Введение к работе
Актуальность работы. Часть первая. Об устойчивости функциональных уравнений. В 1940 году известный американский математик С. Улам поставил следующую задачу: "Если мы заменим функциональное уравнение функциональным неравенством, то при каких условиях решения последнего будут близки к решениям исходного уравнения?"Сама постановка задачи имеет практическую направленность. Если решать уравнение численными методами, используя компьютер, то так как в процессе вычислений появляются погрешности, то возникает вопрос насколько "численное решение"уравнения отличается от его истинного решения. Вопрос Улама стал отправной точной для нового направления в функциональном анализе - Теории утойчивости функциональных уравнений. В настоящее время это быстро развивающаяся область. На данную тематику опубликованы сотни статей и несколько монографий. Опишем некоторые из таких результатов, которые являются отправными точками в наших исследованиях.
Понятие гомоморфизма является важнейшим в математике. Если речь идет о гомоморфизме из одной группы или полугруппы в другую, то отображение ф : S —» S\ является гомоморфизмом, если оно удовлетворяет условию
(1) <ф{ху) = гр(х)гр(у), \/х/у Є S.
То есть гомоморфизм - это отображение, удовлетворяющее функциональному уравнению (1). В теории функциональных уравнений соотношение (1) называется уравнением Коши. Если полугруппа S\ является аддитивной с операцией " + ", то уравнение (1) переписывается в виде
(2) гр(ху)=гр(х)+гр(у), Ух,у Є S.
или же в виде
(3) гр(ху) - <ф{х) - гр(у) = 0, Уж, у є S.
Применительно к функциональному уравнениию (1) вопрос Улама можно сформулировать так. Пусть даны группа Сі, метрическая группа (G2,d) и положительное число є. Существует ли 5 > 0 такое, что если / : Сі —» Gi удовлетворяет условию d(f(xy), f(x)f(y)) < 5 для любых х,у Є Сі, то существует гомоморфизм Т : G\—f G2 такой, что d(f(x),T(x)) < є для любых х,у Є G{!
В случае положительного ответа на предыдущий вопрос говорят, что гомоморфизмы G\ —» С*2 устойчивы или, что функциональное уравнение Коши (1) устойчиво. Первый положительный ответ был дан Хайерсом в 1941 г. Рассмотрим аддитивное уравнение Коши
(4) ip(xy) = ip(x) + ip(y).
Теорема 0.1 (Д.Хайерс). Пусть E\,E : Е\ — 1 удовлетворяет условию: существует є > 0 такое, что
(5) || /(ж + у) — /(ж) — f(y) || < є для всех х,у Є Е-\_.
Тогда существует Т : Е\ —> 1 такое, что
(6) Г(ж + у) - Т(х) - Т(у) = 0 для всех х/у Є Ех
и
(7) ||/(ж) — Г(ж) || < є для всех х Є Еі.
В 1978 году Т.М.Рассиас получил следующее обобщение теоремы Хайерса позволяющее разнице Коши быть неограниченной.
Теорема 0.2 (Рассиас). Пусть Е\,Еъ банаховы пространства и f : Е\—> 1 удовлетворяет условию:
(8) \\f(x + y)-f(x)-f(y)\\
где є up такие постоянные, что е>0и0<р<1. Тогда существует Т : E\—f Е2 такое, что
Т(х + у) — Т(х) — Т(у) = 0 для всех х,у Є Е\
||Г(ж) - Дж)|| <кє\\х\\р,
где к зависит от риє.
После результата Хайерса было опубликовано большое количество статей, обобщающих проблему Улама и теорему Хайерса.
Определение 0.3. Пусть G произвольная полугруппа и В банахово пространство. Будем говорить, что уравнение (4) устойчиво для пары (G,B), если для любой функции f : G —> В такой, что
\\f(xy) — f(x) — f(y)\\ < S, x,y Є G для некоторого 5 > 0,
существует решение <р уравнения (4) такое, что
\\f(x) — f(x)\\ < є, Ух Є G
для некоторого є, зависящего только от 5.
Секехиди и Форти показали, что уравнение (4) устойчиво на аменабельных группах и полугруппах. Теперь возник естественный вопрос: существуют ли группы или полугруппы для которых уравнение (4) не является устойчивым? 1985 году Форти построил пример, показывющий, что уравнение Копій (4) в общем случае не является устойчивым.
Начиная с 1978 года тематика "аппроксимативных гомоморфзмов"интенсивно изучалась многими математиками. Изучению аппроксимативно мультипликативных функций из вектороного пространства в множество вещественных чисел посвящена статья Бейкера, Лоуренса и Зорцитто(1979). В этой статье было установлено, что если 5 > 0 и функция / : V —» R удовлетворяет соотношению
) - f(x)f(y)\ < 5, для любых х,у EV,
то либо /-ограниченная функция, либо
(9) f(xy) = f(x)f(y), для любых x/yeV.
В работе Бейкера(1980) данный результат был обобщен на случай, когда функция / определяется на полугруппе. В работе Лоуренса (1985) были рассмотрены отображения / : S —» А полугруппы S в комплексную нормированную алгебру А, удовлетворяющие неравенству
Wf(xy) - f(x)f(y)\\<6, для любых ж,у Є V,
и некоторого 5 > 0. Была доказана устойчивость уравнения (9) в случае, когда S коммутативная полугруппа и А = М2(С)-нормированная алгебра 2x2 матриц с комплексными элементами.
В литературе закрепилась следующая терминология. Когда рассматривается вопрос об устойчивости с ограниченной правой частью неравенства(как в теореме
0.1, неравенство (5)), то говорят об устойчивости по Уламу-Хайерсу. Когда же правая часть неравенства (как в теореме 0.2, неравенство (8)) неограниченна, то говорят об обобщенной устойчивости или устойчивости по Уламу-Хайерсу-Рассиасу.
Для описания отправных точек Части 2 диссертации отметим, что вопрос Улама допускает следующую физическую трактовку. Если у группы симметрии описания некоторой физической системы существуют квазипредставления, т.е. отображения в группу обратимых непрерывных линейных операторов в некотором топологическом векторном пространстве с равномерно малой разностью (скажем, не превосходящей точности измерений) между образом произведения и произведением образов, и если не существует "достаточно близких"обычных представлений группы симметрии в том же топологическом векторном пространстве, то интерпретация эксперимента может оказаться более сложной, чем в случае, когда близкое представление по тем или иным причинам заведомо существует, и это может потребовать тщательного различения истинных симметрии (связанных с "законами природы") и "квазисимметрий".
В 1932 г. Радемахер построил почти аддитивное отображение Ф группы SL(2,Z) в группу целых чисел Z,(a именно, выполняется неравенство |Ф(рір2) — Ф(ді) — Ф(р2)| < 3, giQ2 Є SL(2, Z) ). Отсутствие ненулевых аддитивных гомоморфизмов SL(2, Z) —» Z было уже общеизвестно. Аналогичные отображения групп для различных целей строили в 1968 году Ремтулла, в 1972 г. Б.Э. Джонсон в 1978 г. Р. Брукс, но алгебраический смысл таких отображений оставался неясным до 1983 г., когда А.И.Штерном было введено понятие псевдохарактера.
Оказалось, что некоторые группы имеют даже одномерные нетривиальные квазипредставления. Исторически первыми объектами этого рода были их одномерные вещественные аддтивные аналоги - псевдохарактеры. Напомним, что вещественная функция / на группе G называется (вещественным) квазихарактером На ЭТОЙ Группе, ЄСЛИ ЧИСЛОВОе МНОЖеСТВО {/(gi#2) — f(gi) — /(92) , 9іт92 Є G}
ограничено, и квазихарактер / называется псевдохарактером на G , если f(xn) = nf(x) для любых х Є G и п Є Z. Понятие псевдохарактера (применявшееся с 1988 г. в ряде работ Баварда, Бессона, Боуричи, Барге под названием однородного квазиморфизма) оказалось весьма продуктивным в теории ограниченных кого-мологий(Громов Барге, Маннинг, Монод, Штерн) , в теории групп диффеоморфизмов в симплектической геометрии, в комбинаторной теории групп и в теории
представлений групп и заслужило популярность, достаточную для отдельной пояснительной публикации в Notices of the Amer.math.soc.
В семидесятые годы появились и первые работы, посвященны не обязательно одномерным объектам, которые теперь называются почти представлениями и квазипредставлениями К. Грове, Г. Кархер и Э. Ру доказали в 1974 г., что непрерывное отображение Т компактной топологической группы G в пространство ограниченных операторов в банаховом пространстве Е, удовлетворяющее условию \\T(gh)—T(g)T(h, )|| < є для всех g^h Є G, является малым возмущением обычного непрерывного представления группы G и величина возмущения зависит от є. В 1977 г. П.де ла Хари и М.Каруби получили этот результат другим способом с более точной количественной оценкой. В 1982 г. появилась статья Д. Каждана, в которой был приведен вопрос, который Каждан приписал В. Мильману: верно ли, что для любого (не обязательно непрерывного) отображения одной ортогональной группы в другую с равномерно малой разностью между образом произведения и произведением образов существует равномерно близкий обычный гомоморфизм? Автор рассматривал только случай непрерывных отображений и повторил результат Грове, Кархера и Ру.
В теории отображений, близких к представлениям (почти представлений, аппроксимативных представлений, квазипредставлений, псевдопредставлений и т. д.) за последние 25-30 лет достигнуты значительные результаты и созданы технические приемы, имеющие нетривиальные приложения в алгебре и топологии - от ограниченных когомологий до симплектической геометрии. Этот материал нелегко организовать. Здесь мы отметим только один замечательный результат А.И.Штерна. А именно, в 2007 г. им было дано полное (положительное) решение упомянутой выше задачи Мильмана-Каждана 1982 г.
Для Части 3 отправной точкой является теория условных функциональных уравнений, которая имеет давнюю и богатую историю. Здесь мы упомянем только одно условное уравнение - альтернативное уравнение Коши.
(10) f(xy) - f(x) - f(y) ф 0 =Ф f(xy) - f(x) - f(y) = 1.
Впервые альтернативное уравнени Коши, которое рассматривается в третьей главе диссертации, появилось в работе Гера. Затем это уравнение изучалось в статьях Кукзмы, Паганони, Форти. Сначала уравнение (10) было решено на бесконечной циклической полугруппе, затем на бесконечной циклической группе, затем на абелевых группах и, наконец, в 1987 году в статье Форти дается решение
этого на группах над которыми аддитивное уравнение Коши устойчиво. На 44-м Международном симпозиуме по функциональным уравнениям был поставлен вопрос о решении уравнения (10) над группами и полугруппами над которыми урвнение Коши не является устойчивым. Также была поставлена задача о решении этого уравнения на свободных полугруппах.
Перейдем к Части 4. Если G - некоторая группа, порожденная множеством А, то всякий элемент д Є G представим в виде
(11) д = al1 af22 аєкк, аг Є А, єг = ±1.
Ясно, что такое представление не единственное. Длиной (или Л-длиной) Ia(q) элемента д относительно множества А называется длина кратчайшего представления (11). Шириной группы G относительно множества порождающих А называется
wid(G, A) = sup 1л(д)-
Для вербальных подгрупп произвольной группы традиционно вызывают интерес вопросы вычисления ширины вербальных подгрупп и длины элементов относительно тех или иных подмножеств. Пусть F свободная группа счетного ранга и V ее подмножество. Напомним, что вербальной подгруппой V(G) группы G относительно множества теоретико-групповых слов V называется подгруппа, порожденная множеством значений слов из V на группе G, т. е.
V(G) =
Шириной wid(G, V) вербальной подгруппы V(G) относительно множества слов V называется наименьшее т Є п U +оо такое, что всякий элемент подгруппы V(G) записывается в виде произведения < т значений слов из У±г. Термин "ширина"введен Ю.И. Мерзляковым в 1967 , хотя ширина вербальных подгрупп исследовалась и в более ранних работах. Так Шода (1936) изучал коммутаторную ширину группы SLn(F) для алгебраически замкнутого поля F. Ширина вербальных подгрупп исследовалась также в работах Г. Хигмана, Б. Нейман и X. Нейман (1949), Ито (1951), Ф. Холла (1959 ) и многих других авторов. Ю. И. Мерзляков установил, что всякая вербальная подгруппа алгебраической группы G < GLn(Q), где Q - алгебраически замкнутое поле бесконечной степени трансцендентности над простым подполем, имеет конечную ширину относительно любого слова v. Ряд работ посвящен исследованию ширины коммутанта некоторых классических групп относительно коммутатора v = х~1у~1ху. Например,
Томпсон доказал, что если F - поле, то wid(CLn(F), v) = 1, wid(SLn(F), v) < 2 при любом n > 2. Гоу доказал, что ширина wid(Sp2n) коммутанта симплекти-ческой группы не превосходит 2 при любом п > 1. Ито установил, что при п > 5 всякий элемент из коммутанта симметрической группы Sn является коммутатором.
Некоторые авторы изучали вопрос о ширине вербальных подгрупп различных групповых конструкциях таких как свободное произведение с объединением, HNN-расширение, расширение, сплетение и т. д. В этом направлении А.Х.Рем-тулла доказал, что: 1) в нетривиальном свободном произведении А * В ширина всякой собственной вербальной подгруппы v(A * В) относительно слова v бесконечна тогда и только тогда, когда \А\ > 3 и \В\ > 2; 2) коммутант любой конечно порожденной разрешимой группы ступени разрешимости < 3 имеет конечную ширину.
В работах X. С. Аламбергенова и В. А. Романькова , а также Акхаван-Малаери и Ремтуллы найдена ширина коммутанта свободной нильпотентной группы. Е. Г. Смирнова исследовала ширину вербальных подгрупп относительно слов жп,п Є iV в свободной двуступенно нильпотентной группе Nn^ ранга п. Некоторые авторы( Ю. С. Семенов, Н. Н. Репин, В. Г. Дурнев и В. К. Шалашов) изучали вербальные подгруппы в группе кос Вп. В полном объеме задача о ширине вербальной подгруппы в группах кос была решена В.Г.Бардаковым. Им было доказано, что для любого п > 3 ширина собственной вербальной подгуппы в Вп, определенной конечным множеством слов, бесконечна. Одним из обобщений группы кос являются группы Артина. В.Г.Бардаковым установлено, что многие группы Артина не имеют собственных вербальных подгрупп конечной ширины. Им также было доказано, что всякая вербальная подгруппа группы сопрягающих автоморфизмов Cb2,n > 2, определенная конечным собственным множеством слов V, имеет бесконечную ширину. Много работ посвящено вычислению ширины линейных групп относительно различных множеств порождающих. Перечислим некоторые из них. Картер и Келлер доказали, что ширина группы SLn(0), где О - кольцо целых чисел алгебраического числового поля, относительно множества элементарных трансвекций, конечна. В работе С. И. Адяна и Меннике дано более простое доказательство этого факта для случая, когда О - кольцо целых рациональных чисел Z. К. X. Закирьянов установил конечность ширины симплектической группы Sp2n(0), п > 3, относительно множества элементарных
матриц. Аналогичные результаты для некоторых групп Шевалле над тем же кольцом О получил О. Н. Тавгень. С другой стороны, ван дер Каллен доказал, что если F - поле бесконечной степени трансцендентности над своим простым подполем, то группа SLn(F[x\) при п > 2 имеет бесконечную ширину относительно множества элементарных трансвекций. В.Г.Бардаковым было установлено, что ширина группы SLn(Z), относительно множества коммутаторов не превосходит 10 при всех п > 3. (Известно, что при п = 2 эта ширина бесконечна). Тем самым улучшена оценка М. Ньюмена : ширина группы SLn(Z), не превосходит cln(n) +40, где с = 21п(3/2). Далее будем считать, что V - конечное, собственное (т. е. вербальная подгруппа V(F) нетривиальна и отлична от всей группы F) множество слов. Ширина вербальных подгрупп свободных произведений с объединением исследовалась в работах Р. И. Григорчука , И. В. Добрыниной. Кроме того Р. И. Григорчук изучал ширину вербальных подгрупп HNN-расши-рений относительно коммутаторного множества слов. Наиболее общий результат здесь принадлежет В.Г. Бардакову. Им доказана следующая теорема.
ТЕОРЕМА 0.24. Пусть группа G = gr(#, Г1 At = В, (р) является HNN-расширением группы Н со связанными собственными подгруппами А и В. Тогда для всякого конечного собственного слов V ширина вербальной подгруппы V(G) бесконечна.
Цель работы. Целью диссертации является: исследование проблем устойчивости функциональных уравнений, доказательство устойчивости по Уламу и обобщенной устойчивости различных функциональных уравнений на различных классах групп и полугрупп, обобщению результатов об устойчивости многих известных специалистов в этой области таких как Чанг, Чунг, Сун Мо, Саху, Фехнер, Янг, Скоф, Т. Рассиас, Дж.Рассиас. Описание пространств квази- и псевдохарактеров на различных классах групп и полугрупп. Решение проблемы поставленной на 44-м Международном Симпозиуме по Функциональным Уравнениям (США, 2006) о решении альтернативного функционального уравнения Коши в неустойчивом случае. Исследование ширины вербальных подгрупп и других множеств на некоторых классах групп.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.
Методы исследования. В работе используются методы комбинаторной теории групп, классической теории групп, функционального анализа.
Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях в теории устойчивости функциональных уравнений на группах и полугруппах, в теории ограниченных когомологий, в современном функциональном анализе и теории групп. Многие доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.
Аппробация. Результаты диссертации докладывались на всесоюзной конференции по дифференциальным и функциональным уравнениям в Душанбе (1987), на Межународной конференции в Уфе(2007), на Международных симпозиумах по функциональным уравнениям: в Луисвилле(США, 2006), в Бельско-Бяла(Полыпа, 2007), Опава(Чехия, 2008). Они неоднократно обсуждались на специализированных семинарах: семинар по функциональному анализу (Математический ин-т, Душанбе), семинар по функциональному анализу и функциональным уравнениям(университет Луисвилля, США), семинар по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям (Вологодский Технический Университет), семинар по функциональному анализу (Воронежский Государственный Университет).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 28 статьях. Список этих работ приведен в автореферате. Из этих работ статьи [1]—[21] опубликованы в журналах из списка ВАК. Из совместных работ [17], [19]—[21], [25]-[28]в диссертацию включены только результаты автора.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех частей, разбитых на 19 глав и изложена на 365 страницах. Список литературы содержит 239 наименований.
