Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор исследований 12
1.1. Численные методы решения задач динамики заряженных частиц 12
1.2. Обзор кодов для моделирования эффектов встречи 21
2. Постановка задачи 29
2.1. Основные уравнения модели 29
2.2. Характерные величины и безразмерные переменные 32
2.3. Начальные и граничные условия 34
3. Описание алгоритмов 39
3.1. Общая схема метода 39
3.2. Схема для вычисления токов 43
3.3. Алгоритмы расчета электромагнитных полей 46
3.5. Вычисление энергии, светимости и параметра разрушения 63
4. Результаты численных экспериментов 67
4.1. Движение заряженной частицы в постоянных полях 67
4.2. Исследование алгоритмов расчета начальных и граничных условий 72
4.3. Динамика веера частиц в поле встречного пучка 90
4.4. Динамика двух встречных пучков 108
4.5. Распараллеливание алгоритма 118
Заключение 122
Литература 123
- Обзор кодов для моделирования эффектов встречи
- Характерные величины и безразмерные переменные
- Алгоритмы расчета электромагнитных полей
- Исследование алгоритмов расчета начальных и граничных условий
Введение к работе
Актуальность работы. Современное состояние фундаментальной физики и ее успехи неразрывно связаны с работой ускорителей заряженных частиц. Ввиду большой стоимости и сложности ускорителей, очень важно уже на этапе проектирования этих установок проводить численное моделирование и оптимизацию их параметров, имея в арсенале надежные теоретические и экспериментальные данные. Одно из направлений такой деятельности связано с развитием новых физических и технических идей с целью увеличить светимость, которая является главным показателем эффективности коллайдера - ускорителя для экспериментов по физике высоких энергий на встречных пучках.
В настоящее время разрабатывается проект линейного суперколлайдера (ILC) с энергией встречных электронных и позитронных пучков в системе центра масс до 2x500 ГэВ для поиска хиггсовских бозонов. Предложены и рассматриваются варианты проекта Super B-Factory, асимметричного циклического электрон-позитронного коллайдера с энергиями встречных пучков 4x7 ГэВ, для изучения новой физики b-кварков. Важной проблемой указанных проектов являются эффекты встречи при очень высокой плотности частиц в сгустках из-за их предельно малых размеров, необходимых для получения высокой светимости. Плотность пучков в линейном суперколлайдере может быть близкой к критической, при которой происходит сильное разрушение в месте встречи. Картина взаимодействия осложняется наличием сравнительно большого угла пересечения пучков, а также эффектом дополнительной нелинейной фокусировки, как в новейшем предложении для схемы встречи в циклическом коллайдере Super B-Factory. Наиболее полно такая задача может быть решена методами математического моделирования, учитывающими трехмерный характер взаимодействия. Но прежде требуется развить алгоритмы расчета динамики миллиарда и более заряженных макрочастиц в самосогласованном электромагнитном поле, а затем разработать и отладить соответствующие коды для параллельных вычислений на Супер-ЭВМ.
В настоящее время в соответствии с имеющимися техническими характеристиками обычных ЭВМ наиболее развитый подход к решению задач о встрече сгустков частиц с такими параметрами основан на разделении пучков вдоль оси коллективного движения на тонкие слои частиц ("слайсы"), взаимодействие которых происходит при совпадении продольных координат, при этом частицы одного слоя через поле сил влияют на динамику частиц
другого слоя (см., например, 1). Однако, сведение полностью трехмерной задачи к двумерной, в которой продольное движение моделируется путем перестановки слоев, затрудняет наиболее полный учет продольных эффектов. Например, в случае линейных пучков со сверхвысокими плотностями за очень короткий промежуток времени становится возможным многократное сильное сжатие сгустка вдоль его длины в поле встречного пучка с противоположным знаком заряда, а также его разрушение.
С точки зрения математического моделирования задачи с большими значениями релятивистского фактора (у > 103) имеют существенное отличие от задач с малыми значениями (например, у ~ 5). Известно, что при движении заряженной частицы ее поле в лабораторной системе координат вытягивается в у раз поперек оси движения и сокращается в у2 раз вдоль этой оси, так, например, при значениях релятивистского фактора у ~ 103 отношение поперечных размеров к продольному, на которых поля близки по абсолютной величине, составляет ~109. Использование таких традиционных путей решения, как измельчение сетки в продольном направлении и увеличение области в поперечном, становится попросту невозможным - катастрофически увеличиваются требования к ресурсам ЭВМ. Именно неприемлемость стандартных методов в имеющихся технических условиях вынуждает развивать новые взгляды, создавать специальные модели и высокоэффективные методы исследования динамики пучков заряженных частиц.
Строгий анализ эффектов встречи с целью оптимизации параметров пучка, особенно в критических режимах, возможен в подходе, использующем полностью трехмерный метод частиц-в-ячейках. Этот метод, как наиболее близко отвечающий физической формулировке задачи, необходим для проверки уже существующих кодов с присущими им ограничениями "слайсовой" модели. С развитием этого метода для параллельных вычислений на суперкомпьютерах станут возможными расчеты эффектов встречи по большому числу оборотов в циклических коллайдерах.
В диссертационной работе предложен новый PIC-алгоритм для численного моделирования динамики встречных ультрарелятивистских пучков. В основе метода лежат два допущения, связанных с проблемой начальных и граничных условий для таких задач. Первое из них заключается в том, что расчетная область находится в ближней зоне, где запаздывание потенциала еще не играет существенной роли. Вторым допущением является представление пучка не в качестве набора отдельных частиц, а в виде
1 Yokoya К. Computer Simulation Code for the Beam-Beam Interaction in Linear Colliders II KEK report 85-9, Oct, 1985.
непрерывной среды. Реализация таких предположений в программном коде впервые позволила моделировать полностью трехмерные и ультрарелятивистские задачи.
Актуальность работы обуславливается потребностями современной науки в изучении физики встречных пучков в супер-коллайдерах и в то же время отсутствием программ, основанных на полностью трехмерных моделях.
Таким образом, целью диссертационной работы является создание и исследование модели и соответствующих алгоритмов, направленных на изучение нестационарных задач динамики пучков заряженных частиц в самосогласованных электромагнитных полях коллайдеров нового поколения, движение частиц в которых носит ультрарелятивистский характер, а плотности сгустков достигают критических значений.
Научная новизна работы заключается в том, что:
впервые разработана модель полностью трехмерного ультрарелятивистского движения пучков заряженных частиц в самосогласованных электромагнитных полях;
исследованы различные методы задания начальных и граничных условий для электромагнитных полей, проведена их оптимизация в условиях ультрарелятивизма;
создан комплекс программ, позволяющий моделировать динамику заряженных частиц в поле встречного сгустка, а также динамику встречных электрон-позитронных пучков в одно про летном режиме;
исследована работа алгоритма в задачах взаимодействия модельных пучков с веером пробных частиц, проведено математическое моделирование эффектов встречи на примере встречных пучков с учетом фокусировки.
Научная и практическая ценность работы заключается в создании модели и алгоритма решения задач динамики ультрарелятивистских пучков в полностью трехмерном случае, что существенно расширяет возможности математического моделирования.
Программный комплекс представляет собой эффективный инструмент при разработке ускорительных установок и оптимизации их параметров для получения наиболее высокой светимости.
На защиту выносятся:
численная модель динамики заряженных частиц в самосогласованных электромагнитных полях в полностью трехмерном случае с учетом ультрарелятивизма;
реализованный на языке Fortran 77 алгоритм на основе этой модели;
методы задания начальных и граничных условий, их оптимизация с учетом релятивизма;
результаты расчетов динамики веера пробных частиц в поле встречного пучка и результаты взаимодействия двух встречных пучков.
результаты исследования влияния физических и технических параметров задачи на решение и пороги разрушения пучков при их взаимодействии. В частности, показано, что при критических параметрах наблюдается спиральная неустойчивость.
Достоверность полученных результатов подтверждена тестированием работы как каждой процедуры программы в отдельности, так и программы в целом, данными численных экспериментов для задач, имеющих аналитическое решение, а также сравнением с результатами программных кодов, основанных на "слайсовых" моделях встречных пучков.
Апробация работы проводилась на Международных научных студенческих конференциях МНСК-2004, 2006, 2007, VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007, 5th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering 2008, Ускорительном семинаре ИЯФ (2008), на семинарах «Математическое моделирование больших задач» лаборатории под руководством д.ф.-м.н. В.А. Вшивкова, на семинаре «Математическое и архитектурное обеспечение параллельных вычислений» под руководством д.т.н. В. Э. Малышкина, а также на научном семинаре отдела математических задач геофизики под руководством академика Михайленко Б.Г.
Личный вклад соискателя заключается в обсуждении постановки задачи, разработке алгоритмов и методов решения, создании и тестировании алгоритмов и программ, проведении расчетов и интерпретации результатов численных экспериментов. Все выносимые на защиту результаты принадлежат лично автору. Представление изложенных в диссертации и выносимых на защиту результатов, полученных в совместных исследованиях, согласовано с соавторами.
Структура и объем работы. Содержание работы представлено во введении, четырех главах и заключении. Работа содержит 130 страниц, 3 таблицы, 68 рисунков, список литературы состоит из 77 источников. Рисунки, формулы, таблицы и библиографические ссылки имеют сквозную нумерацию по всей работе.
Обзор кодов для моделирования эффектов встречи
В настоящее время в современной физике ускорителей очень важной проблемой является достижение при заданной энергии нужной светимости -величины, которая показывает, сколько актов взаимодействия в секунду происходит между частицами противоположных пучков при единичном сечении этого взаимодействия [29]. Чем чаще происходят столкновения частиц из встречных пучков, тем больше светимость. Светимость зависит от количества частиц в каждом пучке и от того, насколько плотно частицы собраны, то есть насколько хорошо пучок сфокусирован в плоскости столкновений [30][31]. Увеличивать светимость можно с помощью увеличения интенсивности пучка, то есть увеличения количества частиц в каждом сгустке, а также с помощью сжатия сгустков. В этом случае сгустки летают по ускорительному кольцу в довольно разреженном состоянии, а вблизи точек столкновения сжимаются под действием магнитных полей фокусирующих линз [32]. Поэтому важной практической задачей является нахождение оптимальных параметров организации пучков с целью увеличить светимость [33].
В течение долгого времени единственной моделью для проведения математического моделирования являлась модель "слабый пучок - сильный пучок", в которой коллективное поле сильного пучка действуют на пробную частицу слабого пучка [34]. Одним из допущений этой модели является неизменное распределение частиц "сильного" пучка в фазовом и конфигурационном пространствах. При этом, в силу ультрарелятивизма, предполагается, что внутри области взаимодействия поперечное приращение импульса пробной частицы ненулевое, в то же время изменением поперечных координат пренебрегается. С помощью моделирования движения взаимно независимых макрочастиц "слабого" пучка с различными начальными параметрами определяется общая картина его возмущения в фазовом пространстве. С течением времени с целью учета эффектов продольного движения [35] эта модель сильного пучка была усовершенствована. Согласно новой модели сгустки частиц разбиваются вдоль направления движения пучка на слои частиц, так называемые слайсы (англ. "slice") [36]. В релятивистском случае поле движущейся частицы зарядом q в лабораторной системе координат выражается формулой [37]: где R - радиус-вектор точки пространства, в которой определяется значение поля, в - угол между направлением движения заряда и радиус-вектором, J3 -отношение модуля скорости движения заряда к скорости света. При этом по сравнению с электростатическим случаем электрическое поле заряда сокращается в у2 раз в направлении движения и усиливается в у раз в поперечном направлении, где у - релятивистский фактор частицы. Поэтому предполагается, что электромагнитные поля каждого слайса сосредоточены в перпендикулярной оси движения плоскости, а взаимодействие частиц встречного пучка со слайсом может быть рассмотрено как чисто двумерное. Электромагнитные поля от каждого слайса создают поле сил. Как только слайс одного пучка совмещается с каким-либо слайсом другого пучка, начинают работать уравнения, описывающие влияние слайсов на частицы слайса противоположного пучка, изменяя движение его частиц (на рисунке 2 такие слайсы помечены темным цветом). Слайсы одного пучка между собой не взаимодействуют, это приводит к тому, что голова пучка может влиять на его хвост только через противоположный пучок.
При этом разнообразие методов решения составляют способы расчета электромагнитных полей.
Одним из вариантов расчета этих полей являются формулы Бассетти-Ерскине [38]. Предполагается, что пучок является бесконечно тонким в продольном направлении, а в поперечном распределение плотности заряда гауссово. Записав двумерный потенциал через интеграл по плотности заряда пучка и сделав ряд замен, можно получить выражение для Ex-iEy через комплексную функцию ошибок, и отделив вещественную и мнимую части, выписать компоненты поля:
Характерные величины и безразмерные переменные
Для релятивистского движения частиц наиболее естественным способом получения безразмерных переменных является предположение, что характерная скорость движения частиц пучка - скорость света v = с = 2.9979 1010 см/сек. Характерные размеры пучка в продольном направлении составляют несколько сантиметров, поэтому возьмем за характерный размер области, в которой рассчитывается движение частиц, L = 1.0 см. Исходя из этих предположений, зададим соотношения на характерные величины: гДе Р+_ - плотность заряда соответствующего пучка частиц.
При этом безразмерный импульс и безразмерная сила Лоренца вычисляются по формулам: а релятивистский фактор у _ = , Безразмерные уравнения для энергии частиц и энергии полей выглядят следующим образом: Начальные условия для полей В начальный момент времени для решения уравнения Максвелла требуется задание начальных условий. Предполагается, что каждый пучок в начальный момент времени уже сформирован внешними полями, и в расчетной области двигается в отсутствии внешних полей, порождая свое собственное поле. Поэтому в начальный момент времени требуется рассчитать поле, создаваемое каждым пучком. Начальные условия для частиц В начальный момент времени требуется задавать координаты частицы, импульсы и заряды. Предполагается, что масса одинакова для всех частиц и равна массе электрона. Для увеличения светимости в коллайдерах используется фокусировка пучков с помощью магнитных линз, при этом в плоскости взаимодействия пучок имеет наименьшее сечение [61].
Плоскость наименьшего размера пучка, перпендикулярная оси движения, называется плоскостью кроссовера. Для простоты предполагается, что плоскость кроссовера находится в центре области. При фокусировке пучок похож на каплю, направленную острием в сторону движения, если частицы пучка еще не попали в плоскость кроссовера (см. рис. 4). Если же доля частиц, попавших в плоскость кроссовера достаточно большая, то имеет место так называемый hour-glass эффект, так как форма пучка напоминает песочные часы с центром в плоскости кроссовера (см. рис. 5). Форма пучка и его размеры определяются параметрами уЗ-функции и значениями ех и еу эмиттансов по каждому направлению [62]. /?-функция, расчетная характеристика фокусирующих свойств магнитной линзы ускорителя, характеризует огибающую пучка - насколько резко изменяется форма "песочных часов" в соответствующем направлении. Эмиттанс — количественная характеристика, равная фазовому объему пучка. Таким образом, чем меньше эмиттанс и значения -функции в месте встречи пучков, тем выше может быть светимость коллайдера. Бета-функция в заданный момент времени определяется через ее значение в точке пересечения центров пучков zc, называемой "местом встречи" и которая находится в плоскости фокусировки [63]: где z - расстояние, откладываемое от места встречи, а символ " " помечает значения параметров в месте встречи.
Для вычисления координат и импульсов пучка в лабораторной системе координат используется ускорительная система координат, в которой вычисляются координаты и импульсы, после чего осуществляется переход из ускорительной системы координат в лабораторную. Преобразование координат из ускорительных в физические производится по формулам
Алгоритмы расчета электромагнитных полей
Основной проблемой, связанной с трехмерным моделированием движения ультрарелятивистских частиц, является большие значения релятивистских факторов частиц [66]. При движении заряда q его электрическое поле в лабораторной системе координат определяется с помощью преобразований Лоренца формулой: где R - радиус-вектор точки пространства, в которой определяется значение поля, в - угол между направлением движения заряда и радиус-вектором R [37]. После преобразования этой формулы к виду где x, у, z - соответствующие координаты радиус-вектора, становится очевидным, что электрическое поле вытягивается в у раз в поперечных направлениях и сокращается в у2 раз вдоль оси движения по сравнению с электрическим полем в электростатическом случае. На рисунке 8 приведены значения поперечного электрического поля частицы в зависимости от продольной координаты для разных значений релятивистского фактора у: график точками отвечает у = I, тонкой линией - у = 5, толстой - у = 10.
Аналогичная ситуация наблюдается и с магнитным полем, которое определяется через векторное произведение Н = vxE, где v - скорость заряда. Поле всего пучка определяется по принципу суперпозиции суммированием соответствующих полей. Решая эту задачу численными методами, можно задать нулевые граничные условия, взяв достаточно большую область в поперечном направлении, однако при этом по сравнению с электростатическим случаем требуется увеличение области в у раз. С учетом того, что фактор у в ультрарелятивистском случае равен как минимум 10 , объем области вырастает минимум в 10б раз, следовательно, появляются очень жесткие требования к ресурсам ЭВМ. Кроме того, для качественного описания полей в области (ввиду больших градиентов) необходимо мельчить пространственный шаг в продольном направлении в у2 раз по сравнению с электростатическим случаем, что при требованиях к количеству частиц в несколько миллионов делает задачу нерешаемои численными методами даже с применением параллельных алгоритмов и современными суперкомпьютеров. Одним из вариантов решения этой проблемы является выбор такой постановки задачи, в которой пучки заряженных частиц двигаются в идеально проводящей трубе с малыми поперечными размерами [67]. Другим вариантом является решение, основанное на допущении, что расчетная область расположена в ближней зоне, то есть границы ее находятся достаточно близко к пучку.
В этом случае не требуется проводить расчеты в большей части расчетной области, где частицы отсутствуют. Кроме того, в этом случае можно пренебречь эффектами запаздывания, которое за такое малое время не успевает развиться. Для такой постановки задачи было исследовано несколько алгоритмов. Использование плотности пучка В этом случае можно суммировать вклады полей от каждой частицы по формулам (рис. 9), однако сложность этого метода составляет OyNxNyN,j\, где J - количество частиц в пучке, Л , Ny, Nz — количество узлов области по соответствующему направлению, что не позволяет его применять при значениях релятивистского фактора больших 102. Кроме того, при суммировании большого количества значений поля неизбежны большие погрешности, так как точка местоположения частицы является особенностью.
Исследование алгоритмов расчета начальных и граничных условий
Для тестирования алгоритмов задания граничных условий из соображений симметрии выбран равномерно заряженный шар из 106 модельных частиц и зарядом -1010. Центр шара находится в центре области размерами 30х30 60, радиус шара равен 15. На рисунке 19 представлены значения поля Ех от шара в плоскости xz на границе области для у— 1 и у— 10, при этом видно, что максимальные значения увеличиваются, а на расстоянии радиуса пучка от его центра, где проходит граница шара и "заканчиваются" частицы, в продольном направлении возникают сильные градиенты поля. При этом значения поля вне шара в продольном направлении составляют примерно 10"11 и с хорошей точностью могут заменяться нулями. На следующем рисунке показана поперечная компонента электрического поля в плоскости (х, у) на левой границе области. Видно, что при увеличении релятивистского фактора поле становится более плоским, а также уменьшаются его значения почти в у раз. На рисунке 21 изображены значения продольной компоненты поля Ez в плоскости у = 0 для у= 1 и у= 10, которое сжимается в направлении движения шара и растягивается в направлении х. Аналогично поперечной компоненте поля на левой границе ведет себя и продольная компонента Е. - она также вытягивается в поперечном направлении и уменьшается почти в у2 раз при увеличении у. Как уже было отмечено, аналитических формул для вычисления электромагнитных полей пучка нет, поэтому экспериментально в качестве наиболее правильного варианта выбирался метод прямого суммирования вкладов полей от зарядов при достаточно большом количестве частиц с учетом сходимости метода. При этом для описания основных зависимостей используется релятивистский фактор порядка 102. При увеличении релятивистского фактора негативные эффекты усиливаются, так как начинает сказываться сильное сокращение поля каждой частицы в продольном направлении, в то время как разрешения сетки и количества частиц не хватает для качественного описания поля.
Так, на рисунке 23 показан график поперечной компоненты поля на границе с учетом сдвинутых сеток и интерполяции в точки (0, 0, z) при у= 2ТО2, вычисленной тремя методами [71]: 1. прямое суммирование вкладов частиц (график крестами), 2. суммирование вкладов от плотности (тонкая линия), 3. использование модельных частиц в виде иголок по формулам (13)(14) (толстая линия). Из рисунка видно, что очень отличается от остальных график поля, полученного суммированием вкладов значений от плотности заряда в узлах сетки. И хотя относительная разница с полем, вычисленным прямым суммированием при у = 1, составляет не более 0.2%, с увеличением релятивистского фактора значения поля сильно увеличиваются. Конечно, увеличивать точность решения можно увеличением числа узлов сетки в продольном направлении. Так, на рисунке 24 показаны значения полей, вычисленные от узлов плотности при 30 (указаны крестами), 60 (тонкая линия) и 120 (жирная линия) узлах сетки в продольном направлении при у= 2ТО2 и количестве 10 модельных частиц. При этом действительные значения поля указаны точками. Видно, что, естественно, решение сходится, однако различия все еще видны невооруженным глазом.
Поэтому использование этого метода очень сильно ограничено, так как ресурсы ЭВМ в этом случае не позволяют необходимого уменьшения пространственного шага. Однако необходимо отслеживать количество частиц в ячейке, участвующих в расчете, то есть с увеличением количества узлов сетки требуется увеличивать и общее количество частиц: недостаточное их количество ведет к нарушениям гладкости плотности и, следовательно, электрического ПОЛЯ. Так, например, этот эффект хорошо заметен уже при использовании 106 модельных частиц на сетке 60x60x150, когда количество частиц в ячейке не превышает 20 (рис. 25, где толстая линия соответствует вычислению по узлам плотности, тонкая линия - через модельные частицы в виде иголок). Аналогичная проблема возникает и для метода расчета поля через вклад каждой модельной частицы. Такое поведение поперечной компоненты электрического поля в центральной части области границы при у = 2-Ю2 60x60x60 и количестве частиц 106 показано тонкой линией на рисунке 26. При этих же параметрах поле, вычисленное через модельные частицы в виде игл, является более гладким (жирная линия).
