Введение к работе
Актуальность темы. Основная тематика этой работы литическими проблемами теории бесконечномерных вероятностных распределений, привлекающими аппарат теории емкостей и форм Дирихле для изучения распределений случайных процессов, функционалов от них, а также сходимости случайных процессов. Это направление, активно развивающееся в последние два десятилетия, в идейном отношении восходит к классическим работам Ю.В. Прохорова1 и Г. Шоке2, отличительной особенностью которых явился синтез аналитического и топологического подходов. В последующие годы развитие аналитического направления привело к созданию двух важных областей в теории бесконечномерных вероятностных распределений — теории дифференцируемых мер СВ. Фомина3 и исчисления Маллявэна4. Первой из них посвящены фундаментальные труды ''''' . Второй также посвящен целый ряд монографий, из которых особо отметим книги11'12'13'10. Связи между теорией дифференцируемых мер и исчислением Маллявэна подробно исследованы в работах14'8'10 и книгах15'10. В данной диссертации существенно используются идеи и методы теории дифференцируемых мер и исчисления Маллявэна. Более того, часть основных результатов диссертации, относящихся к построению поверхностных мер для бесконечномерных
Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, 177-238.
Choquet G. Theory of capacities. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1955, v. 5, 131-295.
Фомин СВ. Дифференцируемые меры в линейных пространствах. Тезисы кратких научн. сооб-щ. Международного конгресса математиков: Секция 5, 78-79. Изд-во МГУ, М., 1966.
Malliavin P. Stochastic calculus of variation and hypoelliptic operators. Proc. Intern. Symp. on Stoch. Diff. Eq. (Res. Inst. Math. Sci., Kyoto Univ., Kyoto, 1976), 195-263. Wiley, New York - Chichester -Brisbane, 1978.
Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин СВ. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. Тр. Моск. мат. об-ва, 1971, т. 24, 133-174.
6 Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. Наука, М., 1975.
Далецкий Ю.Л., Фомин СВ. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Наука, М., 1983.
Богачев В.И., Смолянов О.Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений. Успехи мат. наук, 1990, т. 45, N 3, 3-83.
Uglanov A.V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 2000.
Богачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. РХД, Москва-Ижевск, 2008.
ПВе11 D. The Malliavin calculus. Wiley and Sons, N.-Y., 1987.
Malliavin P. Stochastic analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1997.
Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin, 2006.
Bogachev V.I. Differential properties of measures on infinite dimensional spaces and the Malliavin
calculus. Acta Univ. Carolinae, Math, et Phys., 1989, v. 30, N 2, 9-30.
Богачев В.И. Гауссовские меры. Наука, М., 1997.
вероятностных распределений, дает решения задач на стыке этих двух областей.
Первая общая конструкция поверхностной меры на бесконечномерном пространстве была предложена А.В. Скороходом6. А.В. Угланов существенно модифицировал эту конструкцию и построил общую теорию поверхностного интегрирования на бесконечномерных пространствах
/ 16 9\
(см. ' ), а также получил важные приложения этой теории к решению бесконечномерных дифференциальных уравнений с частными производными. Однако метод А.В. Угланова требует топологических ограничений на рассматриваемые поверхности (типа непрерывности некоторых производных). Для гауссовских мер эти ограничения удалось снять в работе17 с помощью исчисления Маллявэна. В.И. Богачев18 предложил схему построения поверхностных мер для негауссовских гладких мер с использованием исчисления Маллявэна. Этот подход был развит автором, что позволило снять топологические ограничения и для общих дифференцируемых мер и построить поверхностные меры на множествах уровня соболевских функций. От этих функций не требуется даже непрерывность (таковы типичные функции, появляющиеся в теории случайных процессов и задаваемые с помощью стохастических интегралов). Построение и исследование поверхностных мер в бесконечномерных пространствах, причем не только линейных, но и в пространствах конфигураций, входит в круг основных целей диссертации.
В описанной проблематике существенную роль играет изучение емкостей, порожденных классами Соболева относительно бесконечномерных вероятностных распределений. Их исследование важно и для многих других вопросов теории бесконечномерных вероятностных распределений и теории случайных процессов. В последние три десятилетия емкости, связанные с классами Соболева на бесконечномерных пространствах или с весовыми классами Соболева на конечномерных пространствах, исследуются весьма интенсивно19'20'10'12'15. В геометрической теории
1 о
Угланов А.В. Поверхностные интегралы в банаховом пространстве. Мат. сб., 1979, т. 110, N 2, 189-217.
Airault Н., Malliavin P. Integration geometrique sur l'espaces de Wiener. Bull. Sci. Math. (2), 1988, v. 112, N 1, 3-52.
1 о
Bogachev V.I. Smooth measures, the Malliavin calculus and approximation in infinite dimensional spaces. Acta Univ. Carolinae, Math, et Phys., 1990, v. 31, N 2, 9-23.
Ma Z.M., Rockner M. An introduction to the theory of (non-symmetric) Dirichlet forms. Springer,
Fukushima M., Oshima Y., Takeda M. Dirichlet forms and symmetric Markov processes. De Gruyter,
19Ma Z.rv Berlin, 1992
20Fukush Berlin - New York, 1994
меры и стохастическом анализе часто возникает потребность в более тонкой характеристике малости множества, чем сама мера. Важным примером такой характеристики является емкость. Свойства соболевских емкостей на бесконечномерных пространствах рассматривались в ряде ра-
ґ 21 19 22 10
оот как для гауссовских, так и для некоторых негауссовских мер ' ' ' , однако для общих дифференцируемых мер до сих пор имелись лишь отдельные результаты, а случай пространства конфигураций ранее вообще не исследовался.
Одной из наиболее принципиальных и просто формулируемых (но, как правило, трудных) проблем в связи с емкостями, порожденными классами Соболева по вероятностным мерам, является проблема их плотности, т.е. существования компактов со сколь угодно малыми емкостями дополнений. Эта проблема весьма актуальна и в стохастическом анализе, и в теории меры. В отличие от радоновских мер, общие емкости даже на очень простых пространствах (например, на прямой) отнюдь не всегда плотны, несмотря на то, что по известной теореме Шоке внутренне компактно регулярны. Это связано с неаддитивностью большинства емкостей. Во многих случаях плотность емкости ответственна за существование диффузии. Вопрос о плотности классических соболевских емкостей на Шп решен положительно, см., например23'24. В бесконечномерном случае появляется широкое разнообразие пространств, мер и определений соболевских классов. Данная проблема рассматривалась в работах '15. Плотность емкостей С\^ важна при построении диффузионных процессов. Кроме того, плотность емкостей, порожденных классами Wr,p7 является существенной деталью конструкции поверхностных мер на бесконечномерных пространствах и многообразиях, развитой в третьей главе диссертации. С вероятностной точки зрения, оценки емкости различных множеств важны для понимания поведения диффузионных процессов, например, возможности попадания в эти множества. Бесконечномерные пространства обладают заметной спецификой при изучении соболевских емкостей.
Fukushima М. Basic properties of Brownian motion and a capacity on the Wiener space, J. Math.
Soc. Japan, 1984, v. 36, N 1, 161-176.
Kusuoka S. Dirichlet forms and diffusion processes on Banach spaces, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo,
Sec.lA, 1982, v. 29, N 1, 79-95.
Гольдштейн B.M., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными
и квазиконформные отображения. Москва, „Наука", 1983.
Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева. Л: Изд-во ЛГУ, 1985.
Rockner М., Schmuland В. Tightness of general C\tV capacities on Banach space, J. Funct. Anal., 1992, v. 108, N 1, 1-12.
Один из важнейших объектов в этих исследованиях — формы Дирихле. Этот аналитический объект тесно связан с целым спектром вероятностных понятий и проблем, относящихся к сходимости случайных процессов. Замьжаемости и сходимости форм Дирихле и свойствам связанных с ними диффузионных процессов и классов Соболева посвящено множество исследований, из которых особенно важны
*— ОА 07 Oft 00 *ЗП Q1 *—
работы ' ' ' у'ли'л . В частности, проблема замьжаемости квадратичных форм возникает в стохастическом анализе, в теории дифференциальных операторов и теории пространств Соболева32'19. Чтобы градиентная квадратичная форма Дирихле вида
S(f) = J\Vf\2dfi
могла быть ассоциирована с некоторым диффузионным процессом, необходима ее замыкаемость. В случае, когда вероятностная мера /і на M.d задана дифференцируемой (в соболевском смысле) плотностью д: существует диффузионный процесс І5 удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению
dt = V2dwt + ^4^ dt
и имеющий стационарное распределение /і = gdx. Генератор L переходной полугруппы этой диффузии имеет вид Lf = А/+ (—, V/). Квадра-
тичная форма этого оператора на области Co2(Md) в Ь2(ц) есть форма Дирихле (/). Оказывается, что форма Дирихле (/) может быть замыкаемой и для мер с недифференцируемыми плотностями. Таким способом строятся диффузии с сингулярными коэффициентами сноса. На многих пространствах типа фракталов такой способ построения является основным даже для наиболее простых диффузий, например, броуновского движения. Этому направлению принадлежит один из основных результатов первой главы диссертации, который дает решение
Жиков В.В., Козлов СМ., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.
Жиков В.В. О весовых соболевских пространствах. Мат. сборник, 1998, т. 189, N 8, 27-58.
28Mosco U. Composite media and Dirichlet forms, J. Funct. Anal., 1994, v. 123, 368-421.
Кириллов А.И. Бесконечномерный анализ и квантовая теория как исчисления семимартинга-
лов. Успехи мат. наук, 1994, т. 49, N 3, 43-92.
Kuwae К., Shioya Т. Convergence of spectral structures: a functional analytic theory and its applications to spectral geometry. Comm. Anal. Geom., 2003, v. 11, N 4, 599-673.
Kolesnikov A.V. Mosco convergence of Dirichlet forms in infinite dimensions with changing reference measures. J. Funct. Anal., 2006, v. 230, 382-418.
Albeverio S., Rockner M. Classical Dirichlet forms on topological vector spaces - the construction of the associated diffusion process, Probab. Theory Relat. Fields, 1989, v. 83, 405-434.
долго стоявшей проблемы существования такой замыкаемой градиентной формы Дирихле на плоскости, что частные формы не являются замыкаемыми.
Наконец, еще одно активно развивающееся современное направление в теории бесконечномерных вероятностных распределений, к которому относится ряд основных результатов данной диссертации, связано с изучением пространств конфигураций, т.е. пространств локально конечных наборов точек из данного фазового пространства, например, риманова многообразия. Пространства конфигураций возникают во многих теоретических и прикладных задачах. На них строятся меры, представляющие собой различные обобщения распределения Пуассона33. На пространствах конфигураций имеется естественная и очень интересная структура бесконечномерного многообразия. Этому направлению посвящено много исследований, см., например, работы >60>60>6'>66>6У> и' ' . В диссертации строятся соболевские классы любых порядков на пространстве конфигураций с мерой Пуассона; изучается проблема плотности порожденных ими емкостей. Кроме того, оцениваются емкости различных порядков для множества конфигураций, имеющих кратные точки. Эти вопросы ранее не изучались.
Последняя группа результатов связана с преобразованиями мер на пространствах конфигураций. Квазиинвариантность гауссовских и некоторых других бесконечномерных распределений относительно нелинейных преобразований функциональных пространств изучалась многими авторами, начиная с классических работ Камерона и Мартина, Маруямы,
Кингман Дж. Пуассоновские процессы. МЦНМО, М., 2007.
Вершик A.M., Гельфанд И.М., Граев М.И. Представления групп диффеоморфизмов, Успехи
мат. наук, 1975, т. 30, N 6, 1-50.
Исмагилов Р.С. Унитарные представления группы диффеоморфизмов пространства Rn, п > 2,
Мат. Сборник, 1975, т. 98, 55-71.
Смородина Н.В. Формула Остроградского-Гаусса для пространства конфигураций. Теория ве-
роятн. и ее примен., 1990, т. 35, N 4, 725-736.
37 Давыдов Ю.А., Лифшиц М.А., Смородина Н.В. Локальные свойства распределений стохастических функционалов. Физматлит, М., 1995.
Privault N. Girsanov theorem for anticipative shifts on Poisson space. Probab. Theory Relat. Fields,
1996, v. 104, 61-76.
Albeverio S., Kondratiev Yu.G., Rockner M. Analysis and geometry on configuration spaces, J.
Funct. Anal. 1998, v. 154, N 2, 444-500.
Tsilevich N., Vershik A., Yor M. An infinite-dimensional analogue of the Lebesgue measure and distinguished properties of the gamma process. J. Funct. Anal, 2001, v. 185, N 1. 274-296.
Albeverio S., Smorodina N.V. A distributional approach to multiple stochastic integrals and transformations of the Poisson measure. Acta Appl. Math., 2006, v. 94, 1-19.
Смородина Н.В. Кратные стохастические интегралы и „непуассоновские" трансформации
гамма-меры. Зап. научн. семин. ПОМИ РАН, 2005, т. 328, 191-220.
Прохорова, Скорохода, Гирсанова. Обзор этих исследований и современное состояние вопроса можно найти в книгах15'43. В работах34'35 установлена квазиинвариантность меры Пуассона относительно преобразований конфигураций на многообразии М, порожденных диффеоморфизмами самого М. В работе38 получено обобщение теоремы Гирсанова на пуассо-новские процессы, вероятностное пространство которых изоморфно пространству конфигураций на [0; +оо) с мерой Пуассона. В работах41'42 получены достаточные условия квазиинвариантности меры Пуассона при преобразованиях конфигураций на многообразии вида S х [0; +оо), сдвигающих точки вдоль второго сомножителя. В диссертации получены формулы преобразования мер на пространствах конфигураций на конечномерных многообразиях под действием отображений значительно более общего вида.
Цель работы. Исследование замыкаемости градиентных форм Дирихле и получение условий слабой сходимости конечномерных распределений сингулярных диффузионных процессов в терминах порожденных ими форм Дирихле. Доказательство плотности соболевских емкостей, связанных с бесконечномерными вероятностными распределениями, и построение поверхностных мер на множествах уровня соболевских функций относительно таких распределений. Исследование емкостей и поверхностных мер на пространствах конфигураций с пуассоновскими распределениями. Нахождение условий абсолютной непрерывности пуассонов-ских распределений относительно нелокальных преобразований.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
-
Решена долго стоявшая проблема теории форм Дирихле: построена мера /і на М2, для которой градиентная квадратичная форма замыкаема, но частные квадратичные формы не замыкаемы. При построении использован новый положительный результат, дающий достаточное условие замыкаемости форм Дирихле относительно сужений меры Лебега на множества.
-
Получены новые достаточные условия сходимости Моско конечномерных и бесконечномерных форм Дирихле. Это дает эффективно проверяемые условия слабой сходимости конечномерных распределений диффузионных процессов.
-
Доказана плотность емкостей, порожденных классами Соболева различных порядков в широком классе локально выпуклых пространств, а также в пространствах конфигураций.
'Ustunel A.S., Zakai М. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000.
-
Получены достаточные условия нулевой емкости множества конфигураций, имеющих кратные точки.
-
Результаты о соболевских емкостях применены для построения поверхностных мер на множествах уровня соболевских функций, порожденных бесконечномерными вероятностными распределениями, а также поверхностных мер на пространствах конфигураций.
-
Доказана квазиинвариантность мер Пуассона для широкого класса нелокальных преобразований пространств конфигураций.
Методы исследования. В работе применяются методы теории бесконечномерных вероятностных распределений, в частности, теория слабой сходимости мер, теория дифференцируемых мер, теория форм Дирихле, а также исчисление Маллявэна. Используются методы функционального анализа, в том числе, теория соболевских классов и емкостей. Кроме того, используется ряд оригинальных конструкций автора.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы в теории случайных процессов, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений с частными производными на бесконечномерном пространстве, математической физике, геометрической теории меры. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В. Ломоносова, МИАН им. В.А. Стеклова, ПОМП РАН им. В.А. Стеклова, С.-ПГУ, НГУ, ИМ СО РАН, МГТУ им. Н.Э. Баумана, ДВНЦ РАН.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международном семинаре «Бесконечномерный стохастический анализ», посвященном 95-летию со дня рождения А.Н. Колмогорова (МГУ, 1998), на научно-исследовательском семинаре «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством профессора В.И. Богачева в МГУ (1998-2009 гг.), на семинаре «Бесконечномерный стохастический анализ» в университете г. Билефельда (2001— 2006 гг.), в Уорикском университете (2002 г.), в Бристольском университете (2002 г.), на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2008 г.), на семинаре Отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института РАН имени В.А. Стеклова (2008 г.), на семинаре «Теория дифференцируемых функций многих переменных и ее приложения» под руководством академика СМ. Никольского и члена-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева в Математическом институте РАН имени В.А. Стеклова (2008 г.), на международной конференции, посвященной 100-летию
со дня рождения С.Л.Соболева (Новосибирск, 2008 г.), во Владимирском Гуманитарном университете (2009 г.) и на международной конференции «Стохастический анализ и случайные динамические системы», посвященной 100-летию Н.Н. Боголюбова (Львов, 2009 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах автора, список которых приведен в конце.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 18 разделов, и списка литературы из 135 наименований. Общий объем диссертации составляет 202 страницы.
