многомерные предельные теоремы для вероятностей больших уклонений

Неравенства для рядов из вероятностей больших уклонений для сумм случайных величинГассан Ахмед Абуд

Вероятности больших уклонений асимптотически однородных в пространстве эргодических цепей Маркова Коршунов Дмитрий Алексеевич

Асимптотика вероятностей малых уклонений гауссовских процессов в гильбертовой нормеПусев, Руслан Сергеевич

Асимптотический анализ вероятностей редких событий при больших уклонениях гауссовских стационарных процессов и полейЛаднева Анна Николаевна

Теоремы о больших уклонениях в задаче проверки статистических гипотезМедведева, Марина Ивановна

Предельные теоремы и большие уклонения для приращений случайных блужданий Козлов Андрей Михайлович

Большие уклонения и предельные теоремы для некоторых функционалов от случайного блужданияШкляев, Александр Викторович

Предельные теоремы и вероятности неравенства для полного и максимального числа потомков ветвящегося процесса Гальтон-ВатсонаКарпенко, Андрей Вячеславович

Экстремальные задачи, характеризация и предельные теоремы теории вероятностейУтев, Сергей Александрович

Предельные теоремы для случая сходимости распределений вероятностей к равномерному распределению Куликова Анна Алексеевна