Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Условия гироскопической стабилизации при случайном выборе матрицы гироскопических сил 15
1.1. Задача об устойчивости при больших гироскопических силах 15
1.2. Случайная матрица гироскопических сил; четырехмерный случай 21
1.3. Применение теории U-статистик 25
Глава 2. Степень устойчивости и гирос комическая с габилизация 31
2.1. Степень устойчивости и индексы инерции .31
2.2. Сигнатуры частичных гамильтонианов, доказательство основной теоремы .. 37
2.3. Приложение к задаче гироскопической стабилизации 46
2.4. О спектральных свойствах матриц, некоторого специального вида 50
Литература . 53
- Случайная матрица гироскопических сил; четырехмерный случай
- Применение теории U-статистик
- Сигнатуры частичных гамильтонианов, доказательство основной теоремы
- О спектральных свойствах матриц, некоторого специального вида
Введение к работе
Актуальность темы.
При рассмотрении задачи устойчивости движения механической системы, линеаризованной в окрестности положения равновесия и находящейся под действием гироскопических и потенциальных сил, исследование сводится к анализу дифференциального уравнения вида:
Qx + Gx + Rx = $, (1)
где х Є Rn, матрицы Q и R симметрические матрицы размера пхп (Qf = Q7 Rf = R): матрица Q положительно определена, т. е. скалярное произведение (Qx, х) неотрицательно для любого х Є Rn и обращается в нуль лишь при х = 0; матрица G - кососимметрическая матрица (G* = —G). Точка означает дифференцирование по времени t; так что х - скорость системы, а х - ее ускорение.
В механике симметрическая матрица Q определяет инерционные свойства системы; более точно, квадратичная форма по скоростям (l/2)(Qx,x) - кинетическая энергия системы. Симметрическая матрица R задает потенциальную энергию (l/2)(Rx,x). Кососимметрическая матрица G в механике обычно называется матрицей гироскопических сил.
Гироскопические силы появляются при переходе во вращающуюся систему отсчета, при понижении порядка системы методом Рауса, а также при описании движения заряженных частиц в магнитных полях1.
1 Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР. 1962. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС. 2002.
Систему (1) можно привести к более простому виду:
х + Гх + Рх = 0} (2)
где Г = —Г*, Р = Рг. Слагаемое — Тх называется гироскопической, а слагаемое — Рх - потенциальной силой, действующей на рассматриваемую систему с п степенями свободы. Заметим, что вид системы (2) можно сделать еще более простым, добившись того, чтобы матрица потенциальных сил стала диагональной.
Важнейшее свойство гироскопических сил состоит в том, что их наличие не влияет на сохранность полной энергии (т. е. на существование интеграла энергии). Интеграл энергии системы (2) имеет вид:
(1/2)(ж, х) + (1/2)(Рж, х) = const. (3)
Указанный интеграл соответствует также системе вида
х + рх = 0; (4)
таким образом вклад гироскопических сил в интеграл энергии равен нулю.
Пример (сила Лоренца). Движение частицы массы m заряда е в электромагнитном поле описывается уравнением
тх = е(Е + [х, Н]),
здесь Е - напряженность электрического поля, Н - напряженность магнитного поля. Сила, действующая на частицу, называется слой Лоренца. Считаем магнитное поле Н постоянным. Тогда, согласно уравнениям Максвелла получаем, что rot Е = 0, и поэтому напряженность электрического поля можно представить в виде Е = — grad tp. Ясно, что
положение равновесия заряда совпадает с критической (стационарной) точкой потенциала ср. Пусть, например, х = 0 - одно из равновесий. Положим <р = (1/2)(Рх,х) + о(|ж|2), Р = dia,g(di,d2,dz). Записывая линеаризованное уравнение, получим систему вида:
тх\
-d\X\ + х2Щ - х3Н2
mx'i = —d'lX'i — х\Щ + x%Hi ЇГІХ2, = —<із^з + Х1Н2 — Х2Н1
или, что тоже самое:
тх + Тх + Рх = О,
(г, тт тт \
О -Я3 Я2 Я3 0 -Яі
-я2 я: О
Рассмотрим систему (4), которая соответствует системе (2) в отсутствие гироскопических сил.
Напомним, что решение x(t) = 0 линейной системы, называемое положением равновесия, устойчиво в том и только том случае, если все его решения x(t) ограничены. Если же найдется хотя бы одно неограниченное решение, то положение равновесия будет неустойчивым.
Критерий устойчивости Лагранжа утверждает, что положение равновесия системы (4) устойчиво тогда и только тогда, когда квадратичная форма (1/2)(Рх,х) положительно определена. Достаточное условие следует из вида интеграла энергии (3). Поэтому для системы (2) справедливо следующее
утверждение (достаточное условие устойчивости): если квадратичная форма (1/2)(Рх,х) положительно определена, то решение x(t) = 0 системы (2) также устойчиво.
Это утверждение можно понимать следующим образом. Если положение равновесия "исходной" системы (4) устойчиво, то при добавлении гироскопических сил - при рассмотрении "расширенной" системы (2) -положение равновесия останется устойчивым. Предположим теперь, что положение равновесия системы (4) неустойчиво. Если при добавлении гироскопических сил положение равновесия станет устойчивым, то говорят, что имеет место гироскопическая стабилизация.
Отрицательный индекс инерции квадратичной формы (1/2)(Рх,х) называется степенью неустойчивости по Пуанкаре. Для линейной системы (4) ее степень неустойчивости по Пуанкаре равна в точности количеству вещественных положительных точек спектра этой системы (т. е. числу точек спектра, лежащих в правой комплексной полуплоскости).
Напомним, что при любом способе приведения произвольной квадратичной формы J2mijXiXj к сумме квадратов Jlhyf посредством невырожденной линейной замены переменных число i+ (соответственно г~) таких индексов i7 что Ьі > 0 (соответственно Ьі < 0), остается неизменным и называется положительным (соответственно отрицательным) индексом инерции квадратичной формы. Пара (і+/і~) называется сигнатурой этой квадратичной формы.
Томсоном было отмечено следующее необходимое условие гироскопической стабилизации2. Если степень неустойчивости нечетна,
2 Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР. 1962.
то положение равновесия системы (2) будет неустойчивым для любой матрицы Г, т. е. гироскопическая стабилизация невозможна. Если же степень неустойчивости четна, то существует матрица Г, для которой положение равновесия соответствующей системы (2) устойчиво, т. е. гироскопическая стабилизация возможна.
Пусть Р < 0, т. е. матрица потенциальных сил Р отрицательно определена. Из теоремы Томсона следует, что при нечетных п положение равновесия системы (2) неустойчиво, а при четных п положение равновесия этой системы может быть устойчиво (гироскопическая стабилизация возможна). Пусть п четно. В работах Г.К. Пожарицкого3, СВ. Болотина и В.В. Козлова4 показано, что если 4Р — Г2 < 0, то положение равновесия системы (2) неустойчиво. С другой стороны5, если РГ = ГР, то положение равновесия системы (2) устойчиво тогда и только тогда, когда 4Р — Г2 > 0. За дальнейшими результатами по теории устойчивости таких систем следует обратиться к работе P.M. Булатовича6.
При изучении задачи о гироскопической стабилизации полезно рассмотреть случай, при котором гироскопические силы, действующие на систему, очень велики. Другими словами, матрица гироскопических сил представима в виде NT7 где N - числовой коэффицент, N ^> 1.
3Поэюарицкий Г.К. О неустановившемся движении консервативных голономных систем // ПММ. 1956.
Т. 20. Вып. 3.
^Болотин СВ., Козлов В.В. Об асимптотических решениях уравнений динамики // Вест. МГУ.
Математика. Механика. 1980. N 4. С. 84-89.
5Huseyin К., Hagedorn P., Teschner W. On the stability of linear conservative gyroscopic systems // ZAMP.
1983. V. 34. N 6. P. 807-815.
6Булатович P.M. Об устойчивости линейных потенциальных гироскопических систем в случаях, когда
потенциальная энергия имеет максимум // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 3. С. 385-389.
Сразу отметим, что если матрица потенциальных сил Р отрицательно определена, а размерность системы п четна, то при достаточно больших N гироскопическая стабилизация заведомо имеет место7.
Вернемся к рассмотренному выше примеру - движение заряда в электромагнитном поле. Будем считать, что заряд единичной массы находится в постоянном бездивергентном электрическом поле Е и сильном магнитном поле Н. Линеаризованное уравнение движения заряда имеет вид
х + NTx + Рх = О,
здесь х Є R ; матрица Р = diag(
Необходимое условие гироскопической стабилизации Томсона в данных условиях означает, что среди компонент di,d2,ds две отрицательные и одна положительная; можно считать, что d\^2 < 0, d% = —{d\ + 6) > 0. В работе В.В. Козлова8 показано, что если Е = d\H( + c^ii/f + d^H^ > 0, то при больших значениях N равновесие заряда устойчиво, если же Е < 0, то равновесие неустойчиво. В той же работе дается следующая вероятностная
Лахаданов В.М. О стабилизации потенциальных систем // ПММ. 1975. Т. 39. Вып. 1. С. 53-58. Карапетян А.В. К вопросу о гироскопической стабилизации // Teor. і primen. meh. 1994. N 20. S. 89-
93.
^Козлов В.В. О стабилизации неустойчивых равновесий зарядов сильными магнитными полями //
ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 3. С. 390-397.
интерпретация этого результата. В евклидовом пространстве R конус Е = О пересекает единичную сферу S2 по двум овалам и делит ее на три области. При этом условию Е > 0 отвечают точки из двух областей, содержащих полюсы сферы (0,0,=Ы). Отношение суммы площадей этих двух областей к площади всей сферы S2 есть вероятность гироскопической стабилизации неустойчивого равновесия заряда случайно выбранным сильным магнитным полем. Эта вероятность зависит от компонент di,d,2,ds и заключена между значениями 1 — З-1'2 ~ 0,423 и 1/2. В частности, при случайном выборе направления сильного магнитного поля более вероятен случай неустойчивого равновесия заряда.
Цель работы.
Диссертация посвящена дальнейшему развитию теории гироскопической стабилизации. В работе исследуется задача гироскопической стабилизации с вероятностной точки зрения, а также устанавливаются оценки степени устойчивости линейной гамильтоновои системы, позволяющие получить ряд важных следствий.
Научная новизна.
Результаты диссертации являются новыми.
В диссертации получены следующие основные результаты:
Исследованы подходы к оценке вероятности гироскопической стабилизации при случайном выборе матрицы гироскопических сил.
Получена оценка степени устойчивости линейной гамильтоновои системы через индексы инерции гамильтониана, являющегося квадратичной формой от обобщенных координат.
3. Доказано нетривиальное обобщение теоремы Томсона: при добавлении гироскопических сил степень устойчивости системы не уменьшается.
Методы исследования.
В диссертации используются методы и результаты теории устойчивости, теории Вильямсона нормальных форм вещественных гамильтоновых систием, теории U-статистик.
Теоретическая и практическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Ее результаты дополняют классическую теорию устойчивости и могут быть полезны при изучении линейных гамильтоновых систем.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ "Гамильтоновы системы и статистическая механика" под руководством академика РАН В.В. Козлова, члена-корреспондента РАН Д.В. Трещева и профессора СВ. Болотина (2005 г.), "Аналитическая механика и теория устойчивости" под руководством академика РАН В.В. Румянцева, члена-корреспондента РАН В.В. Белецкого и профессора А.В. Карапетяна (2004 г.), "Прикладная статистика" под руководством ведущего научного сотрудника И.А. Кожевниковой, доцента М.В. Козлова, старшего преподавателя К.В. Степанова и доцента Е.Б. Яровой (2004 г.), а также на семинаре ВЦ им. А.А. Дородницына РАН по теории устойчивости под руководством профессора С.Я. Степанова (2006 г.).
Публикации.
Результаты диссертации опубликованы в 2 работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, двух глав (каждая из которых разбита на разделы) и списка литературы, насчитывающего 26 наименований. Общий объем диссертации - 56 страниц.
Поддержка.
Исследования по теме диссертации частично были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (проект 02-01-01059) и Программой поддержки ведущих научных школ (проект НШ 136.2003.1).
Случайная матрица гироскопических сил; четырехмерный случай
Рассмотрим ситуацию а Если корни харакіеристического многочлена (3) велики, то ищем их в виде \ = L [N, и\ ф 0 Тогда от многочлена /(А) переходим к мноючлену !{у\) = \u2N2I + U[N2V + D\, делим ею на N2 и с учетом iV 1, пренебрегая членами малого порядка, получаем многочлен f{v\) = \v2I + v\T\ В силу предположения V\ ф 0, шнюму, нер(Ч)бозначая z/j через г/, получаем новый характеристический многочлен ( И + Г, п = 2fc, %) = (4) Ї// + Г///, и = 2/:+1 (деление на v означает, что при нечетных п из многочлена W + T исключаем тривиальный корень v = 0) Наконец, в ситуации б корни характерне і и чес кого многочлена (3) малы. Поэтому ищем их в виде Л = U-i/N Ov мноючлена /(A) переходим к многочлену f{v-\) = \v i\I/N2 + _іГ + D\ С учеюм JV 1 пренебрежем членами малою порядка и, переобо-шачая V-\ через //, получаем новый характеристический многочлен g(li) = \цГ + D\. (5) Заметим, чю собственные числа кососиммеїрической матрицы либо нули, либо сопряженные чиск) мнимые числа, іншому в сиіуации а необходимое условие устойчивости заведомо выполнено, а особый интерес представляет случай би характеристический многочлен (5)
Замечание. Поясним допустимое іь перехода о г многочлена (3) к мноючленам более простого вида (4) и (5) Рассмоірим, например, ситуацию б Обозначим є = 1/N, тогда А = /і(є)є, а многочлен (3) принимает вид f(fi,s) = \є2fj 21 + iiV + D\ Очевидно, чю функция /(//, є) непрерывна но fi и є При є = 0 имеем f{fi,s) — g(l-i) = \/iY + D\. Обозначим через /І() корень уравнения д(ц) = 0 Если /х() - простой корень этого уравнения, то частная производная (/л,) не обращается в нуль при ц = /z(), є = 0. Псшому но теореме о неявной функции справедливо представление //() = Ц[)+о(є), є — О
Обсуждение круга вопросов, связанных с редукцией задачи об устойчивости при N 1 к исследованию вспомогательной линейной системы порядка п/2 (при N — со ее характеристический многочлен переходит в (5)) содержатся в работе [13]
Рассмоірим задачу при и = А (п размерное п конфигурационного пространства) Будем считать, чго D — diag((/i,(/2,(/,5,(/4) - известная фиксированная диагональная матрица, матрица Г - случайная кососиммстрическая матрица, элементы которой суть независимые (имметричные бернуллиевские случайные величины, принимающие значения ±1, те. Р{7у = +1} = P{7v = -1} = 1/2. / \ О 712 1\\ Ти -712 0 725 724 7п -72.5 0 7-м -714 -724 7м 0 t Согласно необходимому условию гироскопической ( іабилизации Том(она в (лучае, когда іепень неу( юйчиво( ги но Пуанкаре нечеіна, гироскопическая ( іабилизация невозможна (равновесие х = 0 будет неустойчивым при любой маїрице гироскопических сил Г) В случае dj 0, j = 1,4, положение равновесия устойчиво, т к. потенциальная энергия - квадратичная форма (l/ 2)(Dx,x) - положительно определена, следовательно, достаточное условие устойчивости выполнено. Если (І, О, j = 1,4, то форма (1/2) (Da;, х) отрицательно определена, и поэтому, как было отмечено на стр 8 Введения, устойчивость имеет меч то при дос іаючно болыпих N Таким образом, иніерес преде і авляет случай, когда два элеменіа dj меньше нуля, а два других больше нуля, для определенности счиїаем (1\,(І2 О, (Іі,(Ц 0 Степень неус гойчивос ш по Пуанкаре равна двум (следоваїельно, чеша), а шачит гнрсх копичес кая ( іабилизация вошожна в принципе
Условие усюйчивости (все нули многочлена (6) - различные чисто мнимые числа) дает условия на коэффициенты, b2 - 4а2с 0 (условие тою, чю /г2 Є R), b 0 (условие гіoiо, что \i2 0) Так как %3 принимают значения ±1, то коэффициент b с вероятное і ыо 1 равен d\d i + {d\ + 2)((/3 + (І4) + djfii, коэффициент а2 может принимаїь всего два значения 1 и 9, причем {а2 = 9} = 1/4, Р{а2 = 1} = 3/4 С учетом того, что с О (по предположению) и 6 0 (требуемое условие), имеем, при b С)у/с положение равновесия у юйчиво ( иерояшостыо 1, при 2у/с b С)у/с вероятность гироскопической стабилизации равна 3/4, наконец, при b 2 у/с с вероятностью 1 положение равновесия неустойчиво. Выразив значения коэффицентов b и с через элементы матрицы D, получим окончательные выводы, суммированные в следующей таблице Таблица 1. условия па элемен гы матрицы D КЄІ)()Я I ность d\(k 4- {d\ + (h){d,\ + d4) + d U 6\АМІСМІ 3/4 2\Jd\d2dtfh d\dz + {d\ + di){d\ + dj) + d U Gy/did d 0 2\fd\d 2,d?,dn d\d2 + (d\ + di){di + dA) -f ri У( гайовим условия на элемент матрицы І), при которых вероятность гироскопической стабилизации нетривиальна, т е отлична о і нуля и единицы. Для этого требуется исследовать неравенства 2\Jd\d2did\ d\di -f {d\ + d2){d,} + d4) 4- d,\dA bsjd d k. (7) При условиях d] — a 0, di = k 2a 0, d = —fi{ 0, d4 = —(Ц 0 -эти неравенсіва на козффиценіьі матрицы І) разрешаю к я оіноппельно а щт фиксированных ,/ ,/ И-s левого неракенс гва (7) получаем п Є (0,ai)U(«2;+oc), (8) где «1,2 = 2 (2Wi + № + ])( + #) =F 12 = Akfafatf + Wi + /) + (( 2 + 1)(/2 + (І)?-Из правого неравенства (7) где «3,4 = 2 2 (6 А/?2 + ( + W? + ft]) =F /5 ) , 34 = 32АЭД + 12А:А/?2( 2 + 1)(/ + /) + ((/r2 + 1)(# + /))2. (9) Пересечение множесів (8) и (9) (a et U -i) непусто, іак как для любых kjhjh справедливы неравенства ( i «4, ( л а\ Замечание. Сличай п = 3 рассмотрен в работе [10] (подробнее об этом см Введение, стр У) При п — 2 задача іривиальна если (1\(І2 0, то гироскопическая стабили »щия невозможна но іеореме Томсона, если же didi 0, то в случае1 dt 0, г = 1,2, положение равновесия устойчиво (т к поіенциальная энергия положительно определена), а в случае (1г 0, г — 1,2, устойчивость имеет место при достаточно больших N (т к поіенциальная энергия оірицательно определена).
Применение теории U-статистик
Для устойчивости необходимо, чтобы нули многочлена (10) были чисто мнимыми числами. Для --)1 ого в свою очередь необходимо, чтобы коэффициент «(),...,« , -)iого многочлена являлись положительными числами Чтобы -но условие стало достаточным, требуется дополнительное условие положительности всех инноров матрицы специального вида, сосчавленной из коэффициентов а .
Заметим, чю условие «о 0 соответствует условию четности степени неустойчивое їй по Пуанкаре Условие «& 0 выполняется автоматически, если Г невырожденная косое имметричес кая матрица четной размерности (п = 2к), так как легко видеть, что в этом случае а = Г
Возможны различные подходы к исследованию кенффициенюв аі,...,ад, на положительность Укажем два из них 1) элемешы маїрицьі Г счшаїї) независимыми симмеїричньїми бернуллиевскими случайными величинами, принимающими значения ±1, а элемешы маїрицьі D (фиксированными, 2) элементы маїрицьі Г такие же как и в нервом варианте, а элемешы маїрицьі D также счиїаіь независимыми случайными величинами.
Условие «о 0 задает в прос іраштве RJ 16 координатых квадрантов, условие а\ 0 - некоторую коническую область Наконец, одна из 11 плоскостей «2 = 0 делит прогграш іво R J на две части Условию а2 0 отвечает та из них, которая содержит точку (1,0,0,0,0) Пересечение вышеуказанных областей определяет облаемь подходящих значений коэффпценюв матрицы D в пространстве W (всего возникает 11 вариантов таких областей соответственно возможным значениям кснффицепга ai)
Полученное представление U-статистики называется предъявлением Гефдинга Рангом U-статистики называется первое целое число г 1 такое, міо #1 = ...= ik-\ — 0, а дг ф 0 (очевидно, г т) В зависимое ги от раша ядро Ф может бьпь невырожденным (при г = 1), вырожденным (2 г т — 1) или полной ыо вырожденным (/ = т)
Из представления Ггфдиша не і рудно показать, чю для U-статис іик ( невырожденным ядром справедлива центральная предельная теорема - (tf„ -6)- Т, Я -.00, (U) где г Л/"(0,1) - нормальная случайная величина с нулевым среднем и единичной дис Персией Предельные теоремы для U-сіатиегик с вырожденным ядром получить сложнее, т к в -)iом случае представление Гефдинга оказывается бесполезным Тем не менее в некоторых сшуациях установить предельную теорему совсем нетрудно Пусть, например, ядро U-статис гики имеет вид Ф(.т, у) = ху, тогда n(n-l)Un = 2 ХгХ3 = (±х) f Ki j n V-l / г=1 Предположим, чю EI, = 0 (тогда ядро Ф вырождено) и EXf = (Т2, в этих условиях по центральной предельной іеореме и усиленному закону больших чисел для суммы независимых одинаково распределенных случайных величин получаем, что nUn- o2(T2- 1), и- оо. (12) Возвращаемся к коэффиценгу а\ многочлена (10). Обозначим через Xt = d l, г = 1,п, независимые одинаково распределенные случайные величины. Рассмотрим U-сгсПШ тку (считаем «о 0) \2) (Ц) n(n- 1) { 1 ] п с ядром Ф(.г,?/) = х/ Пус іь EXj = a, DX] = ст2 0. Получаем, чю0 = а2, а каноническая функция #i(.r) = а(г - а) Согласно ценіральной предельной теореме (11), в случае а ф 0 при гг — сю справедливо соотношение V (c7n-a2) Af((),4fiV), откуда следует, что вероятность P{Un 0} = Р{а\ 0} с ростом п стремится к единице Если же а = 0, то по предельной іеореме (12) получаем, что і ос Р{(ц 0} = {1)п 0} - Р{т2 !} = -=[ Г1/2е-х/2(1х » 0,317, п - оо. v 2л" -j Поэтому с вероятностью « 0,683 коэффициент «і будет отрицательным, и, следовательно, равновесие х = 0 чаведомо неустойчиво. Глава 2 Степень устойчивости и гироскопическая стабилизация 2.1 Степень устойчивости и индексы инерции. Рассмотрим линейную гамилыонову ежіему в R2" = {х} со стандартной (имплектической сіруктурой Пу іьаг = {v\- - іРпіЯіт- іЧп) канонические переменные (набор импульсов и координат), а гамильтоиан имеет вид Н = (\/2)(Вх,х), (1) где В симметрический линейный опера юр Тогда канонические уравнения чаїїисьіваюіся в виде х = Ах, (2) где A = JB, J = I О Л (/ - единичная п х п-магрица) В переменных р, q уравнения (2) принимают привычный вид канонических уравнений Гамилыона он . 011 Рк =-77-, Чк = ТГ (1 « И). Щк орк Пус іь А - невырожденный оператор \А\ ф 0 (это эквивалешно условию \В\ ф 0) Тогда собственные числа опера юра А могут бьпь грех типов вещественные пары ±а, чиєю мнимые пары ±ib и четверки ±а ± ib Если не требовать выполнения условия \А\ ф 0, то появляется четвертый тип -нулевые собственные числа
Как известно, симнлектической линейной сіруктурой в R2" называеюя невырожденная кососимметрическая билинейная форма, заданная в R2" Эт форма называется кососкалярным произведением и обозначаемся [ ,г/] = -[г/, ] (сооїветствешю вводятся понятия косоорюгональных векторов, подпострансів и т и) Стандартная симплекгическая сірукгура в R2" = {(p,q)} задается с помощью матрицы J-1 = -./ через обычное скалярное произведение К, 7/] = -(./ ,//)
Как показано в [8], линейная система (2) с невырожденным опера юром Л, допускающая интеграл в виде невырожденной квадратичной формы (1), всегда приводится к системе канонических уравнений Гамильтона. Поэтому развиваемая ниже теория применима к эюму (формально, более общему) случаю Поясним эют момент подробнее В работе [8] установлено, что если некая линейная дифференциальная система в Rm вида (2) с невілрожденной матрицей А имеет первый иніеграл в виде невырожденной квадраіичной формы (1), то т = 2п (т - четно), а невырожденная матрица Q — ВА Х являє і ся коеосимметрической Таким образом, матрица il задает в Rm (имнлектическую структуру [ ,//] = {Q,,T}) Линейная система (2) іамильтонова (можем1 быть приведена к стандартной форме уравнений Гамилыона с помощью линейной замены переменных), а функцией Гамилыона служит первый интеграл (1) [Аг,dx] = (QAx,d.i) = (Bx,dx) = dH
Сигнатуры частичных гамильтонианов, доказательство основной теоремы
По теореме Вильямсона линейное пространство R2", на ко юром задана квадратичная форма (1), распадается в прямую сумму попарно косоортогональных подпрос іранств іаким образом, что форма (1) представляется в виде суммы квадратичных форм (эти формы носят название1 частичных гамильтонианов) на этих подпространствах, при этом а) вещественной паре ±а собственных чисел порядка к (более точно, паре жордановых клеток порядка к с вещественными собственными числами ±а) отвечает час шчный гамильтониан к fc-1 J-l 3=1 б) четверке ±a ± ib порядка к (четверке жордановых клеюк порядка к с комплексными собс і веянными числами ±а±гЬ) II = -a Y, Pj h + bE{P2j-\42j - Vij4u-\) + P//j+25 J=l J-l J-l в) чисто мнимой паре ±ib порядка 2/г + 1 (паре жордановых клеюк нечетного порядка 2к + 1 с чис і о мнимыми собственными числами ±гЬ) 2k j-i К fc+1 Y.{b2P2jP2k-2j+2 + q2j l2L-2j+2) T,{b2P2j-lP2k-2j+ + Q2j-iq2h-2j+s) г) чисго мнимой паре ±ib порядка 2к (паре жордановых клеюк четного порядка 2к с чисто мнимыми собс і венными числами ±гЬ) к к Н = -Ь2 P2J-K12J + V2J42J-\± J-l J=l 37 к к-1 Y.(b 2(l2j-\(j2k-2j + \ + ЧізЧік-lju) - Y,(f 2P2j+lP2k-2j)\ + P2j+2P2k-2j+ 2) Найдем сигнатуры каждою из этих іамильюішанов В (лучае а для вещественной пары ±а порядка к имеем к к-1 к к я = -а ЕPJ4J + ЕР/Ь+Ї = -mm + Efe-i -щ)(ь = Е№» где С = а О 1 -а О О ( „ .. \ v 0 ... 1 -a j при -)1 ом \С\ = (-а) 0.
Из вида частичной) гамильтониана в переменных р, q заключаем, что квадратичная форма, соответствующая паре жордановых клеток порядка к с вещественными собственными числами ±а, будет невырожденной и нейтральной .
Как и раньше обозначим (рь ... ,p2fc,r/b ..., = C(ph... ,р2к,Ч 42 1 и покажем, что матрица перехода С невырождена. Для чим о рассмотрим ее "нетривильную" часть - 2k х 2/г-матрицу С(), которая получается и з матрицы перехода нутом исключения 1к строк и сюлбцов с номерами, лежащими в диапазоне о г к-\-2 до 3 +1 (из С исключаю і ся строки и столбцы, оівечающие "нотривильной" замене переменных р3 = р3,к + 2 j 2к и (]3 = r/j, 1 j к-\- 1). Очевидно, чк) определители маїриц С и С\) совпадают. \С\ = \С\)\ Далее, первый и второй голбцы маїрицьі С() имеют вид (0, —62,0,... ,0) и (1,0,...,0)4 соотвен івонно, поэтому расписывая Со сначала по первому, а затем по второму с голбцу будем иметь [Со] = Ь2\С\ , где С\ - (2к-2) х (2к-2)-матрица, полученная из Со вычеркиванием двух первых сірок и столбцов Последний и предпоследний (голбцы матрицы С\ имеют вид (0,..., 0, -б 2,0)1 и (0,.. ,0,1) соответственно, иенгому \С\\ = Ь2\С2\, где С] - (2к - 4) X (2к - 4)-матрица, полученная из С\ вычеркиванием двух последних строк и сюлбцов.
Следовательно, этот определитель не обращается в нуль при N N . Далее, согласно предположению, квадратичная форма (P lVz, Vz) неотрицательна и обращается в нуль лишь на одномерном подпространс іве кегГ (напомним, подпространство кегГ состоит in векторов z Є R" іаких, что Vz = 0), где форма {Pz,z) отрицаїельно определена Значит, при больших значениях N отрицательный индекс инерции невырожденного квадратичного интеграла Ф равен единице Воспользуемся теперь следующим результатом работы [8] (см также пункт 2 1 настоящей главы) линейной заменой переменных сие і ему (6) можно представить в виде линейных уравнений Гамильтона, причем роль іамильтониана будет играть невырожденный квадратичный интоірал .
О спектральных свойствах матриц, некоторого специального вида
Теорема 3. Пус іь п нечетно и iank Г = п-1 Тогда при N No степень неус юйчивости сисіемьі (6) равна 1 Так как п нечеіно и Р 0, то (но теореме Томсона) и 1 Теорема 3 утверждает, что для неособых матриц гироскопических сил при дос іат очно больших значениях парамечра N степень неус юйчивости принимает минимально возможное значение и = 1 Перейдем к доказательству теоремы 3 Кроме интеграла энерпш // система (6) допускает квадратичный интеграл F = (1/2)(/ 2,1) - {ТР-Ч, z) + (1/2)((/ - YP-lY)z, 2), где / единичная п х n-матрица В самом деле, с учетом того, мю {Р 1)1 = Р \ {ТР-ЧУ = ГР 1Г и {Р 1ГУ = -ГР-\ имеем F = {P lz\ z) - (ГР-Ч, z) - (ГР- і, і) + (і, z) - (ГР_1Гі, z) = = {p-\z - Pz), z) - (ГР- -ГІ - Pz), z)+ +(Р 1ГІ, і) + (2, z) - (ГР-!Гі, z) = -{P lVz,z) - (z, z)+ +(ГР !ГІ, z) + (Tz, z) + {p-lYz, z) + (2,i) - (ГР- ГІ, z) = 0. Заменим Г на ЛФ и рассмотрим квадратичный интеграл Ф = 2Я - 2F/Ns 1 = (і,і) + (Рг, г) - Nll2{P xVz, Гг) + 0{N V2). Прежде всею заметим, что при больших N эта квадратичная форма невырождена Дейс гвительно, (Pz, z) - Nl/2{P-lFz, Tz) = ((ч/ЛТР- Г + P)z, z), а определитель \/ЛТР_1Г + P\ является многочленом относительно y/N, значение которого отлично от нуля при N = 0 Следовательно, этот определитель не обращается в нуль при N N . Далее, согласно предположению, квадратичная форма (P lVz, Vz) неотрицательна и обращается в нуль лишь на одномерном подпространс іве кегГ (напомним, подпространство кегГ состоит in векторов z Є R" іаких, что Vz = 0), где форма {Pz,z) отрицаїельно определена Значит, при больших значениях N отрицательный индекс инерции невырожденного квадратичного интеграла Ф равен единице Воспользуемся теперь следующим результатом работы [8] (см также пункт 2 1 настоящей главы) линейной заменой переменных сие і ему (6) можно представить в виде линейных уравнений Гамильтона, причем роль іамильтониана будет играть невырожденный квадратичный интоірал Ф Остается воспользоваться неравенством (5), согласно которому ь п — 1, чю с учетом и 1 дает искомый результат.
Замечание. В работах [24, 21] для гамильтоновой сисчемы вида (6) установлено неравенство и г , (7) здесь г" отрицательный индекс инерции невырожденной поіенциапьной знеріии (l/2)(Pz,z) (по-) і ому г" г+) С учеюм соотношений г+ + г = 2п и и + л = п иеравешпю (7) эквивалентно неравенсіву (5) В самом А - , из неравенства (7) получаем г+ - г — 2п — 2г 2п - 2и = 2s; обратно, и неравенства (5) следует, что 2ь г+ - Г — 2п — 2г , 01 куда и — п — ь г . В рабо іе [22] содержится уточнение неравенства (7) Оно основано на обобщении теоремы Понтряпша о самосопряженных операюрах в проетраш інах с индефинитной меірикой. Предложенный в -этой главе диссертации другой подход, применяемый к линейным гамильгоновым системам общего вида, использует теорию Вильямсона нормальных форм
Как показано в недавней работе [13, линейную гамильтонову систему с невырожденным гамильтонианом всегда можно свести к линейной сие іеме вида (6) Доказательство --ного факта основано на анализе ограничений квадратичных форм ил лаіранжевьі плоскости симплектичес кою прос транс тіш и также использует теорию Вильямсона 2.4 О спектральных свойствах матриц некоторого спе циального вида. Рассмоірим линейную сие і ему г — Ах, № где х Є R", а маїрица А имеет специальный вид А = ( К L М N "здесь К - ко(осимметричеекая р х р-маїрица {К1 = —К), N -кососимметрическая q х «/-матрица (Nl = —N), маїрицьі L размера р х q и М размера q X р связаны соотношением L1 = М (или М1 = L), р-\- q = п При р = О или q — 0 матрица А являє і ся кососиммегрической А1 = —А Система (8) допускает первый интеграл - квадраіичную форму / = (1/2)(/ ,3-), (9) где диаюнальная матрица В имеет вид 1р о о -/. В = V "У (1Г - единичная г х r-матрица) Действительно, легко видеть, что маїрица В А - кос ос иммегричес кая, а значи г / = (Вх, х) = (В А г, х) = 0 на решениях системы (8)
Если матрица А невырождена (А 0), то сисіема (8) може г быть приведена к системе уравнений Гамильтона, в частости, п четно (см пункт 2 1 данной главы) Покажем, что для нечетных п маїрица А вырождена {\А\ — 0) .
Отсюда следует, чю все собственные числа матрицы А являюня чиєї о мнимыми, а все клеіки Жордана имеют порядок 1 (нормальная жорданона с)орма матрицы А - днаюнальная матрица) Этот результат согласуете я с известным фактом линейной алгебры о спектре4 косое имметрических матриц
Рассмотрим противоположную ситуацию, когда р — q. Если при этом К — N = 0, то матрица А является симмечрической и все ее собственные числа вещественные Тогда / = 0 и неравенство (10) показывает нетривиальное іь общею утверждения теоремы 1 Однако, в общем случае, когда матрицы К и N ненулевые, параметр / может отличаться or нуля Во і простой пример. Пусмь р = і = 2, характеристическое уравнение матрицы А имеет вид -Л a a b —а -X с d \А-Х1\ = а с —X /3 Ь d -Р -А = А4 + А V + ft2-a2- h2 - с1 - d2) + (afi + ad - bef = X4 + ,sA2 + /, иен тому если s1 — At 0 и s 0, то I = 2 (спекір матрицы А состоит и двух пар чис ю мнимых собственных чисел)
