Содержание к диссертации
Введение
1 Анализ методов построения математических моделей линейных динамических систем 9
1.1 Математические модели линейных динамических систем 9
1.2 Обзор методов параметрической идентификации линейных динамических систем 12
1.3 Обзор методов структурной идентификации линейных динамических систем 27
1.4 Постановка задачи исследования 32
1.5 Выводы к первой главе 33
2 Структурная идентификация динамических систем по критерию ограниченных невязок модели 35
2.1 Формализация метода ограниченных невязок 35
2.2 Построение разностного уравнения по методу ограниченных невязок 37
2.3 Построение системы разностных уравнений по методу ограниченных невязок 46
2.4 Выводы ко второй главе 49
3 Программная реализация и исследование метода ограниченных невязок 50
3.1 Программная реализация метода ограниченных невязок 50
3.2 Методика исследования метода ограниченных невязок 54
3.3 Исследование метода ограниченных невязок при идентификации линейных одномерных динамических систем 63
3.4 Исследование метода ограниченных невязок при идентификации линейных многомерных динамических систем 64
3.5 Сравнение метода ограниченных невязок с методом структурной идентификации по функции потерь 66
3.6 Выводы к третьей главе 70
4 Структурно-параметрическая идентификация рулевого привода летательного аппарата 73
4.1 Методика структурно-параметрической идентификации рулевого привода летательного аппарата 73
4.2 Результаты структурно-параметрической идентификации рулевого привода летательного аппарата 79
4.3 Выводы к четвертой главе 86
Заключение 88
Библиографический список 92
Приложение 101
- Обзор методов параметрической идентификации линейных динамических систем
- Построение разностного уравнения по методу ограниченных невязок
- Исследование метода ограниченных невязок при идентификации линейных одномерных динамических систем
- Результаты структурно-параметрической идентификации рулевого привода летательного аппарата
Введение к работе
Методы идентификации, как методы построения математических моделей реальных динамических систем, подверженных неконтролируемым случайным воздействиям (стохастических систем), сегодня являются важной составной частью процесса решения задач управления.
Если априорной информации об объекте исследования не имеется (или она нуждается в подтверждении), существующие методы определения порядка математических моделей реальных динамических систем не способны ответить на все вопросы об особенностях системы и обозначают лишь некоторые ориентиры в выборе возможной модели.
Например, во многих методах определения порядка модели результаты работы соответствующих алгоритмов отображаются в виде графиков, таблиц и т.п., и выбор значения порядка модели осуществляется исследователем вручную.
Ряд существующих методов структурной идентификации используют функцию потерь в виде суммы квадратов невязок модели. Такая функция потерь усредняет значения невязок, что недопустимо при решении ряда практических задач, в которых необходимо выполнения условия ограниченности невязок.
В отсутствии общей теории структурной идентификации динамических систем, остается актуальной задача создания нового эффективного метода определения порядка динамической системы, использующего условие ограниченности невязок.
Целью диссертационной работы является разработка метода структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем, использующего условие ограниченности невязок.
Для достижения цели исследования были поставлены и решены следующие задачи:
разработать метод структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем, использующий условие ограниченности невязок - метод ограниченных невязок;
разработать программное обеспечение, реализующее метод ограниченных невязок;
экспериментально подтвердить работоспособность разработанного метода структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем при идентификации рулевого привода летательного аппарата.
Объектом исследования являются линейные стохастические динамические системы, описываемые разностными уравнениями и системами разностных уравнений.
Предметом исследования являются методы структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем.
В диссертационной работе использованы вероятностно-статистические методы исследования, а также методы имитационного моделирования.
Научная новизна работы заключается в следующем: разработан метод построения моделей одномерных и многомерных линейных динамических систем в виде разностного уравнения и системы разностных уравнений, использующий в качестве критерия качества модели частоту ограниченных невязок и определяющий отдельно порядки левой и правой частей каждого разностного уравнения системы. На защиту выносятся:
метод построения разностного уравнения и системы разностных уравнений линейных динамических систем по экспериментальным данным, использующий условие ограниченности невязок (метод ограниченных невязок);
комплекс программ, реализующий разработанный метод ограниченных невязок;
результаты структурно-параметрической идентификации рулевого привода летательного аппарата.
Достоверность полученных результатов подтверждена результатами проведенных в работе 9900 вычислительных экспериментов по идентификации 300 одномерных и многомерных линейных динамических систем.
Результаты диссертационной работы могут быть использованы при построении математических моделей широкого класса реально функционирующих линейных динамических систем, подверженных действию случайных воздействий.
Основные результаты диссертации внедрены на ФГУП «Конструкторское бюро приборостроения», г. Тула.
Результаты работы докладывались на следующих конференциях:
III международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRO'04). М.: ИЛУ РАН, 28-30 января 2004г;
II Всероссийская научная конференция «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB», М.: ИПУ РАН, 25-26 мая 2004г.
По результатам проведенных исследований опубликовано 7 работ.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и приложения. Работа изложена на 105 страницах, содержит 24 иллюстрации и 14 таблиц. Библиографический список включает 88 наименований.
В первой главе проведен анализ существующих методов построения математических моделей реальных линейных динамических систем, подверженных действию случайных воздействий.
Рассмотрены два типа моделей линейных динамических систем: разностное уравнение и система разностных уравнений.
Проведен обзор существующих методов параметрической идентификации. Необходимость их рассмотрения связана с тем, что большинство методов структурной идентификации используют методы параметрической идентификации в процессе своей реализации.
Рассмотрены и проанализированы основные существующие методы структурной идентификации.
По результатам рассмотрения материала сделан вывод о том, что существующие методы структурной идентификации обладают большой степенью субъективности при оценке порядка моделей динамических систем и не учитывают необходимость ограничения невязок моделей.
Обзор методов параметрической идентификации линейных динамических систем
Процесс выбора характеристик (параметров) модели из заданного класса для наилучшего описания результатов представляет собой одно из достаточно общих определений понятия оценивания (идентификации) [9].
Во многих задачах погрешности удобно интерпретировать как помехи (ошибки) наблюдения. В большинстве математических исследований последних 50-ти лет помехам в измерениях или ошибкам в описании свойств модели приписываются некоторые статистические свойства. И на их основе теоретически исследуются свойства оценок. Наиболее часто предполагается центрированность помех. В инженерной практике широко используются алгоритмы, основанные на идеях обыкновенного метода наименьших квадратов, представляющего собой усреднение данных наблюдения.
Теория оценивания тесно связана с теорией оптимизации. Наиболее часто задачи теории оценивания и оптимизации математически формализуются в виде задачи о поиске для некоторой функции fif) аргумента из области определения, определяющего минимум ее значения: min/ В литературе [9, 54, 58, 86] и приложениях эту функцию называют: функция потерь, целевая функция, функционал качества, функционал среднего риска. Аргумент функции, относительно которого ставится задача, называют вектором регулируемых или оцениваемых параметров.
Как математическая наука теория оценивания была основана в 1806г. [9], с появлением работы A.M. Лежандра о наименьших квадратах. Честь основателя принадлежит и К.Ф. Гауссу, опубликовавшему свою версию метода наименьших квадратов (МНК) в 1809 г.
В начале XX века А.А.Марков [25] развил теоретическое обоснование метода наименьших квадратов. Фундамент современного состояния теории оценивания заложен Р. Фишером в 20-30-х годах прошлого века [77]. Р.Фишер предложил метод максимума правдоподобия и показал, что получаемые по нему оценки не могут быть существенно улучшены. Р.Фишером также введены понятия несмещенности, достаточности, состоятельности, эффективности и асимптотической эффективности оценок. Р. Фишер избавил теорию оценивания от жестких ограничений, существовавших с момента появления работ К.Ф.Гаусса. Обобщения его теории привели к развитию современных методов непараметрического и робаст-ного оценивания [32], в которых точная природа распределения вероятностей оцениваемых случайных величин не предполагается известной.
Основы теории оптимальной фильтрации стационарных процессов были заложены в работах А.Н.Колмогорова [19] и закрытом отчете Н.Винера [84]. Н. Винер, в частности, показал, что теория оценивания может быть применена для синтеза фильтра, который обеспечивает наилучшее выделение сигнала при наличии стационарной помехи.
В конце 40-х годов XX века закладываются основы статистической теории связи, или теории информации. В 1947 г. в докторской диссертации В.А. Котельникова «Теория потенциальной помехоустойчивости» [20] впервые сформулирована задача оптимального статистического синтеза приемных устройств и дается решение задачи обнаружения и различения детерминированных сигналов на фоне коррелированной помехи. Широкое признание среди инженеров-проектировщиков систем связи получила интерпретация Боде-Шеннона [76] процедуры синтеза оптимального фильтра. В то же время Н. Винер публикует книгу «Кибернетика, или управление и связь в животном и машине» [7], возвестившую о становлении новой науки - кибернетики, в которой информационно-управленческая связь в явлениях материального мира выступает как его фундаментальное свойство.
В конце 50-х годов XX века при исследовании оптимальных фильтров, синтезируемых для обработки результатов наблюдения на конечном интервале времени, были предложены подходы, не использующие интегральное уравнение Винера-Хопфа. Р. Калман и Р. Бьюси [15] показали, что вместо его исследования часто бывает желательно (и возможно) превратить интегральное уравнение в нелинейное дифференциальное, решение которого дает ковариацию ошибки оптимального фильтра. В свою очередь, эта ковариация содержит всю необходимую информацию для проектирования. Этот подход, по существу представляющий собой рекуррентный вариант МНК, в частных случаях исследовался ранее и другими авторами, но именно с работ Р. Калмана и Р. Бьюси в начале 60-х годов XX века началось развитие методов теории рекуррентного (последовательного) оценивания, в рамках которой задача оптимальной фильтрации получила существенное продвижение. Рекуррентные процедуры оценивания (фильтр Калмана-Бьюси) оказались применимыми и в случае нестационарных процессов.
Работы Р. Калмана по рекуррентному оцениванию появились в связи с необходимостью оптимального оценивания вектора состояния линейных нестационарных систем. Оценивание производилось по данным наблюдения за зашумленной компонентой вектора состояния. При этом в теоретическом плане появляется линейная зависимость наблюдаемого процесса от оцениваемого параметра (линейная фильтрация).
Современные исследования в области параметрической идентификации динамических систем с использованием рекуррентных алгоритмов освещены в работах [1-6, 11, 13, 27-29, 34, 41,43-45, 48, 62, 80-83, 85]. Оптимальному управлению и адаптивным системам посвящены работы [12, 17, 21, 22, 30-32, 59-61, 63-65, 67, 74, 75]. Параметрическая идентификация при почти произвольных помехах (например, в случае, когда единственным теоретическим ограничением на помехи принимается ограниченность их четвертого центрального момента) рассматривается в работах [8, 9]. Различным вопросам теории оптимизации посвящены работы [14, 26, 33]. Основания теории оценивания рассматривается в работах [16, 18, 23, 66, 70 72, 86]. Решению различных задач оценивания посвящены работы [68, 69, 73, 79, 79].
Построение разностного уравнения по методу ограниченных невязок
Проведенный анализ существующих исследований по теории структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем позволил сформулировать следующие основные задачи настоящей диссертационной работы. 1. Разработка метода структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем, который бы использовал условие ограни ченности невязок. При этом следует решить следующие подзадачи: формализовать идею метода; предложить варианты настройки параметров метода; разработать алгоритмы, реализующие метод; подтвердить работоспособность разрабатываемого метода структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем, проведя серии вычислительных экспериментов. 2. Разработать комплекс программ, реализующих метод ограничен ных невязок. К разрабатываемому программному обеспечению предъявля ются следующие требования: реализация основных матричных и векторных операций должна быть выполнена по объектно-ориентированной технологии; должны быть разработаны средства графической визуализации данных, содержащихся в матрицах и векторах; основные функции пакета программ должны быть реализованы в виде динамически подключаемых библиотек на платформе Win 32; обеспечить вызов разработанных функций пакета программ из среды MatLab; обеспечить возможность интеграции разработанных функций пакета программ с пользовательскими приложениями, в том числе без использования среды MatLab. 3.
Провести экспериментальное подтверждение работоспособности разработанного метода структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем посредством идентификации рулевого привода летательного аппарата. При этом необходимо решить следующие подзадачи: по данным натурных экспериментов получить входные и выходные сигналы рулевого привода летательного аппарата; провести предварительную обработку полученных сигналов; произвести структурно-параметрическую идентификацию приводов летательного аппарата с помощью разработанного метода идентификации с учетом особенностей приводов; произвести статистический анализ результатов идентификации. 1. Проведенный в первой главе анализ показал, что для решения широкого круга прикладных задач необходимо использовать теорию идентификации, которая позволяет получать математические модели реальных динамических систем, учитывающие неконтролируемые внешние возмущения, действующие на систему. 2. В работе предложено использовать в качестве описания линейных динамических систем разностные уравнения и системы разностных уравнений, что связано с удобством их применения при моделировании динамических систем на цифровых ЭВМ. 3.
В ходе анализа методов параметрической идентификации установлено, что метод наименьших квадратов, модифицированный с использованием маскирования коэффициентов, является наиболее приемлемым методом оценки коэффициентов рассмотренных в работе моделей линейных динамических систем, так как выгодно отличается от других методов простотой реализации, глубиной теоретической проработки и статистическими свойствами получаемых при выполнении ряда условий оценок коэффициентов моделей. 4. Анализ методов структурно-параметрической идентификации динамических систем, используемых при построении разностного уравнения (1.1)-(1.3) и системы разностных уравнений (1.4)-(1.6), показал, что основными их недостатками является то, что они не учитывают ограничения на значения невязок, что, наряду с недостаточной строгостью их формализации, затрудняет их широкое использование.
Решение задачи структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем возможно с использованием условия ограниченности невязок модели в процессе вычисления частоты попадания невязок в заданные диапазоны значений.
Исследование метода ограниченных невязок при идентификации линейных одномерных динамических систем
Исследование метода ограниченных невязок при идентификации линейной одномерной динамической системы произведем по алгоритму И. Зададим исходные данные для алгоритма И. Я = 100, tT =(100,500,1000), sr =(0.003,0.01,0.03), =5, mmax=5,
Значение всех элементов матрицы Кг из (3.1) приведены в приложении в таблице П.22.
Результаты работы процедуры, реализующей алгоритм И, приведены в виде векторов р и р из (3.4) и матриц настройки порядков каждого разностного уравнения (3.6).
Все элементы матриц hT и тг приведены в приложении в таблицах П.23 и П.24 соответственно. Значение в ячейке таблиц П.23 и П.24, равное минус единице, свидетельствует о том, что в соответствующем опыте задача определения порядка модели не была решена соответствующей модификацией метода ограниченных невязок. Значение всех элементов векторов р и р приведены в таблице 3.3.
По итогам испытаний метода ограниченных невязок можно сделать вывод о том, что модификация данного метода в соответствии с пунктом 2.2.3 является наиболее универсальной из всех рассмотренных. Исследование метода ограниченных невязок при идентификации линейной многомерной динамической системы произведем по алгоритму К. Зададим исходные данные для алгоритма К. Значение всех элементов матрицы Км приведены в приложении в таблице П.25. Все элементы матриц пг и mr приведены в приложении в таблицах П.26 и П.27 соответственно. Значение в ячейке таблиц П.26 и П.27, равное минус единице, свидетельствует о том, что в соответствующем опыте задача определения порядка модели не была решена соответствующей модификацией метода ограниченных невязок. Значение всех элементов векторов р и р приведены в таблице 3.4.
По итогам испытаний метода ограниченных невязок можно сделать вывод о том, что модификация данного метода в соответствии с пунктом По результатам испытаний, следует сделать вывод о том, что модификация метода ограниченных невязок по п. 2.2.3 позволяет получать оценки порядков модели, которые стремятся к истинным значениям с частотой, близкой к единице. Модификация метода ограниченных невязок по п. 2.2.3, к тому же, не требует априорного задания значений параметров а и у.
Произведем сравнение метода ограниченных невязок с существущим методом определения порядка системы по функции потерь по критериям (1.39) и (1.40).
Методика сравнения выбранных методов аналогична приведенной в п.3.1, но со следующими дополнениями: в качестве результатов сравнения в дополнении к векторам р и р, размерностью 1x27 каждый, вычисляются вектора г, г\, \ и \, размерностью 1x27 каждый, по выражениям: где g - общее число рассматриваемых эталонных моделей; р.- число выходов j-той системы разностных уравнений; njk,mJk - порядки к-того разностного уравнения j-той системы разностных уравнений, выбранные соответствующим методом структурной идентификации; «у,л,этал, уд,эша, значения порядков k-того разностного уравнения j-той эталонной системы разностных уравнений. Таким образом, алгоритм сравнения методов примет следующий вид (см. алгоритм П).
Результаты структурно-параметрической идентификации рулевого привода летательного аппарата
Характеристики рассмотренных в работе рулевых приводов изменяются в процессе эксплуатации летательных аппаратов, что вызывает не обходимость разработки методов их идентификации. 2. В работе предложено для решения задачи структурно параметрической задачи рулевых приводов летательного аппарата исполь зовать метод ограниченных невязок. Модели приводов предложено стро ить в виде разностного уравнения. 3. Выявлена следующая особенность идентификации рулевого привода летательного аппарата по методу ограниченных невязок: необходимость учета нестационарности параметров приводов, для чего в работе рассматриваются интервалы времени квазистационарности параметров привода, а изменение параметров предполагается происходящим на границах данных интервалов. 4.
По результатам использования метода ограниченных невязок для структурно-параметрической идентификации рулевых приводов летательного аппарата следует сделать следующие выводы: ? полученные значения порядков разностного уравнения всех приводов оказались равными единице и не изменялись за все время наблюдения за летательным аппаратом; ? полученные оценки коэффициентов разностного уравнения изменялись в ходе эксперимента; статистический анализ результатов идентификации показал значимость всех коэффициентов построенных моделей, за исключением равного нулю априори коэффициента Ь0, их адекватность экспериментальным данным за все время наблюдения за летательным аппаратом. 5. Таким образом, результаты идентификации блока рулевых приводов летательного аппарата показали работоспособность метода ограниченных невязок и его эффективность при структурно-параметрической идентификации реально функционирующих линейных динамических систем. В диссертационной работе на основании проведенных исследований решена актуальная научная задача структурно-параметрической идентификации одномерных и многомерных линейных динамических систем на основе критерия ограниченности невязок моделей. Полученные следующие основные результаты работы: 1. Разработан метод построения моделей линейных динамических систем в виде разностного уравнения и системы разностных уравнений, использующий в качестве критерия качества модели частоту ограниченных невязок, и определяющий отдельно порядки левой и правой частей каждого разностного уравнения системы. 2.
Разработано программное обеспечение, реализующее метод ограниченных невязок. 3. В результате численных расчетов методом ограниченных невязок по выбору порядка моделей одномерных и многомерных линейных динамических систем осуществлено сравнение трех модификаций метода. Выбрана наиболее эффективная при определении порядка разностного уравнения и системы разностных уравнений модификация метода ограниченных невязок. 4. Проведено сравнение метода ограниченных невязок и метода структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем по функции потерь, показавшее превосходство метода ограниченных невязок при определении порядка разностного уравнения и системы разностных уравнений. 5. По данным пассивного натурного эксперимента методом ограниченных невязок произведена идентификация рулевого привода летательного аппарата. Полученные результаты позволили сделать следующие основные выводы.
