Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая работа посвящена исследованию математических моделей, которые описываются нелинейными системами дифференциальных уравнений с управляющим параметром Задачей исследования является определение условий, при которых рассматриваемые математические модели являются локально управляемыми
В последние десятилетия все сильнее ощущается потребность более детального изучения разнообразных процессов и явлений, что связано, в частности, с ограниченностью природных ресурсов, а прогресс в области вычислительной техники открывает принципиально новые возможности моделирования и проектирования сложных систем с выбором оптимальных параметров технологических процессов
Особый интерес и актуальность представляет проблема разработки методов исследования и расчета математических моделей сложных процессов, динамика которых описывается нелинейными системами дифференциальных уравнений Не ослабевает интерес и к задаче перевода объекта из начального состояния в заранее заданное при условии, что система линейного приближения не обладает свойством полной управляемости Примером такого типа задач могут служить. задача организации рекламной деятельности туристической фирмы, задача управления двигателем постоянного тока, задача управления системой «тележка - маятник».
Значительный вклад в развитие математической теории управления внесли Калман Р Е , Понтрягин Л С . Болтянский В Г , Красовский Н Н, Зубов В И, Ли Э Б , Маркус Л , Алексеев В М, Тихомиров В М На создание математических основ решения задачи об управляемости систем существенное влияние оказали работы Арутюнова А.В, Воскресенского Е В, Мастеркова Ю В , Тонкова Е Л и многих других математиков
Обилие приложений способствовало увеличению интереса к теории управления процессами. Несмотря на то, что изучению задачи управления посвящено большое количество работ, многообразие конкретных систем и значительная сложность проблемы вызывают необходимость поиска новых методов решения задач управления Так, наименее изученной остается задача управления для нелинейных систем Следовательно, задача поиска условий, при которых математические модели, описываемые нелинейными системами дифференциальных уравнений, могут быть переведены в заранее заданное состояние, является актуальной
Цель работы состоит в определении условий локальной управляемости математических моделей, описываемых нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений
x = f(t,x,u), (0 1)
где fit, х, и)~п - мерная вектор - функция, х є R" - фазовая переменная, ueRm -управление, т < п
Методика исследования Допустимые управления отыскиваются в виде вектор - функции, зависящей от фазовой переменной Поставленная задача сводится к поиску условий существования решения нелинейного операторного уравнения относительно постоянного вектора. Доказательство теорем об условиях существования управлений, удовлетворяющих задаче локальной управляемости системы (0 1), проводится методом неподвижной точки нелинейного оператора
Научная новизна. Исследуется нелинейная система дифференциальных уравнений самого общего вида В формулировках теорем, определяющих достаточные условия локальной управляемости, отсутствуют предположения о полной управляемости системы линейного приближения В диссертации получены новые достаточные условия локальной управляемости математических моделей, допустимые управления - измеримые функции, предложены алгоритмы исследования задачи локальной управляемости для системы (0 1) в критических случаях
Практическая ценность работы. Полученные в работе результаты представляют собой развитие методов математической теории управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений Доказанные теоремы имеют прикладное значение и могут быть использованы при исследовании конкретных систем дифференциальных уравнений с управляющим параметром, являющихся моделями реальных процессов, протекающих в природе и социуме
На защиту выносятся следующие положения:
Достаточные условия локальной управляемости системы (0 1), установленные без использования фундаментальной матрицы решений соответствующей линейной системы, допустимые управления - измеримые функции
Достаточные условия локальной управляемости системы (0 1), полученные с помощью фундаментальной матрицы решений соответствующей линейной системы, допустимые управления - измеримые функции
Алгоритм исследования задачи локальной управляемости системы (0 1) в критических случаях, с привлечением свойств нелинейных по управлению и фазовым переменным членов системы (0 1)
, Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном университете имени С А. Есенина, а также на следующих конференциях
1 IV Молодежная научная школа - конференция "Лобачевские чтения -2005" (г Казань, декабрь 2005 года),
XIII Международная конференция "Математика Компьютер Образование" (г Дубна, январь 2006 года),
XI Всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанском государственном радиотехническом университете (апрель 2006 года),
4 Научная конференция "Герценовские чтения - 2006" (г Санкт-
Петербург, апрель, 2006 года),
VII Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Саранск, май 2006 года),
Всероссийская конференция по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям в Рязанском государственном университете (октябрь 2006 года),
Международная научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики" (г Тула, ноябрь 2006 года),
8. Семинар Средневолжского математического общества, научный руководитель - профессор Е В Воскресенский (г Саранск, март 2007 года),
9 Третья Международная научная школа « Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ »(г Саранск, июль 2007 года)
Публикации. Основные результаты диссертации отражены в тринадцати работах, список которых приведен в конце автореферата
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения, приложений и библиографического списка литературы, включающего 121 наименование Общий объем диссертации-120 страниц машинописного текста
