Содержание к диссертации
Введение
1 Общая характеристика состояния проблемы и описание основных моделей 12
1.1 Системы с неопределенными параметрами 15
1.1.1 Квадратичная устойчивость и стабилизация 16
1.1.2 Квадратичная устойчивость и стабилизация систем с аффинными неопределенностями 18
1.1.3 Квадратичная устойчивость и стабилизация систем с по-литопными неопределенностями 21
1.2 Системы со случайными параметрами 22
1.2.1 Устойчивость и стабилизация систем с мультипликативными шумами 23
1.2.2 Устойчивость и стабилизация систем со случайными изменениями структуры 25
1.3 Повторяющиеся процессы 27
1.3.1 Дискретные модели повторяющихся процессов 27
1.3.2 Устойчивость и стабилизация повторяющихся процессов 30
2 Итерационные алгоритмы вычисления стабилизирующего управления с обратной связью по выходу 33
2.1 Постановка задачи робастной стабилизации 33
2.2 Стохастическая система сравнения 34
2.3 Робастная стабилизация с обратной связью по состоянию . 39
2.4 Робастная стабилизация с обратной связью по выходу 42
2.5 Итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления 46
2.6 Пример 50
3. Итерационные алгоритмы вычисления управления с обратной связью по выходу в задаче одновременной стабилизации множества дискретных систем 55
3.1 Задача одновременной робастной стабилизации 55
3.2 Стохастическая модель сравнения 56
3.2.1 Одновременная робастная стабилизация с обратной связью по состоянию 61
3.2.2 Одновременная робастная стабилизация с обратной связью по выходу 62
3.3 Пример 67
4. Алгоритмы вычисления стабилизирующего управления без использования итерационных процедур 71
4.1 Задача параметризации 72
4.2 Алгоритм вычисления матрицы усиления без использования итерационных процедур 76
4.3 Обобщение на системы случайной структуры 78
4.4 Одновременная стабилизация и робастная стабилизация . 80
4.4.1 Одновременная стабилизация 80
4.4.2 Робастная стабилизация 83
4.4.3 Стабилизирующее управление повторяющимися процессами 86
4.5 Примеры 89
4.5.1 Сравнение итерационного алгоритма и алгоритма без итераций для линейной дискретной системы 89
4.5.2 Сравнение итерационного алгоритма и алгоритма без итераций для одновременной стабилизации множества дискретных систем 91
5 Язык описания задач полуопределенного программирования SCIYALMIP в среде SCILAB 93
5.1 Интерфейс SCIYALMIP 96
5.1.1 Функция sdpsettings 97
5.1.2 Функция sdpvar 97
5.1.3 Функция set 105
5.1.4 Функция sdpsolve 108
5.2 Пример решения простого ЛМН 109
5.3 Особенности разработки языка моделирования SCIYALMIP 114
6 Заключение 120
- Квадратичная устойчивость и стабилизация систем с аффинными неопределенностями
- Итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления
- Одновременная робастная стабилизация с обратной связью по выходу
- Алгоритм вычисления матрицы усиления без использования итерационных процедур
Введение к работе
Актуальность проблемы. Вычисление матрицы усиления управления со статической обратной связью по выходу, стабилизирующего линейную систему, остается нерешенной до конца проблемой, несмотря на то, что получены разнообразные формы необходимых и достаточных условий существования такого управления. В то же время теория и практика современной теории управления приводят к необходимости решения этой проблемы в условиях неопределенности параметров объекта и действия случайных возмущений. В этих случаях слабо изучены также и сами условия существования стабилизирующего управления. Среди немногих публикаций можно отметить часто цитируемую работу Крузиуса и Трофино [14], где указаны достаточные условия для систем с неопределенными параметрами, и работу [26], где даются необходимые и достаточные условия для систем с марковскими переключениями. Для систем с параметрическими шумами какие-либо конструктивные результаты в этом направлении отсутствуют. В литературе утверждается, что алгоритмическая разрешимость задачи стабилизации по выходу относится к числу NP-трудных задач, хотя все авторы обычно адресуют к работам Блон-дела [5], где строгое и полное доказательство этого факта не приводится.
Цель работы состоит в создании методов, алгоритмов и программного обеспечения синтеза стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу для дискретных линейных систем с мультипликативными шумами и марковскими переключениями структуры, и изучении возможности применения полученных результатов к задачам робастной стабилизации.
Задачи работы. Исходя из целей работы, были поставлены следующие задачи:
1. Разработать методы и алгоритмы синтеза стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу для линейных дискретных систем с
мультипликативными шумами.
Разработать методы и алгоритмы синтеза управлений для задачи одновременной стабилизации по выходу множества линейных дискретных систем с мультипликативными шумами.
Описать в параметрической форме множество всех стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу для дискретных линейных систем с мультипликативными шумами и марковскими переключениями структуры.
Исследовать возможность применения полученных результатов к задачам робастной и одновременной робастной стабилизации, в частности найти условия, при которых управление, стабилизирующее стохастическую систему, будет обеспечивать робастную стабилизацию системы с неопределенными параметрами.
Для численной реализации алгоритмов синтеза стабилизирующих управлений создать программное приложение к свободно распространяемому пакету для научных расчетов SCILAB с удобным пользовательским интерфейсом.
Методы исследования. Для теоретических исследований в данной работе использован метод функций Ляпунова и его стохастический аналог, методы выпуклого анализа и полуопределенного программирования. Для численного анализа и моделирования использованы среды: MATLAB, с решателями SeDuMi, CSDP, SDPA и синтаксическим анализатором YALMIP и SGILAB, с решателями GSDP, SDPA и разработанным автором синтаксическим анализатором SCIYALMIP.
Научная новизна. В работе получены и выносятся на защиту следующие новые научные результаты:
Метод и локально сходящийся итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления управления со статической обратной связью по выходу, одновременно стабилизирующего множество дискретных линейных систем с мультипликативными шумами.
Метод и локально сходящийся итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу, одновременно стабилизирующего множество дискретных линейных систем с неопределенными параметрами.
Параметрическое описание множества всех стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу для дискретных линейных систем с мультипликативными шумами и марковскими переключениями.
Алгоритмы вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу без использования итераций, полученные на основе достаточных условий стабилизации, следующих из предложенного параметрического описания.
Язык описания задач полуопределенного программирования - SCIYALMIP, совместимый со свободно распространяемым пакетом для научных вычислений SCILAB.
Практическая ценность. Основным практическим результатом диссертации является разработанное программное приложение SCIYALMIP к свободно распространяемому пакету SCILAB, позволяющее решать задачи полуопределенного программирования с предоставлением интерфейса, аналогичного используемому в популярном синтаксическом анализаторе YALMIP для пакета MATLAB.
Апробация полученных результатов. Основные результаты были представлены на следующих научных мероприятиях.
9th IFAC Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing, Санкт-Петербург, 29-31 августа 2007 г.
Ill Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB", Санкт-Петербург, 23-26 октября 2007 г.
Научная конференция учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства" Нижегородского государственного университета имени Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород, 27-30 ноября 2007 г.
16th International Conference on Systems Science, Вроцлав, Польша 4-6 сентября 2007 г.
X Международный семинар им. Е.С. Пятницкого, Москва, ИПУ РАН, 3-6 июня 2008 г.
17th International Congress of IFAC, Сеул, Корея, 6-11 июля 2008 г.
14th International Congress on Cybernetics and Systems Science of WOSC, Вроцлав, Польша, 9-12 сентября 2008 г..
XV международная конференция по автоматическому управлению, Одесса, Украина, 23-26 сентября 2008 г.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 7 печатных работах. В совместных работах научному руководителю принадлежат постановки задач и идеи доказательств и алгоритмов. Доказательства теорем, разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения принадлежат автору.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №-№07-01-92166-НЦНИ_а, 08-01-9703б-р_поволжье_а) и программы Национального центра научных исследований Франции PICS №.4281.
В первой главе приводятся краткий обзор состояния проблемы, обоснование актуальности проблемы, формулировка цели и задач исследования, описание используемых математических моделей. Формулируются некоторые нестандартные понятия и определения. Дается общая характеристика программного обеспечения, используемого при численном исследовании поставленных задач.
Во второй главе рассматривается задача стабилизации линейной дискретной системы с мультипликативными шумами управлением со статической обратной связью по выходу. Предлагается сходящийся итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления. В основу алгоритма положен метод, в котором управление с обратной связью по выходу рассматривается как элемент подмножества управлений, удовлетворяющих специальным структурным ограничениям в стохастической за-даче линейно-квадратического регулятора. Формулировка этих ограничений в терминах сингулярного разложения матрицы выхода позволила построить итерационный алгоритм в терминах линейных матричных уравнений и неравенств, что позволило использовать эффективное программное обеспечение для решения задач полуопредсленного программирования. В этой главе выделен также класс стохастических систем сравнения, т.е. таких систем, из устойчивости которых в среднем квадратическом следует устойчивость систем с аффинными неопределенностями из заданной области, и, таким образом, предложенный итерационный алгоритм можно использовать для вычисления матрицы усиления робастного стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу. В главе приводится ряд примеров на базе
моделей из библиотеки Фридмана Лейбфрица - COMPleib, которую специалисты считают определенным стандартом при тестировании новых алгоритмов. Дается численный пример робастной стабилизации углового движения гипотетического легкого сверхзвукового самолета на основе сравнения со стохастической моделью.
В третьей главе предлагается сходящийся итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления управления со статической обратной связью по выходу, одновременно стабилизирующего заданное множество линейных дискретных систем с мультипликативными шумами. В основу алгоритма положено обобщение результатов главы 2. В этой главе, как и в предыдущей, выделен класс стохастических систем сравнения, и, таким образом, предложенный итерационный алгоритм можно использовать для вычисления матрицы усиления управления со статической обратной связью, одновременно стабилизирующего заданное множество дискретных линейных систем с аффинными неопределенностями. Дается численный пример одновременной робастной стабилизации углового движения гипотетического легкого сверхзвукового самолета для заданного множества режимов полета с учетом неопределенностей параметров в каждом режиме.
В четвертой главе развивается альтернативный подход к вычислению матрицы усиления стабилизирующего управления. Численные эксперименты с разработанными итерационными алгоритмами показали, что они в полной мере обладают недостатками, присущими алгоритмам этого типа. Главным из них является существенная зависимость скорости сходимости от начального приближения. Кроме того, и сама процедура выбора начального приближения является нетривиальной. Это стимулировало поиск других алгоритмов, не использующих итерационные процедуры. Такие алгоритмы удалось построить на основе параметризации множества стабилизирующих управлений с обратной связью по выходу. Задача параметризации решается в дан-
ной главе для линейных дискретных систем с мультипликативными шумами и переключениями структуры по закону однородной марковской цепи. Описание множества всех стабилизирующих регуляторов со статической обратной связью по выходу дается в терминах решения системы матричных квадратных неравенств и линейных матричных уравнений, которые нелинейно связаны между собой. В качестве параметров используются матрицы, аналогичные весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора. Попытка непосредственного решения этих неравенств и уравнений, в силу упомянутых нелинейных связей, приводит к невыпуклым соотношениям, весьма сложным для эффективной численной реализации. Предложена выпуклая аппроксимация указанных соотношений, что позволяет свести нахождение матрицы усиления стабилизирующего управления к решению вспомогательной задачи оптимизации при ограничениях в виде линейных матричных уравнений и неравенств. Как частные случаи, соответствующие специальному виду матрицы вероятностей перехода марковской цепи, получаются решения задач одновременной стабилизации и робастной стабилизации. Дается обобщение результатов для класса повторяющихся дискретных линейных процессов с неопределенными параметрами. На примерах моделей из библиотеки COMPleib дается сравнительный анализ итерационных алгоритмов и алгоритмов без итераций. Приводится также пример применения алгоритмов без итераций к задаче одновременной робастной стабилизации углового движения гипотетического легкого сверхзвукового самолета для заданного множества режимов полета с учетом неопределенностей параметров в каждом режиме.
В пятой главе дается описание разработанного автором языка и интерфейса SCIYALMIP, предназначенного для решения задач полуопределенного программирования, совместимого со свободно распространяемым пакетом SCILAB и аналогичного языку синтаксического анализатора YALMIP в сре-
де MATLAB. Описываются особенности внутренней структуры и реализации SCIYALMIP. Численные примеры, приводимые в данной работе, были получены, в том числе, с использованием SCIYALMIP. К настоящему моменту SCIYALMIP поддерживает следующие решатели для задач линейного, квадратичного и полуопределенного программирования: LP, QP, LMISOLVER, CSDP, SDPA. В ближайшем будущем планируется добавить решатели для целочисленного(МІР) программирования и программирования на конусе второго порядка (SOCP).
Квадратичная устойчивость и стабилизация систем с аффинными неопределенностями
Задача синтеза линейного стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу до сих пор является одной из нерешенных до конца, несмотря на то, что такой тип обратной связи является наиболее простым [5]. Основная трудность здесь заключается в вычислении матрицы усиления стабилизирующего управления. В самом деле, в настоящее время известен целый ряд необходимых и достаточных условий стабилизации с помощью линейной статической обратной связи по выходу, но их характер не позволяет получить соответствующие конструктивные алгоритмы вычисления матрицы усиления [14]. Причина этой трудности состоит в том, что соотношения для нахождения матрицы усиления, полученные на основе необходимых и достаточных условий устойчивости, оказываются невыпуклыми [б] и, в результате, не поддаются эффективному численному анализу. Нахождение подходящих выпуклых аппроксимаций является также непростой задачей, поскольку непонятно, насколько ограничительными оказываются полученные достаточные условия.
В общих чертах, чтобы справиться с вычислительными трудностями задачи стабилизации статической обратной связью по выходу, можно использовать либо подходящие выпуклые аппроксимации в виде линейных матричных неравенств (ЛМН), для численного решения которых в настоящее время разработано эффективное программное обеспечение, либо итерационные алгоритмы, либо комбинации итерационных алгоритмов с выпуклыми аппроксимациями. С другой стороны, непосредственное применение теории устойчивости Ляпунова приводит здесь к неравенству Ляпунова относительно двух неизвестных: положительно определенной матрицы квадратичной функции Ляпунова и матрицы усиления. Относительно этих переменных неравенство
Ляпунова представляет собой билинейное матричное неравенство (БМН). Исследование БМН для задач управления стало популярным начиная с середины 90х годов прошлого века. При этом численных методов решения БМН, сравнимых по эффективности с методами решения ЛМН, к настоящему времени не получено.
Таким образом, можно выделить два крупных направления, в рамках которых решается задача вычисления матрицы усиления. Первое связано с построением итерационных процедур и выпуклых аппроксимаций с применением алгоритмов решения ЛМН, второе основано на применении алгоритмов решения БМН.
Первое направление предполагает использование программного обеспечения для решения ЛМН. К настоящему времени для этой цели разработано множество эффективных коммерческих и некоммерческих программ, называемых решателями ЛМН. Список решателей постоянно пополняется и его текущий вариант можно найти на сайте YALMIP. Что касается второго направления, здесь можно отметить лишь единственную универсальную коммерческую программу для решения БМН - PENBMI [19], которая применялась со средним успехом для задач невысокой размерности.
Развитие теории управления приводит к необходимости решения задачи стабилизации по выходу для более сложных классов линейных систем: систем со случайными и неопределенными параметрами, систем случайной структуры, повторяющихся процессов и т.д. Наряду с отмеченными общими трудностями, здесь возникают еще дополнительные, связанные с особенностями моделей и постановок задач.
В данной работе, в рамках первого направления, разрабатываются методы и алгоритмы вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления с обратной связью по выходу для различных классов дискретных систем со случайными и неопределенными параметрами. Эти результаты являются новыми и для детерминированных линейных дискретных систем.
Исследования в рамках избранного направления предполагают активное использование программного обеспечения (ПО) для решения задач полуопределенного программирования, в частности, задач оптимизации при ограничениях в виде ЛМН. Для этих целей широкую популярность приобрел некоммерческий пакет YALMIP [17], предоставляющий пользователю универсальный язык описания задач полуопределенного программирования независимо от используемого решателя (всего YALMIP поддерживает около 100 программ-решателей). Этот язык близок к обычному математическому описанию и автоматизирует всю работу по программированию на более низком уровне. Пакет YALMIP предназначен для работы в среде MATLAB и, хотя сам YALMIP и большинство решателей являются некоммерческим программным обеспечением, их применение подразумевает наличие лицензии на MATLAB. Такая серьезная зависимость от коммерческого пакета MATLAB привела к созданию альтернативного свободно распространяемого программного обеспечения (по сути это во многом напоминает ситуацию с Windows н Linux). Одним из таких продуктов является SCILAB, разработанный во Франции и в настоящее время поддерживаемый консорциумом SCILAB, созданным по инициативе INRIA. Существенно отметить, что среда SCILAB разрабатывалась на платформе Linux, и главный акцент разработчики делают на поддержку Linux версии, хотя существует и Windows вариант продукта. Для создания полностью некоммерческого ПО, автором был разработан язык и интерфейс SCIYALMIP для решения задач полуопределенного программирования, совместимый с пакетом SCILAB и аналогичный интерфейсу YALMIP в среде MATLAB . К настоящему моменту SCIYALMIP поддерживает следующие решатели задач полуопределенного программирования: LP, QP, LMISOLVER, CSDP, SDPA. В ближайшем будущем планируется добавить решатели для целочисленного(МІР) программирования и программирования на конусе второго порядка (SOCP). SCIYALMIP был протестирован на ряде типовых задач и на разработанных автором алгоритмах.
Итерационный алгоритм вычисления матрицы усиления стабилизирующего управления
Для решения системы уравнений (2.45) и нахождения матрицы усиления К стабилизирующего управления можно предложить следующий алгоритм, гарантирующий на каждом шаге выполнение условия (2.46).
Доказательство. В соответствии с алгоритмом Kj+i — КІ + /ЗІАКІ, из чего получим Разработанный итерационный алгоритм был проверен на числовых данных из библиотеки Фридмана Лейбфрица [15], где собраны наиболее характерные задачи управления со статической обратной связью по выходу из различных областей. При этом решалась задача стабилизации детерминированной системы управлением (2.4). Результаты вычислений в среде MATLAB/SeDuMi при относительной погрешности є =1е-7 представлены в таблице 1.
Отметим большой разброс в числе итераций, а также то, что эти результаты удалось получить только с помощью решателя SeDuMi, который существует только в среде MATLAB, другие решатели с задачами не справились, поэтому пакет SCIYALMIP, написаний в среде SCILAB, не может быть использован в данном случае. В этой связи, весьма перспективной представляется разработка группой ученых из Франции, среды для научных расчетов, известной как NSP или Tumbai, которая является совместимой с SCILAB и MATLAB, что дает возможность эффективно встраивать в среду NSP программы-решатели, написаные под MATLAB. В настоящее время создана версия SeDuMi для работы в этой среде, что открывает перспективу создания YALMIP интерфейса для NSP. тательного аппарата при условии, что его параметры точно неизвестны. Линеаризованная модель такого движения задается следующими уравнениями: где & - угол тангажа, LOZ - угловая скорость тангажа, G = $ — а - угол наклона траектории, а - угол атаки, 5 - угол отклонения руля высоты. Переменными состояния и управления системы будут соответственно
Обычно непосредственному измерению доступны только "& и u)z, тогда вектор выхода будет иметь вид:
В рассматриваемом режиме полета летательный аппарат имеет неопределенности, задаваемые соотношениями:
Числовые значения параметров взяты из работы [50]: a zQ = 78, а 0 = —2.8, а!;го = 4.1, а 20 = —57. Предполагается, что управление формируется с помощью бортовой ЦВМ, при этом где Г - период дискретности ЦВМ. Задача состоит в нахождении такой постоянной матрицы F коэффициентов усиления обратной связи по выходу (2.3), при которой система (2.51) будет устойчивой при заданных неопределенностях параметров.
Для нахождения такой матрицы был использован алгоритм 1, при этом начальная матрица усиления Ко вычислялась по формуле (2.30), где матрица Р находилась из решения вспомогательной задачи оптимизации (2.27) при ограничениях в виде линейных матричных неравенств (2.28).
Одновременная робастная стабилизация с обратной связью по выходу
Согласно [51], управление с обратной связью по выходу (3.4) обеспечивает ЭУСК системы (3.5) тогда и только тогда, когда существует матрица Р Є Sm, удовлетворяющая неравенствам Пару матриц (P,F), удовлетворяющую (3.26), назовем стабилизирующей по выходу. Очевидно, что если такая пара существует, то (Р, FC) будет также стабилизирующей по состоянию парой. Решение неравенства (3.26) связано со значительными трудностями. Его можно свести к системе ЛМН относительно двух взаимно обратных матриц, но это не упрощает задачу, поскольку связь между указанными матрицами остается нелинейной. Эти трудности привлекают внимание к другим возможным подходам. Предположим, что управление (3.4) стабилизирует систему (3.5) в среднем квадратичном. Если уравнение разрешимо относительно F, то эта матрица является матрицей усиления управления с обратной связью по выходу (3.4), и оно может быть легко найдено из этого уравнения. Это возможно только при специальной структуре матрицы К. Сформируем структурные ограничения на матрицу К. Следуя [45] запишем сингулярное разложение для матрицы С : где U и V - ортогональные матрицы, S - прямоугольная матрица, элементы которой с равными индексами являются сингулярными числами С, а остальные элементы нулевые. Определим V = [V\ V2], где V\ Є Rmxr, V i Є Rmx(m-r). Можно показать, что если то уравнение (3.27) разрешимо относительно F. Таким образом, если матрица усиления стабилизирующего управления с обратной связью по состоянию (3.3) удовлетворяет (3.28), то F = КС+ является точным решением (3.27) и представляет собой матрицу усиления стабилизирующего управления с обратной связью по выходу (3.4). Матрица усиления К нелинейно зависит от переменных X и Y из (3.24) и попытка решить линейные матричные неравенства (3.24) вместе с ограничением (3.28) не приводит к конструктивному результату.
В силу этой причины попытаемся учесть это ограничение, используя метод множителей Лагранжа. Рассмотрим семейство функционалов где Qi = Qf 0, Ik = Rf 0. Введем функцию Ляпунова V(x) = хтРх и предположим, что она удовлетворяет где Li - стохастическая первая разность вдоль траекторий г-ой системы множества (3.5) с ип = FCxn. Если (Р, F) стабилизирующая по выходу пара, тогда, используя дискретный вариант формулы Ито [51], получим где X = EfaJo Q1]. Это означает, что если уравнения (3.30) выполнены, то величина математического ожидания в правой стороне выражения (3.29) одинакова для всех г = 1,..., v, и можно поставить следующую задачу оптимальной одновременной стабилизации. Найти такое управление в форме (3.3), которое обеспечивает ЭУСК всех систем (3.5) и минимизирует функционал (3.29) вдоль решений системы (3.21) при ограничениях (3.28), (3.30). Ограничение (3.30) эквивалентно следующей системе матричных уравнений: Таким образом, приходим к задаче минимизации функции при ограничениях (3.28), (3.32). Это стандартная задача Лагранжа. Решая ее с учетом результатов [25,45], получим следующий итерационный алгоритм, который гарантирует ЭУСК на каждом шаге. Алгоритм 2 1. Задаем матрицы Qi 0, РЦ_ 0, X 0 и находим значение начальной матрицы усиления К из (3.24), (3.25). Эта матрица обеспечивает ЭУСК множества систем 3.21. 2. Решаем неравенства относительно Yn и систему неравенств относительно Рп : и находим If,j+i = Кп + /ЗпАКП! где 0 /Зп 2 и /Зп выбирается таким образом, чтобы система (3.5) с новым значением матрицы усиления была экспоненциально устойчивой в среднем квадратичном. Полагаем 4. Если \\KnV21 є, то вычисления заканчиваем и полагаем F — КС+, иначе идем к шагу 2.
Следующая теорема дает метод вычисления таких /?„, чтобы обеспечивались ЭУСК множества систем (3.5) на каждом шаге алгоритма и сходимость алгоритма. Введем следующие обозначения для і = 1,..., и, j = 1,..., N Теорема 13 .(Сходимость алгоритма 2) Пусть параметр (Зп удовлетворяет на каждом шаге условию 0п min min{/3 ,2} ,где / - положи i тельный корень квадратного уравнения Тогда рассмотренный алгоритм сходится, и закон управления f(3.3)j с матрицей усиления К = Кп, г — 1,2,... обеспечивает ЭУСК системы (3.5). Доказательство приведенной теоремы практически полностью аналогично доказательству теоремы из предыдущей главы для случая стабилизации одной системы. Теперь на каждом шаге алгоритма нужно выбирать параметр (3 таким образом, чтобы сохранялась ЭУСК всех систем множества (3.5), что обеспечивается выбором (Зп из условия (Зп min min{/ ,2}. г В задачах автоматического управления полетом часто бывает необходимо найти такие постоянные настройки регулятора с обратной связью по выходу, которые обеспечили бы стабилизацию летательного аппарата во всех возможных режимах. В данном разделе на основе предложенного итерационного алгоритма решается задача стабилизации продольного углового движения многорежимного летательного аппарата в нескольких возможных режимах полета. Линеаризованная модель такого движения задается следующими уравнениями
Алгоритм вычисления матрицы усиления без использования итерационных процедур
Рассмотренные в предыдущих главах итерационные алгоритмы обладают всеми недостатками, свойственными алгоритмам градиентного типа: они имеют невысокую скорость сходимости, существенную зависимость числа шагов от начального приближения и склонность к зацикливанию. Этот факт создает предпосылки поиска новых подходов без использования итераций. В данной главе используется иной подход - основанный на параметрическом описании множества всех стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу. Известно, что это множество невыпукло [21], поэтому следует ожидать, что на основе исходных соотношений эффективных алгоритмов вычисления матрицы усиления получить не удастся. Естественным подходом для преодоления этой трудности является выпуклая аппроксимация области стабилизирующих управлений. Эффективность такой аппроксимации существенно зависит от выбора свободных параметров и от формы записи соотношений параметризации. После того как подобная аппроксимация получена, для вычисления матрицы усиления можно использовать методы полуопределенного программирования, которые приводят к алгоритмам без итерационных процедур. Параметризация является важным инструментом при синтезе систем управления. Наглядным примером может служить задача линейно-квадратичного регулятора, где параметры задаются как элементы весовых матриц квадратичного функционала, в зависимости от которых получаем некоторое множество стабилизирующих регуляторов с обратной связью по состоянию. Ситуация существенно усложняется в случае управления с обратной связью по выходу. Здесь предложен целый ряд вариантов параметризации [18,21,36-38], но ни один из них не дает эффективных алгорит мов вычисления матрицы усиления. Предлагаемые подходы приводят либо к двум нелинейно связанным линейным матричным неравенствам [21,36], либо к нестандартному матричному квадратному уравнению [37,38], методы решения которых неизвестны.
В этом разделе задача параметризации стабилизирующих регуляторов со статической обратной связью по выходу для дискретных стохастических систем [30] решается на основе введения параметров, аналогичных весовым матрицам в задаче линейно-квадратичного регулятора. Находится выпуклая аппроксимация решения, которая дает возможность получить конструктивные алгоритмы вычисления матрицы усиления без использования итерационных процедур. При этом, для задания матриц параметров, может быть использована методология решения задачи линейно-квадратичного регулятора.
Дается пример, где сравниваются итерационный алгоритм и алгоритм без итераций для решения задачи робастной стабилизации по выходу. Численные исследования проводятся в среде MATLAB (синтаксический анализатор YALMIP, решатель SeDuMi) и в среде SCILAB (синтаксический анализатор SCIYALMIP, решатели CSDP и SDPA).
Рассмотрим стохастическую систему с дискретным временем, описываемую уравнением
где х Є Шт, и єЖк, у Є Rp - векторы состояния, управления и выхода соответственно; Vj(n) - компоненты N - мерного гауссовского дискретного белого шума v(n) с единичной ковариационной матрицей; jj (j = 1,..., АГ) - положительные скаляры; А, В, С, Aj, Bj(j = 1,..., JV) - постоянные матрицы согласованных размеров. Будем предполагать, что вектор шума v(n) не зависит от начального состояния системы (4.1), и матрица С имеет полный ранг по строкам. Определим закон управления с обратной связью как
Поставим задачу описать в параметрической форме все матрицы усиления в (4.2), при которых система (4.1), (4.2) экспоненциально устойчива в среднем квадратическом (ЭУСК) [51]
Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия параметризации всех матриц усиления стабилизирующих управлений со статической обратной связью по выходу. Она является дальнейшим продолжением и развитием направления исследований, базирующихся на квадратичной функции Ляпунова и задаче о линейно-квадратичном регуляторе [18,37,38,43]. определенное решение системы неравенств.
Из этого неравенства следует, что F - матрица усиления стабилизирующего управления. Уравнение (4.4) является нестандартным матричным уравнением, методы решения которого неизвестны. Поэтому попытаемся найти достаточные условия, на основе которых можно построить алгоритм вычисления матрицы усиления F.
Предположим, что для некоторого скаляра ц, 0 справедливо следующее неравенство где U и V - ортогональные матрицы, S - прямоугольная матрица, элементы которой с равными индексами являются сингулярными числами С, остальные элементы равны нулю. Запишем матрицу V в блочной форме V = [Vi V2], где Vi Є Rmxp, V2 Є mmx(m-p\ Согласно [21,36,38] и результатам предыдущих глав, уравнение (4.3) имеет точное решение F, если что представляет собой стандартное ограничение на весовые матрицы в задаче линейно-квадратичного регулятора. Уравнение (4.11) гарантирует разрешимость (4.3) относительно матрицы усиления F. Таким образом, условия представляются конструктивными, и далее это будет подтверждено численными экспериментами.
Рассмотрим достаточные условия из следствия 3. Положительно определенная матрица Р — РТ, удовлетворяющая (4.10) может быть найдена, как решение следующей задачи оптимизации, при ограничениях в виде линейных матричных неравенств [1,3].
