Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Итерационные методы решения самосогласованных задач 23
1.1. Постановка задачи и обзор алгоритмов ее решения 23
1,2. Методы отыскания плотности тока 29
1.2.1. Одномерные задачи 32
1.2.2. Многомерные задачи 40
1.2.3. Численные эксперименты 43
1.3. Методы итераций по подобластям 48
1.3.1. Метод итераций по подобластям без смены типа граничного условия . 51
1.3.2. Технология проведения расчетов 54
1.3.3. Численные эксперименты 57
1.3.4. Метод итераций по подобластям с изменением типа граничного условия. 66
1.4. Расчет прикатодной подобласти 69
1.4.1. Антипараксиальные уравнения и их решение 70
1.4.2. Расчет прикатодной подобласти по распределению потенциала 77
1.4.3. Расчет прикатодной области по распределению производной 79
ГЛАВА 2. Алгоритмы расчета траекторий, объемных зарядов и магнитных полей 83
2.1 Поэлементная технология расчета пучков 83
2.1.1. Интегрирование уравнений движения 86
2.1.2. Численный эксперимент 91
2.2.Расчет напряженности электрического поля 94
2.3. Вычисление объемного заряда 100
2.3.1. Треугольный элемент КИ
2.3.2. Четырехугольный элемент 104
2.4. Экспериментальное исследование схем интегрирования уравнений движения 106
2.5. Учет релятивистских эффектов и магнитных полей П4
2.5.1. Интегрирование уравнений движения И4
2.5.2. Расчет магнитных полей Ц8
2.5.3. Численные эксперименты 120
ГЛАВА 3. Расчет электрических полей
3,1. Построение систем сеточных уравнений и методы их решения 124
3.2. Итерационные методы на последовательности сеток Ы\
3.3. Уточнение разностных решений 150
3.4. Расчет изоляционных конструкций 160
3.5. Распараллеливание алгоритмов решения краевых задач 171
3.5.1. Двумерные задачи 173
3.5.2. Трехмерные задачи 184
ГЛАВА 4. Моделирование пучков в сложных физических условиях 195
4.1. Расчет газонаполненных систем 195
4.1.1. Моделирование систем с плазменной границей 195
4.1.2. Учет столкновительных эффектов 204
4.2. Расчет пучков в совмещенных полях 208
4.3. Моделирование релятивистских многорезонаторных систем 213
4.3.1. Расчет пучка в резонаторе 214
4.3.2. Расчет пучка в многорезонаторной системе 219
4.3.3. Численные эксперименты 221
ГЛАВА 5. Автоматизация расчетов интенсивных пучков заряженных частиц 225
5.1.Сеточные технологии проведения расчетов 225
5.1.1. Сеточные объекты и их свойства 229
5.1.2. Сеточная структура данных 235
5.1.3. Алгоритмы и структуры данных элементарного уровня 240
5.2. Технологии построения программных комплексов 247
Заключение 253
Литература
- Метод итераций по подобластям без смены типа граничного условия
- Экспериментальное исследование схем интегрирования уравнений движения
- Расчет изоляционных конструкций
- Моделирование релятивистских многорезонаторных систем
Введение к работе
Численное моделирование интенсивных пучков заряженных частиц является важной составляющей в исследовании процессов, происходящих в различных электрофизических приборах научного и технического приложений. Методы численного моделирования предполагают проведение исследований по трем основным направлениям: построение математической модели, разработка численных алгоритмов и создание программных комплексов, в которых реализованы разработанные алгоритмы. В диссертации представлены все перечисленные направления.
Интенсивными называются пучки, в которых нельзя пренебречь силами кулоновского расталкивания, создаваемого собственным объемным зарядом. Такие пучки являются рабочим элементом в электронно- и ионно-оптических системах, которые находят широкое практическое применение, например, для получения СВЧ-колебаний, плавки и резки металлов, напыления материалов и для других практически важных целей (см., например, И.И.Алямовский [7], М.А.Завьялов, В.И.Переводчиков, ВАСыровой [64]).
Математически проблема исследования интенсивных пучков заряженных частиц сводится к решению нелинейной самосогласованной задачи, включающей в себя в стационарном случае уравнения движения заряженных частиц, уравнение Пуассона для потенциала электрического поля и уравнение неразрывности потока зарядов.
Аналитическое решение самосогласованная задача имеет только в ряде простейших случаев. Среди них известны одномерные решения, полученные в работах Чайлда [179], И.Ленгмюра [186], С.А.Богуславского [24], а также двумерные решения Д.Пирса [128]. Подробный обзор работ по аналитическим решениям данных задач приведен в статье В.А.Сырового [162]. Исторически первыми методами, которые давали приближенное решение реальных электронно- и ионно-оптических самосогласованных задач, были методы моделирования на аналоговых устройствах (В.С.Лукошков [103], П.Кирштейн, Г. Кайно, У. Уотерс [90]), а с появлением ЭВМ - на аналого-цифровых комплексах (И.М.Блейвас и др. [18], И.Л.Григоршин и др. [51]).
С развитием ЭВМ основными методами решения рассматриваемых задач стали численные методы. Исследованию численных методов применительно к самосогласованным задачам посвящены работы многих отечественных и зарубежных авторов, среди которых отметим следующие известные монографии: В.П.Ильин [66, 67], А.С.Рошаль [132], Ю.А.Березин, ВАВшивков [16], С.И.Молоковский, А.Д.Сушков [112], Р.Хокни, Дж.Иствуд [171], Ч.Бэдсел, А.Лендон [28].
Развитие численных методов для решения данных задач связано с повышением эффективности алгоритмов, развитием технологии проведения вычислений и созданием программных комплексов, позволяющих автоматизировать проведение расчетов. Конкретными побудительными мотивами проведения исследований в настоящей работе, которые определяют актуальность проблемы, явились следующие причины.
1. Одним из наиболее важных для практики режимов работы прибора, формирующего интенсивный пучок заряженных частиц, является тот случай, когда катод электронно-оптической системы, то есть поверхность входа частиц в исследуемую область, работает в режиме ограничения тока объемным зарядом (р -режиме). Задача расчета пучка заряженных частиц при эмиссии в р -режиме усложняется еще и тем, что плотность тока на катоде является неизвестной величиной. Для ее определения на катоде помимо потенциала задается условие равенства нулю напряженности электрического поля. Наиболее распространенными методами решения данных задач являются итерационные методы нижней релаксации, использующие закон «3/2» для плоского диода [67, 124]. При этом подбор параметра релаксации осуществляется путем проведения предварительных (порой многочисленных) численных расчетов, особенно, если мы имеем дело с мощными сильноточными пучками, который вносят значительный объемный заряд.
Другим подходом к нахождению плотности тока на катоде являются методы, моделирующие непосредственно условие равенства нулю напряженности поля. Здесь, в первую очередь, отметим работы Н.И.Мокина [111] и Г.Т.Головина [45]. Созданные ими методы основаны на приближенном решении интегрального уравнения для плотности тока, что представляет собой в общем случае трудоемкую вычислительную задачу. Таким образом, необходима разработка новых эффективных методов решения самосогласованных задач в режиме ограничения тока объемным зарядом.
2. Выход на качественно новый уровень проектирования приборов невозможен без повышения точности расчетов.
2.1. Решение задачи эмиссии пучка в р -режиме имеет особенность, суть которой состоит в том, что плотность объемного заряда на катоде обращается в бесконечность. Впервые вопрос о выделении прикатодной особенности был рассмотрен для модельного случая в работе В.П.Ильина, Н.И.Саблина [76]. Большинство алгоритмов и программ строятся без учета прикатодной особенности. Это приводит к значительным ошибкам в расчетах, что отмечается, например, в работах П.И.Акимова, Г.П.Осиповой, В.А.Сырового [4] и автора [149]. В связи с этим для повышения точности расчетов необходимо первоочередное внимание уделить разработке алгоритмов, учитывающих прикатодную особенность. 2.2. Задача расчета интенсивных пучков заряженных частиц включает в себя следующие сложные вычислительные задачи: 1) интегрирование уравнений движения заряженных частиц, 2) вычисление потенциала электрического поля 3) расчет напряженности электрического поля и внешнего магнитного поля, 4) расчет распределения объемного заряда и расчет собственного магнитного поля.
Создание новых, эффективных, теоретически и экспериментально обоснованных алгоритмов и программ для решения каждой из приведенных подзадач, а также решение вопроса о согласовании точности решения подзадач, является ключевым моментом в повышении эффективности решения рассматриваемой задачи в целом.
Первые три подзадачи принадлежат классическим разделам вычислительной математики: численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимация краевых задач, решение сеточных алгебраических уравнений, приближение функций. Однако простое перенесение известных методов в рассматриваемую проблемную область не обеспечивает их должной эффективности, так как при этом не учитываются важные специфические детали алгоритмов.
Решение начально-краевых задач на последовательности сгущающихся сеток является способом повышения, как скорости сходимости итерационных процессов, так и точности вычислений. Начало исследованию итерационных методов на последовательности сеток было положено в работах Р.П.Федоренко [165, 166], Н.С.Бахвалова [13], А.Н.Коновалова [92]. Идея уточнения приближенных решений с применением вспомогательных сеток была высказана Ричардсоном [200], развита в работах Е.А.Волкова [32], Ю.А.Кузнецова и В.В.Шайдурова [98], Вазова [202] и подробно изложена в монографии Г.И.Марчука, В.В.Шайдурова [107].
В последние годы большое значение придается распараллеливанию численных алгоритмов для решения задач на многопроцессорных вычислительных комплексах. Здесь необходимо проводить исследование работы численных алгоритмов в реальной вычислительной среде, то есть с учетом межпроцессорных обменов. Проблемы распараллеливания применительно к рассматриваемым задачам рассматривались, например, в работах [36,185]. Расчет интенсивных релятивистских пучков заряженных частиц невозможен без учета объемного заряда и собственного магнитного поля, создаваемого пучком. Численные алгоритмы для вычисления данных величин составляют четвертую из перечисленных выше подзадач.
3. При моделировании современных приборов с интенсивными пучками необходимо расширять физические и математические постановки задач, и, как следствие, разрабатывать эффективные численные алгоритмы и программные комплексы для их решения.
3.1. Исторически первыми источниками заряженных частиц были
термокатоды. С целью повышения надежности и долговечности работы
приборов в последнее время широкое распространение получили устройства,
в которых источником заряженных частиц является катодная или анодная
плазма, например, источники электронов высоковольтного тлеющего разряда
(см. Ю.Е.Крейндель [94], М.Д.Габович [37], М.А.Завьялов, Ю.Е.Крейндель,
А.А.Новиков, Л.П.Шантурин [63]).
Сложность решения данных задач заключается в том, что граница плазмы заранее не известна, а находится в процессе решения задачи по известным физическим критериям (например, из условия равенства давления электрического поля и газокинетического давления плазмы).
Решение задач с подвижной плазменной границей рассматривалось в работах многих авторов, среди которых отметим следующие работы: Б.И.Волков, А.Г.Свешников, Н.Н.Семашко [33], В.С.Болдасов и др. [25], П.Н.Бабищевич [29], О.Н.Петрович [127].
Дополнительной сложностью в решении данных задач является то, что работа прибора проходит в условиях низкого вакуума, что приводит к необходимости учета столкновительных эффектов, возникающих при взаимодействии пучка с остаточным газом (см., например, Л.Ю.Дзагуров, Ю.АКоваленко [58]).
3.2. Для получения требуемых с научно-технической точки зрения
характеристик пучка в расчетную область вводится магнитное поле. При этом помимо варианта использования соленоидов, создающих сильное магнитное поле, обеспечивающего жесткое магнитное сопровождение, допускается использование более слабых магнитных полей, создаваемых магнитофокусирующими системами (МФС), для реверсивной и периодической магнитной фокусировки [112]. Моделирование таких систем невозможно без расчета пучков в совмещенных электрическом и магнитном полях, причем для расчета магнитного поля необходимо учитывать сильнонелинейные магнитные характеристики ферромагнитных материалов, из которых сделаны узлы МФС.
3.3. При расчете различных электрофизических приборов, в которых используются релятивистские электронные пучки (РЭП), возникает задача исследования движения пучка заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле с учетом собственных не только потенциальных, но и вихревых полей пучка. Примером такого прибора может служить мощный многорезонаторный клистрон, в котором существенным является взаимодействие РЭП с полем излучения в резонаторах. Численное моделирование рассматриваемых процессов основывается на решении полной системы уравнений Максвелла, то есть при этом мы имеем дело с моделированием нестационарного пучка заряженных частиц.
Как правило, данная задача решается в квазистационарном приближении, в котором электромагнитные величины параметрически зависят от времени, что в ряде практически важных случаев не дает адекватной картины физических процессов. Математически полная задача чрезвычайно трудна. Во-первых, для расчета пучка в резонаторе требуется расчет собственных колебаний резонатора, то есть решение задачи на собственные значения в области со сложной геометрией. Во-вторых, расчет многорезонаторной системы требует проведения вычислений не только в резонаторах, но еще и в пролетных каналах, а затем «сшивки» полученных решений. 4. Программное обеспечение для численного моделирования интенсивных пучков заряженных частиц непрерывно развивается и совершенствуется, что обусловлено развитием вычислительной техники, операционных систем и программных инструментариев, новыми постановками задач, созданием новых численных алгоритмов. Среди известных пакетов для решения данных задач можно назвать такие программы как, Poisson-2 (Новосибирск) [9], SAM (Россия, США) [183], TAU (Санкт Петербург) [163], KARAT (Россия, США) [201], BFCPIC (Германия) [203] и другие. Программное обеспечение для решения такого широкого класса задач, который рассматривается в диссертации, должно иметь средства удобного описания исходных данных, наглядного представления результатов и автоматизации проведения расчетов. Под этим понимается создание языковых и диалоговых средств для описания геометрии области, граничных условий, информации о пучке, параметрах дискретизации, управления процессом расчета. Сюда же относится разработка структур данных, позволяющая скрыть «нефизические» детали численных алгоритмов. В целях удобства работы с программным комплексом он должен иметь такие средства, чтобы, с одной стороны, обеспечить возможность работы с ним как с «черным ящиком», а, с другой стороны, иметь средства его «безболезненного» расширения для вставки новых алгоритмов и постановок. Важным представляется создание возможности многоуровневого описания исходной информации: 1) посредством диалога для неподготовленных пользователей, 2) на специальном входном языке комплекса для опытных пользователей с целью оперативной корректировки данных и запуска варианта расчета, 3) в виде числовых массивов для пользователей, желающих включить в программный комплекс свои разработки.
Цель работы состоит в разработке математических моделей, создании эффективных алгоритмов и программных комплексов для решения широкого класса задач численного моделирования интенсивных пучков заряженных частиц.
Метод итераций по подобластям без смены типа граничного условия
Запишем условия сопряжения на границе сопряжения подобластей ТсЬ в виде (Я=( Р)ь, 0.60) 8 р с д(р-» \дп) (1.61) где п - нормаль к ГсЬ, а индексы с,Ь означают, что величины в скобках относятся соответственно к подобластям Gc и Gb. Направление нормали в данном случае не важно, но для определенности положим, что п - это внутренняя нормаль по отношению к Gb. Условия (1.60), (1.61) должны выполняться на решении исходной задачи. Если же на ГсЬ задан произвольный потенциал и, то условие (1.60) выполняется, а условие (1.61) - нет. Производные в формуле (1.61) являются функциями, зависящими от и. Введем обозначения
Согласно антипараксиальной теории распределение потенциала и на Г( определяет распределение плотности тока j на катоде. В связи с этим исходную самосогласованную задачу по отысканию плотности тока j мы переформулируем следующим образом: требуется найти такое распределение потенциала и, при котором выполняется условие (1.61), что, в свою очередь, эквивалентно решению нелинейного уравнения Ф(м) = 0, (1.63) определенного на ТсЬ. Решение уравнения (1.63) можно осуществлять известными методами решения нелинейных уравнений, которые изложены, например, в монографии [14].
При дискретизации потока заряженных частиц катод С є Г разбивается на заданное число Nt интервалов, из центров rt (і = 1,2,...,Nt) которых запускаются трубки тока или траектории. Пусть ri нормальные проекции rt на ГсЬ. Рассмотрим уравнение (1.63) в точках Т{. Тогда u = {ut} является вектором, Ф = {Ф.} - вектор-функцией, а соотношения (1.63) представляют собой систему нелинейных уравнений (/ = 1,2,..,,Nt).
В настоящей работе для решения уравнений (1.63) предлагается итерационный процесс вида -Ч/ + г,Ф-) %»" =Г ! еСФГ»Ф"»- (1.64) V г \ип, гели Фя+1/21 Ф" . v Здесь / - единичная матрица, Ф" =diag\- \ - диагональная матрица, где Ф" = Ф,(ни), а т„ - числовой параметр, который определяется как гл+1 = т„, лиФп+1/2 ФлЦ, 1г„, еслМФи+1/2 Фи, где . - какая-либо норма в метрическом пространстве функций, определенных в точках Ft є ТсЬ, а г0 - задано. Итерационный процесс прекращается при выполнении хотя бы одного из двух условий где є - заданная малая величина. Выполнение только одного последнего неравенства (1.65) означает, что выбрано начальное приближение для итерационного процесса (1.64), далекое от решения. С учетом этого замечания можно утверждать следующее: если итерационный процесс (1.64) сходится, то он сходится к решению и = и системы уравнений (1.63) и, с другой стороны, при и" = и достигается сходимость данного итерационного процесса.
Технология проведения расчетов Мы будем предполагать, что прикатодная подобласть Gc имеет специальный вид, при котором граница сопряжения ТсЬ подобластей Gc и Gb представима в виде ТсЬ = Tlcb[jrl, где Г является геометрическим местом точек, равноудаленных от катода на малое расстояние d по нормали к нему, а Г ь - это отрезки нормали, ограничивающие пучок заряженных частиц (см. рис. 6, Рис. 6. Пгакатодный (Ьоашент расчетной области на котором изображен прикатодный фрагмент расчетной области). Такой выбор прикатодной подобласти обеспечивает, как следует из дальнейшего, равное удаление точек старта заряженных частиц в численных расчетах от особой поверхности катода. Катод С предполагается кусочно-гладкой кривой, состоящей из Nc отрезков Cj? обладающих достаточной для дальнейших выкладок гладкостью, то есть C = \jCi. На каждом из С,, может быть построена прикатодная подобласть Gci со своим характерным расстоянием d, так, что _ "с _ _ Gc=[JGci, а в каждой подобласти Gci может быть построено аналитическое ;=) решение согласно антипараксиальной теории. В дальнейшем без ограничения общности изложение ведется для одного достаточно гладкого отрезка катода (индекс / при этом опускается).
Экспериментальное исследование схем интегрирования уравнений движения
В настоящем параграфе приводятся результаты численных экспериментов по интегрированию уравнений движения заряженных частиц (2.1), (2.2) в электрическом поле различными методами, в том числе с применением экстраполяции Ричардсона. При этом напряженность электрического поля вычислялась по аналитическим формулам и численно при помощи схем второго порядка точности, а также при помощи сплайнов. Целью проведенных исследований являлось сравнение различных схем интегрирования и согласование точности расчета траекторий и точности вычисления напряженности электрического поля. Ранее экспериментальный анализ схем интегрирования при других предположениях относительно численных алгоритмов проводился, например, в работе [75].
Мы рассматриваем следующие методы интегрирования уравнений движения второго порядка точности: - метод Рунге-Кутта с вычислением напряженности поля в средней точке, который реализуется по формулам ох (2.37) xml = хп +-(vnx+1 +vnx), упП = уп +-(v;+1 + v;), ПТ1/І _ л J__v yi-nij. _ Л . _v" „и+1/2 _ wn , .v« ..tt+1/2 2Х,У 2 - метод перешагивания, широко используемый в приложениях, который заключается в проведении вычислений по формулам «+l/2 = «-1/2 _ТТ]Ё?(Х" у"Л v«lV2 = »-1/2 _щ _(хп .4 1 дхк ,у h у у дук У h (2.38) xn+l =хп+т vn;m, уп+1=уп+т vn;m.
Поскольку для некоторых практических задач точность этих методов недостаточна, мы рассматриваем также метод Штермера четвертого порядка, а именно: (2.39) где x = 2xn -хпАт2(рпх, у = 2y" -у" ххг(рпу, „ д р, ч „ fy/ ч (2-41) Рх=Т-\х,У), Ру=Іг-{х,У) ах ду Первая точка здесь вычислялась по методу Рунге-Кутта с экстраполяцией Ричардсона на двух сетках. Суть экстраполяции Ричардсона заключается в том, что решение с повышенной точностью ищется в виде комбинации решений более низкой точности, полученных на сетках с различными шагами, то есть в виде ряда Г=ІГ,"Г1, (2.42) jt=i где и4 =(xTt,yn,xTt,yTi) - решение, полученное на сетке с шагом тк, Ur =(хт,уг,хт,ут) - экстраполированное решение. Веса ук подбираются так, чтобы в разложении иц в ряд, члены, содержащие низкие степени тк обратились в нуль. Например, для метода Эйлера они находятся из системы уравнений [107] m+l m+1
Отсюда для метода Эйлера, имеющего точность первого порядка, в случае сгущения сетки по правилу тк = т/к получаем коэффициенты: m = 2,y1=-l,y2=2; т = 3,Гі=-\/2,у3=9/2, что дает точность соответственно 0(т2), 0(тг). Аналогично для метода Рунге-Кутта (2.37) веса ук ищем из системы 107 m+1 m+1 Z =1 Z7Vt =0, j = \-,m, что дает ІИ = 2, n = -1/3, Га = 4/3 и точность четвертого порядка.
Для расчета производных от потенциала с погрешностью второго порядка используется схема (2.20), (2.21)
Выбор алгоритма вычисления напряженности электрического поля имеет большое значение с точки зрения точности и экономичности расчета траекторий, а также решения самосогласованной задачи в целом. В расчетах сильноточных приборов, где требуется в основном интегральные характеристики, такие как, например, ток пучка, рассмотренные экономичные локальные аппроксимации 2-го порядка дают удовлетворительные результаты. Однако по мере повышения требований к точности требуется переход к более сложным методам аппроксимации, например, к сплайновым. Задачу построения двумерного сплайна, то есть построения такой функции g(x,y), которая в каждой ячейке прямоугольной неравномерной сетки Qh является бикубическим многочленом вида М=swM= І ; fc - Ш -УУ; (2-42) а в узлах lh принимает заданные значения, то есть g(xk,y,) = PkJ, к = 0,1,... /, I = 0,\,...,Ny , где Nx,Ny заданы, мы рассматриваем в прямоугольной области Q. Для ее решения применяется алгоритм, изложенный в монографии Г.И. Марчука [106]. Он заключается в решении одномерных задач сплайн-интерполяции на координатных линиях сетки х = х,,у = у, ( і = 0,1,...,Nx; j = 0,\,...,Ny ), в результате чего определяются следующие функции
Расчет изоляционных конструкций
При анализе явлений, происходящих в сложных изоляционных конструкциях, требуется знание не столько распределение потенциала электрического поля, сколько таких характеристик как напряженность электрического поля, тангенциальная составляющая напряженности на границе раздела сред с различной диэлектрической проницаемостью, силовые и эквипотенциальные линии.
Расчет напряженности электрического поля во внутренних узлах сетки изложен в 2.2 настоящей работе. В околограничных узлах вычисления проводятся с учетом потенциала на границе или с привлечением выражений, аппроксимирующих производную от потенциала (см.3.1). Сложность расчетов при этом заключается в проведении геометрического анализа для отыскания точек пересечения нормали к границе с координатными линиями, определении типов ближайших узлов (внешний или внутренний) и нахождении диэлектрической среды, которой принадлежит данный узел.
Алгоритмы расчета остальных характеристик поля в областях со сложной конфигурацией границы представляют собой нетривиальную задачу, которая рассматривается в настоящей работе. Вычисления проводятся с применением поэлементной технологии, которая выгодно отличается от поузлового подхода.
Рассматривается расчет устройств при наличии проводящих тел, изолированных от источников поля, с известными, сообщенными им полными зарядами, но неизвестными потенциалами, которые наводятся внешним электрическим полем. Это положение создается при моделировании конструкций, в которые по ряду причин (например, для выравнивания электрического поля) вводятся экранирующие элементы и вставки.
Расчет силовых линий электрического поля проводится по следующему алгоритму. Координаты х,у силовой линии электрического поля определяются из уравнений f- .,- „ (3.109) где {Ех,Еу)=Ё - напряженность поля, / - параметр. Интегрирование уравнений (3.109) проводим согласно принципам поэлементной технологии, изложенным в главе 2 настоящей работы по алгоритмам, аналогичным алгоритмам интегрирования уравнений движения заряженных частиц (см. 2.1). Аппроксимируем (3.109) на неравномерной сетке с шагами тп с точностью О (г2), где г = тахги, при помощи соотношений л+1 и гл+1 , рп .,1+1 и Г"+1 і Г» Х Х __Ьх +t x У -У _ У + У СЗ \Ю) п 2 т 2 v ; п п Пусть (х", п)ее, где е - сеточный элемент, уравнения сторон которого есть А,х+В,у+С„ / = 1,2,...,л,, (3.111) («, - число сторон). Предположим, что точка (хи+1 ,,уя+1- ) лежит строго на одной из сторон элемента. Из разложений в ряд Тейлора следует, что хп+1 =х"+т„Епх, УП+1 =У"+Т„Е;. (3.112)
Отсюда с учетом (3.111) величина шага гя /, необходимого для пересечения силовой линией рассматриваемой стороны, равна = А,х»+В{у +С, „ИЗ) " А,ЕПХ+В,Е; v ; Окончательное значение шага т„ в уравнениях (3.110) определяется как Гл=ПШ1Гп/,Гп( 0,/ = 1,2,...,И,. (3.114) Повторяя рассуждения, сделанные в 2.1, представим Ex+l,Ey+l в виде Е":1=ах+ЬхГ\ En;l=ay+byrl, (3.115) где ax,bx,ay,by - известны, а % = х,у при интерполяции по х или по у. Тогда координаты (и + і)-ой точки вычисляются как хл+1 = Г 2-т.Ь, У =у:Ь.(Е;+ау+ЬуХ»«) (3.116) при дг - интерполяции и по формулам te+«,) у«+\ = т«\-у п у 2-т.Ь. (3.117) x» =x»+I±(E:+ax+bxy"+l) при у - интерполяции.
Построение силовой линии, вернее, одной ее ветви, лежащей справа (или сверху) от начальной точки, продолжаем до тех пор, пока хотя бы один из узлов рассматриваемой ячейки сетки не окажется внешним. Затем возвращаемся к начальной точке построения силовой линии, меняем знак t на противоположный и интегрируем уравнения (3.109) с шагом - т по алгоритмам, аналогичным рассмотренным выше.
Алгоритм расчета эквипотенциальных линий основан также на принципах поэлементной технологии. Пусть требуется построить эквипотенциаль
Путем перебора сеточных элементов определяем начальную точку (х,у) эквипотенциали. Для этого анализируем ребра сеточных элементов. Как только окажется, что в каком-нибудь элементе е заданный потенциал удовлетворяет неравенству (рх (ре (рг, где рх,(рг - потенциалы на концах ребра, то полагаем XO=XI+ IL{X2_XI) уо +hz9Lb, yil (3.118) 9г 9\ Рг- Рх где ( ,, ),( 2, 2) - координаты концевых точек. Далее по формулам, аналогичным (3.118) вычисляем точку выхода эквипотенциали из элемента е, определяем номер следующего сеточного элемента, в который попадает рассматриваемая эквипотенциаль и так далее. Процесс построения эквипотенциальной линии заканчивается по двум признакам: 1) очередная точка совпадает с начальной точкой (х,у) - тогда мы имеем дело с замкнутой линией, 2) очередная точка выходит за пределы расчетной области - тогда мы имеем дело с незамкнутой линией.
Сложность построения эквипотенциальной линии в практических задачах заключается в том, что одна эквипотенциаль может состоять из нескольких ветвей. После построения одной ветви необходимо провести проверку наличия других ветвей. При поиске начальной точки очередной ветви есть опасность попасть на уже рассчитанную ветвь. Для того чтобы этого избежать, при расчете ветви формируем множество целых чисел S, состоящее из номеров элементов, через которые проходит данная ветвь. При поиске начальной точки очередной ветви исключаем из рассмотрения сеточные элементы с номерами пе є S.
Моделирование релятивистских многорезонаторных систем
При расчете различных электрофизических приборов, в которых используются релятивистские электронные пучки (РЭП), возникает задача исследования движения пучка заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле с учетом собственных (потенциальных и вихревых) полей пучка. Примером такого прибора может служить мощный многорезонаторный клистрон, в котором существенным является взаимодействие РЭП с полем излучения в резонаторах. Численное моделирование рассматриваемых процессов основывается на решении полной системы уравнений Максвелла и уравнений движения пучка.
В настоящей работе приводится описание численных алгоритмов для расчета релятивистского потока заряженных частиц, движущегося в протяженных многорезонаторных системах. Задача расчета таких систем разбивается на следующие подзадачи: 1) расчет входного резонатора, в который поступает несгруппированный поток заряженных частиц (колебания в резонаторе возбуждаются и поддерживаются за счет энергии, поступающей от внешнего источника, например, через петлю связи); 2) расчет потока в пролетных трубах; 3) расчет потока в промежуточных и выходных резонаторах; 4) стыковка решений первых трех задач.
Расчет потока заряженных частиц в резонаторах основан на разложении вихревого электромагнитного поля в ряд по собственным функциям векторного потенциала.
Для эффективного моделирования нестационарного пучка заряженных частиц, проходящего в многорезонаторной системе, создана интегрированная вычислительная среда, реализующая решение следующих классов задач: 1) расчет собственных чисел и собственных функций векторного потенциала в областях сложной формы, 2) расчет потока заряженных частиц в резонаторах, 3) экономичный расчет потока в пролетных трубах прямоугольной формы. Решение первого класса задач осуществляется при помощи алгоритмов, разработанных и реализованных в ППП ЭДИП А.В.
Гаврилиным [38]. Решение второго класса задач проводится методом больших частиц, при реализации которого в значительной степени применяются алгоритмы расчета потенциального электрического поля и интегрирования уравнений движения, разработанные автором и рассмотренные выше в настоящей работе. Наконец, при решении третьего класса задач используются алгоритмы, предложенные и реализованные С.А. Сандером и И.А. Сандер [136].
Исходная задача предполагается осесимметричной и рассматривается в цилиндрических координатах r,z,0, причем предполагается, что пучок движется преимущественно вдоль оси симметрии (оси z).
При выборе численных алгоритмов особое внимание уделялось их экономичности. В процессе проведения расчетов различных участков системы учитывается влияние на поток заряженных частиц наиболее существенных на данном участке факторов. При расчетах в резонаторах производится учет вихревых электромагнитных полей ЁВ,Н, у которых отличны от нуля компоненты Евг,Евг,Нв (так называемые -поля). Расчет в пролетных трубах проводится с учетом азимутальной составляющей собственного магнитного поля потока. На протяжении всей системы на пучок влияют внешние электрические и магнитные поля, а также потенциальные поля потока. При вычислении вихревых полей берутся пять первых гармоник вихревого векторного потенциала (см. ниже).
Задача расчета потока заряженных частиц в резонаторе G=G\JT, где Г -граница исследуемой области G, математически сводится к решению полной системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля (Ё, Н) совместно с уравнениями движения (1.1), (1.2). Уравнение неразрывности потока зарядов этом случае имеет вид divJ+ - = 0 (4.20) dt
При упрощающих предположениях относительно сгустка заряженных частиц, проходящего через резонатор, и геометрии расчетной области рядом авторов были получены аналитические решения данной задачи [91, 169]. Расчету собственных колебаний резонаторов сложной формы были посвящены работы [38, 53]. Обычно численное моделирование нестационарных пучков рассматривается в квазистационарном приближении [105]. В работах [120, 121] решение полной нестационарной задачи осуществлялось разностными методами на прямоугольной сетке с равномерным шагом.
