Введение к работе
Актуальность тещ.Диссертация посвящена исследованию стохастических дифференциальных уравнений Ито и их приложений к стохастическим уравнениям с частными производными. В 40 -х годах К.Ито заложил основы теории стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), которая в настоящее время служит мощным аппаратом, позволяющим решать широкий круг задач,таких как проблемы теории детерминированных уравнений с частными производными, задачи статистики случайных процессов, физические задачи динамических систем с флуктуирующими параметрами и др. Современное состояние теории СДУ связано с работами И.И.Гихмаиа и А.В.Скорохода, Н.В.Крылова, Р.З.Хасьминского, А.Д.Вэнтшля, Б.И.Григелио-ниса, Н.Икеда, Ш.Ватанабе, Д.Струка, С.Варадана, П.Маллвена, Ю.А.Розанова, А.Н.Ширяева, Ю.Л.Далецкого, М.Метивье и многих других советских и зарубежных математиков.
Благодаря возможностям методов СДУ стало актуальным ослабление классических условий Ито,налагаемых на коэффициенты,при которых уравнение,с одной стороннике уходило на "бесконечность" за конечный промежуток времени, с другой стороннюю ослабление условия Липшица по фазовой переменной. Развитие второго направления привело к понятию слабого решения и слабой единственности решения. Здесь наиболее существенные результаты получили А.В.Ско-роход, Н.В.Крылов, Д.Струк и С.Варвдан, Х.Танака, Н.И.Портенко, Отметил такке работы И.В.Гирсвнова,являющиеся ключевыми для широкого клаоса задач,решаемых в рамках слабых решений СДУ. Зада-чя^связашшэ с отсутствием "взрыва" у решений СДУ, рассматривали В.Феллер, Р.З.ХасьмЕнский. В связи с задачами устойчивости решений СДУ Р.З.Хасьминским строились примеры уравнений,коэффициенты которых удовлетворяли условиям типа коэраитивности и для которых возможно построение функции Ляпунова,гарантирующей отсутствие "взрыва" у решения. Дальнейшие успехи в этом направлении шли одновременно с построением теории СДУ в бесконечномерном фазовом пространстве. Первые результаты в этом направлении о условиями типа Ито были получены В.В.Баклвном, Т.Л.Чантладзе, Ю.Л.Двлеиким. В дальнейшем исследования в этом направлении интенсивно велись в разных странах,и их результаты в настоящее время имеют не только теоретическое, но и прикладное зпаченлз. В 80-х годах в работах Э.Парду, М.Вяо, Н.ВДгылова.в Б.Л.Розовского были поручены результату относящиеся к СДУ с неограничен-
2
ними операторными коэффициентами и к СДУ с частными производны
ми параболического типа. В работах Э.Парду использовалось ко-
эрпитивности,позволяющее "априорно" утверждать об отсутствии
"взрыва" у решения. Отметим, что в применении к задачам СДУ с
частными производными разрабатываемые ими функциональные мето
ды удобны для построения "обобщенных решений, гладкость которых
мокНо повысить,используя технику,опирающуюся на теоремы вложе
ния. Другой подход к детерминированным нелинейным задачам с част
ными производными параболического типа связан с работами Ю.М.Бла
говещенского, М.И.Фрейдлина, Х.Танаки, Я.И.Белопольской и Ю.Л.Да-
леикого. При этом в сравнении с функциональными методами не тре
буется невырожденность главной части уравнений. Однако, в этом
случае условия гладкости коэффициентов . . более несткие.
Линейные классы СДУ с частными производными,использующих в качестве характеристик решения обыкновенных СДУ рассматривались Н.В.Крыловым, Б.Л.Розовским, Х.Кунтой, П.Малявеном. Как уже отмечалось, метода СДУ могут быть использованы в задачах статистики случайных процессов. В этой связи рассматривались в работах стохастические уравнения с частными производными А.Н.Ширяева, Р.Ш.Лишера, Б.И.Григелиониса, Лионса и других.
С начала 70-х годов получило развитие многопараметрическое стохастическое исчисление. Первые результаты в этом направлении получили Ж.Уояш, И.И.Гихман, Т.И.Царенко, Л.Л.Пономаренко, Р.Каире їй. В настоящее время интенсивно развивается многопараметрическая теория мартингалов* В атом направлении ряд существенных результатов получен П.Мейером, Э.Вонгом, М.Закаи, Н.Мапиотто, МДеду, Д.Нуалартом.
Ряд важных результатов по теории стохастических уравнений с частными производными с многопараметрическими ""белым шумом был получен Ю.А.Розановым.
Цель работы, Изучение некоторых новых условий на коэффициенты СДУ, которые гарантируют отсутствие "взрыва" у регаения уравнений. Построение методов решения задачи Когои для нелинейных стохастических уравнений с частными производными параболического типа с вырокдаодейся главной частью.
Методика исследования. В работе применяется современные метода теории вероятностей, теории случайных процессов, стохастических дифференциальных уравнений,
Для Эгузяч,в которлх главным результатом является определение условий на коэффициенты,при которых решение уравнения не ухопнт на "бесконечность" нспользуитен методы СДУ Ито, техника
слабых решений и "априорных" оценок. Для задач^связанных с двупараметрическим вшеровским полем,развивагатся методы Ито для исследования стохастических интегралов и уравнений. Для линейных стохастических уравнений с частными производными параболического типа с коэффициентами 'типа "белого шума" применяется техника преобразования фурье л СДУ. Нелинейная задача Копщ для стохастических параболических внровдающихся уравнений изучается на основе лркменнения методов обыкновенных СДУ, дифференцирования решений эволюционных систем по начальным данным , и некоторые дискретные схемы суммирования стохастических процессов,приводящих в пределе к уравнениям с частными производными. Для механических приложений с помощью корреляционной теории изучается предельное поведение решения задачи колебаний механической системы для быстропеременного внешнего воздействия.
33221125-5553323 Основными научными результатами являются следующие:
-
Установлены ноше условия на коэффициенты при которых решение СДУ не уходит на бесконечность за конечный промежуток времени. Этот результат доказан для конечномерных и бесконечномерных пространств, а такае а случае сильных или слабых решений СДУ.
-
Получена формула Ито дяя двумерного стохастического диф» ференаизлэ.
-
Доказана разрешимость задачи Кося дяя стохастических уравнений параболического типа второго порядка с Еыроадаизейся "главной" частью. Для вкпеШшх уравнений в случае, когда коэффициенты уравнения не зависят от фазовой перемешюй,рвссмотрен случай, когда коэффициентом при вторых производных от неизвестней функции могу, слунить функции типа "белого" шума. Для полулинейных уравнений доказана "классическая" разрешимость и единственности решения задачи Коши, получены оценки производных решения. Для квазилинейных уравнений доказано существование и единственность непрерывного, а.следовательно, обобщенного решения в полуполосе. Получены "априорные" оценки производных решения. Показана связь между "классическими" решениями стохастических уравнений о частными производными и эволюционной система вдоль характеристик, являющимися решениями обыкновенных СДУ,
-
Исследовано асимптотическое поведение колебаний систем
с распределенными параметрами, когда внешнее воздействие является бнетрепеременнкм случайным полем.
Дрстов9рнос_ть„Ейзультато8. Все результаты диссертации сфер-»
мулированы в виде лемм и теорем и полностью доказаны. В последней главе диссертации теоретические еыводы проиллюстрированы примерами.
Теоретическая _и .практическая значимость.. Работа носит теорг тический характер. Результаты диссертации}сформуяированные в виде общих теорем^могут быть использованы для анализа ряда приклад них задач, где необходимо учитывать многопараметричность шумов. Стохастические уравнения о частными производными возникают при исследовании случайных вибраций кеханичесісих систем, в задачах статистической физики и популяиионной генетики.
Апробация работы .и. гг/бликации. Основные результаты диссерта паи докладывались на Ш,1У Международных Вильнюсских конференция* по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, IS3I, 1985), ІУ Советско-японском симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике, (Тбилиси,1931 г.) ХШ Всесоюзной шощ коллоісвиуме по теории вероятностей и математической статистике (БакурианкД979), I Всемирном конгрессе общества Я.Бернулли (Ташкент, 1985), Республиканских конференциях по теории стохастически дифференциальных уравнений (Донецк,1902,1988), на семинарах по ; теории вероятностей и математической стагиогяке при Математическом институте 5і\!.В.А.Стеклова АН СССР, ЩУ, Институте математик^ АН УССР, Институте проблем передачи информации АН СССР, Институт те математиіся и кибернетики АН Лит ССР, институте прикладной натс-матгки и механики All УССР.
Основные результаты опубликованы в работах Гі-Й .
Структура .и объем работы. Диссертация состоит из введения, кости глав и списка литературы, содержащего 84 наименования* Обедай объем диссертации ~ 265 страниц, объем без описка литература, - 257 страниц.
Похожие диссертации на Исследование по стохастическим уравнениям и их приложения
