Содержание к диссертации
Введение
1. Литературный обзор 11
1.1. Численные методы расчета газодинамических течений 17
1..2. Численные методы применительно к МГД-течениям 19
1.3. О возможности моделирования вихревых течений ..21
2. Вычислительная модель нестационарного неоднородного МГД- течения 23
2.1. Физическое описание модели и используемые допущения 24
2.2. Математическое описание модели 27
2.2.1. Газодинамическая часть 27
2.2.2. Радиационный теплообмен 30
2.2.3. Электромагнитные взаимодействия 31
2.3. Вычислительный алгоритм 35
2.3.1. Решение уравнений радиационного теплообмена 36
2.3.2. Численное решение уравнений токовой статики 39
2.3.3. Решение газодинамических уравнений 43
2.3.4. Реализация параллельных вычислений 46
2.4. Тестирование численных алгоритмов 48
2.4.1. Движение и отражение ударной волны от непроницаемой стенки 49
2.4.2. Перенос температурной неоднородности 50
2.4.3. Вынос ударной волны и температурной неоднородности за пределы расчетной области 51
2.4.4. Взаимодействие поршня с газом 53
2.4.5. Течение возле переднего уступа 55
2.4.6. Обтекание цилиндра 56
2.4.7. Решения уравнения переноса: сравнение модели объемного излучателя и многогруппового приближения 58
2.4.8. Эффект запирания излучения 61
2.4.9. Расчет распределения плотности токов 63
3. Моделирование МГД-течения в рельсовом ускорителе 65
3.1. Описание эксперимента 65
3.2. Постановка задачи 66
3.3. Используемые допущения при построении модели 67
3.4. Результаты численного моделирования :69
4. Двухмерное моделирование течения в канале МГД-генератора с Т- слоем 76
4.1. Постановка задачи 76
4.2. Используемые допущения при построении модели 77
4.3. Условия численных расчетов 79 .
4.3.1. Структура течения при различной степени МГД взаимодействия 80
4.3.2. Однородные начальные условия 88
4.4. Выводы 90
5. Моделирование процессов теплообмена в стенках канала 92
5.1. Распределение теплового потока на стенки канала 93
5.2. Тепловой режим стенок МГД-канала 96
5.3. Выводы 102
6. Трехмерное моделирование течения в канале МГД-генератора с Т-слоем 104
6.1. Условия моделирования 104
6.2. Результаты численных расчетов 105
6.2.1. Структура токового слоя при низком давлении 105
6.2.2. Структура токового слоя при высоком давлении 107
6.2.3. Энергетические характеристики процесса 110
6.3. Выводы 112
7. Вычислительное моделирование магнитогазо динамических процессов в тракте импульсной МГД-установки 114
7.1. Устройство установки 114
7.2. Структура течения в тракте установки 115
7.3. Динамика формирования Т-слоя в МГД-канале 118
7.4. Выводы 120
Заключение 122 -
Список литературы 125
- Численные методы применительно к МГД-течениям
- Вынос ударной волны и температурной неоднородности за пределы расчетной области
- Структура течения при различной степени МГД взаимодействия
- Структура токового слоя при высоком давлении
Введение к работе
Эффект самоподдерживающегося токового слоя (Т-слоя) в магнитогазо-динамических течениях (МГД-течениях) был открыт в конце 60-х годов. Т-слой позволяет повысить электропроводность локальных областей газового потока на несколько порядков путем термической ионизации. Это дает возможность значительно увеличивать степень взаимодействия газа с магнитным полем, при этом средняя температура потока остается значительно ниже температуры ионизации газа. В Новосибирске, а затем и в Красноярске были начаты исследования МГД-течений с Т-слоем. Проводились работы по возможности использования Т-слоев в работе МГД-генераторов, рассматривалась возможность МГД-управления газовым потоком в тракте гиперзвукового воздушно-реактивного двигателя (ГПВРД). Был выполнен большой объем теоретических и экспериментальных работ, показавших принципиальную возможность организации процесса преобразования энергии с помощью Т-слоя. При этом остался недостаточно исследованным ряд важнейших вопросов касающихся использования Т-слоя. Прежде всего, это влияние обтекания плазменного образования и неустойчивости Рэлей-Тейлора на динамику процесса. Исследование двухмерной структуры Т-слоя было описано в нескольких работах, при этом использовались существенные упрощения, и исследовалась только начальная стадия процесса. Трехмерная структура Т-слоя до настоящего времени не исследовалась.
Исследования МГД-течений с Т-слоями сопровождаются значительными трудностями. Сложность и нелинейность уравнений, описывающих процессы, протекающие в МГД-течениях, не позволяют получать аналитические решения. Быстротечность процесса, высокие температуры и давления, необходимость создания сильных магнитных полей, сложность измерения необходимых параметров делают проведение натурных экспериментов чрезвычайно трудной и дорогостоящей задачей. Поэтому эксперимент стал рассматриваться как завершающий этап в исследованиях процесса, а основные-усилия были направлены на использование вычислительного моделирования.
Метод математического моделирования дает возможность получения наиболее полных данных о структуре течения, но при его реализации применительно к задачам газовой динамики возникает ряд объективных трудностей. Для полноценного описания процесса необходимо одновременно учитывать несколько разнородных взаимосвязанных явлений: нестационарное газодинамическое течение, радиационный теплообмен, электромагнитное взаимодействие. Сильная неоднородность потока и наличие нелинейных слагаемых, учитывающих радиационный теплообмен и взаимодействие газа с электромагнитным полем, существенно усложняет решение уравнений газовой динамики. Большие градиенты физических параметров в потоке, вызванные ударными волнами, контактными разрывами, разрядными областями, предъявляют жесткие требования к используемым численным методам. Для описания взаимодействия газа с электромагнитным полем требуется определять распределение плотности тока в газе из решения уравнений Максвелла. Сильно неоднородное распределение электропроводности приводит к сложной картине распределения плотности тока. Для учета радиационного теплообмена необходимо решать уравнения переноса излучения. При этом сложная зависимость коэффициента поглощения от частоты усложняет задачу и требует привлечения значительных вычислительных ресурсов.
Из-за описанных сложностей до последнего времени вычислительное моделирование магнитогазодинамических течений с Т-слоями проводилось с использованием значительных упрощений. Применялась в основном одномерная постановка задачи, при этом Т-слой описывался как непроницаемый плазменный поршень. Радиационный теплообмен зачастую рассчитывался без учета поглощения излучения.
Стремительное увеличение производительности и возросшая доступность вычислительной техники способствовали развитию численных методов и усложнению применяемых моделей. Результаты двухмерного и трехмерного моделирования Т-слоя показывают, что процесс имеет существено неод--номерный характер. Токовый слой обтекается холодными потоками газа, возможно развитие неустойчивости Рэлей-Тейлора. Решение уравнений пе-
реноса излучения показало существенное влияние механизма поглощения излучения на процесс формирования и динамику Т-слоя. Полноценное решение уравнений Максвелла позволило описывать взаимодействие газа с магнитным полем без использования существенных упрощений.
В данной работе представлена математическая модель, вычислительный алгоритм и результаты моделирования процессов теплообмена в неоднородных нестационарных одномерных, двухмерных и трехмерных высокотемпературных течениях излучающего газа, взаимодействующих с внешним магнитным полем.
Целью настоящей диссертационной работы являлось создание нестационарной вычислительной модели, допускающей одно-, двух- и трехмерную постановку, для расчета неоднородных МГД-течений высокотемпературного газа и исследования процессов теплообмена и структуры течения в канале МГД-генератора с Т-слоем.
Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи:
Создание вычислительной модели, описывающей процессы теплообмена в нестационарных магнитогазодинамических течениях с Т-слоем и стенках канала. Апробация вычислительного алгоритма на тестовых задачах и экспериментальных данных, имеющихся для течения в режиме МГД-ускорителя.
Разработка средств визуализации параметров двух и трехмерных течений.
Создание пакета прикладных программ для расчета задач радиационной магнитной газовой динамики.
Проведение вычислительных экспериментов по расчету течения в режиме сверхзвукового МГД-генератора с Т-слоем для воздуха. Исследование проницаемости и устойчивости Т-слоя. Исследование взаимодействия Т-слоя с газовым потоком при различных параметрах течения-и различных режимах работы цепи нагрузки.
Исследование теплообмена в стенках МГД-канала для МГД-генератора при периодическом инициировании токовых слоев.
Моделирование МГД-течения в тракте экспериментальной импульсной МГД-установки УТ-2.
Диссертация состоит из введения, 7 глав и заключения.
В первой главе содержится литературный обзор исследований МГД-течений с Т-слоем. Отмечено, что из-за сложности проблемы в большинстве предшествующих работ было использовано множество упрощений и допущений в используемых моделях. Показано, что для полноценного описания явления необходимо использовать более сложные двухмерные и трехмерные модели. Приведен обзор численных методов для решения уравнений газовой динамики и магнитной газовой динамики.
Вторая глава посвящена построению нестационарной вычислительной модели неоднородного МГД-течения излучающего газа в канале. Описаны используемые приближения. Приведены основные уравнения и описание численного алгоритма решения с учетом различных вариантов постановки задачи (одномерная, двухмерная, трехмерная), различных моделей радиационного теплообмена (приближение тонкого излучающего слоя, решение уравнений переноса излучения), различных вариантов задания цепи нагрузки (заданный коэффициент нагрузки, заданное напряжение на электродах, заданное сопротивление нагрузки, заданный ток). Представлены результаты решения тестовых задач для газодинамической части модели, для уравнений электродинамики и уравнений переноса излучения.
В третьей главе приведены результаты численного моделирования течения в канале рельсового МГД-ускорителя. Проведено сравнение результатов численных расчетов с экспериментальными данными, показано их качественное соответствие.
Четвертая глава посвящена описанию результатов вычислительного двухмерного моделирования МГД-течения с Т-слоем в канале МГД-генератора. Приводятся результаты исследования двухмерной структуры Т-слоя. Проведен анализ режимов течения с различными степенями МГД-
взаимодействия. Показано, что Т-слой представляет собой неоднородное плазменное образование с постоянно изменяющимися размерами и формой. При этом вихревой характер течения и развитие неустойчивости Рэлей-Тейлора могут приводить к разделению Т-слоя на несколько частей.
В пятой главе приведены результаты численного моделирования теплового режима стенок канала МГД-генератора при периодическом инициировании Т-слоев. Получены распределения температур и значения величин градиентов в стенках канала.
Шестая глава посвящена описанию результатов численного исследования трехмерной структуры токового слоя. Исследована пространственная конфигурация плазменного образования для областей высокого и низкого давления. Получены оценки эффективности процесса МГД-преобразования энергии.
В седьмой главе описаны результаты численного моделирования течения в тракте экспериментальной МГД-установки. Расчеты позволили определить качественную картину и количественные характеристики течения, необходимые при интерпретации результатов экспериментов. Трехмерное моделирование показало, что Т-слой в МГД-канале обтекается холодными потоками газа. Вихревой характер течения приводит к постоянному изменению формы и размеров разряда около среднего значения. При этом развитие неустойчивости Релэй-Тейлора не наблюдалось: Т-слой существовал в виде единого плазменного образования.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.
Разработана комплексная вычислительная модель нестационарных неоднородных МГД-течений, включающая в себя три взаимосвязанных блока, отвечающих за расчет: газовой динамики, радиационного теплообмена и электромагнитных взаимодействий. Модель допускает одно-, двух- и трехмерную постановку задачи.
С помощью предложенной модели проведено вычислительное моделирование процесса формирования токового слоя и его взаимодействия с
газовым потоком при различных параметрах и при различных способах описания цепи нагрузки. Впервые получена трехмерная картина МГД-течения с Т-слоем. Выявлены основные физические механизмы влияющие на устойчивость Т-слоя и на эффективность МГД-взаимодействия.
На основе полученного распределения параметров газа в МГД-канале проведен расчет теплового режима стенок при периодическом инициировании токовых слоев. Определены величины тепловых потоков и температурных градиентов, возникающих в стенках канала.
Проведено трехмерное вычислительное моделирование течения с Т-слоем в тракте экспериментальной МГД-установки с учетом реальных свойств воздуха.
Практическая ценность работы состоит в следующем.
Работа проведена в рамках плана научно-исследовательской работы Института вычислительного моделирования, раздел 5 - «Аэрогазодинамика и тепломассообмен перспективных летательных аппаратов и двигателей», подраздел 5.1 — «Управление до-, сверх- и гиперзвуковыми внешними и внутренними течениями путем силового и энергетического воздействия».
Предложенная вычислительная модель может быть использована для численного моделирования неоднородных нестационарных высокотемпературных газовых течений, взаимодействующих с магнитным полем в трактах энергетических и энергодвигательных установок. Выявленные особенности течения с Т-слоем в МГД-канале при различных параметрах могут быть учтены при проектировании и разработке МГД-устройств, содержащих высокоточные разряды. Проведенные численные расчеты параметров течения в тракте экспериментальной импульсной МГД-установки УТ-2, позволили оп-ределить качественную картину и количественные характеристики процесса, результаты моделирование могут быть использованы для планирования натурных экспериментов и при интерпретации результатов измерений.
В диссертации защищаются следующие положения.
Вычислительная модель радиационно-конвективного теплообмена в нестационарном неоднородном МГД-течении в одно-, двух- и трехмерной постановках.
Результаты численных экспериментов течения в режимах МГД-ускорителя.
Результаты исследования процесса формирования Т-слоя в канале МГД-генератора и его дальнейшего взаимодействия с потоком.
Результаты исследования тепловых режимов стенок канала МГД-генератора.
Результаты численных расчетов параметров течения в тракте экспериментальной МГД-установки.
Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Девятая всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых (Красноярск, 2003); Конференция молодых ученых PffiM СО РАН (Красноярск, 2003, 2004, 2005 гг.); Конференция молодых ученых Красноярского научного центра СО РАН (Красноярск, 2003, 2004, 2005 гг.); IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003); Всероссийская научная конференция «Наука Технологии Инновации» (Новосибирск, 2003); Научная конференция студентов и молодых ученых - физиков (Красноярск, 2004); V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2004); Международная конференция посвященная 105-летию со дня рождения академика Лаврентьева по математике, механике и физике (Новосибирск, 2005).
По результатам исследования опубликовано 14 работ, из них 5 в центральной печати, основные результаты опубликованы в центральной печати: 1. Васильев Е.Н., Нестеров Д. А. Моделирование процессов теплообмена в
канале МГД-генератора с Т-слоем // Теплофизика и аэромеханика. -
2005. - Т. 12. - №2. - С. 295-304.
Васильев Е.Н., Нестеров Д.А. Влияние радиационно-конвективного теплообмена на формирование токового слоя // Теплофизика высоких температур. - 2005. - Т. 43. - №3. - С. 401-407.
Васильев Е.Н., Нестеров Д.А. Нестационарная трехмерная вычислительная модель радиационно-конвективного теплообмена в неоднородном потоке электропроводного газа // Вестник Красноярского государственного университета, физико-математические науки. — 2004. — №5. — С. 103-111.
Нестеров Д.А. Расчет электродинамических параметров в неоднородных магнитогазодинамических течениях // Вестник Красноярского государственного университета, физико-математические науки. — 2005. — №1.-С. 50-57.
Васильев Е.Н., Нестеров Д.А. Численное моделирование радиационно-конвективного теплообмена для МГД-течения с Т-слоем // Красноярск: ИВМ СО РАН. - 2004. - 33 с. (Деп. ВИНИТИ 09.03.04.- № 399-В2004)..
Автор выражает глубокую признательность член-корр. РАН В.В. Шайдурову за научное руководство, к.ф-м.н. В.А. Деревянко и к.ф-м.н. В.В. Деревянко за консультации. Особую благодарность автор выражает к.ф-м.н. Е.Н. Васильеву помощь в работе и плодотворное обсуждение результатов.
Численные методы применительно к МГД-течениям
Вычислительные методы для решения уравнений газовой динамики активно исследуются и развиваются на протяжении последних десятилетий. Использование методов высокого порядка позволяет получать нестационарные разрывные решения, содержащие ударные волны, контактные разрывы и т.п. Ниже приводится краткий обзор и сравнение численных методов решения нестационарных уравнений газовой динамики.
Одними из первых предложенных методов численного решения уравнений газовой динамики были методы первого порядка точности. Типичным представителем является метод Лакса [24]. Замена производных в исходном дифференциальном уравнении центральными разностями приводит к простейшей разностной схеме первого порядка, обладающей диссипативными свойствами, приводящими к сильному размазыванию разрывов в решении. Другим представителем является метод Годунова [25]. Основная идея метода состоит в использовании известных точных решений модельных задач для оценки потоков в уравнениях движения. На данный момент такие схемы почти не используются, поскольку имеют первый порядок точности и обладают сильными диссипативными свойствами. Однако идеи, положенные в их основу, получили активное развитие в дальнейших исследованиях и послужили базой для создания более совершенных методов.
Методы второго порядка точности, такие как метод Лакса-Вендрофа [26], метод Мак-Кормака [27] и др., позволяют получать более точные решения, однако дисперсионные свойства таких схем приводят к появлению нефизических осцилляции в решении вблизи разрывов. Для подавления такой дисперсионной ряби было предложено использовать в разностных схемах дополнительные диссипативные слагаемые - искусственную вязкость. Она подбирается достаточно большой в областях разрывов в решении, чтобы уменьшить осцилляции, и малой вне их для сохранения точности высокого порядка. Введение искусственной вязкости эффективно подавляет ложные осцилляции, однако разрывы в решении размазываются на большое число узлов. Еще одним недостатком этого подхода является сложность локального подбора параметра, контролирующего искусственную вязкость.
В 1973 г. Борисом и Буком был предложен метод, который позволяет получать решения выше первого порядка точности (на разрывах порядок точности снижается), с крутыми скачками без нефизических осцилляции — метод коррекции потоков - Flux-corrected transport (FCT) [28]. Методы FCT можно рассматривать как обобщение простых схем предиктор — корректор, например, схемы Мак-Кормака. На шаге предиктор вносится сильная диффузия, а на шаге корректор — антидиффузия. Однако антидиффузия ограничена так, что в решении не возникает новых максимумов и минимумов, а имеющиеся экстремумы не усиливаются. Диффузия, введенная на шаге предиктор, позволяет уничтожить дисперсионную рябь. Существуют различные модификации метода FCT, например, описанные в [29] или [30]; отличие заключается в выражениях, описывающих диффузионные и антидиффузионные потоки. Залесак в работе [31] предложил иную интерпретацию метода, позво ляющую конструировать двухшаговый алгоритм произвольной точности, а также обобщать его на многомерный случай. Преимуществами методов FCT является их простота и экономичность. Алгоритмы, основанные на методах FCT, без особых проблем можно обобщить на уравнения магнитной газовой динамики.
В 1983 г. было сформулировано условие уменьшения полной вариации — Total Variation Diminishing (TVD) [32]. Схемы, удовлетворяющие условию TVD, не приводят к образованию нефизических осцилляции, и с помощью этих схем в областях гладкого изменения решения может быть получен второй и более порядок точности. В работах [33], [34] можно найти подробное описание множества схем, удовлетворяющих условию TVD. Некоторые схемы можно рассматривать как обобщение FCT подхода.
В 1987 г. Хартеном, Енквистом, Ошером и Чакраварти были предложены ENO схемы (Essentially Non-Oscillatory, т.е. без существенных осцилляции) [35]. Эти схемы удовлетворяют условию TVD и имеют высокий порядок точности вплоть до разрывов в решении. Основная идея таких схем заключается в расчете значений численных потоков на границах ячеек (шаг реконструкции) на основе интерполяции по значениям в ячейках (или по усредненным по ячейке для метода конечных объемов), и в дальнейшем, решении задачи Римана (шаг эволюции). Интерполяции с заданной точностью проводятся с использованием нескольких ближайших ячеек, причем выбор локального шаблона для интерполяции осуществляется согласно некоторому критерию гладкости получаемого решения. Позже был предложен подход WENO (Weighted ENO), который позволяет улучшить подход ENO и является его обобщением [36]. Основная идея — следующая: вместо использования только одного из потенциальных шаблонов для реконструкции использовать положительную комбинацию нескольких шаблонов. Настоящий уровень развития и приложения ENO и WENO схем подробно описаны в книге [37]. Существует очень немного теоретических результатов относительно ENO и WENO схем. Однако, исходя из многочисленных расчетов, эти схемы показывают себя как надежные и устойчивые.
Обобщение имеющихся методов газовой динамики на более сложные процессы магнитной газовой динамики зачастую вызывает трудности. Учет таких явлений как взаимодействия газа с магнитным полем и радиационного теплообмена требует добавления дополнительных сильно нелинейных слагаемых и значительно усложняет систему уравнений. Например, реализация большинства TVD схем для системы дифференциальных уравнений базируется на приведении её к характеристическому виду. Такие схемы позволяют наилучшим образом получать крутые профили скачков и правильную скорость их распространения, однако их реализация требует использования Ри-мановых решений, соответствующих используемой системе уравнений. Поиск таких решений и приведение системы к характеристическому виду является непростой громоздкой задачей особенно в случае с уравнениями магнитной газовой динамики. Кроме того, использование алгоритмов на основе данного подхода требует значительных вычислительных ресурсов.
Вынос ударной волны и температурной неоднородности за пределы расчетной области
В случае использования алгебраической модели (двухмерная постановка задачи) электромагнитные взаимодействия рассчитываются непосредственно по формулам (14) либо (16)-(19).
При использовании трехмерной постановки задачи для решения электродинамического уравнения (26) использован метод установления, когда из соответствующего нестационарного уравнения находится решение, сходящееся к стационарному состоянию. Для численного решения уравнения (34) используется экономичная схема расщепления по пространственным направлениям [50] с применением неявной разностной схемы. В качестве начального условия для уравнения (34) используется установившееся распределение потенциала на предыдущем временном шаге газодинамической задачи, а в начале моделирования задается равномерное распределение потенциала между электродами где Н — расстояние между электродами, фі и ф2 — значения потенциала на электродах. Для магнитогазодинамических течений с Т-слоями характерны, резкие градиенты температуры, давления, скорости, при этом величины а и Eext могут отличаться в соседних точках на порядки. Как показывает опыт, в таких условиях использование значений а и Eext в «полуцелых» точках сетки, или применение центральных разностей приводит к значительному искажению получаемых величин токов в точках, близких к градиентам параметров газа. И как следствие, ошибочно определяются силы, действующие на газ и величина джоулевой диссипации. Это может приводить к сильному «нефизическому» нагреву отдельных точек и «развалу» численного решения. Наиболее корректное численное решение уравнения (34) получено при использовании неявных локально-одномерных схем следующего вида: где ф и ф - распределение потенциала до и после действия разностной схемы соответственно. В выражениях (35) — (36) для краткости записи индексы/ и к опущены. Разностные аппроксимации, записанные для всех /, совместно с граничными условиями образуют систему алгебраических уравнений, которую решают методом прогонки. Обозначим процедуру определения ф для оси х для всех j и к по соотношениям (35) — как If , по соотношениям (36), как Lf , а по осям у и z - соответственно, If , Le . Выполнение шага тп происходит при последовательном выполнении процедур по отдельным направлениям: фЛ+1 = If lfylf q ". В ходе расчета используется одна из 8 возможных комбинаций If If If , Ifx+If If , If If If и т.д. При этом для достижения симметрии на разных временных шагах используются разные комбинации. Напряженность электрического поля определяется следующим образом. Если в направлении оси х использовался разностный оператор If , то (Е \ =(ф,у _ФЫ,/, ) а если использовался оператор If , то (" Y = (ф;+1 Jk (?ijkyK- Аналогично находятся компоненты векторов Еех и Ее для направлений и z соответственно. Сходимость решения электродинамической задачи существенно зависит от выбора шага хп. Наиболее быстро решение сходится при использовании переменного шага, когда после каждой итерации т меняется по закону тп+1 = тп/а. Таким образом, скорость сходимости и точность решения определяют три параметра: начальное значение шага х, конечное значения шага т1 и скорость его изменения а. Начальное значение шага должно быть достаточно велико, а коэффициент а мал, чтобы схема была способна перестроить имеющееся начальное распределение потенциала до распределения, являющегося решением. Конечное значение х1 определяется заданной величиной допустимой погрешности численного решения. Для выбора оптимальных значений параметров проводились тестовые расчеты. Использовалось характерное распределение газодинамических параметров в канале при моделировании течения с токовым слоем. Нахождение распределения потенциала повторялось при разных значениях параметров и сравнивалось с точным решением. Точное решение получено при большом начальном и малом конечном значении шага х и очень малой скорости изменения а. Наиболее эффективными были выбраны следующие параметры: начальное значение параметра итерации х равно 1, скорость изменения а равна 1.1, итерации прекращаются, когда хп становится меньше 10"10. При этом максимальное отклонение численного значения суммарного тока от точного значения в сечении, перпендикулярном оси z, не превышало 6%, а количество итераций, необходимых для получения решения, составляло 242.
При моделировании нестационарной газодинамической задачи изменение распределения физических параметров за один шаг по времени мало. Поэтому расчет распределения плотности тока на каждом шаге по времени можно ускорить, если в качестве начального поля потенциала использовать распределение, полученное на предыдущем временном шаге. Это дает возможность значительно уменьшить начальное значение параметра итерации х. Оно может быть снижено до 10". При этом количество итераций для получения решения равно 97, а максимальное отклонение численного значения суммарного тока от точного значения в сечении, перпендикулярном оси z, составляло не более 5.5%.
В процессе моделирования нестационарного газодинамического течения на каждом временном шаге проводился контроль сходимости решения электродинамической задачи по отклонению суммарного тока от среднего значения в плоскостях параллельных электродам. При описанных граничных условиях в любом сечении в плоскости, перпендикулярной оси z, суммарный ток должен быть в пределах заданной погрешности. По величине отклонения суммарного тока в разных сечениях от среднего значения проводится коррекция величин а и т в процессе расчета, что позволяет наиболее оптимально использовать вычислительные ресурсы.
Структура течения при различной степени МГД взаимодействия
Проникновение холодного газа в плазменную область отделяет от разряда части различного размера. Периодическое развитие неустойчивости приводит к образованию нескольких разрядных областей, которые в результате взаимодействия с магнитным полем и холодным газом формируют вихревую структуру течения (рис. 22).
Эволюция каждой из разделившихся разрядных областей определяется энергетическим балансом и, прежде всего, излучением, поскольку величина радиационных энергопотерь сильно зависит от параметров разряда, в частности, увеличение давления и уменьшение поперечных размеров приводит к повышению энергопотерь. Величина джоулевой диссипации меняется в меньшей степени из-за слабой зависимости электропроводности от давления (при Г«104К) и однородности распределения потенциала на сплошных электродах. В данном режиме пока головная часть разряда (лидер) сохраняла большие размеры, подводимой энергии было достаточно для ее поддержания в электропроводном состоянии, а отставшие более мелкие разрядные области постепенно остывали. К моменту времени t = 0.7 мс после отрыва ряда небольших кусков очередная развившаяся неустойчивость разделила лидер на две части, близкие по площади поперечного сечения (рис. 21 в). Сочетание высокого давления и относительно малых размеров привело к остыванию обеих разделенных частей, в результате чего увеличилось суммарное электрическое сопротивление газа в канале, разность потенциалов на межэлектродном промежутке и плотность тока в других разрядных областях. Перераспределение тока обеспечило разогрев и увеличение размеров ближайшей к торцу канала разрядной области, находящейся в зоне наибольшего разрежения и имеющей наименьшие радиационные энергопотери. Эта область начала увеличиваться в размерах и ускоряться (рис. 21 г), но в отличие от прежнего лидера, она двигалась по возмущенному газу, поэтому из-за взаимодействия с вихрями ее поступательное движение сопровождалось хаотическими перемещениями в поперечном направлении. Поэтому на выходе из канала разряд имеет «размытую» структуру (рис. 21 д) с максимальным значением температуры Т 1.2-104 К .
По результатам расчета следует отметить, что при симметричных начальных и граничных условиях течение не имело заметных отклонений от осевой симметрии до момента времени ґ 0.1 мс, далее малые возмущения величин, вызванные ошибками округления и аппроксимации, нарастают и приводят к нарушению симметрии в распределении физических параметров.
Для исследования влияния начальных условий на динамику течения был проведен вычислительный эксперимент с теми же параметрами процесса, только положение начальной электропроводной области было смещено от центральной оси канала на один расчетный интервал (3 мм). До момента времени / = 0.6 мс этот процесс был близок по характеру к предыдущему. Далее в первом режиме произошел распад лидера на две части, и характер течения кардинально изменился. Во втором случае на протяжении всего процесса развитие гидродинамической неустойчивости приводило к отрыву от разрядной области сравнительно небольших частей, которые отставали от лидера и постепенно остывали, при этом головная часть разряда достаточно стабильно существовала без значительных изменений формы и размеров, а ее структура была подобна конфигурациям, изображенных на рис. 21би21г. В рассмотренных выше режимах мощности джоулевой диссипации было достаточно для устойчивого существования только одной разрядной области.
Изменение параметров процесса в рельсовом ускорителе влияет как на средние характеристики, так и на картину течения в целом. Увеличение силы тока 1=20 кА и индукции внешнего магнитного поля В = 0.6 Тл (р0 = 80 кПа) также повышает нерегулярность структуры разряда в канале рельсового ускорителя. Усилившееся силовое взаимодействие вызывает отрыв большего количества частей от основной разрядной области, при этом возросшая мощность джоулевой диссипации обеспечивает возможность одновременного существования нескольких разрядных областей с высокой температурой (рис. 23), которые рассредоточены по всей длине канала. При этом в данном режиме наибольшее поперечное сечение сохранял головной разряд.
Вычислительное моделирование теплообмена в канале рельсового ускорителя показало, что для процесса характерна существенная нестационарность и нерегулярность течения. Причем динамика формирования структуры разряда в двумерной постановке имеет качественно иной характер по сравнению с процессом, смоделированным в одномерном приближении, когда структура разряда по мере установления энергетического и силового баланса асимптотически стремится к стабилизированному состоянию, которое практически не зависит от размера начального возмущения, а полностью определяется исходными параметрами течения [12]. Качественное отличие в характере процессов обусловлено ограниченностью одномерной модели в рамках которой невозможно описание процессов обтекания и гидродинамической неустойчивости.
В рассмотренных режимах формировались разрядные области, которые были как в виде одного локального образования, так и нескольких токопро-водящих каналов, причем переход одной формы в другую может осуществляться даже в течение одного процесса. Такая динамика в канале рельсового ускорителя обусловлена гидродинамической неустойчивостью типа Рэлей-Тейлора, развивающейся на границе раздела областей газа с различной плотностью под действием объемной силы. Развитие неустойчивости происходит в существенно нестационарных условиях, вихревое вращение газа в плазменной области, как правило, перемещает зону неустойчивости на край разряда, по этой причине при моделировании разрыв разряда в центре наблюдался достаточно редко, а размер отделившихся частей варьировался в достаточно широких пределах. Течение в канале ускорителя является неустойчивым в том смысле, что малые изменения в исходных параметрах или начальных условий могут приводить к существенным изменениям в динамике процесса. Полученная с помощью вычислительной модели динамика процессов отражает основные закономерности формирования разряда в канале рельсового ускорителя, выявленные в эксперименте.
Структура токового слоя при высоком давлении
При слабой величине МГД-взаимодействия (К = 0.9) горячая область, двигаясь почти со скоростью потока, слабо взаимодействует с магнитным полем; джоулева диссипация не компенсирует радиационные энергопотери, что приводит к ее быстрому остыванию. Таким образом, в режиме слабого МГД-взаимодействия формирование Т-слоя не происходит. ний. На рисунках показана область разряда и ее окрестность без конкретной привязки к текущему положению в канале по координате х.
На начальной стадии процесса высокотемпературная электропроводящая область, вследствие силового взаимодействия с магнитным полем и установления баланса джоулевой диссипации и излучения, принимает характерную форму, вытягиваясь поперек канала и частично перекрывая его (рис. 25 а). При этом течение имеет нестационарный характер, его характеристики менялись в следующем диапазоне: скорость движения токовой области 1100-1300 м/с, давление непосредственно перед токовым слоем 2-Ю5 — 3-Ю5 Па, температура плазменной области 12000 --13000 К.
Помимо излучения на процесс формирования Т-слоя также оказывает влияние механизм конвективного теплообмена. На границах Т-слоя газ, имеющий меньшую температуру, электропроводность и величину объемной силы, постоянно сносится вниз по течению обтекающим потоком, при этом формируется тепловой след ниже по течению (рис. 25 а, 25 б).
В результате силового взаимодействия от Т-слоя вверх по потоку отходит ударная волна, вниз - волна разрежения. На левую границу Т-слоя действует сила газодинамического давления со стороны набегающего потока неэлектропроводного газа, имеющего существенно большую плотность, чем газ в области Т-слоя (соотношение плотностей порядка 50). Сочетание этих факторов является условием для развития гидродинамической неустойчивости типа Рэлей-Тейлора, которая проявляется в том, что плотный газ вклинивается в область более легкого газа, разделяя ее на части. На рис. 25 а видна начальная стадия развития этой неустойчивости, проявляющая в волнообразной форме левой границы Т-слоя. Более благоприятные условия для развития неустойчивости возникают на краях токового слоя, где выше скорость потока, меньше значение электропроводности и толщины разрядной области. Именно здесь этот процесс приводит к отрыву небольших кусков от Т-слоя (рис. 25 б, 25 в), радиационные потери в которых сравнительно высоки из-за их малых поперечных размеров. Эволюция этих частей зависит от наличия достаточной мощности джо-улевой диссипации для компенсации радиационных и конвективных энергопотерь. В данном режиме джоулевой диссипации недостаточно для поддержания высокой температуры в оторвавшихся частях Т-слоя, и они остывают. В самом Т-слое также недостаточно энергии для прогрева дополнительной массы электропроводного газа и восстановления объема до первоначального состояния, поэтому с отрывом частей он постоянно уменьшается в размерах и в итоге остывает полностью до неэлектропроводного состояния (рис. 25 г). При моделировании в одномерной постановке процесса с такими же параметрами Т-слой стабильно существует в течение неограниченного времени.
Распределение температуры в разные моменты времени для режима с коэффициентом нагрузки 0.6 приведено на рис. 26. Сформировавшийся в начальный момент времени токовый слой имеет большие размеры по сравнению с предыдущим случаем (рис. 26 а). Температура электропроводной области в максимуме составляет 13000- 14000 К. Давление перед Т-слоем изменяется в диапазоне 2.5-105 —4-10 Па. Скорость движения плазменной области лежит в пределах 850 — 1100 м/с.
Уменьшение коэффициента нагрузки до 0.6 привело к усилению МГД-взаимодействия и увеличению мощности джоулевой диссипации. В этом режиме также действуют механизмы радиационно-конвективного теплообмена, и наблюдается отрыв частей Т-слоя за счет развития гидродинамической неустойчивости, но при этом размеры и температура токового слоя в среднем остаются стабильными, поскольку газ, обтекающий Т-слой, успевает прогреваться за счет переноса энергии излучением от горячей области (рис. 26 а). Увеличение степени взаимодействия электропроводного газа с магнитным полем повлияло на эволюцию частей Т-слоя, оторвавшихся в результате развития гидродинамической неустойчивости. Эти плазменные области сносятся потоком вниз по течению, в область волны разрежения, где давление и уровень лучистых энергопотерь существенно ниже. В момент времени t = 0.6 мс одна из отделившихся разрядных областей начинает разогреваться, увеличиваясь в размерах (рис. 26 б). Из-за усиливающегося МГД взаимодействия эта область, которую в этот момент времени развитие очередной неустойчивости практически разделило на две части (рис. 26 в), приближается к основному токовому слою. Обтекание потоком основного разряда и его отсоединившихся частей приводит к формированию вихревой, нерегулярной структуры течения, а взаимодействие трех областей между собой и газовым потоком является причиной нарушения стабильности режима течения. При этом в течение 0.2-0.3 мс происходит хаотическое изменение формы плазменного образования, сочетающееся с пульсирующими перемещениями в поперечном направлении, Далее процесс в МГД-канале стабилизируется и Т-слой снова принимает характерную форму (рис. 26 г). Однако к этому моменту времени t — 1.2 мс на левой границе токового слоя начинают зарождаться две новые гидродинамические неустойчивости, а в волне разрежения уже произошел «подхват» отделившейся ранее разрядной области. Эти факторы обуславливают повторение в дальнейшем периода нестабильности течения.
