Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Анализ технологии обработки разреженных матриц в математических моделях систем управления технологическими процессами 11
1.1. Топологический метод синтеза многосвязных систем управления технологическими процессами 11
1.2. Специальные формы разреженных матриц 21
1.3. Эквивалентное матричное преобразование 26
1.4. Блочная диагональная форма 29
1.5. Блочная треугольная форма 35
1.6. Выводы 43
ГЛАВА 2 Методы анализа алгоритмов и программ 45
2.1. Свойства алгоритмов 45
2.2. Время выполнения программ 48
2.3. Способы вычисления времени выполнения программ 52
2.4. Выводы 57
ГЛАВА 3 Разработка алгоритма приведения прямоугольной разреженной матрицы к блочной диагональной форме (BDF) 58
3.1. Анализ возможной структуры разреженной матрицы 58
3.2. Алгоритм приведения разреженной матрицы к форме BDF 62
3.3. Вывод критериев приводимости матрицы к блочной диагональной форме 68
3.4. Сравнительный анализ трудоемкости алгоритма приведения матрицы к форме BDF 73
3.5. Программное обеспечение по приведению прямоугольной разреженной матрицы к форме BDF и расчету ее количественных характеристик 82
3.6. Выводы 94
ГЛАВА 4 Разработка алгоритма приведения прямоугольной разреженной матрицы к блочной треугольной форме (BTF) 96
4.1. Анализ структуры треугольной матрицы 96
4.2. Алгоритм приведения разреженной матрицы к блочной треугольной форме 100
4.3. Сравнительный анализ трудоемкости алгоритма приведения матрицы к треугольной форме 107
4.4. Выводы 115
ГЛАВА 5 Апробация разработанных численных методов по приведению разреженных матриц к формам BTF и BDF на модели управления процессом электролиза алюминия 116
5.1. Структурная идентификация процесса получения алюминия 116
5.2. Выбор метода решения системы линейных уравнений 124
5.3. Апробация алгоритма по приведению матрицы к форме BDF на модели управления процессом электролиза алюминия 132
5.4. Апробация алгоритма по приведению матрицы к форме BTF на модели управления процессом электролиза алюминия 139
5.5. Выводы 141
Заключение 142
Литература 144
Приложение 1 150
- Топологический метод синтеза многосвязных систем управления технологическими процессами
- Сравнительный анализ трудоемкости алгоритма приведения матрицы к форме BDF
- Сравнительный анализ трудоемкости алгоритма приведения матрицы к треугольной форме
- Апробация алгоритма по приведению матрицы к форме BDF на модели управления процессом электролиза алюминия
Введение к работе
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 1.1. Актуальность работы
Разреженные матрицы встречаются при решении многих важных практических задач: структурного анализа, теории электрических сетей и систем распределения энергии, численного решения дифференциальных уравнений, теории графов, а также генетики, социологии и поведенческих наук, программирования для ЭВМ [56]. В связи с развитием современной техники можно ожидать, что и дальше разреженные матрицы будут встречаться во многих прикладных задачах, включающих большие системы.
Литература на русском языке, посвященная разреженным матрицам, пополнилась за последние несколько десятков лет достаточно хорошо [52, 25-28, 20, 22, 43, 44, 14, 15, 57, 47]. В каждой из названных выше книг рассматривается лишь какая-нибудь одна задача линейной алгебры, а подчас даже ее специальный случай - спектральный анализ, решение симметричных положительно определенных систем, несимметричные системы с квадратными матрицами и т.п.
Чем больше параметров исследуемого объекта охватывает математическая модель, тем точнее и ближе к реальности получается результат. С ростом параметров растет размер матрицы. По мере того, как растут производительность и быстродействие вычислительных машин, становится возможным обрабатывать все большего размера матрицы, и тем самым уточнять математические модели. Несмотря на стремительное развитие вычислительной техники, по-прежнему, как и несколько десятков лет назад основными характеристиками остаются: память, трудоемкость и быстродействие. С ростом порядка матричной задачи растет и стоимость ее решения, становясь решающим фактором.
При условии, что система уравнений является разреженной, считается неэффективным хранение и обработка всей матрицы. Можно значительно
сэкономить память, уменьшить время решения поставленной задачи и тем самым уменьшить стоимость решения, если хранить и обрабатывать только ненулевые элементы.
К примеру, известно, что Россия занимает второе место в мире по производству первичного алюминия. Так, при общем объеме мирового производства в 1996г. - 20844 тыс. тонн, на долю России приходится 2871 тыс. тонн, или 13,8% [50].
На современном этапе алюминий широко используется во многих отраслях рыночной экономики: - электрификации, машиностроении, строительстве, быту и многих других отраслях. Применение алюминия в современном производстве дало большой скачок в его развитии.
В 1993г. Россия^ вышла на первое место в мире по экспорту первичного алюминия и к 1996г. ушла далеко вперед, поставляя 2455 тыс. тонн алюминия против 1841 тыс. тонн* у Канады и 1129 тыс. тонн у Австралии, занимающих второе и третье места соответственно [51].
Обращает на себя внимание то обстоятельство, что из 11 отечественных производителей, два (Братский и Красноярский) алюминиевых завода являются крупнейшими в мире.
Российской алюминиевой промышленности характерны высокая конкурентоспособность, тесная интеграция в мировой рынок и экспортная направленность.
Проблемы по защите окружающей природной среды, улучшению условий труда, повышению технико-экономических показателей работы определяют необходимость модернизации и реконструкции основной части алюминиевых заводов России.
Политика администрации Братского алюминиевого завода (БрАЗа) направлена на совершенствование уровней хмеханизации и автоматизации. В последнее время на заводе появляются все больше механизмов и машин, облегчающих работу персонала. Это машины по пробивке корки электролизера, машины по загрузке анодной массы, краны с автоматическими манипуляторами
и т.п. В области автоматизации идет реорганизация старых систем АСУТП на новые, соответствующие новейшим технологиям.
В связи с этим идет непрерывная работа по оптимизации управления отдельными объектами и всего алюминиевого завода. Учеными строятся и анализируются различные математические модели, большинство из которых сводятся к решению больших разреженных систем линейных уравнений.
При оптимизации процесса получения алюминия получается несимметричная прямоугольная разреженная система линейных уравнений, которая требует отдельного подхода.
Настоящая диссертационная работа посвящена разработке прямых методов обращения больших разреженных несимметричных матриц и методике решения больших разреженных прямоугольных систем линейных уравнений на основе приведения матрицы системы к односторонне окаймленной блочной диагональной форме, программной реализации алгоритма приведения разреженной матрицы к блочной диагональной форме. Большое внимание уделяется критериям преобразования подобных матриц к некоторым простым формам, позволяющим оптимизировать дальнейшее решение основанных на них систем линейных уравнений.
1.2. Цель диссертационной работы
Цель диссертационной работы состоит в разработке прямых малотрудоемких методов приведения больших разреженных несимметричных прямоугольных матриц к блочному диагональному и блочному треугольному видам с сохранением первоначальных значений элементов матриц, обеспечивающих оптимизацию процесса решения систем линейных уравнений, основанных на подобных матрицах и используемых во многих математических задачах.
1.3. Основные задачи работы
К основным задачам диссертационной работы относятся: . 1. Разработка алгоритма приведения прямоугольной разреженной матрицы произвольного размера и структуры к блочной диагональной форме (BDF).
Разработка критериев применимости алгоритма приведения разреженных прямоугольных матриц к форме BDF.
Проведение сравнительного анализа методов приведения разреженных матриц к форме BDF.
Разработка алгоритма приведения прямоугольной разреженной матрицы произвольного размера и структуры к блочной треугольной форме (BTF).
Проведение сравнительного анализа методов приведения разреженных матриц к форме BTF.
Апробация разработанных алгоритмов на примере решения большой разреженной прямоугольной системы линейных уравнений, получаемой при синтезе системы управления процессом электролиза алюминия.
1.4. Методы исследования
В процессе разработки и анализа алгоритмов приведения больших разреженных матриц к блочному диагональному виду использовались методы теории графов, линейной алгебры, логики, теории вероятности и
математической статистики, теории алгоритмов.
»
Результаты работы получены с помощью программных пакетов: обработка матриц с целью получения данных для анализа - Delphi 6.0; первичная обработка полученных данных - Excel 97; статистическая обработка данных - Statistica 6.0, MiniTab 32; решение систем линейных уравнений -Matlab 6.1, Maple 7.0.
1.5. Научная новизна и вклад в разработку проблемы
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
Обосновывается выбор приведения матрицы к блочной диагональной форме, как к наиболее приемлемой форме при решении больших прямоугольных разреженных систем линейных уравнений с достаточно большим количеством строк с несколькими ненулевыми элементами.
Разработан алгоритм приведения прямоугольной разреженной матрицы к блочной диагональной форме. Алгоритм имеет малую трудоемкость и легко поддается машинной реализации.
Проведен анализ полученного алгоритма, сравнение с другими алгоритмами по приведению матрицы к специальным формам, дано обоснование его применимости.
Выведены ограничения на структуру разреженной матрицы, позволяющие судить о результатах алгоритма до его применения. Это позволяет в некоторых случаях сэкономить время при выборе оптимального метода решения математической модели.
Разработан алгоритм приведения прямоугольной разреженной матрицы к блочной треугольной форме. Алгоритм имеет малую трудоемкость и легко поддается машинной реализации.
Проведен анализ полученного алгоритма, сравнение с другими алгоритмами по приведению матрицы к специальным формам, дано обоснование его применимости.
1.6. Положения, выносимые на защиту
На защиту выносятся следующие положения:
ta постановка задачи решения больших прямоугольных разреженных систем
линейных уравнений; о результаты исследования существующих алгоритмов обработки больших
разреженных матриц;
о алгоритм приведения прямоугольной разреженной матрицы к блочной
диагональной форме; сэ результаты анализа ограничений на структуру разреженной матрицы,
позволяющих судить о результатах алгоритма до его применения; еэ результаты сравнительного анализа алгоритма приведения прямоугольной
разреженной матрицы к блочной диагональной форме; еэ алгоритм приведения прямоугольной разреженной матрицы к блочной
треугольной форме; <т результаты сравнительного анализа алгоритма приведения прямоугольной
разреженной матрицы к блочной треугольной форме; ш\ результаты тестирования алгоритмов на примере решения математической
модели оптимального управления электролизером по выбранным критериям
- максимум выливаемого алюминия при минимуме напряжения
электролизной ванны.
1.7. Практическая ценность
Исследования автора выполнялись в рамках госбюджетной тематики «Топологические методы идентификации и синтеза систем управления многосвязными объектами» (код ГРНТИ 27.19.19), выполняемой в Братском государственном техническом университете по направлению «Теория, методы и средства автоматизации систем переработки информации и управления».
Результаты диссертационной работы позволили оценить возможность организации поиска оптимального решения больших прямоугольных разреженных .систем линейных уравнений по критерию уменьшения времени, затрачиваемого на анализ математической модели.
Настоящие исследования служат основой для дальнейшего развития методики решения больших прямоугольных разреженных систехМ линейных уравнений и позволяют значительно увеличить объемы математических моделей, включая новую информацию об исследуемом объекте. Теоретические и практические результаты, полученные в работе могут быть использованы при
чтении курсов: «математическое моделирование»; «Основы САПР»; «Теория автоматического управления», «Теория алгоритмов».
1.8. Апробация работы
Основные результаты работы докладывались на межрегиональной научно-технической конференции «Естественные и инженерные науки -развитию регионов» (Братск, БрГТУ, 2002; Братск, БрГТУ, 2003; Братск, БрГТУ, 2004); на VI всероссийской научно-технической конференции "Новые информационные технологии» (г. Москва, Московская государственная академия приборостроения и информатики, 2UU3).
1.9. Публикации По теме диссертации опубликовано И работ, в том числе 3 статьи и 8
ТсЗЙСОБ.
1.10. Структура и объем диссертационной работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы. Объем диссертации составляет 143 страницы основного текста, 32 рисунка, 22 таблицы, 8 приложений. Список литературы содержит 68 наименований.
Топологический метод синтеза многосвязных систем управления технологическими процессами
На современном этапе производительность предприятий во многом определяется сроками ввода в эксплуатацию новых технологических процессов и оборудования. При этом больше всего затрачивается время на исследование и разработку нового оборудования и систем. Значительной экономии времени и средств можно достигнуть путем применения вычислительной техники для автоматизации научно-исследовательских и проектных работ.
В области проектирования сложных систем управления производственными процессами в последнее время наблюдается широкое использование формализованного аппарата теории автоматических систем с целью получения промышленных систем, удовлетворяющих различному множеству критериев [16]. Этот аппарат в силу своей формализации позволяет интенсивно использовать вычислительную технику, тем самым, повышая качество проектирования систем управления при одновременном сокращении сроков и приближая проектное решение к оптимальному.
Термин «синтез» (в переводе с греческого «synthesis» - соединение, сочетание, составление) означает соединение различных элементов, сторон объекта в единое целое, систему с целью изучения, применения. Под синтезом систем автоматического управления пони мают определение структуры, значений параметров и состава элементов системы, при которых данная система удовлетворяет,предъявляемым к ней требованиям.
В качестве основы синтеза рассматривается определенная функциональная зависимость отдельно взятой компоненты от ее структурного расположения в системе [4]. Далее опираясь на теорию графов, матричную теорию, теорию структурных схем можно формализовано представить систему управления, которая учитывает структуру проектируемой или гипотетической системы.
Современные системы управления объединяют широкое разнообразие физических компонент или элементов. Наиболее полное представление о системах различной природы можно получить с помощью графов.
В самом наглядном представлении граф, обозначаемый символом G = (V,E), представляет собой множество вершин V, связи между которыми определены множеством ребер [49]. Часто связи между объектами характеризуются вполне определенной ориентацией. Для указания направления связи между вершинами графа соответствующее ребро отмечается стрелкой. Ориентированное таким образом ребро называют дугой, а граф с ориентированными ребрами - ориентированным графом или орграфом [11]. Дальнейшее обобщение отображения связей между объектами с помощью графов состоит в приписывании ребрам, дугам или вершинам некоторых количественных значений, качественных признаков или характерных свойств, называемых весами. Особое значение для моделирования физических систем приобрели взвешенные ориентированные графы, названные графами потоков сигналов или сигнальными графами [45]. Вершины сигнального графа отождествляются с некоторыми переменными, характеризующими состояние системы, а вес каждой вершины означает функцию времени или величину, характеризующие соответствующую переменную (сигнал вершины). Дуги отображают связи между переменными, и вес каждой дуги представляет собой численное или функциональное отношение, характеризующее передачу сигнала от одной вершины к другой (передача дуги). Пусть F = {v,,v2,K ,vp} и E = (eve2,K. ,eq} - соответственно множества вершин и ребер (p,q)-графа. Каждое ребро ек є Е соединяет пару вершин \\,\ j&V, являющихся его концами (граничными вершинами). Для ориентированного ребра (дуги) различают начальную вершину, из которой дуга исходит, и конечную вершину, в которую дуга заходит. Число ребер, связанных с вершиной v, называют степенью вершины и обозначают через S(vt) или deg(v,). Две вершины v, и VjtV графа G-{V,E) называются смежными, если они являются граничными вершинами ребра ек є Е. Граф можно представить матрицей смежности. Строки и столбцы этой матрицы соответствуют вершинам графа, а ее (/, у) -элемент равен числу кратных ребер, связывающих вершины v, и vy (или направленных от вершины v, к вершине Vj для орграфа). Исходное описание графа дает его матрица инцидентности. Если вершина v, является концом ребра ек, то говорят, что они инцидентны. В то время как смежность представляет собой отношение между однородными объектами (вершинами), инцидентность - это отношение между разнородными объектами (вершинами и ребрами). Рассматривая инцидентность вершин и ребер (p,q)-графа, его можно представить матрицей инцидентности размера pxq, строки которой соответствуют вершинам, а столбцы - ребрам. Для неориентированного графа элементы этой матрицы определяются по следующему правилу: У -элемент равен 1, если вершина v инцидентна ребру 6j, и равен нулю, если v и 6j не инцидентны. В случае орграфа ненулевой У -элемент равен 1, если v начальная вершина дуги 6j, равен -1, если v» конечная вершина дуги J, и равен нулю, если v и Sj не инцидентны. Еще одной важной характеристикой графа является понятие связности [55]. Две вершины графа называются связными, если существует маршрут, соединяющий эти вершины. При этом под маршрутом понимается последовательность ребер графа таких, что граничные вершины двух соседних ребер совпадают. Граф, любая пара вершин котррого связна, называют связным графом. Если граф не является связным, то множество его вершин можно единственным образом разделить на непересекающиеся подмножества, каждое из которых содержит все связанные между собой вершины и вместе с инцидентными им ребрами образует связный подграф. Если существует такая вершина, удаление которой превращает связный граф в несвязный, то она называется точкой сочленения. Граф, имеющий хотя бы одну точку сочленения, является разделимым и называется сепарабельным. Он разбивается на блоки, каждый из которых представляет собой максимальный неразделимый подграф. Таким образом, несвязный подграф представляет собой совокупность отдельных частей (подграфов), называемых компонентами. Каждая такая компонента предегавляегея своей маїрицей ИЩЙДЄНТНОСТЙ 4і( -і,2,..., ) а общая матрица инцидентности А несвязного графа (при соответствующей группировке его вершин и ребер) имеет блочную диагональную (квазидиагональную) форму [49].
Сравнительный анализ трудоемкости алгоритма приведения матрицы к форме BDF
Процесс создания компьютерной программы для решения какой-либо практической задачи состоит из нескольких этапов [1]: формализация и создание технического задания на исходную задачу; разработка алгоритма решения задачи; написание, тестирование, отладка и документация программы; получение решения исходной задачи путем выполнения законченной программы. Каждый из названных этапов является очень важным для нахождения, оптимального по качеству и скорости, решения поставленной задачи.
Половина дела сделана, если знать, что исходная задача имеет решение. В первом приближении большинство задач, встречающихся на практике, не имеют четкого и однозначного описания.
Если определенные аспекты решаемой задачи можно выразить в терминах какой-либо формальной модели, то это, безусловно, необходимо сделать, так как в этом случае в рамках формальной модели можно узнать, существуют ли методы и алгоритхмы решения поставленной задачи. Даже если такие методы и алгоритмы не существуют на сегодняшний день, то привлечение средств формальной модели поможет в построении «подходящего» решения исходной задачи.
Когда построена (подобрана) подходящая модель исходной задачи, то естественно искать решение в терминах этой модели. На этом этапе основная цель заключается в построении решения в форме алгоритма.
Само слово «алгоритм» происходит от algorithmi - латинской формы написания имени великого математика IX века Аль-Хорезми, который сформулировал правила выполнения арифметических действий. Первоначально под алгоритмами и понимали только правила выполнения четких арифметических действий над многозначными числами. Понятие «алгоритм» занимает одно из центральных мест в современной математике, прежде всего вычислительной. Алгоритмы прослеживаются в математике в течении всего времени ее существования. Но лишь в 20 в. в трудах Э.Бореля (1912) и Г.Вейля (1921) сформировалось общее определение алгоритма [37].
Определение 2.1. Алгоритм — это конечная последовательность инструкций, каждая из которых имеет четкий смысл и может быть выполнена с конечными вычислительными затратами за конечное время.
Началом систематической разработки теории алгоритмов можно считать 1936 г., когда А.Черч опубликовал первое уточнение понятия вычислимой функции и привел первый пример функции, не являющейся вычислимой, а А.Тьюринг и Э.Пост дали первые уточнения понятия алгоритма.
Алгоритмическую теорию можно разделить на дескрипторную, (качественную) и метрическую (количественную). Первая исследует алгоритмы с точки зрения устанавливаемого ими соответствия между исходными данными и результатами. К ней относятся в частности, проблемы построения алгоритма, обладающего теми или иными свойствами - алгоритмическая проблема. Определение 2.2. Алгоритмическая проблема — проблема, в которой требуется найти единый метод (алгоритм) для решения бесконечной серии однотипных единичных задач. Метрическая алгебраическая теория исследует алгоритмы с точки зрения сложности как самих алгоритмов, так и задаваемых ими вычислений, т.е. процессов последовательного преобразования конструктивных объектов. Следует подчеркнуть, что как сложность алгоритмов, так и сложность вычислений могут определяться различными способами. Одним из основных понятий теории алгоритмов является «область применимости алгоритма». Определение 2.3. Областью применимости алгоритма называют совокупность тех объектов, к которым он применим, т.е. в применении к которым дает результат. Алгоритм должен быть составлен таким образом, чтобы исполнитель, в расчете на которого он создан, мог однозначно и точно следовать командам алгоритма и эффективно получать определенный результат. Это накладывает на записи алгоритмов ряд обязательных требований, суть которых вытекает из самого определения. Обязательные свойства, которыми должны обладать алгоритмы [32]: 1. Дискретность. Описываемый процесс должен быть разбит на последовательность отдельных шагов. Возникающая в результате такого разбиения запись представляет собой упорядоченную совокупность четко разделенных друг от друга предписаний (директив, команд, операторов), образующих дискретную структуру алгоритма. Только выполнив требования одного предписания можно приступить к выполнению следующего. 2. Понятность. Используемые на практике алгоритмы составляются с ориентацией на определенного исполнителя. Следовательно, они должны содержать только набор команд, понятных исполнителю. 3. Определенность или детерминированность. Будучи понятным, алгоритм не должен содержать предписаний, смысл которых может восприниматься неоднозначно. В алгоритмах недопустимы ситуации, когда после выполнения очередной команды алгоритма исполнителю неясно, какая из команд алгоритма должна выполняться на следующем шаге. 4. Результативность. Обязательное требование к алгоритмам, смысл которого состоит в том, что при точном исполнении всех предписаний алгоритма процесс должен прекратиться за конечное число шагов и при этом должен получиться определенный результат. Вывод о том, что решения не существует - тоже результат. 5. Массовость. В простейшем случае массовость обеспечивает возможность использования различных исходных данных. В более широком смысле это понятие подразумевает, что алгоритмы должны обеспечивать решение не одной конкретной задачи, а некоторого класса задач данного типа. В алгоритме отражаются логика и способ формирования результатов решения задач с указанием необходимых расчетных формул, логических условий, соотношений для контроля достоверности результатов. В алгоритме обязательно должны быть предусмотрены все ситуации, которые могут возникать в процессе решения комплекса задач.
Сравнительный анализ трудоемкости алгоритма приведения матрицы к треугольной форме
Электролитический способ производства алюминия открыл француз Поль Эру и американец Чарльз Холл в 1886 [40]. Этот способ позволил значительно снизить стоимость алюминия по сравнению с уже существующими способами. Именно качество дешевого получения алюминия до сих пор сохранило этот метод в современном производстве, а совершенствование этого метода сделало его основным промышленным способом в получении алюминия.
Современное производство алюминия широко использует получение алюминия электролизом криолит-глиноземных расплавов, так как его реализация обходится дешевле, чем другие способы. Поэтому научные разработки направлены на усовершенствование этого метода.
Электролизер состоит из металлического корпуса, выложенного внутри огнеупорным кирпичом и углеродистыми материалами, угольной подины, анодного узла, анодно-катодных токоведущих шинопроводов, специальных укрытий с систЄхМой газоотсоса [39]. Угольная подина служит катодом и в процессе эксплуатации электролизера покрыта слоем расплавленного алюминия. На подине ванны находится слой расплавленного алюминия, выше его - слой электролита. Сверху в ванну опущен анод, частично погруженный в электролит.
Электролит представляет собой расплавленный криолит (ТЧазАШб) с небольшим избытком АШз, в котором растворен глинозем (А120з).
В состав электролита также входят NaF, CaF2, MgF2, LiF и ряд оксидов, поступающих в него с исходными продуктами. Температура процесса электролиза близка к температуре плавления указанной выше смеси и составляет 950-965С; массовая доля глинозема составляет от 1 до 8 %. Процесс электролиза состоит в электролитическом разложении глинозема, растворенного в электролите (АІ20з=2А1+1.502).
Твердый металлический алюминий легче твердого криолита и его сплавов с глиноземом. В расплавленном же состоянии плотность металла становится выше плотности криолита и криолит-глиноземных расплавов, поэтому выделяющийся в процессе электролиза алюминий собирается под слоем электролита на подине ванны.
Таким образом, на катоде выделяется алюминий, на аноде происходит окисление выделяющимся кислородом углерода с образованием смеси С02 и СО.
Стоит отметить, что при излишней концентрации глинозема, он осаждается на подине, что ведет к увеличению сопротивления и образованию «коржей» на ней, а как следствие, нарушение работы электролизера. Малое содержание глинозема в электролите приводит к резкому возрастанию напряжения на электролизере, в результате чего возникает анодный эффект и обильное выделение газов и паров [38].
Анодный эффект - это периодически возникающий искровой разряд [29]. Он является характерным явлением, наблюдаемым на аноде при электролизе расплавленных солей, в том числе и криолит-глиноземных расплавов. Представляет собой ярко выраженный нелинейный процесс. При этом на границе между электролитом и поверхностью погруженного в него анода возникают искровые разряды. Основным фактором возникновения анодного эффекта является обеднение электролита глиноземом вследствие его выработки.
В промышленном электролизе криолит-глиноземных расплавов анодный эффект с одной стороны имеет значение как явление, позволяющее контролировать работу ванны. Он облегчает обслуживание электролизера, сигнализируя о том, нормально или ненормально работает электролизер [40]. Если электролизер работает нормально, анодный эффект характеризуется резким скачком напряжения и возникает через одинаковые промежутки времени, соответствующие загружаемым в ванну порциям глинозема и рабочей силе тока. Если анодный эффект запаздывает или возникает через преждевременно и напряжение на электролизере во время анодного эффекта поднимается незначительно, то электролизер работает ненормально.
С другой стороны, возникновение анодного эффекта отрицательно сказывается на электролизере. При периодически возникающих анодных эффектах повышается расход электроэнергии, фтористых солей, осложняется работа источников постоянного тока.
Это заставляет ограничивать частоту анодных эффектов минимумом, необходимым для контроля за работой ванны, как правило не более, чем один раз в сутки, на 2-4 минуты. Важным фактором, характеризующим электролит, является его электропроводность, так как от величины падения напряжения в слое электролита зависят затраты электроэнергии. Поэтому, естественно, стремление применять электролит возможно более высокой электропроводности. Чем больше электропроводность электролита, тем меньше расход электроэнергии и меньше нагрев электролита, и, следовательно, можно увеличить силу тока, что почти равносильно росту производительности электролизеров. Электропроводность электролита в основном зависит от содержания глинозема. Было установлено [40], что удельная электропроводность криолитно-глиноземного расплава является линейной функцией содержания глинозема. Причем при увеличении содержания глинозема в криолите удельная электропроводность уменьшается. Еще одним важным свойством расплавленного электролита является его вязкость, так как от нее зависят скорость диффузии компонентов электролита, полнота отделения от него металла, удаление от него анодных газов и другие процессы, сопровождающие электролиз. Повышенная вязкость сказывается отрицательно на свойстве электролита. Более вязкий электролит обычно имеет меньшую электропроводность, так как в нем задерживаются пузырьки анодных газов и частицы угольного анода, что приводит к росту электролитического сопротивления электролита и ухудшению работы электролизера. Вязкость электролита уменьшается при введении добавок фтористого алюминия и хлористого натрия; фтористый кальций и фтористый магний увеличивают вязкость расплава и понижают общую растворимость глинозема, уменьшая скорость его растворения в расплавленном электролите.
Апробация алгоритма по приведению матрицы к форме BDF на модели управления процессом электролиза алюминия
Классическим способом решения системы (5.5) является решение методом Гаусса. В связи с тем, что разработанный алгоритм при л 11 более эффективен, чем прямой ход метода Гаусса, а матрица Н имеет размер 43x56, можно попробовать заменить прямой ход метода Гаусса на BTF-алгоритм. Матрица Н была приведена к треугольной форме четырьмя разными модификациями разработанного алгоритма: сортировкой строк, столбцов, по убыванию, возрастанию и сортировкой столбцов, строк по возрастанию, убыванию (приложения 7).
Первый, что матрица Н к треугольной форме путем перестановок строк и столбцов не приводится, только к блочной треугольной форме. Второй вывод, что при применении данного алгоритма, за счет слишком большого варьирования числа ненулевых элементов в строках (от 1 до 11), все ненулевые элементы стремятся к диагонали, главной или побочной, в зависимости от варианта алгоритма.
В связи с этим, напрашивалось решение, как и в случае с блочной диагональной формой, отделить от матрицы строки с числом ненулевых элементов больше двух, так как строк с одним, двумя ненулевыми элементами в матрице 36 из 43. Далее привести оставшуюся матрицу к блочной треугольной форме и добавить отделенные строки. Результат этого приема приведен в приложении 8. Если сравнить полученную матрицу Н с матрицей (5.14), то видно, что они очень похожи.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что данный алгоритм можно применять для решения больших разреженных систем уравнения, но в случае, если в матрице системы число ненулевых элементов строк варьируется в достаточно широком диапазоне, наиболее эффективным остается алгоритм BDF. 1. Процесс электролиза алюминия представляет собой взаимосвязь множества параметров. Это процесс, который является сложной многомерной многосвязной системой. 2. Применение единого топологического структурного метода для представления исследуемого объекта в целом приводит к системе линейных уравнений большой размерности. 3. Анализ получаемой системы линейных уравнений показывает, что система является разреженной и, следовательно, применение к ней специальных методов может позволить уменьшить трудоемкость по ее решению. 4. По построению, очевидно, что С-граф системы является связным и не может быть разбит на компоненты. Матрица структуры, соответствующая С-графу, несимметрична и незнакоположительна, прямоугольна. Поэтому, методы, существующие для разреженных систем, требуют модификации с целью успешного применения к данной системе линейных уравнений. 5. На примере синтеза системы управления процессом электролиза алюминия показана работа алгоритма. Полученные результаты полностью совпадают с результатами, ранее полученными Турусовым С.Н. в диссертационной работе [5]. Это подтверждает, что методика работает верно. Легкость алгоритма в понимании, минимальная трудоемкость и возможность использования компактной схемы хранения разреженной матрицы позволяет использовать его в дальнейшем. К новым полученным результатам можно отнести следующие: 1. Показано, что метод приведения матрицы к форме BDF, разработанный Р.Тьюарсоном для квадратных матриц, можно обобщить на случай прямоугольных матриц. 2. Обоснован выбор блочной диагональной формы, как наиболее приемлемой формы при решении больших прямоугольных разреженных систем линейных уравнений с достаточно большим количеством строк с несколькими ненулевыми элементами. 3. Разработан прямой метод приведения прямоугольной матрицы к форме BDF. Алгоритм имеет малую трудоемкость и легко поддается машинной реализации. 4. Теоретически выведены критерии, позволяющие заблаговременно судить о работе алгоритма по приведению матрицы к форме BDF. Эти критерии заключаются в следующем: - Если число ненулевых элементов Nz (m + n-2), то матрица приводится к форме BDF. - Если число ненулевых элементов Nz (m-2)(n-2) + n, то матрица не приводится к форме BDF. 5. Теоретически выведен критерии к , который способствует поиску строк, не позволяющих приводить матрицу к форме BDF. Опираясь на этот критерий матрицу можно привести к форме SBBDF. 6. Проведен сравнительный анализ методов Р.Тьюарсона и BDF-метода, основанный на определении временной сложности алгоритмов различными способами. Результаты анализа позволяют утверждать, что BDF-метод работает намного быстрее метода Тьюарсона независимо от размера, формы и структуры матрицы. 7. Разработан алгоритм приведения прямоугольной разреженной матрицы к блочной треугольной форме. Алгоритм имеет малую трудоемкость и легко поддается машинной реализации. 8. Проведен анализ полученного алгоритма, сравнение с другими алгоритмами по приведению матрицы к специальным формам, дано обоснование его применимости. 9. Проведена апробация разработанных алгоритмов на модели оптимизации процесса получения алюминия, разработанной Турусовым С.Н. Полученные результаты полностью совпадают с результатами, ранее полученными Турусовым С.Н. в диссертационной работе [5], показывая, что данные алгоритмы можно успешно применять в процессе синтеза системы управления сложными многосвязными объектами методом структурных графов. 10. Разработано программное обеспечение для приведения матрицы к форме BDF и расчета дополнительных параметров матрицы. Полученные результаты позволяют рекомендовать разработанные алгоритмы к применению в процессе синтеза системы управления сложными многосвязными объектами различной физической природы, описываемых большими разреженными прямоугольными системами линейных уравнений.
