Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Задача оптимизации систем формирования нерелятивистских пучков заряженных частиц 17
1.1. Постановка задачи оптимизации 17
1.2. Методы поиска экстремума функционала качества 20
1.2.1. Метод усредненного градиента 20
1.2.2. Метод Бокса-Уилсона 21
1.2.3. Метод оврагов 30
1.3. Методика оптимизации систем формирования 32
ГЛАВА 2. Моделирование электрических полей 33
2.1. Учет кулоновского взаимодействия методом макрочастиц 33
2.2. Расчет внешних полей 41
2.2.1. Метод сеток 42
2.2.2. Метод Монте-Карло 50
ГЛАВА 3. Проблема минимизации роста эмиттанса низкоэнергетического пучка заряженных частиц на выходе системы формирования 52
3.1. Аксиально-симметричный пучок 52
3.1.1. Математическая модель 52
3.1.2. Минимизация роста эмиттанса протонного пучка 57
3.2. Пучок произвольного поперечного сечения 68
3.2.1. Математическая модель 68
3.2.2. Минимизация роста эмиттанса пучка ионов Н~ на выходе согласующей ионно-оптической системы инжектора линейного ускорителя при двух управляющих параметрах 73
ГЛАВА 4. Проблема согласования низко энергетического пучка заряженных частиц на выходе системы формирования с аксептансом последующей ускоряюще-фокусирующей структуры 75
4.1. Математическая модель 76
4.2. Согласование пучка ионов Н~ на выходе оптического канала системы инжекции с аксептансом линейного ускорителя 79
4.3. Сравнительный анализ характеристик согласующей системы инжектора ионов Я" в линейный ускоритель, состоящей из круглых или эллиптических электродов 84
4.4. Согласование пучка ионов Н~ на выходе оптического канала системы инжекции с аксептансом циклотрона TRIUMF 87
4.5. Моделирование трехмерной динамики пучка ионов Н~ в
системе инжекции циклотрона TRIUMF при различных токах 90
ГЛАВА 5. Комплекс программ для решения задач анализа, расчета и оптимизации систем формирования нерелятивистских пучков заряженных частиц 94
5.1 Описание комплекса программ 94
5.2 Тестирование подпрограмм, входящих в комплекс 100
Заключение 106
Литература
- Методы поиска экстремума функционала качества
- Расчет внешних полей
- Минимизация роста эмиттанса протонного пучка
- Согласование пучка ионов Н~ на выходе оптического канала системы инжекции с аксептансом линейного ускорителя
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена разработке математических моделей, методики оптимизации и комплекса программ для решения задач расчета, оптимизации и анализа систем формирования нерелятивистских пучков заряженных частиц. Исследуются электростатические ускоряюще-фокусирующие системы, состоящие из электродов в виде толстых дисков, примером которых может быть согласующая ионно-оптическая система (ИОС) инжектора линейного ускорителя с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой (ПОКФ) или циклотрона.
В настоящее время линейные и циклические ускорители, основанные на различных принципах ускорения заряженных частиц, находят широкое применение как при проведении фундаментальных исследований, так и в различных технологических процессах, медицине и т. д. [13, 20, 60]. В связи с этим как в России, так и за рубежом, все большее внимание уделяется проблемам проектирования и создания ускорительных комплексов, безопасных в эксплуатации и обеспечивающих получение прецизионных пучков. Возрастающие требования к ускорительным комплексам обуславливают необходимость разработки и совершенствования математических моделей систем формирования и методик оптимизации динамики пучков.
Система формирования пучков заряженных частиц является важной частью ускорительного комплекса и во многом определяет его выходные характеристики. Поэтому при создании ускорителей прикладного назначения важную роль играют вопросы проектирования систем инжекции линейных ускорителей и циклотронов. Для проектирования таких систем необходимо проведение численного моделирования и оптимизации динамики пучков в электромагнитных полях.
Проблемам моделирования и оптимизации динамики пучков заряженных частиц посвящено большое число работ различных авторов [2-4, 6-9, 11-14, 18, 20-38, 40, 41, 44-56, 59-62, 64, 66-68, 71-78, 80-92, 95-99, 101-105]. Здесь прежде всего следует отметить работы Д.А. Овсянникова, Ю.А. Свистунова, А.П. Дуркина, О.И. Дривотина, А.Д. Овсянникова, Э.С. Масунова, А.С. Рошаля, А.Е. Лукьяновой, Н.С. Едаменко, Ю.А. Буданова, А.С. Чихачева, СМ. Полозова, В.П. Ильина, Ю.В. Зуева, и др. На основе результатов, полученных в этих и ряде других работ, разработаны различные модели, методы и алгоритмы для решения прикладных задач моделирования и оптимизации динамики пучов и ускоряюще-фокусирующих структур.
При оптимизации динамики пучков в качестве управляющих функций обычно рассматриваются различные физические (конструктивные) параметры системы ускорения и фокусировки (например, напряженность ускоряющего поля, фазовая скорость ускоряющей волны, длины ускоряющих промежутков, длины трубок дрейфа). При этом для уменьшения времени расчета динамики пучка внешние электромагнитные поля на каждом шаге оптимизации обычно аппроксимируются аналитическими выражениями, полученными для упрощенной (идеальной) модели рассматриваемой реальной системы. В целях проектирования ускоряющих струтур, обеспечивающих получение пучков с требуемыми характеристиками, имеется необходимость в разработке методик оптимизации динамики пучков и ускоряюще-фокусирующих систем, позволяющих проводить оптимизацию динамики пучка заряженных частиц в полях, приближенных к реальным.
Настоящая диссертационная работа посвящена разработке математических моделей, методики оптимизации и комплекса программ для решения задач расчета, оптимизации и анализа систем формирования нерелятивистских пучков заряженных частиц. Предлагается методика оптимизации, при которой внешнее поле на каждом шаге оптимизации определяется в результате решения краевой задачи для уравнения Лапласа в реальной исследуемой области. Разработан комплекс объектно-ориентированных программ, с помощью которого решены нелинейные задачи оптимизации систем инжекции ионных пучков в линейный ускоритель с ПОКФ и циклотрон TRIUMF.
К настоящему времени в мире создан ряд компьютерных программ, предназначенных для расчета электромагнитных полей; моделирования и оптимизации динамики пучков в различных ускоряюще-фокусирующих структурах, в основном в линейных ускорителях различных типов [18, 36, 53, 71, 72, 74, 75, 77, 83, 85, 88, 95, 99, 101-103]. Ряд из них разработан для параллельных/векторных компьютеров. Среди них можно отметить такие программы, как:
- PARMILA - программа для проектирования линейных ускорителей ионов с трубками дрейфа и моделирования в них динамики пучков;
- PARMELA — программа, предназначенная для моделирования динамики пучков в линейных ускорителях и каналах транспортировки с учетом обьемного заряда. Данная программа не предназначена для проектирования ускоряюще-фокусирующих систем. Внешние электромагнитные поля определяются с помощью других программ;
- PARMTEQ - программа для проектирования линейных ускорителей с ПОКФ;
- LIONS_LINAC - программа, предназначенная для моделирования динамики пучков в линейных ускорителях методом частиц в ячейке. Она разработана на языке FORTRAN 95 для персональных или параллельных/векторных компьютеров. Внешние электромагнитные поля расчитываются с помощью других программ. Для определения напряженности кулоновского поля пучка используются аналитические формулы или решается уравнение Пуассона методом сеток;
- LIDOS.RFQ.Desigher - пакет программ, предназначенный для проектирования ускоряюще-фокусирующих структур с ПОКФ и моделирования в них динамики пучка с учетом пространственного заряда методом частиц в ячейке. Данный пакет позволяет одновременно моделировать динамику пучка, состоящего частиц различных типов. При выборе параметров ускоряюще-фокусирующей системы применяются математические методы оптимизации;
- DYNAMION - программа моделирования трехмерной динамики пучка с учетом объемного заряда в линейных ускорителях, состоящих из ускоряюще-фокусирующих элементов различных типов. Данная программа не предназначена для проектирования ускоряюще-фокусирующих структур и позволяет моделировать динамику пучка, состоящего из частиц различных типов. Внешние электромагнитные поля рассчитывается с помощью других программ или аппроксимируется рядами. При описании динамики пучка в электромагнитном поле используются уравнения движения общего вида. Определение кулоновского поля пучка осуществляется следующим образом. Вычисляются силы парного взаимодействия частиц, после чего для каждой частицы определяется суммарная сила воздействия со стороны остальных частиц пучка;
- MAFIA, ISFEL3D и др.
Представленный в диссертации комплекс программ предназначен для численного решения нелинейных трехмерных задач расчета и оптимизации систем формирования нерелятивистских пучков заряженных частиц. Он позволяет проводить оптимизацию динамики пучка (в том числе и в автоматическом режиме) за счет выбора физических (конструктивных) параметров ускоряюще-фокусирующей системы. При этом для определения внешнего поля на каждом шаге оптимизации в реальной исследуемой области решается краевая задача для уравнения Лапласа, что является важным преимуществом по сравнению с рассмотренными выше программами. Оптимизация динамики пучка и ускоряюще-фокусирующей системы осуществляется с помощью методов нелинейного программирования по методике, предложенной в настоящей работе. В ряде рассмотренных программ используются упрощенные уравнения движения заряженных частиц. В отличии от них в данном программном комплексе используются трехмерные нерелятивистские уравнения движения заряженных частиц общего вида.
Практическое значение диссертационной работы заключается в том, что разработанная методика оптимизации позволяет выбрать геометрические параметры системы формирования, а также необходимые электростатические поля, обспечивающие требуемые характеристики пучка.
Методы поиска экстремума функционала качества
Метод Бокса-Уилсона (крутого восхождения) [1,65] - метод планирования эксперимента, позволяющий получать статистические математические модели процессов, используя факторное планирование, регрессионный анализ и движение по градиенту. Он позволяет численно определять градиент функционала качества и находить его экстремум в случае, когда вид поверхности отклика не известен. В настоящей работе не была получена аналитическая зависимость функционала 1(и) от компонентов ик вектора управлений и, поэтому метод Бокса-Уилсона использовался в данной работе для решении задач оптимизации вида (1.1)-(1.8).
Рассмотрим стратегию метода крутого восхождения [65]. В заданной области D изменения управляющих параметров (факторов) ui выбирается исходная подобласть Dx для планирования эксперимента. Процедура выбора области Dx включает выбор основного уровня и интервалов варьирования факторов.
На основе малой серии численных экспериментов с помощью модели линейного вида: I(u) = b0+blul+... + bpup (1.12) находится локальное описание поверхности отклика функционала качества в области Dx. В центре области рассчитывается линейное приближение градиента функционала: _г 81 81 81 ,л ._. W = — ?! +—е2 +- + Т— ЄР (1ЛЗ) ощ ди2 8 и где et,i = \,p - единичные векторы в направлении координатных осей. Далее осуществляется движение по градиенту до достижения области, близкой к оптимуму (почти стационарной области). Если линейное приближение градиента для центра области существенно отличается от его значения в некоторой точке по направлению движения, то можно определить новое описание поверхности отклика в окрестности этой точки с помощью полиномов первого порядка и вычислить новое приближение градиента и т. д.
Как известно, вектор-градиент (1.13) перпендикулярен поверхности равного уровня 1 = const и указывает направление наискорейшего подъема (крутого восхождения). Если рассматривается линейная модель вида (1.12), то коэффициенты bt являются координатами градиента. Изменяя факторы ui пропорционально величинам оценок коэффициентов Ь(, можно реализовать движение в направлении градиента функционала по самому крутому пути (пути наискорейшего приближения к оптимуму). Поэтому процедура движения к почти стационарной области называется крутым восхождением.
Компоненты градиента (1.13) и нормированного градиента: ді ді ді V/ ди, дщ дип пі/2 V/ - 2 р (1.14) р Е /=1 a/v кдии экспериментально полученной линейной модели (1.12) зависят от выбора основного уровня и интервалов варьирования факторов и(. Выбирая интервалы варьирования таким образом, чтобы величины коэффициентов bt (в случае их значимости) имели одинаковый порядок, можно сделать применение метода крутого восхождения наиболее эффективным.
Алгоритм метода Бокса-Уилсона состоит из следующих шагов [65]: 1. Построение линейной модели.
Предположим, что поиск экстремума функционала 1{и) начинается из точки, достаточно удаленной от почти стационарной области, поэтому для описания поверхности отклика в окрестности исходной точки гг можно использовать линейную модель (1.12). С помощью факторного планирования находятся точки проведения вычислительных экспериментов и рассчитываются оценки bt коэффициентов Ь{, і = 0,р в модели (1.12). Множество всех точек проведения эксперимента называется планом эксперимента. Каждый фактор ui при выполнении численного эксперимента может принимать одно из нескольких значений, называемых уровнями. Комбинация уровней факторов является р мерной точкой в факторном пространстве. Исходная точка іг для построения плана эксперимента называется основным (нулевым) уровнем.
Расчет внешних полей
Рассмотрим решение краевой задачи (2.8), (2.9) методом сеток [28, 29]. Расчетной области G поставим в соответствие множество дискретных точек (сетку) Q , образованную пересечением плоскостей, параллельных координатным осям: x = xiy y = yj, z = zk, i = 0,nx , j = 0,ny , к = 0,nz . Узел (i,j,k) с координатами {xt,yj,zk) называется внутренним по отношению к области G, если (x y z eG, и внешним — в противном случае. Введем обозначения: h)jk = hf_x = xt - xt_x; hfjk = Ц_х = y} - уj_x; hfjk = hf = xi+l - xt; ht-k=hj=yJ+i-yj h(/k=hzk-i=zk-zk_l; hfJk=hzk=zk+l-zk (см. рис. 2.5); h - maxjs;uph-jk\; Q0 - множество внутренних узлов; Of - множество внешних узлов; Qr - множество граничных точек сетки (точек пересечения координатных линий сетки с границей Г ). Рис. 2.5. На множестве узлов Qh введем сеточную функцию W Wtet yjiZk)} W&kh множество значений которой можно представить в виде п - мерного вектора; п - общее число рассматриваемых узлов.
Краевую задачу (2.8), (2.9) запишем в операторной форме [28, 29]: L P = g, (2.12) где L - дифференциальный оператор, определенный на {(p(x,y,z)}. Дифференциальной задаче (2.12) ставится в соответствие разностная краевая задача, которая эквивалентна системе линейных уравнений (набору систем) [28, 29]: Lh = f, (2.13) где у/, f - п - мерные векторы, компоненты которых определяются как значения сеточной функции в узлах сетки Q ; Lh - корнечно-разностный оператор, определенный на сеточных функциях ц/ .
На заданной сетке рассматривается следующая семиточечная конечно-разностная аппроксимация для уравнения Лапласа [28, 29]: if к ІАігХк = (И +лу + л2) ) = о (2.14) где (4гЛ = 2 -і,м 2Vtj,k , 2Ум,м т V-ife+A?) hUhf+ f thf) 1 д у/ 1 ЬЇ-Ь?-і дх дх ґ&у) (h -hfhf_l+{hUl(d\ V Ji Ji дх + о и .(2.15)
Разностные операторы Л и Az определяются аналогично Лх. Разностное уравнение (2.14) аппроксимирует уравнение Лапласа (2.8) с погрешностью первого порядка на неравномерной сетке, и второго - на равномерной [28, 29]. В околограничных узлах для построения разностного аналога дифференциального оператора на равномерной или неравномерной сетке используются ближайшие точки из Qr. В этом случае система разностных уравнений содержит значения сеточной функции во всех внутренних узлах и в граничных узлах сетки, причем в последних граничное условие (2.9) аппроксимируется точно [28, 29]: V(Xi yj zk) = p0(xi1yj,zk)t (xityJyzk)en . (2.16)
При этом погрешность аппроксимации разностного уравнения в околограничном узле, а также погрешность разностной задачи (2.14), (2.16) есть величина 0{И) [28, 29]. При решении краевой задачи (2.8),(2.9) на равномерной сетке для получения погрешности аппроксимации 0{h ) разностной задачи (2.14), (2.16) в околограничных узлах используется интерполяция первого порядка (аппроксимация Коллатца) [28,29], имеющая погрешность аппроксимации 0{h ).
Вопросы устойчивости и сходимости сеточной краевой задачи (2.14), (2.16) рассмотрены в работах [28, 29].
Система разностных уравнений, написанная для узлов сетки, при современных требованиях точности имеет очень большой порядок и ее решение может быть получено только с помощью ЭВМ. Для их решения в настоящей работе используется метод последовательной верхней релаксации (ПВР) [28, 29], который будет рассмотрен ниже в данном параграфе.
Рассмотрим теперь решение краевой задачи (2.10), (2.11) методом сеток [28, 29]. Области G поставим в соответствие квадратную сетку Q с шагом h, образованную пересечением линий, параллельных координатным осям: г, = ih, Zj=zQ±jh, / = 0,nr , j = 0,nz. На множестве узлов Q введем сеточную функцию = { (r/5z )}= ji// }, множество значений которой представляется в виде nh - мерного вектора. Краевую задачу (2.10), (2.11) запишем в операторной форме (2.12). Дифференциальной задаче (2.12) поставим в соответствие разностную краевую задачу (2.13). На заданной сетке рассмотрим девятиточечную конечно-разностную аппроксимацию для уравнения Лапласа (2.10) с погрешностью четвертого порядка [28, 29]:
Минимизация роста эмиттанса протонного пучка
Рассмотрим проблему минимизации роста эмиттанса аксиально симметричного протонного пучка на выходе системы формирования вида (3.1) (3.15) [36, 83, 98]. Будем исследовать ускоряюще-фокусирующие системы, состоящие из четырех аксиально-симметричных электродов в виде толстых дисков, подобные изображенной на рис. 3.2. Рассмотрим случаи двух, трех четырех и пяти управляющих параметров. На входе системы ускорения и фокусировки рассматривается пучок, представляющий собой последовательность сгустков, характристики которого показаны в ТАБЛИЦЕ 3.1 и на рис. 3.3.
В качестве управляющих параметров выбираются потенциалы второго и\ и третьего и\ электродов, расстояние между первым и вторым электродами z\, расстояние между вторым и третьим электродами z\ и расстояние между третьим и четвертым электродами z\. Параметры системы электродов, не входящие в вектор управлений и, были приняты постоянными в процессе оптимизации. В формуле (3.14) В0 =100кэВ. При расчете и оптимизации системы формирования протонных пучков начальное приближение выбиралось исходя из физических соображений, а также на основании результатов моделирония аксиально-симметричных систем ускорения и фокусировки электронных пучков.
При заданном векторе управлений и = и внешнее аксиально-симметричное поле определялось как решение задачи (3.3), (3.6)-(3.11) методом сеток при числе узлов квадратной сетки Nsg « 5200 или методом Монте-Карло. Полное время моделирования поля составляло несколько минут. Пучок моделировался ансамблем из Nmod = 120 макрочастиц-шаров радиуса tfmod =16-10 м, система уравнений динамики которого решалась методом г is
Рунге-Кутта 4-го порядка с постоянным шагом h . Полное время моделирования динамики изменялось от 25 мин до нескольких часов в зависимости от выбранного шага hRK 10 с. Минимизация роста эмиттанса протонного пучка в случае двух управляющих параметров (случай р = 2).
Рассмотрим решение проблемы минимизации роста эмиттанса протонного пучка в случае двух управляющих параметров: и = (и,м). Данная проблема решалась по предложенной методике оптимизации следующим образом:
1. Методом усредненного градиента из различных начальных точек zr был выполнен поиск минимумов функционала 1\{и) в пространстве параметров м и и. В результате было найдено шесть локальных минимумов, представленных на рис. 3.4 и в ТАБЛИЦЕ 3.2. Полученные решения расположены достаточно близко друг к другу в некоторой подобласти области D изменения параметров и\ и u\.
2. Из различных начальных точек и методом Бокса-Уилсона был осуществлен поиск минимумов функционала Іх{и), В результате были получены два локальных минимума функционала качества, представленные в ТАБЛИЦЕ 3.3. Полученные решения расположены достаточно близко друг к другу в пространстве управлений ие2 и иеъ, а таже к решениям, найденным ранее методом усредненного градиента. Все эти факты указывают на существование области локального минимума функционала 1х{и), пересекающей прямую и\ = О .
3. Из начальных точек гг \ полученных методами усредненного градиента и Бокса-Уилсона (см. шаги 1 и 2), было выполнено дальнейшее исследование предполагаемой области локального минимума функционала 1\{и). Так, на рис. 3.5 показано последовательное применения методов усредненного градиента и оврагов, в результате которого были определены два улучшенных минимальных значения функционала качества. Все полученные результаты согласуются с характером рельефа поверхности отклика функционала 1х(и) (см. рис. 3.4 3.5).
Согласование пучка ионов Н~ на выходе оптического канала системы инжекции с аксептансом линейного ускорителя
Рассмотрим проблему согласования эллиптического пучка ионов Н на выходе согласующей ИОС инжектора с аксептансом линейного ускорителя вида (4.1)-(4.11) [36, 85, 98]. Исследуются ускоряюще-фокусирующие системы, состоящие из пяти электродов эллиптического или круглого поперечного сечения, подобные изображенной на рис. 3.22. На входе системы электродов рассматриватся эллиптический пучок, характристики которого приведены на рис. 2.2 и в ТАБЛИЦЕ 2.2. Множество М0 описывается формулой (3.30).
Рассмотрим два случая, отличающихся числом управляющих параметров. В обоих случаях в качестве компонентов вектора управлений и выбираются потенциалы электродов и% большие а\ и малые Ь е полуоси минимальных поперечных сечений электродов, расстояния между электродами z{, / = 1,5, j = 1,4; во втором случае - также параметры, определяющие форму электродов. В процессе оптимизации параметры ускоряюще-фокусирующей системы, не входящие в вектор и, были приняты постоянными. В формуле (4.10) А = 75% и
В=100кэВ. Начальная конфигурация электродов согласующей системы выбиралось исходя из физических соображений, а также на основании результатов расчета инжектора ионов D+ в линейный ускоритель с ПОКФ, выполненного в НИИЭФА им. Д.В. Ефремова [4].
При заданном векторе управлений и = и внешнее электростатическое поле определялось в результате решение методом сеток задачи (4.3), (3.19) (3.24) при числе узлов сетки Ncg «2000000. При моделировании динамики пучка использовался метод крупных частиц-шаров, рассмотренный во второй главе настоящей работы. Система уравнений движения макрочастиц (4.2) решалась методами Рунге-Кутта четвертого порядка с постоянным шагом h или четвертого-пятого порядка с автоматическим выбором шага. В первой из решаемых задач оптимизации пучок моделировался ансамблем из Nmod = 2000 модельных частиц радиуса amod = 7.5 10" м (см. рис. П2.5); шаг метода Рунге-Кутта четвертого порядка выбирался равным /г 5 10 с (см. рис. П2.6). Во второй из решаемых задач iVmod=2300, amod =2.5-10 5 м (рис. П2.7) и /гж 5-10-п с(рис.П2.8).
Время решения первой из рассматриваемых задач оптимизации составило около 18 ч. В результате была разработана согласующая ИОС инжектора пучков ионов Н в линейный ускоритель, изображенная на рис. 4.1 и обеспечивающая транспортировку пучка без потерь.
Она состоит из электродов, имеющих различные значения потенциалов и =12 кВ, ие2=1кВ, иеъ =100 кВ, и\ = 45 кВ, ие5=83кВ, что представляет сложность для практической реализации ее системы питания. Результаты расчета динамики пучка в полученной структуре представлены на рис. 4.2, при этом обеспечивается захват 83% частиц в режим ускорения линейного ускорителя.
При решении второй из рассматриваемых задач потребовалось значительно больше времени по сравнению с предыдущим случаем, что связано главным образом с увеличением числа управляющих параметров. В результате была получена согласующая система, показанная на рис. 4.3 и состоящая из групп электродов и =20кВ, ие2=\5кВ, и -20кВ3 ие4=Ю0кВ, ие5=92кВ, имеющих близкие значения потенциалов. Результаты расчета динамики пучка в данной структуре приводятся на рис. 4.4; при этом обеспечиваются захват 78% частиц пучка в режим ускорения линейного ускорителя и транспортировка пучка без потерь.
Сравнительный анализ характеристик согласующей ионно-оптической системы инжектора пучков ионов Н в линейный ускоритель, состоящей из круглых или эллиптических электродов.
Настоящий параграф посвящен сравнительному анализу ионно оптических- характеристик согласующих систем инжектора пучков ионов-if", изображенных нарис. 4.1 и рис. 4.3, и соответствующих им структур, состоящих из круглых электродов с теми же значениями потенциалов [34]. Исследования проводились при различных плотностях токов пучка в пределах- от 33.6 А/м2 (соответствует величине тока 15 мА) до 268.9А 1м (соответветствует величине тока 120 мА). Во всех рассматриваемых случаях при расчетах динамики пучка применялся метод макрочастиц-шаров, описанный в Главе 2. Рассматривались равномерно заряженные шары следующих радиусов: ax d =7.5-10-5 м, «mod =10 м «mod =2.5-10 м, amod =amod =amod =10 м. Система уравнений движения крупных частиц (4.2) интегрировалась методом Рунге-Кутта четвертого-пятого порядка с автоматическим выбором шага. Поле систем электродов моделировалось методом сеток при числе узлов Ncg « 2000000.
Результаты расчетов динамики пучка в ускоряюще-фокусирующей системе, представленной на рис. 4.1, и соответствующей ей системе круглых электродов, показаны на рис. 4.5-4.9. В процессе расчета динамики ионный пучок представлялся ансамблем из Nmod = 2000 модельных частиц.
Результаты расчетов динамики пучка в структуре, изображенной на рис. 4.3, и соответствующей ей системе круглых электродов, представлены на рис. 4.10-4.13. При расчете динамики пучок ионов. Н представлялся ансамблем из 7Vmod = 2300 крупных частиц.
