Содержание к диссертации
Введение
1 Вспомогательные сведения. 8
1.1 Свойства и характер изаци и экспоненциального распределения 8
1.2 Критерии экспоненциальиости 12
1.3 Асимптотическая эффективность по Бахадуру. Большие уклонения . 15
2 Большие уклонения. 19
2.1 Большие уклонения интегральных статистик 19
2.1.1 Введение 19
2.1.2 Вычисление функции tp(II) 20
2.1.3 Исследование функции (д). Вычисление функции уклонений . 28
2.1.4 Случай ограниченной функции r(s) 33
2.1.5 Примеры. Связь с равномерным распределением 39
2.2 Большие уклонения статистик типа супремума 42
2.2.1 Статистика Лильефорса 42
2.2.2 Статистика Барингхауза - Хенце 48
2.3 Большие уклонении нормированных статистик 49
2.3.1 Вычисление и исследование функции уклонений 49
2.3.2 Примеры 53
3 Асимптотическая эффективность. 57
3.1 Состоятельность 57
3.2 Вычисление точных наклонов 60
3.3 Значения ЛАЭ по Бахадуру -64
4 Условия локальной асимптотической оптимальности . 67
4.1 Введение 67
4.2 Интегральные статистики 68
4.3 Статистики типа супремума 69
4.4 Нормированные L-статистики 70
Заключение. 74
Список литературы. 75
- Асимптотическая эффективность по Бахадуру. Большие уклонения
- Исследование функции (д). Вычисление функции уклонений
- Вычисление и исследование функции уклонений
- Вычисление точных наклонов
Введение к работе
Экспоненциальное распределение играет важную роль в теории вероятностей, математической статистике и приложениях, таких, как теория надежности, анализ данных типа времени жизни и др. (см., например, [2], [4], [5]). В последние годы было построено множество критериев проверки экспоненциальности в тех или иных непараметрических классах распределений ([29], [50], [17], [25], [30], [35], [60] и др.). Первые же критерии экспоненциальности появились, по-пидимому, в середине двадцатого века (критерии Гринвуда [28], Морапа [40] и ряд других [55], [18], [24], несколько позже- критерий Лильефорса [37]).
Регулярно появляются обзорные работы, где систематизируются методы построения и исследования критериев экспоненциальности (кроме статьи Эп-стейна [24], которая была, по-видимому, первой работой такого рода, упомянем также обзоры [21], [58], [13], [32] и соответствующие разделы в [4] и [20] ). Имеются даже два справочника, посвященные экспоненциальному распределению и родственным с ним распределениям [15], и [41], в которых описан ряд критериев экспоненциальности.
Самая общая постановка задачи проверки экспоненциальности выглядит так: пусть А'і,... ,Хп - повторная выборка, т.е. набор независимых одинаково распределенных случайных величин (н.о.р.с.в.), имеющих функцию распределения (ф.р.) F. Требуется на основании наблюдений Xi,...,Xn проверить сложную основную гипотезу Hq, состоящую в том, что F принадлежит классу экспоненциальных распределений с неизвестным параметром масштаба А: = {F: F(x)^l~e-Xx, А>0, ж > 0}.
Альтернативная гипотеза Hi состоит в том, что F не принадлежит S. Иногда класс альтернатив сужается, например, до класса альтернатив с возрастающей или убывающей функцией интенсивности отказов (соответственно, ВФИ или УФИ), класса «новое-лучше-старого» (см., например, [33]) или до так называемых -, Лі- и Л4-классов (см. [30], [35], [36], где построены критерии, состоятельные и этих классах).
Весьма популярны критерии, основанные на многочисленных характсриза-циях экспоненциального распределения. Например, в [12] и [11] построены статистики, основанные на свойстве отсутствия последействия и его «упрощенных» вариантах, которые могут быть выражены функциональными уравнениями для экспоненциальной функции распределения. Другие критерии, основанные на характеризациях экспоненциального распределения, подробно изучаются в диссертациях [С] и [47]. Критерии экспоненциалыюсти, основанные на характеристических свойствах экспоненциально распределенных случайных векторов и их преобразований, построены в работах [3] и [60]. В последнее время при построении критериев экспоненциалыюсти используются также функциональные уравнения для преобразований Лапласа и Фурье для экспоненциального распределения (например, работы Бариигхауза и Хенце [16], Хепце и Мейнтаниса [31]). Кроме того, для проверки экспонеициальности против параметрических альтернатив могут использоваться критерии отношения правдоподобия (например, как показали Моран [40] и Шорак [5G], критерий Морана является равномерно наиболее мощным против гамма-альтернатив; см. также [5], Глава 3). Однако такие критерии редко имеют удобный для вычисления вид и, кроме того, могут оказаться непригодными при изменении альтернативы.
Критерии экспонеициальности часто не сводятся к известным и хорошо изученным видам статистик (таким, как суммы независимых случайных величин или У-статистики), а имеют довольно причудливую структуру, так что иногда даже нахождение предельного распределения при нулевой гипотезе становится нетривиальной задачей (см., например, [60]).
Для построения и изучения критериев, свободных от масштаба, удобно перейти к нормированным случайным величинам Щ = Хі/Х, г = 1,..., п, где А' - выборочное среднее случайных величин А'і,..., Хп. Эти случайные величины, очевидно, зависимы (их сумма равна п). Можно построить на основе этих случайных величин эмпирическую функцию распределения и изучать функционалы от нее. Предельные теоремы для статистик такого рода изучались, например, в [46].
При изучении асимптотических свойств критериев бывает полезно сгруппировать их, исходя не из способа построения, а из структуры. Так, в работе [6] исследование критериев становится возможным благодаря тому, что все они имеют структуру U- или V-статистик, для которых хорошо развита асимптотическая теория. Мы же предлагаем выделить среди известных критериев экспоиенциалыюсти еще три группы.
Пусть случайные величины 7і, і = 1,..., п, определены как выше, и пусть Ї7(і) < ... < U{n) - соответствующий вариационный ряд. Критерии из первой группы имеют вид где г - некоторая функция, заданная па положительной полуоси. К этой группе относятся хорошо известные статистики Морана и Гриивуда, а также статистики Шермана [55], Кокса - Оукса [5], Эппса - Пулли [23] и ряд семейств статистик, недавно предложенных Хспце и Кларом (см. [30], [35], [36]). Во вторую группу входят критерии вида п i=l
Тп = sup где r(s, х) - функция, определенная на первом квадранте. Сюда относятся критерии Лильефорса [37], [22], Баршггхауза - Хенце [17], а также их взвешенные варианты.
Наконец, третья группа, предложенная Шораком и Уэллнсром в [57], содержит нормированные і-статистики (то есть линейные комбинации порядковых статистик U[i)) с коэффициентами wi
Как отмечалось в (57], к этой группе можно отнести статистику Джексона [34]; статистика Джини [26] и недавно предложенная в ]25] статистика Фортиана -Гране также принадлежат к этой группе.
Перечислим преимущества такого подхода. Во-первых, варьируя r(s), r(s, х) или іУі,„, і — 1,..., її, соответственно, мы можем строить новые критерии экс-поненциалыюсти, имеющие очень простой для вычисления и исследования вид. Во-вторых, мы можем вычислять асимптотические характеристики не для отдельных статистик, а сразу для всей группы (разумеется, при некоторых ограничениях). Наконец, любые утверждения, доказанные для случайного вектора (C/i,..., Un), допускают переформулировки в терминах двух других распределений, имеющих многочисленные приложения в теории вероятностей и математической статистике: это равномерное распределение на отрезке и многомерное распределение Дирихле на симплексе.
При построении и изучении критерия чрезвычайно важен вопрос о состоятельности, то есть о стремлении мощности критерия к единице при возрастании объема выборки. Как правило, требование состоятельности учитывается при построении критерия, однако для ряда давно известных и употребительных критериев (статистики Мораиа, Стивепса [59], Джини [26] и некоторые другие), построенных из «эмпирических» соображений, более или менее общие условия состоятельности до сих нор пс были установлены: известно было лишь о состоятельности этих критериев против отдельных параметрических семейств альтернатив. В главе 3 настоящей работы мы доказываем состоятельность этих статистик в классе альтернатив с ВФИ или УФИ. Более того, мы выводим общие достаточные условия состоятельности в этих классах для статистик из первой и третьей групп.
Сравнение критериев друг с другом и выбор наилучшего критерия в применении к той или иной модели производится обычно на основе понятия асимптотической относительной эффективности (АОЭ). Существует несколько подходов к определению АОЭ - это эффективность по Питмену, Ходжесу - Леману, Бахадуру и некоторые другие (см. [7]).
Основная цель данной работы - асимптотическое сравнение рассматриваемых критериев экспопенциалыюсти по Бахадуру. Этот вид эффективности выбран по нескольким причинам. Во-первых, для вычисления АОЭ по Бахадуру не требуется асимптотическая нормальность, а статистики из второй группы, очевидно, не являются асимптотически нормальными. Во-вторых, АОЭ по Бахадуру позволяет различать статистики, имеющие одинаковую питмсповскую эффективность, то есть является более тонким методом сравнения критериев. В-третьих, вычисление бахадуровской эффективности требует нахождения грубой асимптотики больших уклонений, что, на наш взгляд, для статистик из вышеперечисленных трех групп является нетривиальной математической задачей, представляющей, в том числе, и самостоятельную ценность. Задача вычисления больших уклонений для критериев экспопенциалыюсти до сих пор была решена лишь в единичных случаях ([6], [47], [8], [65]).
Вычисляя АОЭ критериев экспопенциалыюсти, мы можем оценить их качество и дать обоснованные рекомендации по их использованию на практике.
Диссертация состоит из четырех глав. Первая глава носит обзорный характер: в ней описаны изучаемые в диссертации критерии экспопенциалыюсти, перечислены некоторые свойства и характер изаци и экспоненциального распределения, основные определения и теоремы теории Бахадура. Вторая глава посвящена нахождению больших уклонений. Для первой и третьей групп статистик доказаны общие теоремы, которые затем применяются к конкретным статистикам; для каждой из двух статистик второй группы также найдена функция уклонений. Это наиболее содержательная и трудоемкая часть работы. Результаты первого раздела этой главы можно также применить к большим уклонениям статистик, основанных на спейсингах равномерного распределения.
В третьей главе обсуждается вопрос о состоятельности изучаемых статистик в классах ВФИ(УФИ) и вычисляются точные наклоны и значения локальной АОЭ по Бахадуру для следующих четырех модельных параметрических семейств альтернатив: плотность Макегама, плотность Вейбулла, плотность с линейной интенсивностью отказов и гамма-плотность. В четвертой главе вы- водятся условия локальной асимптотической оптимальности всех изучаемых критериев.
По теме диссертации опубликовано 7 работ, они перечислены в конце списка литературы под номерами [62] - [68]. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Асимптотические методы в теории вероятностей и математической статистике"в Санкт-Петербурге и 1998 г.; на международной конференции молодых статистикой (EYSM) в Марли-лс-Руа (Франция) в 1999 г.; на международной конференции "Модели долговечности, старения и деградации в теории надежности, здравоохранении, медицине и биологии"в Санкт-Петербурге в 2004 г.; на семинаре летней школы по математической статистике в Торньопе (Италия) под руководством проф. К. Клаассена в 2004 г.; на семинаре СПбГУ по предельным теоремам теории вероятностей под руководством проф. В.В.Петрова в 1997 г.; на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством акад. И.А.Ибагимова в 2005 г.
Асимптотическая эффективность по Бахадуру. Большие уклонения
При изучении асимптотических свойств критериев бывает полезно сгруппировать их, исходя не из способа построения, а из структуры. Так, в работе [6] исследование критериев становится возможным благодаря тому, что все они имеют структуру U- или V-статистик, для которых хорошо развита асимптотическая теория. Мы же предлагаем выделить среди известных критериев экспоиенциалыюсти еще три группы.
Пусть случайные величины 7і, і = 1,..., п, определены как выше, и пусть Ї7(і) ... U{n) - соответствующий вариационный ряд. Критерии из первой группы имеют вид где г - некоторая функция, заданная па положительной полуоси. К этой группе относятся хорошо известные статистики Морана и Гриивуда, а также статистики Шермана [55], Кокса - Оукса [5], Эппса - Пулли [23] и ряд семейств статистик, недавно предложенных Хспце и Кларом (см. [30], [35], [36]). Во вторую группу входят критерии вида где r(s, х) - функция, определенная на первом квадранте. Сюда относятся критерии Лильефорса [37], [22], Баршггхауза - Хенце [17], а также их взвешенные варианты. Наконец, третья группа, предложенная Шораком и Уэллнсром в [57], содержит нормированные і-статистики (то есть линейные комбинации порядковых статистик U[i)) с коэффициентами wi n, г = 1,..., ті:
Как отмечалось в (57], к этой группе можно отнести статистику Джексона [34]; статистика Джини [26] и недавно предложенная в ]25] статистика Фортиана -Гране также принадлежат к этой группе. Перечислим преимущества такого подхода. Во-первых, варьируя r(s), r(s, х) или ІУІ,„, і — 1,..., її, соответственно, мы можем строить новые критерии экс-поненциалыюсти, имеющие очень простой для вычисления и исследования вид. Во-вторых, мы можем вычислять асимптотические характеристики не для отдельных статистик, а сразу для всей группы (разумеется, при некоторых ограничениях). Наконец, любые утверждения, доказанные для случайного вектора (C/i,..., Un), допускают переформулировки в терминах двух других распределений, имеющих многочисленные приложения в теории вероятностей и математической статистике: это равномерное распределение на отрезке и многомерное распределение Дирихле на симплексе.
При построении и изучении критерия чрезвычайно важен вопрос о состоятельности, то есть о стремлении мощности критерия к единице при возрастании объема выборки. Как правило, требование состоятельности учитывается при построении критерия, однако для ряда давно известных и употребительных критериев (статистики Мораиа, Стивепса [59], Джини [26] и некоторые другие), построенных из «эмпирических» соображений, более или менее общие условия состоятельности до сих нор пс были установлены: известно было лишь о состоятельности этих критериев против отдельных параметрических семейств альтернатив. В главе 3 настоящей работы мы доказываем состоятельность этих статистик в классе альтернатив с ВФИ или УФИ. Более того, мы выводим общие достаточные условия состоятельности в этих классах для статистик из первой и третьей групп.
Сравнение критериев друг с другом и выбор наилучшего критерия в применении к той или иной модели производится обычно на основе понятия асимптотической относительной эффективности (АОЭ). Существует несколько подходов к определению АОЭ - это эффективность по Питмену, Ходжесу - Леману, Бахадуру и некоторые другие (см. [7]). Основная цель данной работы - асимптотическое сравнение рассматриваемых критериев экспопенциалыюсти по Бахадуру. Этот вид эффективности выбран по нескольким причинам. Во-первых, для вычисления АОЭ по Бахадуру не требуется асимптотическая нормальность, а статистики из второй группы, очевидно, не являются асимптотически нормальными. Во-вторых, АОЭ по Бахадуру позволяет различать статистики, имеющие одинаковую питмсповскую эффективность, то есть является более тонким методом сравнения критериев. В-третьих, вычисление бахадуровской эффективности требует нахождения грубой асимптотики больших уклонений, что, на наш взгляд, для статистик из вышеперечисленных трех групп является нетривиальной математической задачей, представляющей, в том числе, и самостоятельную ценность. Задача вычисления больших уклонений для критериев экспопенциалыюсти до сих пор была решена лишь в единичных случаях ([6], [47], [8], [65]). Вычисляя АОЭ критериев экспопенциалыюсти, мы можем оценить их качество и дать обоснованные рекомендации по их использованию на практике.
Диссертация состоит из четырех глав. Первая глава носит обзорный характер: в ней описаны изучаемые в диссертации критерии экспопенциалыюсти, перечислены некоторые свойства и характер изаци и экспоненциального распределения, основные определения и теоремы теории Бахадура. Вторая глава посвящена нахождению больших уклонений. Для первой и третьей групп статистик доказаны общие теоремы, которые затем применяются к конкретным статистикам; для каждой из двух статистик второй группы также найдена функция уклонений. Это наиболее содержательная и трудоемкая часть работы. Результаты первого раздела этой главы можно также применить к большим уклонениям статистик, основанных на спейсингах равномерного распределения.
В третьей главе обсуждается вопрос о состоятельности изучаемых статистик в классах ВФИ(УФИ) и вычисляются точные наклоны и значения локальной АОЭ по Бахадуру для следующих четырех модельных параметрических семейств альтернатив: плотность Макегама, плотность Вейбулла, плотность с линейной интенсивностью отказов и гамма-плотность. В четвертой главе вы водятся условия локальной асимптотической оптимальности всех изучаемых критериев.
По теме диссертации опубликовано 7 работ, они перечислены в конце списка литературы под номерами [62] - [68]. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Асимптотические методы в теории вероятностей и математической статистике"в Санкт-Петербурге и 1998 г.; на международной конференции молодых статистикой (EYSM) в Марли-лс-Руа (Франция) в 1999 г.; на международной конференции "Модели долговечности, старения и деградации в теории надежности, здравоохранении, медицине и биологии"в Санкт-Петербурге в 2004 г.; на семинаре летней школы по математической статистике в Торньопе (Италия) под руководством проф. К. Клаассена в 2004 г.; на семинаре СПбГУ по предельным теоремам теории вероятностей под руководством проф. В.В.Петрова в 1997 г.; на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством акад. И.А.Ибрагимова в 2005 г.
Исследование функции (д). Вычисление функции уклонений
Ясно, что при а 2 выполнено P(Gr„ а) = 0 и, следовательно, к(а) — —со. Теорема 2.2 не позволяет судить о значениях (и даже о существовании) функции уклонений для а Є [2 — 7г/2, 2).
Из теоремы 1.1. в статье Шао [53] вытекает более сильное утверждение, не содержащее ограничений на а: для любого а О Однако такое представление менее удобно для вычисления асимптотики функции уклонений в нуле. Эта асимптотика была впервые вычислена нами в [64]. Заметим, что функция —r(s), в отличие от r(s), не удовлетворяет условию (СЗ), поэтому теорема 2.2 неприменима к вычислению больших уклонений противоположного варианта статистики Гринвуда. Другие примеры статистик вида (1.2.4) изучаются, например, в [30] и [35], где вычислена приближенная эффективность по Бахадуру. Приведенные в этих работах статистики удовлетворяют условиям теоремы 2.2, и их большие уклонения МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ С ПОМОЩЬЮ Эхи 1 XUUpuiviU, ОДіїаі.О іі ДііСССріш,ші мь» ограничимся двумя вышеприведенными примерами. 6. Пусть Yj,j = V,..,,n- спейСйнги равномерной на (0, 1 ) выборки. Б [51] предлагаются статистики Ln для проверки равномерности на [0, 1]: п Л=1 Воспользуемся предложением 1.11. Теорема 2.2 позволяет вычислять большие уклонения статистик Ln с монотонной функцией r(s), удовлетворяющей условиям (С1)-(С5) при а = 0. В частности, как и предлагалось в [51], рассмотрим ri(s) — lns + C; гг(з) = 2 — s2; r3(s) = \s — 1 — 2c_1. Последняя функция не jviGKCiGHim, но, по (2.1.1), ее можно заменить монотонной (и даже ограниченной) \s — 1 — (s — 1) — 2е-1. Мы приведем здесь лишь коэффициенты при а2 в нуле для соответствующих функций уклонений: Подобным же образом можно вычислять большие уклонения симметричных статистик, основанных на так называемых неперекрывающихся (non-overlapping) спейсингах высших порядков. В [61] такая задача решена для случая, когда порядок спейсингов стремится к бесконечности вместе с объемом выборки. Теорема 2.2 позволяет находить большие уклонения в случае, когда порядок спейсингов фиксирован. Опираясь на результаты предыдущего пярягряфя и полкз ясь тем что статистика Лильефорса может быть представлена в виде супремума семейства статис І;ІЛ ІІІІД.1 \1.2. і), ІІ«ІНДОМ для пик чСнмшОгиКу керитниитей бшіЬШИХ уклонений. При этом функция k(a) непрерывна в окрестности нуля и имеет в нуле асимптотику 4Замечание 2.2. Вычисления показывают, что супремум в правой части последнего равенства достигается в точке х$ « 0,415 и приближенно равен 0,149, так что коэффгщиепт при —а2 приближенно равен 3,355. Доказательство. Рассмотрим вспомогательные статистики Несложные шлчисления показывают, что и, кроме того, Из теоремы 2.2 и лемм 2.9, 2.10 и 2.12 вытекают равенства при всех а кроме, может быть, a = min(l, 1/х) — е х, и при всех а кроме, может быть, а = е х. Заметим, что при любом х 0 и при а min(l, 1/х)-е х инфимум функции —аіі+ф+іц, А, я) достигается при ц — ii(a, х) и А = Х(а, х), удовлетворяющих условиям в то время как при а тїп(1,1/ж) — е х Аналогично, при любом х 0 и при а е х иифимум функции —afi+ip (fi, А, х) достигается при /м = /х(а, х) и А = А (а, ж), удовлетворяющих условиям Далее строим доказательство теоремы 2.3 в виде цепочки лемм 2.13 - 2.17. Лемма 2.13. Функция к(а), определенная выше, имеет при положительных а —У 0 асимптотику а\х) = е 2х{ ? х2- 1). Доказательство. Докажем, что функции fef(a) = supk+(a,x) и А_(а) = supk-(a,x) имеют в нуле асимптотику (2.2.9). Для оценки снизу заметим, что для любого ж О верно Подставив в последнее неравенство х = ж0 = argsnper2(:r) и воспользовавшись (формулой (2.2.4), по теореме 2.2 получим требуемое. Для доказательства противоположного неравенства возьмем для любого х О р,(а) = 2» Л(о,а:) = 1 + хе х и разложим ф± lfi(a),X(a,x),xj в ряд Тейлора по а в окрестности нуля. Имеем где С не зависит от х при малых о. Таким образом, верхняя и нижняя оценки асимптотически эквивалентны при малых а, что и доказывает лемму.
Вычисление и исследование функции уклонений
Вычислим эффективности всех изучаемых статистик для четырех стандартных семейств плотностей: плотность Макегама, плотность с линейной интенсивностью отказов (л.и.о.), плотность Вейбулла и гамма-нлотность, положительные при х 0 и равные 0 при х 0. Все эти плотности определены и имеют ВФИ при в 0, а плотность Макегама, плотность Вейбулла и гамма-плотность определены также при — 1 0 О и в этом случае имеют УФИ. При 6=0 каждая из этих плотностей совпадает со стандартной экспоненциальной плотностью. Рассматриваемые семейства считаются в литературе стандартными параметрическими альтернативами к гипотезе экспоненциалыюсти.
Комбинируя эти данные с результатами Главы 2 и раздела 3.2, можем вычислить ЛАЭ но Бахадуру по формуле (1.3.3). Для вычислений использовался пакет программ Mathematics 5. Из Таблицы 3.2 видно, что статистика Морана является ЛАО для гамма-альтернатив, статистика Джини - для альтернатив Макегама, а статистики Стивенса, Фортиана - Гране и Джексона локально асимптотически эквивалентны и ЛАО для альтернатив с лилейной интенсивностью отказов. Таким образом, подтверждается репутация статистики Морана как оптимального критерия против гамма-альтсриатив; в то же время и применение статистик, построенных из "эмпирических"соображений, для проверки экспоненциалыюсти против стандартных альтернатив можно считать оправданным. Статистики Лильефорса и Бариигхауза - Хенце не являются оптимальными для рассматриваемых альтернатив, но в некоторых случаях могут конкурировать с другими статистиками. Их эффективность довольно высока для статистик типа Колмогорова - Смирнова, в частности, существенно выше, чем эффективность статистики Ангуса [12], вычисленная в [47].
Замечание 3.4. Так как локальные эффективности статистик Гриивуда, Фортиапа - Гране и Джексона совпадают, для выбора одной из этих статистик необходимо более топкое исследование. АОЭ по Бахадуру обеих L-статистик совпадают в точности, так как совпадают функции уклонений « точные наклоны, но АОЭ статистики Гринвуда может от них отличаться. Для сравнения необходимо разлоснсепие АОЭ по в более высокого порядка, чем второй. Мы не будем проводить здесь эти вычисления, по заметим, что результаты Главы 2 в принципе позволяют это сделать.
Для каждой изучаемой статистики выясним условия локальной асимптотической оптимальности, т.е. опишем семейства альтернатив, для которых та или иная статистика является наилучшей в бахадуровском смысле. Примеры решения подобных задач для классических пепарамстрических критериев рассматривались, например, в [7], где для этой цели использовались вариационные методы. Однако для всех статистик, изучаемых в настоящей работе, удобнее использовать неравенство Коши - Буняковского, Выведем условия оптимальности в терминах h(x) - функций, введенных в 0 предыдущей главе. Будем предполагать, что h(x)ex - элемент гильбертова пространства функций, квадраты которых суммируемы с весом e z на полупрямой (0, +оо): Из неравенства Копій - Буияковского следует, что Єт ос = 1 тогда и только тогда, когда ho(x)cx = /?г0(х) при произвольном вещественном Д / 0. При этом состоятельность при малых 0 0 равносильна условию /? 0. Лемма 4.1. Статистика вида (1.2.4), определяемая функцией r(s), локально оптимальна для семейства альтернатив F(x, в) тогда и только тогда, когда соответствующая функция h(x) удовлетворяет условию h(x)ex = J3r(x) + j(x — 1) при произвольных вещественных /3 0 и 7
Вычисление точных наклонов
Лемма 4.3. Нормированная L-статистика, определяемая функцией w(x), локально асимптотически оптимальна по Бахадуру для семейства альтернатив F{x, в) тогда и только тогда, когда соответствующая функция h(x) удовлетворяет условию h(x)ex — /їро(1 — е- ) 4- 7(ж — 1) при произвольных вещественных /3 0 и 7 В частности, статистика Джини локально оптимальна для с произвольными вещественными 0 и 7 (односторонние варианты - соответственно, для Д 0 и /3 0), а статистики Фортиана - Гране и Джексона, как и статистика Гринвуда, - для где /3 0, а 7 _ произвольное вещественное число.
При подстановке н (4.4.4) значений /3 = 1 и 7 = — получим Л(ж) = (2 (1 — е х) — х) е"х, что соответствует, в частности, альтернативе Макегама. Еще один пример альтернативы с той же h(x) приведен в [65]. Смесь экспоненциальных распределений с плотностью f(x, в) = (1 — 0)е х + 29е 2х также удовлетворяет условию (4.4.4). При подстановке в (4.4.5) значений /3 = \ и 7 = 1 имеем h(x) = х— , Кроме плотности с линейной интенсивностью отказов, можно привести следующий пример плотности с такой h(x): Очевидно, семейства альтернатив неоднозначно восстанавливаются по k(x). Некоторые примеры семейств плотностей, отвечающих условиям лемм 4.1 - 4.3, можно сконструировать, пользуясь разложениями
В частности, с помощью первой из этих 4 ормул построены примеры раздела 4.3; по второй формуле имеем для h(x) = Inx+C следующее разложение логарифма плотности: In f(x, в) = — х+0 In х+М(6), что соответствует семейству гамма-плотностей; полагая остаточный член в третьей формуле равным нулю, для h(x) = х — TJ- получим семейство плотностей с линейной интенсивностью отказов.
Замечание 4.1. Заметим, что по h(x) однозначно восстанавливаются функции Го(х) it w{x), отвечающие условиям лемм 4.1 и 4.3, соответственно. Построим по ним статистики вида (1.2.4) и (1.2.5). Если для какой-либо из этих статистик выполнены условия теорем главы 2 о больших уклонениях, а также условия асимптотической нормальности при данной альтернативе, то такая статистика является ЛЛО по Бахадуру для данного семейства альтернатив. Так, для семейства альтернатив Макегама оптимальной является не только статистика Джини, но и статистика вида (1.2.4) с г(х) — е"х, построенная о [23] на основе эмпирической характеристической функции.
Результаты настоящей работы позволяют дать рекомендации по проверке экспоненциал ыюсти с помощью всех изучаемых статистик. В случае, когда нам неизвестен вид альтернативы, стоит воспользоваться одной из изученных нами статистик типа Колмогорова - Смирнова: статистики Лильефорса или статистики Барингхауза -Хенце. При этом статистика Барингхауза - Хенце в большинстве случаев предпочтительнее. Для рассмотренных альтернатив она обладает, как правило, чуть более высокой эффективностью, и при этом, в отличие от статистики Лильефорса, имеет стандартное предельное распределение. Впрочем, как видно из последней главы, существуют альтернативы, для которых и статистика Лильефорса локально оптимальна. К преимуществам этих двух сттистик можно отнести еще и то, что для их состоятельности не требуется существования математического ожидания наблюдений при альтернативе.
Если известно, что при альтернативе распределение наблюдений принадлежит классу ВФИ (УФИ), то можно применить один из критериев первой или третьей группы, для которого выполнены условия теорем 2.2 или 2.5. Если же альтернатива регулярна и известен ее вид, то статистика первой или третьей группы, построенная согласно замечанию 4.1, при выполнении ряда условий является ЛАО по Бахадуру. Таким образом, нами предложен способ построения локально оптимальных по Бахадуру критериев, имеющих довольно простой вид и асимптотически нормальных.
